A folytonosság függvényének vizsgálata egy ponton a már gördített rutin séma szerint történik, amely három folytonossági feltétel ellenőrzéséből áll:

1. példa

Megoldás:

1) Az egyetlen pont az irányzék alá esik, ahol a függvény nincs definiálva.

Az egyoldalú határértékek végesek és egyenlőek.

Így egy ponton a függvény megszakítható folytonossági hiányt szenved.

Hogyan néz ki ennek a függvénynek a grafikonja?

Szeretnék egy egyszerűsítést tenni, és úgy tűnik, ez egy közönséges parabola. DE pontban az eredeti függvény nincs definiálva, ezért a következő figyelmeztetés szükséges:

Végezzük el a rajzot:

Válasz: a függvény a teljes számegyenesen folytonos, kivéve azt a pontot, ahol folytonossági hiányt szenved.

A függvény újradefiniálható jó vagy nem túl jó módon, de ezt a feltétel nem követeli meg.

Azt mondod, messzire menő a példa? Egyáltalán nem. Több tucatszor megtörtént a gyakorlatban. Az oldal szinte minden feladata valódi független és ellenőrző munkából származik.

Bontsuk fel kedvenc moduljainkat:

2. példa

Vizsgálja meg a folytonossági függvényt. Határozza meg a függvénytörések természetét, ha vannak. Hajtsa végre a rajzot.

Megoldás: a hallgatók valamiért félnek és nem szeretik a modulos függvényeket, pedig nincs bennük semmi bonyolult. A leckében már érintettünk egy kicsit ilyesmit. Geometriai diagram transzformációk. Mivel a modulus nem negatív, a következőképpen bővül: , ahol az "alfa" valamilyen kifejezés. Ebben az esetben , és a függvényünknek darabonként kell aláírnia:

De mindkét darab törtrészét csökkenteni kell -vel. A csökkentés, mint az előző példában, nem marad következmények nélkül. Az eredeti függvény nincs megadva a ponton, mert a nevező eltűnik. Ezért a rendszernek ezenkívül meg kell adnia a feltételt, és szigorúvá kell tennie az első egyenlőtlenséget:

Most egy NAGYON HASZNOS trükk: a feladat vázlaton történő véglegesítése előtt előnyös rajzot készíteni (függetlenül attól, hogy a feltétel megköveteli-e vagy sem). Ez egyrészt segít abban, hogy azonnal láthassa a folytonossági pontokat és a töréspontokat, másrészt 100%-ban megóvja Önt a hibáktól az egyoldalú határok megtalálásakor.

Csináljuk a trükköt. Számításaink szerint a ponttól balra egy parabola töredéket (kék), jobbra pedig egy parabola darabot (piros) kell rajzolni, miközben a függvény nincs magában a pontban definiálva. :

Ha kétségei vannak, vegyen néhány x-et, dugja be őket a függvénybe (ne feledje, hogy a modulus megsemmisíti az esetleges mínuszjelet), és ellenőrizze a grafikont.

A folytonosság függvényét analitikusan vizsgáljuk:

1) A függvény a pontban nincs definiálva, így azonnal kijelenthetjük, hogy nem folytonos benne.

2) Határozzuk meg a folytonossági hiány jellegét, ehhez egyoldalú határértékeket számolunk:

Az egyoldali határértékek végesek és különbözőek, ami azt jelenti, hogy a függvény az 1. típusú folytonossági hiányt szenved a pontban történő ugrással. Vegye figyelembe, hogy nem számít, hogy a töréspontban lévő függvény definiálva van-e vagy sem.

Most már csak át kell vinni a rajzot a vázlatból (mintha kutatás segítségével készült ;-)), és befejezni a feladatot:

Válasz: a függvény a teljes számegyenesen folytonos, kivéve azt a pontot, ahol egy ugrással az első típusú folytonossági hiányt szenved.

Néha szükség van a folytonossági ugrás további jelzésére. Kiszámítása elemi - a jobb oldali határból ki kell vonni a bal oldali határt: , vagyis a töréspontnál a függvényünk 2 egységet ugrott lejjebb (amit a mínusz jel árul el).

3. példa

Vizsgálja meg a folytonossági függvényt. Határozza meg a függvénytörések természetét, ha vannak. Készítsen rajzot.

Ez egy példa az önálló megoldásra, mintamegoldás az óra végén.

Térjünk át a feladat legnépszerűbb és legáltalánosabb verziójára, amikor a függvény három részből áll:

4. példa

Vizsgálja meg a függvényt a folytonosságra, és ábrázolja a függvénygrafikont

Megoldás: nyilvánvaló, hogy a függvény mindhárom része folytonos a megfelelő intervallumokon, így csak két "csomópontot" kell ellenőrizni a darabok között. Először készítsünk egy rajzot egy vázlatra, az építési technikát a cikk első részében elég részletesen kommentáltam. Az egyetlen dolog, hogy gondosan kövesse az egyes pontjainkat: az egyenlőtlenség miatt az érték az egyeneshez tartozik (zöld pont), az egyenlőtlenség miatt az érték a parabolához (piros pont):

Nos, elvileg minden világos =) A döntés meghozatala hátra van. Mind a két "fenék" pontnál szabványos módon 3 folytonossági feltételt ellenőrizünk:

ÉN)

Az egyoldali határértékek végesek és különbözőek, ami azt jelenti, hogy a függvény az 1. típusú folytonossági hiányt szenved a pontban történő ugrással.

Számítsuk ki a folytonossági ugrást a jobb és bal határ közötti különbségként:
, vagyis a diagram egy egységgel feljebb ugrott.

II) Megvizsgáljuk a lényeget a folytonosság szempontjából

1) - a függvény egy adott pontban van definiálva.

2) Keresse meg az egyoldalú határokat:

Az egyoldalú határértékek végesek és egyenlőek, ezért van egy közös határ.

Az utolsó szakaszban átvisszük a rajzot egy tiszta másolatra, majd feltesszük az utolsó akkordot:

Válasz: a függvény a teljes számegyenesen folytonos, kivéve azt a pontot, ahol egy ugrással az első típusú folytonossági hiányt szenved.

5. példa

Vizsgálja meg a folytonossági függvényt, és készítse el a grafikonját.

Ez egy példa egy önálló megoldásra, egy rövid megoldásra és egy hozzávetőleges minta a feladatból a lecke végén.

Az a benyomásunk támadhat, hogy egy ponton a függvénynek szükségszerűen folytonosnak kell lennie, egy másik ponton pedig szükségszerűen megszakításnak kell lennie. A gyakorlatban ez nem mindig van így. Ne hagyja figyelmen kívül a fennmaradó példákat - számos érdekes és fontos funkció lesz:

6. példa

Adott egy függvény. Vizsgáljuk meg a pontokban a folytonosság függvényét. Készítsen grafikont.

Megoldás: és ismét azonnal hajtsa végre a rajzot a piszkozaton:

Ennek a grafikonnak az a sajátossága, hogy a darabonkénti függvényt az abszcissza tengely egyenlete adja meg. Ez a terület itt látható zöldben, füzetben pedig általában egy egyszerű ceruzával vastag betűvel kiemelve. És persze ne feledkezzünk meg kosainkról sem: az érték az érintő ágra (piros pont), az érték pedig az egyenesre vonatkozik.

A rajzból minden világos - a függvény folyamatos a teljes számegyenesen, hátra van egy olyan megoldás elkészítése, amely szó szerint 3-4 hasonló példa után teljes automatizálásra kerül:

ÉN) Megvizsgáljuk a lényeget a folytonosság szempontjából

1) - a függvény egy adott pontban van definiálva.

2) Számítsa ki az egyoldalú határértékeket:

Tehát van egy általános határ.

Volt itt egy kis csavar. Az a helyzet, hogy rengeteg anyagot készítettem a funkció határairól, és többször szerettem volna, de többször megfeledkeztem egyről egyszerű ügy. Így hihetetlen akaraterővel kényszerítettem magam, hogy ne veszítsem el a gondolataimat =) Valószínűleg egyes olvasók - "bábu" kételkednek: mi a konstans határa? Egy állandó határértéke megegyezik magával az állandóval. Ebben az esetben a nulla határértéke megegyezik magával a nullával (a bal oldali határérték).

3) - egy függvény határértéke egy pontban egyenlő ennek a függvénynek az értékével egy adott pontban.

Így egy függvény egy pontban folytonos a függvény definíciója szerint, hogy egy pontban folytonos.

II) Megvizsgáljuk a lényeget a folytonosság szempontjából

1) - a függvény egy adott pontban van definiálva.

2) Keresse meg az egyoldalú határokat:

És itt, a jobb oldali határban - az egység határa megegyezik magával az egységgel.

Van egy általános határ.

3) - egy függvény határértéke egy pontban egyenlő ennek a függvénynek az értékével egy adott pontban.

Így egy függvény egy pontban folytonos a függvény definíciója szerint, hogy egy pontban folytonos.

Szokás szerint a tanulmányozás után áttesszük a rajzunkat egy tiszta másolatra.

Válasz: a függvény a pontokban folytonos.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy abban a feltételben nem kérdeztünk semmit a folytonossági függvény teljes vizsgálatáról, és jó matematikai formának tekinthető a megfogalmazása. pontos és világos választ a feltett kérdésre. Egyébként, ha a feltétel szerint nem kötelező gráfot készíteni, akkor teljes joga van nem építeni (bár később a tanár rákényszeríthet erre).

Egy kis matematikai "minta" egy független megoldáshoz:

7. példa

Adott egy függvény.

Vizsgáljuk meg a pontokban a folytonosság függvényét. Osztályozza a töréspontokat, ha vannak. Hajtsa végre a rajzot.

