A téglalap magassági tulajdonságai. Derékszögű háromszög

(ABC)és tulajdonságait, ami az ábrán látható. Derékszögű háromszög van egy hypotenusa - a szemközti oldal derékszög.

1. tipp: Hogyan találjuk meg a magasságot egy derékszögű háromszögben

A derékszöget bezáró oldalakat lábaknak nevezzük. Oldalrajz AD, DC és BD, DC- lábak és oldalak ACÉs SW- hipotenusz.

1. Tétel. Egy 30°-os szögű derékszögű háromszögben az ezzel a szöggel ellentétes láb a befogó felére szakad.

AB- hipotenúza;

HIRDETÉSÉs DB

Háromszög
Van egy tétel:
kommentelő rendszer CACKLE

Megoldás: 1) Bármely téglalap átlói egyenlőek Igaz 2) Ha egy háromszögben egy hegyesszög van, akkor ez a háromszög hegyesszögű. Nem igaz. A háromszögek típusai. Egy háromszöget hegyesszögűnek nevezünk, ha mindhárom szöge hegyesszögű, azaz kisebb, mint 90° 3) Ha a pont a következőre esik.

Vagy egy másik bejegyzésben

A Pitagorasz-tétel szerint

Mi a magasság egy derékszögű háromszög képletben

Derékszögű háromszög magassága

A hipotenuszra húzott derékszögű háromszög magassága a feladatmeghatározás adataitól függően így vagy úgy megkereshető.

Vagy egy másik bejegyzésben

Ahol BK és KC a lábak vetületei a hipotenuszon (azok a szegmensek, amelyekre a magasság felosztja a hipotenuszt).

A hipotenuszhoz húzott magasság egy derékszögű háromszög területén keresztül található. Ha alkalmazzuk a képletet a háromszög területének meghatározására

(egy oldal és az erre az oldalra húzott magasság szorzata) a befogóhoz és a befogóhoz húzott magassághoz kapjuk:

Innen a magasságot a háromszög területének kétszeresének és a befogó hosszának az arányaként kapjuk meg:

Mivel a derékszögű háromszög területe a lábak szorzatának fele:

Ez azt jelenti, hogy a hipotenuszhoz húzott magasság hossza megegyezik a lábak és a befogó szorzatának arányával. Ha a lábak hosszát a-n és b-n keresztül, a befogó hosszát c-ig jelöljük, akkor a képlet átírható:

Mivel a derékszögű háromszögre körülírt kör sugara megegyezik a befogó felével, ezért a magasság hosszát a szárak és a körülírt kör sugarával fejezhetjük ki:

Mivel a befogóhoz húzott magasság még két derékszögű háromszöget alkot, hossza a derékszögű háromszögben található arányokon keresztül található meg.

Az ABK derékszögű háromszögből

Derékszögű háromszögből ACK

A derékszögű háromszög magasságának hossza a lábak hosszával fejezhető ki. Mivel

A Pitagorasz-tétel szerint

Ha az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük:

Kaphat egy másik képletet a derékszögű háromszög magasságának a lábakhoz való viszonyítására:

Mi a magasság egy derékszögű háromszög képletben

Derékszögű háromszög. Átlagos szint.

Szeretné próbára tenni az erejét és megtudni az eredményt, mennyire készen áll az Egységes Államvizsgára vagy az OGE-re?

A fő derékszögű háromszög tétel a Pitagorasz-tétel.

Pitagorasz tétel

Egyébként jól emlékszel, hogy mi a láb és a hipotenusz? Ha nem, akkor nézze meg a képet - frissítse tudását

Lehetséges, hogy már sokszor használta a Pitagorasz-tételt, de elgondolkozott már azon, hogy miért igaz egy ilyen tétel? Hogyan bizonyítanád? Tegyünk úgy, mint az ókori görögök. Rajzoljunk egy négyzetet, amelynek oldala van.

Látod, milyen ravaszul osztottuk oldalait hosszúságú szegmensekre és!

Most kössük össze a megjelölt pontokat

Itt azonban mást is megjegyeztünk, de te magad nézd meg a képet, és gondold át, miért.

Mekkora a nagyobb négyzet területe? Jobb, . Mi a helyzet a kisebb területtel? Természetesen,. A négy sarok összterülete megmarad. Képzeld el, hogy vettünk belőlük kettőt, és hipotenusokkal dőltünk egymásnak. Mi történt? Két téglalap. Tehát a "dugványok" területe egyenlő.

Most rakjuk össze az egészet.

Meglátogattuk hát Pythagorast – ősi módon bebizonyítottuk tételét.

Derékszögű háromszög és trigonometria

Derékszögű háromszög esetén a következő összefüggések érvényesek:

A hegyesszög szinusza megegyezik az ellentétes láb és a hypotenus arányával

Egy hegyesszög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával.

Egy hegyesszög érintője megegyezik az ellenkező láb és a szomszédos láb arányával.

Egy hegyesszög kotangense egyenlő a szomszédos láb és a szemközti láb arányával.

És mindezt még egyszer tányér formájában:

Észrevettél egy nagyon hasznos dolgot? Nézze meg alaposan a tányért.

Nagyon kényelmes!

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei

II. Lábon és hypotenuson keresztül

III. Hipotenúza és hegyesszög szerint

IV. A láb és a hegyesszög mentén

Figyelem! Itt nagyon fontos, hogy a lábak "megfeleljenek". Például, ha ez így megy:

AKKOR A HÁROMSZÖGEK NEM EGYENLŐK, annak ellenére, hogy egy hegyesszögük azonos.

Kell Mindkét háromszögben a láb szomszédos volt, vagy mindkettőben - szemben.

Észrevetted, hogy a derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei miben térnek el a háromszögek szokásos egyenlőségének jeleitől? Vessen egy pillantást a „háromszög” témára, és figyeljen arra, hogy a „közönséges” háromszögek egyenlőségéhez szükség van három elemük egyenlőségére: két oldal és egy közöttük lévő szög, két szög és egy oldal közöttük, vagy három oldalról. De a derékszögű háromszögek egyenlőségéhez csak két megfelelő elem elegendő. Ez nagyszerű, igaz?

Körülbelül ugyanaz a helyzet a derékszögű háromszögek hasonlóságának jeleivel.

Derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei

III. Lábon és hypotenuson keresztül

Medián derékszögű háromszögben

Tekintsünk egy egész téglalapot derékszögű háromszög helyett.

Rajzoljon egy átlót, és vegye figyelembe az átlók metszéspontját. Mit kell tudni a téglalap átlóiról?

Az átlós metszéspont felezi Az átlók egyenlőek

És mi következik ebből?

Szóval ez történt

Emlékezz erre a tényre! Sokat segít!

Ami még meglepőbb, hogy fordítva is igaz.

Mi haszna származhat abból, hogy a befogóhoz húzott medián egyenlő a hipotenusz felével? Nézzük a képet

Nézd meg alaposan. Megvan: , vagyis a pont és a háromszög mindhárom csúcsa közötti távolság egyenlőnek bizonyult. De egy háromszögben csak egy pont van, a távolságok, amelyektől a háromszög körülbelül mindhárom csúcsa egyenlő, és ez a leírt KÖR KÖZÉPJE. Szóval mi történt?

Tehát kezdjük ezzel a „mellett. ".

De hasonló háromszögekben minden szög egyenlő!

Ugyanez elmondható az és

Most rajzoljuk le együtt:

Mindkettőnek ugyanolyan éles sarkai vannak!

Mi haszna származhat ebből a "hármas" hasonlóságból.

Hát például... Két képlet egy derékszögű háromszög magasságára.

Felírjuk a megfelelő felek kapcsolatait:

A magasság meghatározásához megoldjuk az arányt és megkapjuk Az első képlet "Magasság derékszögű háromszögben":

Hogyan szerezz be egy másodikat?

És most alkalmazzuk a háromszögek hasonlóságát és.

Tehát alkalmazzuk a hasonlóságot: .

Mi lesz most?

Ismét megoldjuk az arányt, és megkapjuk a második képletet "Magasság derékszögű háromszögben":

Mindkét képletet nagyon jól meg kell jegyezni, és azt, amelyik kényelmesebben alkalmazható. Írjuk le őket újra.

Nos, most ezt a tudást alkalmazva és másokkal kombinálva bármilyen problémát megold a derékszögű háromszöggel!

Hozzászólások

Az anyagok jóváhagyás nélküli terjesztése megengedett, ha van egy dofollow link a forrásoldalra.

Adatvédelmi irányelvek

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek egy adott személy azonosítására vagy a vele való kapcsolatfelvételre használhatók.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban néhány példát mutatunk be arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

Személyes adat

Egy derékszögű háromszög magassági tulajdonsága a hipotenuszra esett

Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

kormányzati szervek

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Köszönöm az üzenetet!

Hozzászólásodat elfogadtuk, moderálás után ezen az oldalon tesszük közzé.

