Vektor tér. Példák és legegyszerűbb tulajdonságai vektorterekre Egy vektorrendszer lineáris függése és függetlensége Véges vektorrendszer alapja és rangja.

Az L(P) lineáris vagy vektortér a P mező felett egy nem üres L halmaz, amelyre a műveleteket bevezetjük:

1. összeadás, vagyis a halmaz minden elempárjához hozzá van rendelve ugyanannak a halmaznak egy eleme, amelyet x + yϵL jelöl

2. szorzás skalárral (azaz a P mező egy elemével), azaz bármely λ ϵ P elem és bármely x ϵ L elem az L(P) egyetlen eleméhez kapcsolódik, amelyet λx ϵ L( P).

Ebben az esetben a következő feltételek vonatkoznak a műveletre:

1. x+ y= y+ x, bármely x,y ϵ L esetén.

2.x+ (y + z) = (x + y) + z, x, y, z ϵ L. (összehúzódás asszociativitása)

3.van ilyen θ ϵ L, amely x+ θ =x számára minden x ϵ L (egy semleges elem létezése az összeadáshoz képest), különösen nem üres;

4. bármely x ϵ L-re van olyan -x ϵ L elem, hogy x+(-x)= θ (az összeadás tekintetében ellentétes elem megléte).

5.(αβ)х=α(βх), (a skalárral való szorzás asszociativitása)

6.1*x=x (egységesség: a P mező semleges (szorzási) elemével való szorzás megőrzi a vektort).

7.(α+ β)* x= α* x+ β*x, (a vektorral való szorzás megoszlása ​​a skalárok összeadása tekintetében);

8. α * (x + y) = α*x+ α *y, (a skalárral való szorzás eloszlása ​​a vektorösszeadáshoz képest).

Az L halmaz elemeit vektoroknak, a P mező elemeit skalároknak nevezzük. Az 1-4 tulajdonságok egybeesnek az Abel-csoport axiómáival.

A legegyszerűbb szentek:

1. A vektortér összeadás alapján Abel-csoport.

2. Bármely x ϵ L esetén az -x ϵ L ellentétes elem az egyetlen

3. 0*x=θ, bármely x ϵ L

4. 1*(-x)=-x bárkinek x ϵ L

5.α * θ = θ ,bármely α eseténϵ L

Példa a VP-re yav-Xia m \ azonos rendű valós komponensekkel rendelkező mátrixokban, az összeadás és szorzás műveleteinek természetes definíciójával. Mátrixok anyagszámonként

Lineáris függés \ (nem) vektorok rendszere (definíciók, tulajdonságok)

Tétel. (Egy vektorrendszer lineáris függésének szükséges és elégséges feltétele.)

Egy vektortérben lévő vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan függő, ha a rendszer egyik vektora lineárisan van kifejezve a rendszer többi vektorával.

Bizonyíték. Szükség. Legyen az e 1 ..e n rendszer lineárisan függő. Ekkor definíció szerint nem triviális módon reprezentálja a nullvektort, azaz. ennek a vektorrendszernek van egy nem triviális lineáris kombinációja, amely egyenlő a nulla vektorral:

α 1 e 1 +..+ α n e n =0, ahol ennek a lineáris kombinációnak legalább az egyik együtthatója nem egyenlő nullával. Legyen α k ≠0 ,kϵ 1,2…n Osszuk el az előző egyenlőség mindkét részét ezzel a nem nulla együtthatóval (azaz szorozzuk meg α k -1 *(α 1 e 1 +..+ αa n e n) =0

Jelölje: α k -1 α m =β m ahol mϵ 1,2…,k-1,k+1,..,n Ekkor β 1 e 1+ … +β 1 e n =0 azaz. a rendszer egyik vektora lineárisan van kifejezve ennek a rendszernek a többi vektorával stb.

Megfelelőség. Legyen a rendszer egyik vektora lineárisan kifejezve ennek a rendszernek a többi vektorával: e k =γ 1 e 1+..+ γ n e n

Mivel az e k vektornál az együttható egyenlő -1≠0, akkor a nullának nem triviális reprezentációja van egy e 1 ..e n vektorrendszerrel, ami azt jelenti, hogy ez a vektorrendszer lineárisan függő stb.

A tétel bizonyítást nyert.

Következmény.

1. Egy vektortérben lévő vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha a rendszer egyik vektora sem fejeződik ki lineárisan ennek a rendszernek a többi vektorával.

2. Egy nulla vektort vagy két egyenlő vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

Következmény.

Egy vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha ez a vektor nem nulla.

Bázis - vektorok halmaza egy vektortérben úgy, hogy ennek a térnek bármely vektora lehet az egyetlen módja ebből a halmazból származó vektorok lineáris kombinációjaként ábrázolva - bázisvektorok.

Egy adott vektorrendszer tetszőleges maximális lineárisan független alrendszerében lévő vektorok számát ún. rang rendszerek.

Tétel. Legyen két rendszer adott P- dimenziós vektorok:

a 1 ,a 2,¼, a r (9)

b 1 ,b 2,¼, bs, (10)

nem feltétlenül lineárisan független, és a rendszer rangja (9) egyenlő a számmal k, a rendszer rangja (10) a szám l. Ha az első rendszert lineárisan fejezzük ki a másodikkal, akkor k £ l. Ha ezek rendszerek egyenértékűek, azután k = l.

A tér maximális lineárisan független részhalmazának elemeinek száma (sokozatossága) nem függ ennek a részhalmaznak a megválasztásától, és a tér rangjának vagy dimenziójának nevezzük, magát ezt a részhalmazt pedig bázisnak.

Ebben a cikkben a következőkről lesz szó:

• mik azok a kollineáris vektorok;
• milyen feltételei vannak a kollineáris vektoroknak;
• milyen tulajdonságai vannak a kollineáris vektoroknak;
• mekkora a kollineáris vektorok lineáris függése.

1. definíció

A kollineáris vektorok olyan vektorok, amelyek párhuzamosak ugyanazzal az egyenessel, vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek.

1. példa

Kollineáris vektorok feltételei

Két vektor kollineáris, ha a következő feltételek bármelyike ​​teljesül:

• 1. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, ha van olyan λ szám, amelyre a = λ b ;
• 2. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, egyenlő koordinátákkal:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, feltéve, hogy a vektorszorzat és a nulla vektor egyenlő:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Megjegyzés 1

2. feltétel nem alkalmazható, ha az egyik vektorkoordináta nulla.

2. megjegyzés

3. feltétel csak azokra a vektorokra alkalmazható, amelyek a térben adottak.

Példák a vektorok kollinearitásának vizsgálatához szükséges feladatokra

1. példa

Megvizsgáljuk az a \u003d (1; 3) és b \u003d (2; 1) vektorokat a kollinearitás szempontjából.

Hogyan döntsünk?

Ebben az esetben a kollinearitás 2. feltételét kell használni. Adott vektorok esetén ez így néz ki:

Az egyenlőség rossz. Ebből arra következtethetünk, hogy az a és b vektorok nem kollineárisak.

Válasz : a | | b

2. példa

Az a = (1 ; 2) és b = (- 1 ; m) vektornak mekkora m értéke szükséges ahhoz, hogy a vektorok kollineárisak legyenek?

Hogyan döntsünk?

A második kollineáris feltételt használva a vektorok kollineárisak lesznek, ha koordinátáik arányosak:

Ez azt mutatja, hogy m = -2.

Válasz: m = -2.

A vektorrendszerek lineáris függésének és lineáris függetlenségének kritériumai

Tétel

Egy vektortérben lévő vektorrendszer csak akkor lineárisan függő, ha a rendszer egyik vektora kifejezhető a rendszer többi vektorával.

Bizonyíték

Legyen a rendszer e 1 , e 2 , . . . , e n lineárisan függő. Írjuk fel lineáris kombináció ennek a rendszernek a nulla vektorral egyenlő:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

amelyben a kombináció együtthatóinak legalább egyike nem egyenlő nullával.

Legyen a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk egy nem nulla együtthatóval:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Jelöli:

A k - 1 a m , ahol m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Ebben az esetben:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

vagy e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Ebből következik, hogy a rendszer egyik vektorát a rendszer összes többi vektorával fejezzük ki. Amit bizonyítani kellett (p.t.d.).

Megfelelőség

Legyen az egyik vektor lineárisan kifejezve a rendszer összes többi vektorával:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Az e k vektort átvisszük ennek az egyenlőségnek a jobb oldalára:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Mivel az e k vektor együtthatója egyenlő -1 ≠ 0 , a nulla nem triviális ábrázolását kapjuk e 1 , e 2 , vektorrendszerrel. . . , e n , ez pedig azt jelenti ezt a rendszert vektorok lineárisan függő. Amit bizonyítani kellett (p.t.d.).

Következmény:

• Egy vektorrendszer lineárisan független, ha egyik vektora sem fejezhető ki a rendszer összes többi vektorával.
• Egy nullvektort vagy két egyenlő vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függ.

Lineárisan függő vektorok tulajdonságai

1. A 2- és 3-dimenziós vektoroknál teljesül a feltétel: két lineárisan függő vektor kollineáris. Két kollineáris vektor lineárisan függ.
2. A 3-dimenziós vektoroknál teljesül a feltétel: három lineáris függő vektorok- egysíkú. (3 koplanáris vektor - lineárisan függő).
3. N-dimenziós vektorok esetén teljesül a feltétel: n + 1 vektor mindig lineárisan függ.

Példák vektorok lineáris függésének vagy lineáris függetlenségének problémáinak megoldására

3. példa

Ellenőrizzük az a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 vektorok lineáris függetlenségét.

Megoldás. A vektorok lineárisan függőek, mivel a vektorok mérete kisebb, mint a vektorok száma.

4. példa

Ellenőrizzük az a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 vektorok lineáris függetlenségét.

Megoldás. Megtaláljuk azoknak az együtthatóknak az értékeit, amelyeknél a lineáris kombináció egyenlő lesz a nulla vektorral:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

A vektoregyenletet lineáris alakban írjuk fel:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ezt a rendszert Gauss módszerrel oldjuk meg:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

A 2. sorból kivonjuk az 1.-et, a 3.-ból az 1.-et:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Vonja ki a másodikat az 1. sorból, adja hozzá a 2-at a 3-hoz:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

A megoldásból az következik, hogy a rendszernek sok megoldása van. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan x 1 , x 2 , x 3 számok értékeinek nullától eltérő kombinációja, amelyeknél az a , b , c lineáris kombináció egyenlő a nulla vektorral. Ezért az a , b , c vektorok lineárisan függő. ​​​​​​​

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Def. Elemrendszer x 1 ,…,x m vonal. A V termelést lineárisan függőnek nevezzük, ha ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) úgy, hogy λ 1 x 1 +…+ λ mxm = θ .

Def. Az x 1 ,…,x m ∈ V elemrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, ha a λ 1 x 1 +…+ λ m x m = θ ⟹λ 1 =…= λ m =0 egyenlőségből.

Def. Az x ∈ V elemet x 1 ,…,x m ∈ V elemek lineáris kombinációjának nevezzük, ha ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ úgy, hogy x= λ 1 x 1 +…+ λ m x m .

Tétel (a lineáris függőség kritériuma): Egy x 1 ,…,x m ∈ V vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan függő, ha a rendszernek legalább egy vektora lineárisan kifejeződik a többi vektorral.

Doc. Szükség: Legyen x 1 ,…,xm lineárisan függő ⟹ ∃ λ 1 ,…, λ m ∈ ℝ (|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0) úgy, hogy λ 1 x 1 +…+ λ m -1 xm -1 + λmxm = θ. Tegyük fel, hogy λ m ≠ 0, akkor

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Megfelelőség: Legyen legalább az egyik vektor lineárisan kifejezve a többi vektorral: xm = λ 1 x 1 +…+ λ m -1 xm -1 (λ 1 ,…, λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 +…+ λ m -1 xm -1 +(-1) xm =0 λ m =(-1) ≠ 0 ⟹ x 1,…,xm - lineárisan függetlenek.

Ven. lineáris függőségi feltétel:

Ha a rendszer nulla elemet vagy lineárisan függő alrendszert tartalmaz, akkor az lineárisan függő.

λ 1 x 1 +…+ λ m x m = 0 – lineárisan függő rendszer

1) Legyen x 1 = θ, akkor ez az egyenlőség λ 1 =1 és λ 1 =…= λ m =0 esetén érvényes.

2) Legyen λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 lineárisan függő alrendszer ⟹|λ 1 |+…+| λ m | ≠ 0. Ekkor λ 1 =0 esetén |λ 1 |+…+| is megkapjuk λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 +…+ λ m x m =0 egy lineárisan függő rendszer.

Lineáris tér alapja. Vektor koordináták az adott bázisban. A vektorok összegének koordinátái és egy vektor számmal való szorzata. Egy vektorrendszer lineáris függésének szükséges és elégséges feltétele.

Meghatározás: Egy V lineáris tér e 1, ..., e n elemeinek rendezett rendszerét e tér bázisának nevezzük, ha:

A) e 1 ... e n lineárisan függetlenek

B) ∀ x ∈ α 1 … α n úgy, hogy x= α 1 e 1 +…+ α n e n

x= α 1 e 1 +…+ α n e n – az x elem kiterjesztése az e 1 bázisban, …, e n

α 1 … α n ∈ ℝ az x elem koordinátái az e 1, …, e n bázisban

Tétel: Ha be lineáris tér V egy e 1, …, e n bázist kap, akkor ∀ x ∈ V az x koordináták oszlopa az e 1, …, e n bázisban egyedileg meghatározott (a koordináták egyedileg meghatározottak)

Bizonyíték: Legyen x=α 1 e 1 +…+ α n e n és x=β 1 e 1 +…+β n e n

x= ⇔ = Θ, azaz e 1, …, e n lineárisan függetlenek, akkor - =0 ∀ i=1, …, n ⇔ = ∀ i=1, …, n h.t.d.

Tétel: legyen e 1, …, e n az V lineáris tér alapja; x, y tetszőleges elemei a V térnek, λ ∈ ℝ - tetszőleges szám. Ha x-et és y-t összeadjuk, a koordinátáikat összeadjuk, ha x-et megszorozzuk λ-val, akkor x koordinátáit is megszorozzuk λ-val.

Bizonyíték: x= (e 1, …, e n) és y= (e 1, …, e n)

x+y= + = (e 1, …, e n)

λx= λ ) = (e 1, …, e n)

Lemma1: (szükséges és elégséges feltétele egy vektorrendszer lineáris függésének)

Legyen e 1 …en az V tér alapja. Az f 1 , …, fk ∈ V elemrendszer akkor és csak akkor lineárisan függő, ha ezen elemek koordináta oszlopai az e 1, …, en bázisban lineárisan függő

Bizonyíték: f 1 , …, f k kibontása az e 1 bázisban, …, e n

f m =(e 1, …, e n) m=1, …, k

λ 1 f 1 +…+λ k f k =(e 1, …, e n)[ λ 1 +…+ λ n ] azaz λ 1 f 1 +…+λ k f k = Θ ⇔

⇔ λ 1 +…+ λ n = szükség szerint.

13. Lineáris tér mérete. Tétel a dimenzió és az alap kapcsolatáról.
Meghatározás: Egy V lineáris teret n-dimenziós térnek nevezünk, ha V-ben n lineárisan független elem van, és a V tér bármely n + 1 eleméből álló rendszer lineárisan függő. Ebben az esetben n-t a V lineáris tér dimenziójának nevezzük, és dimV=n-nek jelöljük.

Egy lineáris teret végtelen dimenziósnak nevezünk, ha ∀N ∈ ℕ a V térben létezik egy N elemet tartalmazó lineárisan független rendszer.

Tétel: 1) Ha V egy n-dimenziós lineáris tér, akkor ennek a térnek bármely n lineárisan független elemének rendezett rendszere képez alapot. 2) Ha a V lineáris térben van egy n elemből álló bázis, akkor V dimenziója egyenlő n-nel (dimV=n).

Bizonyíték: 1) Legyen dimV=n ⇒ V ∃ n lineárisan független elemben e 1, …,e n . Bebizonyítjuk, hogy ezek az elemek bázist képeznek, azaz ∀ x ∈ V e 1, …,e n függvényében bővíthető. Adjunk hozzá x-et: e 1, …,e n , x – ez a rendszer n+1 vektort tartalmaz, ami azt jelenti, hogy lineárisan függ. Mivel e 1, …,e n lineárisan független, ezért a 2. Tétel szerint x lineárisan kifejezve e 1-en, …,e n-en keresztül, azaz. ∃ ,…, úgy, hogy x= α 1 e 1 +…+ α n e n . Tehát e 1, …,e n a V tér alapja. 2) Legyen e 1, …,e n V alapja, tehát V ∃ n-ben van n lineárisan független elem. Vegyünk tetszőleges f 1 ,…,f n ,f n +1 ∈ V – n+1 elemeket. Mutassuk meg lineáris függőségüket. Bontsuk fel őket a következőképpen:

f m =(e 1, …,e n) = ahol m = 1,…,n Hozzuk létre a koordináta oszlopokból álló mátrixot: A= A mátrix n sort tartalmaz ⇒ RgA≤n. Oszlopok száma n+1 > n ≥ RgA ⇒ Az A mátrix oszlopai (azaz f 1 ,…,f n ,f n +1 koordináták oszlopai) lineárisan függenek. 1. lemmából ⇒ ,…,f n ,f n +1 lineárisan függő ⇒ dimV=n.

Következmény: Ha bármely bázis n elemet tartalmaz, akkor ennek a térnek bármely más bázisa n elemet tartalmaz.

2. tétel: Ha az x 1 ,… ,x m -1 , x m vektorok rendszere lineárisan függő, és az x 1 ,… ,x m -1 alrendszere lineárisan független, akkor x m - lineárisan van kifejezve x 1 ,… ,x m -1-en keresztül.

Bizonyíték: Mivel x 1 ,… ,x m -1 , x m lineárisan függő, akkor ∃ , …, , ,

, …, | , | oly módon, hogy . Ha , , …, | => x 1 ,… ,x m -1 lineárisan függetlenek, ami nem lehet. Tehát m = (-) x 1 +…+ (-) x m -1.

A vektorok lineáris függése és lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

Csokoládés kocsi áll a közönség soraiban, és ma minden látogató kap egy édes párost - analitikus geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk egyszerre két részre terjed ki. felsőbb matematika, és meglátjuk, hogyan boldogulnak egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél Twixet! ... a fenébe is, vitatkozás hülyeség. Bár oké, nem pontozok, de a végén pozitív hozzáállás kellene a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, vektorok lineáris függetlensége, vektor alaponés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a "vektor" fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a "hétköznapi" vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem Gismeteóba: - hőmérséklet és Légköri nyomás illetőleg. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem fogok elmélettel terhelni, lineárisan vektorterek, a feladat az megért definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra alkalmazhatók, de a példákat geometriailag adjuk meg. Így minden egyszerű, hozzáférhető és vizuális. Az analitikus geometria problémái mellett néhányat is figyelembe veszünk tipikus feladatok algebra. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok a bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegye figyelembe a számítógép asztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak megvan a hossza és a szélessége, így intuitív módon egyértelmű, hogy két vektorra van szükség az alap felépítéséhez. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A választott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes eleméhez.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el a bal kéz mutatóujja az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely a jobb kéz kisujja az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy az a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit lehet mondani a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineárisan egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol egy nem nulla szám.

Erről a műveletről láthat egy képet a leckében. Vektorok a bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjai alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak egyedül irány, míg a síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A "lineáris", "lineáris" szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben, kifejezésekben nincsenek négyzetek, kockák, egyéb hatványok, logaritmusok, szinuszok stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy bármilyen szög legyen közöttük, kivéve a 0 vagy a 180 fokot. Két sík vektorlineárisan nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát az alap megérkezett. Nem kell szégyellni, hogy az alap „ferdének” bizonyult különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi sík vektor az egyetlen módja kibővítve az alap tekintetében:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektorformában mutatjuk be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapon vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például azt mondhatjuk, hogy egy vektor a sík ortonormális bázisában van kiterjesztve, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként van ábrázolva.

Fogalmazzuk meg alapdefiníció formálisan: sík alapon egy lineárisan független (nem kollineáris) vektorpár, , ahol Bármi a síkvektor az alapvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényege az a tény, hogy a vektorokat vettük egy bizonyos sorrendben. bázisok Ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kéz kisujját nem lehet a jobb kéz kisujjának helyére mozgatni.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani a koordináta-rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok, és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat azokhoz a piszkos asztalpontokhoz, amelyek egy vad hétvége után maradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen referenciapont mindenki számára ismert pont - a koordináták eredete. A koordinátarendszer megértése:

Kezdem az "iskolai" rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok a bábokhoz Kiemeltem néhány különbséget a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Itt a standard kép:

Amikor arról beszélünk derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban a koordináták origóját jelentik, koordinátatengelyekés skálázzuk a tengelyek mentén. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt az a benyomásunk támad, hogy egy derékszögű koordinátarendszer jól definiálható ortonormális alapon. És majdnem az is. A megfogalmazás így hangzik:

eredet, És ortonormális alapkészlet A sík derékszögű koordinátarendszere . Azaz egy téglalap alakú koordinátarendszer egyértelműen egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fent adtam - benne geometriai problémák gyakran (de semmiképpen sem mindig) rajzoljunk vektorokat és koordinátatengelyeket is.

Szerintem ezt mindenki megérti egy pont (eredet) és egy ortonormális alap segítségével A gép BÁRMELY PONTJÁT és a repülőgép BÁRMELY VEKTORÁT koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: "a gépen minden megszámlálható".

A koordináta vektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és kettőt ortogonális vektorok tetszőleges nullától eltérő hosszúság:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A koordináták origója vektorokkal határozza meg a koordináta rácsot, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak megvan a maga koordinátája az adott bázison. Például, vagy. A nyilvánvaló kényelmetlenség az, hogy a koordináta vektorok általában az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek eggyel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : ortogonális alapon, és alatta is affin bázisok a tengelyek menti sík- és téregységeket veszik figyelembe FELTÉTELES. Például az abszcissza mentén egy egység 4 cm-t, az ordináta mentén 2 cm-t tartalmaz, ez az információ elegendő ahhoz, hogy a „nem szabványos” koordinátákat szükség esetén „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

És a második kérdés, amelyre tulajdonképpen már válaszoltunk - szükséges-e, hogy az alapvektorok közötti szög 90 fok legyen? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún eredet, És nem kollineáris vektorok, , készlet a sík affin koordinátarendszere :

Néha ezt a koordináta-rendszert hívják ferde rendszer. A pontok és vektorok példaként láthatók a rajzon:

Amint megérti, az affin koordináta-rendszer még kevésbé kényelmes, a vektorok és szegmensek hosszának képletei, amelyeket a lecke második részében megvizsgáltunk, nem működnek benne. Vektorok a bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való felosztásának képlete, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

És a következtetés az, hogy a legkényelmesebb speciális eset affin rendszer A koordináták egy derékszögű téglalaprendszer. Ezért leggyakrabban őt, a sajátját kell látni. ... Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor illik egy ferde (vagy más pl. poláris) koordináta-rendszer. Igen, és a humanoidoknak az ilyen rendszerek megízlelhetik =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden feladat érvényes mind a téglalap alakú koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elégséges, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti finomítása.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézze meg, létezik-e vektor arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Mindenképpen elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal készítsünk arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

Vegyünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból:

Lerövidítjük:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat létrejöhet, és fordítva, ez egy egyenértékű lehetőség:

Önellenőrzéshez felhasználható az a tény, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben egyenlőségek vannak . Ezek helyessége könnyen ellenőrizhető elemi cselekvések vektorokkal:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Megvizsgáljuk a vektorokat a kollinearitás szempontjából . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy , ami azt jelenti, a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Kimenet: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Állítsa össze az arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból! :
, ezért ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

A véleményezők általában nem utasítják el ezt a lehetőséget, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet átdolgozni az arányt itt? (Tényleg nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa önálló megoldásra:

2. példa

A paramétervektorok milyen értékénél kollineáris lesz?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és ötödik pontként adjuk hozzá:

Két síkvektor esetén a következő állítások egyenértékűek:

2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok lineárisan kifejezhetők egymáson keresztül;
+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy pillanatnyilag már megértette az összes felmerült kifejezést és kijelentést.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Majd mi döntünk 1. példa a második módon:

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst! :
, tehát ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst :
, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint az arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem szakaszok, egyenesek párhuzamossága is igazolható. Vegyünk néhány problémát adott geometriai alakzatokkal kapcsolatban.

3. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot építeni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzen a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Négyszöget nevezünk, amelyben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és .

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor ("iskola szerint" - egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb a döntést megfelelően, elrendezéssel meghozni. Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:
, tehát ezek a vektorok kollineárisak, és .

Kimenet: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, tehát definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég csak megjegyezni, hogyan néz ki.

Ez önálló döntési feladat. Komplett megoldás az óra végén.

És most itt az ideje, hogy lassan kimozduljunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

de) ;
b)
ban ben)

Megoldás:
a) Ellenőrizze, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáihoz:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az "egyszerűsített" az arány ellenőrzésével kerül megállapításra. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térvektorok kollinearitás-ellenőrzésére és egy harmadrendű determináns segítségével, Ily módon foglalkozik a cikkben Vektorok keresztszorzata.

Hasonlóan a sík esethez, a vizsgált eszközökkel térbeli szegmensek és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Háromdimenziós térvektorok lineáris függése és függetlensége.
Téralap és affin koordinátarendszer

Számos szabályszerűség, amelyet a repülőgépen figyelembe vettünk, a térre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elmélet összefoglalását, hiszen az információ oroszlánrészét már megrágták. Ennek ellenére javaslom, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések és fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett vizsgáljuk meg a háromdimenziós teret. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem tudunk kitérni a három dimenziótól: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért az alapot építeni, három térbeli vektor. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjakon melegítünk. Kérjük, emelje fel a kezét, és tárja szét a különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögeik vannak egymás között. Gratulálunk, elkészült a háromdimenziós tér alapja! Egyébként ezt nem kell bemutatni a tanároknak, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nem tudsz kitérni =)

Ezután felteszünk egy fontos kérdést, hogy bármely három vektor képez-e egy háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógép asztallapjára. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik mérést - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Megjegyzendő, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek benne párhuzamos síkok(csak ne az ujjaiddal csináld, csak Salvador Dali jött le így =)).

Meghatározás: vektorokat hívjuk egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, míg a tér bármely vektora az egyetlen módja kibővül az adott bázisban , ahol a vektor koordinátái vannak az adott bázisban

Emlékeztetőül azt is mondhatjuk, hogy egy vektort a következőképpen ábrázolunk lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a esetében lapos tok, egy pont és bármely három lineáris független vektorok:

eredet, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács "ferde" és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordináta-rendszer lehetővé teszi, hogy egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan a tér affin koordinátarendszerében néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy azt mindenki kitalálhatja derékszögű tér koordinátarendszer:

nevű térbeli pont eredet, És ortonormális alapkészlet A tér derékszögű koordinátarendszere . ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismét rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Az ellenkező kijelentések szerintem érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan a determináns segítségével ellenőrzik (5. tétel). A fennmaradó gyakorlati feladatok kifejezetten algebrai jellegűek lesznek. Itt az ideje, hogy egy geometrikus botot akasztunk egy szögre, és hadonászunk egy lineáris algebra baseballütővel:

Három térvektor akkor és csak akkor egysíkúak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra hívom fel a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok kiszámításának módszereit, vagy esetleg egyáltalán nem tájékozódtak, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e egy háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában az egész megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst (a determináns az első sorban ki van bővítve):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok képezik az alapot

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében egy egyenletet determinánssal kell megoldani. Nullákba repülünk, mint a sárkányok a jerboákba - a legjövedelmezőbb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket végzünk, és a dolgot a legegyszerűbbre redukáljuk lineáris egyenlet:

Válasz: nál nél

Itt egyszerűen ellenőrizhető, ehhez be kell cserélni a kapott értéket az eredeti determinánsba, és meg kell győződni arról, hogy újranyitásával.

Végezetül vegyünk egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy külön témát érdemel:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja egy háromdimenziós tér bázisát
és keressük meg a 4. vektor koordinátáit az adott bázisban

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok a háromdimenziós tér bázisát képezik, és ebben keressük meg a vektor koordinátáit.

Megoldás: Először foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és amint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Mi az alapja - minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első lépés teljesen megegyezik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:

, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncok. Ellenkező esetben zavarok lesznek a további megoldási algoritmusban.

Meghatározás 18.2 Funkciórendszerf, ..., f ohívottli-nape o h a in és c és m. o d a résben(de, (3) ha valami nem triviális 5 ezen függvények lineáris kombinációja egyenlő nullával ezen az intervallumon:

Meghatározás 18.3 Vektoros rendszer f 1 , ..., x n-t lineárisnak nevezzük a-ban és c-ben és m o d-ben, ha ezeknek a vektoroknak valamilyen nem triviális, lineáris kombinációja egyenlő a felsorolásvektorral:

L A félreértések elkerülése végett az alsó indexszel a vektorkomponens (vektorfüggvény) számát, a felsővel pedig magának a vektornak a számát (ha több ilyen vektor van) jelöljük.

"Emlékeztetjük, hogy egy lineáris kombinációt nem triviálisnak nevezünk, ha nem minden együttható nulla.

Meghatározás 18.4 Az x 1 ^),..., x n (t) vektorfüggvényrendszert lineárisnak nevezzük h és in and with és my about th az intervallumon,(de, /3) ha ezen vektorfüggvények valamilyen nemtriviális lineáris kombinációja megegyezik a nulla vektorral ezen az intervallumon:

Fontos megérteni e három fogalom (a függvények, vektorok és vektorfüggvények lineáris függése) egymáshoz való kapcsolódását.

Először is, ha a (18.6) képletet kiterjesztett formában mutatjuk be (emlékezve arra, hogy mindegyik x g (1) egy vektor)

akkor egyenértékű lesz az egyenlőségrendszerrel

lineáris függést jelent z komponens az első definíció értelmében (mint függvények). Azt mondják, hogy lineáris kapcsolat vektorfüggvények vonzza őket komponensenként lineáris függőség.

Ennek a fordítottja általában nem igaz: elegendő egy vektorfüggvénypár példáját figyelembe venni

Ezeknek a vektorfüggvényeknek az első összetevői egyszerűen egybeesnek, ami azt jelenti, hogy lineárisan függenek. A második összetevők arányosak, tehát. lineárisan is függőek. Ha azonban a nullával egyenlő lineáris kombinációjukat egyformán próbáljuk megszerkeszteni, akkor a relációból

azonnal kapja meg a rendszert

aminek megvan az egyetlen megoldása C-C-2 - 0. Így vektorfüggvényeink lineárisan függetlenek.

Mi az oka egy ilyen furcsa ingatlannak? Mi az a trükk, amivel tudatosan függő függvényekből lineárisan független vektorfüggvényeket építhetsz fel?

Kiderült, hogy a lényeg nem annyira a komponensek lineáris függésében van, hanem az együtthatók arányában, amely szükséges a nullához. A vektorfüggvények lineáris függése esetén ugyanaz az együtthatókészlet szolgál ki minden komponenst, számtól függetlenül. Példánkban azonban az egyik komponenshez az együtthatók egy arányát kellett megadni, a másikhoz pedig egy másikat. A trükk tehát nagyon egyszerű: ahhoz, hogy a teljes vektorfüggvények lineáris függését „alkotórészenkénti” lineáris függésből kapjuk, szükséges, hogy minden komponens „ugyanolyan arányban” legyen lineárisan függő.

Térjünk most át a vektorfüggvények és a vektorok lineáris függésének vizsgálatára. Itt szinte nyilvánvaló, hogy a vektorfüggvények lineáris függése azt jelenti, hogy minden fixre t* vektor

lineárisan függő lesz.

Általánosságban elmondható, hogy fordítva nem áll fenn: az egyes vektorok lineáris függéséből t nem követi a vektorfüggvények lineáris függését. Ez könnyen belátható két vektorfüggvény példáján

Nál nél t=1, t=2 és t=3 vektorpárokat kapunk

illetőleg. Mindegyik vektorpár arányos (1, 2 és 3 együtthatókkal). Könnyen belátható ez minden rögzítettnél t* vektorpárunk arányos lesz az együtthatóval t*.

Ha megpróbálunk vektorfüggvények lineáris kombinációját létrehozni, amely azonos nullával, akkor az első összetevők már megadják a relációt

ami csak akkor lehetséges TÓL TŐL = TÓL TŐL2 = 0. Így a vektorfüggvényeink lineárisan függetlennek bizonyultak. Ennek a hatásnak ismét az a magyarázata, hogy a vektorfüggvények lineáris függése esetén ugyanaz a Cj konstanskészlet szolgál ki minden értéket. t, példánkban pedig az egyes értékekre t megkövetelte a saját arányát az együtthatók között.