Legyen P mező. A, b, ... elemek н R hívni fogjuk skalárok.

1. definíció. Osztály V objektumok (elemek) , , , ... tetszőleges természetű ún vektortér a P mező felett, és az V. osztály elemeit hívjuk vektorok, ha V zárva van a "+" művelet és a skalárokkal való szorzás művelete alatt Р-ből (azaz bármely , нV + н esetén V;"aО Р aОV), és a következő feltételek teljesülnek:

A 1: Algebra - Abel-csoport;

A 2: bármely a, bОР, bármely ОV esetén érvényes a(b)=(ab)-általánosított asszociációs törvény;

A 3: bármely a, bОР, bármely ОV esetén (a+b)= a+ b;

A 4: P-ből bármely a-ra, V-ből bármely -ra a(+)=a+a(általánosított eloszlási törvények);

A 5: V bármelyikére 1 = teljesül, ahol 1 a P mező egysége - az unitárius tulajdonság.

A P mező elemeit skalároknak, a V halmaz elemeit pedig vektoroknak nevezzük.

Megjegyzés. Egy vektor skalárral való szorzása nem bináris művelet a V halmazon, mivel ez egy P´V®V leképezés.

Tekintsünk példákat vektorterekre.

1. példa Nulla (nulladimenziós) vektor tér- tér V 0 =() - egy nullvektorból áll.

És bármely aОР a= esetén. Vizsgáljuk meg a vektortér-axiómák teljesíthetőségét.

Vegyük észre, hogy a nulla vektortér alapvetően a P mezőtől függ. Így a racionális számok mezeje és a mező feletti nulldimenziós terek valós számok különbözőnek tekintendők, még akkor is, ha egyetlen nullvektorból állnak.

2. példa A P mező maga egy vektortér a P mező felett. Legyen V=P. Vizsgáljuk meg a vektortér-axiómák teljesíthetőségét. Mivel P egy mező, P egy additív Abel-csoport, és A 1 teljesül. A szorzás asszociativitásának P-ben való megvalósíthatósága alapján A 2 teljesül. Az A 3 és A 4 axiómák érvényesek, mert a szorzás disztributív P-ben az összeadáshoz képest. Mivel a P mezőben egyetlen 1 elem található, így az A 5 egységtulajdonság teljesül. Így a P mező vektortér a P mező felett.

3. példa Aritmetikai n-dimenziós vektortér.

Legyen P mező. Tekintsük a V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i н P, i=1,…, n halmazt. A V halmazon bemutatjuk a vektorok összeadásának és a vektor skalárral való szorzásának műveleteit a következő szabályok szerint:

"= (a 1 , a 2 , … , an), = (b 1 , b 2 , … , bn) О V, "aО P += (a 1 + b 1, a 2 + b 2, … , an + milliárd) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

A V halmaz elemei meg lesznek hívva n-dimenziós vektorok. Két n-dimenziós vektort egyenlőnek mondunk, ha a hozzájuk tartozó komponensek (koordináták) egyenlőek. Mutassuk meg, hogy V egy vektortér a P mező felett. A vektorok összeadása és a vektor skalárral való szorzása műveleteinek definíciójából következik, hogy V ezekre a műveletekre zárt. Mivel a V-ből származó elemek hozzáadása a P mező elemeinek hozzáadására redukálódik, és P egy additív Abel-csoport, akkor V egy additív Abel-csoport. Továbbá = , ahol 0 az Р, -= (-a 1 , -a 2 , … , -a n) mező nullája. Így az A 1 teljesül. Mivel a V-ből származó elem szorzata egy P-ből származó elemmel a P mező elemeinek szorzatára redukálódik, akkor:

A 2-t a P-vel való szorzás asszociativitása miatt hajtjuk végre;

A 3 és A 4 teljesül a szorzás eloszlása miatt a P-n történő összeadáshoz képest;

Az 5 teljesül, mivel 1 Î P semleges elem a P-vel való szorzás szempontjából.

2. definíció. A V= P n halmaz műveletekkel, bizonyos képleteket(1) és (2) aritmetikai n-dimenziós vektortérnek nevezzük a P mező felett.

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

vektor(vagy lineáris) tér- egy matematikai struktúra, amely elemek halmaza, úgynevezett vektorok, amelyekre az egymáshoz való összeadás és a számmal való szorzás műveletei - skalár - vannak definiálva. Ezekre a műveletekre nyolc axióma vonatkozik. A skalárok lehetnek valós, komplex vagy bármilyen más számmező elemei. Egy ilyen tér speciális esete a szokásos háromdimenziós euklideszi tér, amelynek vektorait például fizikai erők ábrázolására használják. Ugyanakkor meg kell jegyezni, hogy egy vektort, mint egy vektortér elemét, nem kell irányított szegmens formájában megadni. A "vektor" fogalmának bármilyen jellegű vektortér elemére történő általánosítása nemcsak hogy nem okoz zavart a kifejezésekben, hanem lehetővé teszi számos olyan eredmény megértését vagy akár előrejelzését is, amelyek tetszőleges természetű terekre érvényesek. .

A vektorterek a lineáris algebra vizsgálatának tárgyát képezik. A vektortér egyik fő jellemzője a mérete. A dimenzió a tér lineárisan független elemeinek maximális száma, vagyis durva geometriai leíráshoz folyamodva azoknak az irányoknak a száma, amelyek csak az összeadás és a skalárral való szorzás műveleteivel egymásban kifejezhetetlenek. A vektortér további struktúrákkal is felruházható, mint például a norma vagy a pontszorzat. Az ilyen terek természetesen jelennek meg a számításban, túlnyomórészt végtelen dimenziós függvényterekként ( angol), ahol a vektorok a függvények. Számos elemzési probléma megköveteli annak megállapítását, hogy egy vektorsorozat konvergál-e adott vektor. Ilyen kérdések megvitatása további struktúrájú vektorterekben lehetséges, a legtöbb esetben megfelelő topológiával, amely lehetővé teszi a közelség és a folytonosság fogalmának meghatározását. Az ilyen topológiai vektorterek, különösen a Banach és Hilbert terek mélyebb tanulmányozást tesznek lehetővé.

A lineáris algebra a vektorok mellett a magasabb rangú tenzorokat is vizsgálja (a skalárt 0. rangú tenzornak, a vektort 1. rangú tenzornak tekintjük).

Az első munkák, amelyek a vektortér fogalmának bevezetését várták, a 17. századból származnak. Ekkor kapta meg fejlődését az analitikus geometria, a mátrixok tana, a lineáris egyenletrendszerek és az euklideszi vektorok.

Meghatározás

Lineáris, vagy vektor tér $V\bal (F\jobb)$ a mező fölött $F$ egy rendezett négyes $(V,F,+,\cdot)$ , ahol

$V$ - tetszőleges jellegű elemek nem üres halmaza, amelyek ún vektorok;
$F$ - (algebrai) mező, amelynek elemeit hívjuk skalárok;
Művelet meghatározott kiegészítéseket vektorok $V\-szer V\-től V-ig$ , amely minden elempárhoz illeszkedik $\mathbf(x), \mathbf(y)$ készletek $V$ $V$ hívja őket összegés jelöltük $\mathbf(x) + \mathbf(y)$ ;
Művelet meghatározott vektorok szorzása skalárokkal $F\-szer V\-től V-ig$ , amely megfelel az egyes elemeknek $\lambda$ mezőket $F$ és minden egyes elemet $\mathbf(x)$ készletek $V$ a készlet egyetlen eleme $V$ , jelölve $\lambda\cdot \mathbf(x)$ vagy $\lambda\mathbf(x)$ ;

Az ugyanazon az elemkészleten, de különböző mezők felett meghatározott vektorterek különböző vektorterek lesznek (például valós számpárok halmaza $\mathbb(R)^2$ lehet kétdimenziós vektortér a valós számok mezője felett vagy egydimenziós - a komplex számok mezője felett).

A legegyszerűbb tulajdonságok

A vektortér összeadás alapján Abel-csoport.
semleges elem $\mathbf(0) \in V$
$0\cdot\mathbf(x) = \mathbf(0)$ bárkinek $\mathbf(x) \in V$ .
Bárkinek $\mathbf(x) \in V$ ellentétes elem $-\mathbf(x) \in V$ az egyetlen, amely a csoport tulajdonságaiból következik.
$1\cdot\mathbf(x) = \mathbf(x)$ bárkinek $\mathbf(x) \in V$ .
$(-\alpha)\cdot\mathbf(x) = \alpha\cdot(-\mathbf(x)) = -(\alpha\mathbf(x))$ bármilyen $\alpha \in F$ És $\mathbf(x) \in V$ .
$\alpha\cdot \mathbf(0) = \mathbf(0)$ bárkinek $\alpha \in F$ .

Kapcsolódó definíciók és tulajdonságok

altér

Algebrai definíció: Lineáris altér vagy vektor altér egy nem üres részhalmaz $K$ lineáris tér $V$ oly módon, hogy $K$ pontban meghatározottakhoz képest maga is lineáris tér $V$ az összeadás és a skalárral való szorzás műveletei. Az összes alterek halmazát általában így jelölik $\mathrm(Lat)(V)$ . Ahhoz, hogy egy részhalmaz altér legyen, szükséges és elegendő az

bármely vektorhoz $\mathbf(x)\in K$ , vektor $\alpha\mathbf(x)$ is tartozott $K$ , bármilyen $\alpha\in F$ ;
bármely vektorhoz $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , vektor $\mathbf(x)+\mathbf(y)$ is tartozott $K$ .

Az utolsó két állítás egyenértékű a következőkkel:

Bármilyen vektorhoz $\mathbf(x), \mathbf(y) \in K$ , vektor $\alpha\mathbf(x)+\beta\mathbf(y)$ is tartozott $K$ bármilyen $\alpha, \beta \in F$ .

Konkrétan egy csak egy nulla vektorból álló vektortér bármely tér altere; minden tér önmaga altere. Azokat az altereket, amelyek nem esnek egybe ezzel a kettővel, nevezzük saját vagy nem triviális.

Altér tulajdonságai

Az alterek bármely családjának metszéspontja ismét altér;
Alterek összege $K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N$ az összes lehetséges elemösszeget tartalmazó halmazként definiálva K_i: \sum_(i=1)^N (K_i):= $\mathbf(x)_1 + \mathbf(x)_2 + \ldots + \mathbf(x)_N\quad|\quad \mathbf(x)_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)$.
- Az alterek véges családjának összege ismét altér.

Lineáris kombinációk

A nézet végösszege

$\alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n$

A lineáris kombináció neve:

Alap. Dimenzió

Vektorok $\mathbf(x)_1, \mathbf(x)_2, \ldots, \mathbf(x)_n$ hívott lineárisan függő, ha van ezeknek egy nem triviális lineáris kombinációja, amely egyenlő nullával:

Egyébként ezeket a vektorokat nevezzük lineárisan független.

Ez a definíció a következő általánosítást teszi lehetővé: vektorok végtelen halmaza -ból $V$ hívott lineárisan függő, ha néhány végső részhalmaza, és lineárisan független, ha van végső részhalmaz lineárisan független.

Alaptulajdonságok:

Bármi $n$ lineárisan független elemek $n$ -dimenziós térforma alapon ezt a teret.
Bármilyen vektor $\mathbf(x) \in V$ el lehet képzelni ( az egyetlen módja) döntő formájában lineáris kombináció alapelemek:

\mathbf(x) = \alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n

Lineáris héj

Lineáris héj $\mathcal V(X)$ részhalmazok $x$ lineáris tér $V$ - az összes altér metszéspontja $V$ tartalmazó $x$ .

A lineáris shell egy altér $V$ .

Lineáris héjnak is nevezik altér generált $x$ . Azt is mondják, hogy a lineáris fesztáv $\mathcal V(X)$ - tér, átnyúlt sok $x$ .

Lineáris héj $\mathcal V(X)$ az elemek különböző véges alrendszereinek összes lehetséges lineáris kombinációjából áll $x$ . Különösen, ha $x$ akkor véges halmaz $\mathcal V(X)$ az elemek összes lineáris kombinációjából áll $x$ . Így a nullvektor mindig a lineáris tartományhoz tartozik.

Ha $x$ egy lineárisan független halmaz, akkor ez egy bázis $\mathcal V(X)$ és ezáltal meghatározza a méretét.

Példák

Nulla tér, amelynek egyetlen eleme nulla.
Az összes funkció tere $X\-től F$ véges alátámasztással egyenlő dimenziójú vektorteret alkot $x$ .
A valós számok mezője a racionális számok mezeje feletti kontinuum-dimenziós vektortérnek tekinthető.
Bármely mező önmaga feletti egydimenziós tér.

További szerkezetek

Lásd még

Írjon véleményt a "Vektortér" cikkről

Megjegyzések

Irodalom

Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról. - 5. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról. 5. kiadás - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineáris algebra és geometria. 2. kiadás - M .: Nauka, 1986. - 304 p.
Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. 2. rész: Lineáris algebra. - 3. - M .: Nauka ., 2004. - 368 p. - (Egyetemi tankönyv).
Maltsev A.I. A lineáris algebra alapjai. - 3. - M .: Nauka, 1970. - 400 p.

Posztnyikov M. M. Lineáris algebra (geometriai előadások. II. félév). - 2. - M .: Nauka, 1986. - 400 p.
Strang G. Lineáris algebra és alkalmazásai = Lineáris algebra és annak alkalmazások. - M .: Mir, 1980. - 454 p.
Iljin V. A., Poznyak E. G. Lineáris algebra. 6. kiadás - M .: Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
Halmosh P. Véges dimenziós vektorterek = véges dimenziós vektorterek. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 263 p.
Faddeev D.K. Előadások az algebráról. - 5. - Szentpétervár. : Lan, 2007. - 416 p.
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - 1. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 p.
Schreyer O., Shperner G. Bevezetés a lineáris algebrába a geometriai bemutatásban = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / G. Olshansky (németről fordítás). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak

A vektorok fajtái

Műveletek vektorokon

Tértípusok

mátrixok

Alapfogalmak

Egyéb

A Vector teret jellemző részlet

Kutuzov végigjárta a sorokat, időnként megállt, és mondott néhány kedves szót a török háborúból ismert tisztekhez, néha pedig a katonákhoz. A cipőre pillantva többször is szomorúan megrázta a fejét, és olyan arckifejezéssel mutatott rájuk az osztrák tábornokra, hogy láthatóan senkit sem rótt fel emiatt, de nem tudta nem látni, milyen rossz. Az ezredparancsnok minden alkalommal előreszaladt, félt, hogy elmulasztja a főparancsnok szavát az ezredre vonatkozóan. Kutuzov mögött, olyan távolságban, hogy minden gyengén kimondott szót hallani lehetett, egy húsz fős kíséretből álló férfi haladt. A kíséret urai egymás között beszélgettek, néha nevettek. A főparancsnok mögött egy jóképű adjutáns állt a legközelebb. Bolkonsky herceg volt. Mellette volt a bajtársa, Nesvitsky, magas főhadiszállás rendkívül kövér tiszt, kedves, mosolygós, jóképű arccal és nedves szemekkel; Neszvickij alig bírta visszatartani a nevetést, felkeltette a mellette sétáló fekete huszártiszt. A huszártiszt mosolyogva, merev tekintetének kifejezését nem változtatva, komoly arccal nézett az ezredparancsnok hátára, és minden mozdulatát utánozta. Valahányszor az ezredparancsnok megborzongott és előrehajolt, pontosan ugyanúgy, pontosan ugyanúgy, a huszártiszt megborzongott és előrehajolt. Neszvicij nevetett, és lökte a többieket, hogy nézzenek rá a vicces emberre.
Kutuzov lassan és kedvetlenül sétált el ezer szeme mellett, amelyek kigördültek az üregükből, követve a főnököt. Miután kiegyenlített a 3. századdal, hirtelen megállt. A kíséret, nem látva előre ezt a megállást, önkéntelenül is nekirontott.
- Ó, Timokhin! - mondta a főparancsnok, felismerve a vörös orrú kapitányt, aki kék felöltő miatt szenvedett.
Úgy tűnt, nem lehet többet nyújtani, mint amennyit Timokhin nyújt, miközben az ezredparancsnok megfeddte. De abban a pillanatban a főparancsnok megszólította, a kapitány úgy elnyújtózkodott, hogy úgy tűnt, ha még egy kicsit ránéz a fővezér, a kapitány nem bírta volna ki; és ezért Kutuzov láthatóan megértette álláspontját, és éppen ellenkezőleg, minden jót kívánt a kapitánynak, sietve elfordult. Alig észrevehető mosoly futott végig Kutuzov kövérkés, sebzett arcán.
– Egy másik Izmaylovsky elvtárs – mondta. – Bátor tiszt! elégedett vagy vele? – kérdezte Kutuzov az ezredparancsnoktól.
És az ezredparancsnok, mintha tükörben tükröződött volna, önmaga számára láthatatlanul, a huszártisztben, megborzongott, előrement és így válaszolt:
„Nagyon örülök, excellenciás uram.
„Mindannyian nem vagyunk gyengeségek nélkül” – mondta Kutuzov mosolyogva, és eltávolodott tőle. – Volt kötődése Bacchushoz.
Az ezredparancsnok attól tartott, hogy nem ő a hibás ezért, és nem válaszolt. A tiszt abban a pillanatban észrevette a kapitány vörös orrú és felhúzott hasú arcát, és annyira hasonló módon utánozta az arcát és a testtartását, hogy Neszvicszkij nem tudott megállni a nevetéstől.
Kutuzov megfordult. Nyilvánvaló volt, hogy a tiszt úgy tud uralkodni az arcán, ahogy akarta: abban a pillanatban, amikor Kutuzov megfordult, a tisztnek sikerült egy fintort vágnia, majd a legkomolyabb, tisztelettudó és ártatlan kifejezést öltötte magára.
A harmadik társaság volt az utolsó, és Kutuzov gondolta, nyilván emlékezett valamire. Andrej herceg kilépett a kíséretből, és csendesen franciául mondta:
- Ön parancsolta, hogy emlékeztessenek a lefokozott Dolokhovra ebben az ezredben.
- Hol van Dolokhov? – kérdezte Kutuzov.
Dolohov, aki már katonaszürke felöltőbe volt öltözve, nem várta, hogy hívják. Egy szőke, tiszta kék szemű katona karcsú alakja lépett ki elől. Odalépett a főparancsnokhoz, és őrséget állított fel.
- Követelés? - enyhén homlokát ráncolva kérdezte Kutuzov.
– Ő Dolokhov – mondta Andrej herceg.
– A! – mondta Kutuzov. – Remélem, ez a lecke kijavít, szolgálj jól. A császár irgalmas. És nem felejtelek el, ha megérdemled.
Tiszta kék szemek olyan merészen néztek a főparancsnokra, mint az ezredparancsnokra, mintha arckifejezésükkel letépnék a konvencionális fátylat, amely a főparancsnokot eddig elválasztotta a katonától.
– Egy dolgot kérdezek, excellenciás uram – mondta zengő, határozott, nem sietős hangján. „Arra kérem, adjon lehetőséget, hogy jóvá tegyem bűnömet, és bizonyítsam a császár és Oroszország iránti elkötelezettségemet.
Kutuzov elfordult. Szeméből ugyanaz a mosoly villant át az arcán, mint annak idején, amikor elfordult Timokhin kapitánytól. Elfordult és elfintorodott, mintha ezzel akarná kifejezni, hogy mindent, amit Dolokhov elmondott neki, és mindent, amit elmondhatott neki, már régóta tudta, hogy ez az egész már unta, és hogy ez az egész egyáltalán nem az, amire szüksége volt.. Megfordult, és a hintó felé indult.
Az ezred társaságokban rendezkedett be, és a Braunautól nem messze kijelölt lakások felé vette az irányt, ahol abban reménykedtek, hogy a nehéz átállások után cipőt vehetnek fel, öltözhetnek és pihenhetnek.
- Nem teszel úgy, mint nekem, Prokhor Ignatich? - mondta az ezredparancsnok, megkerülve a hely felé haladó 3. századot, és felhajtott az előtte haladó Timokhin századoshoz. Az ezredparancsnok arca egy szerencsésen távozott szemle után elfojthatatlan örömet fejezett ki. - A királyi szolgálat ... nem tudsz ... máskor elvágod az elejét ... Én leszek az első, aki bocsánatot kér, ismersz ... Köszönöm szépen! És kezet nyújtott a parancsnoknak.
– Elnézést, tábornok, merjek-e! - válaszolta a kapitány, az orrával elpirulva, mosolyogva és mosolyogva felfedte a két mellső fog hiányát, amit egy fenék ütött ki Izmael közelében.
- Igen, mondja meg Dolokhov úrnak, hogy nem felejtem el, hogy nyugodt legyen. Igen, kérem, mondja meg, folyton azt akartam kérdezni, hogy mi van, hogyan viselkedik? És minden...
- Nagyon szolgálatkész a szolgálatában, excellenciás uram... de a karakht... - mondta Timokhin.
- És mi, mi a karakter? – kérdezte az ezredparancsnok.
- Napokig találja, excellenciás uram - mondta a kapitány -, hogy okos, tanult és kedves. És ez egy vadállat. Lengyelországban megölt egy zsidót, ha tudja...
- Nos, igen, igen - mondta az ezredparancsnok -, mindent meg kell bánni. fiatal férfi szerencsétlenségben. Végül nagy kapcsolatok… Szóval te…
– Figyelek, excellenciás uram – mondta Timokhin mosolyogva, és úgy érezte, megérti a főnök kívánságát.
- Igen igen.
Az ezredparancsnok megtalálta Dolokhovot a sorokban, és megzabolázta a lovát.
„Az első eset előtt epaulettek” – mondta neki.
Dolokhov körülnézett, nem szólt semmit, és nem változtatott gúnyosan mosolygó szája kifejezésén.
- Nos, ez jó - folytatta az ezredparancsnok. „Az emberek kapnak tőlem egy pohár vodkát” – tette hozzá, hogy a katonák hallják. - Köszönök mindent! Hála Istennek! - És ő, miután megelőzött egy társaságot, odahajtott egy másikhoz.
- Nos, ő, igaz, jó ember; Szolgálhat vele – mondta Timokhin alispán a mellette sétáló tisztnek.
- Egy szó, piros!... (az ezredparancsnokot a vörös királynak becézték) - mondta nevetve az altiszt.
A felülvizsgálat utáni illetékesek vidám hangulata átszállt a katonákba. Rota jól szórakozott. Katonák hangja beszélt mindenfelől.
- Hogy mondták, Kutuzov ferde, az egyik szemére?
- De nem! Teljesen ferde.
- Nem... testvér, nagyobb szemű, mint te. Csizma és gallér - körülnézett mindenben ...
- Hogy néz ő, öcsém a lábam elé... nos! gondol…
- A másik pedig osztrák, úgy volt vele, mintha krétával kenték volna. Mint a liszt, fehér. Tea vagyok, hogy tisztítják a lőszert!
- Mi van, Fedeshow!... azt mondta, talán, amikor az őrök kezdik, közelebb álltál? Mindent elmondtak, maga Bunaparte áll Brunovban.
- Bunaparte áll! hazudsz, bolond! Mit nem tud! Most a porosz lázad. Az osztrák tehát megnyugtatja. Amint kibékül, háború kezdődik Bounaparte ellen. És akkor, mondja, Brunovban Bunaparte áll! Nyilvánvaló, hogy egy idióta. Hallgass többet.
„Nézzétek, átkozott bérlők! Az ötödik társaság, nézd, már bekanyarod a faluba, kását főznek, és még nem érünk a helyszínre.
- Adj egy kekszet, a fenébe.
– Adtál dohányt tegnap? Ennyi, testvér. Nos, Isten veled.
- Ha megállnának, különben nem eszel még öt mérföldnyi propremet.
- Jó volt, ahogy a németek babakocsit adtak nekünk. Menj, tudd: ez fontos!
- És itt, testvér, az emberek teljesen megvadultak. Ott minden lengyelnek tűnt, minden orosz korona volt; és most, testvér, elment egy szolid német.
- Előre a dalszerzők! - hallottam a kapitány kiáltását.
A társaság elé pedig húsz ember szaladt ki különböző beosztásból. A dobos a daloskönyvek felé fordulva énekel, és kezével integetve elnyújtott katonadalt énekel, melynek kezdete: "Ugye hajnal van, felkelt a nap..." és a következő szavakkal fejeződik be: "Ez lesz a dicsőség, testvérek Kamensky apjával..." Ezt a dalt Törökországban komponáltuk, és most Ausztriában énekelték, csak azzal a változtatással, hogy a "Kamensky apja" helyére a következő szavak kerültek be: "Kutuzov apja ."
Katona módjára letépte ezeket az utolsó szavakat és hadonászott a karjával, mintha a földre dobna valamit, a dobos, egy negyven körüli száraz és jóképű katona szigorúan körülnézett a dalszerző katonákon, és lehunyta a szemét. Aztán megbizonyosodva arról, hogy minden tekintet rászegeződik, mintha óvatosan két kézzel emelt volna valami láthatatlan, értékes dolgot a feje fölé, néhány másodpercig így tartotta, majd hirtelen kétségbeesetten eldobta:
Ó, te, baldachinom, baldachinom!
„Canopy my new…” – szólalt meg húsz hang, és a kanalas a sok lőszer ellenére fürgén előreugrott és hátrafelé sétált a társaság előtt, mozgatta a vállát, és kanállal fenyegetett valakit. A katonák a karjukat a dal ütemére lengetve, tágas léptekkel haladtak, önkéntelenül a lábát ütve. A társaság mögött kerekek zaja, rugók ropogása és lovak csattogása hallatszott.
Kutuzov kíséretével visszatért a városba. A főparancsnok jelezte, hogy az emberek továbbra is szabadon járjanak, és arca és kíséretének minden arca örömét fejezte ki a dal hallatán, a táncoló katona és a vidáman, lendületesen menetelő katonák láttán. a cég. A második sorban, a jobb szárnyról, ahonnan a hintó előzte a századokat, akaratlanul is egy kék szemű katona, Dolokhov akadt a szemébe, aki különösen fürgén és kecsesen haladt a dal ütemére, és nézte az énekesek arcát. járókelőket olyan arckifejezéssel, mintha mindenkit megsajnálna, aki ilyenkor nem ment társasággal. Kutuzov kíséretéből egy huszárkornet, az ezredparancsnokot utánozva, lemaradt a hintóról, és felhajtott Dolokhovhoz.
Zserkov huszárkornet egy időben Szentpéterváron ahhoz az erőszakos társasághoz tartozott, amelyet Dolokhov vezetett. Zherkov katonaként találkozott külföldön Dolokhovval, de nem tartotta szükségesnek felismerni. Most, miután Kutuzov beszélt a lefokozottal, egy régi barátja örömével fordult hozzá:
- Kedves barátom, hogy vagy? - mondta a dal hallatán, egyenlítve lova lépését a társaság lépésével.
- Olyan vagyok? - válaszolta hidegen Dolokhov - amint látja.
Az élénk dal különös jelentőséget tulajdonított annak a pimasz vidámságnak, amellyel Zserkov beszélt, és Dolokhov válaszainak szándékos hidegségét.
- Szóval, hogyan boldogulsz a hatóságokkal? – kérdezte Zserkov.
- Semmi, jó emberek. Hogyan került a főhadiszállásra?
- Kirendelve, szolgálatban vagyok.
Elhallgattak.
„Kiengedtem a sólymot a jobb ujjamból” – szólt a dal, önkéntelenül is vidám, jókedvű érzést gerjesztve. Beszélgetésük valószínűleg más lett volna, ha nem egy dal hallatán beszélnek.
- Mi az igaz, megverték az osztrákokat? – kérdezte Dolokhov.
„Az ördög tudja, mondják.
„Örülök” – válaszolta Dolokhov röviden és egyértelműen, ahogy a dal megkívánta.
- Nos, gyere el hozzánk, amikor este a fáraó zálogba lép - mondta Zserkov.
Vagy sok pénzed van?
- Gyere.
- Ez tiltott. Esküt tett. Nem iszom és nem játszom, amíg el nem készül.
Nos, az első dolog előtt...
- Ott meglátod.
Megint elhallgattak.
„Gyere be, ha szükséged van valamire, a főhadiszálláson mindenki segít…” – mondta Zserkov.
Dolokhov felnevetett.
– Jobb, ha nem aggódsz. Ami kell, azt nem kérem, magam viszem.
"Igen, hát én annyira...
- Hát én is.
- Viszontlátásra.
- Egészségesnek lenni…
... és magasan és messze,
A hazai oldalon...
Zserkov sarkantyújával megérintette lovát, amely háromszor izgulva, rugdosva, nem tudva, hol kezdje, megbirkózott és vágtatott, megelőzve a társaságot és utolérve a hintót, szintén a dallal időben.

Az áttekintésről visszatérve Kutuzov az osztrák tábornok kíséretében bement az irodájába, és felhívta az adjutánst, és megparancsolta, hogy adjon át magának néhány iratot a beérkező csapatok állapotáról, valamint a haladó hadsereget irányító Ferdinánd főhercegtől kapott leveleket. . Andrej Bolkonszkij herceg a szükséges papírokkal belépett a főparancsnoki irodába. Az asztalra kirakott terv előtt Kutuzov és a Hofkriegsrat egy osztrák tagja ült.
- Ah... - mondta Kutuzov, és visszanézett Bolkonszkijra, mintha ezzel a szóval várakozásra invitálta volna az adjutánst, és folytatta a megkezdett beszélgetést franciául.
- Csak egyet mondok, tábornok - mondta Kutuzov kellemes eleganciával a kifejezés és a hanglejtés, és arra kényszerítette az embert, hogy hallgasson minden nyugodtan kimondott szóra. Nyilvánvaló volt, hogy Kutuzov élvezettel hallgatta magát. - Csak egyet mondok, tábornok, hogy ha az én személyes vágyamon múlna a dolog, akkor őfelsége Ferenc császár akarata már rég teljesült volna. Már rég csatlakoztam volna a főherceghez. És higgyétek el becsületemnek, hogy nekem személy szerint örömet jelentene, ha a hadsereg magasabb parancsnokságát nálam nagyobb mértékben átruházhatnám egy hozzáértő és ügyes hadvezérre, mint amilyen Ausztria is, és mindezt a súlyos felelősséget személyesen rám hárítanám. . De a körülmények erősebbek nálunk, tábornok.
És Kutuzov olyan arckifejezéssel mosolygott, mintha azt mondaná: „Teljesen megvan a joga, hogy ne higgyen nekem, és még engem sem érdekel, hiszel-e nekem vagy sem, de nincs okod ezt elmondani. És ez az egész lényeg."
Az osztrák tábornok elégedetlennek tűnt, de nem tudott ugyanabban a hangnemben válaszolni Kutuzovnak.
- Ellenkezőleg - mondta morcos és dühös hangon, annyira ellentétben az elhangzott szavak hízelgő jelentésével -, ellenkezőleg, őfelsége nagyra értékeli Excellenciád részvételét a közös ügyben; de hisszük, hogy a valódi lassulás megfosztja a dicső orosz csapatokat és parancsnokaikat azoktól a babéroktól, amelyeket a csatákban szoktak learatni” – fejezte be a látszólag előkészített mondatot.
Kutuzov meghajolt anélkül, hogy mosolyt váltott volna.
- És annyira meg vagyok győződve, és az utolsó levél alapján, amellyel őfelsége Ferdinánd főherceg megtisztelt, feltételezem, hogy az osztrák csapatok egy olyan képzett segéd parancsnoksága alatt, mint Mack tábornok, most már döntő győzelmet arattak, és már nem. szükségünk van a segítségünkre – mondta Kutuzov.
A tábornok a homlokát ráncolta. Bár az osztrákok vereségéről nem érkezett pozitív hír, túl sok körülmény igazolta az általánosan kedvezőtlen híreszteléseket; és ezért Kutuzov feltételezése az osztrákok győzelméről nagyon hasonlított a gúnyhoz. De Kutuzov szelíden mosolygott, még mindig ugyanazzal az arckifejezéssel, amely azt mondta, hogy joga van ezt feltételezni. Valóban, az utolsó levél, amit Mack seregétől kapott, a győzelemről és a hadsereg legelőnyösebb stratégiai helyzetéről tájékoztatta.
– Add ide ezt a levelet – mondta Kutuzov Andrej herceghez fordulva. - Itt vagy, ha látni akarod. - És Kutuzov gúnyos mosollyal ajka végén felolvasta Ferdinánd főherceg német-osztrák tábornok leveléből a következő részt: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Vererwolliten, sere ganzero verelliten, serewollen. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er [Teljesen koncentrált erőnk van, körülbelül 70 000 ember, hogy megtámadhassuk és legyőzzük az ellenséget, ha átkel a Lech-en. Mivel már birtokoljuk Ulmot, megtarthatjuk azt az előnyt, hogy a Duna mindkét partját irányíthatjuk, ezért minden percben, ha az ellenség nem kel át a Lech-en, keljen át a Dunán, rohanjon a kommunikációs vonalához, keljen át a Dunán lejjebb és az ellenség , ha úgy dönt, hogy minden erejét hűséges szövetségeseink felé fordítja, hogy megakadályozza szándéka teljesülését. Így vidáman várjuk majd az időt, amikor a birodalmi orosz hadsereg teljesen készen, és akkor együtt könnyen találhatunk alkalmat arra, hogy előkészítsük az ellenség sorsát, amit megérdemel.

Golovizin V.V. Előadások algebráról és geometriáról. 4

Előadások algebráról és geometriáról. 2. félév.

22. előadás. Vektorterek.

Összefoglalás: vektortér meghatározása, legegyszerűbb tulajdonságai, vektorrendszerek, vektorrendszer lineáris kombinációja, triviális és nem triviális lineáris kombináció, lineárisan függő és független vektorrendszerek, feltételek lineáris függőség vagy vektorrendszer függetlensége, vektorrendszer alrendszere, aritmetikai vektortér oszloprendszere.

1. tétel. A vektortér meghatározása és legegyszerűbb tulajdonságai.

Itt az olvasó kényelme érdekében megismételjük az 1. előadás 13. bekezdésének tartalmát.

Meghatározás. Legyen egy tetszőleges nem üres halmaz, melynek elemeit vektoroknak nevezzük, K egy mező, melynek elemeit skalároknak nevezzük. Legyen a halmazon definiálva egy belső bináris algebrai művelet, amelyet + jellel jelölünk, és vektorok összeadásának nevezzük. Legyen egy külső bináris algebrai művelet is definiálva a halmazon, amit egy vektor skalárral való szorzásának nevezünk, és a szorzási előjellel jelöljük. Más szavakkal, két leképezés van meghatározva:

Egy halmazt e két algebrai művelettel együtt vektortérnek nevezünk egy K mező felett, ha a következő axiómák teljesülnek:

1. Az összeadás asszociatív, azaz.

2. Van egy nulla vektor, azaz.

3. Bármely vektorhoz van ellentétes:

Az x vektorral ellentétes y vektort általában -x-szel jelöljük, így

4. Az összeadás kommutatív, azaz. .

5. Egy vektor skalárral való szorzása megfelel az asszociativitás törvényének, azaz.

ahol a szorzat a K mezőben meghatározott skalárok szorzata.

6. , ahol 1 a K mező egysége.

7. Egy vektor skalárral való szorzása disztributív a vektorösszeadáshoz képest:

8. Egy vektor skalárral való szorzása disztributív a skalárok összeadása tekintetében: .

Meghatározás. A valós számok mezeje feletti vektorteret valós vektortérnek nevezzük.

Tétel. (A vektorterek legegyszerűbb tulajdonságai.)

1. Egy vektortérben csak egy nullvektor van.

2. Egy vektortérben minden vektornak van egyedi ellentéte.

3. vagy
.

4. .

Bizonyíték. 1) A nulla vektor egyediségét ugyanúgy bizonyítjuk, mint az azonosságmátrix egyediségét, és általában, mint bármely belső bináris algebrai művelet semleges elemének egyediségét.

Legyen 0 a V vektortér nulla vektora. Ekkor . Legyen
egy másik nulla vektor. Azután . Vegyük az első esetet
, és a másodikban
. Azután
És
, honnan az következik
stb.

2a) Először bizonyítjuk be, hogy egy nulla skalár és bármely vektor szorzata egyenlő egy nulla vektorral.

Legyen
. Ekkor a vektortér axiómáit alkalmazva a következőt kapjuk:

Az összeadás tekintetében a vektortér egy Abeli-csoport, és a törlési törvény minden csoportra érvényes. A redukció törvényét alkalmazva az utolsó egyenlőségből következik

2b) Most bizonyítsuk be a 4) állítást. Legyen
egy tetszőleges vektor. Azután

Ebből rögtön következik, hogy a vektor
az x ellentéte.

2c) Most hagyjuk
. Ezután a vektortér axiómáit alkalmazva,
És
kapunk:

2d) Hagyjuk
és tegyük fel, hogy
. Mivel
, ahol K egy mező, akkor létezik
. Szorozzuk meg az egyenlőséget
elment
:
, honnan következik
vagy
vagy
.

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel. Példák vektorterekre.

1) Egy változóból álló numerikus valós függvények halmaza, amelyek a (0; 1) intervallumon folytonosak a függvények összeadása és a függvény számmal való szorzása szokásos műveleteihez képest.

2) Az egy betűből származó polinomok halmaza a K mezőből származó együtthatókkal a polinomok összeadása és a polinomok skalárral való szorzása tekintetében.

3) Állítsa be komplex számok komplex számok összeadása és valós számmal való szorzás tekintetében.

4) Egyforma méretű mátrixok halmaza a K mező elemeivel, tekintettel a mátrixösszeadásra és a mátrix skalárral való szorzására.

A következő példa a 4. példa egyik fontos speciális esete.

5) Legyen tetszőleges természetes szám. Jelölje az összes n magasságú oszlop halmazával, azaz, mátrixok halmaza egy K méretű mező felett
.

A halmaz egy vektortér a K mező felett, és a K mező feletti n magasságú oszlopok aritmetikai vektorterének nevezzük.

Különösen, ha egy tetszőleges K mező helyett a valós számok mezőjét vesszük, akkor a vektorteret
n magasságú oszlopok valós aritmetikai vektorterének nevezzük.

Hasonlóképpen a K méretű mező feletti mátrixok halmaza is vektortér
vagy más módon, n hosszúságú karakterláncok. Jelöljük a K mező feletti n hosszúságú karakterláncok számtani vektorterével is, és más néven.

3. tétel. Egy vektortér vektorrendszerei.

Meghatározás. Egy vektortér vektorrendszere ennek a térnek bármely véges, nem üres halmaza.

Kijelölés:
.

Meghatározás. Kifejezés

, (1)

hol vannak a K mező skalárjai, vannak az V vektortér vektorai, a vektorrendszer lineáris kombinációjának nevezzük
. A skalárokat ennek a lineáris kombinációnak az együtthatóinak nevezzük.

Meghatározás. Ha az (1) lineáris kombináció minden együtthatója nulla, akkor egy ilyen lineáris kombinációt triviálisnak nevezünk, ellenkező esetben nem triviális.

Példa. Legyen
három vektorból álló rendszer egy V vektortérben. Ekkor

egy adott vektorrendszer triviális lineáris kombinációja;

egy adott vektorrendszer nem triviális lineáris kombinációja, mivel ennek a kombinációnak az első együtthatója
.

Meghatározás. Ha egy V vektortér bármely x vektora a következőképpen ábrázolható:

akkor azt mondjuk, hogy az x vektor lineárisan van kifejezve a rendszer vektoraival
. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy a rendszer
lineárisan reprezentálja az x vektort.

Megjegyzés. Ebben és az előző meghatározásban a "lineáris" szót gyakran kihagyják, és azt mondják, hogy a rendszer egy vektort képvisel, vagy a vektort a rendszer vektoraival fejezik ki, és így tovább.

Példa. Legyen
egy két oszlopból álló rendszer a 2 magasságú oszlopok számtani valós vektorterében. Ekkor az oszlop
lineárisan kifejezve a rendszer oszlopaival, vagy az adott oszloprendszer lineárisan reprezentálja az x oszlopot. Igazán,

4. tétel. Lineárisan függő és lineárisan független vektorrendszerek vektortérben.

Mivel egy nulla skalár és bármely vektor szorzata nulla vektor, és a nulla vektorok összege egyenlő egy nulla vektorral, akkor bármely vektorrendszerre az egyenlőség

Ebből következik, hogy a nullvektor lineárisan van kifejezve bármely vektorrendszer vektoraiban, vagy más szóval bármely vektorrendszer lineárisan reprezentálja a nullvektort.

Példa. Legyen
. Ebben az esetben a null oszlop A rendszer oszlopaiban lineárisan több módon is kifejezhető:

vagy

A nulla vektor lineáris ábrázolásának ezen módszereinek megkülönböztetésére a következő definíciót vezetjük be.

Meghatározás. Ha az egyenlőség

és az összes együttható , akkor azt mondjuk, hogy a rendszer
a nullvektort triviálisan ábrázolja. Ha a (3) egyenlőségben legalább az egyik együttható
nem egyenlő nullával, akkor azt mondjuk, hogy a vektorrendszer
nem triviális módon ábrázolja a nullvektort.

Az utolsó példából azt látjuk, hogy vannak olyan vektorrendszerek, amelyek nem triviális módon képesek ábrázolni a nullvektort. A következő példából látni fogjuk, hogy vannak olyan vektorrendszerek, amelyek nem képesek nem triviálisan reprezentálni a nullvektort.

Példa. Legyen
egy két oszlopból álló rendszer a vektortérből. Vegye figyelembe az egyenlőséget:

ahol
ismeretlen együtthatók. Az oszlop skalárral (számmal) való szorzására és az oszlopok összeadására vonatkozó szabályokat használva megkapjuk az egyenlőséget:

A mátrixegyenlőség definíciójából az következik, hogy
És
.

Így az adott rendszer nem tudja nem triviálisan ábrázolni a nulloszlopot.

A fenti példákból az következik, hogy kétféle vektorrendszer létezik. Egyes rendszerek a nullvektort nem triviális módon ábrázolják, míg mások nem. Még egyszer jegyezzük meg, hogy bármely vektorrendszer triviálisan reprezentálja a nullvektort.

Meghatározás. A nulla vektort CSAK triviálisan ábrázoló vektortérvektor rendszert lineárisan függetlennek mondjuk.

Meghatározás. Egy vektortérben lévő vektorrendszert, amely nem triviálisan tud ábrázolni egy nullvektort, lineárisan függőnek nevezzük.

Az utolsó meghatározás részletesebb formában is megadható.

Meghatározás. Vektoros rendszer
a V vektorteret lineárisan függőnek nevezzük, ha van a K mező skalárjainak ilyen nullától eltérő halmaza.

Megjegyzés. Bármely vektorrendszer
a nullvektort triviálisan ábrázolhatja:

De ez nem elég ahhoz, hogy kiderüljön, egy adott vektorrendszer lineárisan függő vagy lineárisan független. A definícióból következik, hogy egy lineárisan független vektorrendszer nem ábrázolhatja a nulla vektort nem triviálisan, hanem csak triviálisan. Ezért egy adott vektorrendszer lineáris függetlenségének ellenőrzéséhez figyelembe kell venni a nulla ábrázolását ennek a vektorrendszernek tetszőleges lineáris kombinációjával:

Ha ez az egyenlőség lehetetlen, feltéve, hogy ennek a lineáris kombinációnak legalább egy együtthatója nem nulla, akkor ez a rendszer értelemszerűen lineárisan független.

Tehát az előző bekezdés példáiban az oszloprendszer
lineárisan független, és az oszloprendszer
lineárisan függő.

Hasonlóan bizonyított az oszloprendszer lineáris függetlensége is , , ... ,

a térből, ahol K tetszőleges mező, n tetszőleges természetes szám.

A következő tételek számos kritériumot adnak a vektorrendszerek lineáris függésére és ennek megfelelően lineáris függetlenségére.

Tétel. (Egy vektorrendszer lineáris függésének szükséges és elégséges feltétele.)

Egy vektortérben lévő vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan függő, ha a rendszer egyik vektora lineárisan van kifejezve a rendszer többi vektorával.

Bizonyíték. Szükség. Hagyja a rendszert
lineárisan függő. Ekkor definíció szerint nem triviális módon reprezentálja a nullvektort, azaz. ennek a vektorrendszernek van egy nem triviális lineáris kombinációja, amely egyenlő a nulla vektorral:

ahol ennek a lineáris kombinációnak legalább az egyik együtthatója nem egyenlő nullával. Legyen
,
.

Osszuk el az előző egyenlőség mindkét részét ezzel a nem nulla együtthatóval (azaz szorozzuk meg :

Jelöli:
, ahol .

azok. a rendszer egyik vektora lineárisan van kifejezve ennek a rendszernek a többi vektorával stb.

Megfelelőség. Legyen a rendszer egyik vektora lineárisan kifejezve a rendszer többi vektorával:

Mozgassuk a vektort ennek az egyenletnek a jobb oldalára:

Mivel az együttható a vektornál egyenlő
, akkor a nullát nem triviálisan ábrázoljuk vektorrendszerrel
, ami azt jelenti, hogy ez a vektorrendszer lineárisan függő stb.

A tétel bizonyítást nyert.

Következmény.

1. Egy vektortérben lévő vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha a rendszer egyik vektora sem fejeződik ki lineárisan ennek a rendszernek a többi vektorával.

2. Egy nulla vektort vagy két egyenlő vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

Bizonyíték.

1) Szükségszerűség. Legyen a rendszer lineárisan független. Tegyük fel az ellenkezőjét, és van egy rendszervektor, amely lineárisan fejeződik ki ennek a rendszernek a többi vektorán keresztül. Ekkor a tétel szerint a rendszer lineárisan függő, és ellentmondáshoz jutunk.

Megfelelőség. A rendszer egyik vektorát se fejezzük ki másokkal. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen a rendszer lineárisan függő, de akkor a tételből az következik, hogy van egy rendszervektor, amely ennek a rendszernek a többi vektorán keresztül lineárisan kifejeződik, és ismét ellentmondáshoz jutunk.

2a) Legyen a rendszerben egy nulla vektor. A határozottság érdekében tegyük fel, hogy a vektor
:. Aztán az egyenlőség

azok. a rendszer egyik vektora lineárisan van kifejezve ennek a rendszernek a többi vektorával. A tételből következik, hogy egy ilyen vektorrendszer lineárisan függő, így tovább.

Vegyük észre, hogy ez a tény közvetlenül igazolható egy lineárisan függő vektorrendszer definíciójából.

Mivel
, akkor nyilvánvaló a következő egyenlőség

Ez a nulla vektor nem triviális reprezentációja, ami azt jelenti, hogy a rendszer
lineárisan függő.

2b) Legyen a rendszernek két egyenlő vektora. Hagyjuk a határozottság kedvéért
. Aztán az egyenlőség

Azok. az első vektort lineárisan fejezzük ki ugyanazon rendszer többi vektorával. A tételből az következik, hogy az adott rendszer lineárisan függő, és így tovább.

Az előzőhöz hasonlóan ez az állítás is közvetlenül igazolható a lineárisan függő rendszer definíciójából.

Valóban, azóta
, akkor az egyenlőség

azok. megvan a nullvektor nem triviális reprezentációja.

A következmény bizonyított.

Tétel (Egy vektoros rendszer lineáris függéséről.

Egy vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha ez a vektor nulla.

Bizonyíték.

Szükség. Hagyja a rendszert
lineárisan függő, azaz. létezik a nullvektor nem triviális reprezentációja

ahol
És
. A vektortér legegyszerűbb tulajdonságaiból következik, hogy akkor
.

Megfelelőség. Legyen a rendszer egy nulla vektorból
. Ekkor ez a rendszer nemtriviálisan reprezentálja a nulla vektort

ahonnan a rendszer lineáris függése következik
.

A tétel bizonyítást nyert.

Következmény. Egy vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha ez a vektor nem nulla.

A bizonyítást gyakorlatként az olvasóra bízzuk.

Legyen V egy nem üres halmaz, amelynek elemeit vektoroknak nevezzük, és …-val jelöljük, és így tovább. Legyen két művelet adott és valamilyen módon meghatározott V-n. Az első művelet egy bináris additív művelet (vagy durván szólva összeadási művelet). Ezt a műveletet + jellel jelöljük (azonban nem szükséges, hogy ez a művelet 100%-ban legyen definiálva ugyanúgy, mint a közönséges számok összeadási művelete, most nem számokat tanulunk, hanem vektorokat, ezért ez a művelet a vektorösszeadást egyesekkel is jelölhetjük annak speciális jelével, például: (). A második művelet egy vektor szorzása egy ilyen halmaz valamely elemével?, ami egy mező, aminek eredményeként új () vektort kapjuk. A mező elemeit skalároknak is nevezik. (Aki lusta megnézni, milyen mező, annak elmondom, hogy algebrai mezőkre példaként szolgálhat a valós vagy egyben komplex számok halmaza.) (4)

Tehát fogalmazzuk meg a vektortér axiómáit. (3)

1. a) V tetszőleges két elemének összege és b) egy skalár és V tetszőleges elemének szorzata V néhány eleme (vektor).

2. V-ből bármely három elem összeadása megfelel a kombinációs törvénynek (vagy ahogy mondják, a vektorösszeadás asszociatív):

3. V-ből bármely két elem összeadása megfelel a kommutatív törvénynek (a vektorösszeadás kommutatív): .

4. V-ből van olyan elem (nulla vektor), hogy bármely.

5. V-ből bármely elemre van V-ből olyan elem, amelynek összege az eredeti elemmel egyenlő, azaz. (.

Bármilyen skalárhoz (számhoz)? És? és V-ből bármely két vektorra

vektor altér

A vektoraltér, vagy egyszerűen csak altér, egy K mező feletti E vektortér egy halmaz, amely az összeadás és a skalárral való szorzás műveletei alatt zárva van. A benne lévő tértől külön tekintett altér egy ugyanazon mező feletti vektortér. (öt)

Az E vektortér két x és y pontján áthaladó egyenes a ?? forma elemeinek halmaza. Egy G halmazt lapos halmaznak nevezünk, ha bármelyik kettővel együtt tartalmaz egy ezeken a pontokon átmenő egyenest. Minden lapos halmaz valamilyen altérből egy eltolás ( párhuzamos átvitel): G=x+F, ez azt jelenti, hogy z minden eleme egyedileg ábrázolható y -ként, és az egyenlőség egy az egyhez egyezést biztosít F és G között.

Egy adott F altér összes eltolódásának halmaza egy vektorteret alkot K felett, ezt E/F hányadostérnek nevezzük, ha a művelet determinánsa a következő:

Legyen M = E vektorok tetszőleges halmaza; vektorok lineáris kombinációja a képlettel definiált x vektor

amelyben csak véges számú együttható nem nulla. Egy adott M halmaz összes lineáris vektorkombinációjának halmaza az M-et tartalmazó legkisebb altér, és az ún. lineáris héj halmaz M. Egy lineáris kombinációt triviálisnak nevezünk, ha minden együttható nullával egyenlő. Egy M halmazt lineárisan függő halmaznak nevezünk, ha M-ből származó vektorok összes nem triviális lineáris kombinációja nullától eltérő.

A valós és komplex vektorterek elméletében fontos szerep konvex halmazok elméletét játssza. Valós vektortérben egy M halmazt konvex halmaznak nevezünk, ha bármelyik két x, y pontjával együtt a szakasz is M-hez tartozik.

A vektorterek elméletében nagy helyet foglal el a lineáris funkcionális vektortér elmélete és a kapcsolódó dualitáselmélet. Legyen E egy K mező feletti vektortér. Az E-n lévő lineáris függvény additív és homogén leképezés, E pedig egy K mező feletti vektortér. Az E-n lévő lineáris függvény additív és homogén leképezés

Az E-n lévő összes lineáris funkcionális halmaza a műveletek tekintetében vektorteret képez a K mező felett

Ezt a vektorteret duális (vagy kettős) térnek (E-hez) nevezzük. Számos geometriai kifejezés kapcsolódik a kettős tér fogalmához. Nevezzük D?E-t (illetve a Г halmazt) halmaznak

(illetőleg); itt és a szóközök és az E alterei f nem nulla elem, akkor ( f) E maximális lineáris altere, amelyet néha hiperaltérnek is neveznek; egy ilyen altér eltolódását E-ben hipersíknak nevezzük; minden hipersíknak megvan a formája

{x: f(x)=??), ahol f? 0, f, NAK NEK.

Egy részhalmazt E feletti teljes részhalmaznak nevezünk, ha az annihilátora csak az =(0) nulla elemet tartalmazza.

Minden lineárisan független halmaz társítható egy konjugált részhalmazhoz, azaz. egy olyan halmaz, hogy (Kronecker-szimbólum) mindenkinek. A párok halmazát biortogonális rendszernek nevezzük. Ha egy halmaz bázis E-ben, akkor teljesen E felett van.

A vektorterek elméletében jelentős helyet foglal el az elmélet lineáris transzformációk vektor tér. Legyen két vektortér ugyanazon K mező felett. Egy lineáris leképezés vagy egy T lineáris operátor, amely egy vektorteret vektortérre képez le (vagy egy lineáris operátort a-ból.

Két vektorteret és izomorf vektortereknek nevezzük, ha létezik lineáris operátor("izomorfizmus"), elemeik és elemeik között egy-egy megfeleltetést hajtanak végre.

A vektortér bilineáris és multilineáris leképezéseinek elmélete szorosan kapcsolódik a vektortér lineáris leképezéseinek elméletéhez.

A vektortér elméletének egy fontos problémacsoportját alkotják a lineáris leképezések kiterjesztésének problémái. Legyen F egy vektortér altere - egy lineáris tér ugyanazon a mezőn, mint és - legyen F lineáris leképezése; meg kell találni egy olyan leképezés T kiterjesztését, amely mindenre definiált, és lineáris leképezése. Ilyen kiterjesztés mindig létezik, de a függvényekre vonatkozó további korlátozások (amelyek a vektortér további struktúráihoz kapcsolódnak, mint például a topológia vagy a sorrendi relációk) megoldhatatlanná tehetik a problémát. A folytatási probléma megoldására példák a Hahn-Banach-tétel, valamint a pozitív funkcionálisok kúpos terekben való folytatásáról szóló tételek.

A vektorterek elméletének fontos ága a vektortereken végzett műveletek elmélete, azaz. új vektorterek felépítésének módjai ismertekből. Ilyen műveletek például a jól ismert műveletek, amelyek során alteret veszünk, és hányadosteret képezünk altérből. További fontos műveletek a vektortér közvetlen összegének, direkt szorzatának és tenzorszorzatának megalkotása.

vektor(vagy lineáris) tér- matematikai szerkezet, amely elemek halmaza, úgynevezett vektorok, amelyekre az egymáshoz való összeadás és a számmal - skalárral - való szorzás műveletei vannak definiálva.

1) X+y=y+x ( összeadás kommutativitása)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( összeadás asszociativitás)

3) van olyan 0єV elem, hogy x+0=x

4) bármely x єV esetén van olyan - x єV elem, hogy x+(-x)=0? vektornak nevezzük, szemben vektor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( skalárral való szorzás asszociativitása)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Szabad vektorok az R 3 térben

2) Nxm méretű mátrixok

3) Az összes olyan polinom halmaza, amelyek foka nem haladja meg az n-t

4) Példák a lineáris térre:

5) - a valós számok tere.

6) a geometriai vektorok halmaza a síkon.

7) - rögzített méretű mátrixok tere.

8) - homogén megoldások tere lineáris rendszerek satöbbi.

Alapvető definíciók

N-dimenziós vektor n számból álló sorozatnak nevezzük. Ezeket a számokat hívják koordináták vektor. Az n vektor koordinátáinak számát nevezzük dimenzió vektor.

Csak azonos méretű vektorokat adhat hozzá.

A vektorok egyenlőek ha azonos dimenziójúak és a megfelelő koordinátáik egyenlőek.

Bármely n-dimenziós A vektor lehet szorozzuk meg tetszőleges számmalλ, miközben az összes koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Két azonos méretű vektor hozzáadható, és a megfelelő koordináták hozzáadhatók:

Mi a vektorok lineáris kombinációja?

A1,a2,…,an vektorok lineáris kombinációja ilyen kifejezésnek nevezik:

Ahol a1,a2,…,an - tetszőleges számok

Mely vektorokat nevezzük lineárisan függőnek (függetlennek)?

Nem nulla vektorok a1,a2,…,an hívott lineárisan függő, ha ezen vektorok nem triviális lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral:

Nem nulla vektorok a1,a2,…,an hívott lineárisan független, kivéve, ha ezeknek a vektoroknak a triviális lineáris kombinációja egyenlő a nullvektorral.

Lineáris példák nem függő vektorok

Hogyan oldható meg a vektorok lineáris függésének kérdése?

1. tétel. Ahhoz, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy legalább az egyiket a többiek lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

2. tétel. Az n-dimenziós térben minden n-nél több vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

3. tétel.Ha a vektorok koordinátáiból álló determináns nullától eltérő, akkor a vektorrendszer lineárisan független. Ha ezek a tételek nem adnak választ a vektorok lineáris függésének vagy függetlenségének kérdésére, akkor meg kell oldani az egyenletrendszert a vonatkozásban, vagy meg kell határozni a vektorrendszer rangját.

Mennyi két lineárisan függő vektor koordinátáinak aránya?

Mondjon példát két lineárisan függő vektorra!

: A és vektorok kollineárisak, ha van ilyen szám , ami az egyenlőség:
.

Lineáris tér bázisának meghatározása

Egy n dimenziójú térben n lineárisan független elem halmazát nevezzük ennek a térnek a bázisának.

Lineáris tér méretének meghatározása.

Meghatározás 3.1. lineáris tér R n-dimenziósnak nevezzük, ha tartalmaz n lineárisan független elemek, és bármely ( n+1) elemek már lineárisan függőek. Ugyanakkor a szám n térdimenziónak nevezzük R.

A tér dimenzióját a dim szimbólum jelöli.

Meghatározás 3.2. lineáris tér R végtelen dimenziósnak nevezzük, ha tetszőleges számú lineárisan független elemet tartalmaz.

3.4. Tétel. Legyen a lineáris tér Ráll az alapja n elemeket. Aztán a dimenzió R egyenlő n(homályos R=n).

Az n-dimenziós tér fogalma

Egy V lineáris teret n-dimenziós térnek nevezünk, ha n lineárisan független elemből álló rendszert tartalmaz, és bármely n+1 elem lineárisan függő.

A régi és új bázis vektorait összekötő képletek