A számmodulus egy új fogalmat vezet be a matematikában. Elemezzük részletesen, mi egy szám modulusa, és hogyan lehet vele dolgozni?

Vegyünk egy példát:

Kimentünk a házból a boltba. 300 m telt el, matematikailag ez a kifejezés +300-nak írható, a „+” jelből származó 300-as szám jelentése nem változik. Egy szám távolsága vagy modulusa a matematikában ugyanaz, és a következőképpen is felírható: |300|=300. Egy szám modulusának előjelét két függőleges vonal jelzi.

És akkor be ellentétes irány 200 métert gyalogolt. Matematikailag a visszatérési utat -200-nak írhatjuk. De nem mondjuk így, hogy „mínusz kétszáz métert mentünk”, pedig visszatértünk, mert a távolság mint mennyiség pozitív marad. Ehhez vezették be a matematikában a modul fogalmát. A -200 távolságát vagy modulusát a következőképpen írhatja fel: |-200|=200.

Modul tulajdonságai.

Meghatározás:
Egy szám modulusa vagy egy szám abszolút értéke a kiindulási pont és a cél távolsága.

Egy nullával nem egyenlő egész szám modulusa, mindig pozitív szám.

A modul így van megírva:

1. Egy pozitív szám modulusa megegyezik magával a számmal.
| a|=a

2. Egy negatív szám modulusa egyenlő az ellenkező számmal.
|- a|=a

3. Nulla modulusa, egyenlő nullával.
|0|=0

4. Az ellentétes számú modulok egyenlőek.
| a|=|-a|=a

Kapcsolódó kérdések:
Mi egy szám modulusa?
Válasz: A modulus a kiindulási pont és a cél távolsága.

Ha egy „+” jelet tesz egy egész szám elé, mi történik?
Válasz: a szám nem változtatja meg a jelentését, például 4=+4.

Ha egy „-” jelet tesz egy egész szám elé, mi történik?
Válasz: a szám pl. 4-re és -4-re változik.

Mely számok modulusa azonos?
Válasz: a pozitív számok és a nulla modulusa azonos lesz. Például 15=|15|.

Milyen számoknak van modulusa – az ellenkező szám?
Válasz: negatív számok esetén a modulus egyenlő lesz az ellenkező számmal. Például |-6|=6.

1. példa:
Keresse meg a számok modulját: a) 0 b) 5 c) -7?

Megoldás:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

2. példa:
Van kettő különféle számok amelyek moduljai egyenlők?

Megoldás:
|10|=10
|-10|=10

Az ellentétes számú modulok egyenlőek.

3. példa:
Melyik két ellentétes számnak van modulo 9?

Megoldás:
|9|=9
|-9|=9

Válasz: 9 és -9.

4. példa:
Tegye a következőket: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Megoldás:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

5. példa:
Keresse meg: a) 2-es modulus b) 6-os modulus c) 8-as modulus d) 1-es modulus e) 0-s modulus.
Megoldás:

a) a 2-es szám modulusát |2|-ként jelöljük vagy |+2| Ez ugyanaz.
|2|=2

b) a 6-os szám modulusát |6|-ként jelöljük vagy |+6| Ez ugyanaz.
|6|=6

c) a 8-as szám modulusát |8|-ként jelöljük vagy |+8| Ez ugyanaz.
|8|=8

d) az 1-es szám modulusát |1|-ként jelöljük vagy |+1| Ez ugyanaz.
|1|=1

e) a 0 szám modulusát |0|, |+0|-ként jelöljük vagy |-0| Ez ugyanaz.
|0|=0

Utasítás

Ha a modul a formában folyamatos funkció, akkor argumentumának értéke lehet pozitív vagy negatív: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

A modulus nulla, és bármely pozitív szám modulusa a modulusa. Ha az argumentum negatív, akkor a zárójelek kinyitása után az előjele mínuszról pluszra változik. Ennek alapján az a következtetés adódik, hogy az ellentét moduljai egyenlők: |-x| = |x| = x.

Modul összetett szám a következő képlettel találjuk meg: |a| = √b ² + c ² és |a + b| ≤ |a| + |b|. Ha az argumentum pozitív számot tartalmaz szorzóként, akkor kivehető a zárójelből, például: |4*b| = 4*|b|.

Ha az argumentumot komplex számként adjuk meg, akkor a számítások megkönnyítése érdekében a kifejezés szögletes zárójelbe tett tagjainak sorrendje megengedett: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, mert (2-3) kisebb, mint nulla.

A hatványra emelt argumentum egyidejűleg az azonos rend gyökének előjele alatt áll - ezt a következővel oldjuk meg: √a² = |a| = ±a.

Ha olyan feladata van, amelyben nincs feltüntetve a modultartók bővítésének feltétele, akkor nem kell megszabadulnia tőlük - ez lesz végeredmény. És ha meg akarja nyitni őket, akkor meg kell adnia a ± jelet. Például meg kell találnia a √(2 * (4-b)) ² kifejezés értékét. Megoldása így néz ki: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Mivel a 4-b kifejezés előjele ismeretlen, ezért zárójelben kell hagyni. Ha további feltételt ad hozzá, például |4-b| >

A nulla modulusa egyenlő nullával, és bármely pozitív szám modulusa egyenlő önmagával. Ha az argumentum negatív, akkor a zárójelek kinyitása után az előjele mínuszról pluszra változik. Ennek alapján az a következtetés következik, hogy az ellentétes számok moduljai egyenlők: |-x| = |x| = x.

Egy komplex szám modulusát a következő képlet határozza meg: |a| = √b ² + c ² és |a + b| ≤ |a| + |b|. Ha az argumentum pozitív egész számot tartalmaz szorzóként, akkor kivehető a zárójelből, például: |4*b| = 4*|b|.

A modulus nem lehet negatív, ezért minden negatív szám pozitívvá alakul: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ha az argumentumot komplex számként adjuk meg, akkor a számítások megkönnyítése érdekében a szögletes zárójelben lévő kifejezés kifejezéseinek sorrendjét módosíthatjuk: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, mert (2-3) kisebb, mint nulla.

Ha olyan feladat áll előtted, amely nem határozza meg a modultartók bővítésének feltételét, akkor nem kell megszabadulnod tőlük - ez lesz a végeredmény. És ha meg akarja nyitni őket, akkor meg kell adnia a ± jelet. Például meg kell találnia a √(2 * (4-b)) ² kifejezés értékét. Megoldása így néz ki: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Mivel a 4-b kifejezés előjele ismeretlen, ezért zárójelben kell hagyni. Ha további feltételt ad hozzá, például |4-b| > 0, akkor az eredmény 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Az ismeretlen elem is megadható konkrét szám, amit figyelembe kell venni, mert hatással lesz a kifejezés jelére.

A kifejezés (modul) szó szerinti fordításban latinból azt jelenti, hogy "mérés". Ezt a fogalmat R. Cotes angol tudós vezette be a matematikába. És a német matematikus, K. Weierstrass bevezette a modul jelet - egy szimbólumot, amellyel ezt a fogalmat jelölik az írás során.

Kapcsolatban áll

Először ezt a koncepciót 6. osztályos program keretében matematikából tanult Gimnázium. Az egyik definíció szerint a modulus egy valós szám abszolút értéke. Más szóval, egy valós szám modulusának megtudásához el kell dobnia az előjelét.

Grafikusan abszolút érték de ként jelölve |a|.

Ennek a fogalomnak az a fő megkülönböztető jegye, hogy mindig nem negatív érték.

Azokat a számokat, amelyek csak előjelben különböznek egymástól, ellentétes számoknak nevezzük. Ha az érték pozitív, akkor az ellentéte negatív, a nulla pedig a saját ellentéte.

geometriai érték

Ha a modul fogalmát a geometria szempontjából nézzük, akkor ez azt a távolságot jelöli, amelyet egységnyi szegmensekben mérünk az origótól a adott pont. Ez a meghatározás teljes mértékben felfedi geometriai jelentése a tanulmányozott kifejezést.

Grafikusan ez a következőképpen fejezhető ki: |a| = O.A.

Abszolút értékű tulajdonságok

Az alábbiakban megvizsgáljuk ennek a fogalomnak az összes matematikai tulajdonságát és az írásmódokat szó szerinti kifejezések formájában:

Az egyenletek modulusos megoldásának jellemzői

Ha olyan matematikai egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásáról beszélünk, amelyek modult tartalmaznak, akkor emlékeznie kell arra, hogy ezek megoldásához meg kell nyitnia ezt a jelet.

Például, ha az abszolút érték előjele valamilyen matematikai kifejezést tartalmaz, akkor a modul megnyitása előtt figyelembe kell venni az aktuális matematikai definíciókat.

|A + 5| = A + 5 ha A nagyobb vagy egyenlő nullával.

5-A ha A kisebb, mint nulla.

Bizonyos esetekben az előjel egyértelműen kibővíthető a változó bármely értékére.

Nézzünk még egy példát. Készítsünk egy koordináta egyenest, amelyen megjelöljük az összes számértéket, aminek abszolút értéke 5 lesz.

Először meg kell rajzolnia egy koordinátavonalat, ki kell jelölnie rajta a koordináták origóját, és be kell állítania a méretet egyetlen szegmens. Ezenkívül a vonalnak iránynak kell lennie. Most ezen az egyenesen olyan jelöléseket kell alkalmazni, amelyek megegyeznek egy szegmens értékével.

Így láthatjuk, hogy ezen a koordinátavonalon két érdekes pont lesz számunkra 5 és -5 értékkel.

a maga a szám. Szám a modulban:

|a| = a

Komplex szám modulusa.

Tegyük fel, hogy van összetett szám, ami be van írva algebrai forma z=x+i y, ahol xÉs y- valós számok, amelyek egy komplex szám valós és képzetes részei z, a a képzeletbeli egység.

Egy komplex szám modulusa z=x+i y a komplex szám valós és képzetes részei négyzetösszegének aritmetikai négyzetgyöke.

A z komplex szám modulusát a következőképpen jelöljük, ami azt jelenti, hogy egy komplex szám modulusának definíciója a következőképpen írható fel: .

A komplex számok moduljának tulajdonságai.

• Definíciós tartomány: a teljes komplex sík.
• Értéktartomány: }