Lineáris függőségés a vektorok lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

Csokoládés kocsi áll a közönség soraiban, és ma minden látogató kap egy édes párost - analitikus geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk egyszerre két részre terjed ki. felsőbb matematika, és meglátjuk, hogyan boldogulnak egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél Twixet! ... a fenébe is, vitatkozás hülyeség. Bár oké, nem pontozok, de a végén pozitív hozzáállás kellene a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, vektorok lineáris függetlensége, vektor alaponés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a "vektor" fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a "hétköznapi" vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem Gismeteóba: - hőmérséklet és Légköri nyomás illetőleg. A példa természetesen hibás a tulajdonságokat tekintve vektor tér, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az, hogy megért definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra alkalmazhatók, de a példákat geometriailag adjuk meg. Így minden egyszerű, hozzáférhető és vizuális. Az analitikus geometria problémái mellett néhányat is figyelembe veszünk tipikus feladatok algebra. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok a bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegye figyelembe a számítógép asztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak van hossza és szélessége, így intuitív módon egyértelmű, hogy két vektorra van szükség az alap felépítéséhez. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A választott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes eleméhez.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el a bal kéz mutatóujja az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely a jobb kéz kisujja az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy az a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit lehet mondani a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineárisan egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol egy nem nulla szám.

Erről a műveletről láthat egy képet a leckében. Vektorok a bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjai alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak egyedül irány, míg a síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A "lineáris", "lineáris" szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben, kifejezésekben nincsenek négyzetek, kockák, egyéb hatványok, logaritmusok, szinuszok stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy bármilyen szög legyen közöttük, kivéve a 0 vagy a 180 fokot. Két sík vektorlineárisan nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát az alap megérkezett. Nem kell szégyellni, hogy az alap „ferdének” bizonyult különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi sík vektor az egyetlen módja kibővítve az alap tekintetében:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ban ben ezt az alapot.

Azt is mondják vektorformában mutatjuk be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapon vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például azt mondhatjuk, hogy egy vektor a sík ortonormális bázisában van kiterjesztve, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként van ábrázolva.

Fogalmazzuk meg alapdefiníció formálisan: sík alapon egy lineárisan független (nem kollineáris) vektorpár, , ahol Bármi a síkvektor az alapvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényege az a tény, hogy a vektorokat vettük egy bizonyos sorrendben. bázisok Ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kéz kisujját nem lehet a jobb kéz kisujjának helyére mozgatni.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani a koordináta-rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok, és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat azokhoz a piszkos asztalpontokhoz, amelyek egy vad hétvége után maradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen referenciapont mindenki számára ismert pont - a koordináták eredete. A koordinátarendszer megértése:

Kezdem az "iskolai" rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok a bábokhoz Kiemeltem néhány különbséget a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Itt a standard kép:

Amikor arról beszélünk derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban a koordináták origóját jelentik, koordinátatengelyekés skálázzuk a tengelyek mentén. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt az a benyomásunk támad, hogy egy derékszögű koordinátarendszer jól definiálható ortonormális alapon. És majdnem az is. A megfogalmazás így hangzik:

eredet, És ortonormális alapkészlet A sík derékszögű koordinátarendszere . Azaz egy téglalap alakú koordinátarendszer egyértelműen egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fent adtam - benne geometriai problémák gyakran (de semmiképpen sem mindig) rajzoljunk vektorokat és koordinátatengelyeket is.

Szerintem ezt mindenki megérti egy pont (eredet) és egy ortonormális alap segítségével A gép BÁRMELY PONTJÁT és a repülőgép BÁRMELY VEKTORÁT koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: "a gépen minden megszámlálható".

A koordináta vektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és kettőt ortogonális vektorok tetszőleges nullától eltérő hosszúság:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A koordináták origója vektorokkal határozza meg a koordináta rácsot, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak megvan a maga koordinátája az adott bázison. Például, vagy. A nyilvánvaló kényelmetlenség az, hogy a koordináta vektorok általában az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek eggyel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : ortogonális alapon, és alatta is affin bázisok a tengelyek menti sík- és téregységeket veszik figyelembe FELTÉTELES. Például az abszcissza mentén egy egység 4 cm-t, az ordináta mentén 2 cm-t tartalmaz, ez az információ elegendő ahhoz, hogy a „nem szabványos” koordinátákat szükség esetén „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

És a második kérdés, amelyre valójában már megválaszolták - az alapvektorok közötti szög szükségszerűen egyenlő 90 fokkal? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún eredet, És nem kollineáris vektorok, , készlet a sík affin koordinátarendszere :

Néha ezt a koordinátarendszert hívják ferde rendszer. A pontok és vektorok példaként láthatók a rajzon:

Amint megérti, az affin koordináta-rendszer még kevésbé kényelmes, a vektorok és szegmensek hosszának képletei, amelyeket a lecke második részében megvizsgáltunk, nem működnek benne. Vektorok a bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való felosztásának képlete, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

És a következtetés az, hogy a legkényelmesebb speciális eset affin rendszer A koordináták egy derékszögű téglalaprendszer. Ezért leggyakrabban őt, a sajátját kell látni. ... Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor illik egy ferde (vagy más pl. poláris) koordináta-rendszer. Igen, és a humanoidoknak az ilyen rendszerek megízlelhetik =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden feladat érvényes mind a téglalap alakú koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elégséges, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti finomítása.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézze meg, létezik-e vektor arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Mindenképpen elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal készítsünk arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

Vegyünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból:

Lerövidítjük:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat létrejöhet, és fordítva, ez egy egyenértékű lehetőség:

Önellenőrzéshez felhasználható az a tény, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben egyenlőségek vannak . Ezek helyessége könnyen ellenőrizhető elemi cselekvések vektorokkal:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Megvizsgáljuk a vektorokat a kollinearitás szempontjából . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy , ami azt jelenti, a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Kimenet: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Állítsa össze az arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból! :
, ezért ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

A véleményezők általában nem utasítják el ezt a lehetőséget, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet átdolgozni az arányt itt? (Tényleg nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa önálló megoldásra:

2. példa

A paramétervektorok milyen értékénél kollineáris lesz?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és ötödik pontként adjuk hozzá:

Két síkvektor esetén a következő állítások egyenértékűek:

2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok lineárisan kifejezhetők egymáson keresztül;
+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy pillanatnyilag már megértette az összes felmerült kifejezést és kijelentést.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Majd mi döntünk 1. példa a második módon:

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst! :
, tehát ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst :
, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint az arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem szakaszok, egyenesek párhuzamossága is igazolható. Vegyünk néhány problémát adott geometriai alakzatokkal kapcsolatban.

3. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot építeni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzen a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Négyszöget nevezünk, amelyben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és .

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor ("iskola szerint" - egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb a döntést megfelelően, elrendezéssel meghozni. Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:
, tehát ezek a vektorok kollineárisak, és .

Kimenet: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, tehát definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég csak megjegyezni, hogyan néz ki.

Ez önálló döntési feladat. Komplett megoldás az óra végén.

És most itt az ideje, hogy lassan kimozduljunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

de) ;
b)
ban ben)

Megoldás:
a) Ellenőrizze, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáihoz:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az "egyszerűsített" az arány ellenőrzésével kerül megállapításra. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térvektorok kollinearitás-ellenőrzésére és egy harmadrendű determináns segítségével, Ily módon foglalkozik a cikkben Vektorok keresztszorzata.

Hasonlóan a sík esethez, a vizsgált eszközökkel térbeli szegmensek és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Háromdimenziós térvektorok lineáris függése és függetlensége.
Téralap és affin koordinátarendszer

Számos szabályszerűség, amelyet a repülőgépen figyelembe vettünk, a térre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elmélet összefoglalását, hiszen az információ oroszlánrészét már megrágták. Ennek ellenére javaslom, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések és fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett vizsgáljuk meg a háromdimenziós teret. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem tudunk kitérni a három dimenziótól: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért az alapot építeni, három térbeli vektor. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjakon melegítünk. Kérjük, emelje fel a kezét, és tárja szét a különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögeik vannak egymás között. Gratulálunk, elkészült a háromdimenziós tér alapja! Egyébként ezt nem kell bemutatni a tanároknak, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nem tudsz kitérni =)

Ezután felteszünk egy fontos kérdést, hogy bármely három vektor képez-e egy háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógép asztallapjára. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik mérést - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Megjegyzendő, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek benne párhuzamos síkok(csak ne az ujjaiddal csináld, csak Salvador Dali jött le így =)).

Meghatározás: vektorokat hívják egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, míg a tér bármely vektora az egyetlen módja kibővül az adott bázisban , ahol a vektor koordinátái vannak az adott bázisban

Emlékeztetőül azt is mondhatjuk, hogy egy vektort a következőképpen ábrázolunk lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a esetében lapos tok, egy pont és bármely három lineáris független vektorok:

eredet, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács "ferde" és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordináta-rendszer lehetővé teszi, hogy egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni a tér affin koordinátarendszerében.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy azt mindenki kitalálhatja derékszögű tér koordinátarendszer:

nevű térbeli pont eredet, És ortonormális alapkészlet A tér derékszögű koordinátarendszere . ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismét rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Az ellenkező kijelentések szerintem érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan a determináns segítségével ellenőrzik (5. tétel). A fennmaradó gyakorlati feladatok kifejezetten algebrai jellegűek lesznek. Itt az ideje, hogy egy geometrikus botot akasztunk egy szögre, és hadonászunk egy lineáris algebra baseballütővel:

Három térvektor akkor és csak akkor egysíkúak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra hívom fel a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok kiszámításának módszereit, vagy esetleg egyáltalán nem tájékozódtak, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e egy háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában az egész megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst (a determináns az első sorban ki van bővítve):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok képezik az alapot

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében egy egyenletet determinánssal kell megoldani. Nullákba repülünk, mint a sárkányok a jerboákba - a legjövedelmezőbb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbb lineáris egyenletre redukáljuk:

Válasz: nál nél

Itt egyszerűen ellenőrizhető, ehhez be kell cserélni a kapott értéket az eredeti determinánsba, és meg kell győződni arról, hogy újranyitásával.

Végezetül vegyünk egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy külön témát érdemel:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja egy háromdimenziós tér bázisát
és keressük meg a 4. vektor koordinátáit az adott bázisban

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok a háromdimenziós tér bázisát képezik, és ebben keressük meg a vektor koordinátáit.

Megoldás: Először foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és amint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Mi az alapja - minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első lépés teljesen megegyezik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:

, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncok. Ellenkező esetben zavarok lesznek a további megoldási algoritmusban.

A vektorok lineáris kombinációja egy vektor
, ahol λ 1 , ... , λ m tetszőleges együtthatók.

Vektoros rendszer
lineárisan függőnek nevezzük, ha létezik a lineáris kombinációja egyenlő , amelynek legalább egy nullától eltérő együtthatója van.

Vektoros rendszer
lineárisan függetlennek nevezzük, ha bármely lineáris kombinációjában egyenlő , minden együttható nulla.

A vektorrendszer alapja
annak nem üres, lineárisan független alrendszerét hívjuk, amelyen keresztül a rendszer bármely vektora kifejezhető.

2. példa Keresse meg a vektorrendszer alapját! = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3), és fejezzük ki a fennmaradó vektorokat a bázissal.

Megoldás: Készítünk egy mátrixot, amelyben ezeknek a vektoroknak a koordinátáit oszlopokba rendezzük. Lépcsőzetes formába hozzuk.

~
~
~
.

Ennek a rendszernek az alapját a vektorok alkotják ,,, amelyek megfelelnek a körökkel jelölt sorok vezető elemeinek. Vektoros kifejezéshez oldja meg az x 1 egyenletet +x2 +x4 =. Lineáris egyenletrendszerré redukálódik, amelynek mátrixát az eredetiből a megfelelő oszlop permutálásával kapjuk meg. , a szabad tagok rovata helyett. Ezért a rendszer megoldásához a kapott mátrixot lépcsőzetesen használjuk fel, elvégezve benne a szükséges permutációkat.

Sorra találjuk:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Megjegyzés 1. Ha több vektort kell kifejezni a bázison keresztül, akkor mindegyikhez létrejön a megfelelő rendszer lineáris egyenletek. Ezek a rendszerek csak az ingyenes tagok oszlopaiban különböznek. Ezért ezek megoldására egy mátrixot lehet összeállítani, amelyben több szabad tag oszlop lesz. Ebben az esetben minden rendszer a többitől függetlenül megoldódik.

Megjegyzés 2. Bármely vektor kifejezéséhez elegendő csak az azt megelőző rendszer bázisvektorait használni. Ilyenkor nincs szükség a mátrix átformálására, elég egy függőleges vonalat a megfelelő helyre tenni.

2. feladat. Keresse meg a vektorrendszer alapját, és fejezze ki a többi vektort az alapon keresztül:

de) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

ban ben) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Alapvető döntési rendszer

Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tagja nulla.

Egy homogén lineáris egyenletrendszer alapvető megoldási rendszere a megoldási halmaz alapja.

Legyen adott egy inhomogén lineáris egyenletrendszer. Egy adotthoz társított homogén rendszer egy adottból úgy kapott rendszer, hogy minden szabad tagot nullára cserélünk.

Ha egy inhomogén rendszer konzisztens és határozatlan, akkor tetszőleges megoldása f н +  1 f о1 + ... +  k f о k , ahol f н egy konkrét megoldás heterogén rendszerés f o1 , ... , f o k a kapcsolódó homogén rendszer alapvető megoldási rendszere.

3. példa Keresse meg az 1. példában szereplő inhomogén rendszer adott megoldását és a hozzá tartozó homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét.

Megoldás: Az 1. példában kapott megoldást vektor alakban írjuk fel, és a kapott vektort a benne foglalt szabad paraméterek és rögzített számértékek összegére bővítjük:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Azt kapjuk, hogy f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Megjegyzés. Hasonló módon oldódik meg a homogén rendszer alapvető megoldási rendszerének megtalálása.

3.1. Gyakorlat Keresse meg egy homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét:

de)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

3.2. GYAKORLAT. Keresse meg az inhomogén rendszer konkrét megoldását és a hozzá tartozó homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét:

de)

b)

A forma kifejezése hívott vektorok lineáris kombinációja A 1 , A 2 ,...,A n együtthatókkal λ 1, λ 2,...,λ n.

Vektorrendszer lineáris függésének meghatározása

Vektoros rendszer A 1 , A 2 ,...,A n hívott lineárisan függő, ha van nem nulla számhalmaz λ 1, λ 2,...,λ n, amely alatt a vektorok lineáris kombinációja λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egyenlő nulla vektorral, vagyis az egyenletrendszer: nullától eltérő megoldása van.
Számok halmaza λ 1, λ 2,...,λ n nem nulla, ha a számok közül legalább az egyik λ 1, λ 2,...,λ n különbözik a nullától.

Vektorrendszer lineáris függetlenségének meghatározása

Vektoros rendszer A 1 , A 2 ,...,A n hívott lineárisan független, ha ezen vektorok lineáris kombinációja λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n csak egy nulla számhalmaz esetén egyenlő a nulla vektorral λ 1, λ 2,...,λ n , vagyis az egyenletrendszer: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ egyedi nulla megoldással rendelkezik.

29.1. példa

Ellenőrizze, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő-e

Megoldás:

1. Összeállítunk egy egyenletrendszert:

2. Gauss-módszerrel oldjuk meg. A rendszer jordán transzformációit a 29.1. táblázat tartalmazza. Számításkor a rendszer megfelelő részeit nem írjuk le, mivel ezek egyenlők nullával és nem változnak a Jordan-transzformációk során.

3. A táblázat utolsó három sorából a megengedett rendszert az eredetivel egyenértékűnek írjuk rendszer:

4. Megkapjuk a rendszer általános megoldását:

5. Miután saját belátása szerint beállította az x 3 =1 szabad változó értékét, egy adott nem-nulla megoldást kapunk X=(-3,2,1).

Válasz: Így egy nem nulla számhalmaznál (-3,2,1) a vektorok lineáris kombinációja megegyezik a -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ nulla vektorral. Következésképpen, lineárisan függő vektorrendszer.

A vektorrendszerek tulajdonságai

Tulajdonság (1)
Ha a vektorrendszer lineárisan függő, akkor a többiben legalább az egyik vektor felbontható, és fordítva, ha a rendszer legalább egyik vektora a többiben felbontott, akkor a vektorrendszer lineárisan függő. .

Tulajdonság (2)
Ha a vektorok bármely alrendszere lineárisan függő, akkor az egész rendszer lineárisan függő.

Tulajdonság (3)
Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor bármelyik alrendszere lineárisan független.

Tulajdonság (4)
Bármely nulla vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

Tulajdonság (5)
Az m-dimenziós vektorok rendszere mindig lineárisan függ, ha az n vektorok száma nagyobb, mint a méretük (n>m)

A vektorrendszer alapja

A vektorrendszer alapja A 1 , A 2 ,..., A n egy ilyen alrendszer B 1 , B 2 ,...,B r(a B 1 ,B 2 ,...,Br vektorok mindegyike az A 1 , A 2 ,..., A n vektorok egyike), amely teljesíti a következő feltételeket:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineárisan független vektorrendszer;
2. bármely vektor Aj Az A 1 , A 2 ,..., A n rendszer lineárisan kifejezve a B 1 ,B 2 ,...,B r vektorokkal

r a bázisban szereplő vektorok száma.

29.1. Tétel Egy vektorrendszer egységalapon.

Ha egy m-dimenziós vektorok rendszere m különbözőt tartalmaz egységvektorok E 1 E 2 ,..., E m , akkor ezek képezik a rendszer alapját.

Algoritmus vektorrendszer alapjainak megtalálására

Ahhoz, hogy megtaláljuk az A 1 ,A 2 ,...,A n vektorrendszer alapját, szükséges:

• Állítsa össze a megfelelő vektorrendszert! homogén rendszer egyenletek A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• hozza ezt a rendszert

Előadások algebráról és geometriáról. 1. félév.

9. előadás A vektortér alapjai.

Összefoglalás: vektorok rendszere, vektorrendszer lineáris kombinációja, vektorrendszer lineáris kombinációjának együtthatói, bázis egy egyenesen, síkban és térben, vektorterek méretei egyenesen, síkban és térben, dekompozíció egy vektor egy bázisban, egy vektor koordinátái egy bázishoz képest, egyenlőségtétel két vektor, lineáris műveletek vektorokkal koordinátajelölésben, ortonormális vektorok hármasa, vektorok jobb és bal hármasa, ortonormális bázis, vektoralgebra alaptétele.

9. fejezet

1. tétel. Vonal alapján, síkon és térben.

Meghatározás. Bármely véges vektorhalmazt vektorrendszernek nevezzük.

Meghatározás. Kifejezés hol
vektorrendszer lineáris kombinációjának nevezzük
, és a számok
ennek a lineáris kombinációnak az együtthatóinak nevezzük.

Legyen L, Р és S egy egyenes, egy sík és egy ponttér, és
. Azután
A vektorok vektorterei, mint irányított szakaszok az L egyenesen, a P síkon, illetve az S térben.

bármely nullától eltérő vektort hívunk
, azaz bármely nem nulla vektor, amely kollineáris az L egyeneshez:
És
.

Alapjelölés
:
- alapon
.

Meghatározás. A vektortér alapja
nem kollineáris vektorok bármely rendezett párja a térben
.

, ahol
,
- alapon
.

Meghatározás. A vektortér alapja
a tér nem egysíkú (vagyis nem ugyanabban a síkban fekvő) vektorainak rendezett hármasa
.

- alapon
.

Megjegyzés. Egy vektortér alapja nem tartalmazhat nulla vektort: ​​a térben
értelemszerűen térben
két vektor akkor lesz kollineáris, ha legalább az egyik nulla a térben
három vektor egysíkú lesz, azaz egy síkban fekszenek, ha a három vektor közül legalább az egyik nulla.

2. tétel. Egy vektor felbontása bázis szempontjából.

Meghatározás. Legyen egy tetszőleges vektor,
– önkényes rendszer vektorok. Ha az egyenlőség

akkor azt mondják, hogy a vektor egy adott vektorrendszer lineáris kombinációjaként ábrázolva. Ha az adott vektorrendszer
a vektortér bázisa, akkor az (1) egyenlőséget a vektor dekompozíciójának nevezzük alapon
. Lineáris kombinációs együtthatók
ebben az esetben a vektor koordinátáinak nevezzük az alaphoz képest
.

Tétel. (Egy vektor bővítéséről bázis szempontjából.)

A vektortér bármely vektora felbontható az alapjában, ráadásul egyedi módon.

Bizonyíték. 1) Legyen L tetszőleges egyenes (vagy tengely) és
- alapon
. Vegyünk egy tetszőleges vektort
. Mivel mindkét vektor És kollineáris ugyanahhoz az L vonalhoz, akkor
. Használjuk a két vektor kollinearitásáról szóló tételt. Mivel
, akkor van (létezik) ilyen szám
, mit
és így megkaptuk a vektor dekompozícióját alapon
vektor tér
.

Most bebizonyítjuk egy ilyen dekompozíció egyediségét. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen a vektor két dekompozíciója alapon
vektor tér
:

És
, ahol
. Azután
és az elosztási törvényt használva a következőket kapjuk:

Mivel
, akkor az utolsó egyenlőségből az következik, hogy
stb.

2) Legyen most P tetszőleges sík és
- alapon
. Legyen
ennek a síknak tetszőleges vektora. Halasszuk el mindhárom vektort ennek a síknak egy pontjából. Építsünk 4 egyenest. Rajzoljunk egy egyenest , amelyen a vektor fekszik , közvetlen
, amelyen a vektor fekszik . A vektor végén keresztül rajzoljunk a vektorral párhuzamos egyenest és a vektorral párhuzamos egyenes . Ez a 4 egyenes paralelogrammát vág. Lásd az alábbi ábrát. 3. A paralelogramma szabály szerint
, És
,
,
- alapon ,
- alapon
.

Nos, a bizonyítás első részében már bebizonyosodott, számok vannak
, mit

És
. Innen kapjuk:

és a bõvítés lehetõsége az alap szempontjából bizonyítást nyer.

Most bizonyítsuk be a bővítés egyediségét az alap tekintetében. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen a vektor két dekompozíciója alapon
vektor tér
:
És
. Egyenlőséget kapunk

Hol kellene
. Ha
, azután
, és azóta
, azután
és a tágulási együtthatók:
,
. Most engedd
. Azután
, ahol
. A két vektor kollinearitásáról szóló tétel alapján ez azt jelenti, hogy
. Ellentmondást kaptunk a tétel feltételével. Következésképpen,
És
stb.

3) Hagyjuk
- alapon
elengedni
tetszőleges vektor. Végezzük el a következő konstrukciókat.

Tegye félre mindhárom bázisvektort
és vektor egy pontból és építsünk fel 6 síkot: azt a síkot, amelyben az alapvektorok vannak
, repülőgép
és repülőgép
; tovább a vektor végén rajzoljunk három párhuzamos síkot az imént megszerkesztett három síkkal. Ez a 6 repülőgép vágja ki a dobozt:

A vektorösszeadás szabálya szerint az egyenlőséget kapjuk:

. (1)

Építés szerint
. Ezért a két vektor kollinearitásáról szóló tételből az következik, hogy van egy szám
, oly módon, hogy
. Hasonlóképpen,
És
, ahol
. Most ezeket az egyenlőségeket (1) behelyettesítve kapjuk:

és a bõvítés lehetõsége az alap szempontjából bizonyítást nyer.

Bizonyítsuk be egy ilyen dekompozíció egyediségét. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen a vektor két dekompozíciója alapon
:

ÉS . Azután

Vegyük észre, hogy feltételezzük, hogy a vektorok
nem egysíkúak, ezért páronként nem kollineárisak.

Két eset lehetséges:
vagy
.

a) Legyen
, akkor a (3) egyenlőségből a következő:

. (4)

A (4) egyenlőségből következik, hogy a vektor bázis szempontjából kibővült
, azaz vektor vektorsíkban fekszik
és innen a vektorok
koplanáris, ami ellentmond a feltételnek.

b) Marad egy eset
, azaz
. Ekkor a (3) egyenlőségből kapjuk a vagy

Mivel
a síkban elhelyezkedő vektorok terének alapja, és a bővítés egyediségét a sík vektorai alapján már bizonyítottuk, az (5) egyenlőségből következik, hogy
És
stb.

A tétel bizonyítást nyert.

Következmény.

1) A vektortér vektorhalmaza között egy az egyhez egyezés van
és az R valós számok halmaza.

2) A vektortér vektorhalmaza között egy az egyhez egyezés van
és a derékszögű tér

3) A vektortér vektorhalmaza között egy az egyhez egyezés van
és derékszögű kocka
R valós számok halmazai.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be a harmadik állítást. Az első kettő hasonlóképpen bizonyított.

Válasszunk és rögzítsünk térben
valami alapot
és állítson fel egy kijelzőt
a következő szabály szerint:

azok. minden vektor a koordinátáinak rendezett halmazához van társítva.

Mivel rögzített alapon minden vektornak egyedi koordinátakészlete van, a (6) szabály által adott megfelelés valóban leképezés.

A tétel bizonyításából következik, hogy a különböző vektorok különböző koordinátákkal rendelkeznek ugyanarra a bázisra vonatkoztatva, azaz. A leképezés (6) egy injekció.

Legyen
valós számok tetszőleges rendezett halmaza.

Tekintsük a vektort
. Szerkezetileg ennek a vektornak vannak koordinátái
. Ezért a (6) leképezés egy szurjektív.

Az injektív és szürjektív leképezés bijektív, azaz. egytől egyig stb.

A következmény bizonyított.

Tétel. (Két vektor egyenlőségéről.)

Két vektor akkor és csak akkor egyenlő, ha ugyanazon bázishoz viszonyított koordinátáik egyenlőek.

A bizonyítás azonnal következik az előző következményből.

3. tétel. Egy vektortér mérete.

Meghatározás. A vektortér alapjában lévő vektorok számát dimenziónak nevezzük.

Kijelölés:
az V vektortér dimenziója.

Így ennek és a korábbi definícióknak megfelelően a következőket kapjuk:

1)
az L egyenes vektorainak vektortere.

- alapon
,
,
,
– vektorbontás
alapon
,
- vektor koordináta az alaphoz képest
.

2)
a Р sík vektorainak vektortere.

- alapon
,
,
,
– vektorbontás
alapon
,
vektorkoordináták az alaphoz képest
.

3)
a vektorok vektortere az S pontok terében.

- alapon
,
,
– vektorbontás
alapon
,
vektorkoordináták az alaphoz képest
.

Megjegyzés. Ha
, azután
és kiválaszthatod az alapot
tér
így
- alapon
És
- alapon
. Azután
, És
, .

Így az L egyenes, a P sík és az S tér bármely vektora kibővíthető a bázis szempontjából
:

Kijelölés. A vektoregyenlőségi tétel alapján bármely vektort azonosíthatunk a valós számok rendezett hármasával, és felírhatjuk:

Ez csak akkor lehetséges, ha az alap
rögzítve van, és nem áll fenn az összegabalyodás veszélye.

Meghatározás. A vektor rekordját valós számok rendezett hármasa formájában a vektorrekord koordináta alakjának nevezzük:
.

4. tétel. Lineáris műveletek vektorokkal koordinátajelölésben.

Legyen
- tér alapon
És
annak két tetszőleges vektora. Legyen
És
ezeknek a vektoroknak a jelölése koordináta alakban. Engedd tovább,
- tetszőleges valós szám. Ezekben a jelölésekben a következő tétel áll fenn.

Tétel. (A koordináta alakú vektorokkal végzett lineáris műveletekről.)

2)
.

Más szóval, két vektor összeadásához hozzá kell adni a megfelelő koordinátákat, és egy vektort egy számmal meg kell szorozni, ennek a vektornak minden koordinátáját meg kell szoroznia egy adott számmal.

Bizonyíték. Mivel a tétel feltétele szerint a vektortér axiómáit felhasználva, amelyekre vonatkoznak a vektorok összeadása és a vektor számmal való szorzása, megkapjuk:

Ez azt jelenti.

A második egyenlőség is hasonlóképpen bizonyított.

A tétel bizonyítást nyert.

5. tétel. Ortogonális vektorok. Ortonormális alap.

Meghatározás. Két vektort ortogonálisnak nevezünk, ha a köztük lévő szög egyenlő a derékszöggel, azaz.
.

Kijelölés:
– vektorok És ortogonális.

Meghatározás. Vektor trió
ortogonálisnak nevezzük, ha ezek a vektorok páronként egymásra merőlegesek, azaz.
,
.

Meghatározás. Vektor trió
ortonormálisnak nevezzük, ha ortogonális és az összes vektor hossza egyenlő eggyel:
.

Megjegyzés. A definícióból következik, hogy a vektorok ortogonális, tehát ortonormális hármasa nem egysíkú.

Meghatározás. A vektorok rendezett nem egysíkú hármasa
, amelyet egy pontból elhelyeztek, jobbra (jobbra orientáltnak) nevezzük, ha a harmadik vektor végétől figyelve az első két vektort tartalmazó síkra És , az első vektor legrövidebb elforgatása a másodikra az óramutató járásával ellentétes irányban történik. Egyébként a vektorok hármasát balnak (balra orientáltnak) nevezzük.

Itt a 6. ábra a vektorok jobb oldali hármasát mutatja
. A következő 7. ábra a vektorok bal oldali hármasát mutatja
:

Meghatározás. Alap
vektor tér
ortonormálisnak nevezzük, ha
vektorok ortonormális hármasa.

Kijelölés. A következőkben a megfelelő ortonormális alapot fogjuk használni
, lásd a következő ábrát.

Keresse meg az alapban nem szereplő vektorok és vektorok rendszerének alapját, bontsa ki az alapon:

de 1 = {5, 2, -3, 1}, de 2 = {4, 1, -2, 3}, de 3 = {1, 1, -1, -2}, de 4 = {3, 4, -1, 2}, de 5 = {13, 8, -7, 4}.

Megoldás. Tekintsünk egy homogén lineáris egyenletrendszert

de 1 x 1 + de 2 x 2 + de 3 x 3 + de 4 x 4 + de 5 x 5 = 0

vagy bővítve.

Ezt a rendszert a Gauss-módszerrel oldjuk meg, sorok és oszlopok felcserélése nélkül, és ezen felül kiválasztva fő eleme nem a bal felső sarokban, hanem az egész vonalon. A feladat az, hogy jelölje ki a transzformált vektorrendszer átlós részét.

~ ~

~ ~ ~ .

A megengedett vektorrendszer, amely egyenértékű az eredetivel, a formája

de 1 1 x 1 + de 2 1 x 2 + de 3 1 x 3 + de 4 1 x 4 + de 5 1 x 5 = 0 ,

ahol de 1 1 = , de 2 1 = , de 3 1 = , de 4 1 = , de 5 1 = . (1)

Vektorok de 1 1 , de 3 1 , de 4 1 átlós rendszert alkotnak. Ezért a vektorok de 1 , de 3 , de 4 alkotják a vektorrendszer alapját de 1 , de 2 , de 3 , de 4 , de 5 .

Most kibővítjük a vektorokat de 2 És de 5 alapon de 1 , de 3 , de 4. Ehhez először kibontjuk a megfelelő vektorokat de 2 1 És de 5 1 átlós rendszer de 1 1 , de 3 1 , de 4 1 , szem előtt tartva, hogy az átlós rendszerben a vektor bővülésének együtthatói annak koordinátái x i.

Az (1)-től a következőkkel rendelkezünk:

de 2 1 = de 3 1 (-1) + de 4 1 0 + de 1 1 1 de 2 1 = de 1 1 – de 3 1 .

de 5 1 = de 3 1 0 + de 4 1 1+ de 1 1 2 de 5 1 = 2de 1 1 + de 4 1 .

Vektorok de 2 És de 5 bővíteni alapon de 1 , de 3 , de 4 ugyanazokkal az együtthatókkal, mint a vektorok de 2 1 És de 5 1 átlós rendszer de 1 1 , de 3 1 , de 4 1 (azok az együtthatók x i). Következésképpen,

de 2 = de 1 – de 3 , de 5 = 2de 1 + de 4 .

Feladatok. egy.Keresse meg a vektorrendszer bázisát és a bázisban nem szereplő vektorokat, bontsa ki a bázis szerint:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Keresse meg egy vektorrendszer összes bázisát:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.