Az algebra óra összefoglalója a középiskola 8. osztálya számára

Óra témája: Funkció

Az óra célja:

· Nevelési: definiálja az alak másodfokú függvényének fogalmát (hasonlítsa össze a függvények grafikonjait és ), mutassa meg a képletet a parabola csúcs koordinátáinak megtalálásához (tanítsa meg ennek a képletnek a gyakorlati alkalmazását); másodfokú függvény tulajdonságainak gráfból történő meghatározásának képességét kialakítani (a szimmetriatengely, a parabola csúcs koordinátái, a gráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak koordinátái).

· Nevelési: a matematikai beszéd fejlesztése, a gondolatok helyes, következetes és racionális kifejezésének képessége; matematikai szöveg helyes írásának képességének fejlesztése szimbólumok és jelölések segítségével; az elemző gondolkodás fejlesztése; fejlődés kognitív tevékenység a tanulók az anyag elemzésének, rendszerezésének és általánosításának képességén keresztül.

· Nevelési: önállóságra nevelés, mások meghallgatásának képessége, pontosság és figyelem kialakítása az írásbeli matematikai beszédben.

Az óra típusa: új anyagok tanulása.

Tanítási módok:

generalizált-reproduktív, induktív-heurisztikus.

A tanulók tudásával és készségeivel szemben támasztott követelmények

tudja, mi az alak másodfokú függvénye, a parabola csúcsának koordinátáinak megkeresésére szolgáló képlet; tudja megtalálni a parabola csúcs koordinátáit, a függvénygráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak koordinátáit, meghatározza a függvénygráfból egy másodfokú függvény tulajdonságait.

Felszerelés:

Tanterv

ÉN. Idő szervezése(1-2 perc)

II. Tudásfrissítés (10 perc)

III. Új anyag bemutatása (15 perc)

IV. Új anyag tömörítése (12 perc)

V. Tájékoztatás (3 perc)

VI. Házi feladat (2 perc)

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat

Köszöntés, távollévők ellenőrzése, füzetgyűjtés.

II. Tudásfrissítés

Tanár: A mai órán egy új témát fogunk tanulni: "Funkció". De először tekintsük át az eddig tanultakat.

Elöljáró szavazás:

1) Mit nevezünk másodfokú függvénynek? (Funkció, ahol adott valós számok A , , valós változót másodfokú függvénynek nevezzük.)

2) Mi a másodfokú függvény grafikonja? (Egy másodfokú függvény grafikonja egy parabola.)

3) Melyek a másodfokú függvény nullái? (Egy másodfokú függvény nullája azok az értékek, amelyeknél eltűnik.)

4) Sorolja fel a függvény tulajdonságait! (A függvény értékei pontban pozitívak és nullával egyenlőek; a függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátatengelyekre; a függvénynél nő, at -nél csökken.)

5) Sorolja fel a függvény tulajdonságait! (Ha , akkor a függvény pozitív értékeket vesz fel, ha, akkor a függvény negatív értékeket vesz fel, a függvény értéke csak 0; a parabola szimmetrikus az ordináta tengelyére; ha , akkor a függvény növekszik és csökken -re, ha, akkor a függvény növekszik -re, csökken -re.)

III. Új anyag bemutatása

Tanár: Kezdjük el az új anyagok tanulását. Nyisd ki a füzeteidet, írd le az óra dátumát és témáját. Ügyeljen a táblára.

tábla írás: Szám.

Funkció .

Tanár: A táblán két függvénygrafikon látható. Az első grafikon és a második. Próbáljuk meg összehasonlítani őket.

Ismeri a függvény tulajdonságait. Ezek alapján és grafikonjainkat összevetve kiemelhetjük a függvény tulajdonságait.

Szóval, mit gondolsz, mi határozza meg a parabola ágainak irányát?

Diákok: Mindkét parabola ágainak iránya az együtthatótól függ.

Tanár: Elég jó. Azt is észreveheti, hogy mindkét parabolának van szimmetriatengelye. Mi az első függvénygráf szimmetriatengelye?

Diákok: A forma parabolája esetén a szimmetriatengely az y tengely.

Tanár: Jobb. Mi a parabola szimmetriatengelye?

Diákok: A parabola szimmetriatengelye egy olyan egyenes, amely a parabola csúcsán halad át, párhuzamosan az y tengellyel.

Tanár: Jobb. Tehát a függvény grafikonjának szimmetriatengelyét a parabola csúcsán áthaladó egyenesnek nevezzük, párhuzamos a tengellyel ordináta

És a parabola teteje egy pont koordinátákkal. Ezeket a következő képlet határozza meg:

Írd be a képletet a füzetedbe, és karikázd be egy dobozba!

Írás a táblára és a füzetekbe

Parabola csúcskoordináták.

Tanár: Most, hogy világosabb legyen, nézzünk egy példát.

1. példa: Keresse meg a parabola csúcsának koordinátáit.

Megoldás: A képlet szerint

Tanár: Mint már megjegyeztük, a szimmetriatengely a parabola tetején halad át. Nézze meg az íróasztalt. Rajzold le ezt a képet a füzetedbe.

A táblára és a füzetbe írva:

Tanár: A rajzon: - a parabola szimmetriatengelyének egyenlete annak a pontnak a csúcsával, ahol a parabola csúcsának abszcissza.

Vegyünk egy példát.

2. példa: A függvény grafikonjából határozza meg a parabola szimmetriatengelyének egyenletét!

A szimmetriatengely egyenlete a következő: , tehát az adott parabola szimmetriatengelyének egyenlete.

Válasz: - a szimmetriatengely egyenlete.

IV. Új anyag konszolidációja

Tanár: A táblán olyan feladatok vannak, amelyeket az órán meg kell oldani.

tábla írás: № 609(3), 612(1), 613(3)

Tanár: De előbb oldjunk meg egy nem tankönyvi példát. A táblánál döntünk.

1. példa: Keresse meg egy parabola csúcsának koordinátáit

Megoldás: A képlet szerint

Válasz: a parabola csúcsának koordinátái.

2. példa: Keresse meg a parabola metszéspontjainak koordinátáit koordináta tengelyekkel.

Megoldás: 1) Tengellyel:

Azok.

Vieta tétele szerint:

Metszéspontok az abszcissza tengellyel (1;0) és (2;0).

2) Tengellyel:

Metszéspont az y tengellyel (0;2).

Válasz: (1;0), (2;0), (0;2) a koordinátatengelyekkel való metszéspontok koordinátái.

Az "Y=ax 2 függvény, grafikonja és tulajdonságai" prezentáció az szemléltető eszköz, amely a tanári témamagyarázat kíséretében jön létre. Ez az előadás részletesen tárgyalja a másodfokú függvényt, annak tulajdonságait, az ábrázolás sajátosságait, a fizika feladatmegoldási módszereinek gyakorlati alkalmazását.

Gondoskodás magas fok vizualizáció, ez az anyag segít a tanárnak a tanítás hatékonyságának növelésében, lehetőséget ad az óra ésszerűbb időbeosztására. Az animációs effektusok, a fogalmak, fontosabb pontok színekkel történő kiemelésével a tanulók figyelme a tanult tárgyra összpontosul, a definíciók jobb memorizálása, az érvelés menete érhető el a problémák megoldása során.

Az előadás az előadás címének és a másodfokú függvény fogalmának bemutatásával kezdődik. A téma fontosságát hangsúlyozzák. A tanulókat felkérjük, hogy jegyezzék meg a másodfokú függvény definícióját, mint y=ax 2 +bx+c formájú funkcionális függést, amelyben független változó, számok, míg a≠0. A 4. dián külön megjegyezzük, hogy ennek a függvénynek a tartománya a valós értékek teljes tengelye. Hagyományosan ezt az állítást D(x)=R-vel jelöljük.

A másodfokú függvény egyik példája fontos alkalmazása a fizikában - az útfüggőségi képlet egyenletesen gyorsított mozgás időről. Ezzel párhuzamosan a fizika órákon a diákok különféle mozgástípusok képleteit tanulják, így szükségük lesz az ilyen problémák megoldásának képességére. Az 5. dián felhívjuk a tanulókat arra, hogy amikor a test gyorsulással mozog és a visszaszámlálás elején ismert a megtett távolság és a mozgás sebessége, akkor funkcionális függőség, amely egy ilyen mozgást reprezentál, az S=(at 2)/2+v 0 t+S 0 képlettel fejezzük ki. A következő egy példa a képlet adott másodfokú függvénnyel való alakítására, ha a gyorsulás értéke = 8, a kezdeti sebesség = 3 és a kezdeti út = 18. Ebben az esetben a függvény S=4t 2 +3t+18 alakot ölt.

A 6. dián az y=ax 2 másodfokú függvény alakját vettük figyelembe, melyben ez a képen látható. Ha =1, akkor a másodfokú függvény alakja y=x 2 . Megjegyzendő, hogy ennek a függvénynek a grafikonja parabola lesz.

Az előadás következő része egy másodfokú függvény grafikonjának ábrázolását szolgálja. Javasoljuk, hogy vegyük figyelembe az y=3x 2 függvény gráfjának felépítését. Először is, a táblázat jelöli a függvény értékei és az argumentum értékei közötti megfelelést. Megjegyezzük, hogy az y=3x 2 függvény szerkesztett grafikonja és az y=x 2 függvény grafikonja között az a különbség, hogy minden értéke háromszor nagyobb lesz, mint a megfelelő. A táblázatos nézetben ez a különbség jól követhető. A közelben a grafikus ábrázolásban is jól látható a különbség a parabola szűkületében.

A következő dia egy y=1/3 x 2 másodfokú függvény ábrázolását tekinti meg. A grafikon felépítéséhez a táblázatban fel kell tüntetni a függvény értékeit több pontján. Megjegyezzük, hogy az y=1/3 x 2 függvény minden értéke háromszor kisebb, mint az y=x 2 függvény megfelelő értéke. Ez a különbség a táblázaton kívül jól látható a grafikonon. Parabolája jobban kitágult az y tengelyhez képest, mint az y=x 2 függvény parabolája.

A példák segítenek megérteni azt az általános szabályt, amely szerint egyszerűbben és gyorsabban készítheti el a megfelelő gráfokat. A 9. dián külön szabály van kiemelve, hogy az y \u003d ax 2 másodfokú függvény grafikonja az együttható értékétől függően a grafikon nyújtásával vagy szűkítésével ábrázolható. Ha a>1, akkor a grafikont az x tengelytől időben kinyújtjuk. Ha 0

Az y=ax 2 és y=-ax2 függvények grafikonjainak az abszcissza tengelyhez viszonyított szimmetriájára vonatkozó következtetést külön kiemeljük a 12. dián memorizálás céljából, és jól láthatóan megjelenítjük a megfelelő grafikonon. Továbbá az y=x 2 másodfokú függvény gráfjának fogalmát kiterjesztjük az y=ax 2 függvény egy általánosabb esetére, kimondva, hogy egy ilyen gráfot parabolának is nevezünk.

A 14. dia az y=ax 2 másodfokú függvény tulajdonságait tárgyalja pozitívra. Meg kell jegyezni, hogy a gráfja átmegy az origón, és a pont kivételével minden pont a felső félsíkban található. Megjegyezzük a grafikon szimmetriáját az y tengelyhez képest, jelezve, hogy az argumentum ellentétes értékei megfelelnek a függvény azonos értékeinek. Jelöljük, hogy ennek a függvénynek a csökkenési intervalluma (-∞;0], és a függvény növekedése az intervallumon történik. Ennek a függvénynek az értékei lefedik a valós tengely teljes pozitív részét, ez a pontban egyenlő nullával, és nem a legnagyobb értéke.

A 15. dia az y=ax 2 függvény tulajdonságait írja le, ha negatív. Meg kell jegyezni, hogy a gráfja is átmegy az origón, de minden pontja, kivéve, az alsó félsíkban található. Megjegyzendő a grafikon szimmetriája a tengelyhez képest, és az argumentum ellentétes értékei a függvény azonos értékeinek felelnek meg. A funkció az intervallumonként növekszik, tovább csökken. Ennek a függvénynek az értékei az intervallumban vannak, a pontban nullával egyenlő, és nem a legkisebb értéke.

A figyelembe vett jellemzőket összegezve a 16. dián látható, hogy a parabola ágai lefelé, illetve felfelé irányulnak. A parabola szimmetrikus a tengelyre, és a parabola csúcsa a tengellyel való metszéspontjában található. Az y=ax 2 parabolának van egy csúcsa - az origó.

A 17. dián egy fontos következtetés is látható a parabola transzformációiról. Lehetőségeket mutat be egy másodfokú függvény gráfjának transzformációjára. Megjegyezzük, hogy az y=ax 2 függvény grafikonját a grafikon tengely körüli szimmetrikus megjelenítésével alakítjuk át. Lehetőség van a grafikon tengelyhez viszonyított tömörítésére vagy bővítésére is.

Az utolsó dián általánosító következtetéseket vonunk le a függvény grafikonjának transzformációiról. Következtetések bemutatják, hogy a függvénygráfot a tengely körüli szimmetrikus transzformációval kapjuk. A függvény grafikonját pedig az eredeti gráf tengelytől való tömörítéséből vagy nyújtásából kapjuk. Ebben az esetben a tengelyről időnkénti nyújtás figyelhető meg abban az esetben, amikor. A tengelyhez 1/a-szoros összehúzással a grafikon az esetben alakul ki.

Az "Y=ax 2 függvény, grafikonja és tulajdonságai" című előadást a tanár szemléltető segédeszközként használhatja egy algebra órán. Ezenkívül ez a kézikönyv jól felöleli a témát, mélyrehatóan megérti a témát, így felajánlható önálló tanulásra a hallgatók számára. Ezenkívül ez az anyag segít a tanárnak abban, hogy magyarázatot adjon a távoktatás során.

Az „Y=ax^2 függvény, grafikonja és tulajdonságai” témakör leckét a 9. osztályos algebra tantárgy „Függvények” témájú órarendszerében tanulmányozzuk. Ez a lecke alapos felkészülést igényel. Mégpedig olyan edzési módszereket és eszközöket, amelyek valóban jó eredményeket adnak.

Ennek a videóórának a szerzője gondoskodott arról, hogy segítse a tanárokat a témával kapcsolatos órákra való felkészülésben. Az összes követelményt szem előtt tartva kidolgozott egy oktatóvideót. Az anyagot a tanulók életkorának megfelelően választják ki. Nincs túlterhelve, de elég nagy kapacitású. A szerző részletesen elmondja az anyagot, kitérve a fontosabb pontokra. Minden elméleti ponthoz tartozik egy példa is, így sokkal hatékonyabb és jobb az oktatási anyagok észlelése.

A leckét a tanár a 9. osztályban szokásos algebra órán használhatja fel az óra meghatározott szakaszaként - új tananyag ismertetéseként. Ebben az időszakban a tanárnak nem kell semmit sem mondania. Elég, ha bekapcsolja ezt a videóleckét, és ügyel arra, hogy a tanulók figyelmesen figyeljenek és leírják a fontos pontokat.

Az órát az iskolások az órára való önálló felkészüléshez, valamint önképzéshez használhatják.

Az óra hossza 8:17 perc. A lecke elején a szerző észreveszi, hogy az egyik fontos függvény a másodfokú függvény. Ezután egy másodfokú függvényt vezetünk be matematikai szempontból. Definícióját magyarázatokkal együtt adjuk meg.

Továbbá a szerző bevezeti a hallgatókat a másodfokú függvény definíciójának területébe. A megfelelő matematikai jelölés megjelenik a képernyőn. Ezt követően a szerző egy valós helyzetbeli másodfokú függvényre tekint egy példát: egy fizikai problémát vesz alapul, amely megmutatja, hogy egyenletesen gyorsított mozgás során hogyan függ az út az időtől.

Ezt követően a szerző az y=3x^2 függvényt veszi figyelembe. Ennek a függvénynek és az y=x^2 függvény értéktáblázatának felépítése megjelenik a képernyőn. A táblázatok adatai alapján függvénygrafikonok készülnek. Itt egy magyarázat jelenik meg a dobozban, hogyan kapjuk meg az y=3x^2 függvény grafikonját y=x^2-ből.

Miután megvizsgáltunk két speciális esetet, egy példát az y=ax^2 függvényre, a szerző arra a szabályra jut, hogy ennek a függvénynek a gráfját hogyan kapjuk meg az y=x^2 gráfból.

Ezután tekintsük az y=ax^2 függvényt, ahol a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.

Ezután a következmények a tulajdonságokból származnak. Négyen vannak. Közülük egy új fogalom jelenik meg - a parabola csúcsai. Következik egy megjegyzés, amely elmondja, hogy milyen transzformációk lehetségesek ennek a függvénynek a grafikonján. Ezt követően elmondjuk, hogy az y=-f(x) függvény grafikonját hogyan kapjuk az y=f(x) függvény grafikonjából, valamint az y=af(x) függvényt az y=f(x) függvényből. .

Ezzel az oktatási anyagot tartalmazó óra zárul. Marad a megszilárdítása a tanulók képességeihez mérten megfelelő feladatok kiválasztásával.

A másodfokú függvény tulajdonságaira és grafikonjaira vonatkozó feladatok a gyakorlat szerint komoly nehézségeket okoznak. Ez azért elég furcsa, mert a másodfokú függvényt 8. osztályban adják át, majd a 9. évfolyam teljes első negyedét a parabola tulajdonságaival "kicsalják", és különféle paraméterekre építik fel grafikonjait.

Ennek az az oka, hogy parabolák építésére kényszerítve a diákokat gyakorlatilag nem fordítanak időt a grafikonok "olvasására", vagyis nem gyakorolják a képről kapott információ megértését. Nyilvánvalóan feltételezik, hogy két tucat gráf felépítése után egy okos tanuló maga fedezi fel és fogalmazza meg a kapcsolatot a képletben szereplő együtthatók és a gráf megjelenése között. A gyakorlatban ez nem működik. Egy ilyen általánosításhoz komoly matematikai minikutatási tapasztalat kell, amivel természetesen a legtöbb kilencedikes nem rendelkezik. Eközben a GIA-ban azt javasolják, hogy az együtthatók előjeleit pontosan az ütemezés szerint határozzák meg.

Nem követeljük meg a lehetetlent az iskolásoktól, és egyszerűen felajánljuk az egyik algoritmust az ilyen problémák megoldására.

Tehát a forma függvénye y=ax2+bx+c másodfokúnak nevezzük, grafikonja parabola. Ahogy a neve is sugallja, a fő összetevő az fejsze 2. Azaz de nem lehet egyenlő nullával, a fennmaradó együtthatók ( bÉs tól től) egyenlő lehet nullával.

Nézzük meg, hogyan befolyásolják együtthatóinak előjelei a parabola megjelenését.

Az együttható legegyszerűbb függősége de. A legtöbb iskolás magabiztosan válaszol: „Ha de> 0, akkor a parabola ágai felfelé irányulnak, és ha de < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой de > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

Ebben az esetben de = 0,5

És most azért de < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Ebben az esetben de = - 0,5

Az együttható hatása tól től is elég könnyen követhető. Képzeljük el, hogy meg akarjuk találni egy függvény értékét egy pontban x= 0. Helyettesítsd be a nullát a képletbe:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Kiderült, hogy y = c. Azaz tól től a parabola y tengellyel való metszéspontjának ordinátája. Általában ez a pont könnyen megtalálható a grafikonon. És határozza meg, hogy nulla felett van-e vagy alatta. Azaz tól től> 0 vagy tól től < 0.

tól től > 0:

y=x2+4x+3

tól től < 0

y = x 2 + 4x - 3

Ennek megfelelően, ha tól től= 0, akkor a parabola szükségszerűen átmegy az origón:

y=x2+4x

Nehezebb a paraméterrel b. Az, hogy mikor találjuk meg, nem csak attól függ b hanem attól is de. Ez a parabola csúcsa. Az abszcisszán (tengelykoordináta x) a képlet határozza meg x in \u003d - b / (2a). Ily módon b = - 2ax in. Vagyis a következőképpen járunk el: a grafikonon megkeressük a parabola tetejét, meghatározzuk az abszcissza előjelét, vagyis a nullától jobbra nézünk ( x be> 0) vagy balra ( x be < 0) она лежит.

Ez azonban még nem minden. Figyelnünk kell az együttható előjelére is de. Vagyis látni, hová irányulnak a parabola ágai. És csak ezután, a képlet szerint b = - 2ax in jelet meghatározni b.

Vegyünk egy példát:

Felfelé mutató ágak de> 0, a parabola keresztezi a tengelyt nál nél nulla alatt azt jelenti tól től < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x be> 0. Szóval b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: de > 0, b < 0, tól től < 0.