20. Egyensúlyi állapot térrendszer erők:

21. Tétel 3 nem párhuzamos erőről: Három, egymással nem párhuzamosan kiegyensúlyozott, azonos síkban fekvő erő hatásvonalai egy pontban metszik egymást.

22. Statisztikailag meghatározott feladatok olyan problémák, amelyek a merev teststatika módszereivel oldhatók meg, pl. olyan problémák, amelyekben az ismeretlenek száma nem haladja meg az erőegyensúlyi egyenletek számát.

Statikailag határozatlan - ezek olyan rendszerek, amelyekben az ismeretlen mennyiségek száma meghaladja a független egyensúlyi egyenletek számát egy adott erőrendszerre

23. Egyensúlyi egyenletek lapos rendszer párhuzamos erők:

AB nem párhuzamos F i-vel

24. Kúp és súrlódási szög: Leírja az aktív erők határhelyzetét, amelyek hatására az egyenlőség létrejöhet súrlódó kúp szöggel (φ).

Ha az aktív erő ezen a kúpon kívül halad, akkor az egyensúly lehetetlen.

A φ szöget súrlódási szögnek nevezzük.

25. Adja meg a súrlódási együtthatók méretét: a statikus súrlódási és csúszósúrlódási együttható dimenzió nélküli mennyiség, a gördülési súrlódási és a forgósúrlódási együttható hosszmérettel (mm, cm, m).m.

26. A lapos statikailag meghatározott gazdaságok számításánál alkalmazott főbb feltételezések:- a rácsos rudak súlytalannak minősülnek; - rudak rögzítése a gazdaság csomópontjaiban - csuklós; -külső terhelés csak a rácsos csomópontokban érvényesül; - a rúd kötés alatt van.

27. Milyen kapcsolat van egy statikailag meghatározott gazdaság rúdjai és csomópontjai között?

S=2n-3 – egyszerű statikusan meghatározott rácsos, S-rudak száma, n-számú csomópont,

ha S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если külső erők egyformán rokon lesz

S>2n-3 - statikailag határozatlan rácsos, extra csatlakozásokkal, + alakváltozás számítás

28. A statikailag meghatározott gazdaságnak meg kell felelnie a következő feltételnek: S=2n-3; S a rudak száma, n a csomópontok száma.

29. Csomóvágási módszer: Ez a módszer abból áll, hogy gondolatban kivágjuk a rácsos csomópontokat, megfelelő külső erőket és rúdreakciókat alkalmazunk rájuk, és egyenleteket állítunk össze az egyes csomópontokra ható erők egyensúlyára. Feltételesen feltételezzük, hogy az összes rúd meg van feszítve (a rudak reakciói a csomópontoktól elfelé irányulnak).

30. Ritter-módszer: Vágósíkot rajzolunk, 2 részre vágva a gazdaságot. A szakasznak a rácson kívül kell kezdődnie és végződnie. Bármely alkatrész választható az egyensúly tárgyául. A szakasz a rudakon halad át, nem a csomópontokon. Az egyensúlyi tárgyra ható erők alakulnak ki önkényes rendszer erők, amelyekre 3 egyensúlyi egyenlet állítható fel. Ezért a szakaszt úgy kell megrajzolni, hogy legfeljebb 3 rúd essen bele, amelyekben az erők ismeretlenek.

A Ritter-módszer sajátossága, hogy az egyenlet alakját úgy választják meg, hogy minden egyensúlyi egyenlet egy ismeretlen mennyiséget tartalmazzon. Ehhez meghatározzuk a Ritter-pontok helyzetét két ismeretlen erő hatásvonalának metszéspontjaként, és felírjuk a rel nyomatékok egyenleteit. ezeket a pontokat.

Ha a Ritter-pont a végtelenben van, akkor egyensúlyi egyenletként az ezekre a pálcákra merőleges tengelyre vetítések egyenleteit állítjuk össze.

31. Ritter pont- két ismeretlen erő hatásvonalának metszéspontja. Ha a Ritter-pont a végtelenben van, akkor egyensúlyi egyenletként az ezekre a pálcákra merőleges tengelyre vetítések egyenleteit állítjuk össze.

32. Háromdimenziós alakzat súlypontja:

33. Lapos alak súlypontja:

34. A rúdszerkezet súlypontja:

35. Az ív súlypontja:

36. A kör alakú szektor súlypontja:

37. A kúp súlypontja:

38. A félgömb súlypontja:

39. Negatív értékek módszere: Ha egy szilárd testnek üregei vannak, pl. üregeket, amelyekből kivonják a tömegüket, majd ezeket az üregeket gondolatban szilárd testté töltjük, és meghatározzuk az alak súlypontját, a „-” jellel véve az üregek súlyát, térfogatát, területét.

40. 1. invariáns: Az erőrendszer 1. invariánsát az erőrendszer fővektorának nevezzük. Az erőrendszer fővektora nem függ a redukciós középponttól R=∑ F i

41. 2. invariáns: A fővektor skaláris szorzata az erőrendszer fő momentumával bármely redukciós középpontra állandó érték.

42. Milyen esetben redukálódik az erőrendszer erőcsavarrá? Ha fő vektor Az erőrendszer és a redukciós középponthoz viszonyított főnyomatéka nem egyenlő nullával és nem merőlegesek egymásra, adott. az erőrendszer erőcsavarrá redukálható.

43. A központi csavar tengelyének egyenlete:

44. M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Egy erőpár nyomatéka mint vektor- ez a vektor merőleges a pár hatássíkjára, és arra az oldalra irányul, ahol a pár forgása az óramutató járásával ellentétes irányban látható. A vektormomentum modulusa egyenlő a pár egyik erőjének és a pár karjának szorzatával. Egy yavl pár vektormomentuma. szabad vektor, és a merev test bármely pontjára alkalmazható.

46. ​​A kötvénymentesség elve: Ha a kötéseket eldobják, akkor azokat a kötésből származó reakcióerőkkel kell helyettesíteni.

47. Kötél sokszög- ez a grafosztatika konstrukciója, amivel meghatározható az eredő sík erőrendszer hatásvonala a támaszok reakcióinak megtalálásához.

48. Mi a kapcsolat a kötél és a teljesítménysokszög között? Az ismeretlen erők grafikus megtalálásához az erőpoligonban egy további O pontot (pólus) használunk, a kötélsokszögben megtaláljuk az eredőt, amelyet az erőpoligonra mozgatva ismeretlen erőket találunk.

49. Az erőpárok rendszerei egyensúlyának feltétele: A rá ható erőpárok kiegyensúlyozására szilárd szükséges és elegendő, hogy az egyenértékű erőpárok nyomatéka nullával egyenlő legyen. Következmény: Egy erőpár kiegyenlítéséhez kiegyenlítő pár alkalmazása szükséges, pl. egy erőpár egy másik erőpárral kiegyenlíthető egyenlő modulokkal és ellentétes irányú nyomatékokkal.

Kinematika

1. Egy pont mozgásának megadásának minden módja:

természetes módon

koordináta

sugár-vektor.

2. Hogyan találjuk meg egy pont pályájának egyenletét, amikor koordináta módon mozgásának feladatait? Hogy megkapjuk a pálya mozgásának egyenletét anyagi pont, a koordináta beállítási módszerrel a t paramétert ki kell zárni a mozgástörvények közül.

3. Egy pont gyorsulása koordinátán. mozgás beállítási módszer:

x 2 pont felett

y felett 2 pont

4. Pontgyorsítás at vektor módon mozgási feladatok:

5. Pont gyorsítása természetes mozgásbeállítással:

= = * +v* ; a= + ; * ; v* .

6. Mi egyenlő és hogyan irányul normál gyorsulás - a sugár mentén a középpont felé irányítva,

Háromféle egyensúlyi egyenlet létezik egy sík erőrendszerre. Az első, fő forma közvetlenül az egyensúlyi feltételekből következik:

;

és így írták:

;
;
.

Két másik fajta egyensúlyi egyenlet is levezethető az egyensúlyi feltételekből:

;
;
,

hol a határ AB nem merőleges a tengelyre x;

;
;
.

pontokat A, B és C ne feküdj egy vonalon.

A lapos erőrendszerrel ellentétben egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyi feltételei két vektoregyenlőség:

.

Ha ezeket az összefüggéseket egy téglalap alakú koordinátarendszerre vetítjük, akkor megkapjuk az erők térbeli rendszerének egyensúlyi egyenleteit:

1. feladat Kompozit szerkezetű támaszok reakcióinak meghatározása (Kéttestes rendszer)

A kialakítás két törött rúdból áll ABCés CDE egy ponton csatlakozik C rögzített hengeres csuklópánt és rögzített síkhoz rögzítve xOy vagy rögzített hengeres zsanérok segítségével (НШ ), vagy mozgatható hengeres csuklópánt (PSh) és merev tömítés (ZhZ). A mozgatható hengeres csuklópánt gördülési síkja  szög  tengellyel Ökör. Pont koordinátái A,B,C,D és E, valamint a szerkezet rögzítésének módját a táblázat tartalmazza. 1. A szerkezetet egyenletesen elosztott intenzitású terhelés terheli q, alkalmazásának helyére merőlegesen, egy nyomatékos erőpárral Més két koncentrált erő és . Az egyenletes eloszlású terhelést úgy fejtjük ki, hogy annak eredője hajlamos a szerkezetet a pont körül forgatni Oóramutató járásával ellentétes irányban. Alkalmazási helyek qés M, valamint az alkalmazási pontokat és , moduljaikat és irányukat a táblázat tartalmazza. 2. A beállított értékek mértékegységei: q– kilonewton méterenként (kN/m); M- kilonewtonméter (kNm); és – kilonewton (kN),  fokban, a pontok koordinátái méterben vannak megadva. A ,ésszögeket a tengely pozitív irányától félre kell tenni Ökör az óramutató járásával ellentétes irányba, ha pozitív, és az óramutató járásával megegyező irányba, ha negatív.

Határozza meg a szerkezet külső és belső kapcsolatainak reakcióit!

Útmutató a feladat elvégzéséhez

A koordinátasíkon xOy feladatváltozat feltételének megfelelően (1. táblázat) pontok kialakítása szükséges A,IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT,D,E; törött rudakat húzni ABC,CDE; jelölje meg e testek egymáshoz és egy rögzített síkhoz való rögzítésének módjait xOy. Ezután vegye ki az adatokat a táblázatból. 2, terhelje meg a szerkezetet két koncentrált erővel és , egyenletes eloszlású terhelési intenzitás qés egy erőpár algebrai nyomatékkal M. Mivel a feladat egy összetett test egyensúlyát vizsgálja, ezért egy másik rajzot kell készíteni, amelyen a testeket külön-külön ábrázolja ABCés CDE. Külső (pont A,E) és belső (pont Val vel) mindkét ábrán a kötéseket a megfelelő reakciókkal, az egyenletesen eloszló terhelést pedig az eredővel kell helyettesíteni.
(l a teherhordó szakasz hossza) a terhelés felé irányítva és a szakasz közepére alkalmazva. Mivel a vizsgált szerkezet két testből áll, a kötések reakcióinak megtalálásához hat egyensúlyi egyenlet felállítása szükséges. Három lehetőség kínálkozik a probléma megoldására:

a) alkoss három egyensúlyi egyenletet egy összetett testre és hármat egy testre ABC;

b) alkoss három egyensúlyi egyenletet egy összetett testre és hármat egy testre CDE;

c) alkoss három egyensúlyi egyenletet testekre ABCés CDE.

Példa

Adott:A (0;0,2);NÁL NÉL (0,3:0,2);Val vel (0,3:0,3);D (0,7:0,4);E (0,7:0);
kN/m,
kN, β = -45˚, és
kN, γ = -60˚,
kNm.

Határozza meg a szerkezet külső és belső kapcsolatainak reakciói.

Döntés. Osszuk fel a szerkezetet (7. ábra, a) azon a ponton Val vel alkotórészekre ABCés CDE(7. ábra, b,ban ben). Cseréljük ki a zsanérokat Aés B megfelelő reakciókat, amelyek összetevőit az ábrán mutatjuk be. 7. A ponton Cábrázolja az alkatrészeket
- a szerkezet részei közötti kölcsönhatási erők, ill .

Asztal 1

Munkalehetőségek 1

A

Szerelési mód tervez

x A

y A

x B

y B

x C

y C

x D

y D

x E

y E

t. E

2. táblázat

Adatok az 1. feladathoz

	Kényszerítés			Kényszerítés			Pillanat M
		Jelentése		Jelentése			Jelentése			Jelentése

Egyenletesen eloszló terhelési intenzitás q cserélje ki az eredményt , kN:

Vektor pozitív tengelyirányú formák yφ szög, amelyet a pontok koordinátáiból könnyű megtalálni C és D (lásd a 7. ábrát, a):

A feladat megoldásához az első típusú egyensúlyi egyenleteket használjuk, külön írva azokat a szerkezet bal és jobb oldali részére. A pillanategyenletek összeállításakor pillanatpontnak a pontokat választjuk A- balra és E– a szerkezet megfelelő részeihez, ami lehetővé teszi, hogy ezt a két egyenletet együtt megoldjuk és meghatározzuk az ismeretleneket
és .

Egyensúlyi egyenletek testre ABC:

Képzeld el az erőt az összetevők összegeként:
, ahol. Ezután a test egyensúlyi egyenletei CDE formába írható

.

Oldjuk meg közösen a pillanategyenleteket, miután behelyettesítettük az ismert értékeket.

Tekintettel arra, hogy a cselekvés és a reakció erők egyenlőségére vonatkozó axióma szerint
, a kapott rendszerből azt kapjuk, hogy kN:

Majd a testek fennmaradó egyensúlyi egyenleteiből ABC és CDE könnyű meghatározni a belső és külső kötések reakcióit, kN:

A számítások eredményeit táblázatban mutatjuk be:

Egy tetszőleges térbeli erőrendszer, akár egy lapos, valamilyen középpontba hozható Oés helyettesítsd egy eredő erővel és egy nyomatékpárral. Úgy érvelve, hogy ennek az erőrendszernek az egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy ugyanakkor R= 0 és M o = 0. De a és vektorok csak akkor tűnhetnek el, ha minden vetületük a koordinátatengelyekre egyenlő nullával, azaz amikor R x= R y= R z = 0 és M x= M y= M z = 0 vagy amikor a ható erők kielégítik a feltételeket

Σ X i = 0; Σ Mx(Pi) = 0;

Σ Y i = 0; Σ Az én(Pi) = 0;

Σ Zi = 0; Σ Mz(Pi) = 0.

Tehát egy térbeli erőrendszer egyensúlyához szükséges és elégséges, hogy a rendszer minden egyes koordinátatengelyére kifejtett összes erő vetületeinek összege, valamint az összes erő nyomatékainak összege a rendszer ezekhez a tengelyekhez képest nullával egyenlő.

A konvergáló vagy párhuzamos erők rendszerének bizonyos esetekben ezek az egyenletek lineárisan függőek, és a hat egyenlet közül csak három lesz lineárisan független.

Például egy erőrendszer egyensúlyi egyenletei, párhuzamos tengely Oz, a következő űrlappal rendelkezik:

Σ Zi = 0;

Σ Mx(Pi) = 0;

Σ Az én(Pi) = 0.

Egy test egyensúlyának problémái térbeli erőrendszer hatására.

A szakasz problémáinak megoldásának elve ugyanaz marad, mint egy sík erőrendszer esetében. Miután megállapították az egyensúlyt, hogy melyik testet veszik figyelembe, reakcióikkal helyettesítik a testre támasztott kötéseket, és megteremtik a feltételeket e test egyensúlyához, szabadnak tekintve. A szükséges mennyiségeket a kapott egyenletekből határozzuk meg.

Az egyszerűbb egyenletrendszerek megszerzéséhez ajánlatos a tengelyeket úgy megrajzolni, hogy azok több ismeretlen erőt metszenek, vagy merőlegesek legyenek rájuk (kivéve, ha ez szükségtelenül megnehezíti más erők vetületeinek és nyomatékainak kiszámítását).

Az egyenletek megfogalmazásának új eleme a koordinátatengelyekre ható erőnyomatékok kiszámítása.

Azokban az esetekben, amikor az általános rajzból nehezen látható, hogy egy adott erő nyomatéka mekkora egy tengelyhez képest, javasolt a segédrajzon ábrázolni a kérdéses test vetületét (az erővel együtt) egy síkra. merőleges erre a tengelyre.

Azokban az esetekben, amikor a nyomaték kiszámításakor nehézségekbe ütközik az erő vetületének meghatározása a megfelelő síkra vagy ennek a vetületnek a vállaira, ajánlott az erőt két egymásra merőleges összetevőre bontani (amelyek közül az egyik párhuzamos bármely koordinátatengely), majd használja a Varignon-tételt.

5. példa Keret AB(45. ábra) egy zsanér tartja egyensúlyban DEés rúd nap. A keret szélén egy tehermérleg található R. Határozzuk meg a csuklóreakciókat és az erőt a rúdban.

45. ábra

A keret egyensúlyát a terheléssel együtt vesszük figyelembe.

Számítási sémát készítünk, keretet ábrázolva szabad testés bemutatva a rá ható összes erőt: a kötések reakcióit és a terhelés súlyát R. Ezek az erők a síkon tetszőlegesen elhelyezkedő erőrendszert alkotnak.

Kívánatos az ilyen egyenleteket úgy összeállítani, hogy mindegyiknek egy ismeretlen ereje legyen.

A mi problémánkban ez a lényeg DE, ahol az ismeretlenek és ; pont Val vel, ahol az ismeretlen erők hatásvonalai metszik egymást és ; pont D- az erők hatásvonalainak metszéspontja és . Készítsük el az erők tengelyre vetületeinek egyenletét nál nél(tengelyenként x lehetetlen megtervezni, mert merőleges az egyenesre AC).

És mielőtt egyenleteket írnánk, teszünk még egy hasznos megjegyzést. Ha olyan erő van a tervezési sémán, amely úgy helyezkedik el, hogy a válla nem könnyű, akkor a pillanat meghatározásakor ajánlatos először ennek az erőnek a vektorát két részre bontani, kényelmesebben irányítva. Ebben a feladatban az erőt két részre bontjuk: és (37. ábra) úgy, hogy azok moduljai

Egyenleteket készítünk:

A második egyenletből azt találjuk

A harmadiktól

És az elsőtől

Szóval hogyan is alakult S<0, то стержень nap tömörítve lesz.

6. példa Téglalap alakú polc súlya R két rúd tartja vízszintes helyzetben CEés CD egy ponton a falhoz rögzítve E. Azonos hosszúságú rudak, AB=2 a,EO= a. Határozza meg a pálcákban lévő erőket és a hurkok reakcióit! DEés NÁL NÉL.

46. ​​ábra

Figyelembe vesszük a lemez egyensúlyát. Számítási sémát építünk (46. ábra). A hurkok reakcióit általában két, a hurok tengelyére merőleges erő mutatja: .

Az erők a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erőrendszert alkotnak. 6 egyenletet készíthetünk. Ismeretlen – szintén hat.

Milyen egyenleteket készítsen - gondolkodnia kell. Kívánatos, hogy egyszerűbbek legyenek, és kevesebb ismeretlent tartalmazzanak.

Készítsük el a következő egyenleteket:

Az (1) egyenletből kapjuk: S 1 =S 2 . Majd a (4)-től: .

A (3)-ból: Y A =Y B és az (5) szerint. Tehát a (6) egyenletből, mert S 1 =S 2 Z A =Z B után következik. Ekkor (2) Z A =Z B =P/4.

A háromszögből , ahol , következik ,

Ezért Y A \u003d Y B \u003d 0,25P, Z A = Z B 0,25P.

A megoldás ellenőrzéséhez összeállíthat egy másik egyenletet, és megnézheti, hogy az elégedett-e a reakciók talált értékeivel:

Probléma helyesen megoldva.

Kérdések önvizsgálathoz

Milyen szerkezetet nevezünk farmnak?

Sorolja fel a gazdaság fő összetevőit!

Melyik rácsos rudat nevezzük nullának?

Fogalmazzuk meg a rácsos zéró forgáspontját meghatározó lemmákat!

Mi a lényege a csomópontok vágási módszerének?

Milyen megfontolások alapján, számítások nélkül lehet meghatározni a térbeli rácsostartók rúdjait, amelyekben adott terhelés mellett az erők nullával egyenlőek?

Mi a Ritter-módszer lényege?

Mi a kapcsolat a normál felületi reakció és a normál nyomáserő között?

Mi a súrlódási erő?

Írd le az Amonton-Coulomb törvényt.

Fogalmazd meg a súrlódás alaptörvényét! Mekkora a súrlódási tényező, a súrlódási szög és mitől függ ezek értéke?

A gerenda egyensúlyban van, egy sima függőleges falon és egy durva vízszintes padlón nyugszik; a sugár súlypontja a közepén van. Meghatározható-e a padló teljes reakciójának iránya?

Mekkora a csúszósúrlódási együttható mérete.

Mekkora a csúszósúrlódás végső ereje.

Mi jellemzi a súrlódási kúpot?

Nevezze meg a gördülési súrlódási nyomaték okát!

Mekkora a gördülési súrlódási együttható mérete?

Mondjon példákat olyan eszközökre, amelyekben forgósúrlódás lép fel!

Mi a különbség a kohéziós erő és a súrlódási erő között?

Mi az a tengelykapcsoló kúp?

Milyen reakcióirányai lehetnek egy érdes felületnek?

Mekkora az egyensúlyi terület, és mik a feltételei a két érdes felületen nyugvó rúdra ható erők egyensúlyának?

Mekkora az erőnyomaték egy pontra vonatkoztatva? Mi ennek a mennyiségnek a mérete?

Hogyan számítsuk ki az erőnyomaték modulusát egy ponthoz képest?

Fogalmazzon meg egy tételt a konvergáló erők eredő rendszerének nyomatékáról!

Mekkora az erőnyomatéka egy tengelyre?

Írjon fel egy képletet, amely összefüggésbe hozza egy pontra ható erőnyomatékot az ezen a ponton áthaladó tengelyre gyakorolt ​​​​nyomatékkal.

Hogyan határozható meg a tengely körüli erőnyomatéka?

Miért szükséges egy tengely körüli erőnyomaték meghatározásakor az erőt a tengelyre merőleges síkra vetíteni?

Hogyan kell a tengelyt elhelyezni, hogy egy adott erő nyomatéka a tengely körül nullával egyenlő legyen?

Adjon képleteket a koordinátatengelyekre vonatkozó erőnyomatékok kiszámításához!

Hogyan irányul az erőnyomaték vektora a ponthoz képest?

Hogyan viszonyul az erőnyomaték egy síkban meghatározott ponthoz?

Milyen terület határozhatja meg egy adott pontra vonatkozó erőnyomaték számértékét?

Változik-e az erőnyomaték egy adott pont körül, amikor az erőt a hatásvonala mentén visszük át?

Mikor egyenlő egy adott pontra vonatkozó erőnyomaték nullával?

Határozza meg azon pontok helyét a térben, amelyekre egy adott erő nyomatékai:

a) geometriailag egyenlő;

b) abszolút értékben egyenlők.

Hogyan határozható meg a tengelyhez viszonyított erőnyomaték számértéke és előjele?

Milyen feltételek mellett egyenlő a tengely körüli erőnyomaték nullával?

Egy adott pontra kifejtett erő melyik irányban a legnagyobb egy adott tengely körüli nyomatéka?

Milyen kapcsolat van egy pontra ható erőnyomaték és az ezen a ponton áthaladó tengelyre gyakorolt ​​azonos erő nyomatéka között?

Milyen feltételek mellett egyenlő egy pontra vonatkozó erőnyomaték modulusa az ezen a ponton áthaladó tengely körüli erő nyomatékával?

Melyek a koordinátatengelyekre vonatkozó erőnyomatékok analitikai kifejezései?

Melyek a térben tetszőlegesen elhelyezkedő erőrendszer főmomentumai egy ponthoz képest és egy ezen a ponton áthaladó tengelyhez képest? Milyen a kapcsolat közöttük?

Mi a fő momentuma egy síkban fekvő erőrendszernek a sík bármely pontjához képest?

Mi a párat alkotó erők fő momentuma a tér bármely pontjához viszonyítva?

Mit nevezünk az erőrendszer főmomentumának egy adott pólushoz képest?

Hogyan fogalmazódik meg a párhuzamos erőátvitel lemma?

Fogalmazzon meg egy tételt egy tetszőleges erőrendszer fővektorra és főnyomatékra való redukciójáról!

Írja fel a főnyomaték koordinátatengelyekre történő vetületeinek kiszámításához szükséges képleteket!

Adja meg egy tetszőleges erőrendszer egyensúlyi feltételeinek vektorrekordját!

Írja fel egy tetszőleges erőrendszer egyensúlyi feltételeit téglalap alakú koordinátatengelyekre vetített vetületekben!

Hány független skaláris egyensúlyi egyenlet írható fel párhuzamos erők térbeli rendszerére?

Írja fel egy tetszőleges síkbeli erőrendszer egyensúlyi egyenleteit!

Milyen feltételek mellett egyensúlyoz ki három nem párhuzamos erő egy merev testre?

Mi az egyensúlyi feltétele a merev testre ható három párhuzamos erőnek?

Milyen esetei vannak a tetszőlegesen elhelyezkedő és párhuzamos erők csökkentésének a térben?

Milyen legegyszerűbb formára redukálható az erőrendszer, ha tudjuk, hogy ezeknek az erőknek a fő momentuma a tér különböző pontjaihoz képest:

a) ugyanaz az értéke, amely nem egyenlő nullával;

b) egyenlő nullával;

c) különböző értékekkel rendelkezik, és merőleges a fő vektorra;

d) különböző értékekkel rendelkezik, és nem merőleges a fő vektorra.

Melyek a feltételek és egyenletek egy konvergáló, párhuzamos és tetszőlegesen elhelyezkedő erők térbeli rendszerének egyensúlyára, és miben térnek el a síkon azonos típusú erők egyensúlyának feltételeitől és egyenleteitől?

Milyen egyenletek és hányat készíthetünk belőlük konvergáló erők kiegyensúlyozott térrendszerére?

Írja fel a térbeli erőrendszer egyensúlyi egyenletrendszerét?

Melyek a geometriai és analitikai feltételek ahhoz, hogy a térbeli erőrendszert az eredőre hozzuk?

Fogalmazzon meg egy tételt az eredő térbeli erőrendszer egy pontra és egy tengelyre vonatkozó nyomatékára!

Írd fel az eredő hatásvonalának egyenleteit!

Melyik térbeli egyenest nevezzük az erőrendszer központi tengelyének?

Vezesd le az erőrendszer központi tengelyének egyenleteit?

Mutassuk meg, hogy két keresztező erő egy erőcsavarra redukálható.

Milyen képlettel lehet kiszámítani egy adott erőrendszer legkisebb főnyomatékát?

Írja fel a konvergáló erők térrendszerének fővektorának kiszámítására szolgáló képleteket?

Írja fel tetszőlegesen elhelyezkedő erők térbeli rendszerének fővektorának kiszámítására szolgáló képleteket?

Írja le a térbeli erőrendszer főmomentumának kiszámításának képletét?

Milyen mértékben függ a térbeli erőrendszer főmomentuma a redukciós középpont távolságától ennek az erőrendszernek a központi tengelyétől?

A tér mely pontjaihoz képest egy adott erőrendszer főmomentumai azonos modulusúak, és azonos szöget zárnak be a fővektorral?

A tér mely pontjai tekintetében egyenlőek egymással geometriailag az erőrendszer főmomentumai?

Melyek az erőrendszer invariánsai?

Milyen feltételeknek tesznek eleget az egy és két fixpontú, nyugalmi merev testre ható erők?

Létezik-e olyan sík egyensúlyi erőrendszer, amelyre három, ugyanazon az egyenesen elhelyezkedő pont nyomatékainak algebrai összege nullával egyenlő?

Legyen sík erőrendszer esetén a két pont körüli nyomatékösszege nullával egyenlő. Milyen további feltételek mellett lesz egyensúlyban a rendszer?

Fogalmazzuk meg a párhuzamos erők síkrendszerének egyensúlyi állapotához szükséges és elégséges feltételeket!

Mi az a pillanatpont?

Milyen egyenletek (és hány) készíthetők kiegyensúlyozott tetszőleges síkbeli erőrendszerre?

Milyen egyenletek és hányat készíthetünk belőlük párhuzamos erők kiegyensúlyozott térrendszerére?

Milyen egyenletek és hány közülük készíthetők kiegyensúlyozott tetszőleges térbeli erőrendszerre?

Hogyan fogalmazódik meg a terv az erőegyensúly statikai problémáinak megoldására?

VISSZATÉRÉS Egy pont (test) összetett mozgása- olyan mozgás, amelyben egy pont (test) egyidejűleg több mozgásban is részt vesz (például egy mozgó autó mentén haladó utas). Ebben az esetben egy mozgó koordináta-rendszert (Oxyz) vezetünk be, amely a fix (fő) koordinátarendszerhez (O 1 x 1 y 1 z 1) képest egy adott mozgást hajt végre. Abszolút mozgás pontok megnevezése mozgás egy rögzített koordináta-rendszerhez képest. Relatív mozgás– mozgás a mozgó koordinátarendszerhez képest. (mozgás az autón). hordozható mozgás- a mobil rendszer mozgása. koordináták a rögzítetthez viszonyítva (autó mozgása). Sebességösszeadás tétel: , ; -orts (egységvektorok) a mozgó koordinátarendszerben, az ort a pillanatnyi tengely körül forog, így a végének sebessége stb., Þ: , ; - relatív sebesség. ; hordozható sebesség: , ezért egy pont abszolút sebessége = figuratív (v e) és relatív (v r) sebességének geometriai összege , modul: . :
stb. A gyorsulást meghatározó kifejezés feltételei: 1) - az O pólus gyorsulása; 2) 3) a pont relatív gyorsulása; 4) , a következőt kapjuk: . Az első három tag egy pont gyorsulását jelenti egy hordozható mozgásban: - az O pólus gyorsulása; - forgási sebesség, - agilis acc., azaz. . Gyorsulási összeadás tétel (Coriolis-tétel): , ahol - Coriolis-gyorsulás (Coriolis-gyorsulás) - nem transzlációs transzlációs mozgás esetén abszolút gyorsulás = a transzlációs, relatív és Coriolis-gyorsulások geometriai összege. A Coriolis-gyorsulás a következőket jellemzi: 1) egy pont hordozható sebességének moduljában és irányában bekövetkező változás a relatív mozgás következtében; 2) a pont relatív sebességének irányváltozása a forgó transzlációs mozgás következtében. Coriolis gyorsulási modulusa: a c = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r), a vektor irányát a vektorszorzat szabálya határozza meg, vagy a Zsukovszkij-szabály: a relatív sebesség vetülete egy, a relatív sebességre merőleges síkra. transzlációs szögsebességet 90 o-kal kell elforgatni a forgásirányban. Coriolis = 0 három esetben: 1) w e =0, azaz. transzlációs hordozható mozgás esetén vagy a szög keringésének pillanatában. sebesség 0-ra; 2) vr=0; 3) sin(w e ^ v r)=0, azaz. Ð(w e ^ v r)=0, ha a v r relatív sebesség párhuzamos a transzlációs forgástengellyel. Egy síkban történő mozgás esetén a v r és a vektor w e \u003d 90 o, sin90 o \u003d 1 és c \u003d 2 × w e × v r vektor közötti szög. Merev test összetett mozgása Két transzlációs mozgás összeadásakor az így létrejövő mozgás is transzlációs, és az így létrejövő mozgás sebessége megegyezik az alkotóelemek mozgásainak sebességének összegével. A TV forgásának hozzáadása. egymást metsző tengelyek körüli testek. Azt a forgástengelyt, amelynek térbeli helyzete idővel változik, ún. a test pillanatnyi forgástengelye. A szögsebesség-vektor egy csúszóvektor, amely a pillanatnyi forgástengely mentén irányul. A test abszolút szögsebessége = az alkotó forgások sebességének geometriai összege - a szögsebességek paralelogrammájának szabálya. . Ha a test egyszerre több, egy pontban metsző tengely körüli pillanatnyi forgásban vesz részt, akkor . Egy merev test gömbmozgásával, amelynek egyik pontja a teljes mozgás alatt mozdulatlan marad, a gömbmozgás egyenletei vannak: Y=f 1 (t); q = f 2 (t); j = f 3 (t). Y a precessziós szög, q a nutációs szög, j a megfelelő elforgatás szöge - Euler-szögek. A precesszió szögsebessége, ív. nutációs ráta, ív. sk. saját forgatás. , a test pillanatnyi tengely körüli szögsebességének modulusa. Rögzített koordinátatengelyekre vetítéseken keresztül: - Euler-kinematikai egyenletek. Forgatások hozzáadása 2 párhuzamos tengely körül. 1) A forgások egy irányba vannak irányítva. w \u003d w 2 + w 1, С a sebességek pillanatnyi középpontja, és a pillanatnyi forgástengely átmegy rajta, , . 2) A forgások különböző irányokba irányulnak. , w=w 2 -w 1 C - inst. központ és inst. forgástengely, . A ||-edik tengely körüli forgás során a szögsebesség-vektorok ugyanúgy összeadódnak, mint a párhuzamos erők vektorai. 3) Pörgetés pár– a ||-edik tengely körüli forgások különböző irányokba irányulnak, és a szögsebességek abszolút értékben megegyeznek (a szögsebességek párja). Ebben az esetben v A \u003d v B, a test eredő mozgása transzlációs (vagy pillanatnyi transzlációs) mozgás v \u003d w 1 × AB sebességgel - egy szögsebesség-pár nyomatéka (a test transzlációs mozgása). kerékpárpedál a vázhoz képest). Azonnali a sebesség középpontja a végtelenben van. Transzlációs és forgó mozgások hozzáadása. 1) A transzlációs mozgás sebessége ^ a forgástengelyhez képest - sík-párhuzamos mozgás - pillanatnyi forgás a Pp tengely körül w \u003d w " szögsebességgel. 2) csavarmozgás– a test mozgása az Aa tengely körüli szögsebességű forgó mozgásból áll. w és transzlációs sebesség v||Aa. Az Aa tengely a csavar tengelye. Ha v és w egy irányú, akkor a csavar jobb, ha különböző, akkor bal. A csavar tengelyén fekvő test bármely pontja által egy fordulat alatt megtett út, ún. csavaremelkedés - h. Ha v és w konstans, akkor h = = const, állandó menetemelkedés mellett bármely (×) M, amely nem fekszik a csavar tengelyén, csavarvonalat ír le. érintőlegesen a hélix felé irányítva. 3) A transzlációs mozgás sebessége tetszőleges szöget zár be a forgástengellyel, ebben az esetben a mozgás pillanatnyi spirális mozgások sorozatának összegeként fogható fel, folyamatosan változó spirális tengelyek körül - egy pillanatnyi spirális mozgás.

Az egyensúlyi problémák tetszőleges térbeli erőrendszerrel történő megoldásának módszereit vizsgáljuk. Példa a rudakkal alátámasztott lemez háromdimenziós térbeli egyensúlyi problémájának megoldására. Bemutatjuk, hogy az egyensúlyi egyenletek összeállításánál a tengelyek megválasztása révén hogyan lehetséges a feladat megoldása egyszerűsíteni.

Tartalom

Az egyensúlyi feladatok megoldásának eljárása tetszőleges térbeli erőrendszerrel

A merev test egyensúlyi problémájának megoldásához tetszőleges térbeli erőrendszerrel ki kell választani egy derékszögű koordináta-rendszert, és ehhez viszonyítva meg kell alkotni az egyensúlyi egyenleteket.

Egy tetszőleges, háromdimenziós térben elosztott erőrendszer egyensúlyi egyenlete két vektoregyenlet:
a testre ható erők vektorösszege nulla
(1) ;
az erőnyomatékok vektorösszege az origóhoz viszonyítva nullával egyenlő
(2) .

Legyen Oxyz a választott koordinátarendszerünk. Az (1) és (2) egyenletet a rendszer tengelyére vetítve hat egyenletet kapunk:
az xyz tengelyre vetített erők összege nullával egyenlő
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
a koordinátatengelyekre ható erőnyomatékok összege nulla
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Itt figyelembe vesszük, hogy n erő hat a testre, beleértve a támaszok reakcióerejét is.

Legyen tetszőleges erő komponensekkel egy pontban kifejtve a testre. Ezután ennek az erőnek a koordinátatengelyekhez viszonyított momentumait a következő képletek határozzák meg:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Így a probléma megoldásának eljárása egy tetszőleges térbeli erőrendszerrel való egyensúly eléréséhez a következő.

1. A támasztékokat eldobjuk, és reakcióerőkkel helyettesítjük. Ha a támasz egy rúd vagy menet, akkor a reakcióerőt a rúd vagy a menet mentén irányítják.
2. Egy téglalap alakú Oxyz koordinátarendszert választunk.
3. Megtaláljuk az erővektorok vetületeit a koordináta tengelyekre, és azok alkalmazási pontjait, . Az erő alkalmazási pontja az erővektoron keresztül húzott egyenes mentén mozgatható. Egy ilyen elmozdulástól a pillanatok értékei nem változnak. Ezért az erők alkalmazásának kiszámításához a legkényelmesebb pontokat választjuk.
4. Összeállítunk három egyensúlyi egyenletet az erőkre (1.x,y,z).
5. Minden erőre a (3.x,y,z) képletek szerint megtaláljuk az erőnyomatékok vetületeit a koordinátatengelyekre.
6. Három egyensúlyi egyenletet állítunk össze az erőnyomatékokra (2.x, y, z).
7. Ha a változók száma nagyobb, mint az egyenletek száma, akkor a probléma statikusan határozatlan. Statikus módszerekkel nem lehet megoldani. Az anyagok ellenállásának módszereit kell alkalmazni.
8. Megoldjuk a kapott egyenleteket.

A számítások egyszerűsítése

Egyes esetekben lehetőség van a számítások egyszerűsítésére, ha a (2) egyenlet helyett egy ekvivalens egyensúlyi feltételt használunk.
Az AA′ tetszőleges tengely körüli erőnyomatékok összege nulla:
(4) .

Vagyis több további tengelyt is kiválaszthat, amelyek nem esnek egybe a koordinátatengelyekkel. És ezekre a tengelyekre vonatkozóan készítsünk (4) egyenleteket.

Példa egy tetszőleges térbeli erőrendszer egyensúlyi problémájának megoldására

A lemez egyensúlyát a háromdimenziós térben rudak rendszere tartja fenn.

Keresse meg a vékony, egyenletes vízszintes lapot tartó rudak reakcióit három dimenzióban! A rúd rögzítési rendszere az ábrán látható. A lemezre hatással van: gravitáció G; és az A pontban kifejtett P erő, amely az AB oldal mentén irányul.

Adott:
G= 28 kN; P= 35 kN; a = 7,5 m; b= 6,0 m; c= 3,5 m.

A probléma megoldása

Először ezt a problémát egy tetszőleges térbeli erőrendszerre alkalmazható szabványos módon oldjuk meg. És akkor az egyensúlyi egyenletek összeállításánál a tengelyválasztás miatt egy egyszerűbb megoldást kapunk, a rendszer sajátos geometriája alapján.

A probléma megoldása szabványos módon

Bár ez a módszer meglehetősen nehézkes számításokhoz vezet, tetszőleges térbeli erőrendszerre alkalmazható, és számítógépes számításokban is használható.

Dobjuk el a kötéseket, és cseréljük ki reakcióerőkre. A csatlakozások itt az 1-6 rudak. Helyette a rudak mentén irányított erőket vezetünk be. Az erők irányát véletlenszerűen választjuk meg. Ha nem tippelünk semmilyen erő irányával, akkor negatív értéket kapunk rá.

Rajzolj egy Oxyz koordinátarendszert, amelynek origója az O pontban van.

Megtaláljuk az erők vetületeit a koordináta tengelyekre.

Erősségünk érdekében:
.
Itt α 1 - LQ és BQ közötti szög. Az LQB derékszögű háromszögből:
m;
;
.

A , és a z tengellyel párhuzamos erők. Összetevőik:
;
;
.

Erősség kedvéért a következőket találjuk:
.
Itt α 3 - QT és DT közötti szög. A QTD derékszögű háromszögből:
m;
;
.

Az erősség kedvéért:
.
Itt α 5 - LO és LA közötti szög. A LOA derékszögű háromszögből:
m;
;
.

Az erő egy téglalap alakú paralelepipedon átlója mentén irányul. Ennek a következő vetületei vannak a koordinátatengelyeken:
.
Íme az AQ átlós irány koszinuszai:
m;
;
;
.

Kiválasztjuk az erők alkalmazási pontjait. Használjuk ki, hogy az erővektorokon keresztül húzott egyenesek mentén mozgathatók. Tehát az erő alkalmazási pontjaként a TD egyenes bármely pontját felveheti. Vegyünk egy T pontot, mert ennek x és z koordinátái egyenlők nullával:
.
Hasonló módon kiválasztjuk a fennmaradó erők alkalmazási pontjait.

Ennek eredményeként az erőkomponensek és alkalmazási pontjainak következő értékeit kapjuk:
; (B pont);
; (Q pont);
; (T pont);
; (O pont);
; (A pont);
; (A pont);
; (A pont);
; (K pont).

Összeállítjuk az erők egyensúlyi egyenleteit. A koordinátatengelyekre vetített erők összege nulla.

;

;

.

Megtaláljuk az erőnyomatékok vetületeit a koordinátatengelyeken.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Összeállítjuk az erőnyomatékok egyensúlyi egyenleteit. A koordinátatengelyekre ható erőnyomatékok összege nulla.


;


;


;

Tehát a következő egyenletrendszert kaptuk:
(P1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(P4) ;
(P5) ;
(L6) .

Ennek a rendszernek hat egyenlete és hat ismeretlenje van. Továbbá itt helyettesítheti a számértékeket, és megkaphatja a rendszer megoldását egy matematikai program segítségével lineáris egyenletrendszer kiszámításához.

Erre a problémára azonban számítástechnika nélkül is kaphat megoldást.

A probléma megoldásának hatékony módja

Kihasználjuk azt a tényt, hogy az egyensúlyi egyenletek többféleképpen is felírhatók. Tetszőlegesen kiválaszthatja a koordinátarendszert és a tengelyeket, amelyekhez képest a nyomatékokat számítja. Néha a tengelyek megválasztása miatt egyszerűbben megoldható egyenleteket kaphatunk.

Használjuk ki azt a tényt, hogy egyensúlyban bármely tengely körüli erőnyomatékok összege nulla. Vegyük az AD tengelyt. A tengely körüli erőnyomatékok összege nulla:
(P7) .
Továbbá vegye figyelembe, hogy az összes erő, kivéve ezt a tengelyt. Ezért pillanataik nullával egyenlőek. Csak egy erő nem keresztezi az AD tengelyt. Szintén nem párhuzamos ezzel a tengellyel. Ezért, hogy az (A7) egyenlet érvényes legyen, az N erőt 1 nullának kell lennie:
N 1 = 0 .

Most vegyük az AQ tengelyt. A hozzá viszonyított erőnyomatékok összege egyenlő nullával:
(P8) .
Ezt a tengelyt minden erő keresztezi, kivéve. Mivel az erő nem párhuzamos ezzel a tengellyel, az (A8) egyenlet teljesüléséhez szükséges, hogy
N 3 = 0 .

Most vegyük az AB tengelyt. A hozzá viszonyított erőnyomatékok összege egyenlő nullával:
(P9) .
Ezt a tengelyt minden erő keresztezi, kivéve, és . De N 3 = 0 . Így
.
A tengely körüli erőből származó nyomaték egyenlő az erő karjának és az erő tengelyre merőleges síkra való vetületének szorzatával. A váll egyenlő a tengely és az erővektoron keresztül húzott egyenes közötti minimális távolsággal. Ha a csavar pozitív irányú, akkor a nyomaték pozitív. Ha negatív, akkor negatív. Azután
.
Innen
kN.

A fennmaradó erőket a (P1), (P2) és (P3) egyenletekből találhatjuk meg. A (P2) egyenletből:
N 6 = 0 .
A (P1) és (P3) egyenletekből:
kN;
kN

Így a feladat második megoldásához a következő egyensúlyi egyenleteket használtuk:
;
;
;
;
;
.
Ennek eredményeként elkerültük a nehézkes számításokat a koordinátatengelyekhez viszonyított erőnyomatékok kiszámításával kapcsolatban, és egy átlós együtthatómátrixú lineáris egyenletrendszert kaptunk, amelyet azonnal megoldottunk.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kN; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kN; N 5 = 38,6 kN; N 6 = 0 ;

A mínusz jel azt jelzi, hogy az N erő 4 az ábrán láthatóval ellentétes irányba irányítva.