Utasítás

Az a és b szárral szemközti szögeket rendre A és B jelöljük. A hipotenusz definíció szerint az oldal derékszögű háromszög, ami a derékszöggel ellentétes (ugyanakkor a hipotenusz hegyesszöget alkot a háromszög többi oldalával). Jelöljük a befogó hosszát s-vel.

Szükséged lesz:
Számológép.

Használja a következő kifejezést a lábra: a=sqrt(c^2-b^2), ha ismeri az alsó és a másik láb értékeit. Ez a kifejezés a Pitagorasz-tételből származik, amely kimondja, hogy a háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Az sqrt operátor az extrakciót jelenti négyzetgyök. A "^2" jel a második hatványra emelést jelent.

Használja az a=c*sinA képletet, ha ismeri a hipotenúzust (c) és a kívánt szárral szemközti szöget (ezt a szöget A-val jelöltük).
Használja az a=c*cosB kifejezést a láb megkereséséhez, ha ismeri a hipotenúzust (c) és a kívánt szárral szomszédos szöget (ezt a szöget B-nek neveztük).
Számítsa ki a lábszárat az a = b * tgA képlettel abban az esetben, ha a b szár és a kívánt szárral ellentétes szög adott (megegyeztünk, hogy ezt a szöget A jelöljük).

Jegyzet:
Ha az Ön feladatában a lábat egyik leírt módszerrel sem találja meg, valószínűleg az egyikre redukálható.

Hasznos tippeket:
Mindezek a kifejezések a trigonometrikus függvények jól ismert definícióiból származnak, így ha valamelyiket elfelejtetted is, egyszerű műveletekkel mindig gyorsan származtathatod. Ezenkívül hasznos tudni a trigonometrikus függvények értékeit a legjellemzőbb 30, 45, 60, 90, 180 fokos szögeknél.

Mielőtt megtalálná a háromszög hipotenuzáját, ki kell találnia, hogy milyen jellemzői vannak ennek az ábrának. Tekintsük a főbbeket:

1. Egy derékszögű háromszögben mindkét hegyesszög 90°-ot tesz ki.
2. A 30°-os szöggel szemben fekvő láb a hipotenusz felével egyenlő.
3. Ha a láb egyenlő a hipotenúza értékének ½-ével, akkor a második szögnek ugyanaz az értéke - 30º.

A derékszögű háromszögben többféleképpen is megtalálhatjuk a hipotenuszt. A legegyszerűbb megoldás a lábakon keresztül történő számítás. Tegyük fel, hogy ismeri az A és B oldalak szárainak értékét. Ekkor a Pitagorasz-tétel jön a segítségünkre, amely azt mondja, hogy ha az egyes lábak értékét négyzetre emeljük és a kapott adatokat összegezzük, akkor megtudjuk, hogy mekkora a hipotenusz. van. Így csak a négyzetgyök értéket kell kivonnunk:

Például, ha az A láb = 3 cm és a B láb = 4 cm, akkor a számítás így néz ki:

Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt egy szögben?

Egy másik módja annak, hogy megtudja, mekkora a derékszögű háromszög befogója, ha egy adott szöget átszámítunk. Ehhez le kell vezetnünk az értéket a szinusz-képlettel. Tegyük fel, hogy ismerjük a láb értékét (A) és az ellentétes szög értékét (α). Ekkor a teljes megoldás egy képletben van: С=А/sin(α).

Például, ha a láb hossza 40 cm, a szöge pedig 45°, akkor a hipotenúza hossza a következőképpen származtatható:

A kívánt értéket egy adott szög koszinuszán keresztül is meghatározhatja. Tegyük fel, hogy ismerjük egy láb (B) és egy hegyes bezárt szög (α) értékét. Ekkor egy képlet szükséges a feladat megoldásához: С=В/ cos(α).

Például, ha a láb hossza 50 cm, a szög pedig 45°, akkor a hipotenúza a következőképpen számítható ki:

Így megvizsgáltuk a háromszögben lévő hipotenúza kiderítésének főbb módjait. A feladat megoldása során fontos a rendelkezésre álló adatokra koncentrálni, akkor az ismeretlen érték megtalálása meglehetősen egyszerű lesz. Csak néhány képletet kell ismernie, és a problémamegoldás folyamata egyszerűvé és élvezetessé válik.

Egy derékszögű háromszög egyik lábának ismeretében trigonometrikus összefüggések segítségével megtalálhatja a második lábát és a hipotenuszt - egy ismert szög szinuszát és érintőjét. Mivel a szöggel ellentétes láb és a befogó rész aránya egyenlő ennek a szögnek a szinuszával, ezért a befogó megtalálásához a lábat el kell osztani a szög szinuszával. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

A második láb az ismert szög érintőjéből, az ismert szár és az érintő arányaként kereshető. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Egy derékszögű háromszög ismeretlen szögének kiszámításához ki kell vonni az α szöget 90 fokból. β=90°-α

A száron átmenő derékszögű háromszög kerülete és területe, valamint a vele ellentétes szög úgy fejezhető ki, hogy a képletekbe behelyettesítjük a második láb és a hipotenuzus korábban kapott kifejezéseit. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

A magasságot trigonometrikus relációkon keresztül is ki lehet számítani, de már az általa alkotott a oldalú belső derékszögű háromszögben. Ehhez az a oldalra van szükség, mint egy ilyen háromszög befogópontjára, megszorozva a β szög szinuszával vagy az α koszinuszával, mivel a trigonometrikus azonosságok szerint ezek egyenértékűek. (79.2. ábra) h=a cos⁡α

A hypotenus mediánja egyenlő a hypotenus vagy az ismert láb felével osztva két szinusz α. A lábak mediánjainak megtalálásához a képleteket az ismert oldal és szögek megfelelő alakjába hozzuk. (79.3. ábra) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Mivel a felező derékszög egy háromszögben két oldal és kettő gyökér szorzata, osztva ezen oldalak összegével, majd az egyik szárat az ismert szár és az érintő arányával helyettesítve a következő kifejezést kapjuk. Hasonlóképpen, ha az arányt behelyettesítjük a második és harmadik képletbe, kiszámíthatjuk az α és β szögek felezőit. (79.4. ábra) l_с=(aa/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+ca))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+cb))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

A középső vonal párhuzamosan fut a háromszög egyik oldalával, miközben egy másik hasonló derékszögű háromszöget alkot azonos szögekkel, amelyben minden oldal fele akkora, mint az eredeti. Ez alapján a középső vonalak találhatók a következő képleteket, csak a lábat és a vele ellentétes szöget ismerve. (79.7. ábra) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

A beírt kör sugara megegyezik a lábak és a hipotenusz közötti különbséggel, osztva kettővel, és a körülírt kör sugarának meghatározásához el kell osztani a hipotenuszt kettővel. Helyettesítjük a második lábat és a hipotenuszt az a láb szinuszhoz, illetve érintőhöz viszonyított arányával. (79.5., 79.6. ábra) r=(a+bc)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Az első olyan szegmensek, amelyek a derékszöggel szomszédosak, és a hipotenusz az ábra leghosszabb része, és szemben van a 90 fokos szöggel. A Pitagorasz-háromszög az, amelynek oldalai egyenlőek természetes számok; hosszukat ebben az esetben "pytagorasz-hármasnak" nevezik.

egyiptomi háromszög

Annak érdekében, hogy a jelenlegi generáció abban a formában tanulja meg a geometriát, ahogy azt most az iskolában tanítják, évszázadok óta fejlesztették. Az alappont a Pitagorasz-tétel. A téglalap oldalait az egész világ ismeri) 3, 4, 5.

Kevesen ismerik a "Pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő" kifejezést. Valójában azonban a tétel így hangzik: c 2 (a hipotenusz négyzete) \u003d a 2 + b 2 (a lábak négyzeteinek összege).

A matematikusok körében a 3, 4, 5 (cm, m stb.) oldalú háromszöget "egyiptominak" nevezik. Érdekes, hogy ami az ábrán szerepel, az egyenlő eggyel. A név a Kr.e. V. század környékén keletkezett, amikor a görög filozófusok Egyiptomba utaztak.

A piramisok építésekor az építészek és a földmérők a 3:4:5 arányt alkalmazták. Az ilyen szerkezetek arányosnak, látványosnak és tágasnak bizonyultak, és ritkán omlottak össze.

A derékszög kialakításához az építők egy kötelet használtak, amelyre 12 csomót kötöttek. Ebben az esetben a derékszögű háromszög megalkotásának valószínűsége 95%-ra nőtt.

Az alakok egyenlőségének jelei

• A derékszögű háromszög hegyesszöge és egy nagy oldal, amelyek megegyeznek a második háromszög azonos elemeivel, az ábrák egyenlőségének vitathatatlan jele. A szögek összegét figyelembe véve könnyen bebizonyítható, hogy a második hegyesszögek is egyenlőek. Így a háromszögek a második kritériumban azonosak.
• Ha két figurát egymásra helyezünk, úgy elforgatjuk őket, hogy egyesítve egy egyenlő szárú háromszög legyen. Tulajdonsága szerint az oldalak, vagy inkább a hipotenusok egyenlőek, valamint az alapnál lévő szögek, ami azt jelenti, hogy ezek az ábrák azonosak.

Az első jellel nagyon könnyű bebizonyítani, hogy a háromszögek valóban egyenlőek, a lényeg, hogy a két kisebb oldal (azaz a lábak) egyenlő legyen egymással.

A háromszögek azonosak lesznek a II jel szerint, aminek a lényege a láb és a hegyesszög egyenlősége.

Derékszögű háromszög tulajdonságai

A derékszögből leengedett magasság két egyenlő részre osztja az ábrát.

A derékszögű háromszög oldalai és mediánja könnyen felismerhető a szabály alapján: a középső, amelyet a hipotenuzusra engedünk, annak a fele. megtalálható mind Heron képletével, mind azzal az állítással, hogy egyenlő a lábak szorzatának felével.

Derékszögű háromszögben a 30 o, 45 o és 60 o szögek tulajdonságai érvényesek.

• 30 ° -os szögben emlékezni kell arra, hogy az ellenkező láb egyenlő lesz a legnagyobb oldal 1/2-ével.
• Ha a szög 45o, akkor a második hegyesszög is 45o. Ez arra utal, hogy a háromszög egyenlő szárú, és a lábai azonosak.
• A 60 fokos szög tulajdonsága, hogy a harmadik szög mértéke 30 fok.

A terület könnyen megtalálható a három képlet egyikével:

1. a magasságon és azon az oldalon keresztül, amelyen leereszkedik;
2. a Heron-képlet szerint;
3. az oldalak mentén és a köztük lévő szögben.

Egy derékszögű háromszög oldalai, vagy inkább lábai két magassággal összefolynak. A harmadik megtalálásához figyelembe kell venni a kapott háromszöget, majd a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítani a szükséges hosszúságot. Ezen a képleten kívül ott van még a terület kétszeresének és a hypotenus hosszának az aránya. A diákok körében a leggyakoribb kifejezés az első, mivel kevesebb számítást igényel.

Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek

A derékszögű háromszög geometriája magában foglalja az alábbi tételek használatát:

Egy derékszögű háromszög rengeteg függőséget tartalmaz. Ez vonzó célponttá teszi mindenféle számára geometriai problémák. Az egyik leggyakoribb probléma a hypotenus megtalálása.

Derékszögű háromszög

A derékszögű háromszög olyan háromszög, amely derékszöget tartalmaz, azaz. 90 fokos szögben. Csak derékszögű háromszögben lehet kifejezni trigonometrikus függvények az oldalak méretein keresztül. Egy tetszőleges háromszögben további konstrukciókat kell készíteni.
Egy derékszögű háromszögben a három magasság közül kettőt egybeesik az oldalakkal, lábnak nevezzük. A harmadik oldalt hipotenusznak nevezik. A befogóhoz húzott magasság az egyetlen ilyen típusú háromszögben, amely további konstrukciókat igényel.

Rizs. 1. A háromszögek típusai.

Egy derékszögű háromszögnek nem lehetnek tompaszögei. Ahogy a második derékszög léte is lehetetlen. Ebben az esetben egy háromszög szögösszegének azonossága, amely mindig egyenlő 180 fokkal, sérül.

Átfogó

Menjünk közvetlenül a háromszög hipotenuszához. A hipotenusz a háromszög leghosszabb oldala. A hypotenus mindig nagyobb, mint bármelyik láb, de mindig kisebb, mint a lábak összege. Ez a háromszög egyenlőtlenség-tétel következménye.

A tétel azt mondja, hogy egy háromszögben egyik oldal sem lehet nagyobb, mint a másik kettő összege. Van egy második megfogalmazás vagy a tétel második része is: egy háromszögben, a nagyobb oldallal szemben, van egy nagyobb szög és fordítva.

Rizs. 2. Derékszögű háromszög.

Derékszögű háromszögben a derékszög nagy szög, mivel a már említett okok miatt nem lehet második derékszög vagy tompaszög. Ez azt jelenti, hogy a leghosszabb oldal mindig a derékszöggel szemben helyezkedik el.

Érthetetlennek tűnik, hogy pontosan egy derékszögű háromszög miért érdemelt volna külön nevet minden oldalnak. Sőt, be egyenlő szárú háromszög az oldalaknak is megvan a saját neve: oldalak és alap. De a tanárok különösen a lábakra és a hipotenusokra szeretnek kettőt tenni. Miért? Ez egyrészt tisztelgés az ókori görögök, a matematika feltalálói emléke előtt. Ők voltak azok, akik a derékszögű háromszögeket tanulmányozták, és ezzel a tudással egy egész információréteget hagytak hátra, amelyre építhettek. modern tudomány. Másrészt ezeknek a neveknek a megléte nagyban leegyszerűsíti a tételek és a trigonometrikus azonosságok megfogalmazását.

Pitagorasz tétel

Ha egy tanár egy derékszögű háromszög befogójának képletére kérdez rá, akkor 90%-os valószínűséggel a Pitagorasz-tételre gondol. A tétel azt mondja: derékszögű háromszögben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Rizs. 3. Derékszögű háromszög hipoténusza.

Ügyeljen arra, hogy a tétel milyen világosan és tömören van megfogalmazva. Ez az egyszerűség nem érhető el a hipotenúza és a láb fogalmának használata nélkül.

A tételnek a következő képlete van:

$c^2=b^2+a^2$ – ahol c a befogó, a és b a derékszögű háromszög lábai.

Mit tanultunk?

Beszéltünk arról, hogy mi az a derékszögű háromszög. Megtudtuk, miért találták ki a lábak és a hipotenusz nevét. Megtudtuk a hipotenusz néhány tulajdonságát, és a Pitagorasz-tételen keresztül megadtuk a háromszög befogójának hosszának képletét.

Téma kvíz

Cikk értékelése

Átlagos értékelés: 4.6. Összes beérkezett értékelés: 213.