Legyen r Н X x Y.

funkcionális kapcsolat bináris reláció r, amelyben minden elem megfelel pontosan egyúgy, hogy a pár relációhoz vagy ehhez hasonlóhoz tartozik egyáltalán nem létezik: vagy.

Funkcionális kapcsolat - ez egy bináris reláció r, amelyekre: .

Mindenhol egy bizonyos viszony– bináris reláció r, amelyekre D r =X("Nincsenek magányosak x").

Szurjektív reláció– bináris reláció r, amelyekre J r = Y("Nincsenek magányosak y").

Injektív kapcsolat egy bináris reláció, amelyben különböző x különbözőnek felel meg nál nél.

Bijekció– funkcionális, mindenhol definiált, injektív, szürjektív reláció, halmazok egy-egy megfelelését határozza meg.

Például:

Legyen r= ( (x, y) О R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 ).

Hozzáállás r- funkcionális,

nincs mindenhol meghatározva ("vannak magányosak x"),

nem injektív (vannak különböző X, nál nél),

nem szürjektív ("vannak magányosak nál nél"),

nem bijekció.

Például:

Legyen K= ((x,y) н R 2 | y = x+1)

Az à reláció funkcionális,

Az Ã- reláció mindenhol definiálva van ("nincs magányos x"),

Az Ã- reláció injektív (nincs különbség X, amelyek ugyanannak felelnek meg nál nél),

Az Ã- reláció szürjektív ("nincs magányos nál nél"),

Az à reláció bijektív, kölcsönösen homogén megfeleltetés.

Például:

Legyen j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) a halmazon N 4.

A j reláció nem funkcionális, x=1 három y-nak felel meg: (1,2), (1,3), (1,4)

j kapcsolat – nincs mindenhol meghatározva D j =(1,2,3)1 N 4

j reláció – nem szürjektív én j =(1,2,3)1 N 4

A j reláció nem injektív, különböző x ugyanazon y-nak felel meg, például (2,3) és (1,3).

Laboratóriumi munkavégzés

1. A készletek adottak N1És N2. Halmazok számítása:

(N1 x N2) З (N2 x N1);

(N1 x N2) È (N2 x N1);

(N1 Ç N2) x (N1 Ç N2);

(N1 → N2) x (N1 → N2),

ahol N1 = ( számjegyek rekordkönyv, az utolsó három };

N2 = ( születési dátum és hónap számai }.

2. Kapcsolatok rÉs gállítsa be a forgatáson N 6 \u003d (1,2,3,4,5,6).

Ismertesse a kapcsolatokat r,g,r -1 , r ○g, r- 1 ○g párok listája.

Találja meg a kapcsolati mátrixokat rÉs g.

Minden relációhoz határozza meg a definíciós tartományt és az értéktartományt.

Határozza meg a kapcsolat tulajdonságait.

Azonosítsa az ekvivalencia relációkat és alkosson ekvivalencia osztályokat.

A rendelési kapcsolatok azonosítása és osztályozása.

1) r= { (m,n) | m > n)

g= { (m,n) | összehasonlítás modulo 2 }

2) r= { (m,n) | (m-n) osztható 2-vel }

g= { (m,n) | m osztó n)

3) r= { (m,n) | m< n }

g= { (m,n) | összehasonlítás modulo 3 }

4) r= { (m,n) | (m+n)- még }

g= { (m,n) | m 2 \u003d n)

5) r= { (m,n) | m/n- fokozat 2 }

g= { (m,n) | m = n)

6) r= { (m,n) | m/n- még }

g = ((m,n) | m³ n)

7) r= { (m,n) | m/n- páratlan }

g= { (m,n) | összehasonlítás modulo 4 }

8) r= { (m,n) | m*n- még }

g= { (m,n) | m£ n)

9) r= { (m,n) | összehasonlítás modulo 5 }

g= { (m,n) | m osztva n)

10) r= { (m,n) | m- még, n- még }

g= { (m,n) | m osztó n)

11) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | (m+n)£ 5 }

12) r={ (m,n) | mÉs n ugyanaz a maradék, ha elosztjuk 3-mal }

g= { (m,n) | (m-n)³2 }

13) r= { (m,n) | (m+n) osztható 2-vel }

g = ((m,n) | 2 GBP (m-n) 4 GBP }

14) r= { (m,n) | (m+n) osztható 3-mal }

g= { (m,n) | m¹ n)

15) r= { (m,n) | mÉs n közös osztójuk van }

g= { (m,n) | m2£ n)

16) r= { (m,n) | (m-n) osztható 2-vel }

g= { (m,n) | m< n +2 }

17) r= { (m,n) | összehasonlítás modulo 4 }

g= { (m,n) | m£ n)

18) r= { (m,n) | m teljesen felosztva n)

g= { (m,n) | m¹ n, m- még }

19) r= { (m,n) | összehasonlítás modulo 3 }

g= { (m,n) | 1 £ (m-n) 3 GBP }

20) r= { (m,n) | (m-n) osztható 4-gyel }

g= { (m,n) | m¹ n)

21) r= { (m,n) | m- páratlan, n- páratlan }

g= { (m,n) | m£ n, n- még }

22) r= { (m,n) | mÉs n páratlan maradéka van 3-mal osztva }

g= { (m,n) | (m-n)³1 }

23) r= { (m,n) | m*n- páratlan }

g= { (m,n) | összehasonlítás modulo 2 }

24) r= { (m,n) | m*n- még }

g= { (m,n) | 1 £ (m-n) 3 GBP }

25) r= { (m,n) | (m+ n)- még }

g= { (m,n) | m nem osztható vele n)

26) r= { (m,n) | m = n)

g= { (m,n) | m teljesen felosztva n)

27) r= { (m,n) | (m-n)- még }

g= { (m,n) | m osztó n)

28) r= { (m,n) | (m-n)³2 }

g= { (m,n) | m teljesen felosztva n)

29) r= { (m,n) | m2³ n)

g= { (m,n) | m / n- páratlan }

30) r= { (m,n) | m³ n, m - még }

g= { (m,n) | mÉs n 1-től eltérő közös osztójuk van }

3. Határozza meg, hogy az adott reláció igaz-e f- funkcionális, mindenhol meghatározott, injektív, szürjektív, bijekció ( R- sok valós számok). Készítsen grafikont a kapcsolatról, határozza meg a definíciós tartományt és az értéktartományt.

Végezze el ugyanezt a feladatot a kapcsolatoknál rÉs g a laboratóriumi munka 3. pontjából.

1) f=( (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x )

2) f=( (x, y) Î R 2 | x³ y )

3) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x )

4) f=( (x, y) Î R 2 | y³ x, x³ 0 }

5) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1)

6) f=( (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1)

7) f=( (x, y) Î R 2 | x+y£ 1 }

8) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 2 )

9) f=( (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1)

10) f=( (x, y) Î R 2 | y = -x 2 )

11) f=( (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1)

12) f=( (x, y) Î R 2 | x = y -2 )

13) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2³ 1,y> 0 }

14) f=( (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x> 0 }

15) f=( (x, y) Î R 2 | y2 + x2£ 1, x> 0 }

16) f=( (x, y) Î R 2 | x = y2 ,x³ 0 }

17) f=( (x, y) Î R 2 | y = sin(3x + p) )

18) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1/cos x )

19) f=( (x, y) Î R 2 | y=2| x | + 3)

20) f=( (x, y) Î R 2 | y=| 2x+1| )

21) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3 x )

22) f=( (x, y) Î R 2 | y=e-x)

23) f =( (x, y)Î R 2 | y=e | x | )

24) f=( (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 )

25) f=( (x, y) Î R 2 | y = 3x2-2)

26) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) )

27) f=( (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2 )

28) f=( (x, y) Î R 2 | y=| 4x -1| + 2)

29) f=( (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 + 2x-5))

30) f=( (x, y) Î R 2 | x = y 3, y³ - 2 }.

tesztkérdések

2. Bináris reláció definíciója.

3. A bináris relációk leírásának módszerei.

4.A meghatározás köre és az értékek tartománya.

5. A bináris relációk tulajdonságai.

6. Egyenértékűségi reláció és ekvivalenciaosztályok.

7. Rendelési viszonyok: szigorú és nem szigorú, teljes és részleges.

8. A szermaradékok osztályai modulo m.

9.Funkcionális kapcsolatok.

10. Injekció, szurjekció, bijekció.

Laboratóriumi munka № 3

Kapcsolatok. Alapfogalmak és definíciók

Meghatározás 2.1.rendelt pár<x, y> két elem gyűjteménye xÉs y meghatározott sorrendbe rendezve.

Két rendezett pár<x, y> és<u, v> akkor és csak akkor egyenlők egymással x = uÉs y= v.

Példa 2.1.

<a, b>, <1, 2>, <x, 4> rendezett párok.

Hasonlóképpen tekinthetjük a hármasokat, négyeseket, n-ki elemek<x 1 , x 2 ,…xn>.

Meghatározás 2.2.Közvetlen(vagy kartéziánus)munka két szett AÉs B a rendezett párok halmaza úgy, hogy minden pár első eleme a halmazhoz tartozik A, a második pedig a készlethez B:

A ´ B = {<a, b>, ç aÎ DEÉs bÏ BAN BEN}.

Általában a közvetlen termék n készletek DE 1 ,DE 2 ,…A n halmaznak nevezzük DE egy DE 2 "…". A n, rendezett elemhalmazokból áll<a 1 , a 2 , …,a n> hossza n, oly módon, hogy én- th a i a készlethez tartozik A i,a i Î A i.

Példa 2.2.

Legyen DE = {1, 2}, BAN BEN = {2, 3}.

Azután A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

2.3. példa.

Legyen DE= {x ç0 £ x£ 1) és B= {yç2 £ y 3 GBP)

Azután A ´ B = {<x, y >, ç0 £ x 1 és 2 £ y 3 GBP).

Így a készlet A ´ B egy egyenesekkel alkotott téglalap belsejében és határán elhelyezkedő pontokból áll x= 0 (y tengely), x= 1,y= 2és y = 3.

Descartes francia matematikus és filozófus volt az első, aki javaslatot tett a pontok koordinátaábrázolására egy síkban. Történelmileg ez az első példa a közvetlen munkára.

Meghatározás 2.3.bináris(vagy kettős)arány r rendezett párok halmazának nevezzük.

Ha egy pár<x, y> tartozik r, akkor a következőképpen írják:<x, y> Î r vagy ami ugyanaz, xr y.

Példa2.4.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

Hasonlóképpen lehet meghatározni n-helyi kapcsolat, mint rendezett halmaz n-RENDBEN.

Mivel a bináris reláció halmaz, a bináris reláció megadásának módjai megegyeznek a halmaz megadásának módjaival (lásd 1.1. fejezet). Bináris reláció adható meg rendezett párok felsorolásával vagy megadásával köztulajdon rendelt párok.

Példa 2.5.

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – a relációt a rendezett párok felsorolása adja;

2. r = {<x, y> ç x+ y = 7, x, y valós számok) – az arány megadása a tulajdonság megadásával történik x+ y = 7.

Ezenkívül megadható egy bináris reláció is bináris relációs mátrix. Legyen DE = {a 1 , a 2 , …, a n) véges halmaz. bináris relációs mátrix C eszik négyzetmátrix rendelés n, melynek elemei c ij a következőképpen határozzák meg:

Példa 2.6.

DE= (1, 2, 3, 4). Definiáljunk egy bináris relációt r a felsorolt ​​három módon.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – az összefüggést az összes rendezett pár felsorolása adja.

2. r = {<a i, aj> ç a i < aj; a i, ajÎ DE) – a relációt a "kisebb, mint" tulajdonság megadásával határozzuk meg a halmazon DE.

3. - a relációt a bináris reláció mátrixa adja meg C.

Példa 2.7.

Nézzünk meg néhány bináris relációt.

1. Kapcsolatok a természetes számok halmazával kapcsolatban.

a) £ reláció párokra érvényes<1, 2>, <5, 5>, de nem elégedett a párral<4, 3>;

b) a párokra érvényes az "egytől eltérő közös osztójuk van" reláció<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, de nem elégedett a párral<3, 28>.

2. Kapcsolatok a valós sík ponthalmazán.

a) az "ugyanolyan távolságra lenni a (0, 0) ponttól" összefüggés érvényes a (3, 4) és (–2, Ö21) pontokra, de nem áll fenn az (1, 2) és (5, 3);

b) a "tengelyre szimmetrikusan" összefüggés OY" minden pontra végrehajtódik ( x, y) És (- x, –y).

3. Kapcsolatok sokféle emberrel.

a) „egy városban élni” attitűd;

b) az „egy csoportban tanulni” attitűd;

c) az „idősebbnek lenni” attitűd.

Meghatározás 2.4. Egy r bináris reláció tartománya a D r = halmaz (x ç van olyan y, hogy xr y).

Meghatározás 2.5. Egy r bináris reláció tartománya az R r = halmaz (y çvan olyan x, hogy xr y).

Meghatározás 2.6. Egy r bináris reláció tartománya az M r = D r ÈR r halmaz.

A közvetlen termék fogalmát használva a következőket írhatjuk:

rÎ D r´ R r

Ha D r= R r = A, akkor azt mondjuk, hogy a bináris reláció rállítsa be a forgatáson A.

Példa 2.8.

Legyen r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Azután D r ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, Úr= {1, 2, 3, 4}.

Műveletek a kapcsolatokon

Mivel a relációk halmazok, a halmazokon végzett összes művelet érvényes relációkra.

Példa 2.9.

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1 Z r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

2.10. példa.

Legyen R- sok valós számok. Tekintsük a következő összefüggéseket ezen a halmazon:

r 1 - "£"; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 - "³"; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1 Z r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Két további műveletet határozunk meg a relációkon.

Meghatározás 2.7. A relációt ún fordított a hozzáálláshoz r(jelölve r- 1) ha

r- 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r}.

Példa 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r- 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Példa 2.12.

r = {<x, y> ç x – y = 2, x, y Î R}.

r- 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r} = r- 1 = {<x, y> ç y–x = 2, x, y Î R} = {<x, y> ç– x+ y = 2, x, y Î R}.

Meghatározás 2.8.Két r és s arány összetétele aránynak nevezzük

s r= {<x, z> van ilyen y, mit<x, y> Î rÉs< y, z> Î s}.

2.13. példa.

r = {<x, y> ç y = sinx}.

s= {<x, y> ç y = Ö x}.

s r= {<x, z> van ilyen y, mit<x, y> Î rÉs< y, z> Î s} = {<x, z> van ilyen y, mit y = sinxÉs z= Ö y} = {<x, z> ç z= Ö sinx}.

Két reláció összetételének meghatározása megfelel egy komplex függvény definíciójának:

y = f(x), z= g(y) Þ z= g(f(x)).

2.14. példa.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Megtalálási folyamat s r az összetétel meghatározásának megfelelően célszerű táblázatként ábrázolni, amelyben az összes lehetséges érték felsorolása megvalósul. x, y, z. minden párhoz<x, y> Î r vegye figyelembe az összes lehetséges párt< y, z> Î s(2.1. táblázat).

2.1. táblázat

<x, y> Î r	< y, z> Î s	<x, z> Î s r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Vegye figyelembe, hogy a táblázat utolsó oszlopának első, harmadik és negyedik, valamint második és ötödik sora azonos párokat tartalmaz. Így kapjuk:

s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Kapcsolati tulajdonságok

Meghatározás 2.9. Hozzáállás r hívott fényvisszaverő a forgatáson x, ha van ilyen xÎ x teljesített xr x.

A definícióból következik, hogy bármely elem<x,x > Î r.

2.15. példa.

a) Legyen x véges halmaz x= (1, 2, 3) és r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Hozzáállás r reflexszerűen. Ha x véges halmaz, akkor a reflexív relációmátrix főátlója csak egyeseket tartalmaz. A mi példánkra

b) Legyen x r egyenlőség viszonya. Ez az összefüggés reflexív, hiszen minden szám egyenlő önmagával.

c) Legyen x- sok ember és r attitűd "egy városban élni". Ez az összefüggés reflexív, hiszen mindenki ugyanabban a városban él önmagával.

Meghatározás 2.10. Hozzáállás r hívott szimmetrikus a forgatáson x, ha van ilyen x, yÎ x tól től xry kellene évf x.

Ez nyilvánvaló r szimmetrikus akkor és csak akkor r = r- 1 .

2.16. példa.

a) Legyen x véges halmaz x= (1, 2, 3) és r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Hozzáállás r szimmetrikus. Ha x véges halmaz, akkor a szimmetrikus aránymátrix szimmetrikus a főátlóhoz képest. A mi példánkra

b) Legyen x a valós számok halmaza és r egyenlőség viszonya. Ez az összefüggés szimmetrikus, hiszen ha x egyenlő y, majd és y egyenlő x.

c) Legyen x- sok diák és r az „egy csoportban tanulás” attitűdje. Ez az összefüggés szimmetrikus, hiszen ha x ugyanabban a csoportban tanul y, majd és y ugyanabban a csoportban tanul x.

Meghatározás 2.11. Hozzáállás r hívott tranzitív a forgatáson x, ha van ilyen x, y,zÎ x tól től xryÉs yrz kellene xrz.

Feltételek egyidejű teljesítése xry, yrz, xrz azt jelenti, hogy egy pár<x,z>kompozícióhoz tartozik r r. Ezért a tranzitivitáshoz r szükséges és elegendő ahhoz, hogy a halmaz r r részhalmaza volt r, azaz r rÍ r.

2.17. példa.

a) Legyen x véges halmaz x= (1, 2, 3) és r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Hozzáállás r tranzitív, mert a párokkal együtt<x,y> és<y,z> van egy párja<x,z>. Például a párokkal együtt<1, 2>, És<2, 3>van egy pár<1, 3>.

b) Legyen x a valós számok halmaza és r£ reláció (kisebb vagy egyenlő). Ez a kapcsolat tranzitív, hiszen ha x£ yÉs y£ z, azután x£ z.

c) Legyen x- sok ember és r az öregség hozzáállása. Ez a kapcsolat tranzitív, hiszen ha x idősebb yÉs y idősebb z, azután x idősebb z.

Meghatározás 2.12. Hozzáállás r hívott ekvivalencia reláció a forgatáson x, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív a készleten x.

2.18. példa.

a) Legyen x véges halmaz x= (1, 2, 3) és r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Hozzáállás r egy ekvivalencia reláció.

b) Legyen x a valós számok halmaza és r egyenlőség viszonya. Ez egy ekvivalencia reláció.

c) Legyen x- sok diák és r az „egy csoportban tanulás” attitűdje. Ez egy ekvivalencia reláció.

Legyen r x.

Meghatározás 2.13. Legyen r az ekvivalencia reláció a halmazon xÉs xÎ x. Egyenértékűségi osztály, amelyet az elem generál x, a halmaz részhalmazának nevezzük x, amely azokból az elemekből áll yÎ x, amelyekre xry. Az elem által generált ekvivalenciaosztály x, jelölése [ x].

Ily módon [ x] = {yÎ x|xry}.

Az ekvivalencia osztályok kialakulnak partíció készletek x, azaz nem üres páronkénti diszjunkt részhalmazok rendszere, amelyek uniója egybeesik a teljes halmazzal x.

2.19. példa.

a) Az egyenlőség relációja az egész számok halmazán a következő ekvivalencia osztályokat generálja: bármely elemre x ebből a készletből [ x] = {x), azaz minden ekvivalenciaosztály egy elemből áll.

b) A pár által generált ekvivalenciaosztály<x, y> az arány határozza meg:

[<x, y>] = .

Minden ekvivalenciaosztályt egy pár generál<x, y> egy racionális számot határoz meg.

c) Az egy tanulócsoporthoz tartozás viszonylatában az ekvivalenciaosztály egy csoport tanulóinak halmaza.

Meghatározás 2.14. Hozzáállás r hívott antiszimmetrikus a forgatáson x, ha van ilyen x, yÎ x tól től xryÉs évf x kellene x = y.

Az antiszimmetria definíciójából következik, hogy amikor egy pár<x,y> egyidejűleg birtokolják rÉs r- 1, az egyenlőség x = y. Más szavakkal, r Ç r- Az 1 csak alakpárokból áll<x,x >.

2.20. példa.

a) Legyen x véges halmaz x= (1, 2, 3) és r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Hozzáállás r antiszimmetrikus.

Hozzáállás s= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) nem antiszimmetrikus. Például,<1, 2> Î s,És<2, 1> Î s, hanem 1 ¹2.

b) Legyen x a valós számok halmaza és r£ reláció (kisebb vagy egyenlő). Ez az összefüggés antiszimmetrikus, mivel ha x £ y, És y £ x, azután x = y.

Meghatározás 2.15. Hozzáállás r hívott részleges rend kapcsolat(vagy csak egy részrendelés) a forgatáson x, ha reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív a felvételen x. Sok x ebben az esetben részben rendezettnek nevezzük, és a jelzett összefüggést gyakran £ szimbólummal jelöljük, ha ez nem vezet félreértéshez.

A részleges rend relációjával fordított reláció nyilvánvalóan a részleges rend relációja lesz.

2.21. példa.

a) Legyen x véges halmaz x= (1, 2, 3) és r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Hozzáállás r

b) Hozzáállás DEÍ BAN BEN valamely halmaz részhalmazainak halmazán U részleges rendű reláció.

c) Az oszthatósági reláció a természetes számok halmazán részleges rendű reláció.

Funkciók. Alapfogalmak és definíciók

BAN BEN matematikai elemzés a következő függvénydefiníciót alkalmazzuk.

Változó y változó függvényének nevezzük x, ha valamilyen szabály vagy törvény szerint minden érték x egynek felel meg bizonyos értéket y = f(x). Változó hatókör x a függvény hatókörének és a változó hatókörének nevezzük y– a függvényértékek tartománya. Ha egy érték x több (sőt végtelenül sok) értéknek felel meg y), akkor a függvényt többértékűnek nevezzük. A valós változók függvényeinek elemzése során azonban kerüljük a sokértékű függvényeket, és egyértékű függvényeket veszünk figyelembe.

Tekintsük a függvény egy másik definícióját a kapcsolatok szempontjából.

Meghatározás 2.16. Funkció olyan bináris reláció, amely nem tartalmaz két olyan párt, amelyek első és eltérő második összetevői vannak.

Ezt a kapcsolati tulajdonságot ún egyediség vagy funkcionalitás.

2.22. példa.

de) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) egy függvény.

b) (<x, y>: x, y Î R, y = x 2) egy függvény.

ban ben) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) reláció, nem függvény.

Meghatározás 2.17. Ha f akkor egy függvény Df – tartomány, de Rf – hatótávolság funkciókat f.

2.23. példa.

Például 2.22 a) Df – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.

Például 2.22 b) Df = Rf = (–¥, ¥).

Minden elem x Df függvény egyezik az egyetlen elem y Rf. Ezt a jól ismert jelöléssel jelöljük y = f(x). Elem x függvényargumentumnak vagy elemelőképnek nevezzük y a funkcióval f, és az elem y függvény értéke f a x vagy elemképet x nál nél f.

Tehát az összes reláció közül a függvényeket az különbözteti meg, hogy a definíciós tartomány minden eleme rendelkezik az egyetlen kép.

Meghatározás 2.18. Ha Df = xÉs Rf = Y, akkor azt mondjuk, hogy a függvény f határozta meg xés felveszi értékeit Y, de f hívott az X halmaz leképezése Y-ra(x ® Y).

Meghatározás 2.19. Funkciók fÉs g egyenlőek, ha definíciós tartományuk azonos halmazzal D, és bármilyen x Î D igazságos egyenlőség f(x) = g(x).

Ez a definíció nem mond ellent a függvényegyenlőség halmazok egyenlőségeként való meghatározásának (végül is a függvényt relációként, azaz halmazként határoztuk meg): halmazok fÉs g akkor és csak akkor egyenlők, ha azonos elemekből állnak.

2.20. Funkció (kijelző) f hívott szürjektív vagy egyszerűen szurjektálás, ha bármely elemre y Y elem létezik x Î x, oly módon, hogy y = f(x).

Tehát minden funkció f egy szürjektív leképezés (szurjekció) Df® Rf.

Ha f egy feltételezés, és xÉs Y véges halmazok, akkor ³ .

Meghatározás 2.21. Funkció (kijelző) f hívott injektív vagy egyszerűen injekció vagy 1-1 ha attól f(a) = f(b) kellene a = b.

Meghatározás 2.22. Funkció (kijelző) f hívott bijektív vagy egyszerűen bijekció ha injektív és szürjektív is.

Ha f egy bijekció, és xÉs Y véges halmazok, akkor = .

Meghatározás 2.23. Ha a függvény tartománya Df egy elemből áll f hívott állandó funkció.

2.24. példa.

de) f(x) = x A 2. ábra a valós számok halmazának leképezése a nem negatív valós számok halmazára. Mivel f(–a) = f(a), És a ¹ – a, akkor ez a funkció nem injekció.

b) Mindegyikre x R= (– , ) függvény f(x) = 5 egy állandó függvény. Sok mindent megjelenít R a készlethez (5). Ez a függvény szürjektív, de nem injektív.

ban ben) f(x) = 2x A + 1 egy injekció és egy bijekció, mert 2-től x 1 +1 = 2x 2+1 következik x 1 = x 2 .

Meghatározás 2.24. A megjelenítést megvalósító funkció x egy x 2 "...". X n ® Y hívott n-helyi funkció.

2.25. példa.

a) Az összeadás, kivonás, szorzás és osztás bináris függvények a halmazon R valós számok, vagyis a típus függvényei R 2® R.

b) f(x, y) = egy kéthelyes függvény, amely megvalósítja a leképezést R ´ ( R \ )® R. Ez a funkció nem injekció, mert f(1, 2) = f(2, 4).

c) A lottó nyereménytáblázata meghatároz egy kéthelyes függvényt, amely megfeleltetést hoz létre a párok között N 2 (N a természetes számok halmaza) és a kifizetések halmaza.

Mivel a függvények bináris relációk, lehetőség van inverz függvények keresésére és a kompozíciós művelet alkalmazására. Bármely két függvény összetétele függvény, de nem minden függvényhez f hozzáállás f-1 egy függvény.

2.26. példa.

de) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) egy függvény.

Hozzáállás f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) nem függvény.

b) g = {<1, a>, <2, b>, <3, c>, <4, D>) egy függvény.

g -1 = {<a, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>) is egy függvény.

c) Határozza meg a függvények összetételét! f az a) példából és g-1 a b) példából. Nekünk van g -1f = {<a, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <d, 2>}.

fg-1 = Æ.

Figyeld meg, hogy ( g -1f)(a) = f(g -1 (a)) = f(1) = 2; (g -1f)(c) = f(g -1 (c)) = f(3) = 4.

elemi funkció a matematikai elemzésben bármilyen függvényt hívunk f, amely véges számú aritmetikai függvény összetétele, valamint a következő függvények:

1) Tört-racionális függvények, azaz. az űrlap funkciói

a 0 + a 1 x + ... + a n x n

b 0 + b 1 x + ... + b m x m.

2) Teljesítmény funkció f(x) = x m, ahol m bármely állandó valós szám.

3) Exponenciális függvény f(x) = volt.

4) logaritmikus függvény f(x) = log x, a >0, a 1.

5) Trigonometrikus függvények sin, cos, tg, ctg, sec, csc.

6) Hiperbolikus függvények sh, ch, th, cth.

7) Fordítva trigonometrikus függvények ív bűn, arccos stb.

Például a függvény log 2 (x 3 +sincos 3x) elemi, mert ez a funkciók összetétele cosx, sinx, x 3 , x 1 + x 2 , logx, x 2 .

A függvények összetételét leíró kifejezést képletnek nevezzük.

Többhelyes függvényre a következő fontos eredmény érvényes, amelyet A. N. Kolmogorov és V. I. Arnold kapott 1957-ben, és ez a 13. Hilbert-probléma megoldása:

Tétel. Minden folyamatos funkció n a változók összetételként ábrázolhatók folyamatos funkciók két változó.

A funkciók beállításának módjai

1. A függvények beállításának legegyszerűbb módja a táblázatok (2.2. táblázat):

2.2. táblázat

A véges halmazokon definiált függvények azonban így is definiálhatók.

Ha egy végtelen halmazon (szegmensen, intervallumon) definiált függvény véges számú pontban van definiálva, pl. trigonometrikus táblázatok, speciális függvények táblázatai stb., akkor interpolációs szabályokat használnak a függvények értékeinek kiszámításához a közbenső pontokban.

2. Egy függvény definiálható képletként, amely egy függvényt más függvények összetételeként ír le. A képlet meghatározza a függvény kiszámításának sorrendjét.

2.28. példa.

f(x) = bűn(x + Ö x) a következő funkciók összetétele:

g(y) = Ö y; h(te, v) = u+v; w(z) = sinz.

3. A függvény a formában adható meg rekurzív eljárás. A rekurzív eljárás a természetes számok halmazán definiált függvényt határoz meg, azaz. f(n), n= 1, 2,... az alábbiak szerint: a) az érték f(1) (vagy f(0)); b) jelentése f(n+ 1) az összetételen keresztül definiálható f(n) és más jól ismert funkciók. A rekurzív eljárás legegyszerűbb példája a számítás n!: a) 0! = 1; b) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Sok numerikus módszer eljárás rekurzív eljárás.

4. A függvény definiálására vannak módok, amelyek nem tartalmazzák a függvény kiszámításának módját, hanem csak leírják. Például:

f M(x) =

Funkció f M(x) a halmaz jellemző függvénye M.

Tehát definíciónk jelentése szerint határozza meg a függvényt f- a kijelző beállítását jelenti x ® Y, azaz meghatározni egy halmazt x´ Y, így a kérdés egy halmaz megadására redukálódik. A függvény fogalmát azonban a halmazelméleti nyelv használata nélkül is meg lehet határozni, nevezetesen: egy függvényt adottnak tekintünk, ha adott egy számítási eljárás, amely az argumentum értékét figyelembe véve megtalálja a függvény megfelelő értékét. Az így definiált függvényt hívjuk kiszámítható.

2.29. példa.

Meghatározási eljárás Fibonacci számok, az arány adja meg

F n= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)

kezdeti értékekkel F 0 = 1, F 1 = 1.

A (2.1) képlet a kezdeti értékekkel együtt a következő Fibonacci-számsort határozza meg:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
F n	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

A számítási eljárás egy függvény értékének adott argumentumértékből történő meghatározására nem más, mint algoritmus.

Biztonsági kérdések a 2. témához

1. Adja meg a bináris reláció megadásának módjait.

2. Melyik arány mátrixának főátlója csak egyeseket tartalmaz?

3. Milyen kapcsolatra r feltétel mindig teljesül r = r- 1 ?

4. Milyen kapcsolatra r feltétel mindig teljesül r rÍ r.

5. Vezessen be ekvivalencia és parciális rend relációt a sík összes egyenesének halmazán.

6. Adja meg a funkciók beállításának módjait.

7. Az alábbi állítások közül melyik igaz?

a) Minden bináris reláció függvény.

b) Minden függvény bináris reláció.

3. téma. GRAFIKOK

Euler első gráfelméleti munkája 1736-ban jelent meg. Kezdetben ezt az elméletet matematikai rejtvényekkel és játékokkal társították. Később azonban a gráfelméletet elkezdték alkalmazni a topológiában, az algebrában és a számelméletben. Napjainkban a gráfelméletet a tudomány, a technológia és a gyakorlat legkülönbözőbb területein alkalmazzák. Elektromos hálózatok tervezésénél, szállítás tervezésénél, molekuláris sémák építésénél használják. A gráfelméletet a közgazdaságtan, a pszichológia, a szociológia és a biológia is használják.

A 2-listák vagy párok bármely halmazát relációnak nevezzük. A kapcsolatok különösen hasznosak lesznek a programok jelentésének megbeszélésekor.

A "reláció" szó jelenthet összehasonlítási szabályt, "egyenértékűséget" vagy "egy részhalmazt" stb. Formálisan a 2 listákból álló relációk pontosan leírhatják ezeket az informális szabályokat úgy, hogy pontosan azokat a párokat tartalmazzák, amelyek elemei a megfelelő kapcsolat együtt. Például a karakterek és az ezeket a karaktereket tartalmazó 1-karakterláncok közötti kapcsolatot a következő kapcsolat adja meg:

C = ( : x - karakter) = ( , , …}

Mivel egy reláció halmaz, üres reláció is lehetséges. Például a páros közötti megfelelés természetes számokés a páratlan négyzeteik – nincsenek. Ezenkívül a halmazműveletek vonatkoznak a kapcsolatokra. Ha s és r relációk, akkor vannak

s И r, s – r, s З r

mivel ezek rendezett elempárok halmazai.

A reláció speciális esete egy függvény, egy speciális tulajdonságú reláció, amelyre jellemző, hogy minden első elem párosul egy egyedi második elemmel. Az r reláció akkor és csak akkor függvény, ha bármelyikre

О r és О r, akkor y = z.

Ebben az esetben minden első elem neveként szolgálhat a második számára a reláció kontextusában. Például a fent leírt karakterek és 1-karakterláncok közötti C kapcsolat egy függvény.

A beállítási műveletek a függvényekre is vonatkoznak. Jóllehet a függvényeknek számító rendezett párok halmazain végzett művelet eredménye szükségszerűen a rendezett párok másik halmaza lesz, tehát reláció, de nem mindig függvény.

Ha f,g függvények, akkor f Ç g, f – g is függvények, de f È g lehet függvény, de lehet, hogy nem. Például definiáljuk a relációfejet

H = (< Θ y, y>: y - karakterlánc) = ( , , …}

És vegyük a fent leírt C relációt. Aztán abból, hogy C н H:

egy függvény,

H - C = (< Θ y, y>: y egy legalább 2 karakterből álló karakterlánc)

reláció, nem függvény,

egy üres függvény, és

egy kapcsolat.

Egy reláció vagy függvény párjainak első elemeinek halmazát tartománynak, a párok második elemeinek halmazát pedig tartománynak nevezzük. A relációs elemekhez mondjuk О r, x nevezzük érv r, és y-t hívják jelentése r.

Amikor Î r és és y az x egyetlen értéke, értékjelölés:

"y az x argumentum r-értéke" vagy tömörebben: "y az x r-értéke" (funkcionális jelölés).

Állítsunk be tetszőleges r arányt és x argumentumot, akkor három lehetőség van a megfeleltetésükre:

1. x П domain(r), jelen esetben r határozatlan x-en
2. x н tartomány(r), és vannak különálló y, z úgy, hogy О r és О r. Ebben az esetben r kétértelműen definiált x-en
3. x н domain(r), és van egy egyedi pár О r. Ebben az esetben r egyedileg definiált x-en és y=r(x).

Így a függvény olyan reláció, amely definíciós tartományának minden elemére egyedileg van definiálva.

Itt három van speciális funkciókat:

üres funkció(), nincsenek érvei és értékei, vagyis

domain(()) = (), tartomány(()) = ()

Egyenértékűségi függvény, az I függvény

hogy ha x Î tartomány(r), akkor I(x) = x.

állandó funkció, melynek tartományát az 1-halmaz adja meg, vagyis minden argumentumnak ugyanaz az érték felel meg.

Mivel a relációk és függvények halmazok, leírhatók elemek felsorolásával vagy szabályok megadásával. Például:

r = (<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

reláció, mivel minden eleme 2-lista

domain(r) = (†labda†, †játék†)

távolság (r) = (†labda†, †játék†, †ütő†)

Az r azonban nem függvény, mert kettő különböző jelentések párban fordulnak elő egy argumentummal †ball†.

Példa egy szabállyal meghatározott kapcsolatra:

s = ( : x szó közvetlenül megelőzi az y szót

a † sorban ez egy reláció, amely nem függvény†)

Ez a kapcsolat egy sorszámmal is megadható:

s = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

A következő szabály egy függvényt határoz meg:

f = ( : az y szót közvetlenül megelőző szó első előfordulása

a sorban †ez egy reláció, amely egyben függvény†)

amely egy sorszámmal is megadható:

f = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

A programok értéke.

A kapcsolatok és a funkciók létfontosságúak a leíráshoz, hogy leírjuk a programok jelentését. E fogalmak felhasználásával egy jelölést dolgoznak ki a programok jelentésének leírására. Az egyszerű programok esetében a jelentés nyilvánvaló lesz, de ezek az egyszerű példák az elmélet egészének elsajátítását szolgálják.

Új ötletek: doboz jelölés, program és programjelentés.

A program összes lehetséges normál futtatásához tartozó bemenet-kimenet párok halmazát a program értékének nevezzük. A fogalmak is használhatók program funkciótÉs program hozzáállás. Fontos különbséget tenni a programjelentés és a jelentéselemek között. Egy adott bemenethez egy Pascal-program által vezérelt Pascal-gép egy adott kimenetet tud előállítani. De egy program jelentése sokkal több, mint egy adott végrehajtás eredményének kifejezési módja. Kifejezi minden lehetséges Pascal program futtatása Pascal gépen.

A program képes sorokra bontott bemenetet és sorokra bontott kimenetet előállítani. Így a programérték párjai karaktersorozatok listáinak párjai lehetnek.

Doboz jelölése.

Bármely Pascal program egy karaktersorozat, amelyet a Pascal gépnek továbbítanak feldolgozásra. Például:

P = †PROGRAM NyomtatásHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN ÍRÁS ('HELLO') END.†

Az I. rész elején tárgyalt első programok egyikét jelképezi karakterláncként.

Ez a sor is írható olyan vonaljelzők elhagyásával, mint pl

P = PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT);

WRITELN('HELLO')

A P karakterlánc a program szintaxisát jelöli, és az értékét P-ként fogjuk felírni. A P értéke a karakterláncok listáinak 2-listáinak (rendezett párjainak) halmaza, ahol az argumentumok a program bemenetét és az értékeket képviselik. reprezentálja a program kimenetét, azaz

P = ( : az L karakterláncok bemeneti listájához a P helyes végrehajtása

és visszaadja az M) karakterláncok listáját

A programérték dobozos jelölése tartalmazza a program szintaxisát és szemantikáját, de egyértelműen megkülönbözteti őket a másiktól. A fenti PrintHello programhoz:

P = ( } =

{>: L – karakterláncok tetszőleges listája)

A program szövegét egy dobozba helyezve:

P = PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN('HELLO') END

Mivel P egy függvény,

PROGRAM PrintHello(INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN('HELLO') END (L) =<†HELLO†>

az L karakterláncok bármely listájához.

A doboz jelölése elrejti, ahogy a program vezérli a Pascal-gépet, és csak azt mutatja, ami a végrehajtással együtt jár. A "fekete doboz" kifejezést gyakran használják egy olyan mechanizmus leírására, amely csak kívülről nézi a bemenetek és kimenetek tekintetében. Így ez a jelölés megfelel a program I/O szempontjából értelmezett jelentésének. Például az R program

PROGRAM PrintHelloInSteps(INPUT, OUTPUT);

WRITE('HE');

WRITE('L');

WRITELN('LO')

Ugyanaz a jelentése, mint a P, azaz R = P.

Az R programnak van egy CFPascal neve is: PrintHelloInSteps. De mivel a †PrintHelloInSteps† karakterlánc az R karakterlánc része, jobb, ha nem használja a PrintHelloInSteps-t egy R program neveként a dobozos jelölésekben.

Kijelző f egy X halmazból egy Y halmazba adottnak tekinthető, ha X-ből minden x elem pontosan egy Y elemhez van társítva, amelyet f(x) jelölünk.

Az X halmazt hívjuk definíciós tartomány f leképezése és az Y halmaz hatótávolság. Rendezett párok készlete

Г f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

hívott grafikon megjelenítése f. A definícióból közvetlenül következik, hogy az f leképezés gráfja az X×Y derékszögű szorzat részhalmaza:

Szigorúan véve a leképezés olyan halmazok hármasa (X, Y, G), ahol G⊂ X×Y, és X minden x eleme pontosan egy pár (x, y) G első eleme. A második jelölése Egy ilyen pár elemének f(x) függvényében megkapjuk az X halmaz f leképezését az Y halmazra. Ráadásul G=Г f . Ha y=f(x), akkor f:x→y-t írunk, és azt mondjuk, hogy x elem megy vagy leképez y elemre; az f(x) elemet az x elem képének nevezzük az f leképezéshez képest. A leképezések jelölésére az f jelölést használjuk: X→Y.

Legyen f: X→Y egy X halmaz leképezése egy Y halmazra, A és B pedig az X és Y halmazok részhalmazai. Az f(A)=(y| y=f(x) halmazt valamilyen x∈A) esetén hívjuk út A halmaz. Az f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

hívott prototípus halmaz B. Olyan f: A→Y leképezést, hogy x→f(x) minden x∈A-ra hívva legyen szűkület f leképezések az A halmazra; a korlátozást f| jelöljük A.

Legyenek f: X→Y és g: Y→Z leképezések. Meghívjuk az X→Z leképezést, amely x-et g(f(x))-be visz fogalmazás f és g leképezéseket és fg -vel jelöljük.

Egy X halmaz X-re való leképezését úgy hívjuk meg, hogy minden elem önmagába kerül, x→x azonosés X azonosítóval jelöljük.

Egy tetszőleges f: X→Y leképezéshez X ⋅f = f⋅id Y id.

Az f: X→Y leképezést hívjuk injektív, ha bármely elemre a és ebből következik, hogy . Az f: X→Y leképezést hívjuk szürjektív, ha Y-ból minden y elem egy X-ből származó x elem képe, azaz f(x)=y. Az f: X→Y leképezést hívjuk bijektív ha injektív és szürjektív is. Az f: X→Y bijektív leképezés invertálható. Ez azt jelenti, hogy van egy g leképezés: Y→X hívva fordított olyan f leképezésre, hogy g(f(x))=x és f(g(y))=y bármely x∈X, y∈Y esetén. Az f leképezés inverzét f − 1 jelöli.

Egy f: X→Y invertálható leképezés jön létre 1-1 megfeleltetés az X és Y halmazok elemei között. Az f: X→Y injektív leképezés egy az egyhez megfeleltetést hoz létre az X halmaz és az f(X) halmaz között.

Példák. 1) Az f:R→R >0, f (x)=e x függvény létrehozza az összes R valós szám halmazának egy az egyhez való megfelelést az R >0 pozitív valós számok halmazával. Az f leképezés inverze a g:R >0 →R, g(x)=ln x leképezés.

2) f:R→R ≥ 0, f(x)=x 2 leképezése, az összes valós R halmaza a halmazra nem negatív számok R ≥ 0 szürjektív, de nem injektív, ezért nem bijektív.

Funkció tulajdonságai:

1. Két függvény összetétele függvény, azaz. ha akkor .

2. Két bijektív függvény összetétele bijektív függvény, ha , akkor .

3. Egy leképezésnek van inverz leképezése, ha és

akkor és csak akkor, ha f bijekció, azaz. ha akkor .

Meghatározás. n - lokális reláció, vagy n - helyi predikátum Р, az А 1 ;А 2 ;…;А n a derékszögű szorzat bármely részhalmaza.

Megnevezés n - lokális reláció P(x 1 ;x 2 ;…;x n). n=1 esetén a P relációt hívjuk egységesés az A 1 halmaz egy részhalmaza. bináris(n=2 esetén dupla) reláció rendezett párok halmaza.

Meghatározás. Bármely A halmaz esetében a relációt azonos relációnak vagy átlónak és teljes relációnak vagy teljes négyzetnek nevezzük.

Legyen P valamilyen bináris reláció. Azután a bináris reláció tartománya P-t valamilyen y) halmazának nevezzük, és hatótávolság egy halmaz néhány x). Fordított A P-hez való reláció halmaz.

Az R arányt nevezzük fényvisszaverő ha tartalmazza az összes (x, x) formájú párokat X bármely x-ére. A P relációt hívjuk antireflexív, ha nem tartalmaz (x,x) alakú párokat. Például az x≤y reláció reflexív, az x reláció

Az R arányt nevezzük szimmetrikus, ha minden (x,y) párral együtt tartalmazza az (y,x) párt is. A P reláció szimmetriája azt jelenti, hogy P = P -1.

Az R arányt nevezzük antiszimmetrikus, ha (x;y) és (y;x), akkor x=y.

Az R arányt nevezzük tranzitív ha bármely (x, y) és (y, z) párral együtt tartalmazza az (x, z) párt is, azaz xРy és yРz azt jelenti, hogy xРz.

A bináris relációk tulajdonságai:

Példa. Legyen A=(x/x egy arab szám); P=((x;y)/x,yA,x-y=5). Keresse meg a D;R;P -1 értéket.

Megoldás. A Р relációt felírhatjuk Р=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), akkor D=(5) ;6;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P-1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Tekintsünk két véges halmazt és egy bináris relációt. Vezessük be a P bináris relációmátrixot a következőképpen: .

Bármely bináris reláció mátrixa rendelkezik tulajdonságok:

1. Ha és , akkor , és a mátrixelemek összeadása a 0+0=0 szabályok szerint történik; 1+1=1; 1+0=0+1=1, és a szorzás a szokásos módon tagonként történik, azaz. szabályok szerint 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Ha , akkor , és mátrixokat a szokásos mátrixszorzási szabály szerint szorozzuk, de a mátrixszorzás során az elemek szorzatát és összegét az 1. tétel szabályai szerint találjuk meg.

4. Ha , akkor és

Példa. A bináris relációt a 2. ábra mutatja. Mátrixának alakja .

Megoldás. Akkor hagyjuk ;

Legyen P bináris reláció az A, halmazon. Az A halmaz P relációját nevezzük fényvisszaverő if , ahol a csillagok nullákat vagy egyeseket jelölnek. Az R arányt nevezzük irreflexív ha . Az A halmaz P relációját nevezzük szimmetrikus, ha for és for a feltételből következik, hogy . Ez azt jelenti . Az R arányt nevezzük antiszimmetrikus, ha a feltételekből következik, és hogy x=y, azaz. vagy . Ez a tulajdonság oda vezet, hogy a mátrix minden eleme a főátlón kívül nulla lesz (a főátlón is lehetnek nullák). Az R arányt nevezzük tranzitív, ha -ból és ebből következik, hogy i.e. .

Példa. Adott az Р és az arány, itt minden egység a mátrix főátlóján van, ezért Р reflexív. A mátrix aszimmetrikus, akkor a P reláció

Mivel nem minden elem a főátlón kívül nulla, akkor a P reláció nem antiszimmetrikus.

Azok. , ezért a Р reláció nem tranzitív.

Reflexív, szimmetrikus és tranzitív relációt nevezünk ekvivalencia reláció. Az ekvivalenciaviszonyok jelölésére a ~ szimbólumot szokás használni. A reflexivitás, a szimmetria és a tranzitivitás feltételei a következőképpen írhatók fel:

Példa. 1) Legyen X a teljes valós egyenesen definiált függvények halmaza. Feltételezzük, hogy az f és g függvények összefüggenek a ~ összefüggéssel, ha ugyanazokat az értékeket veszik fel a 0 pontban, azaz f(x)~g(x), ha f(0)=g(0). Például sinx~x, e x ~cosx. A ~ reláció reflexív (f(0)=f(0) bármely f(x) függvényre); szimmetrikusan (az f(0)=g(0)-ból következik, hogy g(0)=f(0)); tranzitív módon (ha f(0)=g(0) és g(0)=h(0), akkor f(0)=h(0)). Ezért a ~ egy ekvivalencia reláció.

2) Legyen ~ egy olyan reláció a természetes számok halmazán, hogy x~y, ha x és y maradéka azonos 5-tel osztva. Például 6~11, 2~7, 1~6. Könnyen belátható, hogy ez a reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, tehát ekvivalenciareláció.

részleges rend kapcsolat egy halmazon lévő bináris relációt akkor nevezünk, ha reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív, azaz.

1. - reflexivitás;

2. - antiszimmetria;

3. - tranzitivitás.

szigorú rendi viszony egy halmaz bináris relációját akkor nevezzük, ha az antireflexív, antiszimmetrikus, tranzitív. Mindkét kapcsolatot ún rendi kapcsolatok. A halmaz, amelyen a sorrendi reláció megadva van, talán: teljesen rendezett készlet vagy részben megrendelt. A részleges sorrend azokban az esetekben fontos, amikor valamilyen módon szeretnénk jellemezni a szenioritást, pl. döntsd el, milyen feltételek mellett tekintsd úgy, hogy a halmaz egyik eleme jobb a másiknál. A részben rendezett halmazt ún lineárisan rendezett, ha nincsenek összehasonlíthatatlan elemei, pl. valamelyik feltétel vagy teljesül. Például a természetes sorrendű halmazok lineárisan vannak rendezve.

függvény ". Kezdjük a -tól ig ható függvények egy sajátos, de fontos esetével.

Ha megértjük, mi a reláció, akkor meglehetősen könnyű megérteni, mi az a függvény. A függvény egy reláció speciális esete. Minden függvény reláció, de nem minden reláció függvény. Milyen összefüggések a függvények? Milyen további feltételnek kell teljesülnie ahhoz, hogy egy reláció függvény legyen?

Térjünk vissza a definíciós tartományból az értékek tartományába ható reláció mérlegeléséhez. Tekintsünk egy elemet a . Ez az elem egy olyan elemnek felel meg, amelyhez a pár tartozik, és amelyet gyakran így írnak le: (például ). A relációhoz más párok is tartozhatnak, amelyek első eleme az elem lehet. A funkciók esetében ez a helyzet lehetetlen.

A függvény olyan kapcsolat, amelyben a definíciós tartomány egy eleme az értéktartomány egyetlen elemének felel meg.

Az 1. ábrán látható „hogy legyen testvérünk” kapcsolat nem függvény. A definíciós tartomány egy pontjából két ív az értéktartomány különböző pontjaiba megy, ezért ez az összefüggés nem függvény. Lényegében Elenának két testvére van, így nincs egy az egyhez való megfelelés a from elem és a from elem között.

Ha a "van egy bátyja" relációt ugyanazokon a halmazokon tekintjük, akkor az ilyen reláció függvény. Mindenkinek sok testvére lehet, de közülük csak egy az idősebb testvér. A funkciók olyan rokon kapcsolatok is, mint az „apa” és az „anya”.

Ha függvényekről van szó, általában a betűt használják a függvény általános megjelölésére, és nem, mint a relációk esetében, és az általános jelölésnek a szokásos formája van: .

Tekintsük a jól ismert függvényt . Ennek a függvénynek a hatóköre a teljes valós tengely: . A függvény tartománya egy zárt intervallum a valós tengelyen: . Ennek a függvénynek a grafikonja egy szinuszos, a tengely minden pontja a grafikon egyetlen pontjának felel meg .

Egy az egyhez funkció

Hagyja, hogy a reláció határozza meg a függvényt. Mit lehet mondani a fordítottról? Ez is egy funkció? Egyáltalán nem szükséges. Vegyünk példákat olyan összefüggésekre, amelyek függvények.

A „van egy bátyja” kapcsolat esetében az inverz kapcsolat a „van testvére” kapcsolat. Természetesen ez az összefüggés nem függvény. Egy idősebb testvérnek sok nővére és fivére lehet.

Az „apa” és „anya” kapcsolatnál az inverz kapcsolat a „fia vagy lánya” kapcsolat, ami szintén nem függvény, hiszen sok gyerek lehet.

Ha figyelembe vesszük a függvényt , akkor az inverz összefüggés nem függvény, mivel egy érték tetszőlegesen sok értéknek felel meg. Megfontolni