Ebben a leckében további két műveletet nézünk meg vektorokkal: vektorok keresztszorzataÉs vektorok vegyes szorzata (azonnali link akinek szüksége van rá). Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok pontszorzata, egyre többre van szükség. Ilyen a vektorfüggőség. Az embernek az a benyomása lehet, hogy az analitikus geometria dzsungelébe kerülünk. Ez nem igaz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában kevés a tűzifa, kivéve talán elég Pinokkiót. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még kevesebb tipikus feladat is lesz. A legfontosabb dolog az analitikus geometriában, amint azt sokan látják, vagy már látták, az, hogy NE VEGYE KI A SZÁMÍTÁSOKAT. Ismételd, mint egy varázslatot, és boldog leszel =)

Ha valahol távol csillognak a vektorok, mint a villám a láthatáron, nem számít, kezdje a leckével Vektorok a bábokhoz a vektorokkal kapcsolatos alapvető ismeretek helyreállítása vagy visszaszerzése. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, igyekeztem a legteljesebb példagyűjteményt összegyűjteni, ami gyakran előfordul praktikus munka

Mitől leszel boldog? Kicsi koromban két, sőt három labdával is tudtam zsonglőrködni. Jól sikerült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködni, hiszen megfontoljuk csak térbeli vektorok , és a két koordinátájú lapos vektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók – a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és beépülve háromdimenziós tér. Már könnyebb!

Ebben a műveletben, ugyanúgy, mint a skaláris szorzatnál, két vektor. Legyenek múlhatatlan betűk.

Maga az akció jelöljük a következő módon: . Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok keresztszorzatát szoktam így jelölni, szögletes zárójelben kereszttel.

És azonnal kérdés: ha bent vektorok pontszorzata két vektorról van szó, és itt is két vektort szorozunk, akkor mi a különbség? Egyértelmű különbség mindenekelőtt az EREDMÉNYBEN:

A vektorok skaláris szorzatának eredménye egy SZÁM:

A vektorok keresztszorzatának eredménye egy VEKTOR: , azaz megszorozzuk a vektorokat és ismét vektort kapunk. Zárt klub. Valójában innen ered a művelet neve. Különféle oktatási irodalom a jelölés is változhat, én a betűt fogom használni.

A keresztszorzat definíciója

Először lesz egy definíció képpel, majd kommentek.

Meghatározás: kereszttermék nem kollineáris vektorok, ebben a sorrendben szedve, a neve VECTOR, hossz ami számszerűen egyenlő a paralelogramma területével, ezekre a vektorokra épül; vektor merőleges a vektorokra, és úgy van irányítva, hogy az alap megfelelő tájolású legyen:

Csontosan elemezzük a meghatározást, sok érdekesség van!

Tehát a következő lényeges pontokat emelhetjük ki:

1) Forrásvektorok, definíció szerint piros nyilakkal jelölve nem kollineáris. A kollineáris vektorok esetét egy kicsit később célszerű megvizsgálni.

2) Felvett vektorok szigorú sorrendben: – "a" szorozva "be", nem a "legyen" az "a"-ra. A vektorszorzás eredménye a VECTOR , amelyet kékkel jelölünk. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorozzuk, akkor egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú (bíbor színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség .

3) Most ismerkedjünk meg a vektorszorzat geometriai jelentésével. Ez egy nagyon fontos szempont! A kék vektor HOSSZA (és ezért a bíbor vektor) számszerűen egyenlő a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma feketével van árnyékolva.

jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a keresztszorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.

Emlékszünk az egyikre geometriai képletek: a paralelogramma területe egyenlő a szorzattal szomszédos felek a köztük lévő szög szinuszával. Ezért a fentiek alapján érvényes a vektorszorzat HOSSZ-számítási képlete:

Hangsúlyozom, hogy a képletben a vektor HOSSZÁRÓL van szó, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati jelentése? A jelentése pedig olyan, hogy az analitikus geometria problémáiban a paralelogramma területét gyakran a vektorszorzat fogalmán keresztül találják meg:

Megkapjuk a második fontos képletet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) kettéosztja egyenlő háromszög. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (piros árnyékolás) a következő képlettel kereshető:

4) Nem kevesebb, mint fontos tény az, hogy a vektor ortogonális a vektorokra, azaz . Természetesen az ellentétes irányú vektor (bíbor nyíl) is merőleges az eredeti vektorokra.

5) A vektort úgy irányítjuk, hogy alapon Megvan jobb orientáció. Egy leckében kb áttérni egy új alapra részletesen beszéltem róla sík tájolás, és most kitaláljuk, mi a tér tájolása. Az ujjadon elmagyarázom jobb kéz. Szellemileg kombinálni mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és kisujj nyomd a tenyeredbe. Ennek eredményeként hüvelykujj - a vektorszorzat felfelé néz. Ez a jobboldali alap (az ábrán látható). Most cserélje fel a vektorokat ( mutató és középső ujj) helyenként ennek hatására a hüvelykujj megfordul, és a vektorszorzat máris lefelé néz. Ez is egy jobboldali alap. Talán kérdésed van: mi az alapja a baloldali irányultságnak? "Hozzárendelni" ugyanazokat az ujjakat bal kéz vektorok , és megkapja a bal oldali bázist és a bal térbeli tájolást (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába fog elhelyezkedni). Képletesen szólva ezek az alapok különböző irányokba „csavarják” vagy orientálják a teret. És ezt a koncepciót nem szabad valami távolinak vagy elvontnak tekinteni - például a leghétköznapibb tükör megváltoztatja a tér tájolását, és ha „kihúzza a visszavert tárgyat a tükörből”, akkor általában nem lesz lehetséges kombinálja az „eredetivel”. Mellesleg, vidd három ujjad a tükörhöz, és elemezd a visszaverődést ;-)

... milyen jó, hogy most már tudsz róla jobbra és balra orientált alapokon, mert borzasztóak egyes előadók kijelentései az irányváltásról =)

Kollineáris vektorok vektorszorzata

A definíciót részletesen kidolgoztuk, még ki kell deríteni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesre helyezhetők, és a paralelogrammánk is egy egyenesbe „gyűrődik”. Az ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott paralelogramma nulla. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusza egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a terület nulla

Így ha , akkor És . Kérjük, vegye figyelembe, hogy maga a keresztszorzat egyenlő a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran figyelmen kívül hagyják, és azt írják, hogy ez is egyenlő nullával.

Egy speciális eset egy vektor és önmagának vektorszorzata:

A keresztszorzat segítségével ellenőrizhető a háromdimenziós vektorok kollinearitása, és többek között ezt a problémát is elemezzük.

A gyakorlati példák megoldásához szükség lehet rá trigonometrikus táblázat megkeresni belőle a szinuszok értékeit.

Nos, gyújtsunk tüzet:

1. példa

a) Határozza meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, ha

b) Határozza meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha!

Megoldás: Nem, ez nem elírás, szándékosan tettem azonossá a kezdeti adatokat a feltételelemekben. Mert a megoldások kialakítása más lesz!

a) A feltétel szerint meg kell találni hossz vektor (vektorszorzat). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Mivel a hosszra kérdezték, a válaszban megadjuk a méretet - mértékegységeket.

b) A feltétel szerint meg kell találni terület vektorokra épített paralelogramma . Ennek a paralelogrammának a területe számszerűen megegyezik a keresztszorzat hosszával:

Válasz:

Felhívjuk figyelmét, hogy a vektoros szorzatra adott válaszban egyáltalán nem esik szó, arról kérdeztünk ábra terület, illetve a méret négyzetegység.

Mindig megnézzük, hogy MIT kell a feltételnek megtalálni, és ennek alapján fogalmazunk egyértelmű válasz. Lehet, hogy szószerintiségnek tűnik, de a tanárok között van elég literalista, és a feladat jó eséllyel visszakerül átdolgozásra. Bár ez nem egy különösebben megerőltető trükk - ha a válasz helytelen, akkor az a benyomásunk támad, hogy az illető nem ért egyszerű dolgokhoz és/vagy nem mélyedt el a feladat lényegében. Ezt a pillanatot mindig kézben kell tartani, minden problémát megoldani felsőbb matematikaés más tárgyakban is.

Hová tűnt a nagy "en" betű? Elvileg rá lehetne ragasztani a megoldásra, de a rekord lerövidítése érdekében nem tettem. Remélem ezt mindenki megérti, és ugyanaz a megjelölés.

Egy népszerű példa a barkácsoló megoldásra:

2. példa

Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha

A háromszög területének vektorszorzaton keresztüli meghatározásának képlete a definíció megjegyzéseiben található. Megoldás és válasz a lecke végén.

A gyakorlatban a feladat valóban nagyon gyakori, a háromszögeket általában meg lehet kínozni.

Más problémák megoldásához szükségünk van:

A vektorok keresztszorzatának tulajdonságai

A vektorszorzat néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, de ebbe a listába felveszem őket.

Tetszőleges vektorokhoz és tetszőleges szám a következő tulajdonságok igazak:

1) Más információforrásokban ezt az elemet általában nem különböztetik meg a tulajdonságokban, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Úgyhogy legyen.

2) - fentebb is szó van az ingatlanról, néha ún antikommutativitás. Más szóval, a vektorok sorrendje számít.

3) - kombináció vagy asszociációs vektor szorzat törvényei. Az állandók könnyen kivehetők a vektorszorzat határai közül. Tényleg, mit keresnek ott?

4) - elosztás ill terjesztés vektor szorzat törvényei. A zárójelek nyitásával sincs gond.

Bemutatóként vegyünk egy rövid példát:

3. példa

Keresse meg, ha

Megoldás: Feltétel alapján ismét meg kell találni a vektorszorzat hosszát. Festjük meg miniatűrünket:

(1) Az asszociatív törvények szerint a vektorszorzat határain túli állandókat kivesszük.

(2) Kivesszük a konstanst a modulból, miközben a modul „megeszi” a mínuszjelet. A hossza nem lehet negatív.

(3) A következők világosak.

Válasz:

Ideje fát dobni a tűzre:

4. példa

Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha

Megoldás: Keresse meg a háromszög területét a képlet segítségével . A bökkenő az, hogy a "ce" és a "te" vektorok maguk is vektorok összegeként vannak ábrázolva. Az algoritmus itt szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára. Vektorok pontszorzata. Az egyértelműség kedvéért bontsuk három lépésre:

1) Az első lépésben a vektorszorzatot a vektorszorzaton keresztül fejezzük ki, valójában fejezzük ki a vektort a vektorral. A hosszról még nem esett szó!

(1) Behelyettesítjük a vektorok kifejezéseit.

(2) Distributív törvények segítségével kinyitjuk a zárójeleket a polinomok szorzási szabálya szerint.

(3) Az asszociatív törvények segítségével kivesszük a vektorszorzatokon túli összes állandót. Kevés tapasztalattal a 2. és 3. művelet egyszerre is végrehajtható.

(4) Az első és az utolsó tag a kellemes tulajdonság miatt egyenlő nullával (nulla vektor). A második tagban a vektorszorzat antikommutatív tulajdonságát használjuk:

(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a vektor egy vektoron keresztül fejeződik ki, amit el kellett érni:

2) A második lépésben megkeressük a szükséges vektorszorzat hosszát. Ez a művelet hasonló a 3. példához:

3) Keresse meg a kívánt háromszög területét:

A megoldás 2-3 lépéseit egy sorba lehetne rendezni.

Válasz:

A vizsgált probléma meglehetősen gyakori a ellenőrzési munka, íme egy példa a barkácsolható megoldásra:

5. példa

Keresse meg, ha

Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Lássuk, milyen figyelmes voltál az előző példák tanulmányozásakor ;-)

A vektorok keresztszorzata koordinátákban

ortonormális alapon megadva , képlettel fejezzük ki:

A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordináta vektorokat, a második és harmadik sorba „pakoljuk” a vektorok koordinátáit, és szigorú sorrendben- először a "ve" vektor koordinátái, majd a "double-ve" vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell szorozni, akkor a sorokat is fel kell cserélni:

10. példa

Ellenőrizze, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:
de)
b)

Megoldás: A teszt a leckében található állítások egyikén alapul: ha a vektorok kollineárisak, akkor a keresztszorzatuk nulla (nulla vektor): .

a) Keresse meg a vektorszorzatot:

Tehát a vektorok nem kollineárisak.

b) Keresse meg a vektorszorzatot:

Válasz: a) nem kollineáris, b)

Itt van talán minden alapvető információ a vektorok vektorszorzatáról.

Ez a szekció nem lesz túl nagy, mivel kevés probléma adódik ott, ahol vektorok vegyes szorzatát használjuk. Valójában minden a meghatározáson fog múlni, geometriai érzékés pár munkaképlet.

A vektorok vegyes szorzata három vektor szorzata:

Így álltak sorba, mint a vonat, és várnak, alig várják, amíg kiszámolják őket.

Először ismét a definíció és a kép:

Meghatározás: Vegyes termék nem egysíkú vektorok, ebben a sorrendben szedve, nak, nek hívják a paralelepipedon térfogata, ezekre a vektorokra épülve, "+" jellel ellátva, ha az alap megfelelő, és "-" jellel, ha a bázis bal.

Csináljuk a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat szaggatott vonal húzza:

Merüljünk el a definícióban:

2) Felvett vektorok egy bizonyos sorrendben, vagyis a vektorok permutációja a szorzatban, ahogy sejthető, nem marad következmények nélkül.

3) Mielőtt hozzászólnék a geometriai jelentéshez, megjegyzem a nyilvánvaló tényt: vektorok vegyes szorzata SZÁM: . Az oktatási irodalomban a kialakítás némileg eltérhet, én a vegyes terméket szoktam jelölni, a számítások eredményét pedig "pe" betűvel.

Definíció szerint a kevert termék a paralelepipedon térfogata, vektorokra épített (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal van megrajzolva). Azaz a szám megegyezik az adott paralelepipedon térfogatával.

jegyzet : A rajz sematikus.

4) Ne foglalkozzunk ismét az alap és a tér orientációjának fogalmával. A záró rész jelentése az, hogy mínusz jelet lehet a kötethez adni. Egyszerű szavakkal, a vegyes termék negatív is lehet: .

A definícióból közvetlenül következik a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának kiszámításának képlete.

Meghatározás. A [, ] számot a vektorok rendezett hármasának vegyes szorzatának nevezzük.

Jelöljük: (,) = = [, ].

Mivel a vektor- és skalárszorzat részt vesz a vegyes szorzat meghatározásában, azok általános tulajdonságok a vegyes termék tulajdonságai.

Például () = ().

1. tétel. Három koplanáris vektor vegyes szorzata nulla.

Bizonyíték. Ha a vektorok adott hármasa egysíkú, akkor az alábbi feltételek valamelyike ​​teljesül a vektorokra.

• 1. Ez a vektorhármas legalább egy nulla vektort tartalmaz. Ebben az esetben a tétel bizonyítása nyilvánvaló.
• 2. Ez a vektorhármas legalább egy pár kollineáris vektort tartalmaz. Ha ||, akkor [, ] = 0, mert [, ]= . Ha

|| , akkor [, ] és [, ] = 0. Hasonlóképpen, ha || .

3. Legyen a vektorok adott hármasa síkbeli, de az 1. és 2. eset nem teljesül. Ekkor a [, ] vektor merőleges lesz arra a síkra, amelyre mindhárom vektor, .

Ezért [, ] és (,) = 0.

2. tétel. A (), (), () vektorok legyenek adottak a () bázisban. Azután

Bizonyíték. A vegyes termék definíciója szerint

(,) = [, ] = s 1 - s 2 + s 3 = .

A determináns tulajdonságaiból adódóan:

Tétel bizonyított.

3. tétel. (,) = [, ].

Bizonyíték. Mivel

és a determináns tulajdonságai alapján a következőket kapjuk:

(,) = = = [, ] = [, ].

Tétel bizonyított.

4. tétel. A vektorok nem egysíkú hármasának vegyes szorzatának modulusa numerikusan megegyezik az ezen közös eredetű vektorok képviselőire épített paralelepipedon térfogatával.

Bizonyíték. Kiválasztunk egy tetszőleges O pontot, és félretesszük belőle ezen vektorok képviselőit, : , . Az OAB síkban megszerkesztünk egy OADB paralelogrammát, és egy él OS hozzáadásával egy paralelepipedon OADBCADB-t. Ennek a paralelepipedonnak az V térfogata megegyezik a ОАDB alapterületének és a paralelepipedon magasságának ОО hosszának szorzatával.

Az ОАDB paralelogramma területe egyenlő |[, ]|. Másrészről

|OO| = || |cos |, ahol a vektorok és a [, ] közötti szög.

Tekintsük a vegyes termék modult:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés 1. Ha egy vektorhármas vegyes szorzata nulla, akkor ez a vektorhármas lineárisan függ.

2. megjegyzés. Ha egy adott vektorhármas vegyes szorzata pozitív, akkor a vektorok hármasa helyes, ha pedig negatív, akkor a vektorok hármasa bal. Valóban, a vegyes szorzat előjele egybeesik a cos előjelével, és a szög nagysága határozza meg a hármas irányát, . Ha a szög hegyes, akkor a hármas jobb, ha pedig tompaszög, akkor a hármas bal.

1. példa Adott egy paralelepipedon ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 és a következő vektorok koordinátái ortonormális alapon: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Keresse meg: 1) a paralelepipedon térfogatát;

• 2) arcfelületek ABCD és CDD 1 C;
• 3) az ABC és CDD 1 síkok közötti diéderszög koszinusza.

Megoldás.

Ez a doboz vektorokra épül

Így térfogata megegyezik ezen vektorok vegyes szorzatának modulusával, azaz.

Tehát V gőz = 12 köbegység.

Emlékezzünk vissza, hogy a paralelogramma területe megegyezik azon vektorok keresztszorzatának hosszával, amelyekre épül.

Bevezetjük a jelölést: , akkor

Ezért (6; - 8; - 2), honnan

Hogy. négyzetméter egység

Hasonlóképpen,

Akkor hagyd

honnan (15; - 20; 1) és

Tehát négyzetméter.

Vezessük be a következő jelölést: négyzetméter. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

A vektorszorzat definíciója szerint:

Tehát a következő egyenlőség igaz:

A megoldás második pontjából a következőt kapjuk:

Bizonyítsuk be, hogy ha, egymásra merőlegesek egységvektorok, akkor bármely vektorra és az egyenlőség igaz:

Megoldás.

Hagyjuk be az ortonormális bázist, a vektorok koordinátái adottak: ; . Mivel a vegyes termék tulajdonságai alapján a következőkkel rendelkezünk:

Így az (1) egyenlőség a következő formában írható fel: , és ez az és vektorok vektorszorzatának egyik bizonyított tulajdonsága. Így az (1) egyenlőség érvényessége bizonyítást nyer.

Az irányítási munka nulla változatának megoldása

1. számú feladat

A vektor az alapvektorokkal, illetve a szögekkel, ill. Határozzuk meg, hogy egy vektor mekkora szöget zár be a vektorral.

Megoldás.

Szerkesszünk paralelepipedont vektorokon és átlón úgy, hogy a és vektorok egyenlőek.

Aztán be derékszögű háromszög derékszögnél a szög nagysága, honnan.

Hasonlóképpen egy derékszögű derékszögű háromszögben a nagyság az, hogy honnan.

Egy derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint a következőket találjuk:

Derékszögű derékszögű háromszögben a lábszár és a befogó. Tehát a szög egyenlő. De a szög egyenlő az és a vektorok közötti szöggel. Így a probléma megoldódott.

2. számú feladat.

A bázisban három vektort adunk meg. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög lapos. Keresse meg a területét.

Megoldás.

1. Ha a és vektorok egysíkúak, akkor lapos négyszögről van szó. Számítsuk ki ezen vektorok koordinátáiból összeállított determinánst.

Mivel a determináns nulla, a és a vektorok egysíkúak, ami azt jelenti, hogy a négyszög lapos.

2. Vegyük észre, hogy ezért és így a négyszög egy trapéz, melynek alapjai AB és CD.

A vektorszorzat tulajdonsága alapján a következőket kapjuk:

A vektorszorzat megkeresése

3. számú feladat. Keress egy olyan vektort, amely kollineáris a (2; 1; -2) vektorral, amelynek hossza 5.

Megoldás.

Jelöljük az (x, y, z) vektor koordinátáit. Mint tudják, a kollineáris vektorok koordinátái arányosak, ezért van:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

A probléma feltétele szerint || = 5, és koordináta formában:

A változókat a t paraméterrel kifejezve a következőt kapjuk:

4t2+t2+4t2=25,

Ily módon

x = , y = , z = .

Két megoldást kaptunk.

Az online számológép kiszámítja a vektorok vegyes szorzatát. adott részletes megoldás. A vektorok vegyes szorzatának kiszámításához válassza ki a vektorok ábrázolásának módját (koordinátákkal vagy két ponttal), írja be az adatokat a cellákba, és kattintson a "Számítás" gombra.

×

Egy figyelmeztetés

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítás. A számok egész számok (például 487, 5, -7623 stb.), decimális számok (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtek formájában kerülnek beírásra. A törtet a/b formában kell beírni, ahol a és b (b>0) egész szám, ill. decimális számok. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

Vektorok vegyes szorzata (elmélet)

vegyes termék három vektorból az a szám, amely az első két vektor és a harmadik vektor keresztszorzatának pontszorzatából adódik. Más szóval, adott három vektor a, bÉs c, majd ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzatának megszerzéséhez először az első két vektort és a kapott vektort [ ab] skaláris szorzata a vektorral c.

Három vektor vegyes szorzata a, bÉs cígy jelölve: ABC vagy úgy ( ABC). Akkor írhatod:

ABC=([ab],c)

Mielőtt megfogalmazná a vegyes szorzat geometriai jelentését reprezentáló tételt, ismerkedjen meg a jobb oldali hármas, bal hármas, jobb oldali koordinátarendszer, bal koordinátarendszer fogalmával (a 2., 2. és 3. definíciók a vektorkereszttermék online oldalon).

A határozottság kedvéért a következőkben csak a jobb oldali koordinátarendszereket fogjuk figyelembe venni.

1. tétel. Vektorok vegyes szorzata ([ab],c) megegyezik a közös origóra redukált vektorokra épített paralelep térfogatával a, b, c, pluszjellel vettük, ha a hármas a, b, c jobbra, és mínuszjellel, ha a hármas a, b, c bal. Ha a vektorok a, b, c egy síkban vannak, akkor ([ ab],c) nulla.

Következmény 1. A következő egyenlőség teljesül:

Ezért elegendő, ha ezt bebizonyítjuk

([ab],c)=([időszámításunk előtt],a)

(3)

A (3) kifejezésből látható, hogy a bal és a jobb oldali rész megegyezik a paralelepikus térfogatával. De a jobb és a bal oldal előjele is egybeesik, hiszen a vektorok hármasai ABCÉs bca azonos orientációjúak.

A bizonyított (1) egyenlőség lehetővé teszi, hogy három vektor vegyes szorzatát írjuk fel a, b, c csak formában ABC, anélkül, hogy megadná, melyik két vektort szorozzuk meg vektorosan az első kettővel vagy az utolsó kettővel.

Következmény 2. Szükséges és elégséges állapot három vektor koplanaritása a vegyes szorzatuk nullával egyenlő.

A bizonyítás az 1. Tételből következik. Valóban, ha a vektorok egysíkúak, akkor ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzata nulla. Ezzel szemben, ha a vegyes szorzat egyenlő nullával, akkor ezeknek a vektoroknak a koplanaritása következik az 1. Tételből (mivel a közös origóra redukált vektorokra épített paralelepipedon térfogata nullával egyenlő).

Következmény 3. Három vektor vegyes szorzata, amelyek közül kettő azonos, egyenlő nullával.

Igazán. Ha a három vektor közül kettő megegyezik, akkor egy síkbeliek. Ezért ezeknek a vektoroknak a vegyes szorzata nulla.

Descartes-koordinátákban szereplő vektorok vegyes szorzata

2. Tétel. Legyen három vektor a, bÉs c derékszögű derékszögű koordinátáik határozzák meg

Bizonyíték. vegyes termék ABC egyenlő a vektorok skaláris szorzatával [ ab] És c. vektor termék vektorok [ ab] ban ben Derékszögű koordináták a következő képlettel számítjuk ki:

Az utolsó kifejezés másodrendű determinánsokkal írható:

szükséges és elegendő, hogy a determináns egyenlő legyen nullával, amelynek sorai ezeknek a vektoroknak a koordinátáival vannak kitöltve, azaz:

.

(7)

A következmény bizonyításához elegendő figyelembe venni a (4) és a 2. következményt.

Vektorok vegyes terméke példákkal

1. példa Keresse meg a vektorok vegyes szorzatát! abs, ahol

Vektorok vegyes szorzata a, b, c egyenlő a mátrix determinánssal L. Számítsa ki a mátrix determinánsát! L, kiterjesztve a determinánst az 1. sor mentén:

Vektor végpont a.

Vektorok vegyes szorzata olyan számnak nevezzük, amely egyenlő egy vektor skalárszorzatával és vektorok vektorszorzatával. A kevert termék feltüntetve.

1. A nem egysíkú vektorok vegyes szorzatának modulusa megegyezik az ezekre a vektorokra épített paralelepipedon térfogatával. A szorzat pozitív, ha a vektorok hármasa jobb, és negatív, ha a hármas bal, és fordítva.

2. A vegyes szorzat akkor és csak akkor nulla, ha a vektorok egysíkúak:

a vektorok egysíkúak.

Bizonyítsuk be az első tulajdonságot. Definíció szerint a vegyes szorzatot találjuk: , ahol az és a vektorok közötti szög. A keresztszorzat modulja (az 1. geometriai tulajdonság szerint) egyenlő a vektorokra épített paralelogramma területével és: . Ezért. A vektor által megadott tengelyre vetítés hosszának algebrai értéke abszolút értékben egyenlő a vektorokra épített paralelepipedon magasságával (1.47. ábra). Ezért a vegyes szorzat modulusa megegyezik a paralelepipedon térfogatával:

A vegyes szorzat előjelét a szög koszinuszának előjele határozza meg. Ha a hármas helyes, akkor a vegyes termék pozitív. Ha háromszoros, akkor a vegyes termék is negatív.

Bizonyítsuk be a második tulajdonságot. Az egyenlőség három esetben lehetséges: vagy (azaz), vagy (azaz a vektor az és vektorsíkhoz tartozik). A vektorok minden esetben egysíkúak (lásd 1.1. fejezet).

Három vektor vegyes szorzata egy szám, amely egyenlő az első két vektor vektorszorzatával, skalárisan megszorozva a vektorral. Ilyen vektorokként ábrázolható

Mivel a gyakorlatban a vektorokat koordináta formában adjuk meg, vegyes szorzatuk egyenlő a koordinátáikra épített determinánssal. Mivel a vektorszorzat antikommutatív, és skaláris szorzat kommutatívan, akkor a vektorok ciklikus permutációja a vegyes szorzatban nem változtatja meg az értékét. Két szomszédos vektor felcserélése megfordítja az előjelet

A vektorok vegyes szorzata pozitív, ha jobboldali hármast alkot, és negatív, ha bal hármast alkot.

A vegyes termék geometriai tulajdonságai 1. A vektorokra épített paralelepipedon térfogata megegyezik ezen korok vegyes szorzatának modulusával tori.2. Egy négyszögletű gúla térfogata egyenlő a vegyes szorzat modulusának egyharmadával 3. Egy háromszög alakú gúla térfogata egyenlő a vegyes szorzat modulusának egyhatodával 4. Síkvektorok akkor és csak akkor A koordinátákban a komplanaritási feltétel azt jelenti, hogy a determináns egyenlő nullával A gyakorlati asszimilációhoz vegye figyelembe a példákat. 1. példa

Határozza meg, melyik hármas (jobb vagy bal) a vektorok

Megoldás.

Keresse meg a vektorok vegyes szorzatát, és előjellel állapítsa meg, hogy melyik vektorhármast alkotják

A vektorok egy jobb oldali hármast alkotnak A vektorok jobb oldali hármast alkotnak A vektorok bal oldali hármast alkotnak Ezek a vektorok lineárisan függőek.. Három vektor vegyes szorzata. Három vektor vegyes szorzata a szám

A vegyes termék geometriai tulajdonságai:

10.1. Tétel. A vektorokra épített paralelepipedon térfogata megegyezik ezen vektorok vegyes szorzatának modulusával

vagy a vektorokra épített tetraéder (piramis) térfogata egyenlő a kevert szorzat modulusának egyhatodával

Bizonyíték. Az elemi geometriából ismert, hogy a paralelepipedon térfogata egyenlő az alap magasságának és területének szorzatával

A paralelepipedon alapjának területe S egyenlő a vektorokra épített paralelogramma területével (lásd 1. ábra). Használata

Rizs. 1. Az 1. Tétel. vektorok vektorszorzatának geometriai jelentésének bizonyításához azt kapjuk, hogy

Ebből azt kapjuk, hogy Ha a vektorok hármasát hagyjuk, akkor a vektor és a vektor ellentétes irányú, akkor vagy Így menet közben bebizonyosodik, hogy a vegyes szorzat előjele határozza meg a vektorok hármasának orientációját (a hármas jobb, a hármas pedig bal). Most bizonyítsuk be a tétel második részét. ábrából 2 nyilvánvaló, hogy a három vektorra épített háromszög prizma térfogata megegyezik az ezekre a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának felével, azaz
Rizs. 2. Az 1. tétel bizonyításáról.

De egy prizma három azonos térfogatú piramisból áll OABC, ABCDÉs ACDE. Valóban, a piramisok térfogata ABCDÉs ACDE egyenlőek, mert egyenlő alapjuk van BCDÉs CDEés ugyanilyen magasságba esett a tetejéről A. Ugyanez igaz az OABC és ACDE piramisok magasságaira és alapjaira is. Innen

Vegyes (vagy vektor-skalár) szorzat három a, b, c vektort (ebben a sorrendben) az a vektor és a b x c vektorszorzat skaláris szorzatának nevezzük, vagyis az a(b x c) számnak, vagy ami megegyezik, (b x c)a.
Megnevezés: abc.

Időpont egyeztetés. Az online számológép a vektorok vegyes szorzatának kiszámítására szolgál. Az így kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre. Ezenkívül egy megoldássablon is létrejön az Excelben.

A vektorkomplanaritás jelei

Három vektor (vagy több) koplanárisnak nevezzük, ha közös origóra redukálva ugyanabban a síkban fekszenek.
Ha a három vektor közül legalább az egyik nulla, akkor a három vektort is egysíkúnak tekintjük.

Az egysíkúság jele. Ha az a, b, c rendszer helyes, akkor abc>0 ; ha maradt, akkor abc A vegyes termék geometriai jelentése. Három nem egysíkú a, b, c vektor abc vegyes szorzata egyenlő az a, b, c vektorokra épített paralelepipedon térfogatával, pluszjellel felvéve, ha az a, b, c rendszer helyes, ill. mínuszjellel, ha ez a rendszer megmarad.

Vegyes termék tulajdonságai

1. Tényezők körkörös permutációjával a vegyes szorzat nem változik, két tényező permutációja esetén megfordítja az előjelét: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   A geometriai jelentésből következik.
2. (a+b)cd=acd+bcd (elosztó tulajdonság). Tetszőleges számú kifejezésre kiterjeszthető.
   A vegyes termék definíciójából következik.
3. (ma)bc=m(abc) (asszociatív tulajdonság a skaláris tényezőhöz képest).
   A vegyes termék definíciójából következik. Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy vegyes szorzatokra olyan transzformációkat alkalmazzunk, amelyek a közönséges algebraiaktól csak annyiban különböznek, hogy a tényezők sorrendje csak a szorzat előjelének figyelembevételével változtatható.
4. Az a vegyes szorzat, amelynek legalább két egyenlő tényezője van, egyenlő nullával: aab=0 .

1. példa. Keressen vegyes terméket. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

2. példa. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +titkos másolat+bca . A két szélső kivételével minden tag nullával egyenlő. Továbbá bca=abc . Ezért (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

3. példa. Számítsd ki három vektor vegyes szorzatát a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k !
Megoldás. A vektorok vegyes szorzatának kiszámításához meg kell találni a vektorok koordinátáiból álló rendszer determinánsát. Formába írjuk a rendszert