I = ∑r én 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

Elvileg mind a definíció, mind az azt leíró képlet nem bonyolult és sokkal könnyebb megjegyezni, mint a lényegre térni. De mégis, próbáljuk meg kitalálni, mi a tehetetlenségi nyomaték, és honnan jött.

A tehetetlenségi nyomaték fogalma az anyagok és a szerkezeti mechanika ereje a fizika egy másik ágából származik, amely a mozgás kinematikáját, különösen a forgó mozgást vizsgálja. De mindegy, kezdjük messziről.

Nem tudom biztosan, hogy Isaac Newton fejére esett-e alma, a közelben esett-e, vagy egyáltalán nem esett, a valószínűségelmélet mindezeket a lehetőségeket megengedi (ráadásul túl sok van ebben az almában a bibliai a tudás fájának legendája), de biztos vagyok benne, hogy Newton figyelmes ember volt, aki képes volt következtetéseket levonni megfigyeléseiből. Tehát a megfigyelés és a képzelet lehetővé tette Newton számára, hogy megfogalmazza a dinamika alaptörvényét (Newton második törvényét), amely szerint a test tömege m szorozva a gyorsulással a, egyenlő a ható erővel K(igazából az F jelölés az erőre ismertebb, de mivel a továbbiakban a gyakran F-ként is emlegetett területtel foglalkozunk, ezért az elméleti mechanikában koncentrált terhelésnek tekintett külső erőre a Q jelölést használom, a a dolog lényege nem változik):

Q=ma (1.2)

Számomra Newton nagyszerűsége éppen az egyszerűségben és a világosságban rejlik. ezt a meghatározást. Sőt, ha azt is figyelembe vesszük egyenletesen gyorsított mozgás gyorsulás de egyenlő a sebességnövekmény arányával ΔV az időszakra Δt, amelynek sebessége megváltozott:

a \u003d Δv / Δt \u003d (v - v o) / t (1.3.1)

V o \u003d 0-nál a = v/t (1.3.2)

akkor meghatározhatja a mozgás alapvető paramétereit, mint a távolság, sebesség, idő, sőt lendület is R a mozgás mennyiségének jellemzése:

p=mv (1.4)

Például egy alma, amely a gravitáció hatására különböző magasságból esik le, különböző időpontokban esik le a földre, a leszállás pillanatában eltérő sebességgel, és ennek megfelelően eltérő lendülettel. Más szóval, egy nagyobb magasságból leeső alma tovább repül, és erősebben reped a szerencsétlen szemlélő homlokán. Newton pedig mindezt egy egyszerű és érthető képletre redukálta.

Newton pedig megfogalmazta a tehetetlenség törvényét (Newton első törvénye): ha a gyorsulás a = 0, akkor az inerciális vonatkoztatási rendszerben nem lehet megállapítani, hogy a külső erők által nem érintett megfigyelt test nyugalomban van-e, vagy állandó sebességgel, egyenes vonalban mozog. Ez az ingatlan anyagi testek sebességének fenntartását, még ha nulla is, tehetetlenségnek nevezzük. A tehetetlenség mértéke a test tehetetlenségi tömege. Néha a tehetetlenségi tömeget inerciálisnak nevezik, de ez nem változtat az anyag lényegén. Úgy gondolják, hogy a tehetetlenségi tömeg egyenlő a gravitációs tömeggel, ezért gyakran nincs megadva, hogy milyen tömegről van szó, hanem egyszerűen a test tömegét említik.

Nem kevésbé fontos és jelentős Newton harmadik törvénye, amely szerint a hatáserő egyenlő a reakcióerővel, ha az erők egy egyenesbe, de ellentétes irányba hatnak. A látszólagos egyszerűség ellenére Newtonnak ez a következtetése zseniális, és ennek a törvénynek a jelentőségét aligha lehet túlbecsülni. E törvény egyik alkalmazásáról az alábbiakban.

Ezek a rendelkezések azonban csak a továbbhaladó szervekre érvényesek, pl. egyenes vonalú pálya mentén és egyben minden anyagi pontok az ilyen testek azonos sebességgel vagy azonos gyorsulással mozognak. Görbe vonalú mozgás és különösen forgó mozgás során, például amikor egy test forog a szimmetriatengelye körül, egy ilyen test anyagi pontjai azonos szögsebességgel mozognak a térben. w, de ugyanakkor vonalsebesség v a különböző pontok eltérőek lesznek, és ez a lineáris sebesség egyenesen arányos a távolsággal r a forgástengelytől idáig:

v=wr (1.5)

ebben az esetben a szögsebesség megegyezik a forgási szögnövekmény arányával Δφ az időszakra Δt, amelynél a forgásszög megváltozott:

w \u003d Δφ / Δt \u003d (φ - φ o) / t (1.6.1)

φ o = 0-nál w = φ/t (1.7.2)

illetve normál gyorsulás a n forgás közben egyenlő:

a n \u003d v 2 / r \u003d w 2 r (1.8)

És kiderül, hogy a forgó mozgáshoz nem használhatjuk közvetlenül az (1.2) képletet, mivel a forgó mozgás során a testtömeg értéke önmagában nem elegendő, ismerni kell ennek a tömegnek a testben való eloszlását is. Kiderült, hogy minél közelebb vannak a test anyagi pontjai a forgástengelyhez, annál kisebb erőt kell kifejteni a test forgásához, és fordítva, minél távolabb vannak a test anyagi pontjai a forgástengelytől, annál nagyobb erőt kell kifejteni ahhoz, hogy a test forogjon (ebben az esetben ugyanabban a pontban történő erőhatásról beszélünk). Ezen túlmenően, amikor a test forog, kényelmesebb nem a ható erőt, hanem a nyomatékot figyelembe venni, mivel a forgó mozgás során az erő alkalmazási pontja is nagyon fontos.