Szeretné tudni, mi rejtőzik a vágás alatt, és exkluzív anyagokat szeretne kapni az OGE-re és a USE-ra való felkészüléshez? Hagyj egy e-mailt

Derékszögű háromszög tulajdonságai

Tekintsünk egy derékszögű háromszöget (ABC)és tulajdonságait, ami az ábrán látható. A derékszögű háromszögnek van egy befogója, a derékszöggel ellentétes oldal. A derékszöget bezáró oldalakat lábaknak nevezzük. Oldalrajz AD, DC és BD, DC- lábak és oldalak ACÉs SW- hipotenusz.

A derékszögű háromszög egyenlőségének jelei:

1. Tétel. Ha egy derékszögű háromszög befogója és szára hasonló egy másik háromszög befogójához és szárához, akkor az ilyen háromszögek egyenlőek.

2. Tétel. Ha egy derékszögű háromszög két szára egyenlő egy másik háromszög két szára, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

3. Tétel. Ha egy derékszögű háromszög befogója és hegyesszöge hasonló egy másik háromszög befogójához és hegyesszögéhez, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

4. Tétel. Ha egy derékszögű háromszög szára és szomszédos (szemközti) hegyesszöge egyenlő egy másik háromszög szárával és szomszédos (szemközti) hegyesszögével, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

A 30°-os szöggel ellentétes láb tulajdonságai:

1. tétel.

Magasság derékszögű háromszögben

Egy 30°-os szögű derékszögű háromszögben az ezzel a szöggel ellentétes láb a befogó felére szakad.

2. Tétel. Ha egy derékszögű háromszögben a szár egyenlő a befogó felével, akkor a szemközti szög 30°.

Ha a magasságot a derékszög csúcsától a hipotenuszhoz húzzuk, akkor egy ilyen háromszöget két kisebbre osztunk, amelyek hasonlóak a kimenőhöz és hasonlóak a másikhoz. Ebből a következő következtetések következnek:

A magasság a két hipotenuszszakasz geometriai átlaga (arányos átlag).
A háromszög minden szára a hipotenusszal és a szomszédos szakaszokkal arányos átlag.

Egy derékszögű háromszögben a lábak magasságként működnek. Az ortocentrum az a pont, ahol a háromszög magasságai metszik egymást. Egybeesik az ábra derékszögének tetejével.

hC- a háromszög derékszögéből kilépő magasság;

AB- hipotenúza;

HIRDETÉSÉs DB- a szegmensek, amelyek a hipotenúza magassággal való osztásakor keletkeztek.

Vissza a "Geometria" tudományág referenciáihoz

Háromszög- ezt geometriai alakzat, amely három pontból (csúcsból) áll, amelyek nem ugyanazon az egyenesen vannak, és három, ezeket a pontokat összekötő szakaszból. A derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek a 90°-os szögeinek egyike van (derékszög).
Van egy tétel: egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege 90°.
kommentelő rendszer CACKLE

Kulcsszavak: háromszög, téglalap, láb, hipotenusz, Pitagorasz-tétel, kör

Háromszög hívott négyszögletes ha van derékszöge.
Egy derékszögű háromszögnek két egymásra merőleges oldala van, ún lábak; a harmadik oldalt hívják átfogó.

A merőleges és ferde hipotenusz tulajdonságai szerint mindegyik láb hosszabb (de kisebb, mint az összegük).
Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének összege egyenlő a derékszöggel.
Egy derékszögű háromszög két magassága egybeesik a lábaival. Ezért a négy figyelemre méltó pont egyike a háromszög derékszögének csúcsaira esik.
A derékszögű háromszög körülírt körének középpontja a befogó felezőpontjában található.
A derékszög csúcsából a hipotenuszra húzott derékszögű háromszög mediánja a háromszögre körülírt kör sugara.

Tekintsünk egy tetszőleges ABC derékszögű háromszöget, és annak derékszögének C csúcsából rajzoljunk CD = hc magasságot.

Az adott háromszöget két derékszögű háromszögre osztja, ACD és BCD; mindegyik háromszögnek közös hegyesszöge van az ABC háromszöggel, ezért hasonló az ABC háromszöghöz.

Mindhárom háromszög ABC, ACD és BCD hasonló egymáshoz.

A háromszögek hasonlóságából a következő összefüggéseket határozzuk meg:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagorasz tétel Az euklideszi geometria egyik alaptétele, amely a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot megállapítja.

Geometriai megfogalmazás. Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területeinek összegével.

Algebrai megfogalmazás. Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.
Ez azt jelenti, hogy jelöljük a háromszög befogójának hosszát c-n keresztül, valamint a lábak hosszát a-n és b-n keresztül:
a2 + b2 = c2

Az inverz Pitagorasz-tétel.

Derékszögű háromszög magassága

Minden triónak pozitív számok a, b és c úgy, hogy
a2 + b2 = c2,
van egy derékszögű háromszög, amelynek a és b lábai és c hipotenusza van.

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

a láb és a hypotenus mentén;
két lábon;
a láb és a hegyesszög mentén;
hipotenúza és hegyesszög.

Lásd még:
Háromszög területe, egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög

Geometria. 8 Osztály. Teszt 4. választási lehetőség 1 .

HIRDETÉS : CD=CD : B.D. Ezért CD2 = AD ∙ B.D. Azt mondják:

HIRDETÉS : AC=AC : AB. Ezért AC2 = AB ∙ HIRDETÉS. Azt mondják:

BD : BC=BC : AB. Ezért BC2 = AB ∙ B.D.

Problémákat megoldani:

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. A befogóhoz húzott derékszögű háromszög magassága a befogót 9-es és 36-os szakaszokra osztja.

Határozza meg ennek a magasságnak a hosszát.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

8. Egy derékszögű háromszög lába 30.

Hogyan lehet megtalálni a magasságot egy derékszögű háromszögben?

Határozza meg a derékszög csúcsától a befogóig terjedő távolságot, ha a háromszögre körülírt kör sugara 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Ellenőrizze a válaszokat!

D8.04.1. Arányos szakaszok derékszögű háromszögben

Geometria. 8 Osztály. Teszt 4. választási lehetőség 1 .

A Δ ABC ∠ACV = 90°. AC és BC lábak, AB hipotenúza.

A CD a háromszögnek a hipotenuszhoz húzott magassága.

Az AC láb AD vetülete a hipotenuszon,

A BC láb BD vetülete a hypotenusára.

Az Altitude CD az ABC háromszöget két hozzá (és egymáshoz) hasonló háromszögre osztja: Δ ADC és Δ CDB.

A hasonló Δ ADC és Δ CDB oldalainak arányosságából következik:

HIRDETÉS : CD=CD : B.D.

Egy derékszögű háromszög magasságának tulajdonsága a hipotenuszra esett.

Ezért CD2 = AD ∙ B.D. Azt mondják: a befogóhoz húzott derékszögű háromszög magassága,az átlagos arányos érték a lábak hipotenuszon lévő vetületei között.

A Δ ADC és Δ ACB hasonlóságából az következik:

HIRDETÉS : AC=AC : AB. Ezért AC2 = AB ∙ HIRDETÉS. Azt mondják: mindegyik láb a teljes hipotenusz és ennek a lábnak a hipotenuszra való vetülete közötti átlagos arányos érték.

Hasonlóképpen, Δ CDB és Δ ACB hasonlóságából az következik:

BD : BC=BC : AB. Ezért BC2 = AB ∙ B.D.

Problémákat megoldani:

1. Határozza meg a befogóhoz húzott derékszögű háromszög magasságát, ha a befogót 25 cm-es és 81 cm-es szakaszokra osztja.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. A befogóhoz húzott derékszögű háromszög magassága a befogót 9 és 36 szakaszokra osztja. Határozza meg ennek a magasságnak a hosszát!

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. A befogóhoz húzott derékszögű háromszög magassága 22, az egyik láb vetülete 16. Határozza meg a másik láb vetületét!

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. Egy derékszögű háromszög szára 18, vetülete a befogóra 12. Keresse meg a befogót!

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. A hipotenusz 32. Keresse meg azt a lábat, amelynek a hipotenuszra való vetülete 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Egy derékszögű háromszög befogója 45. Keresse meg azt a szárat, amelynek a befogó vetülete 9.

8. Egy derékszögű háromszög szára 30. Határozza meg a derékszög csúcsától a befogóig terjedő távolságot, ha a háromszögre körülírt kör sugara 17!

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Egy derékszögű háromszög befogója 41, az egyik szár vetülete 16. Határozza meg a derékszög csúcsától a befogóig húzott magasság hosszát!

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. A lábak vetületei közötti különbség a befogóra 15, a derékszög csúcsától a befogóhoz mért távolság pedig 4. Határozza meg a körülírt kör sugarát!

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Háromszögek.

Alapfogalmak.

Háromszög- ez egy három szakaszból és három pontból álló ábra, amelyek nem egy egyenesen fekszenek.

A szegmenseket ún a felek, és a pontok csúcsok.

Szögek összege háromszög egyenlő 180 º.

A háromszög magassága.

Háromszög magasság egy csúcsból az ellenkező oldalra húzott merőleges.

Egy hegyesszögű háromszögben a magasság a háromszög belsejében van (1. ábra).

Egy derékszögű háromszögben a lábak a háromszög magasságai (2. ábra).

Egy tompa háromszögben a magasság a háromszögön kívül esik (3. ábra).

A háromszög magassági tulajdonságai:

Egy háromszög felezőpontja.

Egy háromszög felezőpontja- ez egy szegmens, amely a csúcs sarkát kettévágja, és összeköti a csúcsot a szemközti oldalon lévő ponttal (5. ábra).

Felező tulajdonságok:

Egy háromszög mediánja.

Háromszög medián- ez egy szakasz, amely összeköti a csúcsot a szemközti oldal közepével (9a. ábra).

A medián hossza a következő képlettel számítható ki:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

ahol m a- oldalra húzott medián de.

Egy derékszögű háromszögben a befogóhoz húzott medián a befogó fele:

c
mc = —
2

ahol mc a hipotenuszhoz húzott medián c(9c. ábra)

A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást (a háromszög tömegközéppontjában), és felülről számolva 2:1 arányban osztják el ezzel a ponttal. Vagyis a csúcstól a középpontig tartó szakasz kétszerese a háromszög középpontjától oldaláig terjedő szakasznak (9c. ábra).

A háromszög három mediánja hat egyenlő területű háromszögre osztja.

A háromszög középső vonala.

A háromszög középvonala- ez a két oldalának felezőpontját összekötő szakasz (10. ábra).

A háromszög középvonala párhuzamos a harmadik oldallal, és egyenlő annak felével.

A háromszög külső sarka.

külső sarok háromszög egyenlő két nem szomszédos belső szög összegével (11. ábra).

A háromszög külső szöge nagyobb, mint bármely nem szomszédos szög.

Derékszögű háromszög.

Derékszögű háromszög- ez egy derékszögű háromszög (12. ábra).

A derékszögű háromszög derékszöggel ellentétes oldalát ún átfogó.

A másik két oldalt ún lábak.

Arányos szakaszok derékszögű háromszögben.

1) Egy derékszögű háromszögben a derékszögből húzott magasság három hasonló háromszöget alkot: ABC, ACH és HCB (14a. ábra). Ennek megfelelően a magasság által alkotott szögek egyenlőek az A és B szögekkel.

14a ábra

Egyenlő szárú háromszög.

Egyenlő szárú háromszög- ez egy háromszög, amelynek két oldala egyenlő (13. ábra).

Ezek egyenlő oldalak hívott oldalain, és a harmadik alapon háromszög.

BAN BEN egyenlő szárú háromszög az alapszögek egyenlőek. (A mi háromszögünkben az A szög egyenlő a C szöggel).

Egy egyenlő szárú háromszögben az alaphoz húzott medián a háromszög felezője és magassága is.

Egyenlő oldalú háromszög.

Az egyenlő oldalú háromszög olyan háromszög, amelynek minden oldala egyenlő (14. ábra).

Az egyenlő oldalú háromszög tulajdonságai:

A háromszögek figyelemre méltó tulajdonságai.

A háromszögek eredeti tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek segítenek sikeresen megoldani az ezekkel az alakzatokkal kapcsolatos problémákat. E tulajdonságok közül néhányat fentebb ismertetünk. De ismételjük őket, és néhány további nagyszerű funkciót adunk hozzájuk:

1) Egy 90º, 30º és 60º szögű derékszögű háromszögben a láb b, amely a 30°-os szöggel szemben fekszik, egyenlő a hypotenus fele. Egy lába több lább√3-szor (15. ábra de). Például, ha b lába 5, akkor a hipotenúza c szükségszerűen egyenlő 10, és a láb de egyenlő 5√3.

2) Egy derékszögű egyenlő szárú háromszögben, amelynek szöge 90º, 45º és 45º, a befogó √2-szerese a lábnak (15. ábra). b). Például, ha a lábak 5, akkor a hipotenúza 5√2.

3) A háromszög középvonala egyenlő a párhuzamos oldal felével (15. ábra). tól től). Például, ha egy háromszög oldala 10, akkor vele párhuzamos középső vonal egyenlő 5-tel.

4) Egy derékszögű háromszögben a befogóhoz húzott medián egyenlő a befogó felével (9c. ábra): mc= c/2.

5) Az egy pontban metsző háromszög mediánjait elosztjuk ezzel a ponttal 2:1 arányban. Vagyis a csúcstól a mediánok metszéspontjáig tartó szakasz kétszerese a mediánok metszéspontjától a háromszög oldaláig terjedő szakasznak (9c. ábra).

6) Derékszögű háromszögben a befogó felezőpontja a körülírt kör középpontja (15. ábra). d).

A háromszögek egyenlőségének jelei.

Az egyenlőség első jele: Ha az egyik háromszög két oldala és a köztük lévő szög egyenlő egy másik háromszög két oldalával és a köztük lévő szöggel, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

Az egyenlőség második jele: ha az egyik háromszög oldala és a vele szomszédos szögei egyenlők egy másik háromszög oldalával és a vele szomszédos szögekkel, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

Az egyenlőség harmadik jele: Ha egy háromszög három oldala egyenlő egy másik háromszög három oldalával, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak.

Háromszög egyenlőtlenség.

Bármely háromszögben minden oldal kisebb, mint a másik két oldal összege.

Pitagorasz tétel.

Egy derékszögű háromszögben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével:

c 2 = a 2 + b 2 .

Egy háromszög területe.

1) Egy háromszög területe egyenlő az oldala és az oldalra húzott magasság szorzatának felével:

Ah
S = ——
2

2) Egy háromszög területe bármely két oldala és a közöttük lévő szög szinuszának a fele:

1
S = — AB · AC · bűn A
2

Egy kör körül körülírt háromszög.

Egy kört háromszögbe írtnak nevezünk, ha minden oldalát érinti (16. ábra). de).

Körbe írt háromszög.

Egy háromszöget körbe írtnak nevezünk, ha minden csúcsával érinti (17. ábra). a).

Derékszögű háromszög hegyesszögének szinusz, koszinusz, érintő, kotangens (18. ábra).

Sinus hegyesszög x szemben katéter a hypotenushoz.
Jelölve így: bűnx.

Koszinusz hegyesszög x derékszögű háromszög az arány szomszédos katéter a hypotenushoz.
Jelölése a következő: cos x.

Tangens hegyesszög x az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya.
Jelölve így: tgx.

Kotangens hegyesszög x a szomszédos láb és az ellenkező láb aránya.
Jelölése így: ctgx.

Szabályok:

Láb ellentétes sarokkal x, egyenlő a hypotenus és a sin szorzatával x:

b=c bűn x

Láb a sarokkal szomszédos x, egyenlő a hipotenúza és a cos szorzatával x:

a = c kötözősaláta x

Láb ellentétes sarokkal x, egyenlő a második láb és a tg szorzatával x:

b = a tg x

Láb a sarokkal szomszédos x, egyenlő a második láb és a ctg szorzatával x:

a = b ctg x.

Bármilyen hegyesszöghez x:

bűn (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = bűn x

Derékszögű háromszög olyan háromszög, amelyben az egyik szög derékszögű, azaz egyenlő 90 fokkal.

A derékszöggel ellentétes oldalt hipotenusznak nevezzük. c vagy AB)
A derékszöggel szomszédos oldalt lábnak nevezzük. Minden derékszögű háromszögnek két lába van (a jelöléssel: aés b vagy AC és BC)

Derékszögű háromszög képletei és tulajdonságai

A képlet megnevezései:

(lásd a fenti képet)

a, b- derékszögű háromszög lábai

c- hipotenusz

α, β - háromszög hegyesszögei

S- terület

h- a derékszög csúcsától a hipotenuszig leesett magasság

m a a a szemközti sarokból ( α )

m b- oldalra húzott medián b a szemközti sarokból ( β )

mc- oldalra húzott medián c a szemközti sarokból ( γ )

BAN BEN derékszögű háromszög bármelyik láb kisebb, mint a hypotenusa(Forma 1 és 2). Ez a tulajdonság a Pitagorasz-tétel következménye.

Bármely hegyesszög koszinusza egynél kevesebb (Formula 3 és 4). Ez a tulajdonság az előzőből következik. Mivel bármelyik láb kisebb, mint a hypotenus, a láb és az alsó rész aránya mindig kisebb egynél.

A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével (a Pitagorasz-tétel). (Formula 5). Ezt a tulajdonságot folyamatosan használják a problémák megoldására.

Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a lábak szorzatának felével (Formula 6)

A mediánok négyzetének összege a lábakhoz egyenlő a hipotenusz mediánjának öt négyzete és a befogófelület öt négyzete osztva néggyel (7. képlet). A fentieken kívül ott Még 5 képlet, ezért javasoljuk, hogy ismerkedjen meg a " Derékszögű háromszög mediánja" című leckével is, amely részletesebben leírja a medián tulajdonságait.

Magasság egy derékszögű háromszög egyenlő a lábak szorzatával osztva a hipotenuzszal (8. képlet)

A lábak négyzetei fordítottan arányosak a hipotenúzusra esett magasság négyzetével (9. képlet). Ez az azonosság a Pitagorasz-tétel egyik következménye is.

A hipotenusz hossza egyenlő a körülírt kör átmérőjével (két sugara) (10. képlet). Derékszögű háromszög hipoténusza a körülírt kör átmérője. Ezt a tulajdonságot gyakran használják problémamegoldásban.

Beírt sugár ban ben derékszögű háromszög körökben a kifejezés feleként található, amely tartalmazza e háromszög szárainak összegét mínusz a befogó hossza. Vagy mint a lábak szorzata osztva egy adott háromszög összes oldalának (kerületének) összegével. (Forma 11)
Szög szinusza szemben ezt a sarkot láb a hypotenusához(a szinusz definíciója szerint). (Formula 12). Ezt a tulajdonságot a problémák megoldására használják. Az oldalak méreteinek ismeretében megtalálhatja a bezárt szöget.

Az A (α, alfa) szög koszinusza egy derékszögű háromszögben egyenlő lesz kapcsolat szomszédos ezt a sarkot láb a hypotenusához(a szinusz definíciója szerint). (Forma 13)

Tulajdonság: 1. Bármely derékszögű háromszögben a derékszögből (az hipotenuszhoz) csökkentett magasság a derékszögű háromszöget három hasonló háromszögre osztja.

Ingatlan: 2. Egy derékszögű háromszögnek a hipotenuszra esett magassága egyenlő az átlaggal geometriai vetületek lábak a hipotenuzon (vagy azoknak a szegmenseknek a geometriai átlaga, amelyekre a magasság felosztja a hipotenuszt).

Ingatlan: 3. A láb egyenlő a befogónyílás geometriai átlagával és ennek a lábnak a hipotenuszra való vetületével.

Ingatlan: 4. A láb 30 fokos szöggel szemben egyenlő a hipotenúza felével.

Forma-1.

Forma 2. hol van a hypotenusa; , korcsolya.

Ingatlan: 5. Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszhoz húzott medián egyenlő annak felével és egyenlő a körülírt kör sugarával.

Tulajdonság: 6. Egy derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti függés:

44. Koszinusz tétel. Következmények: a paralelogramma átlóinak és oldalainak kapcsolata; a háromszög típusának meghatározása; képlet a háromszög mediánjának hosszának kiszámításához; a háromszög szögének koszinuszának kiszámítása.

Munka vége -

Ez a téma a következőkhöz tartozik:

Osztály. A Planimetria Alapismeretei Kollokvium Programja

A szomszédos szögek tulajdonsága.. két szög definíciója szomszédos, ha az egyik oldaluk közös a másik kettőben egy egyenest alkot.

Ha további anyagra van szüksége ebben a témában, vagy nem találta meg, amit keresett, javasoljuk, hogy használja a munkaadatbázisunkban található keresést:

Mit csinálunk a kapott anyaggal:

Ha ez az anyag hasznosnak bizonyult az Ön számára, elmentheti az oldalára a közösségi hálózatokon:

Valójában egyáltalán nem minden olyan félelmetes. Természetesen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens "igazi" definícióját érdemes megnézni a cikkben. De tényleg nem akarod, igaz? Örülhetünk: a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák megoldásához egyszerűen töltse ki a következő egyszerű dolgokat:

Mi a helyzet a szöggel? Van-e olyan láb, amely a sarokkal szemben van, vagyis a másik láb (a sarok számára)? Természetesen van! Ez egy katéta!

De mi a helyzet a szöggel? Nézd meg alaposan. Melyik láb szomszédos a sarokkal? Természetesen a macska. Tehát a szögnél a láb szomszédos, és

És most figyelem! Nézd, mit kaptunk:

Nézze meg, milyen nagyszerű:

Most térjünk át az érintőre és a kotangensre.

Hogyan kell ezt most szavakba önteni? Milyen a láb a sarokhoz képest? Természetesen szemben - a sarokkal szemben "fekszik". És a katét? A sarokkal szomszédos. Szóval mit kaptunk?

Látod, hogyan cserélődik fel a számláló és a nevező?

És most megint a sarkok és a csere:

Összegzés

Röviden írjuk le, mit tanultunk.

Pitagorasz tétel:

A fő derékszögű háromszög tétel a Pitagorasz-tétel.

Pitagorasz tétel

Egyébként jól emlékszel, hogy mi a láb és a hipotenusz? Ha nem, akkor nézze meg a képet - frissítse tudását

Látod, milyen ravaszul osztottuk oldalait hosszúságú szegmensekre és!

Most kössük össze a megjelölt pontokat

Itt azonban mást is megjegyeztünk, de te magad nézd meg a képet, és gondold át, miért.

Mekkora a nagyobb négyzet területe?

Jobb, .

Mi a helyzet a kisebb területtel?

Természetesen,.

A négy sarok összterülete megmarad. Képzeld el, hogy vettünk belőlük kettőt, és hipotenusokkal dőltünk egymásnak.

Mi történt? Két téglalap. Tehát a "dugványok" területe egyenlő.

Most rakjuk össze az egészet.

Alakítsuk át:

Meglátogattuk hát Pythagorast – ősi módon bebizonyítottuk tételét.

Derékszögű háromszög és trigonometria

Derékszögű háromszög esetén a következő összefüggések érvényesek:

A hegyesszög szinusza megegyezik az ellentétes láb és a hypotenus arányával

Egy hegyesszög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával.

Egy hegyesszög érintője megegyezik az ellenkező láb és a szomszédos láb arányával.

Egy hegyesszög kotangense egyenlő a szomszédos láb és a szemközti láb arányával.

És mindezt még egyszer tányér formájában:

Nagyon kényelmes!

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei

I. Két lábon

II. Lábon és hypotenuson keresztül

III. Hipotenúza és hegyesszög szerint

IV. A láb és a hegyesszög mentén

Figyelem! Itt nagyon fontos, hogy a lábak "megfeleljenek". Például, ha ez így megy:

AKKOR A HÁROMSZÖGEK NEM EGYENLŐK, annak ellenére, hogy egy hegyesszögük azonos.

Kell mindkét háromszögben a láb szomszédos volt, vagy mindkettőben - szemben.

Észrevetted, hogy a derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei miben térnek el a háromszögek szokásos egyenlőségének jeleitől?

Nézze meg a témát, és figyeljen arra, hogy a „közönséges” háromszögek egyenlőségéhez szükség van három elemük egyenlőségére: két oldal és egy közöttük lévő szög, két szög és egy oldal, vagy három oldal.

De a derékszögű háromszögek egyenlőségéhez csak két megfelelő elem elegendő. Ez nagyszerű, igaz?

Körülbelül ugyanaz a helyzet a derékszögű háromszögek hasonlóságának jeleivel.

Derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei

I. Akut sarok

II. Két lábon

III. Lábon és hypotenuson keresztül

Medián derékszögű háromszögben

Miért van így?

Tekintsünk egy egész téglalapot derékszögű háromszög helyett.

Rajzoljunk egy átlót, és vegyünk egy pontot - az átlók metszéspontját. Mit kell tudni a téglalap átlóiról?

És mi következik ebből?

Szóval ez történt

- medián:

Emlékezz erre a tényre! Sokat segít!

Ami még meglepőbb, hogy fordítva is igaz.

Mi haszna származhat abból, hogy a befogóhoz húzott medián egyenlő a hipotenusz felével? Nézzük a képet

Kezdjük tehát ezzel a "ráadásul...".

Nézzük az i-t.

De hasonló háromszögekben minden szög egyenlő!

Ugyanez elmondható az és

Most rajzoljuk le együtt:

Mi haszna származhat ebből a "hármas" hasonlóságból.

Hát például... két képlet egy derékszögű háromszög magasságára.

Felírjuk a megfelelő felek kapcsolatait:

A magasság meghatározásához megoldjuk az arányt és megkapjuk első képlet "Magasság derékszögű háromszögben":

Nos, most ezt a tudást alkalmazva és másokkal kombinálva bármilyen problémát megold a derékszögű háromszöggel!

Tehát alkalmazzuk a hasonlóságot: .

Mi lesz most?

Ismét megoldjuk az arányt, és megkapjuk a második képletet:

Mindkét képletet nagyon jól meg kell jegyezni, és azt, amelyik kényelmesebben alkalmazható.

Írjuk le őket újra.

Pitagorasz tétel:

Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével:.

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

két lábon:
a lábszár és a hypotenusa mentén: ill
a lábszár és a szomszédos hegyesszög mentén: vagy
a lábszár mentén és az ellentétes hegyesszögben: vagy
hipotenúza és hegyesszög szerint: vagy.

A derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei:

egy éles sarok: vagy
a két láb arányosságából:
a láb és a hipotenus arányosságától: ill.

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens derékszögű háromszögben

Egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti láb és a hipotenusz aránya:
A derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza a szomszédos láb és az alsó rész aránya:
Egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti láb és a szomszédos láb aránya:
Egy derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense a szomszédos láb és az ellentét aránya:.

Derékszögű háromszög magassága: vagy.

Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából húzott medián egyenlő a befogó felével: .

Egy derékszögű háromszög területe:

a katétereken keresztül: