6. előadás vektor tér.

Fő kérdések.

1. Vektor lineáris tér.

2. A tér alapja és mérete.

3. A tér tájolása.

4. Egy vektor felbontása bázis szempontjából.

5. Vektor koordináták.

1. Vektor lineáris tér.

Tetszőleges természetű elemekből álló halmaz, amelyben lineáris műveleteket definiálunk: két elem összeadását és egy elem számmal való szorzását ún. terek, elemeik pedig vektorok ezt a teret és ugyanúgy jelöljük, mint a vektormennyiségeket a geometriában: . Vektorok az ilyen absztrakt tereknek általában semmi közös nincs a közönséges geometriai vektorokkal. Az absztrakt terek elemei lehetnek függvények, számrendszerek, mátrixok stb., illetve adott esetben közönséges vektorok. Ezért az ilyen tereket ún vektorterek .

A vektorterek: például, a kollineáris vektorok halmaza, jelölése V1 , a koplanáris vektorok halmaza V2 , közönséges (valós tér) vektorok halmaza V3 .

Erre a konkrét esetre a következő definíciót adhatjuk a vektortérnek.

1. definíció. A vektorok halmazát ún vektor tér, ha a halmaz bármely vektorának lineáris kombinációja ennek a halmaznak a vektora is. Magukat a vektorokat nevezzük elemeket vektor tér.

Elméletileg és alkalmazottan is fontosabb a vektortér általános (absztrakt) fogalma.

2. definíció. Sok R elemek , amelyben bármely két elemre és az összegre van definiálva, és bármely elemre https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> vektor(vagy lineáris) tér, elemei pedig vektorok, ha a vektorok összeadása és egy vektor számmal való szorzása teljesíti a következő feltételeket ( axiómák) :

1) az összeadás kommutatív, azaz.gif" width="184" height="25">;

3) van egy olyan elem (nulla vektor), amely bármely https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) bármely vektorra és bármely λ számra érvényes az egyenlőség;

6) bármilyen vektorra és számra λ És µ az egyenlőség érvényes https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> és bármilyen szám λ És µ becsületes ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

A vektorteret meghatározó axiómák közül a legegyszerűbbek következnek következményei :

1. Egy vektortérben csak egy nulla - elem - nulla vektor van.

2. Egy vektortérben minden vektornak egyedi ellentétes vektora van.

3. Minden elemnél teljesül az egyenlőség.

4. Bármely valós számra λ és nulla vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

A 6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> vektor, amely megfelel a https://pandia.ru/text egyenlőségnek /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Valójában tehát az összes geometriai vektor halmaza egyben lineáris (vektor)tér is, hiszen ennek a halmaznak az elemeihez az összeadás és a számmal való szorzás műveletei vannak definiálva, amelyek kielégítik a megfogalmazott axiómákat.

2. A tér alapja és mérete.

A vektortér lényeges fogalmai a bázis és a dimenzió fogalma.

Meghatározás. A lineárisan független, meghatározott sorrendben felvett vektorok halmazát, amelyen keresztül bármely térvektor lineárisan kifejeződik, ún. alapon ezt a teret. Vektorok. Az alapot alkotó tereket ún alapvető .

Egy tetszőleges egyenesen elhelyezkedő vektorhalmaz alapja ennek az egyenesvektornak egy kollineárisnak tekinthető.

A repülőgép alapján nevezzünk meg két nem kollineáris vektort ezen a síkon, meghatározott sorrendben https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Ha a bázisvektorok páronként merőlegesek (ortogonálisak), akkor a bázist hívjuk ortogonális, és ha ezeknek a vektoroknak a hossza eggyel egyenlő, akkor a bázist hívjuk ortonormális .

Legnagyobb szám lineárisan független térvektorokat nevezzük dimenzió ez a tér, azaz a tér dimenziója egybeesik ennek a térnek a bázisvektorainak számával.

Tehát a következő meghatározások szerint:

1. Egydimenziós tér V1 egy egyenes, és az alap a következőkből áll egy kollineáris vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. A közönséges tér háromdimenziós tér V3 , melynek alapja abból áll három nem egysíkú vektorok.

Innen látjuk, hogy a bázisvektorok száma egy egyenesen, egy síkon, a valós térben egybeesik azzal, amit a geometriában egy egyenes, sík, tér méreteinek (dimenziójának) neveznek. Ezért természetes egy általánosabb meghatározás bevezetése.

Meghatározás. vektor tér R hívott n- méretes, ha legfeljebb tartalmaz n lineárisan független vektorok és jelöljük R n. Szám n hívott dimenzió tér.

Összhangban a méret a tér van osztva véges-dimenziósÉs végtelen-dimenziós. A nulltér dimenziója definíció szerint nulla.

Megjegyzés 1. Minden térben tetszőleges számú bázist adhat meg, de ennek a térnek az összes bázisa ugyanannyi vektorból áll.

2. megjegyzés. BAN BEN n- dimenziós vektortérben bázis bármely rendezett gyűjtemény n lineárisan független vektorok.

3. A tér tájolása.

Hagyjuk a bázisvektorokat a térben V3 van közös kezdetÉs elrendelte, azaz jelzi, hogy melyik vektor tekinthető elsőnek, melyik - másodiknak és melyik - harmadiknak. Például egy bázisban a vektorok indexálás szerint vannak rendezve.

Azért a tér orientálásához valamilyen alapot kell megállapítani és pozitívnak nyilvánítani .

Megmutatható, hogy egy tér összes bázisának halmaza két osztályba, azaz két nem metsző részhalmazba esik.

a) egy részhalmazhoz (osztályhoz) tartozó összes bázis rendelkezik ugyanaz orientáció (azonos nevű alapok);

b) bármely két bázishoz tartozó különféle részhalmazok (osztályok), rendelkeznek szemben orientáció, ( különböző nevek alapok).

Ha egy tér két bázisosztálya közül az egyik pozitív, a másik pedig negatív, akkor azt mondjuk, hogy ez a tér orientált .

Gyakran a tér orientálásakor néhány bázist hívnak jobb, míg mások igen baloldaliak .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> hívva jobb ha a harmadik vektor végéről nézve az első vektor legrövidebb elforgatása https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> végrehajtásra került óramutató járásával ellentétes irányban(1.8. ábra, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Rizs. 1.8. Jobb bázis (a) és bal bázis (b)

Általában a tér megfelelő alapját pozitív alapnak nyilvánítják

A jobb (bal) téralap a "jobb" ("bal") csavar vagy karmantyú szabályával is meghatározható.

Ezzel analógiával a jobb és bal fogalma hármas ikrek nem komplementer vektorok, amelyeket rendezni kell (1.8. ábra).

Így általános esetben a nem egysíkú vektorok két rendezett hármasa azonos orientációjú (azonos névvel rendelkezik) a térben. V3 ha mindketten jobbosak vagy mindketten balosak, és - ellentétes tájolású (ellentétes), ha az egyik jobbos, a másik balos.

Ugyanez történik a tér esetében is V2 (repülőgépek).

4. Egy vektor felbontása bázis szempontjából.

Az érvelés egyszerűsítése érdekében ezt a kérdést egy háromdimenziós vektortér példáján fogjuk megvizsgálni R3 .

Legyen a https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> tetszőleges vektora ennek a térnek.

A VEKTORTÉR, egy K mező feletti lineáris tér egy additív módon írt E Abel-csoport, amelyben az elemek skalárokkal való szorzása, azaz a leképezés van definiálva.

K × E → E: (λ, x) → λx,

amelyek kielégítik a következő axiómákat (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Az 1)-4) axiómák a (0 ∈ Е) vektortér következő fontos tulajdonságait jelentik:

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Elemek V. o. V. p. pontjai, vagy vektorok, és a K mező elemei skalárok.

A matematikában és az alkalmazásokban legszélesebb körben használt V. o. over the field ℂ komplex számok vagy a ℝ mező felett valós számok; hívták őket rendre összetett V. o. vagy valódi V. o.

Az V. o. axiómái bizonyos algebraiakat tárnak fel az elemzés során gyakran előforduló függvényosztályok tulajdonságai. Az V. o. példái közül a legalapvetőbbek és a legkorábbiak az n-dimenziós euklideszi terek. Szinte ugyanolyan fontos példa erre számos funkciótér: a tér folyamatos funkciók, mérhető függvények tere, összegezhető függvények tere, analitikus tere. függvények, a korlátos variációjú függvények tere.

Az önéletrajz egy speciális esete a modul feletti gyűrű fogalmának, vagyis az önéletrajz egy terület feletti egységes modul. Egy nem kommutatív test feletti unitárius modult is neveznek. vektortér a test felett; az ilyen VP-k elmélete sok tekintetben bonyolultabb, mint a mező feletti VP-k elmélete.

A CP-vel kapcsolatos egyik fontos probléma a CP geometriájának tanulmányozása, azaz a CP-ben lévő egyenesek, a CP-ben a lapos és konvex halmazok, a CP altereinek és a CP-ben az alapok tanulmányozása. p.

Egy vektoraltér, vagy egyszerűen csak egy altér, V. p. E a meghívott K mező felett. Az F ⊂ E részhalmaz az összeadás és a skalárral való szorzás hatására zárva. Az azt tartalmazó tértől elkülönített altér egy B.p. ugyanazon a mező felett.

Két x és y ponton áthaladó egyenes B. p. E, ún. a z ∈ E z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K alakú elemhalmaz. A G ∈ E halmazt hívjuk. lapos halmaz, ha bármely két ponttal együtt tartalmaz egy ezeken a pontokon átmenő egyenest. Minden lapos halmaz valamilyen altérből egy eltolás ( párhuzamos átvitel): G = x + F; ez azt jelenti, hogy minden z ∈ G elem reprezentálható az egyetlen módja z = x + y, y ∈ F formában, és ez az egyenlőség egy az egyhez megfelelést ad F és G között.

Egy adott F altér összes F x = x + F eltolásának halmaza B.p.-t alkot K felett, ún. E/F hányadostér, ha a műveleteket a következőképpen definiáljuk:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx, λ ∈ K.

Legyen М = (х α ) α∈A vektorok tetszőleges halmaza Е-ből; lineáris kombináció az x α ∈ E vektorok közül. képlettel definiált x vektor

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

amelyben csak véges számú együttható különbözik a nullától. Egy adott M halmaz összes lineáris vektorkombinációjának halmaza az M-et tartalmazó legkisebb altér, amelyet hívunk. lineáris héj halmazok M. Lineáris kombinációt nevezünk. triviális, ha minden λ α együttható nulla. Az M halmaz hívott. lineárisan független halmaz, ha az M-ből származó vektorok összes nemtriviális lineáris kombinációja nem nulla.

Bármely lineárisan független halmaz benne van valamilyen maximális lineárisan független M 0 halmazban, azaz olyan halmazban, amely megszűnik lineárisan független lenni, miután E-ből bármely elemet hozzáadunk hozzá.

Minden x ∈ E elem egyedileg ábrázolható egy maximális lineárisan független halmaz elemeinek lineáris kombinációjaként:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

Ezzel kapcsolatban a maximális lineárisan független halmazt nevezzük. alapja egy V. o.-nak (algebrai alap). Egy adott V. o.-nak minden bázisa azonos kardinalitású, amelyeket ún. dimenzió B. p. Ha ez a számosság véges, a teret ún. véges-dimenziós V. o.; egyébként úgy hívják. végtelen dimenziós V. o.

A K mező egydimenziós VC-nek tekinthető a K mező felett; ennek az V. o.-nak az alapja egy elemből áll; nullától eltérő bármely elem lehet. Egy n elemű véges dimenziós C. p.-t nevezünk. n-dimenziós tér.

A valós és komplex elméletben V. o. fontos szerep konvex halmazok elméletét játssza. Az M halmaz a valódi V. p. konvex halmaz, ha bármely két x, y pontjával együtt a tx + (1 - t)y, t ∈ szakasz is M-hez tartozik.

A VC-k elméletében nagy helyet foglal el a VC-k n lineáris funkcionális elmélete és a kapcsolódó dualitáselmélet. Legyen Ε egy K mező feletti CV. Egy Ε-n lineáris függvényt hívunk additív és homogén leképezés f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Az Ε-n lévő összes lineáris funkcionál Ε* halmaza egy CV-t képez a K mező felett a műveletek tekintetében

(f 1 + f 2) (x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf) (x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Ez az V. o. kettős (vagy kettős) szóköz (E-re). A kettős tér fogalma számos geometriai elemhez kapcsolódik feltételeket. Legyen D ⊂ E (illetve Γ ⊂ E*); a D halmaz annihilátorát, vagy a D halmaz ortogonális komplementerét (illetve a G halmazt) hívjuk. sok

D ⊥ = (f ∈ Е*: f(x) = 0 minden х ∈ D esetén)

(illetve Г ⊥ = (х ∈ Е: f(x) = 0 minden f ∈ Г esetén)); itt D ⊥ és Г ⊥ az E* és E terek alterei. néha hiperaltér; egy ilyen altér eltolódását nevezzük. hipersík E-ben; minden hipersíknak megvan a formája

(x: f(x) = λ), ahol f ≠ 0, f ∈ Е*, λ ∈ K.

Ha F a B.p. E altere, akkor természetes izomorfizmusok vannak F* és között

E*/F ⊥ és (E/F)* és F ⊥ között.

A Г ⊂ E* részhalmazt hívjuk. egy teljes részhalmaz E felett, ha az annihilátora csak a nulla elemet tartalmazza: Г ⊥ = (0).

Minden lineárisan független halmaz (x α ) α∈A ⊂ E egy (f α ) α∈A ⊂ E* konjugált halmazhoz rendelhető, azaz. olyan halmaz, hogy f α (x β) = δ αβ (Kronecker-szimbólum) minden α, β ∈ A esetén. A p (x α , f α ) párok halmazát hívjuk. biortogonális rendszerrel. Ha az (x α ) halmaz bázis E-ben, akkor (f α ) teljesen E felett van.

Az elmélet a lineáris transzformációk V. p. Legyen E 1, E 2 két V. p. ugyanazon a K mezőn. Lineáris leképezés vagy lineáris operátor, T, amely V. p. E 1-et V. p. E 2-re (vagy lineáris operátor) E 1-től E 2-ig), ún. az E 1 tér additív és homogén leképezése E 2-re:

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1 .

Ennek a fogalomnak egy speciális esete a lineáris funkcionális, ill lineáris operátor A lineáris leképezés például B. p. E természetes leképezése az E/F hányadostérre, amely minden x ∈ E elemhez egy F x ∈ E/F lapos halmazt rendel. Az összes T lineáris operátor ℒ(E 1 , E 2) halmaza: E 1 → E 2 a műveletekhez képest V. p.

(T 1 + T 2) x \u003d T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1 ; λ ∈ K; T 1 , T 2 , T ∈ ℒ(E 1 , E 2).

Két V. p. E 1 és E 2 hívott. izomorf V. o., ha van egy lineáris operátor ("izomorfizmus"), amely egy-egy megfeleltetést valósít meg elemeik között. E 1 és E 2 akkor és csak akkor izomorf, ha bázisaik azonos számosságúak.

Legyen T egy lineáris operátor, amely E 1 -et E 2 -re leképez. Az adjungált lineáris operátort, vagy a kettős lineáris operátort a T vonatkozásában hívjuk. lineáris operátor T* E* 2-től E* 1-ig, amelyet az egyenlőség határoz meg

(Т*φ)х = φ(Тх) minden х ∈ Е 1 , φ ∈ Е* 2 esetén.

Vannak T* -1 (0) = ⊥ , T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ relációk, amiből következik, hogy T* akkor és csak akkor izomorfizmus, ha T izomorfizmus.

Az V. o. bilineáris és multilineáris leképezéseinek elmélete szorosan kapcsolódik az V. o. lineáris leképezéseinek elméletéhez.

A VP-k adott elméleteinek egy fontos csoportját a lineáris leképezések kiterjesztésének problémái alkotják. Legyen F a B.p E 1 altere, E 2 egy lineáris tér ugyanazon a mezőn, mint az E 1, és legyen T 0 F lineáris leképezése E 2 -re; meg kell találni a T 0 leképezés T kiterjesztését, amely az egész E 1 -re definiált és E 1 - E 2 lineáris leképezése. Ilyen kiterjesztés mindig létezik, de a függvényekre vonatkozó további korlátozások (amelyek a C.P. további struktúráihoz kapcsolódnak, például topológia vagy sorrendi kapcsolatok) megoldhatatlanná tehetik a problémát. A folytatási probléma megoldására példák a Hahn-Banach-tétel, valamint a pozitív funkcionálisok kúpos terekben való folytatásáról szóló tételek.

A VP-k elméletének egyik fontos ága a VP-ken végzett műveletek elmélete, vagyis az ismert VP-k felépítésének módszerei. Ilyen műveletek például az olyan jól ismert műveletek, amikor egy alteret veszünk, és egy résztérből hányadosteret képezünk. További fontos műveletek a közvetlen összeg, a direkt szorzat és az V. o. tenzorszorzatának szerkesztése.

Legyen (E α ) α∈I C.e család a K mező felett. Az E halmaz, az E α - halmazok szorzata, a műveletek bevezetésével C.e-vé alakítható a K mező felett.

(xα) + (yα) = (xα + yα); λ(xα) = (λxα); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

kapott V. p. E hívott. az V. p. E α közvetlen szorzata, és P α∈I E α-val jelöljük. A V. p. E alterét, amely mindazon (x α) gyűjteményekből áll, amelyek mindegyikére a halmaz (α: x α ≠ 0) véges, meghívásra kerül. V. p. E α közvetlen összege, és Σ α E α vagy Σ α + E α jelöli; Véges számú kifejezés esetén ezek a meghatározások egybeesnek; ebben az esetben a következő jelölést használjuk:

Legyen Е 1 , Е 2 két V. p. a K mező felett; E" 1 , E" 2 - összesen B alterek. p. E* 1 , E* 2 és E 1 □ E 2 -B. amelynek az alapja az Е 1 × Е 2 tér összes elemének gyűjteménye. Minden x □ y ∈ E 1 □ E 2 elem egy b = T(x, y) bilineáris függvénnyel van társítva E" 1 × E 2-n a következő képlettel: b(f, g) = f(x)g(y) , f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Az x □ y ∈ E 1 □ E 2 bázisvektorok leképezése kiterjeszthető egy T Bp E 1 □ E 2 lineáris leképezésre az összes E" bilineáris funkcionális Bp-re. 1 × E" 2. Legyen E 0 = T -1 (0). A B. p. E 1 és E 2 tenzorszorzata az E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2)/E 0 hányadostér Az x □ y elem képét x ○ y jelöli A VP E 1 ○ E 2 izomorf az E 1 × E 2 bilineáris funkcionális VP-jével (lásd a vektorterek tenzorszorzatát).

Lit.: Bourbaki N., Algebra. Algebrai szerkezetek. Lineáris és multilineáris algebra, ford. franciából, Moszkva, 1962; Raikov D. A., Vector spaces, Moszkva, 1962; Day M. M., Normált lineáris terek, ford. angolból, M., 1961; , Edward R., Funkcionális elemzés, ford. angolból, M., 1969; Halmos P., Véges dimenziós vektorterek, ford. angolból, M., 1963; Glazman I. M., Lyubich Yu. I., Véges dimenziós lineáris elemzés problémákban, Moszkva, 1969.

M. I. Kadets.

Források:

1. Matematikai Enciklopédia. T. 1 (A-D). Szerk. kollégium: I. M. Vinogradov (főszerkesztő) [és mások] - M., " Szovjet Enciklopédia", 1977, 1152 stb. betegtől.

vektor(vagy lineáris) tér- egy matematikai struktúra, amely elemek halmaza, úgynevezett vektorok, amelyekre az egymáshoz való összeadás és a számmal - skalárral - való szorzás műveletei vannak definiálva.

1) X+y=y+x ( összeadás kommutativitása)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( összeadás asszociativitás)

3) van olyan 0єV elem, hogy x+0=x

4) bármely x єV esetén van olyan - x єV elem, hogy x+(-x)=0? vektornak nevezzük, szemben vektor x.

5) α(βx)= (αβ)x ( skalárral való szorzás asszociativitása)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Szabad vektorok az R 3 térben

2) Nxm méretű mátrixok

3) Az összes olyan polinom halmaza, amelyek foka nem haladja meg az n-t

4) Példák lineáris tér egy:

5) - a valós számok tere.

6) a geometriai vektorok halmaza a síkon.

7) - rögzített méretű mátrixok tere.

8) - homogén lineáris rendszerek megoldásainak tere stb.

Alapvető definíciók

N-dimenziós vektor n számból álló sorozatnak nevezzük. Ezeket a számokat hívják koordináták vektor. Az n vektor koordinátáinak számát nevezzük dimenzió vektor.

Csak azonos méretű vektorokat adhat hozzá.

A vektorok egyenlőek ha azonos dimenziójúak és a megfelelő koordinátáik egyenlőek.

Bármely n-dimenziós A vektor lehet szorozzuk meg tetszőleges számmalλ, miközben az összes koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Két azonos méretű vektor hozzáadható, és a megfelelő koordináták hozzáadhatók:

Mi a vektorok lineáris kombinációja?

A1,a2,…,an vektorok lineáris kombinációja ilyen kifejezésnek nevezik:

Ahol a1,a2,…,an - tetszőleges számok

Mely vektorokat nevezzük lineárisan függőnek (függetlennek)?

Nem nulla vektorok a1,a2,…,an hívott lineárisan függő, ha ezen vektorok nem triviális lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral:

Nem nulla vektorok a1,a2,…,an hívott lineárisan független, kivéve, ha ezeknek a vektoroknak a triviális lineáris kombinációja egyenlő a nullvektorral.

Példák lineárisan független vektorokra

Hogy áll a kérdés lineáris függőség vektorok?

1. tétel. Ahhoz, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy legalább az egyiket a többiek lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

2. tétel. Egy n-dimenziós térben minden n-nél több vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

3. tétel.Ha a vektorok koordinátáiból álló determináns nullától eltérő, akkor a vektorrendszer lineárisan független. Ha ezek a tételek nem adnak választ a vektorok lineáris függésének vagy függetlenségének kérdésére, akkor meg kell oldani az egyenletrendszert a vonatkozásban, vagy meg kell határozni a vektorrendszer rangját.

Mennyi két lineárisan függő vektor koordinátáinak aránya?

Mondjon példát két lineárisan függő vektorra!

: A és vektorok kollineárisak, ha van ilyen szám , ami az egyenlőség:
.

Lineáris tér bázisának meghatározása

Egy n dimenziójú térben n lineárisan független elem halmazát nevezzük ennek a térnek a bázisának.

Lineáris tér méretének meghatározása.

Meghatározás 3.1. lineáris tér R n-dimenziósnak nevezzük, ha tartalmaz n lineárisan független elemek, és bármely ( n+1) elemek már lineárisan függőek. Ugyanakkor a szám n térdimenziónak nevezzük R.

A tér dimenzióját a dim szimbólum jelöli.

Meghatározás 3.2. lineáris tér R végtelen dimenziósnak nevezzük, ha tetszőleges számú lineárisan független elemet tartalmaz.

3.4. Tétel. Legyen a lineáris tér Ráll az alapja n elemeket. Aztán a dimenzió R egyenlő n(homályos R=n).

Az n-dimenziós tér fogalma

Egy V lineáris teret n-dimenziós térnek nevezünk, ha n lineárisan független elemből álló rendszert tartalmaz, és bármely n+1 elem lineárisan függő.

A régi és új bázis vektorait összekötő képletek

Az n-dimenziós vektorokról szóló cikkben eljutottunk az n-dimenziós vektorok halmaza által generált lineáris tér fogalmához. Most olyan nem kevésbé fontos fogalmakat kell figyelembe vennünk, mint például a vektortér mérete és alapja. Közvetlenül kapcsolódnak a lineáris fogalmához függő rendszer vektorok, ezért ezen felül ajánlott emlékezni a téma alapjaira is.

Mutassunk be néhány definíciót.

1. definíció

A vektortér mérete- megfelelő szám a maximális szám lineárisan független vektorok ebben a térben.

2. definíció

Vektor tér alapja- lineárisan független vektorok halmaza, amelyek sorrendje és száma megegyezik a tér dimenziójával.

Tekintsünk egy bizonyos n-vektor teret. Mérete rendre egyenlő n-nel. Vegyünk egy n egységnyi vektorrendszert:

e (1) = (1, 0, . . . , 0) e (2) = (0, 1, . . . ., 0) e (n) = (0, 0, ..., 1)

Használjuk ezeket a vektorokat az A mátrix komponenseiként: n x n dimenziójú egység lesz. Ennek a mátrixnak a rangja n. Ezért az e (1) , e (2) , vektorrendszer. . . , e (n) lineárisan független. Ugyanakkor lehetetlen egyetlen vektort hozzáadni a rendszerhez anélkül, hogy megsértené azt. lineáris függetlenség.

Mivel a rendszerben a vektorok száma n, akkor az n-dimenziós vektorok terének dimenziója n, és egységvektorok e (1), e (2), . . . , e (n) a megadott tér alapja.

A kapott definícióból azt a következtetést vonjuk le, hogy bármely n-dimenziós vektorrendszer, amelyben a vektorok száma kisebb, mint n, nem térbázis.

Ha felcseréljük az első és a második vektort, akkor e (2) , e (1) , vektorrendszert kapunk. . . , e (n) . Ez lesz az alapja egy n-dimenziós vektortérnek is. Készítsünk egy mátrixot úgy, hogy a kapott rendszer vektorait vegyük sorainak. A mátrixot az első két sor felcserélésével kaphatjuk meg az identitásmátrixból, rangja n lesz. Rendszer e (2) , e (1) , . . . , e (n) lineárisan független, és egy n-dimenziós vektortér bázisa.

Más vektorokat átrendezve az eredeti rendszerben, még egy bázist kapunk.

Tehetünk egy lineárisan független, nem egységvektorrendszert, és ez egy n-dimenziós vektortér alapját is jelenti.

3. definíció

Egy n dimenziójú vektortérnek annyi bázisa van, ahány n számú n dimenziós vektor lineárisan független rendszere van.

A sík egy kétdimenziós tér – alapja bármely két nem kollineáris vektor lehet. Bármely három nem egysíkú vektor szolgál majd a háromdimenziós tér alapjául.

Fontolja meg ennek az elméletnek az alkalmazását konkrét példákon.

1. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Meg kell határozni, hogy a megadott vektorok egy háromdimenziós vektortér alapját képezik-e.

Megoldás

A probléma megoldásához az adott vektorrendszert lineáris függőségre vizsgáljuk. Készítsünk egy mátrixot, ahol a sorok a vektorok koordinátái. Határozzuk meg a mátrix rangját.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R ank (A) = 3

Ebből következően a feladat feltétele által adott vektorok lineárisan függetlenek, és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - ezek képezik a vektortér alapját.

Válasz: ezek a vektorok képezik a vektortér alapját.

2. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0, 1, 2)

Meg kell határozni, hogy a jelzett vektorrendszer alapja lehet-e egy háromdimenziós térnek.

Megoldás

A feladat feltételében megadott vektorrendszer lineárisan függő, hiszen a lineárisan független vektorok maximális száma 3. Így ez a vektorrendszer nem szolgálhat háromdimenziós vektortér alapjául. De érdemes megjegyezni, hogy az eredeti rendszer alrendszere a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) bázis.

Válasz: a jelzett vektorrendszer nem alap.

3. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Lehetnek ezek egy négydimenziós tér alapja?

Megoldás

Készítsen mátrixot a megadott vektorok koordinátáiból sorokként!

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

A Gauss-módszerrel meghatározzuk a mátrix rangját:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4

Ezért az adott vektorok rendszere lineárisan független, és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - ezek képezik a négydimenziós vektortér alapját.

Válasz: a megadott vektorok a négydimenziós tér alapját képezik.

4. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

Egy 4 dimenziós tér alapját képezik?

Megoldás

Az eredeti vektorrendszer lineárisan független, de a benne lévő vektorok száma nem elegendő ahhoz, hogy egy négydimenziós tér alapjává váljon.

Válasz: nem, nem.

Egy vektor felbontása bázis szempontjából

Elfogadjuk, hogy tetszőleges e (1) , e (2) , vektorok. . . , e (n) egy n-dimenziós vektortér alapja. Adjunk hozzájuk néhány n-dimenziós x → vektort: ​​a kapott vektorrendszer lineárisan függővé válik. A lineáris függés tulajdonságai kimondják, hogy egy ilyen rendszer vektorai közül legalább egy lineárisan kifejezhető a többivel. Ezt az állítást újrafogalmazva azt mondhatjuk, hogy egy lineárisan függő rendszer vektorai közül legalább egy kibővíthető más vektorokkal.

Így elérkeztünk a legfontosabb tétel megfogalmazásához:

4. definíció

Egy n-dimenziós vektortér bármely vektora egyedileg bontható bázis szempontjából.

1. bizonyíték

Bizonyítsuk be ezt a tételt:

állítsa be az n-dimenziós vektortér alapját - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Tegyük lineárisan függővé a rendszert úgy, hogy hozzáadunk egy n-dimenziós x → vektort. Ez a vektor lineárisan kifejezhető az eredeti e vektorokkal:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) +. . . + x n e (n) , ahol x 1 , x 2 , . . . , x n - néhány szám.

Most bebizonyítjuk, hogy egy ilyen lebontás egyedülálló. Tegyük fel, hogy ez nem így van, és van egy másik hasonló kiterjesztés:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , ahol x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - néhány szám.

Vonjuk le ennek az egyenlőségnek a bal és jobb oldali részéből az x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + egyenlőség bal és jobb oldali részét. . . + x n e (n) . Kapunk:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) +. . . (x~n - xn) e(2)

e (1) , e (2) , bázisvektorok rendszere. . . , e (n) lineárisan független; Egy vektorrendszer lineáris függetlenségének meghatározása szerint a fenti egyenlőség csak akkor lehetséges, ha minden együttható (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) egyenlő lesz nullával. Amiből igazságos lesz: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . És ez bizonyítja az egyetlen módja annak, hogy egy vektort bázis tekintetében bővítsünk.

Ebben az esetben az együtthatók x 1 , x 2 , . . . , x n az x → vektor koordinátáinak nevezzük az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (n) .

A bizonyított elmélet egyértelművé teszi az „egy n-dimenziós x = (x 1, x 2 , . . . , xn) vektort” kifejezést: egy x vektor → n-dimenziós vektorteret veszünk figyelembe, és ennek koordinátáit adjuk meg valami alapot. Az is világos, hogy ugyanannak a vektornak az n-dimenziós tér más bázisában különböző koordinátái lesznek.

Tekintsük a következő példát: tegyük fel, hogy egy n-dimenziós vektortér valamely bázisában n lineárisan független vektorból álló rendszer adott

és az x = (x 1, x 2, . . . , x n) vektor is adott.

Vektorok e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) ebben az esetben is ennek a vektortérnek az alapja.

Tegyük fel, hogy meg kell határozni az x → vektor koordinátáit az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) , jelölése x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Az x → vektort a következőképpen ábrázoljuk:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Ezt a kifejezést koordináta alakban írjuk:

(x 1 , x 2 , . . . , xn) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . . ., e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2, . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1, e (n) 2, ..., e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) +. + x ~ ne 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + ... + x ~ ne 2 (n) , ... , x ~ 1 en (1) + x ~ 2 en (2) + . . . + x ~ nen (n))

A kapott egyenlőség ekvivalens n lineáris algebrai kifejezésből álló rendszerrel, n ismeretlen lineáris változóval x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Ennek a rendszernek a mátrixa így fog kinézni:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Legyen ez egy A mátrix, oszlopai pedig egy lineárisan független e 1 (1), e 2 (2) , , vektorrendszer vektorai. . . , e n (n) . A mátrix rangja n, determinánsa pedig nem nulla. Ez azt jelzi, hogy az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, bármilyen kényelmes módon meghatározható: például Cramer módszerrel, ill. mátrix módszer. Így meg tudjuk határozni az x ~ 1 , x ~ 2 , koordinátákat. . . , x ~ n az x vektor → az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) .

Alkalmazzuk a vizsgált elméletet egy konkrét példán.

6. példa

Kiinduló adatok: vektorok a háromdimenziós tér alapján vannak megadva

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, -5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, -7)

Meg kell erősíteni azt a tényt, hogy az e (1) , e (2) , e (3) vektorok rendszere egyben az adott tér alapjául is szolgál, valamint meg kell határozni az x vektor koordinátáit az adott bázisban. .

Megoldás

Az e (1), e (2) , e (3) vektorok rendszere akkor lesz a háromdimenziós tér alapja, ha lineárisan független. Keressük ezt a lehetőséget az A mátrix rangjának meghatározásával, amelynek sorai a megadott e (1) , e (2) , e (3) vektorok.

A Gauss-módszert használjuk:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3. Így az e (1), e (2) , e (3) vektorok rendszere lineárisan független és bázis.

Legyen a bázisban szereplő x → vektor koordinátái x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Ezen koordináták kapcsolatát a következő egyenlet határozza meg:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Alkalmazzuk az értékeket a probléma feltételeinek megfelelően:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Az egyenletrendszert a Cramer módszerrel oldjuk meg:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Tehát az e (1) , e (2) , e (3) bázisban lévő x → vektor koordinátái x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Válasz: x = (1, 1, 1)

Csatlakozás az alapok között

Tegyük fel, hogy egy n-dimenziós vektortér valamely bázisában két lineárisan független vektorrendszer adott:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , cn (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , cn (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , cn (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), . . . , en (1) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , en (n))

Ezek a rendszerek egyben az adott tér bázisai is.

Legyen c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - a c (1) vektor koordinátái az e (1) bázisban, e (2) , . . . , e (3) , akkor a koordináták kapcsolatát egy lineáris egyenletrendszer adja meg:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) +. . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) +. . . + c ~ n (1) e n (n)

Mátrix formájában a rendszer a következőképpen jeleníthető meg:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , cn (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

Tegyük meg ugyanezt a jelölést a c (2) vektorra analógia útján:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , cn (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , cn (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … en (1) e 1 (2) e 2 (2) … en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … en (n)

A mátrixegyenlőségeket egyetlen kifejezésben egyesítik:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ en (n)

Ez határozza meg két különböző bázis vektorának kapcsolatát.

Ugyanezen elv alapján az összes e (1) , e (2) , bázisvektor kifejezhető. . . , e (3) a c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ cn (n)

A következő definíciókat adjuk:

5. definíció

Mátrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) az e (1) , e (2) , bázisból származó átmeneti mátrix. . . , e(3)

a c (1) , c (2) , alapra. . . , c(n) .

6. definíció

Mátrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) az átmeneti mátrix a c (1) , c (2) , bázisból. . . ,c(n)

e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Ezekből az egyenlőségekből kitűnik, hogy

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

azok. Az átmeneti mátrixok kölcsönösen inverzek.

Tekintsük az elméletet egy konkrét példán.

7. példa

Kiinduló adatok: meg kell találni a bázisból az átmeneti mátrixot

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) · c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, -6)

Egy tetszőleges x → vektor koordinátáinak kapcsolatát is meg kell adni az adott bázisokban.

Megoldás

1. Legyen T az átmeneti mátrix, akkor igaz lesz az egyenlőség:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kap:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Határozza meg az átmeneti mátrixot:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Határozza meg az x → vektor koordinátáinak kapcsolatát:

tegyük fel, hogy a c (1) , c (2) , . . . , c (n) x → vektor koordinátái x 1 , x 2 , x 3 , akkor:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

és az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (3) koordinátái x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , akkor:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Mivel ezeknek az egyenlőségeknek a bal oldali részei egyenlők, a jobb oldali részeket is egyenlővé tehetjük:

(x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Szorozzuk meg mindkét oldalt a jobb oldalon

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kap:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Másrészről

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az utolsó egyenlőségek az x → vektor koordinátáinak kapcsolatát mutatják mindkét bázisban.

Válasz:átmeneti mátrix

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az x → vektor koordinátáit az adott bázisokban a következő összefüggés köti össze:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Legyen V egy nem üres halmaz, amelynek elemeit vektoroknak nevezzük, és …-val jelöljük, és így tovább. Legyen két művelet adott és valamilyen módon meghatározott V-n. Az első művelet egy bináris additív művelet (vagy durván szólva összeadási művelet). Ezt a műveletet + jellel jelöljük (azonban nem szükséges, hogy ez a művelet 100%-ban legyen definiálva ugyanúgy, mint a közönséges számok összeadási művelete, most nem számokat tanulunk, hanem vektorokat, ezért ez a művelet a vektorösszeadást egyesekkel is jelölhetjük annak speciális jelével, például: (). A második művelet egy vektor szorzása egy ilyen halmaz valamely elemével?, ami egy mező, aminek eredményeként új () vektort kapjuk. A mező elemeit skalároknak is nevezik. (Aki lusta megnézni, milyen mező, annak elmondom, hogy algebrai mezőkre példaként szolgálhat a valós vagy egyben komplex számok halmaza.) (4)

Tehát fogalmazzuk meg a vektortér axiómáit. (3)

1. a) V tetszőleges két elemének összege és b) egy skalár és V tetszőleges elemének szorzata V néhány eleme (vektor).

2. V-ből bármely három elem összeadása megfelel a kombinációs törvénynek (vagy ahogy mondják, a vektorösszeadás asszociatív):

3. V-ből bármely két elem összeadása megfelel a kommutatív törvénynek (a vektorösszeadás kommutatív): .

4. V-ből van olyan elem (nulla vektor), hogy bármely.

5. V-ből bármely elemre van V-ből olyan elem, amelynek összege az eredeti elemmel egyenlő, azaz. (.

Bármilyen skalárhoz (számhoz)? És? és V-ből bármely két vektorra

vektor altér

A vektoraltér, vagy egyszerűen csak altér, egy K mező feletti E vektortér egy halmaz, amely az összeadás és a skalárral való szorzás műveletei alatt zárva van. A benne lévő tértől külön tekintett altér egy ugyanazon mező feletti vektortér. (öt)

Az E vektortér két x és y pontján áthaladó egyenes a ?? forma elemeinek halmaza. Egy G halmazt lapos halmaznak nevezünk, ha bármelyik kettővel együtt tartalmaz egy ezeken a pontokon átmenő egyenest. Minden síkhalmazt valamilyen altérből kapunk eltolás (párhuzamos fordítás) segítségével: G=x+F, ami azt jelenti, hogy z minden eleme egyedileg ábrázolható y alakban, és az egyenlőség egy az egyhez megfelelést ad. F és G között.

Egy adott F altér összes eltolódásának halmaza egy vektorteret alkot K felett, ezt E/F hányadostérnek nevezzük, ha a művelet determinánsa a következő:

Legyen M = E vektorok tetszőleges halmaza; vektorok lineáris kombinációja a képlettel definiált x vektor

amelyben csak véges számú együttható nem nulla. Egy adott M halmaz összes lineáris vektorkombinációjának halmaza a legkisebb M-et tartalmazó altér, és az M halmaz lineáris tartományának nevezzük. Egy lineáris kombinációt triviálisnak nevezünk, ha minden együttható nullával egyenlő. Egy M halmazt lineárisan függő halmaznak nevezünk, ha M-ből származó vektorok összes nem triviális lineáris kombinációja nullától eltérő.

A konvex halmazok elmélete fontos szerepet játszik a valós és komplex vektorterek elméletében. Valós vektortérben egy M halmazt konvex halmaznak nevezünk, ha bármelyik két x, y pontjával együtt a szakasz is M-hez tartozik.

A vektorterek elméletében nagy helyet foglal el a lineáris funkcionális vektortér elmélete és a kapcsolódó dualitáselmélet. Legyen E egy K mező feletti vektortér. Az E-n lévő lineáris függvény additív és homogén leképezés, E pedig egy K mező feletti vektortér. Az E-n lévő lineáris függvény additív és homogén leképezés

Az E-n lévő összes lineáris funkcionális halmaza a műveletek tekintetében vektorteret képez a K mező felett

Ezt a vektorteret duális (vagy kettős) térnek (E-hez) nevezzük. Számos geometriai kifejezés kapcsolódik a kettős tér fogalmához. Nevezzük D?E-t (illetve a Г halmazt) halmaznak

(illetőleg); itt és a szóközök és az E alterei f nem nulla elem, akkor ( f) E maximális lineáris altere, amelyet néha hiperaltérnek is neveznek; egy ilyen altér eltolódását E-ben hipersíknak nevezzük; minden hipersíknak megvan a formája

{x: f(x)=??), ahol f? 0, f, NAK NEK.

Egy részhalmazt E feletti teljes részhalmaznak nevezünk, ha az annihilátora csak az =(0) nulla elemet tartalmazza.

Minden lineárisan független halmaz társítható egy konjugált részhalmazhoz, azaz. egy olyan halmaz, hogy (Kronecker-szimbólum) mindenkinek. A párok halmazát biortogonális rendszernek nevezzük. Ha egy halmaz bázis E-ben, akkor teljesen E felett van.

A vektorterek elméletében jelentős helyet foglal el a vektortér lineáris transzformációinak elmélete. Legyen két vektortér ugyanazon K mező felett. Egy lineáris leképezés vagy egy T lineáris operátor, amely egy vektorteret vektortérre képez le (vagy egy lineáris operátort a-ból.

Két vektorteret és izomorf vektortereknek nevezzük, ha létezik olyan lineáris operátor ("izomorfizmus"), amely egy az egyhez megfeleltetést hajt végre az elemei és elemei között.

A vektortér bilineáris és multilineáris leképezéseinek elmélete szorosan kapcsolódik a vektortér lineáris leképezéseinek elméletéhez.

A vektortér elméletének egy fontos problémacsoportját alkotják a lineáris leképezések kiterjesztésének problémái. Legyen F egy vektortér altere - egy lineáris tér ugyanazon a mezőn, mint és - legyen F lineáris leképezése; meg kell találni egy olyan leképezés T kiterjesztését, amely mindenre definiált, és lineáris leképezése. Ilyen kiterjesztés mindig létezik, de a függvényekre vonatkozó további korlátozások (amelyek a vektortér további struktúráihoz kapcsolódnak, mint például a topológia vagy a sorrendi relációk) megoldhatatlanná tehetik a problémát. A folytatási probléma megoldására példák a Hahn-Banach-tétel, valamint a pozitív funkcionálisok kúpos terekben való folytatásáról szóló tételek.

A vektorterek elméletének fontos ága a vektortereken végzett műveletek elmélete, azaz. új vektorterek felépítésének módjai ismertekből. Ilyen műveletek például az olyan jól ismert műveletek, amikor egy alteret veszünk, és egy résztérből hányadosteret képezünk. További fontos műveletek a vektortér közvetlen összegének, direkt szorzatának és tenzorszorzatának megalkotása.