Alapdefiníció. Egy vektorrendszer akkor képez alapot, ha:

1) lineárisan független,

2) a tér bármely rajta áthaladó vektora lineárisan kifejeződik.

1. példa Tér alapja: .

2. A vektorok rendszerében vektorok az alapja: , mert vektorokkal lineárisan kifejezve .

Megjegyzés. Egy adott vektorrendszer alapjának megtalálásához a következőket kell tennie:

1) írja be a vektorok koordinátáit a mátrixba,

2) keresztül elemi átalakulások hozza a mátrixot háromszög alakúra,

3) nem nulla mátrix sorok lesznek rendszer alapja,

4) a bázisban lévő vektorok száma megegyezik a mátrix rangjával.

Kronecker-Capelli tétel

A Kronecker–Capelli-tétel kimerítő választ ad a konzisztencia kérdésére önkényes rendszer lineáris egyenletek ismeretlennel

Kronecker–Capelli tétel. Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszer kiterjesztett mátrixának rangja megegyezik a főmátrix rangjával, .

A konzisztens lineáris egyenletrendszer összes megoldásának megtalálására szolgáló algoritmus a Kronecker–Capelli-tételből és a következő tételekből következik.

Tétel. Ha a közös rendszer rangja egyenlő a számmal ismeretlen, akkor a rendszernek egyedi megoldása van.

Tétel. Ha a közös rendszer rangja számnál kisebb ismeretlen, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Algoritmus tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldására:

1. Határozza meg a rendszer fő és kiterjesztett mátrixainak rangsorait! Ha nem egyenlőek (), akkor a rendszer inkonzisztens (nincs megoldása). Ha a rangok egyenlőek ( , akkor a rendszer kompatibilis.

2. Egy kompatibilis rendszerhez találunk néhány mollot, amelynek sorrendje határozza meg a mátrix rangját (az ilyen mollot alapnak nevezzük). Komponáljunk új rendszer azokból az egyenletekből, amelyekben az ismeretlenek együtthatói az alap-mollban szerepelnek (ezeket az ismeretleneket fő ismeretleneknek nevezzük), a többi egyenletet elvetjük. A főbb ismeretleneket együtthatókkal a bal oldalon hagyjuk, a fennmaradó ismeretleneket (ezeket szabad ismeretleneknek nevezzük) átvisszük az egyenletek jobb oldalára.

3. Keressük meg a fő ismeretlenek kifejezéseit a szabadok szempontjából! Megkapjuk a rendszer általános megoldását.

4. Tetszőleges értékeket adva a szabad ismeretleneknek, megkapjuk a fő ismeretlenek megfelelő értékeit. Így sajátos megoldásokat találunk az eredeti egyenletrendszerre.

Lineáris programozás. Alapfogalmak

Lineáris programozás A matematikai programozás egy olyan iránya, amely olyan extrém problémák megoldási módszereit tanulmányozza, amelyeket a változók közötti lineáris kapcsolat és egy lineáris kritérium jellemez.

Szükséges állapot A lineáris programozás problémájának megfogalmazása az erőforrások elérhetőségére, a kereslet nagyságára, a vállalat termelési kapacitására és egyéb termelési tényezőkre vonatkozó korlátozások.

A lineáris programozás lényege, hogy megtaláljuk a legnagyobb ill a legkisebb érték néhány funkció bizonyos korlátozásokkal az argumentumokra és generátorokra vonatkozóan korlátozások rendszere , amelynek általában végtelen számú megoldása van. Minden változóérték-készlet (függvényargumentumok F ) amelyek kielégítik a kényszerrendszert, ún elfogadható terv lineáris programozási problémák. Funkció F , amelynek maximuma vagy minimuma meg van határozva, nevezzük objektív funkció feladatokat. Elfogadható terv, amelyen a funkció maximumát vagy minimumát elérjük F , nak, nek hívják optimális terv feladatokat.

A tervek halmazát meghatározó korlátrendszert a termelés feltételei határozzák meg. Egy lineáris programozási probléma ( ZLP ) a legjövedelmezőbb (optimális) kiválasztása a megvalósítható tervek közül.

A lineáris programozási probléma általános megfogalmazása a következő:

Van néhány változó x \u003d (x 1, x 2, ... x n) és ezeknek a változóknak a függvénye f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , amely a nevet viseli cél funkciókat. A feladat kitűzve: a célfüggvény szélsőértékének (maximumának vagy minimumának) megkeresése f(x) feltéve, hogy a változók x valamilyen területhez tartoznak G :

A funkció típusától függően f(x) és területek G és megkülönböztetni a matematikai programozás szakaszait: másodfokú programozás, konvex programozás, egész szám programozás stb. A lineáris programozásra jellemző, hogy
a) függvény f(x) egy lineáris függvény változók x 1, x 2, ... x n
b) régió G a rendszer határozza meg lineáris egyenlőtlenségek vagy egyenlőtlenségek.

A vektorok lineáris kombinációja egy vektor
, ahol λ 1 , ... , λ m tetszőleges együtthatók.

Vektoros rendszer
lineárisan függőnek nevezzük, ha létezik a lineáris kombinációja egyenlő , amelynek legalább egy nullától eltérő együtthatója van.

Vektoros rendszer
lineárisan függetlennek nevezzük, ha bármelyikében lineáris kombináció egyenlő , minden együttható nulla.

A vektorrendszer alapja
annak nem üres, lineárisan független alrendszerét hívjuk, amelyen keresztül a rendszer bármely vektora kifejezhető.

2. példa Keresse meg a vektorrendszer alapját! = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3), és fejezzük ki a fennmaradó vektorokat a bázissal.

Megoldás: Készítünk egy mátrixot, amelyben ezeknek a vektoroknak a koordinátáit oszlopokba rendezzük. Lépcsőzetes formába hozzuk.

~
~
~
.

Ennek a rendszernek az alapját a vektorok alkotják ,,, amelyek megfelelnek a körökkel jelölt sorok vezető elemeinek. Vektoros kifejezéshez oldja meg az x 1 egyenletet +x2 +x4 =. Lineáris egyenletrendszerré redukálódik, amelynek mátrixát az eredetiből a megfelelő oszlop permutálásával kapjuk meg. , a szabad kifejezések oszlopa helyett. Ezért a rendszer megoldásához a kapott mátrixot lépcsőzetesen használjuk fel, elvégezve benne a szükséges permutációkat.

Sorra találjuk:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Megjegyzés 1. Ha több vektort kell kifejezni a bázison keresztül, akkor mindegyikhez létrejön a megfelelő lineáris egyenletrendszer. Ezek a rendszerek csak az ingyenes tagok oszlopaiban különböznek. Ezért ezek megoldására egy mátrixot lehet összeállítani, amelyben több szabad tag oszlop lesz. Ebben az esetben minden rendszer a többitől függetlenül megoldódik.

Megjegyzés 2. Bármely vektor kifejezéséhez elegendő csak az azt megelőző rendszer bázisvektorait használni. Ilyenkor nincs szükség a mátrix átformálására, elég egy függőleges vonalat a megfelelő helyre tenni.

2. feladat. Keresse meg a vektorrendszer alapját, és fejezze ki a többi vektort az alapon keresztül:

de) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

ban ben) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Alapvető döntési rendszer

Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tagja nulla.

Alapvető döntési rendszer homogén rendszer a lineáris egyenleteket megoldásai halmazának bázisának nevezzük.

Legyen adott egy inhomogén lineáris egyenletrendszer. Egy adotthoz társított homogén rendszer egy adottból úgy kapott rendszer, hogy minden szabad tagot nullára cserélünk.

Ha egy inhomogén rendszer konzisztens és határozatlan, akkor tetszőleges megoldása f o1 +  1 f o1 + ... +  kf ok alakú, ahol fo az inhomogén rendszer adott megoldása és f o1 , ... , fok a kapcsolódó homogén rendszer alapvető rendszermegoldásai.

3. példa Keressen egy adott megoldást az 1. példában szereplő inhomogén rendszerre és alapvető rendszer a kapcsolódó homogén rendszer megoldásai.

Megoldás: Az 1. példában kapott megoldást vektor formában írjuk fel, és a kapott vektort a benne lévő szabad paraméterek és rögzített számértékek összegére bővítjük:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Azt kapjuk, hogy f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Megjegyzés. Hasonló módon oldódik meg a homogén rendszer alapvető megoldási rendszerének megtalálása.

3.1. Gyakorlat Keresse meg egy homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét:

de)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

3.2. GYAKORLAT. Keresse meg az inhomogén rendszer konkrét megoldását és a hozzá tartozó homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét:

de)

b)

A geometriában a vektoron egy irányított szakaszt értünk, és az egymásból kapott vektorokat párhuzamos átvitel, egyenlőnek számítanak. Minden egyenlő vektort ugyanazon vektorként kezelünk. A vektor eleje a tér vagy sík bármely pontjára helyezhető.

Ha a vektor végeinek koordinátái térben vannak megadva: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), akkor

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Hasonló képlet érvényes a síkban. Ez azt jelenti, hogy egy vektor koordináta karakterláncként írható fel. A vektorokon végzett műveletek, - az összeadás és a szorzás egy számmal, a karakterláncokon komponensenként történik. Ez lehetővé teszi a vektor fogalmának kiterjesztését, a vektort tetszőleges számsorként értelmezve. Például egy lineáris egyenletrendszer megoldása, valamint bármely értékhalmaz rendszerváltozók, vektorként tekinthető meg.

Azonos hosszúságú karakterláncokon az összeadás a szabály szerint történik

(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, … , a n+b n). (2)

Egy karakterlánc számmal való szorzása a szabály szerint történik

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Adott hosszúságú sorvektorok halmaza n a vektorösszeadás és a számmal való szorzás jelzett műveleteivel egy algebrai struktúrát alkot, ún n-dimenziós lineáris tér.

A vektorok lineáris kombinációja egy vektor , ahol λ 1 , ... , λ m tetszőleges együtthatók.

Egy vektorrendszert lineárisan függőnek nevezünk, ha létezik -vel egyenlő lineáris kombinációja, amelynek legalább egy nullától eltérő együtthatója van.

Egy vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha bármely -vel egyenlő lineáris kombinációjában minden együttható nulla.

Így a vektorrendszer lineáris függésének kérdésének megoldása az egyenlet megoldására redukálódik

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Ha ennek az egyenletnek nullától eltérő megoldásai vannak, akkor a vektorrendszer lineárisan függő. Ha a nulla megoldás egyedi, akkor a vektorrendszer lineárisan független.

A (4) rendszer megoldásához az érthetőség kedvéért a vektorok nem sorok, hanem oszlopok formájában írhatók fel.

Majd a bal oldali transzformációk végrehajtása után a (4) egyenlettel egyenértékű lineáris egyenletrendszerhez jutunk. Ennek a rendszernek a fő mátrixát az eredeti vektorok oszlopokba rendezett koordinátái alkotják. Itt nincs szükség a szabad tagok oszlopára, mivel a rendszer homogén.

Alap vektorrendszer (véges vagy végtelen, különösen minden lineáris tér) annak nem üres, lineárisan független alrendszere, amelyen keresztül a rendszer bármely vektora kifejezhető.

1.5.2. példa. Keresse meg az = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0,) vektorrendszer alapját. 3) és kifejezni más vektorokat a bázison keresztül.

Megoldás. Készítünk egy mátrixot, amelyben ezeknek a vektoroknak a koordinátái oszlopokba vannak rendezve. Ez a rendszer mátrixa x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . A mátrixot lépcsőzetes formába hozzuk:

~ ~ ~

Ennek a vektorrendszernek az alapját a , , vektorok alkotják, amelyek megfelelnek a körökkel jelölt sorok vezető elemeinek. A vektor kifejezéséhez megoldjuk az egyenletet x 1 + x 2 + x 4 = . Lineáris egyenletrendszerré redukálódik, melynek mátrixát az eredetiből úgy kapjuk meg, hogy a -nak megfelelő oszlopot átrendezzük a szabad tagok oszlopának helyére. Ezért lépcsőzetes formára redukálásakor ugyanazok az átalakítások lesznek a mátrixon, mint fent. Ez azt jelenti, hogy a kapott mátrixot lépcsőzetesen használhatjuk, ha elvégezzük a benne lévő oszlopok szükséges permutációit: a körös oszlopok a függőleges sávtól balra, a vektornak megfelelő oszlop pedig jobbra kerül. a bárból.

Sorra találjuk:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Megjegyzés. Ha több vektort kell kifejezni a bázison keresztül, akkor mindegyikhez létrejön a megfelelő lineáris egyenletrendszer. Ezek a rendszerek csak az ingyenes tagok oszlopaiban különböznek. Ebben az esetben minden rendszer a többitől függetlenül megoldódik.

1.4. GYAKORLAT. Keresse meg a vektorrendszer alapját, és fejezze ki a többi vektort az alap segítségével:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

Egy adott vektorrendszerben egy bázist általában többféleképpen lehet megkülönböztetni, de minden bázisnak ugyanannyi vektora lesz. A lineáris tér alapjában lévő vektorok számát a tér dimenziójának nevezzük. Mert n-dimenziós lineáris tér n a tér mérete, mivel ennek a térnek van egy standard bázisa = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Ezen az alapon keresztül bármely vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) a következőképpen fejeződik ki:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Így a vektor sorában szereplő komponensek = (a 1 , a 2 , … , a n) a sztenderd alaphoz viszonyított bővülési együtthatói.

Egyenes vonalak egy síkon

Az analitikus geometria problémája - alkalmazása geometriai problémák koordináta módszer. Ez lefordítja a feladatot algebrai formaés algebra segítségével oldjuk meg.

Az n-dimenziós vektorokról szóló cikkben eljutottunk az n-dimenziós vektorok halmaza által generált lineáris tér fogalmához. Most olyan nem kevésbé fontos fogalmakat kell figyelembe vennünk, mint a dimenzió és az alap. vektor tér. Közvetlenül kapcsolódnak a lineárisan független vektorrendszer fogalmához, ezért ezen kívül ajánlott emlékezni a téma alapjaira is.

Mutassunk be néhány definíciót.

1. definíció

A vektortér mérete- megfelelő szám a maximális szám lineárisan független vektorok ebben a térben.

2. definíció

Vektor tér alapja- lineárisan független vektorok halmaza, amelyek sorrendje és száma megegyezik a tér dimenziójával.

Tekintsünk egy bizonyos n-vektor teret. Mérete rendre egyenlő n-nel. Vegyünk egy n egységnyi vektorrendszert:

e (1) = (1, 0, . . . , 0) e (2) = (0, 1, . . . ., 0) e (n) = (0, 0, ..., 1)

Használjuk ezeket a vektorokat az A mátrix komponenseiként: n x n dimenziójú egység lesz. Ennek a mátrixnak a rangja n. Ezért az e (1) , e (2) , vektorrendszer. . . , e (n) lineárisan független. Ebben az esetben lehetetlen egyetlen vektort hozzáadni a rendszerhez anélkül, hogy megsértené annak lineáris függetlenségét.

Mivel a rendszerben a vektorok száma n, akkor az n-dimenziós vektorok terének dimenziója n, és egységvektorok e (1), e (2), . . . , e (n) a megadott tér alapja.

A kapott definícióból azt a következtetést vonjuk le, hogy bármely n-dimenziós vektorrendszer, amelyben a vektorok száma kisebb, mint n, nem térbázis.

Ha felcseréljük az első és a második vektort, akkor e (2) , e (1) , vektorrendszert kapunk. . . , e (n) . Ez lesz az alapja egy n-dimenziós vektortérnek is. Készítsünk egy mátrixot úgy, hogy a kapott rendszer vektorait vegyük sorainak. A mátrixot az első két sor felcserélésével kaphatjuk meg az identitásmátrixból, rangja n lesz. Rendszer e (2) , e (1) , . . . , e (n) lineárisan független, és egy n-dimenziós vektortér bázisa.

Más vektorokat átrendezve az eredeti rendszerben, még egy bázist kapunk.

Tehetünk egy lineárisan független, nem egységvektorrendszert, és ez egy n-dimenziós vektortér alapját is jelenti.

3. definíció

Egy n dimenziójú vektortérnek annyi bázisa van, ahány n számú n dimenziós vektor lineárisan független rendszere van.

A sík egy kétdimenziós tér – alapja bármely két nem kollineáris vektor lehet. Bármely három nem egysíkú vektor szolgál majd a háromdimenziós tér alapjául.

Fontolja meg ennek az elméletnek az alkalmazását konkrét példákon.

1. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Meg kell határozni, hogy a jelzett vektorok egy háromdimenziós vektortér alapját képezik-e.

Megoldás

A probléma megoldásához az adott vektorrendszert lineáris függőségre vizsgáljuk. Készítsünk egy mátrixot, ahol a sorok a vektorok koordinátái. Határozzuk meg a mátrix rangját.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R ank (A) = 3

Ebből következően a feladat feltétele által adott vektorok lineárisan függetlenek, és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - ezek képezik a vektortér alapját.

Válasz: ezek a vektorok képezik a vektortér alapját.

2. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0, 1, 2)

Meg kell határozni, hogy a jelzett vektorrendszer alapja lehet-e egy háromdimenziós térnek.

Megoldás

A feladat feltételében megadott vektorrendszer lineárisan függő, hiszen a lineárisan független vektorok maximális száma 3. Így ez a vektorrendszer nem szolgálhat háromdimenziós vektortér alapjául. De érdemes megjegyezni, hogy az eredeti rendszer alrendszere a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) bázis.