Próbálja meg helyesen „kiejteni” az összes „szót” =) És rajzolja meg pontosabban a grafikont, pontosságot, nem lesz mindenhol felesleges ;-)

Ahogy emlékszel, azt javasoltam, hogy azonnal rajzoljon egy piszkozatra, de időnként találkozik olyan példákkal, ahol nem lehet azonnal kitalálni, hogy néz ki a grafikon. Ezért számos esetben előnyös, ha először egyoldalú határokat találunk, és csak azután, a tanulmány alapján ábrázoljuk az ágakat. Az utolsó két példában néhány egyoldalú határérték kiszámításának technikáját is megtanuljuk:

8. példa

Vizsgálja meg a folytonossági függvényt, és készítse el sematikus gráfját.

Megoldás: nyilvánvalóak a rossz pontok: (nullára fordítja a kitevő nevezőjét) és (nullára fordítja a teljes tört nevezőjét). Nem világos, hogy néz ki ennek a függvénynek a grafikonja, ami azt jelenti, hogy jobb először egy vizsgálatot végezni:

ÉN) Megvizsgáljuk a lényeget a folytonosság szempontjából

2) Keresse meg az egyoldalú határokat:

figyelni tipikus módszer az egyoldalú határérték kiszámítására: a függvényben "X" helyett behelyettesítjük . A nevezőben nincs bűnözés: az „összeadás” „mínusz nulla” nem játszik szerepet, és kiderül, hogy „négy”. De a számlálóban van egy kis thriller: először -1-et és 1-et ölünk a mutató nevezőjébe, aminek eredményeként . egység osztva , egyenlő a "mínusz végtelennel", ezért: . És végül a "kettő" be végtelenül nagy negatív fokozat egyenlő nullával: . Vagy részletesebben: .

Számítsuk ki a jobb oldali határt:

És itt - az "x" helyett helyettesítjük . A nevezőben az "additív" ismét nem játszik szerepet: . A számlálóban az előző határértékhez hasonló műveleteket hajtanak végre: megsemmisítjük az ellentétes számokat, és elosztjuk az egységet :

A jobb oldali határ végtelen, ami azt jelenti, hogy a függvény 2. típusú megszakadást szenved a pontban.

II) Megvizsgáljuk a lényeget a folytonosság szempontjából

1) A függvény ezen a ponton nincs meghatározva.

2) Számítsa ki a bal oldali határt:

A módszer ugyanaz: "x" helyett behelyettesítjük a függvénybe. A számlálóban nincs semmi érdekes - véges pozitív számot kap. A nevezőben pedig kinyitjuk a zárójeleket, eltávolítjuk a „hármasokat”, és az „adalék” döntő szerepet játszik.

Ennek eredményeként egy véges pozitív szám osztva végtelenül kicsi pozitív szám, "plusz végtelent" ad: .

A jobb oldali határ, mint egy ikertestvér, az egyetlen kivétellel, ami a nevezőben jön elő végtelenül kicsi negatív szám:

Az egyoldalú határértékek végtelenek, ami azt jelenti, hogy a függvény 2. típusú folytonossági hiányt szenved a pontban.

Így van két töréspontunk, és nyilvánvalóan három águnk a diagramnak. Minden ágnál célszerű pontonkénti konstrukciót végezni, pl. vegyen több "x" értéket, és cserélje be őket -ra. Vegye figyelembe, hogy a feltétel lehetővé teszi sematikus rajz készítését, és az ilyen lazítás természetes a kézi munkánál. Grafikonokat készítek egy programmal, így nincsenek ilyen nehézségeim, itt egy elég pontos kép:

Közvetlenek vertikális aszimptoták ennek a függvénynek a grafikonjához.

Válasz: a függvény a teljes számegyenesen folytonos, kivéve azokat a pontokat, ahol a 2. típusú folytonossági hiányokat szenved.

Egy egyszerűbb funkció a barkácsoló megoldáshoz:

9. példa

Vizsgálja meg a folytonossági függvényt és készítsen vázlatos rajzot.

Egy mintaoldat a végén, ami észrevétlenül kúszott fel.

Hamarosan találkozunk!

Megoldások és válaszok:

3. példa:Megoldás : átalakítja a függvényt: . Adott a modulbővítési szabály és az a tény , a függvényt darabonként átírjuk:

Megvizsgáljuk a folytonosság függvényét.

1) A funkció a pontban nincs meghatározva .

Az egyoldalú határértékek végesek és különbözőek, ami azt jelenti, hogy a függvény az 1. típusú folytonossági hiányt szenved a pontban történő ugrással . Végezzük el a rajzot:

Válasz: a függvény a pont kivételével a teljes számegyenesen folytonos , amelyben egy ugrással az első típusú folytonossági zavart szenvedi el. Gap jump: (két egységgel feljebb).

5. példa:Megoldás : a függvény mindhárom része folytonos az intervallumán.
ÉN)
1)

2) Számítsa ki az egyoldalú határértékeket:

, tehát van egy közös határ.
3) - egy függvény határértéke egy pontban egyenlő ennek a függvénynek az értékével egy adott pontban.
Tehát a funkció pontban folyamatos függvény folytonosságának meghatározása alapján egy pontban.
II) Megvizsgáljuk a lényeget a folytonosság szempontjából

1) - a függvény az adott pontban van definiálva. a függvény 2. típusú megszakadást szenved a ponton

Hogyan lehet megtalálni egy függvény hatókörét?

Megoldási példák

Ha valami hiányzik valahonnan, akkor valahol van valami

Továbbra is tanulmányozzuk a „Függvények és grafikonok” részt, és utunk következő állomása az Funkció hatóköre. Aktív vita ezt a koncepciót az első leckében kezdődött a függvénygrafikonokról ahol áttekintettem elemi függvények, és különösen azok definíciós területei. Ezért azt javaslom, hogy a dumák kezdjék a téma alapjaival, mivel néhány alapponton nem térek ki ismét.

Feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a fő függvények definíciós területeit: lineáris, másodfokú, köbfüggvények, polinomok, kitevő, logaritmus, szinusz, koszinusz. -on vannak meghatározva. Érintőkre, arcszinuszokra, legyen szó, megbocsátok =) A ritkább gráfok nem jutnak azonnal eszébe.

A definíció tartománya egyszerű dolognak tűnik, és felmerül a természetes kérdés, miről fog szólni a cikk? Ebben a leckében egy függvény tartományának megtalálásához szükséges gyakori feladatokat fogom megvizsgálni. Ezenkívül megismételjük egyenlőtlenségek egy változóval, amelyek megoldásához más feladatok során szükség lesz felsőbb matematika. Az anyag egyébként mind iskolai, így nem csak a diákok, hanem a diákok számára is hasznos lesz. Az információ természetesen nem enciklopédikusnak mondható, másrészt itt nem messziről eltalált „halott” példák vannak, hanem sült gesztenye, amit valódi gyakorlati munkákból vettek át.

Kezdjük egy kifejezett vágással a témába. Röviden a lényegről: egy változó függvényéről beszélünk. Meghatározási tartománya az "x" értékek halmaza, amelyekre létezik a „játékok” jelentése. Vegyünk egy hipotetikus példát:

Ennek a függvénynek a tartománya az intervallumok uniója:
(akik elfelejtették: - összevonás ikon). Más szóval, ha bármilyen "x" értéket veszünk az intervallumból, vagy -ból, vagy -ból, akkor minden ilyen "x"-hez "y" lesz.

Nagyjából szólva, ahol a definíciós tartomány van, ott van a függvény grafikonja. De a fél intervallum és a „ce” pont nem szerepel a definíciós területen, így ott nincs grafikon.

Egyébként, ha valami nem világos a terminológiából és/vagy az első bekezdések tartalmából, jobb, ha visszatérünk a cikkhez Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai.

4. előadás

A funkciók folytonossága

1. Függvény folytonossága egy pontban

1. definíció. Hagyja a függvényt y=f(x) pontban van meghatározva x 0 és ennek a pontnak valamelyik szomszédságában. Funkció y=f(x) nak, nek hívják folytonos x-ben 0 , ha ezen a ponton van a függvény határértéke és ez egyenlő a függvény értékével ezen a ponton, azaz.

Tehát a függvény folytonosságának feltétele y=f(x) azon a ponton x 0 az, hogy a:

Mivel
, akkor a (32) egyenlőség így írható fel

(33)

 Ez azt jelenti, hogy mikor folytonos függvény határának megtalálásaf(x) a függvény előjele alatt át lehet lépni a határig, azaz. függvénybe f(x) érv helyett x határértékét helyettesíti x 0 .

lim sin x=sin(lim x);

lim arctg x= arctg (lim x); (34)

lim log x= log (lim x).

A feladat. Keresési korlát: 1)
; 2)
.

Adjuk meg egy függvény folytonosságának definícióját egy argumentum növekménye és egy függvény fogalma alapján.

Mivel feltételeket
És
azonosak (4. ábra), akkor a (32) egyenlőség a következőképpen alakul:

vagy
.

2. definíció. Funkció y=f(x) nak, nek hívják folytonos x-ben 0 , ha a pontban van meghatározva x 0 és a szomszédságában, és az argumentum végtelen kis növekménye a függvény végtelen kicsi növekményének felel meg.

A feladat. Vizsgálja meg a függvény folytonosságát y=2x 2 1.

Egy pontban folyamatos függvények tulajdonságai

1. Ha függvények f(x) És φ (x) folyamatosak a pontban x 0 , majd az összegük
, munka
és privát
(azzal a feltétellel
) a pontban folytonos függvények x 0 .

2. Ha függvény nál nél=f(x) folyamatos a pontban x 0 és f(x 0)>0, akkor létezik a pont szomszédsága x 0 , amelyben f(x)>0.

3. Ha függvény nál nél=f(u) folytonos az u 0 pontban, és az u= függvény φ (x) folyamatos a pontban u 0 = φ (x 0 ), azután összetett funkció y=f[φ (x)] folyamatos a pontban x 0 .

2. Függvény folytonossága intervallumban és intervallumon

Funkció y=f(x) nak, nek hívják folyamatos az intervallumban (a; b) ha ennek az intervallumnak minden pontjában folytonos.

Funkció y=f(x) nak, nek hívják folyamatos a szegmensen [a; b] ha folytonos az intervallumban ( a; b), és azon a ponton x=de folyamatos a jobb oldalon (pl.
), és azon a ponton x=b folyamatos a bal oldalon (pl.
).

3. Egy függvény töréspontjai és osztályozásuk

Azokat a pontokat, ahol egy függvény folytonossága megszakad, nevezzük töréspontok ezt a funkciót.

Ha x=x 0  a függvény töréspontja y=f(x), akkor egy függvény folytonosságának első definíciójának legalább egy feltétele nem teljesül benne.

Példa.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Kitörési pont x A 0-t töréspontnak nevezzük első fajta funkciókat y=f(x) ha ezen a ponton a függvénynek véges határai vannak a bal és a jobb oldalon (egyoldali határértékek), pl.
És
. Ahol:

Érték | A 1 -A 2 | hívott ugrás funkció az első fajta megszakítási pontján. ▲

▼Kitörési pont x A 0-t töréspontnak nevezzük második fajta funkciókat y=f(x), ha az egyoldali határértékek (bal vagy jobb) legalább egyike nem létezik, vagy egyenlő a végtelennel. ▲

A feladat. Keresse meg a töréspontokat, és ismerje meg azok típusát a függvényekhez:

1)
; 2)
.

4. Folyamatos függvények alaptételei

A függvényekre vonatkozó folytonossági tételek közvetlenül következnek a megfelelő határértéktételekből.

1. tétel. Két folytonos függvény összege, szorzata és hányadosa folytonos függvény (a hányadosra, kivéve az argumentum azon értékeit, amelyekben az osztó nem egyenlő nullával).

2. tétel. Hagyjuk a függvényeket u=φ (x) folyamatos a pontban x 0 és a függvény y=f(u) folyamatos a pontban u=φ (x 0 ). Aztán a komplex függvény f(φ (x)) folytonos függvényekből álló pontban folytonos x 0 .

3. tétel. Ha a funkció y=f(x) folyamatos és szigorúan monoton a [ a; b] tengely Ó, akkor az inverz függvény nál nél=φ (x) is folyamatos és monoton a megfelelő intervallumon [ c;d] tengely OU.

Minden elemi függvény folytonos minden olyan pontban, ahol meghatározásra került.

5. Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai

Weierstrass-tétel. Ha egy függvény folytonos egy szakaszon, akkor ezen a szegmensen éri el a maximális és minimális értékeit.

Következmény. Ha egy függvény folytonos egy intervallumon, akkor az intervallumra korlátos.

Bolzano-Cauchy tétel. Ha a funkció y=f(x) folyamatos a [ szegmensen a; b], és a végein egyenlőtlen értékeket vesz fel f(a)=AÉs f(b)=B,
, akkor bármi legyen is a szám TÓL TŐL között DEÉs BAN BEN, van egy pont
oly módon, hogy f(c)=C.

Mértanilag a tétel nyilvánvaló. Bármilyen számhoz TÓL TŐL között DEÉs BAN BEN, ezen a szegmensen belül van egy c pont úgy, hogy f(TÓL TŐL)=C. Egyenes nál nél=TÓL TŐL legalább egy pontban metszi a függvény grafikonját.

Következmény. Ha a funkció y=f(x) folyamatos a [ szegmensen a; b] és különböző előjelek értékeit veszi fel a végén, majd a szegmensen belül [ a; b] van legalább egy pont tól től, amelyben a függvény y=f(x) eltűnik: f(c)=0.

Geometriai tétel jelentése: ha egy folytonos függvény grafikonja a tengely egyik oldaláról megy át Ó másikra, akkor keresztezi a tengelyt Ó.

Ez a cikk a folyamatosról szól numerikus függvény. A matematika különböző ágaiban a folyamatos leképezésekről lásd a folyamatos leképezést.

folyamatos funkció- „ugrások” nélküli függvény, vagyis olyan, amelyben az argumentum kis változtatásai kis mértékben változnak a függvény értékében.

A folytonos függvény általában a folytonos leképezés fogalmának szinonimája, de leggyakrabban ezt a kifejezést szűkebb értelemben használják - számterek közötti leképezésekre, például egy valós egyenesre. Ez a cikk kifejezetten az alhalmazban meghatározott folyamatos függvényekkel foglalkozik valós számokés valódi értékeket vesz fel.

Enciklopédiai YouTube

1 / 5

✪ A funkció folytonossága és a funkció töréspontjai

✪ 15 folyamatos funkció

✪ Folyamatos funkciók

✪ Matematikai elemzés, 5. lecke, A funkció folytonossága

✪ Folyamatos véletlenszerű érték. elosztási függvény

Feliratok

Meghatározás

Ha "javítjuk" a függvényt f (\displaystyle f) a folytonossági ponton és tedd f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), akkor egy olyan függvényt kapunk, amely ezen a ponton folytonos. Egy függvény ilyen műveletét ún a funkció kiterjesztése folyamatosra vagy a funkció kiterjesztése folytonosság által, ami a pont nevét indokolja, pontként egyszer használatos rés.

