Előzetes információ

A síkban lévő bármely lapos geometriai alakzat kerületét az összes oldala hosszának összegeként határozzuk meg. Ez alól a háromszög sem kivétel. Először megadjuk a háromszög fogalmát, valamint az oldalaktól függően a háromszögek típusait.

1. definíció

A háromszöget geometriai alakzatnak fogjuk nevezni, amely három szakaszokkal összekapcsolt pontból áll (1. ábra).

2. definíció

Az 1. definíción belüli pontokat a háromszög csúcsainak nevezzük.

3. definíció

Az 1. definíció keretein belüli szakaszokat a háromszög oldalainak nevezzük.

Nyilvánvalóan minden háromszögnek van 3 csúcsa és 3 oldala.

Az oldalak egymáshoz viszonyított arányától függően a háromszögeket léptékre, egyenlőszárúra és egyenlő oldalúra osztják.

4. definíció

Egy háromszöget léptékűnek mondunk, ha egyik oldala sem egyenlő a másikkal.

5. definíció

Egy háromszöget egyenlő szárúnak nevezünk, ha két oldala egyenlő egymással, de nem egyenlő a harmadik oldallal.

6. definíció

Egy háromszöget egyenlő oldalúnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő egymással.

Ezen háromszögek összes típusát láthatja a 2. ábrán.

Hogyan találjuk meg a skála háromszög kerületét?

Adjunk egy léptékű háromszöget, amelynek oldalhossza $α$, $β$ és $γ$.

Kimenet: Egy léptékű háromszög kerületének meghatározásához adja össze az oldalak hosszát.

1. példa

Keresse meg a méretarányos háromszög kerületét, amely egyenlő $34$ cm, $12$ cm és $11$ cm értékkel.

$P=34+12+11=57$ cm

Válasz: $57 lásd.

2. példa

Határozzuk meg egy derékszögű háromszög kerületét, amelynek lábai $6$ és $8$ cm.

Először a Pitagorasz-tétel segítségével keressük meg ennek a háromszögnek a befogóinak hosszát. Akkor jelölje $α$-val

$α=10$ A léptékű háromszög kerületének számítására vonatkozó szabály szerint azt kapjuk, hogy

$P=10+8+6=24$ cm

Válasz: $24 lásd.

Hogyan találjuk meg az egyenlő szárú háromszög kerületét?

Adjunk egy egyenlő szárú háromszöget, amelynek oldalhossza $α$, az alapja pedig $β$ lesz.

A lakás kerületének meghatározása szerint geometriai alakzat, ezt értjük

$P=α+α+β=2α+β$

Kimenet: A kerület megtalálásához egyenlő szárú háromszög az oldalai hosszának kétszeresét adjuk hozzá az alapja hosszához.

3. példa

Határozzuk meg egy egyenlő szárú háromszög kerületét, ha az oldalai $12$ cm, az alapja pedig $11$ cm.

A fenti példából ezt látjuk

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Válasz: $35 lásd.

4. példa

Határozzuk meg egy egyenlő szárú háromszög kerületét, ha az alaphoz húzott magassága $8$ cm, az alapja pedig $12$ cm.

Tekintsük az ábrát a probléma állapotának megfelelően:

Mivel a háromszög egyenlő szárú, $BD$ egyben medián is, ezért $AD=6$ cm.

A Pitagorasz-tétel alapján az $ADB$ háromszögből megtaláljuk az oldalt. Akkor jelölje $α$-val

Az egyenlő szárú háromszög kerületének kiszámítására vonatkozó szabály szerint azt kapjuk

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Válasz: $32 lásd.

Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög kerületét?

Adjunk egy egyenlő oldalú háromszöget, amelynek minden oldalának hossza $α$.

Egy lapos geometriai alakzat kerületének meghatározása alapján azt kapjuk, hogy

$P=α+α+α=3α$

Kimenet: Egy egyenlő oldalú háromszög kerületének meghatározásához szorozzuk meg a háromszög oldalhosszát $3$-al.

5. példa

Határozzuk meg egy egyenlő oldalú háromszög kerületét, ha az oldala $12$ cm.

A fenti példából ezt látjuk

$P=3\cdot 12=36$ cm

Ebben a cikkben példákkal mutatjuk be hogyan találjuk meg a háromszög kerületét. Tekintsük az összes fő esetet, hogyan találjuk meg a háromszögek kerületét, még akkor is, ha nem minden oldalérték ismert.

háromszög egyszerű geometriai alakzatnak nevezzük, amely három egymást metsző egyenesből áll. Amelyben az egyenesek metszéspontjait csúcsoknak, az ezeket összekötő egyeneseket pedig oldalaknak nevezzük.
A háromszög kerülete a háromszög oldalai hosszának összege. Az, hogy egy háromszög kerületének kiszámításához mennyi kezdeti adatunk van, attól függ, hogy a számításhoz melyik opciót használjuk.
Első lehetőség
Ha ismerjük a háromszög n, y és z oldalainak hosszát, akkor a kerületét a következő képletet: amelyben P a kerülete, n, y, z a háromszög oldalai

téglalap kerületi képlet

P = n + y + z

Nézzünk egy példát:
Adott egy ksv háromszög, amelynek oldalai k = 10 cm, s = 10 cm, v = 8 cm. keresse meg a kerületét.
A képlet segítségével 10 + 10 + 8 = 28-at kapunk.
Válasz: P = 28 cm.

Egy egyenlő oldalú háromszögnél a kerületet így találjuk - az egyik oldal hossza szorozva hárommal. a képlet így néz ki:
P = 3n
Nézzünk egy példát:
Adott egy ksv háromszög, amelynek oldalai k = 10 cm, s = 10 cm, v = 10 cm. keresse meg a kerületét.
A képlet segítségével 10 * 3 = 30
Válasz: P = 30 cm.

Egy egyenlő szárú háromszögnél a kerületet így találjuk meg - az egyik oldal hosszához, szorozva kettővel, hozzáadjuk az alap oldalát
Az egyenlő szárú háromszög a legegyszerűbb sokszög, amelynek két oldala egyenlő, és a harmadik oldalt alapnak nevezzük.

P = 2n + z

Nézzünk egy példát:
Adott egy ksv háromszög, amelynek oldalai k = 10 cm, s = 10 cm, v = 7 cm. keresse meg a kerületét.
A képlet segítségével 2 * 10 + 7 = 27-et kapunk.
Válasz: P = 27 cm.
Második lehetőség
Amikor nem ismerjük az egyik oldal hosszát, de tudjuk a másik két oldal hosszát és a köztük lévő szöget, és a háromszög kerületét csak a harmadik oldal hosszának ismeretében tudjuk megállapítani. Ebben az esetben az ismeretlen oldal egyenlő lesz a в2 + с2 - 2 ∙ kifejezés négyzetgyökével ∙ c ∙ cosβ-ban.

P = n + y + √ (n2 + y2 - 2 ∙ n ∙ y ∙ cos α)
n, y - oldalhosszak
α - az általunk ismert oldalak közötti szög nagysága

Harmadik lehetőség
Amikor nem ismerjük az n és y oldalt, de tudjuk a z oldal hosszát és a vele szomszédos értékeket. Ebben az esetben a háromszög kerületét csak akkor tudjuk megtalálni, ha két számunkra ismeretlen oldal hosszát megtudjuk, ezeket a szinusztétel segítségével, a képlet segítségével határozzuk meg.

P = z + sinα ∙ z / (sin (180°-α - β)) + sinβ ∙ z / (sin (180°-α - β))
z - az általunk ismert oldal hossza
α, β - általunk ismert szögméretek

Negyedik lehetőség
A háromszög kerületét a kerületébe írt sugár és a háromszög területe alapján is megtalálhatja. Határozza meg a kerületet a képlettel

P=2S/r
S - a háromszög területe
r - a beleírt kör sugara

Négy különböző lehetőséget elemeztünk a háromszög kerületének meghatározására.
A háromszög kerületének megtalálása elvileg nem nehéz. Ha bármilyen kérdése van a cikkel, kiegészítésekkel kapcsolatban, feltétlenül írja meg őket a megjegyzésekben.

Mellesleg, a referatplus.ru oldalon ingyenesen letölthet matematikai absztraktokat.

Az egyik alapvető geometriai alakzat a háromszög. Akkor jön létre, ha három szakasz metszi egymást. Ezek a szakaszok alkotják az ábra oldalait, metszéspontjaikat csúcsoknak nevezzük. Minden geometria tantárgyat tanuló diáknak meg kell tudnia találni ennek az alaknak a kerületét. A megszerzett készség sokak számára hasznos lesz felnőttkorban, például hasznos lesz egy diáknak, mérnöknek, építőnek,

A háromszög kerületét többféleképpen is meg lehet találni. A szükséges képlet kiválasztása a rendelkezésre álló forrásadatoktól függ. Ennek az értéknek a matematikai terminológiában való megírásához speciális jelölést használnak - P. Fontolja meg, mi a kerület, a fő számítási módszerek különböző típusú háromszög alakú alakzatokhoz.

a legtöbben egyszerű módon keresse meg az ábra kerületét, ha minden oldal adott. Ebben az esetben a következő képletet kell használni:

A "P" betű magának a kerületnek az értékét jelöli. Az "a", "b" és "c" pedig az oldalak hossza.

A három mennyiség nagyságának ismeretében elég lesz megkapni az összegüket, ami a kerület.

Alternatív lehetőség

BAN BEN matematikai problémákat az összes megadott hosszúságot ritkán ismerjük. Ilyen esetekben javasolt a használata alternatív módon keresés kívánt méretet. Ha a feltételek megadják két egyenes hosszát, valamint a köztük lévő szöget, a számítás a harmadik keresésével történik. Ennek a számnak a megtalálásához meg kell szereznie Négyzetgyök képlet szerint:

.

Kerület mindkét oldalon

A kerület kiszámításához nem szükséges egy geometriai alakzat összes adatát ismerni. Tekintsük a számítási módszereket két oldalról.

Egyenlő szárú háromszög

Egy háromszöget egyenlő szárúnak nevezünk, ha legalább két oldala azonos hosszúságú. Ezeket laterálisnak, a harmadik oldalt pedig alapnak nevezik. Az egyenlő egyenesek csúcsszöget alkotnak. Egy egyenlő szárú háromszög jellemzője egy szimmetriatengely jelenléte. Az Axis egy függőleges vonal, amely a felső saroktól kezdődik és az alap közepén ér véget. Lényegében a szimmetriatengely a következő fogalmakat tartalmazza:

• csúcsszög felező;
• medián a bázishoz;
• a háromszög magassága;
• medián merőleges.

Egy egyenlő szárú háromszög alakzat kerületének meghatározásához használja a képletet.

Ebben az esetben csak két mennyiséget kell ismernie: az egyik oldal alapját és hosszát. A "2a" megjelölés azt jelenti, hogy az oldal hosszát meg kell szorozni 2-vel. A kapott ábrához hozzá kell adni az alap - "b" értékét.

Kivételes esetben, amikor egy egyenlő szárú háromszög alapjának hossza megegyezik az oldalvonalával, egyszerűbb módszer is alkalmazható. Ezt a következő képlet fejezi ki:

Az eredmény eléréséhez elegendő ezt a számot megszorozni hárommal. Ez a képlet egy szabályos háromszög kerületének meghatározására szolgál.

Hasznos videó: problémák a háromszög kerületén

Háromszög téglalap alakú

A fő különbség a derékszögű háromszög és a kategória más geometriai alakzatai között a 90 ° -os szög jelenléte. Ennek alapján határozzák meg az ábra típusát. Mielőtt meghatározná, hogyan találja meg a derékszögű háromszög kerületét, érdemes megjegyezni, hogy ez az érték bármely lapos geometriai alakzatnál az összes oldal összege. Tehát ebben az esetben a legegyszerűbb módja annak, hogy megtudja az eredményt a három érték összegzésével.

A tudományos terminológiában azokat az oldalakat, amelyek a derékszöggel szomszédosak, "lábaknak" nevezik, és a 90º-os szög ellentéte a hipotenusz. Ennek az alaknak a jellemzőit az ókori görög tudós, Pythagoras tanulmányozta. A Pitagorasz-tétel szerint a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

.

E tétel alapján egy másik képletet is levezettek, amely elmagyarázza, hogyan lehet megtalálni egy háromszög kerületét, ha két ismert oldala van. A kerületet a lábak megadott hosszával a következő módszerrel számíthatja ki.

.

Ahhoz, hogy megtudja a kerületet, információval rendelkezik az egyik láb méretéről és a hypotenusáról, meg kell határoznia a második hypotenus hosszát. Erre a célra a következő képleteket használják:

.

Ezenkívül a leírt típusú figura kerületét a lábak méretére vonatkozó adatok nélkül határozzák meg.

Ismernie kell a hypotenus hosszát, valamint a vele szomszédos szöget. Az egyik láb hosszának ismeretében, ha van mellette szög, az ábra kerületét a következő képlettel számítják ki:

.

Számítás magasságon keresztül

A kategóriák, például az egyenlő szárúak és a derékszögű háromszögek kerületét a középvonaluk mutatóján keresztül számíthatja ki. Mint tudod, a háromszög magassága kettészeli az alapját. Így két téglalap alakú figurát alkot. Ezenkívül a kívánt mutatót a Pitagorasz-tétel segítségével számítják ki. A képlet így fog kinézni:

.

Ha ismeri az alap magasságát és felét, ezzel a módszerrel megkapja a kívánt számot anélkül, hogy az ábra többi adatát keresné.

Hasznos videó: megtalálja a háromszög kerületét

Bármely háromszög kerülete az ábrát határoló vonal hossza. Kiszámításához ismernie kell ennek a sokszögnek az összes oldalának összegét.

Számítás az oldalhosszak megadott értékéből

Ha ismertek az értékük, akkor ezt nem nehéz megtenni. Ezeket a paramétereket m, n, k betűkkel, a kerületet pedig P betűvel jelölve megkapjuk a számítási képletet: P = m + n + k. Feladat: Ismeretes, hogy a háromszög oldalai 13,5 deciméter, 12,1 deciméter és 4,2 deciméter hosszúak. Találja ki a kerületet. Megoldjuk: Ha ennek a sokszögnek az oldalai a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, akkor P = 29,8 dm. Válasz: P = 29,8 dm.

Egy olyan háromszög kerülete, amelynek két egyenlő oldala van

Az ilyen háromszöget egyenlő szárú háromszögnek nevezzük. Ha ezek egyenlő oldalak hossza egy centiméter, a harmadik oldal pedig b centiméter, akkor a kerületet könnyű kideríteni: P \u003d b + 2a. Feladat: a háromszög két oldala 10 deciméter, az alapja 12 deciméter. Keresse meg P. Megoldás: Legyen oldaloldal a = c = 10 dm, b alap = 12 dm. Az oldalak összege P \u003d 10 dm + 12 dm + 10 dm \u003d 32 dm. Válasz: P = 32 deciméter.

Egyenlő oldalú háromszög kerülete

Ha a háromszög mindhárom oldala rendelkezik egyenlő mennyiségben mértékegység, egyenlő oldalú. Egy másik név helyes. A szabályos háromszög kerületét a következő képlettel találjuk meg: P \u003d a + a + a \u003d 3 a. Feladat: Van egy egyenlő oldalú háromszög alakú telkünk. Az egyik oldal 6 méteres. Keresse meg a kerítés hosszát, amely be tudja zárni ezt a területet. Megoldás: Ha ennek a sokszögnek az oldala a= 6m, akkor a kerítés hossza P = 3 6 = 18 (m). Válasz: P = 18 m.

Egy háromszög, amelynek szöge 90°

Négyszögletesnek hívják. A derékszög jelenléte lehetővé teszi az ismeretlen oldalak megtalálását a definíció segítségével trigonometrikus függvények és a Pitagorasz-tétel. A leghosszabb oldalt hipotenusznak nevezzük, és c-vel jelöljük. Van még két oldal, a és b. A Pitagorasz-tételt követve c 2 = a 2 + b 2 . Lábak a \u003d √ (c 2 - b 2) és b \u003d √ (c 2 - a 2). Két a és b láb hosszának ismeretében kiszámítjuk a hipotenúzust. Ezután ezeket az értékeket összeadva megkapjuk az ábra oldalainak összegét. Feladat: Egy derékszögű háromszög lábai 8,3 centiméter és 6,2 centiméter hosszúak. Ki kell számítani a háromszög kerületét. Megoldjuk: Jelöljük a lábakat a = 8,3 cm, b = 6,2 cm A Pitagorasz-tétel szerint a c hipotenusz = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 ( = ) cm). P = 24,9 (cm). Vagy P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) \u003d 24,9 (cm). Válasz: P = 24,9 cm A gyökerek értékeit tizedes pontossággal vettük. Ha ismerjük a befogó és a láb értékeit, akkor P \u003d √ (c 2 - b 2) + b + c kiszámításával megkapjuk a P értékét. 2. feladat: 90 fokos szögben fekvő földdarab, 12 km, az egyik lába 8 km. Mennyi ideig tart megkerülni az egész területet, ha 4 kilométeres óránkénti sebességgel haladunk? Megoldás: ha a legnagyobb szakasz 12 km, a kisebbik b = 8 km, akkor a teljes út hossza P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 ( km). Keresse meg az időt úgy, hogy elosztja a távolságot a sebességgel. 28,9:4 = 7,225 (h). Válasz: 7,3 óra alatt megkerülheti a négyzetgyök értékét és a választ tizedére vesszük. Meg lehet találni egy derékszögű háromszög oldalainak összegét, ha adott az egyik oldal és az egyik hegyesszög értéke. A b láb hosszának és a β ellentétes szög értékének ismeretében megtaláljuk az ismeretlen oldalt a = b/ tg β. Keresse meg a c = a hipotenuszt: sinα. Egy ilyen ábra kerületét a kapott értékek összeadásával találjuk meg. P = a + a/ sinα + a/ tg α, vagy P = a(1 / sin α+ 1+1 / tg α). Feladat: C derékszögű téglalap alakú Δ ABC-ben a BC láb hossza 10 m, A szöge 29 fok. Meg kell találnunk a Δ ABC oldalak összegét. Megoldás: Jelöljük az ismert BC = a = 10 m szárat, a vele szemben fekvő szöget, ∟А = α = 30°, majd az AC = b = 10 szárat: 0,58 = 17,2 (m), az AB hipotenusz = c = 10 : 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 \u003d 47,2 (m). Vagy P \u003d 10 (1 + 1,72 + 2) \u003d 47,2 m. Van: P \u003d 47,2 m. Vegyük a trigonometrikus függvények értékét százados pontossággal, kerekítjük az oldalak hosszának értékét és kerülete tizedekre. Az α szár értékének és a benne foglalt β szögnek a birtokában megtudjuk, hogy a második szár mivel egyenlő: b = a tg β. A hipotenusz ebben az esetben egyenlő lesz a lábbal, osztva a β szög koszinuszával. A kerületet a következő képlettel találjuk meg: P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β) a. Feladat: Egy 90 fokos szögű háromszög lába 18 cm, a benne foglalt szög 40 fok. Keresse meg P. Megoldás: Jelölje az ismert szárat BC = 18 cm, ∟β = 40°. Azután ismeretlen láb AC \u003d b \u003d 18 0,83 \u003d 14,9 (cm), hypotenus AB \u003d c \u003d 18: 0,77 \u003d 23,4 (cm). Az ábra oldalainak összege P = 56,3 (cm). Vagy P \u003d (1 + 1,3 + 0,83) * 18 \u003d 56,3 cm. Válasz: P \u003d 56,3 cm. Ha ismert a c hipotenusz hossza és valamilyen α szög, akkor a lábak egyenlőek lesznek a hipotenusz az elsőnél - a szinusz, a másodiknál ​​- ennek a szögnek a koszinuszával. Ennek az ábrának a kerülete P = (sin α + 1+ cos α)*c. Feladat: AB derékszögű háromszög befogója = 9,1 centiméter, szöge 50 fok. Keresse meg az adott ábra oldalainak összegét! Megoldás: Jelölje a befogót: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, ekkor az egyik BC szár hossza a = 9,1 0,77 = 7 (cm), AC láb = b = 9 ,1 0,64 = 5,8 (cm). Tehát ennek a sokszögnek a kerülete P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Vagy P = 9,1 (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Válasz: P = 21,9 centiméter.

Önkényes háromszög, melynek egyik oldala ismeretlen

Ha megvan két a és c oldal értéke, valamint ezeknek az oldalaknak a szöge γ, akkor a koszinusztétel alapján megtaláljuk a harmadikat: b 2 \u003d c 2 + a 2 - 2 ac cos β, ahol β az a és c oldalak közötti szög. Ezután megtaláljuk a kerületet. Feladat: Δ ABC-nek van egy 15 dm hosszú AB szakasza, egy AC szakasza, melynek hossza 30,5 dm. Ezen oldalak közötti szög értéke 35 fok. Számítsd ki az Δ ABC oldalak összegét! Megoldás: A koszinusztétel segítségével kiszámítjuk a harmadik oldal hosszát. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 \u003d 930,25 + 225 - 750,3 \u003d 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm). Van: P = 65,6 dm.

Egy tetszőleges háromszög oldalainak összege, amelynek két oldalának hossza ismeretlen

Ha csak egy szakasz hosszát és két szög értékét ismerjük, akkor a szinusztétel segítségével megtudhatjuk két ismeretlen oldal hosszát: "egy háromszögben az oldalak mindig arányosak a szinuszok értékével. ellentétes szögek." Ahol b = (a * sin β) / sin a. Hasonlóképpen c = (a sin γ): sin a. A kerület ebben az esetben P \u003d a + (a sin β) / sin a + (a sin γ) / sin a lesz. Feladat: Δ ABC-nk van. Ebben a BC oldal hossza 8,5 mm, a C szög értéke 47 °, a B szög pedig 35 fok. Keresse meg az adott ábra oldalainak összegét! Megoldás: Jelölje a BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - (47° + 35) oldalhosszakat. °) = 180° - 82° = 98°. A szinusztételből kapott arányokból megtaláljuk az AC = b = (8,5 0,57): 0,73= 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm) szárakat. Ezért ennek a sokszögnek az oldalainak összege P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Válasz: P = 23,5 mm. Abban az esetben, ha csak egy szakasz hossza és két szomszédos szög értéke van, először az ismert oldallal ellentétes szöget számítjuk ki. Ennek az ábrának az összes szöge 180 fokot tesz ki. Ezért ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Ekkor a szinusztétel segítségével ismeretlen szakaszokat találunk. Feladat: Δ ABC-nk van. BC szakasza 10 cm, B szöge 48 fok, C szöge 56 fok. Határozzuk meg a Δ ABC oldalak összegét! Megoldás: Először keresse meg a BC szemközti A szög értékét. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Most, a szinusztétellel, kiszámítjuk az oldal hosszát AC \u003d 10 0,74: 0,97 \u003d 7,6 (cm). AB = BC * sin C / sin A = 8,6. A háromszög kerülete P \u003d 10 + 8,6 + 7,6 \u003d 26,2 (cm). Eredmény: P = 26,2 cm.

Háromszög kerületének kiszámítása a beleírt kör sugarának felhasználásával

Néha egyik fél sem ismert a probléma állapotából. De ott van a háromszög területének értéke és a beleírt kör sugara. Ezek a mennyiségek összefüggenek: S = r p. Ismerve a háromszög területének, r sugarú értékét, megtaláljuk a p félkeretet. Azt találjuk, hogy p = S: r. Feladat: A telek területe 24 m 2, az r sugara 3 m. Határozza meg, hány fát kell egyenletesen ültetni a telket körülvevő vonal mentén, ha 2 méter távolságnak kell lennie közöttük két szomszédos. Megoldás: Az ábra oldalainak összegét a következőképpen kapjuk: P \u003d 2 24: 3 \u003d 16 (m). Ezután elosztjuk kettővel. 16:2= 8. Összesen: 8 fa.

Egy háromszög oldalainak összege derékszögű koordinátákkal

A Δ ABC csúcsok koordinátái: A (x 1; y 1), B (x 2; y 2), C(x 3; y 3). Határozzuk meg az AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 oldalak négyzeteit; BC 2 \u003d (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 \u003d (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. A kerület meghatározásához egyszerűen adja össze az összes szegmenst. Feladat: A Δ ABC csúcsok koordinátái: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Keresse meg ennek az ábrának az oldalainak összegét! Megoldás: a megfelelő koordináták értékeit a kerületi képletbe beírva P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Nálunk: P = 16,6. Ha az ábra nem síkon, hanem térben van, akkor minden csúcsnak három koordinátája van. Ezért az oldalak összegének képletében még egy tag lesz.

vektoros módszer

Ha az alakzatot csúcskoordinátákkal adjuk meg, akkor a kerület vektoros módszerrel számítható ki. A vektor egy olyan szakasz, amelynek iránya van. Modulusát (hosszát) a ǀᾱǀ jellel jelöljük. A pontok közötti távolság a megfelelő vektor hossza, vagy a vektor modulusa. Tekintsünk egy síkon fekvő háromszöget. Ha a csúcsok A (x 1; y 1), M (x 2; y 2), T (x 3; y 3) koordinátákkal rendelkeznek, akkor az egyes oldalak hosszát a következő képletekkel határozzuk meg: ǀAMǀ = √ ( (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) 2 + ( 1 - 3) 2). A háromszög kerületét a vektorok hosszának összeadásával kapjuk meg. Hasonlóképpen keresse meg egy háromszög oldalainak összegét a térben.

A háromszög kerülete, mint más dolgokban és minden alakban, az összes oldal hosszának összegének nevezzük. Ez az érték gyakran segít a terület megtalálásában, vagy az ábra egyéb paramétereinek kiszámítására szolgál.
A háromszög kerületének képlete így néz ki:

Példa a háromszög kerületének kiszámítására. Adjunk meg egy háromszöget, amelynek oldalai a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Helyettesítsd be az adatokat a képletbe: cm

Képlet a kerület kiszámításához egyenlő szárú háromszögígy fog kinézni:

Képlet a kerület kiszámításához egyenlő oldalú háromszög:

Példa egyenlő oldalú háromszög kerületének kiszámítására. Ha az ábra minden oldala egyenlő, akkor egyszerűen meg lehet szorozni hárommal. Mondjuk adott derékszögű háromszög 5 cm-es oldallal ebben az esetben: cm

Általában, ha minden oldal adott, a kerületet meglehetősen könnyű megtalálni. Más esetekben meg kell találni a hiányzó oldal méretét. BAN BEN derékszögű háromszög találhat harmadik felet a Pitagorasz-tétel. Például, ha a lábak hossza ismert, akkor a hipotenuszt a következő képlet segítségével találhatja meg:

Vegyünk egy példát egy egyenlő szárú háromszög kerületének kiszámítására, feltéve, hogy ismerjük a derékszögű egyenlő szárú háromszög lábainak hosszát.
Adott egy háromszög lábakkal a \u003d b \u003d 5 cm. Keresse meg a kerületet. Először keressük meg a hiányzó oldalt a -val. cm
Most számoljuk ki a kerületet: cm
Egy derékszögű egyenlő szárú háromszög kerülete 17 cm lesz.

Abban az esetben, ha ismert az egyik láb hipotenusza és hossza, a hiányzót a következő képlettel lehet megtalálni:
Ha egy derékszögű háromszögben ismert a befogó és az egyik hegyesszög, akkor a hiányzó oldalt a képlet találja meg.