A pillanat csodálatos tulajdonságait már Arkhimédész óta ismerjük, és ha a pillanat fogalmát a forgó mozgásra alkalmazzuk, akkor a pillanat értéke M annál nagyobb lesz, minél nagyobb a távolság r a forgástengelytől az erő alkalmazási pontjáig F(ban ben szerkezeti mechanika külső erő gyakran nevezik R vagy K):

M = QR (1.9)

Ebből a szintén nem túl bonyolult képletből kiderül, hogy ha az erőt a forgástengely mentén fejtik ki, akkor nem lesz forgás, mivel r \u003d 0, és ha az erőt a forgástengelytől a legnagyobb távolságra alkalmazzák. forgatás, akkor a nyomaték értéke maximális lesz. És ha behelyettesítjük az (1.9) képletbe az (1.2) képletből származó erő értékét és az értéket normál gyorsulásés (1.8) képletekkel a következő egyenletet kapjuk:

M \u003d mw 2 r r \u003d mw 2 r 2 (1.10)

Abban az esetben, ha a test egy anyagi pont, amelynek méretei sokkal kisebbek, mint az ettől a ponttól a forgástengelytől mért távolság, az (1.10) egyenlet tiszta formájában alkalmazható. Az egyik szimmetriatengelye körül forgó test esetében azonban az alkatrész minden anyagi pontjától való távolság adott test, mindig kisebb, mint a test egyik geometriai mérete, ezért a testtömeg eloszlása ​​nagy jelentőséggel bír, ebben az esetben ezeket a távolságokat minden pontnál külön kell figyelembe venni:

M = ∑r i 2 w 2 m én (1.11.1)

M c \u003d w 2 ∫r 2 dm

És akkor kiderül, hogy Newton harmadik törvénye szerint a nyomaték hatására létrejön az úgynevezett tehetetlenségi nyomaték én. Ebben az esetben a nyomaték és a tehetetlenségi nyomaték értéke egyenlő lesz, és maguk a nyomatékok ellentétes irányba irányulnak. Állandóan szögsebesség forgás, például w = 1, a nyomatékot vagy tehetetlenségi nyomatékot jellemző fő mennyiségek a testet alkotó anyagi pontok tömege, valamint ezeknek a pontoknak a forgástengelyétől való távolsága lesz. Ennek eredményeként a tehetetlenségi nyomaték képlete a következő formában lesz:

[- M] = I = ∑r i 2 m én (1.12.1)

I c = ∫r 2 dm(1.11.2) - amikor a test a szimmetriatengely körül forog

ahol én- a tehetetlenségi nyomaték általánosan elfogadott megjelölése, Ic- a test tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékának megjelölése, kg / m 2. Azonos sűrűségű homogén testhez ρ az egész testben V A test tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékának képlete a következőképpen írható fel:

I c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Így a tehetetlenségi nyomaték a test tehetetlenségének mértéke a forgó mozgás során, ahogy a tömeg a test tehetetlenségének mértéke a transzlációs egyenes vonalú mozgás során.

Az egész kör bezárult. És itt felmerülhet a kérdés, hogy mi köze van ezeknek a dinamikai és kinematikai törvényeknek a statikus épületszerkezetek számításához? Kiderül, hogy egyik sem a legközvetlenebb és legközvetlenebb. Először is azért, mert ezeket a képleteket fizikusok és matematikusok származtatták azokban a távoli időkben, amikor az olyan tudományágak, mint " Elméleti mechanika"vagy" Anyagszilárdság-elmélet "egyszerűen nem létezett. Másodszor pedig azért, mert az épületszerkezetek teljes számítása a jelzett törvények és megfogalmazások, valamint a gravitációs és tehetetlenségi tömegek egyenlőségének állítása alapján épül fel, ami még nem történt meg. Ez csak az anyagok szilárdsági elméletében még egyszerűbb, bármilyen paradoxon is hangzik.

És egyszerűbb, mert bizonyos problémák megoldásánál nem az egész testet lehet figyelembe venni, hanem csak a keresztmetszetét, és ha szükséges, több keresztmetszetet is. De ezekben a részekben ugyanaz fizikai erők, bár kissé eltérő természetű. Tehát, ha egy bizonyos testet tekintünk, amelynek hossza állandó, és maga a test homogén, akkor ha nem vesszük figyelembe az állandó paramétereket - hosszúságot és sűrűséget ( l = állandó, ρ = állandó) - keresztmetszeti modellt kapunk. Egy ilyen keresztmetszetre matematikai szempontból az egyenlet érvényes:

I p \u003d ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

ahol Ip- a keresztmetszet poláris tehetetlenségi nyomatéka, m 4 . Ennek eredményeként megkaptuk azt a képletet, amivel elindultunk (de nem tudom, hogy egyértelműbbé vált-e, hogy mekkora egy szakasz tehetetlenségi nyomatéka).

Mivel az anyagok szilárdsági elméletében gyakran figyelembe veszik a téglalap alakú metszeteket, és a téglalap alakú koordinátarendszer kényelmesebb, a problémák megoldása során általában a keresztmetszet két tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékát veszik figyelembe:

Iz = ∫y 2dF (2.2.1)

I y = ∫z 2dF (2.2.2)

1. kép. Koordináta értékek a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok meghatározásakor.

Itt felmerülhet a kérdés, hogy miért használják a tengelyeket zÉs nál nél nem pedig az ismerősebb xÉs nál nél? Történt ugyanis, hogy a keresztmetszetben fellépő erők meghatározása és egy olyan szakasz kiválasztása, amely elviseli a fellépő erőhatásokkal egyenlő hatást, két különböző feladat. Az első feladatot - az erők meghatározását - szerkezeti mechanika oldja meg, a második feladatot - a szakasz kiválasztása - az anyagok ellenállásának elméletét. Ugyanakkor a szerkezeti mechanikában az egyszerű problémák megoldása során gyakran egy bizonyos hosszúságú rudat (egyenes szerkezetekhez) vesznek figyelembe. l, valamint a szakasz magasságát és szélességét nem veszik figyelembe, miközben feltételezzük, hogy a tengely x csak áthalad az összes keresztmetszet súlypontján, és így a diagramok ábrázolásakor (néha meglehetősen bonyolult) a hossz l csak letették a tengely mentén xés a tengely mentén nál nél telkek értékét elhalasztják. Ugyanakkor az anyagok ellenálláselmélete figyelembe veszi a keresztmetszetet, amelynél a szélesség és a magasság fontos, és a hosszt nem veszik figyelembe. Természetesen az anyagok szilárdságelméleti problémáinak megoldásakor, amelyek néha meglehetősen összetettek is, ugyanazokat az ismerős tengelyeket használják. xÉs nál nél. Számomra ez az állapot nem tűnik teljesen helytállónak, hiszen az eltérés ellenére mégis összefüggő feladatokról van szó, ezért célszerűbb lenne közös tengelyeket használni a számított szerkezethez.

A poláris tehetetlenségi nyomaték értéke téglalap alakú koordinátarendszerben a következő lesz:

I p \u003d ∫r 2 dF \u003d∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Mivel egy téglalap alakú koordinátarendszerben a sugár a hipotenusz derékszögű háromszög, és mint tudod, a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. És ott van a keresztmetszet centrifugális tehetetlenségi nyomatékának fogalma is:

Ixz = ∫xzdF(2.4)

A keresztmetszet súlypontján átmenő derékszögű koordináta-rendszer tengelyei között két egymásra merőleges tengely található, amelyekhez képest a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok a maximumot, ill. minimális érték, míg a szelvény centrifugális tehetetlenségi nyomatéka Izy = 0. Az ilyen tengelyeket a keresztmetszet fő központi tengelyeinek, az ilyen tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat pedig fő központi tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük.

Amikor az anyagok ellenállásának elméletében a tehetetlenségi nyomatékokról van szó, akkor általában a keresztmetszet fő központi tehetetlenségi nyomatékairól van szó. Négyzet alakú, téglalap alakú, kerek szakaszok esetén a fő tengelyek egybeesnek a szimmetriatengelyekkel. A keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékait is nevezzük geometriai pillanatok a terület tehetetlenségi nyomatéka vagy tehetetlenségi nyomatéka, de ennek a lényege nem változik.

Elvileg nincs nagy szükség a fő központi tehetetlenségi nyomatékok értékeinek meghatározására a leggyakoribb geometriai formák - négyzet, téglalap, kör, cső, háromszög és néhány más - keresztmetszete esetében. . Az ilyen tehetetlenségi nyomatékok régóta meghatározottak és széles körben ismertek. És a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok kiszámításakor összetett geometriai alakzatok szakaszaira a Huygens-Steiner-tétel érvényes:

I \u003d I c + r 2 F (2.5)

így ha a területek és a súlypontok egyszerű geometriai formák, amely egy összetett szakaszt alkot, akkor nem lesz nehéz meghatározni a teljes szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékának értékét. És egy összetett szakasz súlypontjának meghatározásához a keresztmetszet statikus nyomatékait használják fel. A statikus pillanatokat egy másik cikkben tárgyaljuk részletesebben, itt csak kiegészítem. fizikai jelentése a statikus nyomaték a következő: a test statikus nyomatéka a testet alkotó anyagi pontok nyomatékainak összege valamely ponthoz (poláris statikus momentum) vagy a tengelyhez (axiális statikus nyomaték) képest, és mivel a nyomaték a karra ható erő szorzata (1.9), akkor és a test statikus nyomatékát rendre meghatározzuk:

S = ∑M = ∑r én m én= ∫rdm (2.6)

majd a keresztmetszet poláris statikus nyomatéka a következő lesz:

S p = ∫rdF (2.7)

Mint látható, a statikus nyomaték meghatározása hasonló a tehetetlenségi nyomaték definíciójához. De van egy alapvető különbség is. A statikus nyomatékot ezért nevezzük statikusnak, mert olyan testnél, amelyre a gravitációs erő hat, a statikus nyomaték a súlyponthoz képest nulla. Más szóval, egy ilyen test akkor van egyensúlyi állapotban, ha a támasztékot a test súlypontjára helyezzük. Newton első törvénye szerint pedig egy ilyen test vagy nyugalomban van, vagy állandó sebességgel mozog, pl. gyorsulás \u003d 0. És tisztán matematikai szempontból a statikus nyomaték egyenlő lehet nullával azon egyszerű okból, hogy a statikus nyomaték meghatározásakor figyelembe kell venni a nyomaték irányát. Például a téglalap súlypontján átmenő koordinátatengelyekhez képest a téglalap felső és alsó részének területei pozitívak lesznek, mivel az egy irányban ható gravitációs erőt szimbolizálják. Ebben az esetben a tengely és a súlypont közötti távolság pozitívnak tekinthető (feltételesen: a téglalap felső részének gravitációs erejétől származó nyomaték az óramutató járásával megegyező irányba igyekszik elforgatni a metszetet), és a súlyponttól a téglalap súlypontja. az alsó rész - negatívként (feltételesen: a téglalap alsó részének gravitációs erejéből származó nyomaték megpróbálja elforgatni a szakaszt az óramutató járásával ellentétes irányba). És mivel az ilyen területek számszerűen egyenlőek és egyenlőek a téglalap felső részének és a téglalap alsó részének súlypontjaitól való távolságokkal, akkor a ható nyomatékok összege a kívánt 0 lesz.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

És ez a nagy nulla lehetővé teszi az épületszerkezetek támasztóreakcióinak meghatározását is. Ha egy olyan épületszerkezetet tekintünk, amelyre például koncentrált Q terhelés hat egy bizonyos ponton, akkor az ilyen épületszerkezet olyan testnek tekinthető, amelynek az erőkifejtési pontján súlypontja van, és megtámasztja. a reakciókat ebben az esetben a támaszpontokon kifejtett erőknek tekintjük. Így a Q koncentrált terhelés értékének és a terhelés kifejtési pontjától az épületszerkezet tartóihoz mért távolságának ismeretében meg lehet határozni az alátámasztási reakciókat. Például két támaszon lévő csuklós gerenda esetén a támasztóreakciók értéke arányos lesz az erő alkalmazási pontjának távolságával, és a támasztékok reakcióinak összege egyenlő lesz az alkalmazott terheléssel. Ám általában a támasztóreakciók meghatározásakor még egyszerűbb: az egyik támaszt veszik a súlypontnak, majd az alkalmazott terhelésből és a többi támasztóreakcióból származó nyomatékok összege továbbra is nulla. . Ebben az esetben az alátámasztási reakcióból származó nyomaték, amelyre a nyomatékegyenletet összeállítjuk, nulla, mivel az erő karja = 0, ami azt jelenti, hogy csak két erő marad a nyomatékok összegében: az alkalmazott terhelés és az ismeretlen támogató reakció(statikailag meghatározott konstrukciókhoz).

Tehát a statikus nyomaték és a tehetetlenségi nyomaték közötti alapvető különbség az, hogy a statikus nyomaték azt a szakaszt jellemzi, amelyet a gravitáció a súlyponthoz vagy a szimmetriatengelyhez képest félbe akar törni, a tehetetlenségi nyomaték pedig a testet. , amelynek minden anyagi pontja mozog (vagy próbál meg egy irányba mozogni). Talán a következő, meglehetősen feltételes tervezési sémák egy téglalap alakú szakaszhoz segítenek ennek a különbségnek a világosabb megjelenítésében:

2. ábra. Vizuális különbség a statikus nyomaték és a tehetetlenségi nyomaték között.

És most térjünk vissza a mozgás kinematikájához. Ha analógiákat vonunk az épületszerkezetek keresztmetszeteiben fellépő feszültségek és a különböző mozgástípusok között, akkor a központilag feszített és a központilag összenyomott elemekben a teljes keresztmetszeti területen egyenletes feszültségek keletkeznek. Ezeket a feszültségeket össze lehet hasonlítani a testre ható bizonyos erőhatásokkal, amelyekben a test egyenes vonalban és transzlációsan fog mozogni. A legérdekesebb pedig az, hogy a központilag feszített vagy központilag összenyomott elemek keresztmetszete valóban elmozdul, hiszen a ható feszültségek deformációt okoznak. És az ilyen deformációk nagysága a szerkezet bármely keresztmetszetére meghatározható. Ehhez elegendő ismerni a ható feszültségek értékét, az elem hosszát, a keresztmetszeti területet és annak az anyagnak a rugalmassági modulusát, amelyből a szerkezet készül.

A hajlítóelemeknél a keresztmetszetek szintén nem maradnak a helyükön, hanem elmozdulnak, míg a hajlítóelemek keresztmetszete mozgása hasonló egy bizonyos test adott tengely körüli forgásához. Amint azt valószínűleg kitalálta, a tehetetlenségi nyomaték lehetővé teszi mind a keresztmetszet dőlésszögének, mind az elmozdulásnak a meghatározását Δ l a szakasz végpontjaihoz. A téglalap alakú metszet szélső pontjai a metszet magasságának felével egyenlő távolságra vannak (miért - kellően részletesen le van írva a "Szilárdság alapjai. Az elhajlás meghatározása" című cikkben). Ez pedig lehetővé teszi a szerkezet elhajlásának meghatározását.

A tehetetlenségi nyomaték pedig lehetővé teszi a szakaszellenállás pillanatának meghatározását. Ehhez a tehetetlenségi nyomatékot egyszerűen el kell osztani a szakasz súlypontja és a metszet legtávolabbi pontja közötti távolsággal, téglalap alakú szakasz esetén h / 2-vel. És mivel a vizsgált szakaszok nem mindig szimmetrikusak, az ellenállási nyomaték értéke eltérő lehet Különböző részek szakaszok.

És az egész egy banális almával kezdődött... bár nem, minden egy szóval kezdődött.

Egy összetett szakasz tehetetlenségi nyomatékainak meghatározásakor az utóbbit egyszerű ábrákra bontjuk, amelyekben a súlypontok helyzete és a tehetetlenségi nyomatékok saját központi tengelyükhöz képest ismertek. A (2.5) képletek szerint a teljes szakasz súlypontjának koordinátáit a tetszőlegesen választott segédtengelyek rendszerében találjuk meg. Ezekkel a tengelyekkel párhuzamosan megrajzoljuk a központi tengelyeket, amelyekhez viszonyítva a (2.6) képlet segítségével meghatározzuk a tengelyirányú és centrifugális tehetetlenségi nyomatékot. A fő központi tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat a (2.12) képlet, a fő központi tengelyek helyzetét pedig a (2.11) képlet határozza meg.

2.1. példa. Határozzuk meg a tehetetlenségi nyomatékokat a két 200 x 20 mm keresztmetszetű acéllemezzel megerősített 130-as I-gerenda keresztmetszetének fő központi tengelyeire (2.12. ábra).

Szimmetriatengelyek Ó, óóó az egész szakasz fő központi tengelyei. Kiírjuk a választékból (lásd Melléklet) az I-gerenda szakasz területének és tehetetlenségi nyomatékait a tengelyekhez viszonyítva Ó, óóó

A lapok metszeteinek tehetetlenségi nyomatékát saját központi tengelyükhöz képest a (2.14) képlet határozza meg:

A teljes szakasz területe egyenlő F= 46,5 + 2 20 2 \u003d 126,5 cm 2.

A szakasz tehetetlenségi nyomatékai a fő központi tengelyekről Ó, óóó a (2.6) képlet határozza meg:

Példa 2.2. Határozzuk meg a rácsos rácsos fogasléc keresztmetszetének fő központi tengelyeire vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat két, 1_70x70x8 egyenlő szárú, keresztben kialakított sarokból (2.13. ábra). A sarkok közös munkáját összekötő lécek biztosítják.

A szögmetszet súlypontjának koordinátái, a terület értékei és a tehetetlenségi nyomatékok saját központi tengelyükhöz képest Ó^ és Oy 0 szerepel a szortimentben (lásd a mellékletet):

Távolság a súlyponttól RÓL RŐL a teljes szakasz a sarok súlypontjáig egyenlő de\u003d (2,02 + 0,4) l / 2 \u003d 3,42 cm.

A teljes szakasz területe egyenlő F= 2 10,7 \u003d 21,4 cm 2.

Tehetetlenségi nyomatékok a fő központi tengelyekről, amelyek a szimmetriatengelyek Ó, óóó a (2.6) képlet határozza meg:

2.3. példa. Meghatározzuk a súlypont helyzetét és a tehetetlenségi nyomatékokat a gerenda két csatornából álló keresztmetszetének fő központi tengelyeihez képest.És Ó x y (. Ekkor a (2.5) képletekkel kapjuk:

A csatorna és a szög súlypontjainak ezek az értékek és koordináták a koordinátarendszerben Ohuábrán látható. 2,16 és egyenlők:

Határozzuk meg a (2.6) képletekkel a szakasz tehetetlenségi nyomatékait a központi tengelyekre ÓÉs OU

A (2.12) és (2.11) képletekkel megtaláljuk a fő tehetetlenségi nyomatékok értékeit, valamint az 1. és 2. főtengely tengelyhez viszonyított dőlésszögét. Ó:

Az alábbi képleteket az egyszerű szakaszok központi tengelyük körüli tehetetlenségi nyomatékának meghatározására az (5.4), (5.5), (5.6) tehetetlenségi nyomatékok integrál kifejezéseiből kapjuk:

1. Téglalap

(5.10)

(5.11)

mivel a Z és Y tengely a szimmetriatengely.

2. Kör

(5.12)

(5.13)

Itt a szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka.

3. Félkör

(5.14)

(5.15)

4. Egyenlőszárú háromszög

(5.16)

(5.17)

5. Derékszögű háromszög

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Hasznos megjegyezni, hogy az (5.10), (5.11) és (5.16)–(5.19) képletekben az ábra figyelembe vett tengelyére merőleges oldalának mérete kockára van vágva.

Az (5.20) képletben a centrifugális tehetetlenségi nyomaték meghatározásakor a mínuszjelet akkor helyezzük el, ha a háromszög hegyesszögei negatív negyedekben (azaz a 2. és 4.) vannak. Azokban az esetekben, amikor ezek a szögek pozitív negyedekben vannak (azaz 1. és 3.), akkor az (5.20) képletbe plusz jel kerül.

5.3. Összetett szimmetrikus szakaszok fő központi tehetetlenségi nyomatékai

A fő központi tengelyek helyzetét és a szimmetrikus szakaszok fő központi tehetetlenségi nyomatékainak értékét a következő sorrendben határozzák meg:

1. Egy összetett metszetet egyszerű alakzatokra osztunk (kör, téglalap, I-gerenda, sarok stb.), és ezek központi tengelyét Z i és Y i rajzoljuk (általában vízszintesen és függőlegesen).

2. A teljes metszet súlypontjának helyzetét az (5.3) képletekkel határozzuk meg, és ezen a ponton húzzuk át Z és Y központi tengelyét Ha két szimmetriatengely van, akkor a teljes metszet súlypontja metszéspontjuknál van.

Ha a szakasznak csak egy szimmetriatengelye van, akkor a tömegközéppontnak csak egy koordinátáját határozzuk meg az (5.3) képletekkel. Magyarázzuk meg ezt az ábrán látható ábrával. 5.8:

a) a Z" és az Y" tengelyt úgy választjuk meg, hogy az Y" tengely egybeessen az ábra szimmetriatengelyével, a Z" tengely pedig úgy, hogy kényelmes legyen meghatározni a távolságot ehhez a tengelyhez a középső tengelyektől. egyszerű figurák;

b) meghatározzuk a keresztmetszeti terület statikus nyomatékát tetszőleges Z-tengelyhez" a következő képlettel:

\u003d A 1 év 1 + A 2 év 2,

ahol A i egyszerű alakzatok keresztmetszete; y i - távolságok egy tetszőleges Z tengelytől az egyszerű ábrák központi tengelyeiig Z i. Az y i távolságokat az előjelek figyelembevételével kell figyelembe venni;

c) határozza meg a súlypont C koordinátáját az (5.3) képlet szerint:

=

d) a Z tengelytől y C távolságra megrajzoljuk a második központi Z tengelyt. Az első központi tengely az Y szimmetriatengely.

3. A Z és Y fő központi tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat (5.8. ábra) az (5.9) képlet határozza meg, amelyet kiterjesztett formában a következőképpen írunk le:

mivel az egyik figyelembe vett tengely

(Y tengely) a szimmetriatengely.

Ezekben a képletekben:

- egyszerű alakzatok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai a központi tengelyük körül (belső tehetetlenségi nyomatékok), amelyeket az (5.10) - (5.19) képletekkel vagy a hengerelt elemek választéktáblázatai alapján határoznak meg;

- távolságok a Z és Y szakasz közös központi tengelyeitől az egyszerű ábrák központi tengelyeiig. Ebben a példában
És
ábrán látható. 5,8;

Az A i az egyszerű alakzatok területei. Ha egy egyszerű figura az általánosból kivágott figura, azaz. "üres" alakot, majd a megfelelő képleteket az ilyen A ábrák területére és saját tehetetlenségi nyomatékaira
mínuszjellel helyettesítjük.

5.1. PÉLDA

ábrán látható szakasz fő központi tehetetlenségi nyomatékait kell meghatározni. 5.9.

1. A metszetet egyszerű ábrákra bontjuk, és megrajzoljuk ezek vízszintes és függőleges központi tengelyét Z i és Y i

2. Megrajzoljuk a teljes ábra központi tengelyeit, azaz. Z és Y szimmetriatengelyek.

3. Határozza meg a Z és Y közös központi tengelyek távolságát az egyszerű ábrák középső tengelyétől, és ezen ábrák területét:

4. Az (5.10)–(5.17) képletekkel kiszámítjuk az ábrák saját központi momentumait:

5. Határozza meg a teljes szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékát a Z és Y központi tengelyekhez képest!

centrifugális tehetetlenségi nyomaték
mivel Z és Y szimmetriatengelyek. Ezért az általunk kiszámított I Z és I Y a fő központi tengely:

5.2. PÉLDA

Kívántábrán látható szakasz fő központi tehetetlenségi nyomatékait határozza meg (5.10. ábra).

1. A metszetet egyszerű ábrákra bontjuk, és megrajzoljuk ezek központi tengelyét és Y i .

2. Megrajzoljuk az Y szimmetriatengelyt, amely az adott szakasz fő központi tengelye.

3. A 2. központi főtengely helyzetének meghatározásához válasszon egy tetszőleges, a szimmetriatengelyre merőleges Z tengelyt. Ez a tengely essen egybe a Z 3 tengellyel.

4. Az (5.3) képlet szerint meghatározzuk az y ordinátát az Y tengely menti keresztmetszet súlypontjából:

A méretet C pontban állítjuk be a Z tengelytől felfelé, és megrajzoljuk a 2. fő központi tengelyt Z.

5. Határozza meg az egyszerű alakzatok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékát a saját központi tengelyükhöz képest (lásd (5.10)–(5.17) képleteket!

6. Kiszámoljuk a teljes Z és Y szakasz központi tengelyeitől az egyes ábrák középső tengelyei közötti távolságokat (5.10. ábra):

mivel az Y 1, Y 2, Y 3 tengelyek egybeesnek az Y szimmetriatengellyel.

7. Kiszámítjuk a teljes szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékait a Z és Y központi tengelyekhez képest az (5.9) képlet alapján:

A teljes szakasz I ZY tehetetlenségi nyomatéka nulla, mivel az Y tengely a szimmetriatengely, azaz. a Z és Y tengely a szakasz fő központi tehetetlenségi tengelye, a számított tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték pedig a fő központi tehetetlenségi nyomaték:

5.3. PÉLDA

Kívánt határozzuk meg az (5.11. ábra) ábrán látható összetett metszet fő központi tehetetlenségi nyomatékait.

A megoldási eljárást az 5.2. példa részletezi.

1. A metszetet külön ábrákra bontjuk, amelyek geometriai jellemzői a választéktáblázatban vannak megadva (I-gerenda és csatorna), vagy könnyen kiszámíthatók (5.10) - (5.20) képletekkel (ebben a példában egy téglalap), ill. rajzolja meg a központi tengelyeiket.

2. Rajzoljuk meg az Y szimmetriatengelyt. Ezen a tengelyen fekszik a teljes metszet súlypontja.

3. Válasszon ki egy tetszőleges Z tengelyt. Legyen ebben a példában ez a tengely egybeesik a Z 3 tengellyel.

4. A C távolságot egy tetszőleges Ztengelytől a teljes szakasz súlypontjáig határozzuk meg:

A tetszőlegesen kiválasztott Z tengely és az egyes ábrák központi tengelyei közötti távolságok (y 1, y 2, y 3) az 5.11. ábrán láthatók.

Az A 1 csatorna és az I-gerenda A 2 keresztmetszeti területeit kiírjuk a megfelelő választéktáblázatokból, és kiszámítjuk az A 3 téglalap területét:

A 1 = 23,4 cm 2, A 2 = 46,5 cm 2, A 3 \u003d 24 2 \u003d 48 cm 2.

Ábrázoljuk y C értékét a Z tengelytől felfelé" (mivel y C > 0), és ezen a távolságon rajzoljuk meg a Z fő központi tengelyt.

5. A választéktáblázatból kiírjuk a hengerelt profilok geometriai jellemzőit, figyelembe véve a tengelyek tájolási különbségét a választéktáblázatban és a 2. ábrán. 5.12a, c.

1. 20-as csatorna

GOST 8240-89

(5.12a ábra)
;

I-gerenda 30. sz

GOST 8239-89

(5.12b ábra)
h= 30 cm.

A "c" betű az I tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték indexében a tartományban lévő tengelyek jelölésére utal.

A téglalap tehetetlenségi nyomatékait (5.12c. ábra) külön-külön számítjuk ki az (5.10) és (5.11) képletekkel:

6. Határozza meg a közös Y és Z központi tengelyek távolságát az egyes ábrák központi tengelyeitől (az 5.11. ábrán láthatók):

mivel az Y 1, Y 2, Y 3 tengelyek egybeesnek a teljes Y szakasz szimmetriatengelyével.

7. Határozzuk meg egy összetett alakzat tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékait a Z és Y központi tengelyekhez képest az (5.9) képlet alapján:

centrifugális tehetetlenségi nyomaték
mivel az Y tengely a szimmetriatengely. Ezért a Z és Y tengely a fő központi tengely.

A szakaszok tehetetlenségi nyomatékai a következő formájú integrálok:

nál nél;

- a szakasz tengely körüli tehetetlenségi nyomatéka z;

a szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka;

a szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka.

3.2.1. A tehetetlenségi nyomaték tulajdonságai szakasz

A tehetetlenségi nyomatékok dimenziója [hossz 4 ], általában [ m 4 ] vagy [ cm 4 ].

A tengelyirányú és poláris tehetetlenségi nyomaték mindig pozitív. A centrifugális tehetetlenségi nyomaték lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Azokat a tengelyeket, amelyek körül a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nulla, nevezzük fő tehetetlenségi tengelyek szakaszok.

A szimmetriatengelyek mindig főak. Ha két egymásra merőleges tengely közül legalább az egyik szimmetriatengely, akkor mindkét tengely főtengely.

Egy összetett szakasz tehetetlenségi nyomatéka megegyezik e szakasz elemeinek tehetetlenségi nyomatékainak összegével.

A poláris tehetetlenségi nyomaték egyenlő a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összegével.

Bizonyítsuk be az utolsó tulajdonságot. Területtel keresztmetszetben DE elemi platformhoz dAρ sugárvektor és koordináták nál nélÉs z(6. ábra) a Pitagorasz-tétellel kapcsolódnak össze: ρ 2 = nál nél 2 + z 2. Azután

Rizs. 6. Poláris és derékszögű koordináták kapcsolata

elemi játszótér

3.2.2. A legegyszerűbb figurák tehetetlenségi pillanatai

BAN BEN téglalap alakú szakasz(7. ábra) válasszunk egy elemi területet dA koordinátákkal yÉs zés terület dA = dydz.

Rizs. 7. Téglalap alakú metszet

A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték nál nél

.

Hasonlóképpen megkapjuk a tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot z:

Amennyiben nál nélÉs z szimmetriatengelyek, akkor a centrifugális nyomaték D zy = 0.

Mert körátmérő d a számítások leegyszerűsödnek, ha figyelembe vesszük a körszimmetriát és poláris koordinátákat használunk. Vegyünk elemi területnek egy végtelenül vékony, ρ sugarú és vastagságú gyűrűt dρ (8. ábra). A területe dA= 2πρ dρ. Ekkor a poláris tehetetlenségi nyomaték:

.

Rizs. 8. Kerek szakasz

Mint fentebb látható, a tehetetlenségi nyomatékok bármely központi tengely körül azonosak és egyenlőek

.

Tehetetlenségi nyomaték gyűrűk két kör tehetetlenségi nyomatéka közötti különbséget találjuk - a külső (átmérőjű D) és belső (átmérővel d):

Tehetetlenségi nyomaték én z háromszög a súlyponton átmenő tengelyhez viszonyítva határozzuk meg (9. ábra). Nyilvánvalóan egy távoli elemi szalag szélessége nál nél tengelyen kívül z, egyenlő

Következésképpen,

Rizs. 9. Háromszög metszet

3.3. Párhuzamos tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok összefüggései

A tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok ismert értékeivel zÉs nál nél határozza meg a tehetetlenségi nyomatékokat más tengelyekre vonatkozóan z 1 és y 1 párhuzamos a megadottakkal. A tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok általános képletével azt találjuk

Ha a tengelyek zÉs y akkor központi
, És

A kapott képletekből látható, hogy a központi tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok (mikor
) a legkisebb értékkel rendelkeznek bármely másik tehetetlenségi nyomatékához képest párhuzamos tengelyek.

3.4. Főtengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok

Ha a tengelyeket α szöggel elforgatjuk, a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő lesz

.

Határozzuk meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét u, v melyről

,

ahol α 0 az a szög, amellyel a tengelyeket el kell forgatni yÉs z hogy ők legyenek a főbbek.

Mivel a képlet két szögértéket ad És
, akkor van két egymásra merőleges főtengely. A maximális tengely mindig kisebb szöget zár be ( ) az egyik tengellyel ( z vagy y), amelyhez képest axiális nyomaték a tehetetlenség többet számít. Emlékezzünk vissza, hogy a pozitív szögeket a tengely felől ábrázoljuk z óramutató járásával ellentétes irányban.

A főtengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat ún fő tehetetlenségi nyomatékok. Kimutatható, hogy ők

.

A második tag előtti pluszjel a maximális tehetetlenségi nyomatékra, a mínusz jel a minimumra vonatkozik.

A szakasz tengelyirányú (vagy ekvatoriális) tehetetlenségi nyomatéka körülbelül valamilyen tengelyt a teljes területére átvettnek nevezzük F dF ettől a tengelytől való távolságuk négyzetével, azaz.

Egy szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos ponthoz (pólushoz) a teljes területére vonatkozik F elemi területek szorzatainak összege dF ettől a ponttól való távolságuk négyzetével, azaz.

Egy szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatékát két, egymásra merőleges tengelyhez képest a teljes területén átvettnek nevezzük. F elemi területek szorzatainak összege dF ezektől a tengelyektől való távolságukban, azaz.

A tehetetlenségi nyomatékokat cm 4, m 4 stb. Az axiális és poláris tehetetlenségi nyomaték mindig pozitív, mivel az integrálok előjele alatti kifejezései a területek értékeit tartalmazzák. dF(mindig pozitív) és ezeknek a helyeknek az adott tengelytől vagy pólustól való távolságának négyzete.

A 2.3. ábra egy keresztmetszetet mutat egy területtel Fés tengelyeket mutat nál nélÉs x.

Rizs. 2.3. F szakaszterület.

Ennek a szakasznak a tengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai nál nélÉs x:

Ezeknek a tehetetlenségi nyomatékoknak az összege

Következésképpen,

A két egymásra merőleges tengely körüli szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékainak összege egyenlő ennek a szakasznak a tengelyek metszéspontja körüli poláris tehetetlenségi nyomatékával.

A centrifugális tehetetlenségi nyomatékok lehetnek pozitívak vagy nullák. Egy szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka olyan tengelyek körül, amelyek közül az egyik vagy mindkettő egybeesik a szimmetriatengelyével, egyenlő nullával. Egy komplex szakasz egy bizonyos tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka megegyezik az alkotórészei ugyanazon tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Hasonlóképpen, egy komplex szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka bármely két egymásra merőleges tengely körül megegyezik az alkotórészei ugyanazon tengelyek körüli centrifugális tehetetlenségi nyomatékainak összegével. Ezenkívül egy komplex szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos ponthoz viszonyítva egyenlő az alkotórészeinek ugyanahhoz a ponthoz viszonyított poláris tehetetlenségi nyomatékának összegével. Figyelembe kell venni, hogy a különböző tengelyekre és pontokra számított tehetetlenségi nyomatékok nem összegezhetők.

Téglalaphoz

Egy körnek

A gyűrűért

Gyakorlati feladatok megoldása során gyakran meg kell határozni egy szakasz tehetetlenségi nyomatékait a síkjában különböző módon orientált tengelyekhez képest. Ebben az esetben célszerű a teljes szakasz (vagy egyes részei) más tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékainak már ismert értékeit használni, amelyeket a szakirodalom, a speciális referenciakönyvek és táblázatok, valamint a a rendelkezésre álló képletekkel számítjuk ki. Ezért nagyon fontos az azonos szakasz különböző tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai közötti kapcsolat megállapítása.

A legáltalánosabb esetben az átmenet bármely régi ahhoz Bármi új A koordinátarendszer a régi koordinátarendszer két egymást követő transzformációjának tekinthető:

1) által párhuzamos átvitel koordinálja a tengelyeket egy új pozícióba;

2) az új origóhoz viszonyított elforgatásával.

Következésképpen,

Ha a tengely xáthalad a szelvény súlypontján, majd a statikus nyomatékon S x= 0 és

A párhuzamos tengelyekre ható összes tehetetlenségi nyomaték közül a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték a legkisebb értékű a metszet súlypontján átmenő tengely körül.

A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték nál nél

Abban az esetben, ha a tengely / áthalad a szakasz súlypontján,

centrifugális tehetetlenségi nyomaték

Egy adott esetben, amikor a régi koordinátarendszer origója y0x a szakasz súlypontjában helyezkedik el,

Ha a metszet szimmetrikus és a régi tengelyek egyike (vagy mindkettő) egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor