Meghatározás. Ha két egyenest adunk y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 , akkor ezen egyenesek hegyesszöge a következőképpen lesz meghatározva

Két egyenes párhuzamos, ha k 1 = k 2 . Két egyenes merőleges, ha k 1 = -1/ k 2 .

Tétel. Az Ax + Vy + C \u003d 0 és A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 egyenesek párhuzamosak, ha az A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB együtthatók arányosak. Ha С 1 = λС is, akkor a vonalak egybeesnek. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit ezen egyenesek egyenletrendszerének megoldásaként találjuk meg.

Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete

Erre az egyenesre merőlegesen

Meghatározás. Az M 1 (x 1, y 1) ponton átmenő és az y \u003d kx + b egyenesre merőleges egyenest a következő egyenlet ábrázolja:

Távolság ponttól vonalig

Tétel. Ha adott egy M(x 0, y 0) pont, akkor az Ax + Vy + C \u003d 0 egyenes távolságát a következőképpen határozzuk meg:

.

Bizonyíték. Legyen az M 1 (x 1, y 1) pont az M pontból az adott egyenesre ejtett merőleges alapja. Ekkor az M és M 1 pontok közötti távolság:

(1)

Az x 1 és y 1 koordináták az egyenletrendszer megoldásaként találhatók:

A rendszer második egyenlete egy adott M 0 ponton átmenő egyenes egyenlete, amely merőleges egy adott egyenesre. Ha a rendszer első egyenletét alakra alakítjuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 + C = 0,

majd megoldva a következőket kapjuk:

Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az (1) egyenletbe, azt kapjuk, hogy:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Határozza meg a vonalak közötti szöget: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Példa. Mutassuk meg, hogy a 3x - 5y + 7 = 0 és a 10x + 6y - 3 = 0 egyenesek merőlegesek.

Megoldás. Megtaláljuk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, ezért a vonalak merőlegesek.

Példa. Az A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) háromszög csúcsai adottak. Határozzuk meg a C csúcsból húzott magasság egyenletét!

Megoldás. Megtaláljuk az AB oldal egyenletét: ; 4 x = 6 y-6;

2x – 3 év + 3 = 0;

A kívánt magassági egyenlet: Ax + By + C = 0 vagy y = kx + b. k = . Ekkor y = . Mivel a magasság áthalad a C ponton, akkor a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: ahonnan b = 17. Összesen: .

Válasz: 3x + 2y - 34 = 0.

Adott ponton adott irányban átmenő egyenes egyenlete. Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete. Szög két vonal között. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása

1. Egy adott ponton átmenő egyenes egyenlete A(x 1 , y 1) adott irányban, amelyet a lejtő határozza meg k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ez az egyenlet egy ponton áthaladó vonalak ceruzáját határozza meg A(x 1 , y 1), amelyet a sugár középpontjának nevezünk.

2. Két ponton átmenő egyenes egyenlete: A(x 1 , y 1) és B(x 2 , y 2) így van leírva:

Két adott ponton áthaladó egyenes meredekségét a képlet határozza meg

3. Szög egyenesek között AÉs B az a szög, amellyel az első egyenest el kell forgatni A ezen vonalak metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban, amíg egybe nem esik a második vonallal B. Ha két egyenest meredekségi egyenletekkel adunk meg

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

akkor a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

Meg kell jegyezni, hogy a tört számlálójában az első egyenes meredekségét kivonjuk a második egyenes meredekségéből.

Ha egy egyenes egyenleteit általános formában adjuk meg

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

a köztük lévő szöget a képlet határozza meg

4. Két egyenes párhuzamosságának feltételei:

a) Ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele a meredekségük egyenlősége:

k 1 = k 2 . (8)

b) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (6) általános formájú egyenletek adják meg, párhuzamosságuk szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenleteikben a megfelelő áramkoordinátákon lévő együtthatók arányosak legyenek, azaz.

5. Két egyenes merőlegességének feltételei:

a) Abban az esetben, ha az egyeneseket a (4) egyenletek meredekséggel adják meg, akkor a merőlegességük szükséges és elégséges feltétele, hogy meredekségeik reciprok nagyságúak és ellentétes előjelűek, azaz.

Ez a feltétel az űrlapba is beírható

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ha az egyenesek egyenletei általános formában (6) vannak megadva, akkor merőlegességük (szükséges és elégséges) feltétele az egyenlőség teljesülése

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Két egyenes metszéspontjának koordinátáit a (6) egyenletrendszer megoldásával találjuk meg. A (6) vonalak akkor és csak akkor metszik egymást

1. Írja fel az M ponton átmenő egyenesek egyenleteit, amelyek közül az egyik párhuzamos, a másik merőleges az adott l egyenesre!

Minden matematika vizsgára készülő diák számára hasznos lesz, ha megismétli a „Vonalok közötti szög keresése” témát. Amint a statisztikák azt mutatják, a tanúsítási teszt sikeres letételekor a sztereometria ezen szakaszában található feladatok nagyszámú diák számára nehézséget okoznak. Ugyanakkor az egyenesek közötti szög megállapítását igénylő feladatok az USE-ban megtalálhatók mind alap-, mind profilszinten. Ez azt jelenti, hogy ezeket mindenkinek meg kell tudnia oldani.

Alapvető pillanatok

A vonalak térbeli kölcsönös elrendezésének 4 fajtája létezik. Egybeeshetnek, metszhetik egymást, lehetnek párhuzamosak vagy metszőek. A köztük lévő szög lehet hegyes vagy egyenes.

Az egységes államvizsgán vagy például a megoldásban a vonalak közötti szög megtalálásához a moszkvai és más városok iskolásai többféle módszert használhatnak a sztereometria ezen szakaszában a problémák megoldására. A feladatot klasszikus konstrukciókkal oldhatja meg. Ehhez érdemes elsajátítani a sztereometria alapvető axiómáit, tételeit. A tanulónak képesnek kell lennie logikus érvelés felépítésére és rajzok készítésére annak érdekében, hogy a feladatot egy planimetrikus feladathoz hozzák.

Használhatja a vektor-koordináta módszert is, egyszerű képletekkel, szabályokkal és algoritmusokkal. Ebben az esetben a legfontosabb az összes számítás helyes végrehajtása. A Shkolkovo oktatási projekt segít abban, hogy tökéletesítse készségeit a sztereometriai problémák megoldásában és az iskolai tanfolyam egyéb szakaszaiban.

Ezt az anyagot egy olyan koncepciónak szentelték, mint a két egymást metsző egyenes közötti szög. Az első bekezdésben elmagyarázzuk, mi ez, és illusztrációkon mutatjuk be. Ezután elemezzük, hogyan találhatja meg ennek a szögnek a szinuszát, koszinuszát és magát a szöget (külön megvizsgáljuk a sík és a háromdimenziós tér eseteit), megadjuk a szükséges képleteket, és példákkal bemutatjuk, hogyan alkalmazzák őket pontosan. gyakorlatban.

Ahhoz, hogy megértsük, mi a két egyenes metszéspontjában kialakult szög, fel kell idéznünk a szög, a merőlegesség és a metszéspont definícióját.

1. definíció

Két egyenest metszőnek nevezünk, ha van egy közös pontjuk. Ezt a pontot a két egyenes metszéspontjának nevezzük.

Az egyes egyeneseket a metszéspont sugarakra osztja. Ebben az esetben mindkét vonal 4 szöget alkot, amelyek közül kettő függőleges, kettő pedig szomszédos. Ha ismerjük az egyik mértékét, akkor meg tudjuk határozni a többit is.

Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy az egyik szög egyenlő α-val. Ebben az esetben a vele függőleges szög is egyenlő lesz α-val. A fennmaradó szögek meghatározásához ki kell számítanunk a 180 ° - α különbséget. Ha α egyenlő 90 fokkal, akkor minden szög megfelelő lesz. A derékszögben metsző egyeneseket merőlegesnek nevezzük (a merőlegesség fogalmának külön cikket szentelünk).

Nézzétek meg a képet:

Folytassuk a fő definíció megfogalmazásával.

2. definíció

A két egymást metsző egyenes által alkotott szög a két egyenest alkotó négy szög közül a kisebbik mértéke.

A definícióból le kell vonni egy fontos következtetést: a szög nagyságát ebben az esetben a (0, 90] intervallum bármely valós számával fejezzük ki. Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a köztük lévő szög mindenképpen 90 fokkal egyenlő.

Az a képesség, hogy megtaláljuk a két metsző egyenes közötti szög mértékét, számos gyakorlati probléma megoldásához hasznos. A megoldási mód több lehetőség közül választható.

Kezdetnek vegyünk geometriai módszereket. Ha tudunk valamit a további szögekről, akkor az egyenlő vagy hasonló alakzatok tulajdonságait felhasználva össze tudjuk kötni a szükséges szöggel. Például, ha ismerjük egy háromszög oldalait, és ki kell számítanunk azon egyenesek közötti szöget, amelyeken ezek az oldalak találhatók, akkor a koszinusztétel alkalmas a megoldásra. Ha a feltételben derékszögű háromszögünk van, akkor a számításokhoz ismernünk kell a szög szinuszát, koszinuszát és érintőjét is.

A koordináta-módszer nagyon kényelmes az ilyen típusú problémák megoldására is. Elmagyarázzuk, hogyan kell helyesen használni.

Van egy derékszögű (derékszögű) O x y koordinátarendszerünk két egyenessel. Jelöljük őket a és b betűkkel. Ebben az esetben az egyenesek bármilyen egyenlettel leírhatók. Az eredeti egyeneseknek van egy M metszéspontja. Hogyan határozzuk meg a kívánt szöget (jelöljük α-val) ezen vonalak között?

Kezdjük a szögkeresés alapelvének megfogalmazásával adott feltételek mellett.

Tudjuk, hogy az olyan fogalmak, mint az irányító és a normálvektor, szorosan kapcsolódnak az egyenes fogalmához. Ha megvan valamilyen egyenes egyenlete, akkor abból kivehetjük ezeknek a vektoroknak a koordinátáit. Ezt egyszerre két metsző egyenesre is megtehetjük.

A két egymást metsző egyenes által alkotott szög a következőképpen határozható meg:

• az irányvektorok közötti szög;
• normálvektorok közötti szög;
• az egyik egyenes normálvektora és a másik irányvektora közötti szög.

Most nézzük meg az egyes módszereket külön-külön.

1. Tegyük fel, hogy van egy a egyenes a → = (a x , a y) irányvektorral és egy b egyenes b → (b x , b y) irányvektorral. Most tegyünk félre két a → és b → vektort a metszéspontból. Ezek után látni fogjuk, hogy mindegyik a saját vonalán fog elhelyezkedni. Ezután négy lehetőségünk van a relatív helyzetükre. Lásd az illusztrációt:

Ha két vektor közötti szög nem tompa, akkor ez lesz az a szög, amelyre szükségünk van az a és b metsző egyenesek között. Ha tompaszögű, akkor a kívánt szög egyenlő lesz az a → , b → ^ szöggel szomszédos szöggel. Így α = a → , b → ^, ha a → , b → ^ ≤ 90 ° , és α = 180 ° - a → , b → ^ ha a → , b → ^ > 90 ° .

Abból kiindulva, hogy egyenlő szögek koszinuszai egyenlők, a kapott egyenlőségeket a következőképpen írhatjuk át: cos α = cos a → , b → ^ ha a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ha a → , b → ^ > 90° .

A második esetben redukciós képleteket használtunk. Ily módon

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Írjuk le az utolsó képletet szavakkal:

3. definíció

A két egymást metsző egyenes által alkotott szög koszinusza egyenlő lesz az irányvektorai közötti szög koszinuszának modulusával.

A két a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) vektor közötti szög koszinuszának képlete a következőképpen néz ki:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ebből származtathatjuk a két adott egyenes közötti szög koszinuszának képletét:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ezután magát a szöget a következő képlet segítségével találhatja meg:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Itt a → = (a x, a y) és b → = (b x, b y) az adott egyenesek irányvektorai.

Mutassunk példát a probléma megoldására.

1. példa

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben a síkon két egymást metsző a és b egyenes adott. Leírhatók az x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R és x 5 = y - 6 - 3 paraméteres egyenletekkel . Számítsa ki e vonalak közötti szöget!

Megoldás

A feltételben van egy parametrikus egyenletünk, ami azt jelenti, hogy erre az egyenesre azonnal felírhatjuk az irányvektorának koordinátáit. Ehhez meg kell vennünk az együtthatók értékeit a paraméternél, pl. az x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R egyenesnek a → = (4 , 1) irányvektora lesz.

A második egyenest az x 5 = y-6-3 kanonikus egyenlet segítségével írjuk le. Itt vehetjük át a koordinátákat a nevezőkből. Így ennek az egyenesnek van egy irányvektora b → = (5 , - 3) .

Ezután közvetlenül folytatjuk a szög meghatározását. Ehhez egyszerűen helyettesítse be a két vektor elérhető koordinátáit a fenti képletbe: α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . A következőket kapjuk:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Válasz: Ezek a vonalak 45 fokos szöget zárnak be.

Hasonló problémát megoldhatunk, ha megtaláljuk a normálvektorok közötti szöget. Ha van egy a egyenes na → = (nax , nay) normálvektorral és egy b egyenesünk nb → = (nbx , nby) normálvektorral, akkor a köztük lévő szög egyenlő lesz a na → és nb → vagy az a szög, amely szomszédos lesz a na → , nb → ^ -vel. Ez a módszer a képen látható:

A metsző egyenesek és magának a szögnek a koszinuszának kiszámítására szolgáló képletek a normálvektorok koordinátái segítségével a következőképpen néznek ki:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Itt n a → és n b → két adott egyenes normálvektorát jelöli.

2. példa

Két egyenest adunk meg egy téglalap alakú koordinátarendszerben a 3 x + 5 y - 30 = 0 és x + 4 y - 17 = 0 egyenletek segítségével . Keresse meg a köztük lévő szög szinuszát, koszinuszát és magának a szögnek a nagyságát.

Megoldás

Az eredeti egyeneseket az A x + B y + C = 0 alakú normál egyenes egyenletek segítségével adjuk meg. Jelölje az n → = (A , B) normálvektort. Keressük meg az első normálvektor koordinátáit egy egyenesre, és írjuk fel: n a → = (3 , 5) . Az x + 4 y - 17 = 0 második egyenesre a normálvektor koordinátái n b → = (1, 4) lesznek. Most adja hozzá a kapott értékeket a képlethez, és számítsa ki az összeget:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ha ismerjük egy szög koszinuszát, akkor a trigonometrikus alapazonosság segítségével ki tudjuk számítani a szinuszát. Mivel az egyenesek által alkotott α szög nem tompa, akkor sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Ebben az esetben α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Válasz: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Elemezzük az utolsó esetet - a vonalak közötti szög megállapítását, ha ismerjük az egyik egyenes irányítóvektorának és a másik normálvektorának koordinátáit.

Tegyük fel, hogy az a egyenesnek van egy irányvektora a → = (a x , a y) , és a b egyenesnek van egy normálvektora n b → = (n b x , n b y) . Ezeket a vektorokat el kell halasztanunk a metszésponttól, és meg kell fontolnunk az összes lehetőséget a relatív helyzetükhöz. Lásd a képen:

Ha az adott vektorok közötti szög nem nagyobb, mint 90 fok, akkor kiderül, hogy az a és b közötti szöget derékszögre egészíti ki.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ha a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ha 90 foknál kisebb, akkor a következőket kapjuk:

a → , n b → ^ > 90 ° , majd a → , n b → ^ = 90 ° + α

Az egyenlő szögű koszinuszok egyenlőségének szabályával ezt írjuk:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° esetén.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90 ° -nál .

Ily módon

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Fogalmazzuk meg a következtetést.

4. definíció

A síkban metsző két egyenes közötti szög szinuszának meghatározásához ki kell számítanunk az első egyenes irányvektora és a második normálvektora közötti szög koszinuszának modulusát.

Írjuk fel a szükséges képleteket. Egy szög szinuszának megtalálása:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Maga a sarok megkeresése:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Itt a → az első sor irányvektora, és n b → a második sor normálvektora.

3. példa

Két egymást metsző egyenest az x - 5 = y - 6 3 és x + 4 y - 17 = 0 egyenletek adnak meg . Keresse meg a metszésszöget.

Megoldás

A megadott egyenletekből vesszük az irányító és normálvektor koordinátáit. Kiderül, hogy a → = (- 5, 3) és n → b = (1, 4) . Vegyük az α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 képletet, és vegyük figyelembe:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Figyeljük meg, hogy az előző feladatból vett egyenleteket pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, de más módon.

Válasz:α = a r c sin 7 2 34

Itt van egy másik módszer a kívánt szög meghatározására az adott vonalak meredekségi együtthatói segítségével.

Van egy a egyenes, amelyet téglalap alakú koordinátarendszerben definiálunk az y = k 1 · x + b 1 egyenlettel, és egy b egyenes, amelyet y = k 2 · x + b 2 definiálunk. Ezek meredekségű egyenesek egyenletei. A metszésszög meghatározásához használja a következő képletet:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, ahol k 1 és k 2 az adott egyenesek meredeksége. Ennek a rekordnak a megszerzéséhez képleteket használtunk a szög meghatározására a normálvektorok koordinátáin keresztül.

4. példa

A síkban két egyenes metszi egymást, amelyeket az y = - 3 5 x + 6 és y = - 1 4 x + 17 4 egyenletek adnak meg. Számítsa ki a metszésszöget!

Megoldás

Egyeneseink meredeksége egyenlő k 1 = - 3 5 és k 2 = - 1 4 . Adjuk hozzá őket az α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 képlethez, és számítsuk ki:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Válasz:α = a r c cos 23 2 34

A bekezdés következtetéseinél meg kell jegyezni, hogy az itt megadott szögkereső képleteket nem kell fejből megtanulni. Ehhez elegendő ismerni az adott egyenesek vezetőinek és/vagy normálvektorainak koordinátáit, és különböző típusú egyenletek segítségével meghatározni azokat. De jobb megjegyezni vagy leírni a szög koszinuszának kiszámítására szolgáló képleteket.

Hogyan számítsuk ki a térben metsző vonalak közötti szöget

Egy ilyen szög számítása levezethető az irányvektorok koordinátáinak kiszámítására és az ezen vektorok által alkotott szög nagyságának meghatározására. Az ilyen példákhoz ugyanazt az érvelést használjuk, mint korábban.

Tegyük fel, hogy van egy téglalap alakú koordináta-rendszerünk a 3D térben. Két a és b egyenest tartalmaz az M metszésponttal. Az irányvektorok koordinátáinak kiszámításához ismernünk kell ezen egyenesek egyenleteit. Jelölje az a → = (a x, a y, a z) és a b → = (b x, b y, b z) irányvektorokat. A köztük lévő szög koszinuszának kiszámításához a következő képletet használjuk:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

A szög meghatározásához a következő képletre van szükségünk:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5. példa

Van egy egyenes 3D térben az x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 egyenlet segítségével . Ismeretes, hogy az O z tengellyel metszi. Számítsa ki a metszésszöget és ennek a szögnek a koszinuszát!

Megoldás

Jelöljük α betűvel a kiszámítandó szöget. Írjuk fel az első egyenes irányvektorának koordinátáit - a → = (1 , - 3 , - 2) . Az applikációs tengelyhez a k → = (0 , 0 , 1) koordinátavektort vehetjük útmutatónak. Megkaptuk a szükséges adatokat, és hozzáadhatjuk a kívánt képlethez:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ennek eredményeként azt kaptuk, hogy a szükséges szög egyenlő lesz a r c cos 1 2 = 45 °-kal.

Válasz: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket az egyenletek adnak meg:

Alatt sarok két sík között az e síkok által alkotott kétszögek egyikét értjük. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a jelzett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . Ezért . Mivel És , azután

.

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik és párhuzamosak, és ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordinátákon az együtthatók arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .

Ily módon,.

Példák.

KÖZVETLENÜL A TÉRBEN.

VEKTOR EGYENLET KÖZVETLEN.

PARAMÉTERES EGYENLETEK KÖZVETLEN

Egy egyenes helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Az egyenessel párhuzamos vektort nevezzük irányító ennek az egyenesnek a vektora.

Szóval hagyd az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a vektorral párhuzamos egyenesen fekve.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrán látható, hogy .

A és vektorok kollineárisak, tehát van ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. A pontok sugárvektorainak jelölése M 1 és M illetőleg a és -n keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlet. Azt mutatja, hogy minden paraméter értéke t valamely pont sugárvektorának felel meg M egyenes vonalon fekve.

Ezt az egyenletet koordináta alakban írjuk fel. Vedd észre, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletek.

A paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés pont M egyenes vonalban mozog.

KANONIKUS EGYENLETEK KÖZVETLEN

Legyen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - egy egyenesen fekvő pont l, És az irányvektora. Ismét vegyünk egy tetszőleges pontot egy egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a és vektorok kollineárisak, tehát a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük

– kánoni egyenes egyenletek.

Megjegyzés 1. Vegye figyelembe, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletekből a paraméter kiiktatásával kaphatók meg. t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres módon.

Jelöli , ennélfogva x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. megjegyzés. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, Következésképpen m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei alakot öltenek

A paraméter eltávolítása az egyenletekből t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan az alakba írjuk . Így ha az egyik tört nevezője nulla, akkor ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóképpen a kanonikus egyenletek a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy párhuzamos tengely Oz.

Példák.

ÁLTALÁNOS EGYENLETEK KÖZVETLEN VONAL, MINT KÉT SÍK MEGFELELŐ VONALA

A térben minden egyes egyenesen végtelen számú sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Ezért bármely két ilyen sík egyenlete együttesen ennek az egyenesnek az egyenlete.

Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg

határozza meg a metszésvonalukat. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.

Példák.

Szerkesszünk egyenletekkel megadott egyenest!

Egy egyenes felépítéséhez elég megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb, ha kiválasztjuk az egyenes és a koordinátasík metszéspontjait. Például a síkkal való metszéspont xOy egy egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Ezt a rendszert megoldva megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből továbbléphetünk annak kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találnia egy pontot M 1 az egyenesen és az egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et kapunk ebből az egyenletrendszerből, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra És . Ezért az egyenes irányvektorához l felveheti a normálvektorok keresztszorzatát:

.

Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! a kanonikus formára.

Keressen egy pontot egy egyenesen. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Következésképpen, l: .

JOGAK KÖZÖTTI SZÖG

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét nevezzük.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

Injekció φ általános egyenletek A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, a következő képlettel számítjuk ki:

Injekció φ két egyenes között kanonikus egyenletek(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 és (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, a következő képlettel számítjuk ki:

Távolság ponttól vonalig

A tér minden síkja egy lineáris egyenletként ábrázolható, az úgynevezett általános egyenlet repülőgép

Különleges esetek.

o Ha a (8) egyenletben, akkor a sík átmegy az origón.

o (,)-vel a sík párhuzamos a tengellyel (tengely, tengely), ill.

o Amikor (,) a sík párhuzamos a síkkal (sík, sík).

Megoldás: használd (7)

Válasz: a sík általános egyenlete.

Példa.

Az Oxyz derékszögű koordinátarendszer síkját a sík általános egyenlete adja meg . Írja fel az összes normálvektor koordinátáját ezen a síkon.

Tudjuk, hogy a sík általános egyenletében szereplő x, y és z változók együtthatói az adott sík normálvektorának megfelelő koordinátái. Ezért az adott sík normálvektora koordinátái vannak. Az összes normálvektor halmaza megadható.

Írd fel egy sík egyenletét, ha az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben a térben áthalad egy ponton , de ennek a síknak a normálvektora.

Erre a problémára két megoldást mutatunk be.

A jelenlegi állapotunkból. Ezeket az adatokat behelyettesítjük a ponton áthaladó sík általános egyenletébe:

Írja fel az Oyz koordinátasíkkal párhuzamos és a ponton átmenő síkra vonatkozó általános egyenletet! .

Az Oyz koordinátasíkkal párhuzamos sík megadható a forma síkjának általános hiányos egyenletével. A lényeg óta feltétel szerint a síkhoz tartozik, akkor ennek a pontnak a koordinátáinak ki kell elégíteniük a sík egyenletét, vagyis az egyenlőségnek igaznak kell lennie. Innen találjuk. Így a kívánt egyenletnek megvan a formája.

Megoldás. A vektorszorzat a 10.26 definíció szerint ortogonális a p és q vektorokra. Ezért a kívánt síkra merőleges, és a vektor normálvektorának tekinthető. Keresse meg az n vektor koordinátáit:

azaz . A (11.1) képlet segítségével megkapjuk

A zárójeleket kinyitva ebben az egyenletben elérkezünk a végső válaszhoz.

Válasz: .

Írjuk át a normálvektort a formába, és keressük meg a hosszát:

A fentiek szerint:

Válasz:

A párhuzamos síkok ugyanazzal a normálvektorral rendelkeznek. 1) Az egyenletből megtaláljuk a sík normálvektorát:.

2) Összeállítjuk a sík egyenletét a pont és a normálvektor szerint:

Válasz:

Egy térbeli sík vektoregyenlete

Egy térbeli sík paraméteres egyenlete

Egy adott ponton átmenő sík egyenlete adott vektorra merőlegesen

Legyen adott egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer háromdimenziós térben. Fogalmazzuk meg a következő problémát:

Írj egyenletet egy adott ponton átmenő síkra! M(x 0, y 0, z 0) merőleges az adott vektorra n = ( A, B, C} .

Megoldás. Legyen P(x, y, z) egy tetszőleges pont a térben. Pont P akkor és csak akkor tartozik a síkhoz, ha a vektor MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) vektorra merőleges n = {A, B, C) (1. ábra).

Felírva ezeknek a vektoroknak az ortogonalitási feltételét (n, MP) = 0 koordináta alakban, kapjuk:

A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Egy sík egyenlete három ponttal

Vektoros formában

Koordinátákban

A síkok kölcsönös elrendezése a térben

két sík általános egyenletei. Azután:

1) ha , akkor a síkok egybeesnek;

2) ha , akkor a síkok párhuzamosak;

3) ha vagy , akkor a síkok metszik egymást és az egyenletrendszer

(6)

az adott síkok metszésvonalának egyenletei.

Megoldás: Az egyenes kanonikus egyenleteit a következő képlettel állítjuk össze: Válasz:

Vegyük a kapott egyenleteket, és gondolatban „letűzzük”, például a bal oldali darabot: . Most egyenlőségjelet teszünk ehhez a darabhoz tetszőleges számra(ne feledje, hogy már volt nulla), például egyhez: . Mivel , akkor a másik két "darabnak" is egyenlőnek kell lennie eggyel. Lényegében meg kell oldania a rendszert:

Írjon paraméteres egyenleteket a következő sorokhoz:

Megoldás: Az egyeneseket kanonikus egyenletekkel adjuk meg, és az első lépésben meg kell találni az egyeneshez tartozó pontot és annak irányvektorát.

a) Az egyenletekből távolítsa el a pontot és az irányvektort: ​​. Választhat másik pontot is (a fentiekben leírtuk, hogy ezt hogyan kell megtenni), de jobb, ha a legnyilvánvalóbbat választja. Egyébként a hibák elkerülése érdekében mindig helyettesítse a koordinátáit az egyenletekben.

Állítsuk össze ennek az egyenesnek a paraméteres egyenleteit:

A parametrikus egyenletek kényelme abban rejlik, hogy segítségükkel nagyon könnyű megtalálni az egyenes további pontjait. Például keressünk egy pontot, amelynek koordinátái mondjuk megfelelnek a paraméter értékének:

Így: b) Tekintsük a kanonikus egyenleteket . A pont kiválasztása itt egyszerű, de alattomos: (vigyázz, ne keverd össze a koordinátákat!!!). Hogyan lehet kihúzni egy vezetővektort? Lehet találgatni, hogy mivel párhuzamos ez az egyenes, vagy bevethet egy egyszerű formai trükköt: az arány „y” és „Z”, ezért írjuk az irányvektort, és a maradék helyre nullát teszünk: .

Összeállítjuk az egyenes paraméteres egyenleteit:

c) Írjuk át az egyenleteket alakba, azaz "Z" bármi lehet. És ha van, akkor legyen például . Így a pont ehhez az egyeneshez tartozik. Az irányvektor megtalálásához a következő formális technikát használjuk: a kezdeti egyenletekben "x" és "y" szerepel, az irányvektorba pedig ezekre a helyekre írunk. nullák: . A fennmaradó helyre tesszük Mértékegység: . Egy helyett bármely szám megfelel, kivéve a nullát.

Felírjuk az egyenes paraméteres egyenleteit: