Bevezetés

A valószínűségszámítás a matematika egyik klasszikus ága. Hosszú története van. Ennek a tudományágnak az alapjait nagy matematikusok fektették le. Megnevezem például Fermat, Bernoullit, Pascalt. Később sok tudós munkája meghatározta a valószínűségszámítás fejlődését. Hazánk tudósai nagyban hozzájárultak a valószínűségelmélethez: P. L. Csebisev, A. M. Lyapunov, A. A. Markov, A. N. Kolmogorov. Valószínűségi és statisztikai módszerek most már mélyen behatoltak az alkalmazásokba. Használják a fizikában, a mérnöki tudományokban, a közgazdaságtanban, a biológiában és az orvostudományban. Szerepük a fejlesztéssel kapcsolatban különösen megnőtt Számítástechnika.

Például tanulni fizikai jelenségek megfigyeléseket vagy kísérleteket végezni. Eredményeiket általában bizonyos megfigyelt mennyiségek értékeként rögzítik. A kísérletek megismétlésekor szóródást találunk az eredményeikben. Például, ha bizonyos feltételek (hőmérséklet, páratartalom stb.) betartása mellett ugyanazt a mennyiséget ismételjük meg ugyanazzal a készülékkel, akkor legalább kismértékben eltérő, de egymástól mégis eltérő eredményeket kapunk. Még többszöri mérés sem teszi lehetővé a következő mérés eredményének pontos előrejelzését. Ebben az értelemben a mérés eredményét véletlenszerű mennyiségnek mondjuk. A valószínűségi változó még világosabb példája a nyertes lottószelvény száma. Sok más példát is lehet adni a valószínűségi változókra. Ennek ellenére a balesetek világában fellelhetők bizonyos minták. Matematikai berendezés hogy tanulmányozzuk az ilyen törvényszerűségeket és megadja a valószínűségelméletet. Így a valószínűségelmélet azzal foglalkozik matematikai elemzés véletlenszerű eseményekés a kapcsolódó valószínűségi változók.

1. Véletlen változók

A valószínűségi változó fogalma alapvető a valószínűségszámításban és alkalmazásaiban. A véletlenszerű változók például az egy dobás során elesett pontok száma dobókocka, a bomlott rádium atomok száma adott időtartamra, a telefonközponton adott ideig tartó hívások száma, egy adott méretű alkatrész névértékétől való eltérése megfelelően kialakított technológiai eljárással stb. .

A valószínűségi változó tehát egy olyan mennyiség, amely egy kísérlet eredményeként ilyen vagy olyan értéket vehet fel, és amelyik az előre ismert.

A véletlenszerű változók két kategóriába sorolhatók.

A diszkrét valószínűségi változó olyan változó, amely egy kísérlet eredményeként felvehető bizonyos értékeket bizonyos valószínűséggel, megszámlálható halmazt képezve (olyan halmazt, amelynek elemei számozhatók).

Ez a halmaz lehet véges vagy végtelen.

Például a célpont első találata előtti lövések száma diszkrét valószínűségi változó, mert ez az érték végtelen számú, bár megszámlálható értéket vehet fel.

A folytonos valószínűségi változó olyan változó, amely bármely véges vagy végtelen intervallumból tetszőleges értéket vehet fel.

Nyilvánvaló, hogy egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma végtelen.

Egy valószínűségi változó beállításához nem elég az értékét megadni, meg kell adni ennek az értéknek a valószínűségét is.

2. Egységes eloszlás

Legyen az Ox tengely szakasza valamilyen műszer skálája. Tegyük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy a mutató eltalálja a skála egy bizonyos szegmensét, arányos ennek a szakasznak a hosszával, és nem függ a szegmens skálán való elhelyezkedésétől. A műszer mutató jele véletlenszerű érték

amely tetszőleges értéket vehet fel a szegmensből. Ezért (< ) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем , то , откуда .

Ily módon

(1)

Most már könnyű megtalálni a valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának F(x) függvényét

. Ha , akkor nem vesz kisebb értékeket, mint a. Most engedd. A valószínűségek összeadásának axiómája szerint. Az (1) képlet szerint, amelyben elfogadjuk, van, akkor kapjuk

Végül, ha

, akkor , mivel az értékek a szegmensen vannak, ezért nem haladják meg b. Tehát eljutottunk következő funkció disztribúciók:

Függvénygrafikon

ábrán látható. egy.

A valószínűségi eloszlás sűrűségét a képlettel találjuk meg. Ha

vagy , akkor . Ha akkor

Ily módon

(2)

Függvénygrafikon

ábrán látható. 2. Vegye figyelembe, hogy a pontokon aÉs b funkció megszakad.

Azt az értéket, amelynek eloszlássűrűségét a (2) képlet adja meg, egyenletes eloszlású valószínűségi változónak nevezzük.

3. Binomiális eloszlás

Binomiális eloszlás a valószínűségszámításban – a „sikerek” számának eloszlása ​​egy sorozatban n független véletlenszerű kísérletek úgy, hogy a "siker" valószínűsége mindegyikben az p.

független valószínűségi változók véges sorozata Bernoulli eloszlással, azaz.

Építsünk egy valószínűségi változót Y.

A diszkrét valószínűségi változókra vonatkozó eloszlási törvények közül a legelterjedtebb a binomiális eloszlási törvény. A binomiális eloszlás a következő feltételek mellett megy végbe. Legyen egy valószínűségi változó valamely esemény előfordulásának száma független próbákban, az előfordulási valószínűség egy külön próbában . Ez a valószínűségi változó egy diszkrét valószínűségi változó, lehetséges értékei a következők. Annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel, a Bernoulli-képlet számítja ki: .

15. definíció. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényét binomiális eloszlási törvénynek nevezzük, ha a valószínűségi változó értékeinek valószínűségét a Bernoulli-képlet segítségével számítjuk ki. A terjesztési sorozat így fog kinézni:

Győződjön meg arról, hogy a valószínűségi változó különböző értékei valószínűségeinek összege egyenlő 1-gyel.

Mivel ezek a számítások Newton binomiális képletét eredményezték, ezért az eloszlási törvényt binomiálisnak nevezzük. Ha egy valószínűségi változó binomiális eloszlású, akkor a numerikus jellemzőit a következő képletekkel találjuk meg:

(42) (43)

15. példa 50 darabos tétel van. A házasság valószínűsége egy részre. Legyen egy valószínűségi változó egy adott tételben lévő hibás alkatrészek száma. Megtalálni várható érték, az adott valószínűségi változó varianciája és szórása. Megoldás. Egy valószínűségi változó binomiális eloszlású, mivel annak valószínűségét, hogy értéket vesz fel, a Bernoulli-képlet segítségével számítjuk ki. Ekkor a matematikai elvárását a (41) képlet találja meg, nevezetesen: ; a szórást a (42) képlet határozza meg: . Ekkor a szórás egyenlő lesz. Kérdés. 200 sorsjegy vásárolt, egy szelvény megnyerésének valószínűsége 0,01. Ekkor a nyerő sorsjegyek átlagos száma: a) 10; b) 2; 20-ban; d) 1.

Poisson-eloszlási törvény

Sok gyakorlati probléma megoldása során olyan diszkrét valószínűségi változókkal kell foglalkozni, amelyek engedelmeskednek a Poisson-eloszlási törvénynek. Tipikus példák a Poisson-eloszlású valószínűségi változókra: a telefonközponton egy ideig tartó hívások száma ; az összetett berendezések időbeli meghibásodásának száma, ha ismert, hogy a meghibásodások egymástól függetlenek, és átlagosan időegységenként fordulnak elő meghibásodások. Az eloszlási sorozat így fog kinézni:

Vagyis annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel, a Poisson-képlet számítja ki: ezért ezt a törvényt Poisson-eloszlási törvénynek nevezik. A Poisson-törvény szerint elosztott valószínűségi változó a következő numerikus jellemzőkkel rendelkezik:

A Poisson-eloszlás egy paramétertől függ, amely a valószínűségi változó átlaga. A 14. ábra mutatja általános forma a Poisson-eloszlás sokszöge a paraméter különböző értékeihez.

A Poisson-eloszlás közelítőként használható azokban az esetekben, amikor egy valószínűségi változó pontos eloszlása ​​binomiális eloszlás, miközben a próbák száma nagy, és kicsi a valószínűsége annak, hogy egy esemény egy külön kísérletben bekövetkezik, ezért a Poisson az elosztási törvényt a ritka események törvényének nevezik. És azt is, ha a matematikai elvárás alig tér el a szórástól, vagyis amikor . Ebben a tekintetben a Poisson-eloszlásnak számos különféle alkalmazása van. 16. példa Az üzem 500 kiváló minőségű terméket küld a bázisra. Annak a valószínűsége, hogy a termék szállítás közben megsérül, 0,002. Határozza meg a szállítás során sérült alkatrészek számának matematikai elvárását! Megoldás. A valószínűségi változó Poisson-eloszlású, tehát . Kérdés. Az üzenetátvitel során a karaktertorzulás valószínűsége 0,004. Ahhoz, hogy az elrontott szimbólumok átlagos száma 4 legyen, 100 szimbólumot kell továbbítani.

Mint ismeretes, valószínűségi változó változónak nevezzük, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűi (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelölik. A véletlen változókat nem folytonosra (diszkrét) és folytonosra osztják.

Diszkrét valószínűségi változó egy valószínűségi változó, amely csak egy véges vagy végtelen (megszámlálható) értékhalmazt vesz fel bizonyos nem nulla valószínűséggel.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye egy olyan függvény, amely összekapcsolja egy valószínűségi változó értékeit a megfelelő valószínűségekkel. Az elosztási törvényt a következő módok egyikén lehet megadni.

1 . Az elosztási törvényt a táblázat segítségével adhatjuk meg:

ahol λ>0, k = 0, 1, 2, … .

ban ben) keresztül F(x) eloszlásfüggvény , amely minden x értékre meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X< x).

Az F(x) függvény tulajdonságai

3 . Az elosztási törvény grafikusan beállítható – eloszlási sokszög (poligon) (lásd 3. feladat).

Vegye figyelembe, hogy bizonyos problémák megoldásához nem szükséges ismerni az elosztási törvényt. Bizonyos esetekben elegendő egy vagy több olyan szám ismerete, amely az elosztási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözi. Ez lehet egy szám, amely egy valószínűségi változó "átlagértékét" jelenti, vagy olyan szám, amely egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének átlagos nagyságát mutatja. Az ilyen számokat egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó alapvető numerikus jellemzői :

• Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó (átlagértéke). M(X)=Σ x i p i.
  Binomiális eloszlás esetén M(X)=np, Poisson eloszlásnál M(X)=λ
• Diszperzió diszkrét valószínűségi változó D(X)=M2 vagy D(X) = M(X 2) − 2. Az X–M(X) különbséget egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének nevezzük.
  Binomiális eloszlás esetén D(X)=npq, Poisson eloszlás esetén D(X)=λ
• Szórás (szórás) σ(X)=√D(X).

Példák a problémák megoldására a "Diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye" témakörben

1. feladat.

1000 sorsjegyet bocsátottak ki: ebből 5 500 rubelt, 10 100 rubelt, 20 50 rubelt, 50 pedig 10 rubelt nyer. Határozza meg az X valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvényét - nyeremény egy jegyre!

Megoldás. A probléma feltételétől függően az X valószínűségi változó következő értékei lehetségesek: 0, 10, 50, 100 és 500.

A nyeremény nélküli jegyek száma 1000 - (5+10+20+50) = 915, majd P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Hasonlóképpen megtaláljuk az összes többi valószínűséget is: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. A kapott törvényt táblázat formájában mutatjuk be:

Határozza meg X matematikai elvárását: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. feladat.

A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Készítsen eloszlási törvényt a sikertelen elemek számára egy kísérletben, építsen fel egy eloszlási sokszöget. Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt és ábrázolja. Határozza meg egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását.

Megoldás. 1. Az X= (egy kísérlet sikertelen elemeinek száma) diszkrét valószínűségi változónak a következő lehetséges értékei vannak: x 1 =0 (az eszköz egyik eleme sem hibásodott meg), x 2 =1 (egy elem meghibásodott), x 3 =2 ( két elem nem sikerült ) és x 4 \u003d 3 (három elem nem sikerült).