Válasz: a jelzett vektorrendszer nem alap.

3. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Lehetnek ezek egy négydimenziós tér alapja?

Megoldás

Készítsen mátrixot a megadott vektorok koordinátáiból sorokként!

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

A Gauss-módszerrel meghatározzuk a mátrix rangját:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4

Ezért az adott vektorok rendszere lineárisan független, és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - ezek képezik a négydimenziós vektortér alapját.

Válasz: a megadott vektorok a négydimenziós tér alapját képezik.

4. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

Egy 4 dimenziós tér alapját képezik?

Megoldás

Az eredeti vektorrendszer lineárisan független, de a benne lévő vektorok száma nem elegendő ahhoz, hogy egy négydimenziós tér alapjává váljon.

Válasz: nem, nem.

Egy vektor felbontása bázis szempontjából

Elfogadjuk, hogy tetszőleges e (1) , e (2) , vektorok. . . , e (n) egy n-dimenziós vektortér alapja. Adjunk hozzájuk néhány n-dimenziós x → vektort: ​​a kapott vektorrendszer lineárisan függővé válik. A lineáris függés tulajdonságai kimondják, hogy egy ilyen rendszer vektorai közül legalább egy lineárisan kifejezhető a többivel. Ezt az állítást újrafogalmazva azt mondhatjuk, hogy egy lineárisan függő rendszer vektorai közül legalább egy kibővíthető más vektorokkal.

Így elérkeztünk a legfontosabb tétel megfogalmazásához:

4. definíció

Egy n-dimenziós vektortér bármely vektora az egyetlen módja kiterjed az alapra.

1. bizonyíték

Bizonyítsuk be ezt a tételt:

állítsa be az n-dimenziós vektortér alapját - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Tegyük lineárisan függővé a rendszert úgy, hogy hozzáadunk egy n-dimenziós x → vektort. Ez a vektor lineárisan kifejezhető az eredeti e vektorokkal:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) +. . . + x n e (n) , ahol x 1 , x 2 , . . . , x n - néhány szám.

Most bebizonyítjuk, hogy egy ilyen lebontás egyedülálló. Tegyük fel, hogy ez nem így van, és van egy másik hasonló kiterjesztés:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , ahol x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - néhány szám.

Vonjuk le ennek az egyenlőségnek a bal és jobb oldali részéből az x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + egyenlőség bal és jobb oldali részét. . . + x n e (n) . Kapunk:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) +. . . (x~n - xn) e(2)

e (1) , e (2) , bázisvektorok rendszere. . . , e (n) lineárisan független; Egy vektorrendszer lineáris függetlenségének meghatározása szerint a fenti egyenlőség csak akkor lehetséges, ha minden együttható (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) egyenlő lesz nullával. Amiből igazságos lesz: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . És ez bizonyítja az egyetlen módja annak, hogy egy vektort bázis tekintetében bővítsünk.

Ebben az esetben az együtthatók x 1 , x 2 , . . . , x n az x → vektor koordinátáinak nevezzük az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (n) .

A bizonyított elmélet egyértelművé teszi az „egy n-dimenziós x = (x 1, x 2 , . . . , xn) vektort” kifejezést: egy x vektor → n-dimenziós vektorteret veszünk figyelembe, és ennek koordinátáit adjuk meg valami alapot. Az is világos, hogy ugyanannak a vektornak az n-dimenziós tér más bázisában különböző koordinátái lesznek.

Tekintsük a következő példát: tegyük fel, hogy egy n-dimenziós vektortér valamely bázisában n lineárisan független vektorból álló rendszer adott

és az x = (x 1, x 2, . . . , x n) vektor is adott.

Vektorok e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) ebben az esetben is ennek a vektortérnek az alapja.

Tegyük fel, hogy meg kell határozni az x → vektor koordinátáit az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) , jelölése x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Az x → vektort a következőképpen ábrázoljuk:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Ezt a kifejezést koordináta alakban írjuk:

(x 1 , x 2 , . . . , xn) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . . ., e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2, . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1, e (n) 2, ..., e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) +. + x ~ ne 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + ... + x ~ ne 2 (n) , ... , x ~ 1 en (1) + x ~ 2 en (2) + . . . + x ~ nen (n))

A kapott egyenlőség ekvivalens n lineáris algebrai kifejezésből álló rendszerrel, n ismeretlen lineáris változóval x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Ennek a rendszernek a mátrixa így fog kinézni:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Legyen ez egy A mátrix, oszlopai pedig egy lineárisan független e 1 (1), e 2 (2) , , vektorrendszer vektorai. . . , e n (n) . A mátrix rangja n, determinánsa pedig nem nulla. Ez azt jelzi, hogy az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, bármilyen kényelmes módon meghatározható: például Cramer módszerrel, ill. mátrix módszer. Így meg tudjuk határozni az x ~ 1 , x ~ 2 , koordinátákat. . . , x ~ n az x vektor → az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) .

Alkalmazzuk a vizsgált elméletet egy konkrét példán.

6. példa

Kiinduló adatok: vektorok a háromdimenziós tér alapján vannak megadva

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, -5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, -7)

Meg kell erősíteni azt a tényt, hogy az e (1) , e (2) , e (3) vektorok rendszere egyben az adott tér alapjául is szolgál, valamint meg kell határozni az x vektor koordinátáit az adott bázisban. .

Megoldás

Az e (1), e (2) , e (3) vektorok rendszere akkor lesz a háromdimenziós tér alapja, ha lineárisan független. Keressük ezt a lehetőséget az A mátrix rangjának meghatározásával, amelynek sorai a megadott e (1) , e (2) , e (3) vektorok.

A Gauss-módszert használjuk:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3. Így az e (1), e (2) , e (3) vektorok rendszere lineárisan független és bázis.

Legyen a bázisban szereplő x → vektor koordinátái x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Ezen koordináták kapcsolatát a következő egyenlet határozza meg:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Alkalmazzuk az értékeket a probléma feltételeinek megfelelően:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Az egyenletrendszert a Cramer módszerrel oldjuk meg:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Tehát az e (1) , e (2) , e (3) bázisban lévő x → vektor koordinátái x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Válasz: x = (1, 1, 1)

Csatlakozás az alapok között

Tegyük fel, hogy egy n-dimenziós vektortér valamely bázisában két lineárisan független vektorrendszer adott:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , cn (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , cn (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , cn (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), . . . , en (1) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , en (n))

Ezek a rendszerek egyben az adott tér bázisai is.

Legyen c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - a c (1) vektor koordinátái az e (1) bázisban, e (2) , . . . , e (3) , akkor a koordináták kapcsolatát egy lineáris egyenletrendszer adja meg:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) +. . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) +. . . + c ~ n (1) e n (n)

Mátrix formájában a rendszer a következőképpen jeleníthető meg:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , cn (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

Tegyük meg ugyanezt a jelölést a c (2) vektorra analógia útján:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , cn (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , cn (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

A mátrixegyenlőségeket egyetlen kifejezésben egyesítik:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ en (n)

Ez határozza meg két különböző bázis vektorának kapcsolatát.

Ugyanezen elv alapján az összes e (1) , e (2) , bázisvektor kifejezhető. . . , e (3) a c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ cn (n)

A következő definíciókat adjuk:

5. definíció

Mátrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) az e (1) , e (2) , bázisból származó átmeneti mátrix. . . , e(3)

a c (1) , c (2) , alapra. . . , c (n) .

6. definíció

Mátrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) az átmeneti mátrix a c (1) , c (2) , bázisból. . . ,c(n)

e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Ezekből az egyenlőségekből kitűnik, hogy

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

azok. Az átmeneti mátrixok kölcsönösen inverzek.

Tekintsük az elméletet egy konkrét példán.

7. példa

Kiinduló adatok: meg kell találni a bázisból az átmeneti mátrixot

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) · c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, -6)

Egy tetszőleges x → vektor koordinátáinak kapcsolatát is meg kell adni az adott bázisokban.

Megoldás

1. Legyen T az átmeneti mátrix, akkor igaz lesz az egyenlőség:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kap:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Határozza meg az átmeneti mátrixot:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Határozza meg az x → vektor koordinátáinak kapcsolatát:

tegyük fel, hogy a c (1) , c (2) , . . . , c (n) x → vektor koordinátái x 1 , x 2 , x 3 , akkor:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

és az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (3) koordinátái x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , akkor:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Mivel ezeknek az egyenlőségeknek a bal oldali részei egyenlők, a jobb oldali részeket is egyenlővé tehetjük:

(x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Szorozzuk meg mindkét oldalt a jobb oldalon

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kap:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Másrészről

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az utolsó egyenlőségek az x → vektor koordinátáinak kapcsolatát mutatják mindkét bázisban.

Válasz:átmeneti mátrix

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az x → vektor koordinátáit az adott bázisokban a következő összefüggés köti össze:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt