\[(\Large(\text(Hasonló háromszögek)))\]

Definíciók

Két háromszöget hasonlónak mondunk, ha a szögeik egybevágóak, és az egyik háromszög oldalai arányosak a másik háromszög hasonló oldalaival.
(az oldalakat hasonlónak nevezzük, ha egyenlő szöggel szemben helyezkednek el).

A (hasonló) háromszögek hasonlósági együtthatója e háromszögek hasonló oldalainak arányával egyenlő szám.

Meghatározás

A háromszög kerülete az összes oldala hosszának összege.

Tétel

Két hasonló háromszög kerületének aránya megegyezik a hasonlósági együtthatóval.

Bizonyíték

Tekintsük az \(ABC\) és \(A_1B_1C_1\) háromszögeket \(a,b,c\) és \(a_1, b_1, c_1\) oldalakkal (lásd a fenti ábrát).

Azután \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Tétel

Két hasonló háromszög területének aránya megegyezik a hasonlósági együttható négyzetével.

Bizonyíték

Legyen az \(ABC\) és \(A_1B_1C_1\) háromszög hasonló, és \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Jelölje \(S\) és \(S_1\) betűkkel e háromszögek területét.

Mivel \(\angle A = \angle A_1\) , akkor \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(az egyenlő szögű háromszögek területeinek arányáról szóló tétel szerint).

Mint \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), azután \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), amit bizonyítani kellett.

\[(\Large(\text(Háromszög hasonlósági tesztek)))\]

Tétel (a háromszögek hasonlóságának első kritériuma)

Ha egy háromszög két szöge egy másik háromszög két szögével egyenlő, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak.

Bizonyíték

Legyenek \(ABC\) és \(A_1B_1C_1\) olyan háromszögek, hogy \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Majd a háromszögösszeg tétel alapján \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), azaz az \(ABC\) háromszög szögei rendre megegyeznek a \(A_1B_1C_1\) háromszög szögeivel.

Mivel \(\angle A = \angle A_1\) és \(\angle B = \angle B_1\) , akkor \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)és \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Ezekből az egyenlőségekből az következik \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(a \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) egyenlőségek segítségével).

Ennek eredményeként az \(ABC\) háromszög oldalai arányosak az \(A_1B_1C_1\) háromszög hasonló oldalaival, amit igazolni kellett.

Tétel (a háromszögek hasonlóságának második kritériuma)

Ha egy háromszög két oldala arányos egy másik háromszög két oldalával, és az ezen oldalak közötti szögek egyenlőek, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak.

Bizonyíték

Tekintsünk két háromszöget \(ABC\) és \(A"B"C"\) úgy, hogy \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) Bizonyítsuk be, hogy az \(ABC\) és \(A"B"C"\) háromszögek hasonlóak. Adott az első háromszög hasonlósági feltétele, elegendő megmutatni, hogy \(\angle B = \angle B"\) .

Tekintsünk egy \(ABC""\) háromszöget, ahol \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . Az \(ABC""\) és \(A"B"C"\) háromszögek hasonlóak az első háromszög hasonlósági feltételében, akkor \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Másrészt az állapot szerint \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Az utolsó két egyenlőségből az következik, hogy \(AC = AC""\) .

Az \(ABC\) és \(ABC""\) háromszögek két oldalán egyenlőek, ezért a köztük lévő szög \(\angle B = \angle 2 = \angle B"\).

Tétel (a háromszögek hasonlóságának harmadik kritériuma)

Ha egy háromszög három oldala arányos egy másik háromszög három oldalával, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak.

Bizonyíték

Legyenek arányosak az \(ABC\) és \(A"B"C"\) háromszögek oldalai: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Bizonyítsuk be, hogy az \(ABC\) és \(A"B"C"\) háromszögek hasonlóak.

Ehhez a második háromszög hasonlósági feltételét figyelembe véve elegendő annak bizonyítása, hogy \(\angle BAC = \angle A"\) .

Tekintsünk egy \(ABC""\) háromszöget, ahol \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .

Az \(ABC""\) és \(A"B"C"\) háromszögek hasonlóak az első háromszög hasonlósági feltételében, ezért \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Az egyenlőségek és feltételek utolsó láncolatából \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\) ebből következik, hogy \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

Az \(ABC\) és \(ABC""\) háromszögek három oldala egyenlő, ezért \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).

\[(\Large(\text(Thales-tétel)))\]

Tétel

Ha a szög egyik oldalán egymással egyenlő szakaszokat jelölünk, és a végükön keresztül párhuzamos egyeneseket húzunk, akkor ezek az egyenesek a második oldalon egymással egyenlő szakaszokat vágnak le.

Bizonyíték

Először bizonyítsuk be lemma: Ha az \(\háromszög OBB_1\)-ben egy \(a\párhuzamos BB_1\) egyenest húzunk az \(OB\) oldal \(A\) felezőpontján, akkor az \(OB_1\) oldalt is metszi középen.

Rajzolja át a \(l\párhuzamos OB\) pontot a \(B_1\) ponton keresztül. Legyen \(l\cap a=K\) . Ekkor \(ABB_1K\) egy paralelogramma, ezért \(B_1K=AB=OA\) és \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\) mint a függőleges. Tehát a második jel szerint \(\háromszög OAA_1=\háromszög B_1KA_1 \Jobbra OA_1=A_1B_1\). A lemma bevált.

Folytassuk a tétel bizonyításával. Legyen \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\), és be kell bizonyítanunk, hogy \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Így ezzel a lemmával \(OA_1=A_1B_1\) . Bizonyítsuk be, hogy \(A_1B_1=B_1C_1\) . Húzzon egy vonalat a \(B_1\) \(d\parallel OC\) ponton keresztül, és legyen \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . Ekkor az \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) paralelogrammák, tehát \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . És így, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) mint függőleges, \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) mint keresztben fekvő, és ezért a második jel szerint \(\háromszög A_1B_1D_1=\háromszög C_1B_1D_2 \Jobbra A_1B_1=B_1C_1\).

Thalész tétele

A párhuzamos vonalak arányos szegmenseket vágnak a szög oldalain.

Bizonyíték

Legyenek párhuzamos vonalak \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) osszuk fel az egyik sort \(a, b, c, d\) szegmensekre. Ezután ezeknek a vonalaknak fel kell osztaniuk a második egyenest \(ka, kb, kc, kd\) szegmensekre, ahol \(k\) egy bizonyos szám, a szakaszok azonos arányossági együtthatója.

Rajzoljunk egy \(p\párhuzamos OD\) egyenest a \(A_1\) ponton keresztül (\(ABB_2A_1\) paralelogramma, ezért \(AB=A_1B_2\) ). Azután \(\háromszög OAA_1 \sim \háromszög A_1B_1B_2\) két sarkán. Ennélfogva, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Jobbra A_1B_1=kb\).

Hasonlóképpen húzzunk egy egyenest \(B_1\) \(q\párhuzamos OD \jobbra nyíl \háromszög OBB_1\sim \háromszög B_1C_1C_2 \jobbra mutató B_1C_1=kc\) stb.

\[(\Large(\text( középső vonal háromszög)))\]

Meghatározás

A háromszög középvonala egy olyan szakasz, amely a háromszög bármely két oldalának felezőpontját köti össze.

Tétel

A háromszög középvonala párhuzamos a harmadik oldallal, és egyenlő annak felével.

Bizonyíték

1) A középvonal párhuzamossága az alappal a fentiekből következik lemmák.

2) Bebizonyítjuk, hogy \(MN=\dfrac12 AC\) .

Rajzoljon egy egyenest az \(N\) ponton keresztül párhuzamosan \(AB\) -vel. Ez az egyenes metszi az \(AC\) oldalt a \(K\) pontban. Ekkor \(AMNK\) egy paralelogramma ( \(AM\párhuzamos NK, MN\párhuzamos AK\) az előző pontnál). Tehát \(MN=AK\) .

Mert \(NK\parallel AB\) és \(N\) a \(BC\) felezőpontja, majd a Thalész-tétel szerint \(K\) a \(AC\) felezőpontja. Ezért \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Következmény

A háromszög középső vonala a megadotthoz hasonló háromszöget vág le, \(\frac12\) együtthatóval.

A háromszög középvonala egy olyan szakasz, amely összeköti a háromszög két oldalának felezőpontját. Ennek megfelelően minden háromszögnek három középvonala van. A középvonal minőségének, valamint a háromszög oldalainak hosszának és szögeinek ismeretében meg lehet találni a középvonal hosszát.

Szükséged lesz

• Háromszög oldalai, háromszög szögei

Utasítás

1. Legyen egy ABC MN háromszögben az AB (M pont) és AC (N pont) oldal felezőpontját összekötő felezővonal. a fele. Ez azt jelenti, hogy az MN középvonal párhuzamos lesz a BC oldallal és egyenlő a BC/2-vel, ezért a háromszög középvonalának hosszának meghatározásához elegendő ismerni ennek a harmadik oldalnak a hosszát.

2. Ismerjük meg most azokat az oldalakat, amelyek felezőpontjait az MN medián egyenes köti össze, azaz AB és AC, valamint a köztük lévő BAC szöget. Mivel MN a középvonal, akkor AM = AB/2, és AN = AC/2. Ekkor a koszinusztétel szerint objektíven: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Innentől kezdve MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Ha ismert az AB és AC oldal, akkor az MN középvonal az ABC vagy ACB szög ismeretében megtalálható. Legyen mondjuk az ABC szög híres. Mivel a középvonal tulajdonsága szerint MN párhuzamos BC-vel, akkor az ABC és AMN szögek megfelelnek, és ebből következően ABC = AMN. Ekkor a koszinusz törvénye szerint: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Következésképpen az oldal MN megtalálható másodfokú egyenlet(MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

2. tipp: Hogyan találjuk meg a négyzet alakú háromszög oldalát

A négyzet alakú háromszöget helyesebben derékszögű háromszögnek nevezzük. Ennek oldalai és szögei közötti kapcsolat geometriai alakzat A trigonometria matematikai tudományágában részletesen foglalkoznak.

Szükséged lesz

• - papír;
• - toll;
• – Bradis asztalok;
• - számológép.

Utasítás

1. Felfedez oldal négyszögletes háromszög a Pitagorasz-tétel támogatásával. E tétel szerint a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével: c2 \u003d a2 + b2, ahol c a hipotenusz háromszög, a és b a lábai. Az egyenlet alkalmazásához ismernie kell a téglalap bármely két oldalának hosszát. háromszög .

2. Ha a feltételek meghatározzák a lábak méreteit, keresse meg a hipotenusz hosszát. Ehhez egy számológép segítségével vonja ki a lábak összegének négyzetgyökét, amelyek mindegyikét előre négyzetre emelik.

3. Számítsa ki az egyik láb hosszát, ha ismert az alsó és a másik láb mérete! Számológép segítségével vegye ki a négyzetgyököt a négyzetes befogó és a hajtott láb különbségéből, szintén négyzetesen.

4. Ha a hipotenúza és a vele szomszédos hegyesszögek egyike adott a feladatban, használja a Bradys-táblázatokat. Ezek tartalmazzák az értékeket trigonometrikus függvények számára egy nagy szám sarkok. Használja a számológépet szinusz és koszinusz függvényekkel, valamint trigonometriai tételekkel, amelyek leírják a téglalap oldalai és szögei közötti kapcsolatot háromszög .

5. Keresse meg a lábakat az alapvető trigonometrikus függvények segítségével: a = c*sin ?, b = c*cos ?, ahol a a sarokkal szemközti láb?, b a sarokkal szomszédos láb?. Hasonló módon számítsa ki az oldalak méretét háromszög, ha a befogó és egy másik hegyesszög adott: b = c*sin ?, a = c*cos ?, ahol b a szöggel ellentétes szár?, és a szár szomszédos-e a szöggel?

6. Abban az esetben, ha az a lábat és a vele szomszédos hegyesszöget vezetjük?, ne felejtsük el, hogy be derékszögű háromszög a hegyesszögek összege mindig 90°: ? +? = 90°. Keresse meg az a: szárral ellentétes szög értékét? = 90° -?. Vagy használja trigonometrikus képletek lead: bűn ? = sin (90° -?) = cos?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/barna?.

7. Ha az a lábat és a vele szemközti hegyesszöget? megtartjuk, Bradis-táblázatok, számológép és trigonometrikus függvények segítségével számítsuk ki a hipotenuszt a következő képlet segítségével: c=a*sin?, láb: b=a*tg?.

Kapcsolódó videók

Olyan négyszöget nevezünk, amelynek csak két párhuzamos oldala van trapéz.

A trapéz párhuzamos oldalait annak nevezzük okokból, és azokat az oldalakat nevezzük, amelyek nem párhuzamosak oldalain. Ha az oldalak egyenlőek, akkor egy ilyen trapéz egyenlő szárú. Az alapok közötti távolságot a trapéz magasságának nevezzük.

A trapéz középvonala

A középvonal a trapéz oldalainak felezőpontjait összekötő szakasz. A trapéz középvonala párhuzamos az alapjaival.

Tétel:

Ha az egyik oldal közepét metsző egyenes párhuzamos a trapéz alapjaival, akkor felezi a trapéz második oldalát.

Tétel:

A középvonal hossza egyenlő az alapjai hosszának számtani átlagával

MN || AB || DC
AM=MD; BN=NC

MN középvonal, AB és CD - alapok, AD és BC - oldalak

MN=(AB+DC)/2

Tétel:

A trapéz középvonalának hossza megegyezik az alapjai hosszának számtani átlagával.

A fő feladat: Bizonyítsuk be, hogy a trapéz középvonala kettévág egy szakaszt, amelynek végei a trapéz alapjainak közepén vannak.

A háromszög középső vonala

A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög felezővonalának nevezzük. Párhuzamos a harmadik oldallal, hossza pedig a harmadik oldal hosszának fele.
Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának felezőpontját metsző egyenes párhuzamos az adott háromszög másik oldalával, akkor felezi a harmadik oldalt.

AM = MC és BN = NC =>

Háromszög és trapéz középvonal tulajdonságainak alkalmazása

Egy szakasz felosztása bizonyos számú egyenlő részre.
Feladat: Osszuk az AB szakaszt 5 egyenlő részre.
Döntés:
Legyen p véletlenszerű sugár, amelynek origója az A pont, és amely nem az AB egyenesen fekszik. Egymás után félretettünk 5 egyenlő szegmenst a p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 oldalon.
Összekapcsoljuk A 5-öt B-vel, és vonalakat húzunk A 4, A 3, A 2 és A 1 pontokon keresztül, amelyek párhuzamosak A 5 B-vel. Ezek metszik az AB-t B 4 , B 3 , B 2 és B 1 pontokban. Ezek a pontok az AB szakaszt 5 egyenlő részre osztják. A BB 3 A 3 A 5 trapézből valóban azt látjuk, hogy BB 4 = B 4 B 3 . Ugyanígy a B 4 B 2 A 2 A 4 trapézből B 4 B 3 = B 3 B 2

Míg a trapézból B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Ekkor B 2 AA 2-ből az következik, hogy B 2 B 1 = B 1 A. Összegezve azt kapjuk, hogy:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Nyilvánvaló, hogy ahhoz, hogy az AB szakaszt több egyenlő részre oszthassuk, ugyanannyi egyenlő szakaszt kell a p sugárra vetítenünk. Ezután folytassa a fent leírt módon.

A "Get an A" videó tanfolyam minden olyan témát tartalmaz, amely a sikeres sikerhez szükséges a vizsga letétele matematikából 60-65 pontért. Teljesen a Profil USE 1-13. feladatai matematikából. Alkalmas a Basic USE matematika letételére is. Ha 90-100 ponttal akarsz sikeres vizsgát tenni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a matematika vizsga 1. részének (az első 12 feladat) és a 13. feladatnak (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az Egységes Államvizsgán, ezek nélkül sem százpontos diák, sem humanista nem tud meglenni.

Minden szükséges elmélet. Gyors megoldások, csapdák és a vizsga titkai. A FIPI Bank feladatai közül az 1. rész összes releváns feladatát elemeztem. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az USE-2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz vizsgafeladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető problémamegoldó algoritmusok. Geometria. Elmélet, referencia anyag, minden típusú USE feladat elemzése. Sztereometria. Ravasz trükkök a megoldáshoz, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből – a 13. feladathoz. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Alap a 2. vizsgarész összetett feladatainak megoldásához.

Előfordulhat, hogy az iskolában elmagyarázott témák nem mindig egyértelműek első alkalommal. Ez különösen igaz az olyan tantárgyakra, mint a matematika. De a dolgok sokkal bonyolultabbá válnak, amikor ez a tudomány két részre oszlik: algebra és geometria.

Minden tanuló két irányban is képes lehet, de különösen abban Általános Iskola fontos megérteni mind az algebra, mind a geometria alapjait. A geometriában az egyik fő téma a háromszögekről szóló rész.

Hogyan lehet megtalálni a háromszög középvonalát? Találjuk ki.

Alapfogalmak

Először is, hogy kitaláljuk, hogyan lehet megtalálni a háromszög középső vonalát, fontos megérteni, mi az.

A középvonal megrajzolására nincs korlátozás: a háromszög bármilyen lehet (egyenlő szárú, egyenlő oldalú, derékszögű). És minden olyan tulajdonság, amely a középső vonalhoz kapcsolódik, működni fog.

A háromszög középvonala egy olyan szakasz, amely összeköti a háromszög két oldalának felezőpontját. Ezért bármely háromszögben lehet 3 ilyen egyenes.

Tulajdonságok

Annak érdekében, hogy megtudjuk, hogyan találjuk meg a háromszög középső vonalát, jelöljük a tulajdonságait, amelyeket emlékezni kell, különben nélkülük lehetetlen megoldani a középső vonal hosszának megjelölésével kapcsolatos problémákat, mivel az összes adat A kapott eredményeket tételekkel, axiómákkal vagy tulajdonságokkal kell alátámasztani és érvelni.

Így a kérdés megválaszolásához: "Hogyan találjuk meg az ABC háromszög középvonalát?", Elég ismerni a háromszög egyik oldalát.

Mondjunk egy példát

Vessen egy pillantást a rajzra. Az ABC háromszöget DE középvonallal ábrázolja. Figyeljük meg, hogy párhuzamos a háromszög AC alapjával. Ezért bármi legyen is az AC, a DE középső vonal fele akkora lesz. Például az AC=20 azt jelenti, hogy DE=10 stb.

Ilyen egyszerű módokon megértheti, hogyan lehet megtalálni a háromszög középső vonalát. Emlékezzen alapvető tulajdonságaira és meghatározására, és akkor soha nem lesz gondja megtalálni a jelentését.