Ugráspont

Megszakítási "ugrás" történik, ha

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x \to a+0)f(x)).

Törési pont "pólus"

"Pólus" szakadás következik be, ha az egyoldali határértékek egyike végtelen.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty ) vagy lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Jelentős töréspont

A jelentős megszakadás helyén az egyik egyoldalú korlát teljesen hiányzik.

Izolált szinguláris pontok osztályozása R n -ben, n>1

A funkciókhoz f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n))És f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) ) nem kell töréspontokkal dolgozni, de gyakran speciális pontokkal kell dolgozni (azokkal a pontokkal, ahol a függvény nincs definiálva). A besorolás hasonló.

Az „ugrás” fogalma hiányzik. Mi van benne R (\displaystyle \mathbb (R) ) ugrásnak számít, magasabb dimenziójú terekben lényeges szinguláris pont.

Tulajdonságok

Helyi

• Folyamatos függvény egy pontban a (\displaystyle a), ennek a pontnak a szomszédságában határolódik.
• Ha a funkció f (\displaystyle f) pontban folyamatos a (\displaystyle a)És f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(vagy f(a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), azután f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(vagy f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) mindenkinek x (\displaystyle x), elég közel hozzá a (\displaystyle a).
• Ha funkciókat f (\displaystyle f)És g (\displaystyle g) pontban folyamatos a (\displaystyle a), majd a funkciókat f+g (\displaystyle f+g)És f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) ponton is folyamatosak a (\displaystyle a).
• Ha funkciókat f (\displaystyle f)És g (\displaystyle g) pontban folyamatos a (\displaystyle a)és ahol g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), majd a függvény f / g (\displaystyle f/g) pontban is folyamatos a (\displaystyle a).
• Ha a funkció f (\displaystyle f) pontban folyamatos a (\displaystyle a)és funkciója g (\displaystyle g) pontban folyamatos b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), majd az összetételüket h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f) pontban folyamatos a (\displaystyle a).

Globális

• kompakt készlet) egyenletesen folyamatos rajta.
• Egy szegmensen (vagy bármely más kompakt halmazon) folytonos függvény korlátos, és azon éri el maximális és minimális értékét.
• Funkció tartomány f (\displaystyle f), folytonos a szegmensen, a szegmens [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],) ahol a minimumot és maximumot a szakasz mentén vesszük [a, b] (\displaystyle).
• Ha a funkció f (\displaystyle f) folyamatos a szegmensen [a, b] (\displaystyle)És f(a) ⋅ f(b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} akkor van egy pont, ahol f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• Ha a funkció f (\displaystyle f) folyamatos a szegmensen [a, b] (\displaystyle)és szám φ (\displaystyle \varphi ) kielégíti az egyenlőtlenséget f(a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi vagy egyenlőtlenség f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),) akkor van egy pont ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),) ahol f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi).
• Egy szakaszból valós egyenesre való folyamatos leképezés akkor és csak akkor injektív adott funkciót szigorúan monoton az intervallumon.
• Monoton funkció egy szegmensen [a, b] (\displaystyle) akkor és csak akkor folytonos, ha tartománya végekkel rendelkező szakasz f (a) (\displaystyle f(a))És f (b) (\displaystyle f(b)).
• Ha funkciókat f (\displaystyle f)És g (\displaystyle g) folyamatos a szegmensen [a, b] (\displaystyle), és f(a)< g (a) {\displaystyle f(a)És f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),) akkor van egy pont ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),) ahol f (ξ) = g (ξ) . (\displaystyle f(\xi)=g(\xi).) Ebből különösen az következik, hogy egy szegmens önmaga folytonos leképezésének legalább egy fix pontja van.

Példák

Elemi funkciók

Ez a függvény minden ponton folyamatos x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0).

A lényeg a töréspont első fajta, ráadásul

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\to 0+)f(x)),

míg a függvény magán a ponton eltűnik.

lépés funkció

A következőképpen definiált lépésfüggvény

f (x) = ( 1 , x ≥ 0 0 , x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

mindenhol folyamatos, kivéve egy ponton x = 0 (\displaystyle x=0), ahol a függvény az első típusú folytonossági hiányt szenved. Azonban azon a ponton x = 0 (\displaystyle x=0) van egy jobb oldali határ, amely egybeesik a függvény értékével egy adott pontban. Tehát ez a függvény egy példa folyamatos jobb funkciókat a meghatározás egész területén.

Hasonlóképpen, a lépésfüggvény definíciója:

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ≤ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(esetek)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( esetek)),\quad x\in \mathbb (R) )

egy példa folyamatos balra funkciókat a meghatározás egész területén.

Dirichlet függvény

f (x) = ( 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R ∖ Q (\displaystyle f(x)=(\begin(esetek)1,&x\in \mathbb (Q) \\0,&x\in \ mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) \end(esetek)))

Egy függvény folytonossága egy pontban

Legyen az f(x) függvény az x0 pont valamelyik O(x0) környezetében (beleértve magát az x0 pontot is).

Egy f(x) függvényt folytonosnak nevezünk egy x0 pontban, ha létezik limx → x0 f(x) egyenlő az f(x) függvény értékével ebben a pontban: lim

f(x) = f(x0), (1)

azok. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) X f(x) O O(f(x0)) .

Megjegyzés. Az (1) egyenlőség a következőképpen írható fel: lim

azok. folytonos függvény előjele alatt át lehet lépni a határig.

Legyen Δx = x − x0 az argumentum növekménye, Δy = f(x) − f(x0) a függvény megfelelő növekménye.

Szükséges és elégséges állapot függvény folytonossága egy pontban

Az y = f(x) függvény akkor és csak akkor folytonos x0-ban

Megjegyzés. A (2) feltétel egy függvény egy pontban való folytonosságának második definíciójaként értelmezhető. Mindkét definíció egyenértékű.

Legyen az f(x) függvény definiálva az intervallumban.

Egy f(x) függvényt folytonosnak kell hagyni egy x0 pontban, ha létezik egyoldali határérték.

Két folytonos függvény összegének, szorzatának és hányadosának folytonossága

Tétel 1. Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az x0 pontban, akkor f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) folytonosak ebben pont

Egy összetett függvény folytonossága

2. Tétel. Ha az u(x) függvény folytonos az x0 pontban, és az f(u) függvény a megfelelő u0 = f(x0) pontban, akkor az f(u(x)) összetett függvény folytonos. az x0 pontban.

Minden elemi függvény folytonos a tartományának minden pontján.

Folytonos függvények lokális tulajdonságai

3. Tétel (folyamatos függvény korlátossága). Ha az f(x) függvény folytonos az x0 pontban, akkor van egy O(x0) környék, amelyben f(x) korlátos.

A bizonyítás abból az állításból következik, hogy egy függvény, amelynek van határa, korlátos.

4. tétel (folyamatos függvény előjelének stabilitása). Ha az f(x) függvény folytonos az x0 pontban és f(x0) ≠ 0, akkor létezik az x0 pontnak egy olyan környéke, ahol f(x) ≠ 0, és ebben a szomszédságban az f(x) előjele egybeesik. f(x0) előjellel.

A töréspontok osztályozása

Az f(x) függvény folytonosságának (1) feltétele az x0 pontban ekvivalens az f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3) feltétellel.

ahol f(x 0 − 0) = lim

f(x) és f(x0 + 0) = lim

f(x) - az f(x) függvény egyoldali határértékei az x0 pontban.

Ha a (3) feltételt megsértjük, az x0 pontot az f(x) függvény szakadási pontjának nevezzük. A (3) feltétel megsértésének típusától függően a töréspontok eltérő jellegűek, és a következőképpen osztályozhatók:

1. Ha egy x0 pontban léteznek egyoldalú határértékek f(x0 − 0), f (x0 + 0) és

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), akkor az x0 pontot az f(x) függvény szakadási pontjának nevezzük (1. ábra).

Megjegyzés. Az x0 pontban a függvény nem definiálható.

2. Ha az x0 pontban vannak egyoldalú határértékek f(x0 − 0), f (x0 + 0), ill.

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), akkor az x0 pontot szakadási pontnak nevezzük az f(x) függvény véges ugrásával (2. ábra).

Megjegyzés. A véges ugrású megszakítási pontban a függvény értéke bármi lehet, vagy nem definiálható.

Az eltávolítható szakadás és a véges ugrás pontjait 1. típusú szakadási pontoknak nevezzük. Megkülönböztető jellemzőjük az f(x0 − 0) és véges egyoldalú határértékek megléte

3. Ha az x0 pontban az f(x0 − 0), f (x0 + 0) egyoldali határértékek legalább egyike egyenlő a végtelennel, vagy nem létezik, akkor
x0-t 2. típusú szakadási pontnak nevezzük (3. ábra).

Ha az f(x0 − 0), f (x0 + 0) egyoldali határértékek legalább egyike egyenlő a végtelennel, akkor az x = x 0 egyenest az y = f() függvény gráfjának függőleges aszimptotájának nevezzük. x).

Meghatározás. Valamely x0 pont szomszédságában definiált f(x) függvényt folytonosnak nevezzük az x0 pontban, ha a függvény határértéke és értéke ebben a pontban egyenlő, azaz.

Ugyanazt a tényt másképp is leírhatjuk:

Meghatározás. Ha az f(x) függvény az x0 pont valamelyik szomszédságában van definiálva, de magában az x0 pontban nem folytonos, akkor nem folytonos függvénynek, az x0 pontot pedig szakadási pontnak nevezzük.

Meghatározás. Az f(x) függvényt folytonosnak nevezzük az x0 pontban, ha van ilyen pozitív szám e>0 van egy olyan D>0 szám, amely a feltételt kielégítő bármely x-re

valódi egyenlőtlenség.

Meghatározás. Az f(x) függvényt folytonosnak nevezzük az x = x0 pontban, ha a függvény növekménye az x0 pontban infinitezimális érték.

f(x) = f(x0) + a(x)

ahol a(x) végtelenül kicsi x®x0 esetén.

A folytonos függvények tulajdonságai.

1) Az x0 pontban folytonos függvények összege, különbsége és szorzata az x0 pontban folytonos függvény.

2) Két folytonos függvény hányadosa folytonos függvény, feltéve, hogy g(x) nem egyenlő nullával az x0 pontban.

3) A folytonos függvények szuperpozíciója folytonos függvény.

Ez a tulajdonság a következőképpen írható fel:

Ha u = f(x), v = g(x) folytonos függvények az x = x0 pontban, akkor a v = g(f(x)) függvény is folytonos függvény ebben a pontban.

A fenti tulajdonságok érvényessége a határérték-tételek segítségével könnyen igazolható

Intervallumon folytonos függvények tulajdonságai.

1. tulajdonság: (Weierstrass első tétele (Weierstrass Karl (1815-1897) - német matematikus)). Egy intervallumon folytonos függvény erre az intervallumra korlátos, azaz. az intervallumon teljesül a –M £ f(x) £ M feltétel.

Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása azon alapul, hogy egy függvény, amely az x0 pontban folytonos, annak valamilyen szomszédságában korlátos, és ha a szakaszt végtelen számú szakaszra osztjuk, amelyek „összehúzódnak” az x0 pontba, akkor létrejön az x0 pont bizonyos környéke.

2. tulajdonság: Az intervallumon folytonos függvény felveszi a maximális és minimális értékeit.

Azok. vannak olyan x1 és x2 értékek, hogy f(x1) = m, f(x2) = M, és

Megjegyezzük, hogy ezeket a maximális és minimális értékeket a függvény egy szakaszon és többször is felveheti (például f (x) = sinx).

A függvény legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbséget egy szegmensen a függvény oszcillációjának nevezzük.

3. tulajdonság: (Második Bolzano–Cauchy-tétel). Egy szegmensen folytonos függvény ezt a szegmenst felveszi két tetszőleges érték közötti összes értéket.

4. tulajdonság: Ha az f(x) függvény folytonos az x = x0 pontban, akkor az x0 pontnak van olyan környéke, amelyben a függvény megtartja előjelét.

5. tulajdonság: (Bolzano (1781-1848) első tétele – Cauchy). Ha az f(x) függvény folytonos egy szakaszon, és a szakasz végein ellentétes előjelű értékek vannak, akkor ezen a szakaszon belül van egy pont, ahol f(x) = 0.

Azok. ha jel(f(a)) ¹ jel(f(b)), akkor $ x0: f(x0) = 0.

Meghatározás. Az f(x) függvényt egyenletesen folytonosnak nevezzük az intervallumon, ha bármely e>0 esetén létezik D>0 úgy, hogy bármely x1О és x2О pontra úgy, hogy

х2 – х1п< D

az ïf(x2) – f(x1)ï egyenlőtlenség< e

Az egyenletes folytonosság és a „közönséges” folytonosság között az a különbség, hogy bármely e-nek megvan a saját D-je, amely nem függ x-től, míg a „közönséges” folytonossághoz D függ e-től és x-től.

6. tulajdonság: Cantor-tétel (Kantor Georg (1845-1918) - német matematikus). Az a függvény, amely egy szakaszon folytonos, azon egyenletesen folytonos.

(Ez a tulajdonság csak szegmensekre érvényes, intervallumokra és félintervallumokra nem.)

A folytonosság definíciója

Egy f (x) függvényt folytonosnak nevezünk egy a pontban, ha: f () pp

1) az f(x) függvény az a pontban van definiálva,

2) véges határértéke van mint x → a 2) véges határértéke x → a,

3) ez a határ egyenlő a függvény értékével ezen a ponton:

Folytonosság az intervallumon

Az f (x) függvényt folytonosnak nevezzük az X intervallumon, ha f () pp py

Ennek az intervallumnak minden pontján folytonos.

Nyilatkozat. Minden elemi függvény folyamatos

Meghatározásuk területei.

korlátos függvény

Egy függvényt szegmensre korlátosnak nevezünk, ha

létezik olyan M szám, amelyre minden x ∈

egyenlőtlenség:| f(x)| ≤M.

Weierstrass két tétele

Weierstrass első tétele. Ha az f (x p p p fu f (

folytonos a szakaszon, akkor erre a szakaszra korlátozódik

Weierstrass második tétele. Ha az f(x

folyamatos a szegmensen, akkor el kell érnie ezt a szegmenst

a legkisebb m érték és a legnagyobb M érték.

Bolzano-Cauchy tétel

Ha az f (x) függvény folytonos az intervallumon és a fu f-n () pp p

ennek a szakasznak a végén f(a) és f(b) ellentétes előjelű,

akkor a szakaszon belül van egy c∈ (a,b) pont úgy, hogy f (c) = 0. ur p () f ()