Megállapítottuk, hogy a trigonometrikus függvények viselkedése, és a függvények y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére x) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < x < π / 2 .

Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.

Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;

A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk

A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékek táblázatát összeállítanánk y = sin x .

1. Az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre osztjuk A kör osztási pontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.

2. A kör első negyede 0-tól függő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen x Vegyünk egy szakaszt, és osszuk 8 egyenlő részre.

3.Húzzunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket x, és az osztási pontokból visszaállítjuk a merőlegeseket a vízszintes vonalakkal való metszéspontra.

4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.

Most nézzük az intervallumot π / 2 < x < π .
Minden argumentum értéke x ebből az intervallumból úgy ábrázolható

x = π / 2 + φ

ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint

bűn( π / 2 + φ ) = cos φ = bűn ( π / 2 - φ ).

Tengelypontok x abszcisszával π / 2 + φ És π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül x abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi a függvény grafikonjának elkészítését y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban x = π / 2 .

Most használja az ingatlant páratlan függvény y \u003d sin x,

bűn(- x) = -sin x,

ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].

Az y \u003d sin x függvény periodikus 2π periódussal ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának felépítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .

Az így kapott görbét ún szinuszos . Ez a függvény grafikonja y = sin x.

Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amelyeket korábban mi is bebizonyítottunk. Emlékezzen ezekre a tulajdonságokra.

1) Funkció y = sin x minden értékre meghatározva x , így a tartománya az összes valós szám halmaza.

2) Funkció y = sin x korlátozott. Az összes szükséges érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Ezért ennek a függvénynek a tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < nál nél < 1. Mikor x = π / 2 + 2k π a függvény a legnagyobb értékeket 1-gyel veszi fel, és x = - esetén π / 2 + 2k π - a legkisebb értékek egyenlőek -1-gyel.

3) Funkció y = sin x páratlan (a szinusz szimmetrikus az origóhoz képest).

4) Funkció y = sin x időszakos a 2. periódussal π .

5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < x < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. x = k esetén π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) a függvény nulláinak nevezzük y = sinx

6) Időközönként - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.

Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sinx a pont közelében x = 0 .

Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin2° = bűn π 2 / 180 = bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Meg kell azonban jegyezni, hogy az x bármely értéke esetén

| bűn x| < | x | . (1)

Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a / AOB = x.

Aztán bűn x= AC. De AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő x, mivel a kör sugara 1. Tehát 0 esetén< x < π / 2

bűn x< х.

Ezért a függvény páratlansága miatt y = sinx könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < x < 0

| bűn x| < | x | .

Végül at x = 0

| sin x | = | x |.

Így a | x | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodik. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | | bűn x | < 1, a π / 2 > 1

Feladatok

1.A funkció ütemezése szerint y = sinx határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).

2. Ütemezés funkció y = sinx határozza meg, hogy az intervallumból melyik számot
[ - π / 2 , π / 2 ] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.

3. Ütemezett funkció y = sinx határozza meg, mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2 .

4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

"Yoshkar-Ola Szolgáltatástechnológiai Főiskola"

Az y=sinx trigonometrikus függvény grafikonjának felépítése és tanulmányozása táblázatbanKISASSZONY excel

/módszertani fejlesztés/

Yoshkar – Ola

Téma. Trigonometrikus függvény grafikonjának felépítése és tanulmányozásay = sinx MS Excel táblázatban

Az óra típusa– integrált (új ismeretek elsajátítása)

Célok:

Didaktikai cél - vizsgálja meg egy trigonometrikus függvény grafikonjainak viselkedéséty= sinxaz együtthatók függvényében számítógép segítségével

Oktatóanyagok:

1. Határozza meg a trigonometrikus függvény grafikonjának változását! y= bűn x együtthatóktól függően

2. Mutassa be a számítástechnika bevezetését a matematika tanításában, két tantárgy integrálását: algebra és számítástechnika!

3. A matematika órákon a számítástechnika használatának készségeinek kialakítása

4. A függvények kutatásának és grafikonjainak ábrázolásának készségeinek erősítése

Fejlesztés:

1. A tanulók kognitív érdeklődésének fejlesztése a tudományos tudományok iránt, valamint tudásuk gyakorlati helyzetekben való alkalmazásának képessége

2. Fejleszteni kell az elemzés, összehasonlítás, a legfontosabb kiemelés képességét

3. Hozzájárulni a tanulók általános fejlettségi szintjének javításához

pedagógusok :

1. Nevelje az önállóságot, pontosságot, szorgalmat

2. A párbeszéd kultúrájának előmozdítása

Munkaformák az órán - kombinált

Didaktikai eszközök és felszerelések:

1. Számítógépek

2. Multimédiás projektor

4. Kiosztó

5. Bemutató diák

Az órák alatt

én. Az óra kezdetének megszervezése

Diákok és vendégek köszöntése

· Készülj fel a leckére

II. Célkitűzés és a téma aktualizálása

Egy függvény tanulmányozása és grafikonjának elkészítése sok időt vesz igénybe, sok körülményes számítást kell végezni, ez nem kényelmes, a számítógépes technológiák segítenek.

Ma megtanuljuk, hogyan készítsünk trigonometrikus függvények grafikonjait MS Excel 2007 táblázatkezelő környezetben.

Óránk témája: „Trigonometrikus függvény grafikonjának megalkotása és tanulmányozása y= sinx táblázatban"

Az algebra során ismerjük a függvény tanulmányozásának és gráfjának felépítésének sémáját. Emlékezzünk, hogyan kell csinálni.

2. dia

Funkciótanulmányi séma

1. Funkciótartomány (D(f))

2. Az Е(f) függvény értékterülete

3. A paritás meghatározása

4. Periodikus

5. Funkció nullák (y=0)

6. Állandó előjel intervallumai (y>0, y<0)

7. A monotonitás intervallumai

8. Funkció szélsőségei

III. Az új oktatási anyagok elsődleges asszimilációja

Nyissa meg az MS Excel 2007 programot.

Ábrázoljuk az y=sin függvényt x

Ábrázolás táblázatbanKISASSZONY excel 2007

Ennek a függvénynek a grafikonja a szakaszra épül xЄ [-2π; 2π]

Egy lépéssel vesszük az érvelés értékeit , hogy a grafikon pontosabb legyen.

Mivel a szerkesztő számokkal dolgozik, ennek tudatában alakítsuk át a radiánokat számokká P ≈ 3,14 . (fordítási táblázat a tájékoztatóban).

1. Keresse meg a függvény értékét a pontban! x \u003d -2P. A többi esetben a szerkesztő automatikusan kiszámítja az argumentum megfelelő értékeinek megfelelő függvényértékeket.

2. Most van egy táblázatunk argumentum- és függvényértékekkel. Ezekkel az adatokkal kell ábrázolnunk ezt a függvényt a Chart Wizard segítségével.

3. Grafikon létrehozásához ki kell választania a kívánt adattartományt, sorokat argumentumértékekkel és függvényekkel

4..jpg" width="667" height="236 src=">

A következtetéseket leírjuk egy füzetbe (5. dia)

Kimenet. Az y=sinx+k formájú függvény grafikonját az y=sinx függvény grafikonjából kapjuk, az y tengely mentén k egységnyi párhuzamos fordítással

Ha k >0, akkor a grafikon k egységgel feljebb tolódik

Ha k<0, то график смещается вниз на k единиц

A nézeti funkció felépítése és tanulmányozásay=k*sinx,k- const

2. feladat. Munkában 2. lap függvényeket egy koordinátarendszerben ábrázolni y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, a (-2π; 2π) intervallumon, és nézze meg, hogyan változik a grafikon.

(Annak érdekében, hogy ne állítsuk be újra az argumentum értékét, másoljuk át a meglévő értékeket. Most be kell állítani a képletet, és a kapott táblázatból grafikont kell készíteni.)

Összehasonlítjuk a kapott grafikonokat. A tanulókkal közösen elemezzük a trigonometrikus függvény grafikonjának viselkedését az együtthatók függvényében. (6. dia)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , a (-2π; 2π) intervallumon, és nézze meg, hogyan változik a grafikon.

Összehasonlítjuk a kapott grafikonokat. A tanulókkal közösen elemezzük a trigonometrikus függvény grafikonjának viselkedését az együtthatók függvényében. (8. dia)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

A következtetéseket leírjuk egy füzetbe (11. dia)

Kimenet. Az y \u003d sin (x + k) formájú függvény grafikonját az y \u003d sinx függvény grafikonjából kapjuk, az OX tengely mentén k egységgel párhuzamos fordítással.

Ha k >1, akkor a grafikon az OX tengely mentén jobbra tolódik el

Ha 0

IV. A megszerzett tudás elsődleges megszilárdítása

Differenciált kártyák függvény felépítésének és tanulmányozásának feladatával grafikon segítségével

	Y=6*sin(x)	Y=1-2 bűnx	Y=- bűn(3x+)
1. Tartomány
2. Értékkör
3. Paritás
4. Periodikaság
5. Állandósági intervallumok
6. hézagokegyhangúság
A funkció emelkedik
Funkció csökken
7. A funkció szélsőségei
Minimális
Maximális

V. Házi feladat szervezése

Ábrázolja az y=-2*sinх+1 függvényt, vizsgálja meg és ellenőrizze a konstrukció helyességét a Microsoft Excel táblázatkezelő környezetben. (12. dia)

VI. Visszaverődés

Hogyan ábrázoljuk az y=sin x függvényt? Először tekintsük az intervallum szinuszának grafikonját.

Egy jegyzetfüzet egyetlen szegmensét vesszük 2 cella hosszúságúra. Az Oy tengelyen jelöljük az egységet.

A kényelem kedvéért a π/2 számot 1,5-re kerekítjük (és nem 1,6-ra, ahogy azt a kerekítési szabályok előírják). Ebben az esetben egy π/2 hosszúságú szegmens 3 cellának felel meg.

Az Ox tengelyen nem egyedi szegmenseket jelölünk, hanem π / 2 hosszúságú szegmenseket (minden 3 cellában). Ennek megfelelően egy π hosszúságú szegmens 6 cellának, egy π/6 hosszúságú szegmens 1 cellának felel meg.

Ezzel az egyetlen szegmens kiválasztásával a notebook lapján egy dobozban ábrázolt grafikon a lehető legnagyobb mértékben megfelel az y=sin x függvény grafikonjának.

Készítsünk egy táblázatot az intervallum szinuszértékeiről:

A kapott pontokat a koordinátasíkon jelöljük:

Mivel y=sin x páratlan függvény, a szinuszgráf szimmetrikus az origóhoz – O(0;0) ponthoz. Ezt a tényt figyelembe véve folytatjuk a grafikon bal oldali ábrázolását, majd a -π pontokat:

Az y=sin x függvény periodikus, T=2π periódussal. Ezért a függvény [-π; π] intervallumon felvett grafikonja végtelen számú alkalommal ismétlődik jobbra és balra.

Az y=sinx gráf nyújtása az y tengely mentén. Az y=3sinx függvény adott. A gráf felépítéséhez ki kell nyújtanunk az y=sinx gráfot úgy, hogy E(y): (-3; 3).

7. kép a "Függvény grafikonja" című előadásból algebra leckékhez a "Függvény grafikonja" témában

Méretek: 960 x 720 pixel, formátum: jpg. Ha ingyenes képet szeretne letölteni egy algebra leckéhez, kattintson a jobb gombbal a képre, majd kattintson a "Kép mentése másként..." gombra. A leckében való képek megjelenítéséhez ingyenesen letöltheti a „Funkció grafikonjának készítése.ppt” című teljes prezentációt az összes képpel egy zip-archívumban. Archívum mérete - 327 KB.

Prezentáció letöltése

Függvénygrafikon

"A függvény grafikonja" - Tartalom: Az y=sinx grafikon nyújtása az y tengely mentén. Az y=3sinx függvény adott. Az y=sinx+1 függvény adott. Az y=3cosx függvény adott. Ábrázolja a függvénygrafikont. Az y= m*cos x függvény grafikonja. Végezte: Alexey Levin, az 52. tanulmányi csoport kadéta. A grafikon függőlegesen eltolja az y=cosx értéket. A mintafeladatok megnyitásához kattintson az l-re. egérgombot.

"Koordinátarendszer a térben" - A csavar zárva van. Magasság, szélesség, mélység. Téglalap alakú koordinátarendszer a térben. Egy pont koordinátái a térben. M. Escher munkája egy téglalap alakú koordinátarendszer térbeli bevezetésének gondolatát tükrözi. Az Ox az abszcissza tengely, az Oy az ordináta tengely, az Oz az alkalmazási tengely. Hallgass szonátagömböket Pythagorasszal, az atomok sokáig számítanak, mint Démokritosz.

"Koordinátasík 6. évfolyam" - U. Matematika 6. évfolyam. 1. Keresse meg és írja le az A, B, C, D pontok koordinátáit: O. X. Koordinátasík! -3. egy.

"Függvények és grafikonjaik" - Példák páratlan függvényekre: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). 3. Ha k? 0 és b? 0, akkor y = kx + b. A függvény az összes valós szám halmazán van definiálva. Az y = kx alakú lineáris függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Erő. y = sinx. Periodikaság.

"Funkciókutatás" - Funkciók. Dorokhova Yu.A. Emlékezzünk... Óra munkaterv. A függvénykutatási séma segítségével fejezze be a feladatot: 24. o.; No. 296 (a; b), No. 299 (a; b). Tudta-e, hogy... Az óra célja: A derivált alkalmazása. A feladat. Ellenőrző munka: Végezze el szóban: Az f (x) \u003d x3 függvényhez határozza meg a D (f), paritást, növelést, csökkentést.

"Funkciók növelése és csökkentése" - Funkciók növelése és csökkentése. Nézzünk egy példát a növekvő és csökkenő függvényekre. A szinuszfüggvény periodicitása miatt a bizonyítás elegendő a [-? / 2; ?/2]. Nézzünk még egy példát. Ha -?/2 ? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

A témában összesen 25 előadás hangzik el

Óra és előadás a témában: "Y=sin(x) függvény. Definíciók és tulajdonságok"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Kézikönyvek és szimulátorok az "Integral" online áruházban az 1C 10. osztályhoz
Geometriai feladatokat oldunk meg. Interaktív építési feladatok 7-10
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mit fogunk tanulni:

• Az Y=sin(X) függvény tulajdonságai.
• Függvénygrafikon.
• Hogyan készítsünk grafikont és léptékét.
• Példák.

szinusz tulajdonságok. Y=sin(X)

Srácok, már találkoztunk egy numerikus argumentum trigonometrikus függvényeivel. Emlékszel rájuk?

Nézzük meg közelebbről az Y=sin(X) függvényt

Írjuk fel ennek a függvénynek néhány tulajdonságát:
1) A definíciós tartomány a valós számok halmaza.
2) A függvény páratlan. Emlékezzünk vissza a páratlan függvény definíciójára. Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha az egyenlőség igaz: y(-x)=-y(x). Ahogyan a szellemképletekből emlékszünk: sin(-x)=-sin(x). A definíció teljesül, így Y=sin(X) páratlan függvény.
3) Az Y=sin(X) függvény az intervallumon növekszik és a [π/2; π]. Amikor az első negyed mentén haladunk (az óramutató járásával ellentétes irányban), az ordináta növekszik, és ha a második negyed mentén haladunk, akkor csökken.

4) Az Y=sin(X) függvény alulról és felülről korlátos. Ez a tulajdonság abból adódik, hogy
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) A függvény legkisebb értéke -1 (x = - π/2+ πk esetén). A függvény legnagyobb értéke 1 (x = π/2+ πk esetén).

Használjuk az 1-5 tulajdonságokat az Y=sin(X) függvény ábrázolására. A gráfunkat szekvenciálisan készítjük el, tulajdonságainkat alkalmazva. Kezdjük a grafikon felépítését a szegmensen.

Különös figyelmet kell fordítani a skálára. Az ordináta tengelyen kényelmesebb egyetlen szegmenst venni, amely egyenlő 2 cellával, és az abszcissza tengelyen - egyetlen szegmenst (két cellát), amely egyenlő π / 3-mal (lásd az ábrát).

Az x szinusz függvény ábrázolása, y=sin(x)

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmensünkön:

Készítsünk grafikont pontjainkra, figyelembe véve a harmadik tulajdonságot.

Átalakító táblázat szellemképletekhez

Használjuk a második tulajdonságot, amely azt mondja, hogy a függvényünk páratlan, ami azt jelenti, hogy szimmetrikusan tükrözhető az origóra:

Tudjuk, hogy sin(x+ 2π) = sin(x). Ez azt jelenti, hogy a [- π; π] gráf ugyanúgy néz ki, mint a [π; 3π] vagy vagy [-3π; - pi] és így tovább. Továbbra is gondosan át kell rajzolnunk az előző ábrán látható grafikont a teljes x tengelyen.

Az Y=sin(X) függvény grafikonját szinuszosnak nevezzük.

Írjunk még néhány tulajdonságot a felépített gráf szerint:
6) Az Y=sin(X) függvény bármely alakú szegmensén növekszik: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k egy egész szám, és a következő alak bármely szegmensén csökken: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k egy egész szám.
7) Az Y=sin(X) függvény folytonos függvény. Nézzük meg a függvény grafikonját, és győződjünk meg arról, hogy a függvényünkben nincs törés, ez folytonosságot jelent.
8) Értéktartomány: szegmens [- 1; egy]. Ez jól látható a függvény grafikonján is.
9) Az Y=sin(X) függvény periodikus függvény. Nézzük meg újra a grafikont, és nézzük meg, hogy a függvény bizonyos időközönként ugyanazokat az értékeket veszi fel.

Példák a szinuszos problémákra

1. Oldja meg a sin(x)= x-π egyenletet!

Megoldás: Készítsünk 2 grafikont a függvényből: y=sin(x) és y=x-π (lásd az ábrát).
Grafikonjaink egy A(π; 0) pontban metszik egymást, ez a válasz: x = π

2. Ábrázolja az y=sin(π/6+x)-1 függvényt

Megoldás: A kívánt gráfot úgy kapjuk meg, hogy az y=sin(x) függvény grafikonját π/6 egységgel balra és 1 egységgel lefelé mozgatjuk.

Megoldás: Készítsük el a függvény grafikonját, és vegyük figyelembe a [π/2; 5π/4].
A függvény grafikonja azt mutatja, hogy a legnagyobb és a legkisebb értéket a szakasz végén, a π/2 és 5π/4 pontokon érjük el.
Válasz: sin(π/2) = 1 a legnagyobb érték, sin(5π/4) = a legkisebb érték.

Szinuszfeladatok a független megoldáshoz

• Oldja meg az egyenletet: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Ábrázoljuk az y=sin(π/3+x)-2 függvényt
• Ábrázoljuk az y=sin(-2π/3+x)+1 függvényt
• Keresse meg az y=sin(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét a szakaszon!
• Határozzuk meg az y=sin(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [- π/3; 5π/6]