Lineáris függőségés a vektorok lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

Csokoládés kocsi áll a közönség soraiban, és ma minden látogató kap egy édes párost - analitikus geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk egyszerre két részre terjed ki. felsőbb matematika, és meglátjuk, hogyan boldogulnak egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél Twixet! ... a fenébe is, vitatkozás hülyeség. Bár oké, nem pontozok, de a végén pozitív hozzáállás kellene a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, vektorok lineáris függetlensége, vektor alaponés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a "vektor" fogalma a lineáris algebra szempontjából messze nem mindig az a "hétköznapi" vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem Gismeteóba: - hőmérséklet és Légköri nyomás illetőleg. A példa természetesen hibás a tulajdonságokat tekintve vektor tér, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az, hogy megért definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra alkalmazhatók, de a példákat geometriailag adjuk meg. Így minden egyszerű, hozzáférhető és vizuális. A feladatokon túl analitikus geometria megfontolunk néhányat tipikus feladatok algebra. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok a bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegye figyelembe a számítógép asztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak van hossza és szélessége, így intuitív módon egyértelmű, hogy két vektorra van szükség az alap felépítéséhez. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A választott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes eleméhez.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el a bal kéz mutatóujja az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely a jobb kéz kisujja az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy az a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit lehet mondani a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineárisan egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol egy nem nulla szám.

Erről a műveletről láthat egy képet a leckében. Vektorok a bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjai alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak egyedül irány, míg a síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A "lineáris", "lineáris" szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben, kifejezésekben nincsenek négyzetek, kockák, egyéb hatványok, logaritmusok, szinuszok stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy bármilyen szög legyen közöttük, kivéve a 0 vagy a 180 fokot. Két sík vektorlineárisan nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát az alap megérkezett. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „ferdének” bizonyult különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi sík vektor az egyetlen módja kibővítve az alap tekintetében:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektorformában mutatjuk be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapon vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például azt mondhatjuk, hogy egy vektor a sík ortonormális bázisában van kiterjesztve, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként van ábrázolva.

Fogalmazzuk meg alapdefiníció formálisan: sík alapon egy lineárisan független (nem kollineáris) vektorpár, , ahol Bármi a síkvektor az alapvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényege az a tény, hogy a vektorokat vettük egy bizonyos sorrendben. bázisok Ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kéz kisujját nem lehet a jobb kéz kisujjának helyére mozgatni.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani a koordináta-rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok, és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat azokhoz a piszkos asztalpontokhoz, amelyek egy vad hétvége után maradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen referenciapont mindenki számára ismert pont - a koordináták eredete. A koordinátarendszer megértése:

Kezdem az "iskolai" rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok a bábokhoz Kiemeltem néhány különbséget a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Itt a standard kép:

Amikor arról beszélünk derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban a koordináták origóját jelentik, koordináta tengelyekés skálázzuk a tengelyek mentén. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt az a benyomásunk támad, hogy egy derékszögű koordinátarendszer jól definiálható ortonormális alapon. És majdnem az is. A megfogalmazás így hangzik:

eredet, És ortonormális alapkészlet A sík derékszögű koordinátarendszere . Azaz egy téglalap alakú koordinátarendszer egyértelműen egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fent adtam - benne geometriai problémák gyakran (de semmiképpen sem mindig) rajzoljunk vektorokat és koordinátatengelyeket is.

Szerintem ezt mindenki megérti egy pont (eredet) és egy ortonormális alap segítségével A gép BÁRMELY PONTJÁT és a repülőgép BÁRMELY VEKTORÁT koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: "a gépen minden megszámlálható".

A koordináta vektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és kettőt ortogonális vektorok tetszőleges nullától eltérő hosszúság:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A koordináták origója vektorokkal határozza meg a koordináta rácsot, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak megvan a maga koordinátája az adott bázison. Például, vagy. A nyilvánvaló kényelmetlenség az, hogy a koordináta vektorok általában az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek eggyel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : ortogonális alapon, és alatta is affin bázisok a tengelyek menti sík- és téregységeket veszik figyelembe FELTÉTELES. Például az abszcissza mentén egy egység 4 cm-t, az ordináta mentén 2 cm-t tartalmaz, ez az információ elegendő ahhoz, hogy a „nem szabványos” koordinátákat szükség esetén „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

És a második kérdés, amelyre valójában már megválaszolták - az alapvektorok közötti szög szükségszerűen egyenlő 90 fokkal? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún eredet, És nem kollineáris vektorok, , készlet a sík affin koordinátarendszere :

Néha ezt a koordináta-rendszert hívják ferde rendszer. A pontok és vektorok példaként láthatók a rajzon:

Ahogy érted affin rendszer A koordináták még kevésbé kényelmesek, a vektorok és szegmensek hosszának képletei, amelyeket a lecke második részében megvizsgáltunk, nem működnek benne Vektorok a bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való felosztásának képlete, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

A következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb esete a derékszögű téglalaprendszer. Ezért leggyakrabban őt, a sajátját kell látni. ... Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor illik egy ferde (vagy más pl. poláris) koordináta-rendszer. Igen, és a humanoidoknak az ilyen rendszerek megízlelhetik =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden feladat érvényes mind a téglalap alakú koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elégséges, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti finomítása.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézze meg, létezik-e vektor arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Mindenképpen elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal készítsünk arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

Vegyünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból:

Lerövidítjük:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat létrejöhet, és fordítva, ez egy egyenértékű lehetőség:

Önellenőrzéshez felhasználható az a tény, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben egyenlőségek vannak . Ezek helyessége könnyen ellenőrizhető elemi cselekvések vektorokkal:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Megvizsgáljuk a vektorokat a kollinearitás szempontjából . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy , ami azt jelenti, a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Kimenet: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Állítsa össze az arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból! :
, ezért ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

A véleményezők általában nem utasítják el ezt a lehetőséget, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet átdolgozni az arányt itt? (Tényleg nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa erre független megoldás:

2. példa

A paramétervektorok milyen értékénél kollineáris lesz?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és ötödik pontként adjuk hozzá:

Két síkvektor esetén a következő állítások egyenértékűek:

2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok lineárisan kifejezhetők egymáson keresztül;
+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy pillanatnyilag már megértette az összes felmerült kifejezést és kijelentést.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Majd mi döntünk 1. példa a második módon:

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst! :
, tehát ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst :
, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint az arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak a vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem szakaszok, egyenesek párhuzamossága is igazolható. Vegyünk néhány problémát adott geometriai alakzatokkal kapcsolatban.

3. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot építeni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzen a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Négyszöget nevezünk, amelyben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és .

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor ("iskola szerint" - egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb a döntést megfelelően, elrendezéssel meghozni. Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:
, tehát ezek a vektorok kollineárisak, és .

Kimenet: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, tehát definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég csak megjegyezni, hogyan néz ki.

Ez önálló döntési feladat. Komplett megoldás az óra végén.

És most itt az ideje, hogy lassan kimozduljunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

de) ;
b)
ban ben)

Megoldás:
a) Ellenőrizze, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáihoz:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az "egyszerűsített" az arány ellenőrzésével kerül megállapításra. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térvektorok kollinearitás-ellenőrzésére és egy harmadrendű determináns segítségével, Ily módon foglalkozik a cikkben Vektorok keresztszorzata.

Hasonlóan a sík esethez, a vizsgált eszközökkel térbeli szegmensek és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Háromdimenziós térvektorok lineáris függése és függetlensége.
Téralap és affin koordinátarendszer

Számos szabályszerűség, amelyet a repülőgépen figyelembe vettünk, a térre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elmélet összefoglalását, hiszen az információ oroszlánrészét már megrágták. Ennek ellenére javaslom, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések és fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett vizsgáljuk meg a háromdimenziós teret. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem tudunk kitérni a három dimenziótól: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért az alapot építeni, három térbeli vektor. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjakon melegítünk. Kérjük, emelje fel a kezét, és tárja szét a különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögeik vannak egymás között. Gratulálunk, elkészült a háromdimenziós tér alapja! Egyébként ezt nem kell bemutatni a tanároknak, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nem tudsz kitérni =)

Ezután felteszünk egy fontos kérdést, hogy bármely három vektor képez-e egy háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógép asztallapjára. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik mérést - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Megjegyzendő, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek párhuzamos síkokban is (csak ne az ujjaiddal csináld, csak Salvador Dali jött le így =)).

Meghatározás: vektorokat hívjuk egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, míg a tér bármely vektora az egyetlen módja kibővül az adott bázisban , ahol a vektor koordinátái vannak az adott bázisban

Emlékeztetőül azt is mondhatjuk, hogy egy vektort a következőképpen ábrázolunk lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a esetében lapos tok, elég egy pont és bármely három lineárisan független vektor:

eredet, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács "ferde" és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordináta-rendszer lehetővé teszi, hogy egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan a tér affin koordinátarendszerében néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy azt mindenki kitalálhatja derékszögű tér koordinátarendszer:

nevű térbeli pont eredet, És ortonormális alapkészlet A tér derékszögű koordinátarendszere . ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismét rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Az ellenkező kijelentések szerintem érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan a determináns segítségével ellenőrzik (5. tétel). A fennmaradó gyakorlati feladatok kifejezetten algebrai jellegűek lesznek. Itt az ideje, hogy egy geometrikus botot akasztunk egy szögre, és hadonászunk egy lineáris algebra baseballütővel:

Három térvektor akkor és csak akkor egysíkúak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra hívom fel a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok számítási módszereit, vagy esetleg egyáltalán nem tájékozódtak, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e egy háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában az egész megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst (a determináns az első sorban ki van bővítve):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok képezik az alapot

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében egy egyenletet determinánssal kell megoldani. Nullákba repülünk, mint a sárkányok a jerboákba - a legjövedelmezőbb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket végzünk, és a dolgot a legegyszerűbbre redukáljuk lineáris egyenlet:

Válasz: nál nél

Itt egyszerűen ellenőrizhető, ehhez be kell cserélni a kapott értéket az eredeti determinánsba, és meg kell győződni arról, hogy újranyitásával.

Végezetül vegyünk egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy külön témát érdemel:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja egy háromdimenziós tér bázisát
és keressük meg a 4. vektor koordinátáit az adott bázisban

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok a háromdimenziós tér bázisát képezik, és ebben keressük meg a vektor koordinátáit.

Megoldás: Először foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és amint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Mi az alapja - minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első lépés teljesen megegyezik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:

, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncok. Ellenkező esetben zavarok lesznek a további megoldási algoritmusban.

A vektorok rendszerét ún lineárisan függő, ha vannak olyan számok , amelyek között legalább egy nullától eltérő, akkor az egyenlőség https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ha ez az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha mind , akkor a vektorrendszert hívjuk lineárisan független.

Tétel. A vektorok rendszere lesz lineárisan függő akkor és csak akkor, ha legalább egy vektora a többi lineáris kombinációja.

1. példa Polinom A polinomok lineáris kombinációja https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. A polinomok lineárisan független rendszert alkotnak, mivel a https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2. példa A , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> mátrixrendszer lineárisan független, mivel a lineáris kombináció megegyezik a nulla mátrix csak akkor, ha https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineárisan függő.

Megoldás.

Komponáljunk lineáris kombináció vektoros adatok https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22"> .

Egyenlő vektorok azonos nevű koordinátáit megadva a következőt kapjuk: https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Végre megkapjuk

És

A rendszernek egyedi triviális megoldása van, így ezen vektorok lineáris kombinációja csak akkor nulla, ha minden együttható nulla. Ezért ezt a rendszert vektorok lineárisan függetlenek.

4. példa A vektorok lineárisan függetlenek. Milyenek lesznek a vektorrendszerek

a);

b).?

Megoldás.

a) Készítsen lineáris kombinációt, és egyenlővé tegye nullával

A vektorműveletek tulajdonságainak felhasználása in lineáris tér, átírjuk a formába az utolsó egyenlőséget

Mivel a vektorok lineárisan függetlenek, az együtthatóknak nullának kell lenniük, azaz.gif" width="12" height="23 src=">

Az így kapott egyenletrendszer egyedi triviális megoldással rendelkezik .

Az egyenlőség óta (*) csak a https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> oldalon hajtható végre – lineárisan független;

b).Állítsa össze az egyenlőséget https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Hasonló érvelést alkalmazva azt kapjuk

Az egyenletrendszert Gauss-módszerrel megoldva megkapjuk

vagy

Az utolsó rendszernek végtelen számú megoldása van https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Így van egy nem- nulla együtthatóhalmaz, amelyre az egyenlőség (**) . Ezért a vektorok rendszere lineárisan függő.

5. példa A vektorrendszer lineárisan független, a vektorrendszer pedig lineárisan függő..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Egyenjogúságban (***) . Valójában a rendszer lineárisan függő lenne.

A kapcsolatból (***) kapunk vagy Jelöli .

Kap

Önálló megoldási feladatok (tantermi)

1. A nulla vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

2. Egyvektoros rendszer de, akkor és csak akkor lineárisan függ, a=0.

3. Egy két vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha a vektorok arányosak (vagyis az egyiket a másikból egy számmal való szorzással kapjuk meg).

4. Ha egy vektort hozzáadunk egy lineárisan függő rendszerhez, akkor lineárisan függő rendszert kapunk.

5. Ha egy vektort eltávolítunk egy lineárisan független rendszerből, akkor a kapott vektorrendszer lineárisan független.

6. Ha a rendszer S lineárisan független, de lineárisan függővé válik, ha hozzáadunk egy vektort b, majd a vektor b lineárisan kifejezve a rendszer vektoraival S.

c). A , , mátrixrendszer a másodrendű mátrixok terében.

10. Legyen a vektorrendszer a,b,c A vektortér lineárisan független. Bizonyít lineáris függetlenség a következő vektorrendszerek:

a)a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– tetszőleges szám

c).a+b, a+c, b+c.

11. Legyen a,b,c három vektor a síkban, amelyek segítségével háromszöget lehet alkotni. Lineárisan függenek ezek a vektorok?

12. Adott két vektor a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Vegyen fel két további 4D vektort a3 ésa4 hogy a rendszer a1,a2,a3,a4 lineárisan független volt .

1. feladat. Nézze meg, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e. A vektorok rendszerét a rendszer mátrixa határozza meg, melynek oszlopai a vektorok koordinátáiból állnak.

.

Megoldás. Legyen a lineáris kombináció egyenlő nullával. Miután ezt az egyenlőséget koordinátákkal írtuk fel, a következő egyenletrendszert kapjuk:

.

Az ilyen egyenletrendszert háromszögnek nevezzük. Neki van az egyetlen megoldás. . Ezért a vektorok lineárisan függetlenek.

2. feladat. Nézze meg, hogy a vektorrendszer lineárisan független-e.

.

Megoldás. Vektorok lineárisan függetlenek (lásd 1. feladat). Bizonyítsuk be, hogy a vektor vektorok lineáris kombinációja . Vektor kiterjesztési együtthatók egyenletrendszerből határozzuk meg

.

Ez a rendszer, akárcsak egy háromszögletű, egyedi megoldással rendelkezik.

Ezért a vektorok rendszere lineárisan függő.

Megjegyzés. Az 1. feladathoz hasonló mátrixokat hívjuk háromszög alakú , és a 2. feladatban – lépcsős háromszögletű . Egy vektorrendszer lineáris függésének kérdése könnyen megoldható, ha ezen vektorok koordinátáiból álló mátrix lépcsőzetesen háromszög alakú. Ha a mátrixnak nincs speciális formája, akkor használja elemi karakterlánc-transzformációk , megőrizve az oszlopok közötti lineáris kapcsolatokat, lépcsőzetes-háromszög alakúra redukálható.

Elemi átalakulások vonalak A mátrixokat (EPS) a következő műveleteknek nevezzük a mátrixon:

1) vonalak permutációja;

2) egy karakterlánc szorzása nullától eltérő számmal;

3) egy újabb karakterlánc hozzáadása a karakterlánchoz, tetszőleges számmal megszorozva.

3. feladat. Keresse meg a maximális lineárisan független alrendszert, és számítsa ki a vektorrendszer rangját!

.

Megoldás. A rendszer mátrixát EPS segítségével redukáljuk lépcsős-háromszög alakúra. Az eljárás magyarázatához a transzformálandó mátrix számát tartalmazó sort a szimbólummal jelöljük. A nyíl utáni oszlop a konvertált mátrix sorain végrehajtandó műveleteket mutatja, hogy megkapjuk az új mátrix sorait.

.

Nyilvánvaló, hogy a kapott mátrix első két oszlopa lineárisan független, a harmadik oszlop ezek lineáris kombinációja, a negyedik pedig nem függ az első kettőtől. Vektorok alapnak nevezzük. Ezek alkotják a rendszer maximálisan lineárisan független alrendszerét , és a rendszer rangja három.

Alap, koordináták

4. feladat. Keresse meg a vektorok alapját és koordinátáit ezen az alapon azon geometriai vektorok halmazán, amelyek koordinátái kielégítik a feltételt .

Megoldás. A halmaz az origón áthaladó sík. A síkon egy tetszőleges bázis két nem kollineáris vektorból áll. A kiválasztott bázisban lévő vektorok koordinátáit a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával határozzuk meg.

Van egy másik módja ennek a probléma megoldásának, amikor koordináták alapján találja meg az alapot.

Koordináták A terek nem koordináták a síkon, mivel a reláció összefügg , vagyis nem függetlenek. A független változók és (ezeket szabadnak nevezzük) egyértelmûen határozzák meg a vektort a síkon, ezért koordinátákként választhatók a -ben. Aztán az alap szabad változók halmazainak megfelelő vektorokból áll És , azaz

5. feladat. Keresse meg az ezen a bázison lévő vektorok bázisát és koordinátáit a tér összes olyan vektorának halmazán, amelyek páratlan koordinátái egyenlők egymással.

Megoldás. Az előző feladathoz hasonlóan a térbeli koordinátákat választjuk ki.

Mivel , majd a szabad változók Egyedülállóan definiálnak egy vektort, és ezért koordináták. A megfelelő bázis vektorokból áll.

6. feladat. Keresse meg a vektorok alapját és koordinátáit ezen a bázison az alak összes mátrixának halmazán , ahol tetszőleges számok.

Megoldás. Minden mátrix egyedileg ábrázolható a következőképpen:

Ez az összefüggés a vektor kiterjesztése a bázis szempontjából
koordinátákkal .

7. feladat. Keresse meg a méretet és az alapot lineáris héj vektoros rendszerek

.

Megoldás. Az EPS segítségével a mátrixot a rendszervektorok koordinátáiból lépcsőzetes háromszög alakúra alakítjuk.

.

oszlopok az utolsó mátrix lineárisan függetlenek, és az oszlopok lineárisan fejeződnek ki rajtuk. Ezért a vektorok képezik az alapot , És .

Megjegyzés. Alap be kétértelműen választották. Például vektorok is képezik az alapot .

1. definíció. A vektorok lineáris kombinációja ezen vektorok és skalárok szorzatának összege
:

2. definíció. Vektoros rendszer
lineárisan függő rendszernek nevezzük, ha ezek lineáris kombinációja (2.8) eltűnik:

és a számok között
nullán kívül legalább egy van.

3. definíció. Vektorok
lineárisan függetlennek nevezzük, ha a lineáris kombinációjuk (2.8) csak akkor tűnik el, ha mindegyik szám.

Ezekből a meghatározásokból a következő következtetések vonhatók le.

Következmény 1. Egy lineárisan függő vektorrendszerben legalább egy vektor kifejezhető a többiek lineáris kombinációjaként.

Bizonyíték. Legyen (2.9) tartva, és a határozottság kedvéért legyen az együttható
. Akkor nálunk van:
. Vegyük észre, hogy fordítva is igaz.

2. következmény. Ha a vektorok rendszere
nulla vektort tartalmaz, akkor ez a rendszer (feltétlenül) lineárisan függő - a bizonyíték nyilvánvaló.

Következmény 3. Ha között n vektorok
Bármi k(
) vektorok lineárisan függőek, akkor az összes n vektorok lineárisan függőek (a bizonyítást elhagyjuk).

2 0 . Két, három és négy vektor lineáris kombinációi. Tekintsük a vektorok lineáris függésének és függetlenségének kérdéseit egyenesen, síkon és térben. Mutassuk be a megfelelő tételeket.

1. tétel. Ahhoz, hogy két vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy kollineárisak legyenek.

Szükség. Hagyjuk a vektorokat És lineárisan függő. Ez azt jelenti, hogy lineáris kombinációjuk
=0 és (a határozottság kedvéért)
. Ez az egyenlőséget jelenti
, és (egy vektor számmal való szorzásának definíciója szerint) a vektorok És kollineáris.

Megfelelőség. Hagyjuk a vektorokat És kollineáris ( ║) (feltételezzük, hogy eltérnek a nulla vektortól; különben lineáris függőségük nyilvánvaló).

A (2.7) tétel alapján (lásd 2.1. §, 2 0. tétel) akkor
oly módon, hogy
, vagy
– a lineáris kombináció egyenlő nullával, az együttható pedig at egyenlő 1 – vektorokkal És lineárisan függő.

Ebből a tételből a következő következmény következik.

Következmény. Ha a vektorok És nem kollineárisak, akkor lineárisan függetlenek.

2. tétel. Ahhoz, hogy három vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy egy síkban legyenek.

Szükség. Hagyjuk a vektorokat ,És lineárisan függő. Mutassuk meg, hogy egy síkban vannak.

A vektorok lineáris függésének meghatározása magában foglalja a számok létezését
És úgy, hogy a lineáris kombináció
, és ugyanakkor (a határozottság kedvéért)
. Ekkor ebből az egyenlőségből ki tudjuk fejezni a vektort :=
, vagyis a vektor egyenlő az ezen egyenlőség jobb oldalán lévő vektorokra épített paralelogramma átlójával (2.6. ábra). Ez azt jelenti, hogy a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek.

Megfelelőség. Hagyjuk a vektorokat ,És egysíkú. Mutassuk meg, hogy ezek lineárisan függenek.

Zárjuk ki bármely vektorpár kollinearitási esetét (mert akkor ez a pár lineárisan függő, és a 3. következmény alapján (lásd 1 0. tétel) mindhárom vektor lineárisan függ). Megjegyzendő, hogy egy ilyen feltevés azt is kizárja, hogy a megadott három között nulla vektor létezik.

Három koplanáris vektort viszünk át egy síkra, és egy közös origóra hozzuk őket. A vektor végén keresztül rajzoljunk a vektorokkal párhuzamos vonalakat És ; megkapjuk a vektorokat És (2.7. ábra) - létüket az biztosítja, hogy a vektorok És vektorok, amelyek feltevés szerint nem kollineárisak. Ebből következik, hogy a vektor =+. Az egyenlőség átírása a következőre: (–1) ++=0, arra a következtetésre jutunk, hogy a vektorok ,És lineárisan függő.

A bizonyított tételből két következmény következik.

Következmény 1. Legyen És nem kollineáris vektorok, vektor – tetszőleges, a vektorok által meghatározott síkban fekvő És , vektor. Aztán vannak számok És oly módon, hogy

=+. (2.10)

2. következmény. Ha a vektorok ,És nem egysíkúak, akkor lineárisan függetlenek.

3. tétel. Bármely négy vektor lineárisan függ.

Kihagyjuk a bizonyítást; néhány módosítással lemásolja a 2. tétel bizonyítását. Mutassuk be ennek a tételnek a következményét.

Következmény. Bármilyen nem egysíkú vektorhoz ,,és bármilyen vektor
És oly módon, hogy

. (2.11)

Megjegyzés. A (háromdimenziós) térben lévő vektorok esetében a lineáris függés és függetlenség fogalma, amint az a fenti 1-3. tételekből következik, egyszerű geometriai jelentéssel bír.

Legyen két lineárisan függő vektor És . Ebben az esetben az egyik a második lineáris kombinációja, vagyis egyszerűen egy számszerű tényezővel különbözik tőle (például
). Geometriailag ez azt jelenti, hogy mindkét vektor egy közös egyenesen van; irányuk lehet azonos vagy ellentétes (2.8. ábra xx).

Ha két vektor egymáshoz képest szöget zár be (2.9. ábra xx), akkor ebben az esetben az egyiket nem kaphatjuk meg úgy, hogy a másikat megszorozzuk egy számmal - az ilyen vektorok lineárisan függetlenek. Ezért két vektor lineáris függetlensége És azt jelenti, hogy ezek a vektorok nem fektethetők ugyanarra az egyenesre.

Nézzük meg három vektor lineáris függésének és függetlenségének geometriai jelentését.

Hagyjuk a vektorokat ,És lineárisan függőek, és legyen (a határozottság kedvéért) a vektor vektorok lineáris kombinációja És , azaz a vektorokat tartalmazó síkban található És . Ez azt jelenti, hogy a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek. A fordított állítás is igaz: ha a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek, akkor lineárisan függenek.

Tehát a vektorok ,És akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha nem fekszenek ugyanabban a síkban.

3 0 . Az alap fogalma. A lineáris és vektoralgebra egyik legfontosabb fogalma a bázis fogalma. Meghatározásokat vezetünk be.

1. definíció. Egy vektorpárt rendezettnek nevezünk, ha meg van adva, hogy ennek a párnak melyik vektorát tekintjük elsőnek és melyik a másodiknak.

2. definíció. Rendelt pár ,nem kollineáris vektorok bázisának nevezzük az adott vektorok által meghatározott síkon.

1. tétel. Bármilyen vektor a síkon a vektorok alaprendszerének lineáris kombinációjaként ábrázolható ,:

(2.12)

és ez az ábrázolás egyedülálló.

Bizonyíték. Hagyjuk a vektorokat És alapot képeznek. Aztán bármelyik vektor ként ábrázolható
.

Az egyediség bizonyításához tegyük fel, hogy van még egy dekompozíció
. Ekkor =0, és a különbségek legalább egyike nem nulla. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a vektorok És lineárisan függő, azaz kollineáris; ez ellentmond annak az állításnak, hogy ezek képezik alapot.

De akkor a lebontás egyedi.

3. definíció. A vektorok hármasát rendezettnek nevezzük, ha meg van jelölve, hogy melyik vektor tekinthető elsőnek, melyik a második és melyik a harmadik.

4. definíció. A nem egysíkú vektorok rendezett hármasát térbeli bázisnak nevezzük.

A dekompozíció és az egyediség tétele itt is érvényes.

2. tétel. Bármilyen vektor az alapvektorrendszer lineáris kombinációjaként ábrázolható ,,:

(2.13)

és ez az ábrázolás egyedi (a tétel bizonyítását elhagyjuk).

A (2.12) és (2.13) bővítésekben a mennyiségek vektor koordinátáinak nevezzük adott alapon (pontosabban affin koordinátákban).

Fix alapon
És
tudsz írni
.

Például ha alapot adunk
és tekintettel arra
, akkor ez azt jelenti, hogy létezik reprezentáció (dekompozíció)
.

4 0 . Lineáris műveletek vektorokon koordináta formában. A bázis bevezetése lehetővé teszi, hogy a vektorokon végzett lineáris műveleteket lecseréljék a számokra - ezeknek a vektoroknak a koordinátáira - végzett szokásos lineáris műveletekre.

Adjunk némi alapot
. Nyilvánvaló, hogy a vektor koordinátáinak ezen az alapon történő beállítása teljesen meghatározza magát a vektort. A következő javaslatok vannak:

a) két vektor
És
akkor és csak akkor egyenlőek, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek:

b) vektor szorzásakor
számonként koordinátáit megszorozzuk ezzel a számmal:

; (2.15)

c) vektorok összeadásakor a megfelelő koordináták hozzáadódnak:

Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítását mellőzzük; A b) tulajdonságot csak példaként bizonyítsuk. Nekünk van

==

Megjegyzés. A térben (a síkon) végtelenül sok bázis választható.

Példát adunk az egyik bázisból a másikba való átmenetre, megállapítjuk a vektor koordinátái közötti kapcsolatot a különböző bázisokban.

1. példa. Az alaprendszerben
három vektort adunk:
,
És
. alapon ,,vektor bomlása van. Keresse meg a vektor koordinátáit alapon
.

Megoldás. Bővítéseink vannak:
,
,
; Következésképpen,
=
+2
+
= =
, azaz
alapon
.

2. példa. Engedj be valami alapot
négy vektort adnak meg a koordinátái:
,
,
És
.

Nézze meg, hogy a vektorok kialakulnak-e
alapon; pozitív válasz esetén keresse meg a vektor dekompozícióját ezen az alapon.

Megoldás. 1) vektorok képeznek bázist, ha lineárisan függetlenek. Állítsa össze a vektorok lineáris kombinációját
(
), és megtudja, mire
És eltűnik:
=0. Nekünk van:

=
+
+
=

A koordináta alakú vektorok egyenlőségének meghatározásával a következő (lineáris homogén algebrai) egyenletrendszert kapjuk:
;
;
, melynek meghatározója
=1
, vagyis a rendszernek van (egyetlen) triviális megoldása
. Ez azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek
és ennélfogva alapot képeznek.

2) bontsa ki a vektort ezen az alapon. Nekünk van: =
vagy koordináta formában.

A vektorok koordinátaformájának egyenlőségére átlépve lineáris nemhomogén algebrai egyenletrendszert kapunk:
;
;
. Megoldva (például Cramer szabálya szerint) a következőket kapjuk:
,
,
és (
)
. Van egy vektordekompozíciónk alapon
:=.

5 0 . Vektor vetítése egy tengelyre. Vetítési tulajdonságok. Legyen valami tengely l, azaz egy egyenes, amelyen egy irányt választottunk, és legyen adott valamilyen vektor .Határozza meg a vektor vetületének fogalmát! tengelyenként l.

Meghatározás. Vektoros vetítés tengelyenként l e vektor modulusának és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatának nevezzük lés vektor (2.10. ábra):

. (2.17)

Ennek a definíciónak az a következménye, hogy az egyenlő vektoroknak egyenlő vetületei vannak (ugyanazon tengelyen).

Vegye figyelembe a vetületek tulajdonságait.

1) vektorok összegének vetítése valamilyen tengelyre l egyenlő az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok vetületeinek összegével:

2) egy skalár és egy vektor szorzatának vetülete egyenlő ennek a skalárnak és a vektornak ugyanarra a tengelyre való vetületének szorzatával:

=
. (2.19)

Következmény. A vektorok lineáris kombinációjának vetülete a tengelyre egyenlő a vetületeik lineáris kombinációjával:

A tulajdonságok bizonyítását elhagyjuk.

6 0 . Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben.Egy vektor felbontása tengelyek egységvektoraiban. Válasszunk három egymásra merőleges egységvektort bázisnak; speciális jelölést vezetünk be számukra
. Azáltal, hogy a pontnál kezdi őket O, közvetlenül ezek mentén (az egységvektorok szerint
) koordinátatengelyek Ökör,Oyés O z(a pozitív irányú tengelyt, a referenciapontot és a hosszegységet koordinátatengelynek nevezzük).

Meghatározás. Három, egymásra merőleges koordinátatengelyből álló rendezett rendszert, amelyeknek közös origója és közös hosszegysége van, derékszögű derékszögű koordinátarendszernek nevezzük a térben.

Tengely Ökör az úgynevezett x-tengely, Oy- az y tengely és az O z – rátét tengely.

Foglalkozzunk egy tetszőleges vektor kiterjesztésével a bázis szempontjából
. A tételből (lásd §2.2, 3 0. tétel, (2.13)) az következik, hogy
az alapban egyedileg bővíthető
(itt a koordináták kijelölése helyett
használat
):

. (2.21)

In (2.21)
a vektor (derékszögű) koordinátái . Jelentése Derékszögű koordináták felállítja a következő tételt.

Tétel. Derékszögű koordináták
vektor ennek a vektornak a vetületei a tengelyekre Ökör,Oyés O z.

Bizonyíték. Helyezzük el a vektort a koordinátarendszer origójához - egy pont O. Akkor a vége egybeesik valamivel
.

Menjünk át a lényegen
három, a koordinátasíkkal párhuzamos sík Oyz,OxzÉs Oxy(2.11. ábra xx). Akkor kapjuk:

. (2.22)

A (2.22)-ben a vektorok
És
vektor összetevőinek nevezzük
a tengelyek mentén Ökör,Oyés O z.

Engedd át
És a vektor által alkotott szögek rendre vannak feltüntetve ortákkal
. Ezután az összetevőkre a következő képleteket kapjuk:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

A (2.21), (2.22) (2.23) értékekből a következőket találjuk:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordináták
vektor ennek a vektornak vetületei vannak a koordinátatengelyekre Ökör,Oyés O z illetőleg.

Megjegyzés. Számok
a vektor irány koszinuszainak nevezzük .

Vektor modulus (téglalap alakú paralelepipedon átlója) a következő képlettel számítható ki:

. (2.24)

A (2.23) és (2.24) képletekből az következik, hogy az iránykoszinuszokat a következő képletekkel lehet kiszámítani:

=
;
=
;
=
. (2.25)

A (2.25)-ben szereplő egyenlőségek mindkét részét megemelve, és tagonként összeadva a kapott egyenlőség bal és jobb oldalát, a képlethez jutunk:

- nem bármely három szög alkot egy bizonyos irányt a térben, hanem csak azok, amelyek koszinuszai a (2.26) relációval vannak kapcsolatban.

7 0 . Sugárvektor és pontkoordináták.Vektor meghatározása a kezdete és a vége alapján. Vezessünk be egy definíciót.

Meghatározás. A sugárvektor (jelölve ) origót összekötő vektornak nevezzük O ezzel a ponttal (2.12. ábra xx):

. (2.27)

A tér bármely pontja megfelel egy bizonyos sugárvektornak (és fordítva). Így a térbeli pontokat a vektoralgebrában sugárvektoraik ábrázolják.

Nyilvánvalóan a koordináták
pontokat M sugárvektorának vetületei
a koordináta tengelyeken:

(2.28’)

és így,

(2.28)

– egy pont sugárvektora olyan vektor, amelynek a koordinátatengelyekre vetületei megegyeznek a pont koordinátáival. Ebből két bejegyzés következik:
És
.

Képletek beszerzése vektorvetítések számításához
kezdetének – a pontnak – koordinátái alapján
és végpont
.

Rajzolja meg a sugárvektorokat
és vektor
(2.13. ábra). Ezt értjük

=
=(2.29)

– a vektor vetületei a koordinátavektorokra megegyeznek a vektor végének és elejének megfelelő koordinátáinak különbségével.

8 0 . Néhány probléma a derékszögű koordinátákkal.

1) vektor kollinearitási feltételek . A tételből (lásd §2.1, 2 0 tétel, (2.7) képlet) az következik, hogy a vektorok kollinaritásánál És szükséges és elégséges a következő reláció fenntartásához: =. Ebből a vektoregyenlőségből három egyenlőséget kapunk koordináta alakban:, amelyből következik a vektorok koordináta alakú kollinaritási feltétele:

(2.30)

– kollineáris vektorokhoz És szükséges és elégséges, hogy a koordinátáik arányosak legyenek.

2) pontok közötti távolság . A (2.29) ábrázolásból az következik, hogy a távolság
pontok között
És
képlet határozza meg

=
=. (2.31)

3) beosztásba ezt a tiszteletet . Legyenek pontok adva
És
és hozzáállás
. Meg kell találni
- pont koordináták M (2.14. ábra).

A kollineáris vektorok feltételéből a következőket kapjuk:
, ahol
És

. (2.32)

A (2.32)-ből koordináta alakban kapjuk:

A (2,32 ') képletekből képleteket kaphatunk a szakasz közepe koordinátáinak kiszámításához
, feltételezve
:

Megjegyzés. Számoljuk meg a szegmenseket
És
pozitív vagy negatív, attól függően, hogy irányuk egybeesik-e az origó irányával
végére vágva
, vagy nem egyezik. Ezután a (2.32) - (2.32") képletekkel megkeresheti a szakaszt elválasztó pont koordinátáit
kívülről, vagyis úgy, hogy az elválasztó pont M a melléken van
, nem benne. Ugyanakkor természetesen
.

4) gömbfelületi egyenlet . Állítsuk össze egy gömbfelület egyenletét - a pontok lokuszát
, egyenlő távolságra a távolságtól valamilyen rögzített középpontból – egy pontból
. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben
és figyelembe véve a (2.31) képletet

A (2.33) egyenlet a kívánt gömbfelület egyenlete.

általunk bemutatott lineáris műveletek vektorokon lehetővé teszik különböző kifejezések létrehozását vektor mennyiségekés átalakítsa azokat az ezekhez a műveletekhez beállított tulajdonságok segítségével.

Az a 1 , ... és n vektorok adott halmaza alapján elkészítheti az alak kifejezését

ahol a 1 , ... és n tetszőleges valós számok. Ezt a kifejezést hívják vektorok lineáris kombinációja a 1 , ..., a n . Az α i , i = 1, n , számok olyanok lineáris kombinációs együtthatók. A vektorok halmazát is ún vektoros rendszer.

A bevezetett lineáris vektorkombináció fogalma kapcsán felmerül annak a vektorhalmaznak a leírása, amely egy adott a 1 , ..., a n vektorrendszer lineáris kombinációjaként írható fel. Ezen túlmenően természetesek a kérdések arra vonatkozóan, hogy milyen feltételek mellett létezik egy vektor lineáris kombináció formájában történő ábrázolása, és egy ilyen ábrázolás egyedisége.

Meghatározás 2.1. Az a 1 , ... és n vektorokat hívjuk lineárisan függő, ha van olyan α 1 , ... , α n együtthatóhalmaz,

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

és ezen együtthatók legalább egyike nem nulla. Ha a megadott együtthatóhalmaz nem létezik, akkor a vektorok meghívásra kerülnek lineárisan független.

Ha α 1 = ... = α n = 0, akkor nyilvánvalóan α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Ezt figyelembe véve a következőket mondhatjuk: vektorok a 1 , ... és n lineárisan független, ha a (2.2) egyenlőségből az következik, hogy minden α 1 , ... , α n együttható nulla.

A következő tétel megmagyarázza, miért nevezik az új fogalmat „függőségnek” (vagy „függetlenségnek”), és megadja a lineáris függőség egyszerű kritériumát.

Tétel 2.1. Ahhoz, hogy az a 1 , ... és n , n > 1 vektorok lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy az egyik a többi lineáris kombinációja legyen.

◄ Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy az a 1 , ... és n vektorok lineárisan függőek. A lineáris függés 2.1 definíciója szerint a (2.2) egyenlőségben van legalább egy nem nulla együttható a bal oldalon, például α 1 . Az első tagot az egyenlőség bal oldalán hagyva, a többit jobbra mozgatjuk, előjeleiket szokás szerint változtatva. A kapott egyenlőséget elosztva α 1 -gyel, azt kapjuk

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

azok. az a 1 vektor ábrázolása a fennmaradó a 2 , ... és n vektorok lineáris kombinációjaként.

Megfelelőség. Legyen például az első a 1 vektor a fennmaradó vektorok lineáris kombinációjaként: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Az összes tagot jobb oldalról balra áthelyezve egy 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0-t kapunk, azaz. a 1 , ... és n vektorok lineáris kombinációja α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n együtthatókkal egyenlő nulla vektor. Ebben a lineáris kombinációban nem minden együttható egyenlő nullával. A 2.1 definíció szerint az a 1 , ... és n vektorok lineárisan függőek.

A lineáris függés definíciója és kritériuma úgy van megfogalmazva, hogy két vagy több vektor jelenlétét foglalja magában. Beszélhetünk azonban egy vektor lineáris függéséről is. Ennek a lehetőségnek a megvalósításához a "vektorok lineárisan függőek" helyett azt kell mondanunk, hogy "a vektorok rendszere lineárisan függő". Könnyen ellenőrizhető, hogy az "egy vektorból álló rendszer lineárisan függő" kifejezés ezt jelenti egyetlen vektor nulla (egy lineáris kombinációban csak egy együttható van, és ez nem lehet nulla).

A lineáris függés fogalmának egyszerű geometriai értelmezése van. Ezt az értelmezést a következő három állítás világítja meg.

Tétel 2.2. Két vektor akkor és csak akkor lineárisan függ kollineáris.

◄ Ha az a és b vektorok lineárisan függőek, akkor az egyik, például a, a másikon keresztül fejeződik ki, azaz. a = λb valamilyen λ valós számra. Az 1.7 definíció szerint művek vektorokat egy számmal, az a és b vektorok kollineárisak.

Most legyen az a és b vektor kollineáris. Ha mindkettő nulla, akkor nyilvánvaló, hogy lineárisan függenek egymástól, mivel ezek bármely lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral. Legyen ezen vektorok egyike ne egyenlő 0-val, például a b vektor. Jelölje λ-val a vektorok hosszának arányát: λ = |а|/|b|. Kollineáris vektorok lehetnek egyirányú vagy ellentétes irányokba. Ez utóbbi esetben λ előjelét változtatjuk. Ezután az 1.7 definíciót ellenőrizve azt látjuk, hogy a = λb. A 2.1. Tétel szerint az a és b vektorok lineárisan függenek egymástól.

Megjegyzés 2.1. Két vektor esetén a lineáris függőség kritériumát figyelembe véve a bizonyított tétel a következőképpen fogalmazható újra: két vektor akkor és csak akkor kollineáris, ha az egyiket a másik szorzataként ábrázoljuk egy számmal. Ez egy kényelmes kritérium két vektor kollinearitásához.

Tétel 2.3. Három vektor akkor és csak akkor lineárisan függ egysíkú.

◄ Ha három a, b, c vektor lineárisan függő, akkor a 2.1. Tétel szerint az egyik, például a, a többiek lineáris kombinációja: a = βb + γс. Kombináljuk a b és c vektorok origóját az A pontban. Ekkor a βb, γc vektoroknak közös origójuk lesz az A pontban és paralelogramma szabályozza az összegüket, azok. a vektor egy olyan vektor lesz, amelynek A és kezdete vége, amely az összegző vektorokra épített paralelogramma csúcsa. Így minden vektor ugyanabban a síkban van, azaz egy síkban van.

Legyenek az a, b, c vektorok egysíkúak. Ha ezen vektorok egyike nulla, akkor nyilvánvaló, hogy a többi vektor lineáris kombinációja lesz. Elegendő, ha a lineáris kombináció összes együtthatóját nullával egyenlőnek vesszük. Ezért feltételezhetjük, hogy mindhárom vektor nem nulla. Összeegyeztethető Rajt Ezek a vektorok egy közös O pontban vannak. Legyenek a végeik az A, B, C pontok (2.1. ábra). Rajzoljunk a C ponton keresztül párhuzamos egyeneseket az O, A és O, B pontpárokon átmenő egyenesekkel. A metszéspontokat A" és B"-vel jelölve egy OA"CB" paralelogrammát kapunk, ezért OC" = OA" + OB " . OA vektor" és a nullától eltérő a= OA vektor kollineáris, ezért az elsőt úgy kaphatjuk meg, hogy a másodikat megszorozzuk valós számα:OA" = αOA. Hasonlóképpen, OB" = βOB , β ∈ R. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy OC" = α OA + βOB, azaz a c vektor az a és b vektorok lineáris kombinációja. A 2.1. Tételhez az a , b, c vektorok lineárisan függőek.

Tétel 2.4. Bármely négy vektor lineárisan függ.

◄ A bizonyítás ugyanazt a sémát követi, mint a 2.3. Tételben. Tekintsünk tetszőleges négy a, b, c és d vektort. Ha a négy vektor közül az egyik nulla, vagy van köztük két kollineáris vektor, vagy a négy vektor közül három egysíkú, akkor ez a négy vektor lineárisan függ. Például, ha az a és b vektorok kollineárisak, akkor összeállíthatjuk az αa + βb = 0 lineáris kombinációjukat nem nulla együtthatókkal, majd hozzáadjuk ehhez a kombinációhoz a maradék két vektort, együtthatónak véve nullákat. Négy 0-val egyenlő vektor lineáris kombinációját kapjuk, amelyben nullától eltérő együtthatók vannak.

Feltételezhetjük tehát, hogy a kiválasztott négy vektor között nincs nulla, nincs kettő kollineáris, és nincs három egysíkú. Közös kezdetüknek az O pontot választjuk, ekkor az a, b, c, d vektorok végei néhány A, B, C, D pont lesz (2.2. ábra). Rajzolj három síkot a D ponton keresztül, párhuzamos síkokkal OBC, OCA, OAB, és legyen A", B", C" e síkok metszéspontja az OA, OB, OS egyenesekkel. OA"C"B"C"B"DA négyzetet kapunk ", és a, b, c vektorok az O csúcsból kilépő élein fekszenek. Mivel az OC"DC" négyszög egy paralelogramma, akkor OD = OC" + OC" . Az OS" szakasz pedig az átló az OA"C"B" paralelogramma, így OC" = OA" + OB" , és OD = OA" + OB" + OC" .

Meg kell jegyeznünk, hogy az OA ≠ 0 és OA" , OB ≠ 0 és OB" , OC ≠ 0 és OC" vektorpárok kollineárisak, ezért megválaszthatjuk az α, β, γ együtthatókat úgy, hogy OA" = αOA, OB" = βOB és OC" = γOC. Végül azt kapjuk, hogy OD = αOA + βOB + γOC . Ezért az OD vektort a maradék három vektorral fejezzük ki, és a 2.1. Tétel szerint mind a négy vektor lineárisan függ.