Egy síkon lévő egyenes két egyenlettel definiálható
ahol xÉs y - tetszőleges pontkoordináták M(x; nál nél) ezen a vonalon fekszik, és t nevű változó paraméter.
Paraméter t meghatározza a pont helyzetét ( x; nál nél) a felületen.
Tehát, ha
majd a paraméter értéke t= 2 a (4; 1) pontnak felel meg a síkon, mert x = 2 + 2 = 4, y= 2 2 - 3 = 1.
Ha a paraméter t megváltozik, akkor a pont a síkon mozog, leírva ezt a sort. A görbe meghatározásának ezt a módját ún parametrikus, és (1) egyenletek - az egyenes parametrikus egyenletei.
Tekintsünk példákat a jól ismert görbékre paraméteres formában.
1) Astroid:
ahol de> 0 egy állandó érték.
Nál nél de= 2 így néz ki:
4. ábra. Astroid
2) Cikloid: 
ahol de> 0 egy állandó.
Nál nél de= 2 így néz ki:
5. ábra. Ciklois
Vonalvektor egyenlet
Vonal a síkon beállítható vektor egyenlet
ahol t egy skaláris változó paraméter.
Minden paraméter értéke t A 0 egy bizonyos síkvektornak felel meg. A paraméter megváltoztatásakor t a vektor vége valamilyen vonalat ír le (6. ábra).
Vonalvektor egyenlet koordinátarendszerben Ohu
két skaláris egyenletnek (4) felel meg, azaz. vetületi egyenletek
az egyenes vektoregyenletének koordinátatengelyén annak parametrikus egyenletek.
 |
6. ábra. Vonalvektor egyenlet
A vektoregyenlet és a parametrikus egyenes egyenletek rendelkeznek mechanikai érzék. Ha egy pont egy síkon mozog, akkor ezeket az egyenleteket nevezzük mozgásegyenletek, vonal - röppálya pontok, paraméterek t- idő.
1. Melyik állítást nevezzük következménynek? Bizonyítsuk be, hogy az az egyenes, amely két párhuzamos egyenes közül az egyiket metszi, a másikat is metszi.Ha két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak.3. Melyik tételt nevezzük ennek a tételnek az inverzének? Mondjon példákat olyan tételekre, amelyek inverzek az adatokkal. 4. Bizonyítsuk be, hogy amikor két párhuzamos egyenes metszi a metszőt, a fekvőszögek egyenlőek. 5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyenes merőleges az egyikre a két párhuzamos egyenest, akkor az is merőleges másra.6.Bizonyítsa be, hogy egy metsző két párhuzamos egyenesének metszéspontjában: a) a megfelelő szögek egyenlőek; b) az egyoldali szögek összege 180°.
Segítség Kérem geometriával kapcsolatos kérdéseivel (9. osztály)! 2) Mit jelent egy vektort ketté bontaniadott vektorok. 9) Mekkora egy pont sugárvektora Bizonyítsuk be, hogy egy pont koordinátái megegyeznek a vektorok megfelelő koordinátáival. 10) Vezessen le képleteket egy vektor koordinátáinak kiszámításához a kezdetének és végének koordinátáiból! 11) Vezess le egy vektor koordinátáinak kiszámítására szolgáló képleteket a végeinek koordinátáiból! 12) Készítsen képletet egy vektor hosszának a koordinátái alapján történő kiszámításához! 13) Készítsen képletet két pont távolságának koordinátái alapján történő kiszámításához! 15) Milyen egyenletet nevezünk ennek az egyenesnek az egyenletének? 16) Vezesse le egy adott sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja egy adott pontban van!
1) Fogalmazzon meg és bizonyítson be egy lemmát a kollineáris vektorokról!
3) Fogalmazzon meg és bizonyítson egy tételt egy vektor két nem-kollineáris vektorban történő kiterjesztésére.
4) Magyarázza el, hogyan kerül bevezetésre a derékszögű koordináta-rendszer!
5) Mik azok a koordinátavektorok?
6) Fogalmazza meg és igazolja az állítást egy tetszőleges vektor koordinátavektorokban való felbomlására!
7) Mik azok a vektorkoordináták?
8) Fogalmazza meg és igazolja a vektorok összegének és különbségének koordinátáinak, valamint egy vektornak a vektorok adott koordinátáinak megfelelő számmal való szorzatának megtalálásának szabályait!
10) Vezessen le képleteket egy vektor koordinátáinak kiszámításához a kezdetének és végének koordinátáiból!
11) Vezess le egy vektor koordinátáinak kiszámítására szolgáló képleteket a végeinek koordinátáiból!
12) Készítsen képletet egy vektor hosszának a koordinátái alapján történő kiszámításához!
13) Készítsen képletet két pont távolságának koordinátái alapján történő kiszámításához!
14) Mondjon példát egy megoldásra! geometriai probléma koordináta módszer segítségével.
16) Vezesse le egy adott sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja egy adott pontban van!
17) Írja fel egy adott sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja az origóban van!
18) Vezesse le ennek az egyenesnek az egyenletét egy derékszögű koordináta-rendszerben!
19) Írja fel az átmenő egyenesek egyenletét! adott pont M0 (X0: Y0) és párhuzamos a koordinátatengelyekkel.
20) Írja fel a koordinátatengelyek egyenletét!
21) Mondjon példákat a kör és az egyenes egyenleteinek felhasználására geometriai feladatok megoldásában!
Kérem, nagyon szükséges! Lehetőleg rajzokkal (ahol szükséges)!
GEOMETRIA 9. OSZTÁLY.1) Fogalmazzon meg és bizonyítson be egy lemmát a kollineáris vektorokról!
2) Mit jelent egy vektort két adott vektorra bontani?
3) Fogalmazzon meg és bizonyítson egy tételt egy vektor két nem-kollineáris vektorban történő kiterjesztésére.
4) Magyarázza el, hogyan kerül bevezetésre a derékszögű koordináta-rendszer!
5) Mik azok a koordinátavektorok?
6) Fogalmazza meg és igazolja az állítást egy tetszőleges vektor koordinátavektorokban való felbomlására!
7) Mik azok a vektorkoordináták?
8) Fogalmazza meg és igazolja a vektorok összegének és különbségének koordinátáinak, valamint egy vektornak a vektorok adott koordinátáinak megfelelő számmal való szorzatának megtalálásának szabályait!
9) Mekkora egy pont sugárvektora? Bizonyítsuk be, hogy a pont koordinátái megegyeznek a vektorok megfelelő koordinátáival.
14) Mondjon példát geometriai feladat megoldására koordináta módszerrel!
15) Melyik egyenletet nevezzük ennek az egyenesnek az egyenletének? Adj egy példát.
17) Írja fel egy adott sugarú kör egyenletét, amelynek középpontja az origóban van!
18) Vezesse le ennek az egyenesnek az egyenletét egy derékszögű koordináta-rendszerben!
19) Írja fel az adott M0 ponton (X0: Y0) átmenő és a koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesek egyenletét!
20) Írja fel a koordinátatengelyek egyenletét!
21) Mondjon példákat a kör és az egyenes egyenleteinek felhasználására geometriai feladatok megoldásában!
egyenletek, ahol a bal oldalon az endogén változók, a jobb oldalon pedig csak az exogének
149. A közvetett legkisebb négyzetek módszere a következő eljárásokat tartalmazza:
Az egyenletrendszerek kimenő szerkezetét redukált egyenletrendszerré alakítjuk, és az LSM segítségével torzítatlan becsléseket találunk a redukált egyenletrendszer együtthatóira. Az egyenletrendszerben és a szerkezeti rendszerben megadott együtthatók arányát felhasználva megtaláljuk a szerkezeti egyenletrendszer együtthatóit.
150. Az azonosított szimultán egyenletrendszer a következő együtthatókkal rendelkezik:
a redukált egyenletrendszer együtthatóinak száma megegyezik az eredeti szerkezeti egyenletrendszer együtthatóinak számával
151. Egy azonosíthatatlan szimultán egyenletrendszerben az együtthatók száma:
a redukált egyenletrendszer együtthatóinak száma számnál kisebb a szerkezeti egyenletrendszer együtthatói
152. A túlazonosítható szimultán egyenletrendszer a következő együtthatókkal rendelkezik:
a redukált egyenletrendszer együtthatóinak száma több szám a szerkezeti egyenletrendszer együtthatói
Dinamikusan szektorközi mérleg modell, lineáris nemhomogén differenciálegyenletrendszer i=1,2,3,….n(sorszámok), j=1,2,3….n(oszlopszámok) aij technológiai együtthatók, növekményes A tőkeintenzitási együtthatók ..VÁLASZ: Kevésbé Probléma.
Dinamikusan szektorközi egyensúlyi modell, lineáris nem homogén differenciálegyenletrendszer a 
; 
technológiai együtthatók a növekményes tőkeintenzitás együtthatói 
az ipar bruttó terméke, az ipar végterméke a következő formában van: ( 
).
Dinamikusan szektorközi mérleg modell mátrix oszlop 
a növekményes tőkeintenzitás együtthatói j iparágra: a termelési kapacitásának 1 egységnyi termelési kapacitásának növeléséhez szükséges források nagysága és szerkezete, i.e. termék kiadás.
A klasszikus modellbenPiacgazdaságban a pénzkínálat M=20000, a pénznek évente 5 forgalmára van ideje, a GDP értéke 100000. Mennyi a GDP egységnyi ára? 1.
Klasszikusban piacgazdasági modell, az árukínálatot határozzák meg
Klasszikusbanpiacgazdasági modell, az árukínálatot a -foglalkoztatási ráta
a munkaerőpiacon Y=Y(L), árukínálat = árukereslet.
KlasszikusbanA piacgazdasági modellek azonos GDP-jével a pénzkínálat növekedése - (ár és GDP) -áremelkedés,
ha egy adott GDP mellett a p ár kisebb, mint p0, akkor pénztöbbletről van szó 
. Ebben az esetben az árak p0 szintre emelkednek.
Klasszikusban A piacgazdaság modellje szerint a termelési függvény X t =K t 0,5 ´L t 0,5 K=200 egység, L=50 egység. Mennyi a reálbér maximális profit mellett? 1 vagy 2.
Klasszikusban piacgazdasági modellek kamatemeléssel: csökken a fogyasztói kereslet és csökken a beruházási kereslet.
Az interszektorálisban mérleg (statikus Leontyev-modell) az állítás igaz. VÁLASZ: a gazdasági rendszerben termelnek, fogyasztanak, befektetnek. Minden iparág tiszta, azaz csak 1 terméket állít elő, a termelési folyamat során az iparágak egyes termékfajtákat más típusúvá alakítanak át, illetve az ipar által elköltött és előállított termékek arányát más típusba, illetve az elköltött termékek arányát. és az ipar által termelt állandó, a végső kereslet a végső fogyasztásból, az exportból és a beruházásokból tevődik össze.
Az interszektorálisbanmérleg (statikus Leontyev-modell) az állítás igaz.0
Iparágközi területenm egyenleg egészében eq-ki esetén a belső fogyasztás értéke = 5000 egység, a teljes végtermék = 3000 egység. …3000Mi az az ORP?8000.
Az interszektorálisbanmérleg egészében eq-ki esetén a belső fogyasztás értéke = 7000 egység, a teljes végtermék = 3000 egység. Teljes nettó termelés = 3000… Mi az az ORP?10000.
Az interszektorálisban mérleg, a végtermékek összege és a feltételesen nettó termékek összege: egyenlők egymással.
Az interszektorálisbana mérleg feltételesen nettó termékek tartalmazzák:értékcsökkenés, munkabér, nettó jövedelem.
Keynes modelljében az áruk iránti keresletet a fogyasztói kereslet és a beruházási kereslet határozza meg. Melyik állítás lenne igaz Keynes modellje szerint: Amikor a kamatláb emelkedik, nő a fogyasztói kereslet, és csökken a beruházási kereslet.
Keynes modelljében az áruk iránti keresletet a fogyasztói kereslet és a beruházási kereslet határozza meg. Melyik állítás lenne igaz Keynes modellje szerint.. VÁLASZ: A fogyasztási cikkek iránti kereslet az árukínálat növekedésével lineárisan nő, a befektetési javak iránti kereslet pedig a kamatláb emelkedésével lineárisan csökken.
A modellbenKeynes szerint az áruk iránti keresletet a fogyasztói kereslet és a beruházási kereslet határozza meg.
R. Solow modelljében relatív egységekben kifejezve a fő makrogazdasági mutatók a következőkre vonatkoznak: alapértékek, például a mutatónak a vizsgált időszak eleji értékéhez X(t), C(t), L(t), I(t), K(t).
A Solow modellbenstacionárius fejlődési pályára lépni, elégto stockp.=0onst.
A modellben Solow, a termelésben foglalkoztatottak számának változása L(t) egy formájú differenciálegyenlettel írható le. 
, ahol g a foglalkoztatottak számának növekedési üteme. Ebben az esetben a populáció nagysága egyenlő: a válasz : L(t)=L(0)*e g*t .
A Solow modellben , ahol g a foglalkoztatottak számának növekedési üteme. Ebben az esetben az alkalmazottak számának L(t) értéke egyenlő: válasz: L(t)= 
.
A Solow modellbenalakú differenciálegyenlettel írható le a termelésben foglalkoztatottak számának változása 
, ahol g a foglalkoztatottak számának növekedési üteme. Ebben az esetben az alkalmazottak számának L(t) értéke egyenlő:L(t)=L(0)*e g*t.
A Solow-modellben a folyamat a befektetett termelési eszközök időbeli változásai differenciálegyenlettel írhatók le a következő jelöléssel: K(t) a befektetett termelési eszközök bekerülési értéke egy adott időpontban; m az alapok nyugdíjazási rátája, I(t) a bruttó befektetések volumene t időpontban: VÁLASZ: dK(t)/dt= -m*K(t)+I(t).
A Solow modellben relatív egységekben kifejezve a fő makrogazdasági mutatók a ... alapvető.
A Sol modellbenou relatív mértékegységben írva az egy főre jutó fogyasztás értéke a felhalmozás mértékétől függ ... melyik phi értéknél éri el a maximumot ...α.
A modellben A Harrod-Domar kibocsátás munkaerőköltségeit figyelembe veszik: időben állandó, vagy a kibocsátás nem függ a munkaerőköltségektől.
A modellbenHarrord-Domar folyamatos jövedelemnövekedési ütem egyenlő, ha 
ahol B a növekményes tőkeintenzitás együtthatója; С(t) - fogyasztás mennyisége; Y(t) - a bevétel összege; Melyik esetben lesz maximális, és melyik lesz nulla, ha C(t)-const:a maximumot elérjük 
Az X-modellbenD a termékek előállításának munkaerőköltségeit figyelembe kell venni:Állandó időben, vagy engedje el.
A modellben Evans, a termék iránti kereslet függ 
, és az árukínálat 
, hol van az áru ára, 
olyan egyenletparaméterek, amelyek pozitív számok. Ebben az esetben: (a= >
< ).
A pókhálóban 
Ebben az esetben az egyensúlyi ár megtalálásának iteratív folyamata rekurzív relációként jeleníthető meg: lim f(p)=¥ pÞ0;Lim f(p)=0 pÞ¥;Limj(p )=0 pÞ0; Limj(p)= ¥; pÞ¥;.
A pókhálóban a yavl aggregált keresleti függvény modelljei. az ár csökkenő függvénye, míg az aggregált kínálat függvénye az ár növekvő függvénye. Ebben az esetben az egyensúlyi ár megtalálásának iteratív folyamata rekurzív relációként jeleníthető meg Ф(р t)=y(p t -1).
TermelésbenX=A*e*K*L formájú függvények esetén az időtényező egy helyettesítő változó, amely befolyást tükröz…Tudományos és műszaki haladás.
Termelésben A következő alak függvényei: X t =A 0 ´e pt ´K t a 1 ´L t a 2, az időtényező egy helyettesítő változó, amely a bruttó kibocsátásra gyakorolt hatást tükrözi: tudományos és technológiai haladás .
StatikusbanLeontief-modell (ágazatközi egyensúly) az állítás igaz ...0
Érték 
ahol I a fogyasztó jövedelme, p1p2 az áru ára, x2 a 2. áru mennyisége. Ebben az esetben az első és a kettő előny:felcserélhető.
Válassza ki a megfelelőt a keynesi piacgazdaság-elméletnek megfelelő kijelentés 1) az egyensúly általános esete a piacgazdaságban munkanélküliség mellett, és a teljes foglalkoztatottság csak speciális eset; 2) a beruházási kereslet a kamatláb emelkedésével csökken.
Válassza a Jogok lehetőségeterős állítások, amelyek megvalósítása növeli a közgazdasági és matematikai modell paramétereinek meghatározásának megbízhatóságát és pontosságát. 1. A modell paramétereinek meghatározására elfogadott módszernek a megbízhatóság biztosítása szempontjából helyesnek kell lennie, 2. A matematikai modell megtalálásához elegendő kezdeti információval kell rendelkeznie az objektum bemeneti és kimeneti mutatóiról, 3. A bemeneti indikátorok vektorának nagymértékben változnia kell a vizsgált intervallumban, 4. A priori elfogadás esetén a modellnek jelentős mértékben kell tükröznie a vizsgált objektum tényleges mintázatait.
Szelektív egyenlítésazaz páronkénti regresszió y=-3+2x, akkor a minta páronkénti korrelációs együtthatója egyenlő lehet ..(-3,2,0.6,-2,-0.6) …0,7 vagy 0,6.
szelektíven A páronkénti regressziós egyenlet alakja y=-3+2x. Ekkor a párkorrelációs minta együtthatója egyenlő lehet: 0,7.
hol - 
növekményes tőkeintenzitási együttható С(t) - fogyasztás volumene Y (t) - bevétel mennyisége; a maximumot elérjük , és egyenlő nullával, ha Y(0)=C(0).
Hipotézisek, amelyet a piacgazdaság klasszikus modelljében a munkaerő-keresleti függvény levezetésében használnak: A cégek teljes mértékben versenyképesek az áruk kínálatában és a munkaerő felvételében. Ha egyéb dolgok változatlanok, a munka határterméke a munkafelhasználás növekedésével csökken.
Adott funkciók igény 
és S=2p+1,5 mondatok, ahol p az áru ára. akkor az egyensúlyi ár az VÁLASZ: х1= 0,34+0,18+340.....х2=0;25+0,53+280.
Adott funkciókigény és S=2p+1,5 mondatok, ahol p az áru ára. akkor az egyensúlyi ár =1 .
Adott funkciók igény és S=2p+1,5 mondatok, ahol p az áru ára. akkor az egyensúlyi ár = 5,5.
Adott funkciók kereslet q=(p+6)/(p+2) és kínálat s=2p-2, ahol p az áru ára. Ekkor az egyensúlyi ár: 2.
Funkció adatokigény q=p+6/p+2 és pre-s s=2p-2…..2.
Ha meg van mentveegyenlő feltételekkel, majd az ár emelkedésével a Giffin áruk iránti kereslet: ...növekszik.
Ha a modellbenSolow, hogy a beruházási lemaradást koncentrált lemaradás formájában vegyük figyelembe, akkor az I(t) befektetések kapcsolata a V(t) alapok bevezetésével egyenlet formájában tükrözhető ...V(t)= I(t-t)(
).
Ha bruttótólA hazai termékből levonjuk az értékcsökkenést, így kapjuk:újonnan létrehozott érték (N.D.) .
Ha a bruttó hazai a termékből levonjuk az értékcsökkenést, így kapjuk: nettó hazai termék.
Ha kereszt a kereslet árrugalmassága > 0, akkor .... (I termék helyettesíti a j-t).
Ha a termék funkcióy \u003d f (x 1; x 2), akkor St. azt jelenti, hogy egy erőforrás felhasználásának növekedésével a határhatékonyság¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.
Ha a termelés a függvény p > 0 fokú homogén függvény, akkor p = 2-vel és a termelési lépték háromszoros növekedésével hányszorosára nő a kibocsátás volumene ... 9.
Ha a termelésa függvény p > 0 fokú homogén függvény, akkor p = 2-vel és a termelési lépték 4-szeres növekedésével hányszorosára nő a kibocsátás volumene ...16.
Ha megtörténik a fogyasztói jövedelem növekedése, majd a kereslet mozgása (adja meg a helyes állítást): az alacsony rugalmasságú áruktól a nagy rugalmasságú árukig. Az alacsony rugalmasságú áruk fogyasztásának volumene csökken.
Ha a PF rendelkezik Kilátás y=f(x1;x2), akkor az a tulajdonság, amely azt jelenti, hogy az egyik erőforrás felhasználásának növekedésével egy másik erőforrás határhatékonysága nő, a képlettel kifejezve: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.
Ha meg van mentve egyenlő feltételekkel, majd az ár emelkedésével a Giffin áruk iránti kereslet: növekszik.
közötti kapcsolat gyártási költségek
a termelés mennyiségét pedig a függvény fejezi ki 
egyenlőek: 3.
Függőség mA termelési költségek és a kibocsátás közötti különbséget a függvény fejezi ki 
.Akkor a határköltség a termelés volumenén 
egyenlőek:23.
FüggőségA C termelési költségek és a Q kibocsátás között a függvény fejezi ki 
. Ekkor a Q=10 termelési mennyiségnél a határköltség egyenlő: ..
3 .
közötti kapcsolat a C előállítási költséget és a Q termelési mennyiséget a következőképpen fejezzük ki: C = 20-0,5 * Q. Ekkor a c/c rugalmasság Q=10 termelési mennyiségnél egyenlő: -1/3.
A termék adottalak függvénye: Y=3 K 0,5 *L 0,5 akkor a munka átlagterméke egyenlő a K=25 ,L=100……1.5.
A fogyasztó feladataa választás a következő:Keress ki egy adott halmazból ennyi árut a fogyasztó k-edik mák hasznossági függvényével.
feladat A fogyasztó választása a következő: a feladat egy olyan fogyasztási köteg (x, x) kiválasztása, amely maximalizálja a hasznosságfüggvényt adott költségvetési korlát mellett.
A fogyasztó feladata a választás a következő: olyan mennyiségű árut találni egy adott halmazból, amely maximalizálja a fogyasztó hasznossági függvényét.
Csökkenő törvény A termelés hatékonyságát az jellemzi, hogy a felhasznált erőforrás értékének növekedésével .. VÁLASZ: minimális lehetséges kimenet .
Csökkenő törvény A termelési hatékonyságot az jellemzi, hogy a felhasznált erőforrás értékének növekedésével: Minden további erőforrás-egység egyre kisebb kibocsátásnövekedést ad.
Csökkenő törvény A termelés hatékonyságát az jellemzi, hogy a felhasznált erőforrás értékének növekedésével.. VÁLASZ: a lehetséges maximális teljesítmény (y) növekszik.
Az egyenletből Szluckijt meg lehet szerezni 
( szám 
áruk, ár 
áruk). Ez egyezik: (több válasz is lehetséges): 1) Giffin termék, 2) alacsony értékű termék.
Milyen hipotézisek A klasszikus piacgazdasági modellben a munkaerő-keresleti függvény levezetéséhez használják: a cégek teljes mértékben versenyképesek az áruk kínálatában és a munkaerő felvételében; ceteris paribus, a munka előterméke a munkaerő növekedésével csökken.
Milyen továbbia hamisságok megnehezítik az EMM felépítését... A gazdaságban végzett aktív kísérletek bonyolultsága, ráadásul gyakorlatilag minden gazdasági objektum vagy folyamat egyedi, ami lehetetlenné teszi az egyszer megszerkesztett modellek egyszerű megismétlését.
Milyen praktikusa problémákat az EMM segítségével oldják meg. 1. Gazdasági objektumok és folyamatok elemzése 2. Gazdasági előrejelzés és a gazdasági folyamatok fejlődésének előrejelzése 3. Vezetői döntések kialakítása a gazdaság minden szintjén.
Melyik állításmegfelel a szürke áttetsző doboz probléma megoldásának: Információk vannak az input és output indikátorokról, valamint egy bizonyos struktúra ismert vagy alapmodellje. Az azonosítás feladata ebben az esetben ennek a modellnek a paramétereinek megtalálása.
Melyik állítás megfelel a szürke doboz probléma megoldásának: a bemeneti és kimeneti módokon kívül az opera-ra konvertáló feladat oldala is be van állítva. opredre redukálódik.parm-m str-ry.
Melyik állítás, Keynes modellje szerint igaz lesz:Amikor a kamatláb emelkedik, nő a fogyasztói kereslet, és csökken a beruházási kereslet.(A fogyasztási cikkek iránti kereslet az árukínálat növekedésével lineárisan nő, a befektetési cikkek iránti kereslet a kamatláb emelkedésével lineárisan csökken).
Végtermék a dinamikus egyensúlyi modellben a végtermékhez képest a statikus egyensúlyi modellben nem tartalmazza export.
Végtermék a dinamikus egyensúlyi modellben a végtermékhez képest a statikus egyensúlyi modellben nem tartalmazza: szektorközi tőkebefektetések.
Együttható a kereslet árrugalmassága E ii p<-1. Это соответствует товару с: a kereslet nagy rugalmassága.
makrogazdasági egyensúly A modellek úgy tekinthetők amelyek a gazdaság olyan állapotát írják le, amikor a gazdaságot ebből az állapotból kihozni kívánó összes erő eredője egyenlő 0-val.
Leontief modell(statikus mérleg) a következő alakú egyenletet tartalmazza: x i -Sa ij \u003d y j.
Az interszektorális modellegyenleg, az X1 és X2 térfogatú gyártott termékek esetében közvetlen költségegyütthatós mátrixszal 
a végtermék pedig 340, illetve 280 egységnyi formában a következő: x 1 = 0,34 x 1 + 0,18 x 2 + 340; x 2 = 0,25 x 2 + 0,53 x 2 + 280 ...
Tornquist modell n „kereslet-bevétel” típus 
(más betűk): válasz : luxuscikkek (2. csoport).
Tornquist modell, "kereslet-bevétel" Y \u003d a 3 Z (Z-b 3) / Z + C 3 formában:luxus tárgyak.
Harrod-Domar modell differenciálegyenlet formájában 
a következő megoldással rendelkezik: ).
Az izoquant Cobb-Douglas gyártási funkció:
A vonalon
A vonalon A közömbös fogyasztói készletek: ugyanazok az értékek VÁLASZ: V(t)= I(t-τ).
A gyártásnálCobb-Douglas függvények az izokvanten: a tőke és a munka értékeinek kombinációit mutatjuk be, amelyek ugyanazt a kibocsátást biztosítják.
A vonal menténközömbös fogyasztói készlet rendelkezik:az egyén szükségleteinek azonos szintű kielégítése.
Ahogy növeled jövedelemkereslet mozgások (adja meg a helyes állítást): VÁLASZ: A jövedelem növekedésével a kereslet az első és a második csoport áruiról a harmadik és negyedik csoport termékei felé tolódik el, míg az első csoport termékeinek fogyasztása abszolút értékben csökken.
Ahogy növeledjövedelemkereslet mozgások (adja meg a helyes állítást): Az alacsony rugalmasságú áruktól a nagy rugalmasságú árukig Az alacsony rugalmasságú áruk fogyasztásának volumene csökken.
Hasznossági határ1. szorzat u = 8 és 2. szorzat u = 2 . mennyivel növelje az egyén a 2. termék fogyasztását, ha az első termék fogyasztását egy egységgel csökkentette...4.
marginális közművek első termék 
, és a második termék 
. Mennyivel növelje az egyén a 2. termék fogyasztását, ha egy egységgel csökkenti az első termék fogyasztását válasz: nem biztos 3.
Használatajelölése: - bruttó beruházás aránya a GDP-ben, a - köztes termék részesedése a bruttó kibocsátásban, X (t) - bruttó kibocsátás a Solow-modellben, a nem termelő fogyasztási alap C (t) értékét a képlet határozza meg. :С(t)=(1-) *(1-a)*X(t).
Az elemzés soránLeontyev modellje (statisztikai input-output egyensúly) azt mutatja, hogy a végtermékek összege és a feltételesen nettó termelés összege:…egyenlők egymással.
Használata jelölés: - a bruttó beruházás részesedése a bruttó hazai termékből, a- a köztes termék részesedése a bruttó kibocsátásban, X(t) - a bruttó kibocsátás az R. Solow modellben, a nem termelő fogyasztási alap С(t) értékét a következő képlet határozza meg: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .
Egy kicsivel a termelési volumen növekedése feltételesen változó költségek 1 termékenként: változatlan marad. (talán növelheti)
Leíráskor A folyamat vizsgálata a PFKD magántőke segítségével a következőképpen alakult: alapoknál E k =2, munkaerőnél E l =8. Ebben az esetben az általánosított pok-l ef-ti E egyenlő: 16.
Leíráskor 
Válasz: 3 (2 0,5-szer 4,5 hatványa 0,5).
Leíráskor 3 alkalommal. (2 nem pontosan)
Leíráskora vizsgált folyamatról az űrlap Cobb-Douglas termelési függvényének segítségével 
magán…..hatékonyság a következőképpen alakult: alapoknál Ek=2, munkaerőnél EL=4,5. Ebben az esetben az E általánosított hatékonysági mutató egyenlő. .. 3(
2 0,5-szer 4,5 hatványa 0,5).
Leíráskora vizsgált folyamatról az űrlap Cobb-Douglas termelési függvényének segítségével magán…..hatékonyság a következő volt: alapoknál Ek=2, munkaerőnél EL=8. Ebben az esetben az E általánosított hatékonysági mutató:4 vagy 16.
Leíráskor a vizsgált folyamatról az űrlap Cobb-Douglas termelési függvényének segítségével magán…..hatékonyság a következőképpen alakult: alapoknál Ek=2, munkaerőnél EL=4,5. Ebben az esetben az E általánosított hatékonysági mutató egyenlő.
Leíráskor a vizsgált folyamatból a Cobb-Douglas termelési függvény segítségével ismertté vált, hogy a termelési hatékonyság általánosított mutatója E=1,5, a termelés léptéke M=2. Ebben az esetben a bruttó kibocsátás nőtt 3 alkalommal.
ÉpítéskorAz EMM-et az objektum ismert bemeneti és kimeneti mutatói szerint használják a vezérlési tulajdonságok modell általi tükrözésének szorosságának kritériumaként ...a különbségek négyzetes összege.
Elfogadvamegnevezések...A tőke távozása és a bruttó befektetés értéke.
Elfogadvaf jelölés (Kо) - munkatermelékenység stacionárius pályán, - tőke-munka arány stacionárius pályán 
úgy néz ki, mint a...().
Elfogadva A Solow-modellben a gazdaság stacionárius pályára lépésének feltétele a következő: k(t)=k a hatványhoz 0=állandó.
Az elfogadott jelöléssel…az R. Solow modell egyik egyenlete relatív egységekben így fog kinézni: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1 -a)f/(2) Ebben az egyenletben az (1) és (2) kifejezések a tőke-munka arány változására gyakorolt hatást tükrözik.
Egyéb egyenlő feltételek a Giffin áruk iránti kereslet emelkedésével mindenre nő a kereslet .
Amikor döntenek 
;p1x1+p2x2=I ahol I=1000, p1=5, p2=10ed.. Mennyi a 2. tétel 1. tétele….100 egység - 1 elem és 50 egység - a második.
Amikor döntenekfogyasztói választási problémák egyenletrendszert kaptak ;p1x1+p2x2=I ahol I=1000, p1=10, p2=5ed.. Mennyi a 2. tétel 1. tétele. ….50, 100.
Emelkedésseljövedelem, a termék kereslete állandó áron általában ....Növekszik (a szinuszos törvény szerint változik).
Termelés i funkció 
, akkor a határszorzat Kt=4, Lt=25 mellett egyenlő 2,5.
termelési funkció 
, akkor a határtermék Kt=4, Lt=25 mellett …0.2.
Termelés Kt=1100, Lt=9900. Mennyi az eszközök határhozama...1,5 (vagy 10)
termelési funkció kedves 
hívott: Lineáris, additív termelési funkció.
termelési funkció X t =K t 0,5 ´L t 0,5, ahol K t tőke, L t munka. Ekkor a munka határterméke ¶У/¶L K t =16, L t =25 esetén egyenlő: 0,4.
Cobb termelési funkció-Douglasnak megvan a formája ahol Kt=4000, Lt=10. Mi a munka határtermelékenysége Válasz: 10.
Termelésa Cobb-Douglas függvénynek a formája van ahol Kt=9000, Lt=10. Mennyi a munka határtermelékenysége...15.
Termelés a Cobb-Douglas függvény olyan formában van, hogy a korrekciós tényező matematikai elvárása .. = 1.
termelési funkció A Cobb-Douglas alakja: X t \u003d K t 0,5 ´L t 0,5; K t \u003d 900, L t \u003d 10. Mekkora a munka határtermelékenysége ¶X / ¶L: 15.
Termelés Az i függvényt dinamikusnak nevezzük, ha: 1) a t idő független változóként jelenik meg, amely befolyásolja a kimeneti mennyiséget 2) A PF paraméterei az időtől függenek 3) a PF jellemzői az időtől függenek.
termelési funkció ez- egy ilyen függvény, amelynek független változója a felhasznált erőforrás mennyiségének (termelési tényező) értékeit veszi fel, a függő változó pedig a kibocsátott mennyiségek értékeit y=f(x).
Termelés f-tion K-D alakja 
hány százalékkal nő az Xt kibocsátása, ha a tőke Kt 1-gyel nő % (0,4).
Termelésa függvényt dinamikusnak nevezzük, ha:Megjelenik a t idő. A PF paraméterei az időtől függenek …. A termelési függvény jellemzője az idő függvénye.
Közbülsőa makrogazdasági mutatók viszonyát tükröző sémában szereplő termék az ország zárt gazdaságában:munkaeszközök és fogyasztási cikkek.
Alapítási folyamategyensúlyi ár a pókháló modellben...Változatlanok maradnak.
Hagyja a függvényt segédprogramnak van formája 
, az áruk kezdeti árai és . Az egyén jövedelme 2000 egység, és az optimális árukészlet 
; 
Ha az ár négyszeresére nőtt, akkor mennyi lesz az egyén kompenzált jövedelme és az optimális árukészlet értéke 
:I k = 2000; x 1 = 50; x2=40.
Hagyja a függvényt A hasznosság u(x1;x2)=x1*x2 alakú, az áruk kezdeti ára Р1 és Р2. Az egyén jövedelme = 1000 egység, és az optimális javak halmaza x1=100 egység, x2=20 egység. Ha az ár 4-szeresére nőtt, akkor mennyi lesz az egyén kompenzált jövedelme és az optimális árukészlet értékei (x1 x2) ... 2000 50,40.
egyensúlyi modellektartott...Modellek, amelyek leírják a környezet olyan állapotát, amikor az összes erő eredője. (a válasz 0)
rendezni a megfelelő sorrendben, az IGF felépítésének szakaszai: 1. A közgazdasági probléma megfogalmazása és minőségi elemzése 2. Matematikai modell felépítése 3. A modell matematikai elemzése 4. Kiindulási információk elkészítése 5. Numerikus megoldás 6. Numerikus eredmények elemzése és alkalmazása.
rendeznia megfelelő sorrendben az EMM felépítésének szakaszai: 1. A közgazdasági probléma megfogalmazása és minőségi elemzése 2. Matematikai modell felépítése 3. A modell matematikai elemzése 4. Kiindulási információk elkészítése 5. Numerikus megoldás 6. Numerikus eredmények elemzése és alkalmazása.
Milyen segítséggel modell (egy képlet formájában) tükrözi a bruttó kibocsátást, a folyó termelőterméket, a bruttó hazai terméket az ország gazdaságának szintjén: Leontief egyensúlymodellje.
Keresztülmelyik modell képes tükrözni a bruttó kibocsátás és a felhasznált erőforrások függőségét az ország gazdaságának szintjén: ...Cobb-Douglas modell. (PFKD)
Keresztülmelyik modell (egy képlet formájában) .. VP, köztes termék, GDP mutatóinak kapcsolata ....Leontief egyensúlymodellje.
Egyenletrendszer 
a Leontief-modellben produktívnak nevezik, ha megoldható. válasz: nem negatív Xi>0-ban, ha i=1÷n.
Alapján A piacgazdaság klasszikus modellje szerint az árukínálatot a következők határozzák meg: teljes foglalkoztatási ráta.
AlapjánAz azonos GDP-vel rendelkező piacgazdaság klasszikus modellje szerint a pénzkínálat növekedése az ...A GDP egységnyi árának növekedése.
A modell szerintSolow „arany” felhalmozási szabálya a fizikai tőke α-rugalmassági együtthatójával megegyező felhalmozási rátának felel meg.phi=1.
A modell szerint Harrord-Domar, hogy a fogyasztás növekedése miben lesz egyenlő a jövedelemnövekedés ütemével: VÁLASZ: r< 1/в, r=p .
A modell szerint Harrord-Domar mekkora…r fogyasztásnövekedés esetén lesz egyenlő a jövedelemnövekedés ütemével: VÁLASZ: ha r = p0, p0 = a0 /B, akkor a0 a felhalmozás üteme a kezdeti időpillanatban.
A statikus szerint Leontiev-modell, ha az első iparág végterméke y1=1000 egység, és a bruttó kibocsátás x1=2500 egység, ami megegyezik az első iparág más iparágak által felhasznált termelési volumenével 1.5.(1500 vagy 3500).
A statikus szerint Leontiev-modell, ha az első iparág végterméke y1=1500 egység, és a bruttó kibocsátás x1=3500 egység, ami megegyezik az első iparág más iparágak által felhasznált termelési volumenével 2000 egység .
Statikus modellLeontyev a következő alakú egyenleteket tartalmazza… .
Feltételesen tiszta nAz input-output mérlegben a termelés magában foglalja…Értékcsökkenés, bérek és nettó bevétel.
hasznossági függvény a fogyasztásnak van formája 
.x áru ára 10, y áru 5, a fogyasztó bevétele 200. Ekkor a fogyasztási cikkek optimális halmaza így néz ki: 10,20.
hasznossági függvénya fogyasztásnak van formája .X áru ára 5, y áru 10, fogyasztó bevétele 200. Ekkor a fogyasztási cikkek optimális halmaza így néz ki... .20.10. (200 vagy 400)
hasznossági függvényA felhasználó rendelkezik a tulajdonságokkal... a határhaszon csökken, ha a fogyasztás csökken; egy termék fogyasztásának növekedése az f-ii hasznosság növekedéséhez vezet; (az egyes termékek határhaszna nőtt. ha a többi termék száma nő).
Eladási ár egy termék 7 egységnek felel meg. A költségállandó 8000 egység. A változó költségek 5 egységnek felelnek meg. 1 db-ra. Mekkora a termelés fedezeti mennyisége? 4000 egység
Mi egyenlő a modellben Keynes, a kötvények iránti kereslet, ha a pénzkínálat = 1000 egység. , a pénzforgalom a reálpiacon k=0,1, a GDP egységára p=0,5 egység, a GDP értéke 10 000 egység… 500.
Amivel egyenlő a keynesi modellben a kötvények iránti kereslet, ha a pénzkínálat = 1000 egység. , a pénzforgalom a reálpiacon k=0,1, a GDP egységára p=0,2 egység, a GDP értéke 10 000 egység… 800.
Az XOY síkon lévő egyenes egyenlete egy olyan egyenlet, amely kielégíti az adott egyenes minden pontjának x és y koordinátáit, és nem elégíti ki egyetlen olyan pont koordinátáját sem, amely nem ezen az egyenesen található. Általában az egyenes egyenlet felírható 0), (yx. F vagy) (xfy
Legyen adott egy egyenes, amely az y tengelyt a B (0, c) pontban metszi és az x tengellyel α szöget zár be, válasszunk egy tetszőleges M(x, y) pontot az egyenesen.
x y M N
N pont koordinátái (x, in). A BMN háromszögből: k az egyenes meredeksége. k x by NB MN tg bkxy
Tekintsünk konkrét eseteket: - az origón áthaladó egyenes egyenlete. 10 bkxy 2 bytg 00 - egy egyenes egyenlete, párhuzamos tengely X.
azaz a függőleges vonalnak nincs lejtése. 3 22 tg - nem létezik Az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete ebben az esetben ax alakú, ahol a az x tengelyen egy egyenes által levágott szakasz.
Legyen egy adott ponton2 átmenő egyenes, amely az x tengellyel α szöget zár be (111 yx. M
Mivel az M 1 pont egy egyenesen fekszik, koordinátáinak meg kell felelniük az (1) egyenletnek: Vonjuk ki ezt az egyenletet az (1) egyenletből: bkxy 11)(11 xxkyy
Ha ebben az egyenletben a meredekség nincs definiálva, akkor egy adott ponton átmenő egyenes köteget határoz meg, kivéve az y tengellyel párhuzamos egyenest, amelynek nincs meredeksége. xy
Legyen adott egy két ponton átmenő egyenes: Írjuk fel az M ponton átmenő egyenesek ceruza egyenletét
Mivel az M 2 pont egy adott egyenesen fekszik, ezért a koordinátáit behelyettesítjük a vonalceruza egyenletébe :) (1212 xxkyy 12 12 xx yy k A vonalceruza egyenletébe behelyettesítjük k-t. Így az alábbiak közül választunk ez a nyaláb két megadott ponton áthaladó egyenes:
1 12 12 1 xx xx yy yy vagy 12 1 xx xx yy yy
MEGOLDÁS. A pontok koordinátáit behelyettesítjük egy két ponton átmenő egyenes egyenletébe. 53 5 42 4 xy)5 (8 6 4 xy 4 1 4 3 xy
Legyen adott egy egyenes, amely a koordinátatengelyeken a-val és b-vel egyenlő szakaszokat vág le. Ez azt jelenti, hogy átmegy a)0, (a. A), 0(b. B) pontokon. Keressük ennek az egyenesnek az egyenletét.
xy 0 ab
Helyettesítsük be az A és B pont koordinátáit egy két ponton átmenő egyenes egyenletébe (3): a ax b y 00 0 a ax b y 1 ax b y 1 b y a x
PÉLDA. Állítsd össze az A ponton átmenő egyenes egyenletét (2, -1), ha az y pozitív féltengelyből egy szakaszt vág le, kétszer olyan hosszú, mint az x pozitív féltengelyen.
MEGOLDÁS. A feladat feltétele szerint ab 2 Helyettesítsük be a (4) egyenletbe: 1 2 ayax А(2, -1) pont ezen az egyenesen fekszik, ezért a koordinátái kielégítik ezt az egyenletet: 1 2 12 aa 1 2 41 a 23 a 1 35. 1 yx
Tekintsük az egyenletet: Tekintsük ennek az egyenletnek speciális eseteit, és mutassuk meg, hogy az A, B (nem egyenlő nullával egyidejűleg) és C együtthatók bármely értékénél ez az egyenlet egy síkon lévő egyenes egyenlete. 0 CBy. Fejsze
Ekkor az (5) egyenlet a következőképpen ábrázolható: Ekkor megkapjuk az (1) egyenletet: Jelölje: 10 B B C x B A y k B A b B C bkxy
Ekkor az egyenlet így néz ki: Kapjuk az egyenletet: - az origón áthaladó egyenes egyenlete. 2000 CAB x B A y 3 000 CAB BC y az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete.
Ekkor az egyenlet így néz ki: Megkapjuk az egyenletet: - az x tengely egyenletét. 40 y 5 000 CAB az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete. 000 CAB A C x
Ekkor az egyenlet alakja: - az y tengely egyenlete. 60 x 000 CAB Így az A, B (egyszerre nullával nem egyenlő) és C együtthatók bármely értékére az (5) egyenlet egy síkon lévő egyenes egyenlete. Ez
Az F alakú egyenlőség (x, y) = 0 két változós egyenletnek nevezzük x, y, ha nem minden számpárra igaz x, y. Két számot mondanak x = x 0 , y=y 0, eleget tesz valamilyen formaegyenletnek F(x, y)=0, ha a változók helyett ezeket a számokat helyettesítve xÉs nál nél az egyenletben a bal oldala eltűnik.
Egy adott egyenes egyenlete (a hozzárendelt koordinátarendszerben) egy két változóból álló egyenlet, amelyet az ezen az egyenesen elhelyezkedő összes pont koordinátái kielégítenek, és nem teljesülnek ki minden azon nem fekvő pont koordinátái.
A jövőben az "egyenlet alapján az egyenes" kifejezés helyett F(x, y) = 0" gyakran mondjuk rövidebben: adott egy sor F(x, y) = 0.
Adott két egyenes egyenlete F(x, y) = 0És Ф(x, y) = Q, majd a rendszer együttes megoldása
megadja az összes metszéspontjukat. Pontosabban, minden számpár, amely ennek a rendszernek a közös megoldása, meghatározza az egyik metszéspontot.
*) Azokban az esetekben, amikor a koordináta-rendszer nincs megnevezve, feltételezzük, hogy derékszögű téglalap.
157. Pont jár *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3;-2). Határozza meg, hogy a megadott pontok közül melyik található az egyenlet által meghatározott egyenesen! x+ y = 0,és amelyek nem fekszenek rá. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Mutasd a rajzon.)
158. Az egyenlet által meghatározott egyenesen x 2 + y 2 \u003d 25, keresse meg azokat a pontokat, amelyek abszcisszái egyenlők a következő számokkal: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; ugyanazon az egyenesen keresse meg azokat a pontokat, amelyek ordinátája egyenlő a következő számokkal: e) 3, f) - 5, g) - 8. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Mutasd a rajzon.)
159. Határozza meg, mely egyeneseket határozzák meg a következő egyenletek (építsd fel a rajzra):
1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;
5) y-5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;
9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; tizenegy) x 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;
13) y 2-9 = 0; tizennégy) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y2 +5y+4 = 0;
16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y =|x|; 18) x =|nál nél|; 19)y + |x|=0;
20) x +|nál nél|= 0; 21)y=|X- 1|; 22) y = |x+ 2|; 23) x 2 + nál nél 2 = 16;
24) (x-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;
26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + y 2 = 0;
29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0
31) (x- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.
160. Adott sorok:
1)x+ y= 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0;
4) x 2 +y 2 -2x==0; 5) x 2 +y 2 + 4x-6y-1 =0.
Határozza meg, melyikük halad át az origón.
161. Adott sorok:
1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;
3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;
5) x 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +y 2 - 2x + 8nál nél+ 7 = 0;
7) x 2 +y 2 - 6x + 4y + 12 = 0.
Keresse meg metszéspontjaikat: a) a tengellyel Ó; b) tengellyel OU.
162. Határozza meg két egyenes metszéspontját;
1)x 2 +y 2 = 8, x-y = 0;
2) x 2 +y 2 -16x+4nál nél+18 = 0, x + y= 0;
3) x 2 +y 2 -2x+4nál nél -3 = 0, x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 +y 2 -8x+10 év + 40 = 0, x 2 + y 2 = 4.
163. A pontok a polárkoordináta-rendszerben vannak megadva
M 1
(1;
),
M 2
(2;
0), M 3
(2;
)
M 4
(
;
) És M 5
(1;
)
Határozza meg, hogy ezek közül a pontok közül melyek fekszenek a = 2 cos egyenlet által meghatározott egyenesen, és melyek nem. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Mutasd a rajzon :)
164. A = egyenlettel meghatározott egyenesen 
,
Keressünk olyan pontokat, amelyek poláris szögei egyenlők a következő számokkal: a) 
,b) - 
, c) 0, d)
. Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet?
(Alakítsa fel a rajzra.)
165. A = egyenlettel meghatározott egyenesen 
, keresse meg azokat a pontokat, amelyek poláris sugara megegyezik a következő számokkal: a) 1, b) 2, c) 
.
Melyik egyenest határozza meg ez az egyenlet? (Alakítsa fel a rajzra.)
166. Állapítsa meg, mely egyeneseket határozzák meg polárkoordinátákban az alábbi egyenletek (építsd fel a rajzra):
1) = 5; 2) = 
; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 sin ; 8) bűn = 9) bűn =
167. Szerkessze meg a rajzon Arkhimédész alábbi spiráljait:
1) = 5, 2) = 5; 3) = 
; 4) p \u003d -1.
168. Szerkessze meg a következő hiperbolikus spirálokat a rajzon:
1) = ; 2) = ; 3) = 
; 4) = - 
.
169. Szerkessze meg a következő logaritmikus spirálokat a rajzon:
,
.
170. Határozza meg azon szakaszok hosszát, amelyekbe Arkhimédész spirálja belevág! 
egy rúdból kilépő és felé hajló sugár poláris tengely szögben 
. Készítsen rajzot.
171. Arkhimédész spiráljáról 
megértettem az álláspontodat TÓL TŐL, amelynek poláris sugara 47. Határozza meg, hogy ez a spirál hány részre vágja a pont poláris sugarát TÓL TŐL, Készítsen rajzot.
172. Hiperbolikus spirálon 
talál egy pontot R, amelynek poláris sugara 12. Készítsen rajzot.
173. Logaritmikus spirálon 
keresse meg a Q pontot, amelynek poláris sugara egyenlő 81-gyel. Készítsen rajzot!