Ezt a cikket a téma tanulmányozásának szentelték " Racionális számok". Az alábbiakban a racionális számok definíciói találhatók, példák találhatók, és hogyan határozható meg, hogy egy szám racionális-e vagy sem.

Racionális számok. Definíciók

Mielőtt megadnánk a racionális számok definícióját, emlékezzünk arra, hogy melyek a többi számhalmaz, és hogyan kapcsolódnak egymáshoz.

A természetes számok ellentéteikkel és a nulla számmal együtt egész számok halmazát alkotják. Viszont az egész törtszámok halmaza alkotja a racionális számok halmazát.

Definíció 1. Racionális számok

A racionális számok olyan számok, amelyek a b pozitív közös törtként, negatív közös törtként a b vagy nulla számként ábrázolhatók.

Így a racionális számoknak számos tulajdonságát meghagyhatjuk:

1. Bármi természetes szám egy racionális szám. Nyilvánvaló, hogy minden n természetes szám 1 n törtként ábrázolható.
2. Bármely egész szám, beleértve a 0-t is, racionális szám. Valójában bármely pozitív és negatív egész szám könnyen ábrázolható pozitív vagy negatív közönséges törtként. Például 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Minden pozitív vagy negatív közös tört a b racionális szám. Ez közvetlenül következik a fenti definícióból.
4. Bármilyen vegyes szám racionális. Valójában egy vegyes szám közönséges helytelen törtként is ábrázolható.
5. Bármely véges vagy periodikus tizedes tört ábrázolható közönséges törtként. Ezért minden periodikus vagy véges decimális egy racionális szám.
6. A végtelen és nem ismétlődő tizedesjegyek nem racionális számok. Nem ábrázolhatók közönséges törtek formájában.

Mondjunk példákat racionális számokra. Az 5 , 105 , 358 , 1100055 számok természetesek, pozitívak és egész számok. Végül is ezek racionális számok. A - 2 , - 358 , - 936 számok negatív egészek, és értelemszerűen racionálisak is. A 3 5 , 8 7 , - 35 8 közönséges törtek is a racionális számok példái.

A racionális számok fenti definíciója tömörebben is megfogalmazható. Válaszoljunk ismét arra a kérdésre, hogy mi a racionális szám.

Definíció 2. Racionális számok

A racionális számok azok a számok, amelyek törtként ± z n ábrázolhatók, ahol z egész szám, n természetes szám.

Meg lehet mutatni, hogy ezt a meghatározást ekvivalens a racionális számok előző definíciójával. Ehhez ne feledje, hogy a tört oszlopa megegyezik az osztásjellel. Az egész számok felosztásának szabályait és tulajdonságait figyelembe véve a következő igazságos egyenlőtlenségeket írhatjuk fel:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Így írható:

z n = z n , p p és z > 0 0 , p p és z = 0 - z n , p p és z< 0

Valójában ez a rekord bizonyíték. Példákat adunk a racionális számokra a második definíció alapján. Tekintsük a - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 és - 1 3 5 számokat . Mindezek a számok racionálisak, mivel egész számlálóval és természetes nevezővel törtként is felírhatók: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

A racionális számok meghatározásának még egy ekvivalens formáját mutatjuk be.

Definíció 3. Racionális számok

A racionális szám olyan szám, amely felírható véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként.

Ez a meghatározás közvetlenül következik e bekezdés legelső meghatározásából.

Összefoglalás és összefoglaló megfogalmazása ehhez a tételhez:

1. Pozitív és negatív tört- és egész számok alkotják a racionális számok halmazát.
2. Minden racionális szám ábrázolható törtként, melynek számlálója egész, nevezője pedig természetes szám.
3. Minden racionális szám tizedes törtként is ábrázolható: véges vagy végtelen periodikus.

Melyik szám a racionális?

Amint azt már megtudtuk, minden természetes szám, egész szám, szabályos és nem megfelelő közönséges tört, periodikus és végső tizedes tört racionális szám. Ezzel a tudással felvértezve könnyen megállapíthatja, hogy egy szám racionális-e.

A gyakorlatban azonban gyakran nem számokkal kell számolni, hanem olyan numerikus kifejezésekkel, amelyek gyököket, hatványokat és logaritmusokat tartalmaznak. Egyes esetekben a válasz a "Racionális-e egy szám?" messze nem nyilvánvaló. Nézzük meg, hogyan válaszoljunk erre a kérdésre.

Ha egy számot csak racionális számokat tartalmazó kifejezésként adunk meg és aritmetikai műveletek közöttük, akkor a kifejezés eredménye egy racionális szám.

Például a 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) kifejezés értéke racionális szám, és egyenlő 18-cal.

Így egy összetett numerikus kifejezés egyszerűsítése lehetővé teszi annak meghatározását, hogy az általa megadott szám racionális-e.

Most foglalkozzunk a gyökér jelével.

Kiderül, hogy az m szám n fokának gyökeként megadott m n szám csak akkor racionális, ha m valamely természetes szám n-edik hatványa.

Nézzünk egy példát. A 2-es szám nem racionális. Míg a 9, 81 racionális számok. A 9 és 81 a 3 és 9 tökéletes négyzete. A 199 , 28 , 15 1 számok nem racionális számok, mivel a gyökjel alatti számok nem tökéletes négyzetei egyetlen természetes számnak sem.

Most vegyünk többet nehéz eset. A 243 5 szám racionális? Ha a 3-at az ötödik hatványra emeled, akkor 243-at kapsz, tehát az eredeti kifejezés így átírható: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Következésképpen, adott számésszerűen. Most vegyük a 121 5 számot. Ez a szám nem racionális, mivel nincs olyan természetes szám, amelyet az ötödik hatványra emelve 121-et lehetne adni.

Annak megállapításához, hogy valamely a számnak a b bázishoz viszonyított logaritmusa racionális szám-e, az ellentmondásos módszert kell alkalmazni. Például nézzük meg, hogy a log 2 5 szám racionális-e. Tegyük fel, hogy ez a szám racionális. Ha igen, akkor felírható közönséges törtként log 2 5 = m n. A logaritmus és a fok tulajdonságai alapján a következő egyenlőségek igazak:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Nyilvánvalóan az utolsó egyenlőség lehetetlen, mivel a bal és a jobb oldalon páratlan, illetve páros számok találhatók. Ezért a feltevés téves, és a log 2 5 szám nem racionális szám.

Érdemes megjegyezni, hogy a számok racionalitásának és irracionalitásának meghatározásakor nem szabad hirtelen döntéseket hozni. Például az irracionális számok szorzatának eredménye nem mindig irracionális szám. Egy szemléltető példa: 2 · 2 = 2 .

Vannak még irracionális számok, amelynek irracionális hatványra emelése racionális számot ad. A 2 log 2 3 alakú hatványban az alap és a kitevő irracionális számok. Maga a szám azonban racionális: 2 log 2 3 = 3 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A természetes számok pozitív egész számok. A természetes számokat tárgyak számlálására és sok más célra használják. Íme a számok:

Ez egy természetes számsor.
A nulla természetes szám? Nem, a nulla nem természetes szám.
Hány természetes szám van? A természetes számoknak végtelen halmaza van.
Mi a legkisebb természetes szám? Az egyik a legkisebb természetes szám.
Mi a legnagyobb természetes szám? Nem adható meg, mert a természetes számoknak végtelen halmaza van.

A természetes számok összege természetes szám. Tehát az a és b természetes számok összeadása:

A természetes számok szorzata természetes szám. Tehát az a és b természetes számok szorzata:

c mindig természetes szám.

A természetes számok különbsége Nem mindig létezik természetes szám. Ha a minuend nagyobb, mint a részrész, akkor a természetes számok különbsége természetes szám, egyébként nem.

A természetes számok hányadosa Nem mindig van természetes szám. Ha a és b természetes számokra

ahol c természetes szám, ez azt jelenti, hogy a egyenlően osztható b-vel. Ebben a példában a az osztó, b az osztó, c a hányados.

A természetes szám osztója az a természetes szám, amellyel az első szám egyenletesen osztható.

Minden természetes szám osztható 1-gyel és önmagával.

Az egyszerű természetes számok csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. Itt teljesen megosztottra gondolunk. Példa, számok 2; 3; öt; A 7 csak 1-gyel és önmagával osztható. Ezek egyszerű természetes számok.

Az egyet nem tekintjük prímszámnak.

Azokat a számokat, amelyek nagyobbak egynél, és amelyek nem prímszámok, összetett számoknak nevezzük. Példák összetett számokra:

Az egyet nem tekintjük összetett számnak.

A természetes számok halmaza egy, prímszámokés összetett számok.

A természetes számok halmazát a latin N betű jelöli.

A természetes számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai:

összeadás kommutatív tulajdonsága

összeadás asszociatív tulajdonsága

(a + b) + c = a + (b + c);

szorzás kommutatív tulajdonsága

szorzás asszociatív tulajdonsága

(ab)c = a(bc);

szorzás elosztó tulajdonsága

a (b + c) = ab + ac;

Egész számok

Az egész számok természetes számok, nullák és a természetes számok ellentéte.

A természetes számokkal ellentétes számok negatív egészek, például:

1; -2; -3; -4;…

Az egész számok halmazát a latin Z betű jelöli.

Racionális számok

A racionális számok egész számok és törtek.

Bármely racionális szám ábrázolható periodikus törtként. Példák:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

A példákból látható, hogy bármely egész szám egy periodikus tört, amelynek periódusa nulla.

Bármely racionális szám ábrázolható m/n törtként, ahol m egy egész szám szám, n természetes szám. Az előző példában szereplő 3,(6) számot ábrázoljuk ilyen törtként:

Egy másik példa: a 9-es racionális szám ábrázolható egyszerű törtként 18/2-ként vagy 36/4-ként.

Egy másik példa: a -9 racionális szám ábrázolható egyszerű törtként -18/2-ként vagy -72/8-ként.

A valós szám fogalma: valós szám- (valós szám), bármely nem negatív vagy negatív szám, vagy nulla. Valós számok segítségével fejezzük ki mindegyik méretét fizikai mennyiség.

igazi, vagy valós szám mérésének szükségességéből adódott a geometriai és fizikai mennyiségek béke. Ezen kívül a gyökér kivonási, logaritmusszámítási, megoldási műveletek elvégzése algebrai egyenletek stb.

Egész számok a számolás fejlődésével alakult ki, és racionális az egész részeinek kezelésének igényével, akkor valós számokat (valós) használnak a mérésekhez folyamatos mennyiségek. Így a figyelembe vett számok állományának bővítése a valós számok halmazához vezetett, amely a racionális számokon kívül további elemekből, ún. irracionális számok.

Valós számok halmaza(jelölve R) a racionális és irracionális számok halmazai együtt.

Valós számok Oszd elracionálisÉs irracionális.

A valós számok halmazát jelölik és gyakran hívják igazi vagy számsor. A valós számok egyszerű objektumokból állnak: egészÉs racionális számok.

Arányként felírható szám, aholm egy egész szám, és negy természetes számracionális szám.

Bármely racionális szám könnyen ábrázolható végső frakció vagy egy végtelen periodikus tizedes tört.

Példa,

Végtelen tizedesjegy, egy tizedes tört, amelynek a tizedesvessző után végtelen számú számjegye van.

Számok, amelyeket nem lehet úgy ábrázolni, ahogy vannak irracionális számok.

Példa:

Bármely irracionális szám könnyen ábrázolható végtelen, nem periodikus tizedes törtként.

Példa,

A racionális és irracionális számok alkotnak valós számok halmaza. Minden valós szám a koordinátaegyenes egy pontjának felel meg, amelyet hívnak számsor.

A numerikus halmazokhoz a következő jelölést kell használni:

• N- természetes számok halmaza;
• Z- egész számok halmaza;
• K- racionális számok halmaza;
• R a valós számok halmaza.

A végtelen tizedes törtek elmélete.

A valós szám definíciója: végtelen tizedes, azaz:

±a 0,a 1 a 2 …a n …

ahol ± a + vagy a - szimbólumok egyike, egy szám jele,

a 0 pozitív egész szám,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… egy tizedesjegyek sorozata, azaz. elemeket számkészlet {0,1,…9}.

A végtelen tizedes tört olyan számként magyarázható, amely a racionális pontok közötti számegyenesen van, például:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nÉs ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) mindenkinek n=0,1,2,…

A valós számok végtelen tizedes törtként való összehasonlítása apránként történik. Például, tegyük fel, hogy 2 pozitív szám van megadva:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Ha a 0 0, azután α<β ; ha a0 >b0 azután α>β . Amikor a 0 = b 0 Térjünk át a következő szintű összehasonlításra. Stb. Amikor α≠β , tehát véges számú lépés után az első számjegyet találjuk n, oly módon, hogy a n ≠ b n. Ha a n n, azután α<β ; ha a n > b n azután α>β .

De ugyanakkor fárasztó odafigyelni arra, hogy a szám a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Ezért, ha az összehasonlított számok valamelyikének rekordja egy bizonyos számjegytől kezdődően periodikus tizedes tört, amelynek a periódusban 9 van, akkor azt egy ekvivalens rekordra kell cserélni, a periódusban nullával.

A végtelen tizedes törtekkel végzett aritmetikai műveletek a megfelelő racionális számokkal végzett műveletek folyamatos folytatása. Például, valós számok összege α És β egy valós szám α+β , amely megfelel a következő feltételeknek:

∀ a',a',b',b'∈ Q(a′⩽ α ⩽ a")∧ (b'⩽ β ⩽ b")⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a"+b")

Hasonlóképpen határozza meg a műveletet szorzás végtelen tizedesjegyek.

Ez a cikk alapvető információkat tartalmaz valós számok. Először a valós számok definícióját adjuk meg, és példákat adunk. A valós számok pozíciója a koordináta egyenesen a következő. Végezetül pedig azt elemezzük, hogyan adhatók meg a valós számok numerikus kifejezések formájában.

Oldalnavigáció.

Valós számok definíciója és példái

Valós számok mint kifejezések

A valós számok definíciójából világosan látszik, hogy a valós számok:

• bármilyen természetes szám;
• tetszőleges egész szám ;
• bármely közönséges tört (pozitív és negatív egyaránt);
• bármilyen vegyes szám;
• bármely tizedes tört (pozitív, negatív, véges, végtelen periodikus, végtelen nem periodikus).

De nagyon gyakran valós számok láthatók a formában stb. Ráadásul a valós számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa is valós számok (lásd műveletek valós számokkal). Például ezek valós számok.

És ha tovább megy, akkor valós számokból aritmetikai jelek, gyökjelek, fokok, logaritmikus, trigonometrikus függvények stb. mindenféle numerikus kifejezést összeállíthat, amelyek értékei is valós számok lesznek. Például kifejezési értékek És valós számok.

Cikkünk végén megjegyezzük, hogy a számfogalom kiterjesztésének következő lépése az átmenet a valós számokról a számokra komplex számok.

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya. stb. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8 cellához. oktatási intézmények.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára).

Okos diákok szerzői joga

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Az oldal egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a külső megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásos engedélye nélkül.