Az elemek meghibásodása független egymástól, az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egyenlő egymással, ezért alkalmazható Bernoulli képlete . Tekintettel arra, hogy feltétel szerint n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, meghatározzuk az értékek valószínűségét:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Ellenőrzés: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Így a kívánt X binomiális eloszlási törvény alakja a következő:

Az abszcissza tengelyen ábrázoljuk a lehetséges x i értékeket, az ordináta tengelyen pedig a megfelelő р i valószínűségeket. Szerkesszük meg az M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) pontokat. Ezeket a pontokat vonalszakaszokkal összekötve megkapjuk a kívánt eloszlási sokszöget.

3. Keresse meg az F(x) = P(X) eloszlásfüggvényt

Ha x ≤ 0, akkor F(x) = P(X<0) = 0;
0-ért< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ért< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ért< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 esetén F(x) = 1 lesz, mert az esemény biztos.

Az F(x) függvény grafikonja

4. Az X binomiális eloszláshoz:
- matematikai elvárás М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- diszperzió D(X)=npq=3*0,1*0,9=0,27;
- szórás σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

VÉLETLENSZERŰ ÉRTÉKEK

Először nézzünk meg néhány eloszlási törvényt a diszkrét valószínűségi változókra.

4.1 Binomiális eloszlás .

Legyen a valószínűségi változó valamely esemény előfordulásának száma sorozatában független kísérletek, amelyek mindegyikében egy esemény bekövetkezésének valószínűsége
, de annak valószínűsége, hogy az esemény nem következik be
Egy ilyen érték eloszlási sorozatának alakja:

ahol
. Az ilyen eloszlási sorozatot ún binomiális . Egy valószínűségi változó matematikai elvárása
ebben az esetben így néz ki:

(1)

Ennek a kifejezésnek a kiszámításához differenciálva a következő kifejezést:
kapunk

Ha ezt az egyenletet megszorozzuk azzal , kapunk

(2)

De
és az (1) és (2) egyenlőség jobb oldali részei egybeesnek, akkor

Ugyanazt a kifejezést kétszer differenciálva kapjuk

A kapott egyenlőséget megszorozva ezzel , kapunk:

Ily módon

Innen Toda

Tehát a binomiális eloszláshoz:

Példa. 20 független lövést adtak le a célpontra. Az egyes lövések eltalálásának valószínűsége
. Határozza meg a találatok számának matematikai elvárását, szórását és átlagos négyzetes elvárását!

Véletlenszerű érték
- a találatok száma, a binomiális törvény szerint elosztva

4.2 Poisson-eloszlás.

Meghatározás. Diszkrét valószínűségi változó
Megvan

Poisson-eloszlási törvény , ha azt egy eloszlási sorozat adja

amelyben a valószínűségeket a Poisson-képlet határozza meg

(3)

ahol ( - egy esemény előfordulásának átlagos száma egy tesztsorozatban, amelyek mindegyikében az esemény bekövetkezésének valószínűsége állandó érték
).

A következő tételt bizonyítás nélkül mutatjuk be.

TÉTEL. A Poisson-törvény szerint elosztott valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája egybeesik és egyenlő a paraméterrel ez a törvény, i.e.

Kellően nagyra (általában azzal
) és kis értékek
feltéve, hogy a munka
- állandó érték (
), a Poisson-eloszlási törvény jó közelítése a binomiális törvénynek, azaz. a Poisson-eloszlás a binomiális törvény aszimptotikus kiterjesztése. Néha ezt a törvényt úgy hívják a ritka események törvénye. A Poisson-törvény szerint megoszlik például az automatikus vonalhibák száma, a rendszerhibák száma „normál üzemmódban”, a központ működésében fellépő hibák száma stb.

4.3 Geometriai eloszlás.

Meghatározás. Diszkrét valószínűségi változó
Megvan geometriai eloszlás , ha
, ahol valamilyen rendezvényre,

és terjesztési sorozata:

Ebben az esetben a valószínűségek egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió és annak összege

TÉTEL. A paraméterrel geometriai eloszlású valószínűségi változó esetén , a matematikai elvárást és a variancia kiszámítása a következő képletekkel történik:

Példa. Lövéseket adnak le a célpontra az első találatig. Az egyes lövések eltalálásának valószínűsége
.

Készítsen eloszlássorozatot egy valószínűségi változóból
- „találatok száma”. Keresse meg annak matematikai elvárását és szórását.

A tétel szerint

szórás

Hipergeometrikus eloszlás .

Engedd ki a bulit
elérhető termékek
alapértelmezett. Véletlenszerűen kiválasztott Termékek. Legyen a valószínűségi változó
- a standard termékek száma a kiválasztott termékek között. Nyilvánvalóan ennek a valószínűségi változónak a lehetséges értékei a következők:

A lehetséges értékek valószínűségét a következő képlet számítja ki:

Erre a valószínűségi változóra a matematikai elvárást a képlet számítja ki
és a szórás:

Példa. Egy urnában 5 fehér és 3 fekete golyó található. 3 golyó véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Állíts össze egy valószínűségi változó eloszlási sorozatát!
- a fehér golyók száma a kiválasztottak között. Keresse meg annak matematikai elvárását és szórását.

Ennek a valószínűségi változónak a lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. keresse meg a valószínűségüket:

Elosztási sorozatot kapunk:

A matematikai elvárás kiszámítható közvetlenül jól ismert képletekkel, vagy használhatja a tétel képleteit. Példánkban

. Azután

Most nézzük meg a folytonos valószínűségi változók eloszlásának fő törvényeit.

4.5 Egységes eloszlás.

Meghatározás. A folytonos valószínűségi változó egyenletes eloszlású az intervallumon
, ha ezen a szegmensen állandó értéke van, és ezen a szegmensen kívül egyenlő nullával, pl. a sűrűséggrafikonja így néz ki:

Mivel az eloszlási sűrűséggráf alatti területnek egyenlőnek kell lennie eggyel, akkor
Azután

Eloszlási függvénye a következő formában van:

és a menetrendjét

4.6 Az exponenciális eloszlás .

A valószínűségszámítás gyakorlati alkalmazásaiban (pl.

mérések, sorban állás, műveletkutatás, megbízhatóságelmélet, fizikában, biológiában stb.) gyakran kell olyan valószínűségi változókkal is foglalkozni, amelyek exponenciális vagy exponenciális eloszlásúak.

Meghatározás. Folyamatos véletlen szám
szétosztva törvényt mutasson , ha a valószínűségi eloszlás sűrűsége a következő:

Ennek a függvénynek a grafikonja:

0

Elosztási funkciója a következő:

menetrendje van

RÓL RŐL

Várható érték:

Példa. Legyen a valószínűségi változó
- egy bizonyos mechanizmus működési ideje exponenciális eloszlású. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a mechanizmus legalább 1000 óráig fog működni, ha átlagos működési ideje 800 óra.

A feladat feltétele szerint a mechanizmus működésének matematikai elvárása
, de
. Azután

Következésképpen,

Szükséges valószínűség:

Megjegyzés. Az exponenciális eloszlás arra vonatkozik egy-nem-paraméteres elosztási törvények (csak attól függ ).

4.7 Normál eloszlás.

Meghatározás.Normál Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának nevezzük, amelynek valószínűségi eloszlási sűrűsége a következő képlettel van meghatározva:

(1)

Ezt látjuk a normál eloszlást két paraméter határozza meg : És . Normál eloszlás megadásához elegendő ezt a két paramétert megadni.

A normál eloszlási törvényt nagyon széles körben használják gyakorlati problémákban. Akkor jelenik meg, amikor a valószínűségi változó
nagyszámú különböző tényező hatásának eredménye. Mindegyik tényező egyénileg kismértékben befolyásolja a valószínűségi változót, és nem lehet megmondani, hogy melyikük hat jobban, mint a többi. Példák a normális eloszlású valószínűségi változókra: a gép által készített alkatrészek méreteinek eltérése a szabványosaktól; mérési hibák; eltérések célba lövéskor stb.

A fő minta, amely megkülönbözteti a normál törvényt a többi törvénytől, hogy ez a korlátozó törvény, amelyhez más törvények közelednek, pl. kellően nagy értékkel független valószínűségi változók összege
, az eloszlási törvények függvényében, a normálhoz tetszőlegesen közeli eloszlású lesz.

Egy normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének alakja van

(2)

A folytonos valószínűségi változó matematikai elvárása alapján,

Vezessünk be egy új változót

Figyelembe véve, hogy az új integrációs korlátok megegyeznek a régiekkel, megkapjuk

Az első tag egyenlő nullával, mint integrál egy páratlan függvény szimmetrikus intervallumán. A kifejezések közül a második az (Poisson integrál
).

Így egy normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása

Egy folytonos valószínűségi változó diszperziójának definíciója szerint, tekintettel arra, hogy
, kapunk

Vezessünk be egy új változót

Kap
A részenkénti integrálási képlet és a korábbi számítások alkalmazásával megkapjuk
Azután
Ezért a normális eloszlás második paramétere a szórás.

Jegyzet.normalizálva paraméteres normális eloszlásnak nevezzük
A normalizált eloszlás sűrűségét a függvény adja meg:

(3)

amelyek értékei vagy közvetlenül megtalálhatók, vagy használhatja a megfelelő táblázatokat, amelyek minden könyvtárban megtalálhatók. A normalizált eloszlásfüggvény alakja
. Ekkor a (2) képlettel megadott általános normális eloszlási függvényt a képlet fejezi ki
. Normalizált, normális eloszlású valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége
az intervallumban
a Laplace függvény segítségével határozzuk meg
, melynek értékeit a táblázatok is megadják. Valóban,

Tekintettel arra
(az eloszlási sűrűség tulajdonsága szerint), a függvény szimmetriája miatt
ponthoz képest
:

Azután

A normál eloszlási sűrűség görbét ún normál görbe vagy Gauss-görbe .

Nézzük meg a funkciót:

A teljes számegyenesen van definiálva, és mindenkire pozitív . Korlátlan emeléssel ez a függvény nullára hajlik, azaz.
Ennek a függvénynek a deriváltja
.

A derivált a pontban 0
és ezen a ponton megváltoztatja a jelet "+"-ról "-"-ra, azaz.
- maximum pont és ezen a ponton
. Miután megtaláltuk a függvény második deriváltját, megállapíthatjuk, hogy a függvény grafikonja inflexiókat tartalmaz a pontokban
. Sematikusan a grafikon így néz ki:

0

Normális eloszlású valószínűségi változó esetén egy adott intervallumba esés valószínűsége
a következőképpen számítják ki:

Csináljunk cserét
.

ahol
.

Ily módon

(4)

Példa. A kocsi tömege a normális törvény szerint eloszló valószínűségi változó 65 tonna matematikai elvárással és szórással
m) Határozza meg annak valószínűségét, hogy a következő kocsi tömege nem haladja meg a 70 tonnát és nem kevesebb, mint 60 tonna

Néha ki kell számítani annak valószínűségét, hogy egy véletlen érték modulo kisebb mértékben tér el az átlagtól, mint valami érték , azaz
. Ennek a valószínűségnek a kiszámításához használhatjuk az előző képletet. Valóban:

figyelembe véve a függvény páratlanságát
. Következésképpen,

(5)

Példa. Annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású véletlen matematikai elvárással
kevesebbel térnek el az átlagos értéktől
egyenlő 0,09. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a valószínűségi változó a (30, 35) intervallumba esik?

Feltétel szerint,
Azután
A Laplace-függvény értéktáblázata szerint a következőket kapjuk:
Ekkor a szükséges valószínűség a (4) képlet szerint,

Három szigma szabály.

Az (5) képletben beállítjuk
, kapunk

Ha
és innentől
, kapunk:

azok. annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó abszolút értékének eltérése az átlagértéktől kisebb, mint a szórás háromszorosa, 0,9973, azaz. nagyon közel áll az egységhez.

A három szigma szabálya egy normális eloszlású valószínűségi változóra vonatkozik az átlagtól való eltérésének abszolút értéke nem haladja meg az átlagos négyzetes eltérés háromszorosát. A gyakorlatban ezt a szabályt a következőképpen alkalmazzák: Ha egy valószínűségi változó eloszlása ​​ismeretlen, de paramétereire teljesül a három szigma szabály, akkor okkal feltételezhető, hogy a normális törvény szerint oszlik el.

Külön kiemelhetjük a diszkrét valószínűségi változók eloszlásának leggyakoribb törvényeit:

• Binomiális eloszlás törvénye
• Poisson-eloszlási törvény
• Geometriai eloszlási törvény
• Hipergeometriai eloszlási törvény

A diszkrét valószínűségi változók adott eloszlásainál az értékük valószínűségét, valamint a numerikus jellemzőket (matematikai elvárás, variancia stb.) bizonyos "képletek" szerint számítják ki. Ezért nagyon fontos ismerni az ilyen típusú eloszlásokat és alapvető tulajdonságaikat.

1. Binomiális eloszlás törvénye.

A $X$ diszkrét valószínűségi változóra akkor vonatkozik a binomiális valószínűségi eloszlás, ha a $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ értékeket veszi fel $P\left(X=k\right)= valószínűséggel C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(nk)$. Valójában a $X$ valószínűségi változó a $A$ esemény előfordulásának száma $n$ független kísérletekben. A $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a várható érték: $M\left(X\right)=np$, a variancia: $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Példa . Két gyerek van a családban. Feltételezve, hogy egy fiú és egy lány születési valószínűsége 0,5 $, keresse meg a $\xi $ valószínűségi változó eloszlási törvényét - a fiúk számát a családban.

Legyen a $\xi $ valószínűségi változó a fiúk száma a családban. Azok az értékek, amelyeket a $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ felvehet. Ezeknek az értékeknek a valószínűségét a következő képlet határozza meg: $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(nk )$, ahol $n =2$ - független kísérletek száma, $p=0.5$ - esemény bekövetkezésének valószínűsége $n$ próbasorozatban. Kapunk:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Ekkor a $\xi $ valószínűségi változó eloszlási törvénye a $0,\ 1,\ 2$ értékek és a valószínűségeik közötti megfelelés, azaz:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(tömb)$

Az eloszlási törvényben szereplő valószínűségek összegének $1$-nak kell lennie, azaz $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 = 1 dollár.

Várakozás $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variancia $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, szórás $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\kb. 0.707 $.

2. Poisson-eloszlási törvény.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak nem negatív egész értékeket vehet fel $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ valószínűséggel $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Megjegyzés. Ennek az eloszlásnak az a sajátossága, hogy a kísérleti adatok alapján a $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ becsléseket találjuk, ha a kapott becslések közel vannak egymáshoz, akkor okunk van azt állítani, hogy a valószínűségi változóra a Poisson-eloszlási törvény vonatkozik.

Példa . Példák a Poisson-eloszlási törvény hatálya alá tartozó valószínűségi változókra: azoknak az autóknak a száma, amelyeket holnap szervizelnek egy benzinkút; a gyártott termék hibás tételeinek száma.

Példa . Az üzem 500 dollárnyi terméket küldött a bázisra. A termék szállítás közbeni sérülésének valószínűsége 0,002 USD. Határozzuk meg a sérült termékek számával egyenlő $X$ valószínűségi változó eloszlási törvényét; ami egyenlő a következővel: $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Legyen egy diszkrét $X$ valószínűségi változó a sérült termékek száma. Egy ilyen valószínűségi változóra a Poisson-eloszlási törvény vonatkozik a $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ paraméterrel. Az értékek valószínűsége $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

A $X$ valószínűségi változó eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a matematikai elvárás és szórás egyenlő egymással és egyenlő a $\lambda $ paraméterrel, azaz $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Az eloszlás geometriai törvénye.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak természetes értékeket vehet fel $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ valószínűségekkel $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) jobbra)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, akkor azt mondjuk, hogy egy ilyen $X$ valószínűségi változóra vonatkozik a valószínűségeloszlás geometriai törvénye. Valójában úgy tűnik, hogy a geometriai eloszlás Bernoulli kísérletei az első sikerhez.

Példa . Példák a geometriai eloszlású valószínűségi változókra: a lövések száma a cél első találata előtt; az eszköz tesztjeinek száma az első meghibásodás előtt; az érmefeldobások száma az első head up előtt, és így tovább.

Egy geometriai eloszlás alá tartozó valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája: $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

Példa . Az ívóhely felé vezető halmozgás során egy 4$-os zár található. Annak a valószínűsége, hogy egy hal áthalad az egyes zsilipeken $p=3/5$. Szerkessze meg a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozatát - a hal által áthaladt zsilipek számát a zsilip első megállója előtt. Keresse meg a következőt: $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Legyen a $X$ valószínűségi változó azoknak a zsilipeknek a száma, amelyeken a hal áthaladt a zsilip első megállója előtt. Egy ilyen valószínűségi változóra a valószínűség-eloszlás geometriai törvénye vonatkozik. Az értékek, amelyeket a $X valószínűségi változó felvehet: 1, 2, 3, 4. Ezeknek az értékeknek a valószínűségét a következő képlet számítja ki: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, ahol: $ p=2/5$ - annak a valószínűsége, hogy a halak átkerülnek a zsilipen, $q=1-p=3/5$ - a halak átjutásának valószínűsége a zsilipen, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4 $.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over(5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\(5) felett)\jobbra))^4=((27)\(125))=0,216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 1 és 2 és 3 és 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(tömb)$

Várható érték:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Diszperzió:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ bal (1-2,176\jobb))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\kb. 1,377.$

Szórás:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\körülbelül 1173.$

4. Hipergeometriai eloszlási törvény.

Ha vannak $N$ objektumok, amelyek között $m$ objektumok rendelkeznek az adott tulajdonsággal. Véletlenszerűen, csere nélkül, $n$ objektum kinyerésre kerül, melyek között van $k$ objektum, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. A hipergeometrikus eloszlás lehetővé teszi annak a valószínűségét, hogy egy mintában pontosan $k$ objektum rendelkezik egy adott tulajdonsággal. Legyen a $X$ valószínűségi változó azon objektumok száma a mintában, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. Ezután a $X$ valószínűségi változó értékeinek valószínűsége:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Megjegyzés. Az Excel $f_x$ függvényvarázsló HYPERGEOMET statisztikai függvénye lehetővé teszi annak meghatározását, hogy bizonyos számú próba sikeres lesz-e.

$f_x\ to $ statisztikai$\ to $ HIPERGEOMET$\ to $ rendben. Megjelenik egy párbeszédpanel, amelyet ki kell töltenie. A grafikonon Sikerek_száma_mintában adja meg a $k$ értékét. minta nagysága egyenlő: $n$. A grafikonon Sikerek_száma a populációban adja meg a $m$ értékét. Népesség egyenlő: $N$.

A geometriai eloszlási törvény hatálya alá tartozó $X$ diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája: $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\over(N))\jobbra)\balra(1-((n)\over(N))\jobbra))\over(N-1))$.

Példa . A bank hitelosztályán 5 fő pénzügyi felsőfokú és 3 fő jogi felsőfokú végzettségű szakember dolgozik. A bank vezetése úgy döntött, hogy 3 szakembert küld továbbképzésre, véletlenszerűen kiválasztottak.

a) Készítsen elosztási sorozatot a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező, továbbképzésre irányítható szakemberek számáról;

b) Határozza meg ennek az eloszlásnak a numerikus jellemzőit!

Legyen a $X$ valószínűségi változó a kiválasztott három közül a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező szakemberek száma. Azok az értékek, amelyeket $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ vehet fel. Ez az $X$ valószínűségi változó a hipergeometrikus eloszlás szerint oszlik el a következő paraméterekkel: $N=8$ - populáció mérete, $m=5$ - sikerek száma a sokaságban, $n=3$ - mintanagyság, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - a mintában szereplő sikerek száma. Ekkor a $P\left(X=k\right)$ valószínűségek kiszámíthatók a következő képlettel: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(Nm)^(nk) \ C_( N)^(n) ) $ felett. Nekünk van:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\körülbelül 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\körülbelül 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\körülbelül 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\körülbelül 0,179.$

Ekkor a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozata:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 0 és 1 és 2 és 3 \\
\hline
p_i és 0,018 és 0,268 és 0,536 és 0,179 \\
\hline
\end(tömb)$

Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó numerikus jellemzőit a hipergeometriai eloszlás általános képleteivel!

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\bal(1-((m)\over (N))\right)\bal(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\jobbra))\over (8-1))=((225)\over (448))\körülbelül 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\körülbelül 0,7085.$