A származék mechanikai jelentése. Az első származék geometriai és mechanikai jelentése Második származék és mechanikai jelentése

20. számú utasításkártya

Takyryby/Téma: « A második derivált és annak fizikai jelentése ».

Maқsaty / Cél:

Legyen képes megtalálni az érintő egyenletét, valamint az érintő dőlésszögének érintőjét az OX tengelyhez képest. Legyen képes meghatározni egy függvény változási sebességét, valamint a gyorsulást.

Teremtse meg a képességek kialakulásának feltételét a vizsgált tények, fogalmak összehasonlítására, osztályozására.

Felelős hozzáállás kialakítása iránt nevelőmunka, akarat és kitartás az eléréshez végeredmények az érintőegyenlet megtalálásakor, valamint a függvény és a gyorsulás változási sebességének megtalálásakor.

Elméleti anyag:

(A származék geometriai jelentése)

A függvénygrafikon érintőjének egyenlete a következő:

1. példa: Keressük meg a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét a 2. obscissza pontban.

Válasz: y = 4x-7

A függvény grafikonjának érintőjének k meredeksége az x o abszcissza pontban egyenlő f / (x o) (k = f / (x o)). A függvény grafikonjának érintőjének dőlésszöge egy adott pontban az

arctg k \u003d arctg f / (x o), azaz. k = f / (x o) = tg

2. példa: Milyen szögben van a szinuszos metszi az x tengelyt az origóban?

Az a szög, amelyben ennek a függvénynek a grafikonja metszi az abszcissza tengelyt, megegyezik az f (x) függvény grafikonjára ezen a ponton húzott érintő a dőlésszögével. Keressük a származékot: Figyelembe véve geometriai jelentése deriváltja, van: és a = 60°. Válasz: =60 0 .

Ha egy függvénynek a tartományának minden pontjában van deriváltja, akkor a deriváltja a függvény függvénye. A függvénynek viszont lehet deriváltja, amit ún másodrendű származék funkciók (vagy második származéka) és a szimbólum jelöli.

3. példa: Keresse meg a függvény második deriváltját: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Az elején megtaláljuk ennek a függvénynek az első deriváltját f "(x) \u003d (x 3 -4x 2 + 2x-7) '= 3x 2 -8x + 2,

Ezután megtaláljuk a kapott első derivált második deriváltját

f""x)=(3x2 -8x+2)''=6x-8. Válasz: f""x) = 6x-8.

(A második származék mechanikai jelentése)

Ha a pont egyenes vonalban mozog, és mozgásának törvénye adott, akkor a pont gyorsulása egyenlő az út időbeli második deriváltjával:

Sebesség anyagi test egyenlő az útvonal első deriváltjával, azaz:

Egy anyagi test gyorsulása egyenlő a sebesség első deriváltjával, azaz:

4. példa: A test egyenes vonalban mozog az s (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m) törvény szerint. Határozza meg sebességét és gyorsulását t = 3 s időpontban. (Az utat méterben, az időt másodpercben mérik).
Megoldás
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t 2)'= 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) =(2+2t)'= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2,3 = 8 (m/s). Válasz: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Gyakorlati rész:

1 lehetőség	2. lehetőség	3 lehetőség	4 lehetőség	5 lehetőség
Határozzuk meg a dőlésszög érintőjét az átmenő érintő x tengelyéhez adott pont M az f függvény grafikonja.
f(x)=x2, M(-3;9)	f(x)=x3, M(-1;-1)
Írjuk fel az f függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x 0 abszcissza pontban!
f (x) \u003d x 3 -1, x 0 \u003d 2	f (x) \u003d x 2 +1, x 0 \u003d 1	f (x) \u003d 2x-x 2, x 0 \u003d -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x) = x 0 = -1
Keresse meg az f függvény érintőjének meredekségét az x 0 abszcissza pontban.

Keresse meg egy függvény második deriváltját:

			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
A test egyenes vonalban mozog az x (t) törvény szerint. Határozza meg pillanatnyi sebességét és gyorsulását idő t. (Az elmozdulást méterben, az időt másodpercben mérik).
x(t)=t2-3t, t=4	x(t)=t3+2t, t=1	x(t)=2t3-t2, t=3	x(t)=t3-2t2+1,t=2	x (t) \u003d t 4 -0,5 t 2 \u003d 2, t = 0,5

Tesztkérdések:

Ön szerint mi a derivált fizikai jelentése - pillanatnyi sebesség vagy átlagsebesség?

Mi a kapcsolat a függvény grafikonjára bármely ponton keresztül húzott érintő és a derivált fogalma között?

Mi a definíciója egy függvény grafikonjának érintőjének az M (x 0; f (x 0)) pontban?

Mi a mechanikai jelentése a második származéknak?

Derivált(egy ponton működik) - alapfogalom differenciálszámítás a függvény változási sebességét jellemzi (adott ponton). Úgy definiálható, mint egy függvény növekményének és argumentuma növekményének arányának határa, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik, ha létezik ilyen korlát. Azt a függvényt, amelynek véges deriváltja van (egy adott ponton), differenciálhatónak (egy adott pontban) nevezzük.

Derivált. Vegye figyelembe néhány funkciót y = f (x ) két ponton x 0 és x 0 + : f (x 0) és f (x 0+). Itt, az érvelés néhány apró változásával jelölve, az ún argumentumnövekmény; rendre a függvény két értéke közötti különbség: f (x 0 + )  f (x 0 ) nak, nek hívják funkciónövekedés.derivált funkciókat y = f (x ) azon a ponton x 0 határnak nevezik:

Ha ez a határ létezik, akkor a függvény f (x ) nak, nek hívják megkülönböztethető azon a ponton x 0 . Függvény derivált f (x ) jelölése a következő:

A származék geometriai jelentése. Tekintsük a függvény grafikonját y = f (x ):

Az 1. ábráról látható, hogy a függvény grafikonjának bármely két A és B pontjára:

ahol az AB szekáns dőlésszöge.

Így a különbség aránya megegyezik a szekáns meredekségével. Ha rögzítjük az A pontot, és a B pontot feléje mozgatjuk, akkor ez korlátlanul csökken, és megközelíti a 0-t, és az AB szekáns megközelíti az AC érintőt. Ezért a különbséghányad határa megegyezik az A pontban lévő érintő meredekségével. Ebből következik: egy függvény deriváltja egy pontban a függvény grafikonjának érintőjének meredeksége abban a pontban. Ez az, amiből áll geometriai jelentése derivált.

Érintőegyenlet. Vezessük le a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az A pontban ( x 0 , f (x 0 )). Általános esetben a meredekségű egyenes egyenlete f ’(x 0 ) úgy néz ki, mint a:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Megtalálni b, azt a tényt használjuk, hogy az érintő átmegy az A ponton:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +b ,

innen b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , és ezzel a kifejezéssel helyettesítve a b, megkapjuk érintő egyenlet:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x-x 0 ) .

A származék mechanikai jelentése. Fontolgat legegyszerűbb eset: mozgás anyagi pont mentén koordináta tengely, és a mozgás törvénye adott: koordináta x a mozgópont ismert függvény x (t) idő t. Az időintervallumban től t 0 -tól t 0 + a pont elmozdul egy távolságot: x (t 0 + ) x (t 0) = , és annak átlagsebesség egyenlő: v a =  . 0 értéknél átlagsebesség hajlik egy bizonyos értékre, amit ún azonnali sebesség v ( t 0 ) lényeges időpontban t 0 . De a származékos definíció szerint a következőket kapjuk:

innen v (t 0 ) = x' (t 0 ), azaz a sebesség a koordináta deriváltja tovább idő. Ez az, amiből áll mechanikai érzék derivált . Hasonlóképpen, a gyorsulás a sebesség deriváltja az idő függvényében: a = v' (t).

8. A származékok és a differenciálási szabályok táblázata

„A származék geometriai jelentése” című cikkben beszéltünk arról, hogy mi az a származék. Ha egy függvényt gráf ad meg, a deriváltja minden pontban egyenlő a függvény grafikonjának érintője meredekségének érintőjével. Ha pedig a függvényt egy képlet adja meg, akkor a deriválttáblázat és a differenciálás szabályai segítenek, vagyis a derivált megtalálásának szabályai.

2. § A származék fogalma.

Hagyja a függvényt y= f(x) intervallumon definiálva ( a;b). Vegye figyelembe az érv értékét

(a;b) . Növeljük az érvelést ∆ x 0 úgy, hogy a feltétel ( x 0 +∆ x)

a;b). Jelöljük a függvény megfelelő értékeit y 0 és y 1 segítségével:

y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 0 +∆ x). Amikor elköltözik x 0 nak nek x 0 +∆ x a függvény növekszik

∆y= y 1 -y 0 = f(x 0 +∆ x) -f(x 0 ). Ha a törekvésben ∆ x nullához van határa a függvény növekményének arányának ∆y az azt hívó argumentumnövekményhez ∆ x,

azok. van egy határ

=

,

akkor ezt a határértéket a függvény deriváltjának nevezzük y= f(x) azon a ponton x 0 . Tehát a függvény deriváltja y= f(x) azon a ponton x=x 0 Ha az argumentum növekménye nullára hajlamos, akkor a függvény és az argumentum növekményének aránya korlátozott. Függvény derivált y= f(x) azon a ponton x szimbólumokkal jelöljük (x) vagy (x). A megnevezéseket is használják , , ,. Az utolsó három jelölés azt a tényt hangsúlyozza, hogy a derivált a változóhoz képest történik x.

Ha a funkció y= f(x) Valamely intervallum minden pontjában van deriváltja, akkor ezen az intervallumon a derivált ( x) egy argumentumfüggvény x.

3. § A származék mechanikai és geometriai jelentése.

A függvénygráf normáljának és érintőjének egyenletei.

Amint az 1. §-ban látható, egy pont pillanatnyi sebessége a

v = .

De ez azt jelenti, hogy a sebesség v a megtett távolság deriváltja S idő szerint t ,

v =. Így ha a függvény y= f(x) törvényt írja le egyenes vonalú mozgás anyagi pont ahol y egy anyagi pont által megtett út a mozgás kezdetétől az idő pillanatáig x, majd a derivált ( x) határozza meg egy pont pillanatnyi sebességét x. Ez a származék mechanikai jelentése.

Az 1. §-ban megtaláltuk a függvény grafikonjának érintőjének meredekségét is y= f(x) k= tgα= . Ez az összefüggés azt jelenti, hogy az érintő meredeksége egyenlő a deriválttal ( x). Pontosabban szólva a származék ( x) funkciókat y= f(x) , az argumentum értékével számolva egyenlő x, egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének meredekségével egy olyan pontban, amelynek abszcissza egyenlő x. Ez a származék geometriai jelentése.

Hagyja a x=x 0 funkció y= f(x) felveszi az értéket y 0 =f(x 0 ) , és ennek a függvénynek a grafikonjának érintője van a koordinátákkal rendelkező pontban ( x 0 ;y 0). Ezután az érintő meredeksége

k = ( x 0). Az átmenő egyenes egyenletének felhasználásával adott pont adott irányban ( y-y 0 =k(x-x 0)), felírjuk az érintőegyenletet:

Az érintési ponton az érintőre merőlegesen átmenő egyenest a görbe normálisának nevezzük. Mivel a normál merőleges az érintőre, a meredeksége k normák az érintő meredekségéhez kapcsolódik k az analitikus geometriából ismert összefüggés: k normák = ─ , azaz. egy koordinátákkal rendelkező ponton áthaladó normálhoz ( x 0 ;y 0),k norma = ─ . Ezért ennek a normálisnak az egyenlete:

(feltéve, hogy

).

4. § Példák a származékos számításra.

Egy függvény deriváltjának kiszámítása y= f(x) azon a ponton x, szükséges:

Érv x növekmény ∆ x;

Keresse meg a ∆ függvény megfelelő növekményét y=f(x+∆x) -f(x);

Hozzon létre egy relációt ;

Keresse meg ennek az aránynak a határát ∆-re x→0.

4.1. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját y=C=állandó.

Érv x∆ növekményt ad x.

Tök mindegy x, ∆y=0: ∆y=f(x+∆x) ─f(x)=С─С=0;

Innen =0 és =0, azaz =0.

4.2. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját y=x.

∆ y=f(x+∆x) ─f(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1, azaz =1.

4.3. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját y=x 2.

∆ y= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x, azaz =2 x.

4.4. példa. Keresse meg az y=sin függvény deriváltját x.

∆ y=sin( x+∆x) -bűn x= 2sin kötözősaláta( x+);

=

;

=

= cos x, azaz = cos x.

4.5. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját y=

.

=

, azaz = .

A SZÁRMAZÉK MECHANIKAI JELENTÉSE

A fizikából ismert, hogy egyenletes mozgás van formája s = v t, ahol s- az adott időpontig megtett út t, v az egyenletes mozgás sebessége.

Mivel azonban a természetben előforduló mozgások nagy része egyenetlen, akkor általában a sebesség, és ennek következtében a távolság s időtől függ majd t, azaz az idő függvénye lesz.

Tehát az anyagi pont egyenes vonalban mozogjon egy irányba a törvény szerint s=s(t).

Jegyezzen fel egy pillanatot az időben t 0 . Ekkorra a pont áthaladt az úton s=s(t 0 ). Határozzuk meg a sebességet v anyagi időpontban t 0 .

Ehhez vegye figyelembe egy másik pillanatot t 0 + Δ t. Ez megfelel a megtett távolságnak s =s(t 0 + Δ t). Ekkor a Δ időintervallumra t a pont bejárta a Δs utat =s(t 0 + Δ t)–utca).

Nézzük a kapcsolatot. Átlagsebességnek nevezzük a Δ időintervallumban t. Az átlagsebesség nem tudja pontosan jellemezni egy pont mozgási sebességét pillanatnyilag t 0 (mert a mozgás egyenetlen). Annak érdekében, hogy ezt a valódi sebességet az átlagsebesség segítségével pontosabban kifejezhessük, kisebb Δ időintervallumot kell venni t.

Tehát a mozgás sebessége egy adott időpontban t 0 (pillanatnyi sebesség) az átlagsebesség határa a -tól tartó intervallumban t 0 -tól t 0 +Δ t amikor Δ t→0:

azok. egyenetlen mozgás sebessége a megtett távolság deriváltja az idő függvényében.

A DERÍVÁV GEOMETRIAI JELENTÉSE

Először mutassuk be a görbe érintőjének definícióját egy adott pontban.

Legyen rajta egy görbe és egy fix pont M 0(lásd az ábrát) Tekintsünk egy másik pontot M ezt a görbét, és rajzoljunk egy szekánst M 0 M. Ha pont M elkezd mozogni a görbe mentén, és a pont M 0 mozdulatlan marad, a szekáns megváltoztatja a helyzetét. Ha a pont korlátlan közelítésével M görbe pontig M 0 bármelyik oldalon a szekáns hajlamos egy bizonyos egyenes helyzetét felvenni M 0 T, majd az egyenes M 0 T a görbe adott pontbeli érintőjének nevezzük M 0.

Hogy., tangens a görbére egy adott pontban M 0 a szekáns határhelyzetének nevezzük M 0 M amikor a lényeg M a görbe mentén egy pontig tart M 0.

Most fontolja meg folyamatos funkció y=f(x)és a függvénynek megfelelő görbe. Valami értékért x 0 függvény értéket vesz fel y0=f(x0). Ezek az értékek x 0 és y A 0 a görbén egy pontnak felel meg M 0 (x 0; y 0). Mondjunk egy érvet x0 növekmény Δ x. Az argumentum új értéke megfelel a függvény megnövelt értékének y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). Kapunk egy pontot M(x 0+Δ x; y 0+Δ y). Rajzoljunk szekánst M 0 Més jelölje φ-vel a szekáns által a tengely pozitív irányával bezárt szöget Ökör. Kössünk összefüggést, és vegyük észre.

Ha most Δ x→0, akkor a Δ függvény folytonossága miatt nál nél→0, és ezért a pont M, a görbe mentén haladva végtelenül megközelíti a pontot M 0. Aztán a szekánt M 0 M hajlamos arra, hogy a pontban a görbe érintőjének helyzetét vegye fel M 0, és a φ→α szög Δ-nél x→0, ahol α az érintő és a tengely pozitív iránya közötti szöget jelöli Ökör. Mivel a tg φ függvény φ≠π/2-nél folyamatosan függ φ-től, akkor φ→α tg φ → tg α esetén, és ezért az érintő meredeksége:

azok. f"(x)= tgα .

Tehát geometriailag y "(x 0) a függvény grafikonjának érintőjének meredekségét jelenti a pontban x0, azaz az argumentum adott értékéhez x, a derivált egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet a függvény grafikonjának érintője alkot f(x) a megfelelő ponton M 0 (x; y) pozitív tengelyiránnyal Ökör.

Példa. Keresse meg a görbe érintőjének meredekségét! y = x 2 pontban M(-1; 1).

Ezt már láttuk ( x 2)" = 2x. De a görbe érintőjének meredeksége tg α = y"| x=-1 = -2.

A származék geometriai, mechanikai, gazdasági jelentése

A származék definíciója.

№7-8 előadás

Bibliográfia

1 Ukhobotov, V. I. Matematika: Oktatóanyag.- Cseljabinszk: Cseljab. állapot un-t, 2006.- 251 p.

2 Ermakov, V.I. Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikában. Oktatóanyag. -M.: INFRA-M, 2006. - 575 p.

3 Ermakov, V.I. Általános tanfolyam felsőbb matematika. Tankönyv. -M.: INFRA-M, 2003. - 656 p.

"Származék" téma

Cél: magyarázza el a derivált fogalmát, kövesse nyomon egy függvény folytonossága és differenciálhatósága közötti kapcsolatot, mutassa be példákkal a derivált használatának alkalmazhatóságát.

Ezt a határt a közgazdaságtanban termelési határköltségnek nevezik.

A származék definíciója. A derivált geometriai és mechanikai jelentése, a gráfot érintő függvény egyenlete.

Rövid válaszra van szüksége (nincs extra víz)

Halott_fehér_hó

A derivált a differenciálszámítás alapfogalma, amely egy függvény változási sebességét jellemzi.
Geometriai?
A funkció érintője a pontban... .
Funkciónövelési feltétel: f "(x) > 0.
Csökkenő függvényfeltétel: f "(x)< 0.
Inflexiós pont ( szükséges feltétel) : f " " (x0) = 0.
Konvex felfelé: f " " (x) Konvex le: f " " (x) >0
Normál egyenlet: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Mechanikai?
A sebesség a távolság deriváltja, a gyorsulás a sebesség deriváltja, a második derivált a távolság tekintetében...
Az f függvény grafikonjának érintőjének egyenlete az x0 pontban
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Felhasználó törölve

Ha a delta y függvény növekményének delta y és delta x arányának van határa a delta x argumentum növekményéhez, amely ezt okozta, amikor a delta x nullára hajlik, akkor ezt a határértéket az y függvény deriváltjának nevezzük. = f(x) egy adott x pontban, és y" vagy f "(x) jelöli
Az egyenes vonalú mozgás v sebessége az s út deriváltja a t idő függvényében: v = ds/dt. Ez a származék mechanikai jelentése.
Az y \u003d f (x) görbe érintőjének meredeksége abban a pontban, ahol az abszcissza x nulla az f "(x nulla) deriváltja. Ez a derivált geometriai jelentése.
Az M zérus pontban lévő érintőgörbét M nulla T egyenesnek nevezzük, amelynek meredeksége egyenlő a szekáns M nulla M one meredekségének határával, amikor a delta x nullára hajlik.
tg phi = lim tg alfa, amikor a delta x nullához közelít = lim (delta x/delta y), amikor a delta x nullához közelít
A derivált geometriai jelentéséből az érintőegyenlet a következőképpen alakul:
y - y null = f "(x null) (x - x null)

Derivált(függvények egy pontban) - a differenciálszámítás alapfogalma, egy függvény változási sebességét jellemzi (adott pontban). Úgy definiálható, mint egy függvény növekményének és argumentuma növekményének arányának határa, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik, ha létezik ilyen korlát. Azt a függvényt, amelynek véges deriváltja van (egy adott ponton), differenciálhatónak (egy adott pontban) nevezzük.

Ha ez a határ létezik, akkor a függvény f (x ) nak, nek hívják megkülönböztethető azon a ponton x 0 . Függvény derivált f (x ) jelölése a következő:

A származék geometriai jelentése. Tekintsük a függvény grafikonját y = f (x ):

Az 1. ábráról látható, hogy a függvény grafikonjának bármely két A és B pontjára:

ahol az AB szekáns dőlésszöge.

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Megtalálni b, azt a tényt használjuk, hogy az érintő átmegy az A ponton:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +b ,

innen b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , és ezzel a kifejezéssel helyettesítve a b, megkapjuk érintő egyenlet:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x-x 0 ) .

A származék mechanikai jelentése. Tekintsük a legegyszerűbb esetet: egy anyagi pont mozgása a koordináta tengelye mentén, és a mozgás törvénye adott: koordináta x a mozgópont ismert függvény x (t) idő t. Az időintervallumban től t 0 -tól t 0 + a pont elmozdul egy távolságot: x (t 0 + )  x (t 0) = , és annak átlagsebesség egyenlő: v a =  . 0-nál az átlagsebesség értéke egy bizonyos értékre hajlik, amit ún azonnali sebesség v ( t 0 ) lényeges időpontban t 0 . De a származékos definíció szerint a következőket kapjuk:

8. A származékok és a differenciálási szabályok táblázata

A származék mechanikai jelentése

A derivált mechanikus értelmezését először I. Newton adta meg. Ez a következőkből áll: egy anyagi pont mozgási sebessége egy adott időpillanatban megegyezik az út időbeli deriváltjával, azaz. Tehát, ha egy anyagi pont mozgástörvényét egy egyenlet adja meg, akkor egy pont pillanatnyi sebességének meghatározásához egy adott időpillanatban meg kell találni a derivált, és be kell cserélni a t megfelelő értékét. .

A másodrendű származék és mechanikai jelentése

Azt kapjuk (egyenlet abból, amit Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. "Matematika" 240. o. című tankönyvében tettek):

Ily módon a test egyenes vonalú mozgásának gyorsulása egy adott pillanatban megegyezik az út adott pillanatra számított második, időbeli deriváltjával. Ez a második származék mechanikus jelentése.

A differenciál definíciója és geometriai jelentése

4. definíció. Egy függvény növekményének fő részét, amely a függvény növekedéséhez képest lineáris, a független változó növekedéséhez képest lineáris, ún. differenciális függvények, és d-vel jelöljük, azaz. .

A függvény differenciálját geometriailag az M (x; y) pontban húzott érintő ordinátájának növekedése ábrázolja az adott x és ?x értékek mellett.

számítás differenciális - .

A különbség alkalmazása közelítő számításokban - , a függvény növekményének közelítő értéke egybeesik a differenciáljával.

1. tétel.Ha egy differenciálható függvény növekszik (csökken) egy adott intervallumban, akkor ennek a függvénynek a deriváltja nem negatív (nem pozitív) ebben az intervallumban.

2. tétel.Ha a derivált függvény pozitív (negatív) valamilyen intervallumban, akkor a függvény ebben az intervallumban monoton növekvő (monoton csökkenő).

Fogalmazzuk meg most a függvény monotonitási intervallumainak megtalálásának szabályát

1. Számítsa ki ennek a függvénynek a deriváltját!

2. Keressen pontokat, ahol egyenlő nullával vagy nem létezik. Ezeket a pontokat ún kritikai funkcióhoz

3. A talált pontok felhasználásával a függvény tartományát intervallumokra osztjuk, amelyeken a derivált megtartja előjelét. Ezek az intervallumok a monotonitás intervallumai.

4. Vizsgálja meg az előjelet az egyes talált intervallumokon. Ha a figyelembe vett intervallumon, akkor ezen az intervallumon növekszik; ha, akkor ilyen intervallumon csökken.

A probléma körülményeitől függően a monotonitási intervallumok megtalálásának szabálya egyszerűsíthető.

5. definíció. Egy pontot egy függvény maximális (minimális) pontjának nevezünk, ha az egyenlőtlenség a pont valamely környezetéből származó bármely x-re érvényes.

Ha a függvény maximumának (minimumának) pontja, akkor ezt mondják (minimális) azon a ponton. A maximum és a minimum függvények egyesítik a címet extrémum függvényeket, és a maximum és minimum pontokat hívjuk meg szélsőpontok (extrém pontok).

3. tétel.(az extrémum szükséges jele). Ha a függvény szélsőpontja és a derivált ezen a ponton létezik, akkor egyenlő nullával: .

4. tétel.(elegendő extrémum jele). Ha a derivált előjelet vált, amikor x áthalad a-n, akkor a a függvény szélsőpontja.

A derivált vizsgálatának főbb pontjai:

1. Keresse meg a származékot.

2. Keresse meg az összes kritikus pontot a függvény tartományából.

3. Állítsa be a függvény deriváltjának előjeleit a kritikus pontokon való áthaladáskor, és írja ki a szélsőpontokat!

4. Számítsa ki a függvényértékeket minden szélső pontban.

Legyen adott egy anyagi pont a síkon. A koordinátatengely mentén történő mozgásának törvényét a $ x(t) $ törvény írja le, ahol a $ t $ az időt adja meg. Ekkor a $ t_0 $ és $ t_0 + \Delta t $ közötti időben a pont a $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ útvonalon halad. Kiderült, hogy átlagsebesség egy ilyen pontot a következő képlet talál: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Ha $ \Delta t $ nullára hajlik, akkor az átlagsebesség értéke az ún. azonnali sebesség$t_0$ pontban:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

A határértéken keresztüli derivált definíciójával összefüggést kapunk egy anyagi pont sebessége és mozgási törvénye között:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Megoldási példák

1. példa
Számítsa ki egy anyagi pont pillanatnyi sebességét a $ t_0 = 1 $ törvény szerint mozgó időpontban $ x(t) = t^2+3t-1 $
Megoldás
A derivált mechanikai jelentésének meghatározásával megkapjuk az anyagi pont sebességének törvényét: $$ v(t) = x"(t) = (t^2+3t-1)" = 2t + 3 $$ Ismerve a $ t_0 = 1 $ időpillanatot a probléma feltételéből, megkapjuk a sebességet ebben az időpillanatban: $$ v(t_0) = 2\cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5 $$ Azt kaptuk, hogy egy pont pillanatnyi sebessége $ t_0 = 1 $ pillanatban egyenlő $ v = 5 $ Ha nem tudja megoldani problémáját, küldje el nekünk. mi biztosítjuk részletes megoldás. Képes lesz megismerkedni a számítás menetével és információkat gyűjteni. Ez segít abban, hogy időben kreditet kapjon a tanártól!
Válasz
$$ v(t_0) = 5 $$

2. példa
Egy anyagi pont mozgását a $ x(t)=t^2-t+3 $ törvény adja meg. Határozza meg, hogy $ t_0 $ melyik időpontban lesz ennek a pontnak a sebessége nulla.
Megoldás
Mivel a sebesség a mozgási út törvényének származéka: