Teljesen lehetetlen matematikai feladatokat vagy példákat megoldani a derivált és a számítási módszerek ismerete nélkül. A származékos az egyik legfontosabb fogalom matematikai elemzés. Úgy döntöttünk, hogy a mai cikket ennek az alapvető témának szenteljük. Mi az a származék, mi a fizikai és geometriai jelentése hogyan kell kiszámítani egy függvény deriváltját? Mindezek a kérdések egybe foglalhatók: hogyan lehet megérteni a származékot?

A származék geometriai és fizikai jelentése

Legyen függvény f(x) , bizonyos intervallumban megadva (a,b) . Az x és x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Ha x változik, maga a függvény is megváltozik. Érvváltozás - értékeinek különbsége x-x0 . Ez a különbség így van írva delta x és argumentumnövekménynek nevezzük. Egy függvény változása vagy növekménye a függvény értékeinek különbsége két ponton. Származékos meghatározás:

Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény adott pontban elért növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik.

Egyébként így írható:

Mi értelme ilyen határt találni? De melyik:

egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő az OX tengely és a függvény grafikonjának érintője közötti szög érintőjével egy adott pontban.

fizikai jelentése derivált: az út időbeli deriváltja egyenlő az egyenes vonalú mozgás sebességével.

Valóban, az iskolai idők óta mindenki tudja, hogy a sebesség magánút. x=f(t) és az idő t . átlagsebesség egy ideig:

Hogy megtudja a mozgás sebességét egy időben t0 ki kell számolni a határértéket:

Első szabály: vegyük ki az állandót

A konstans kivehető a derivált előjeléből. Ráadásul meg is kell tenni. A matematikai példák megoldása során általában vegye figyelembe - ha le tudja egyszerűsíteni a kifejezést, mindenképpen egyszerűsítse .

Példa. Számítsuk ki a deriváltot:

Második szabály: a függvények összegének deriváltja

Két függvény összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak összegével. Ugyanez igaz a függvények különbségének deriváltjára is.

Nem bizonyítjuk ezt a tételt, inkább egy gyakorlati példát veszünk figyelembe.

Keresse meg egy függvény deriváltját:

Harmadik szabály: a függvények szorzatának deriváltja

Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja a következő képlettel számítható ki:

Példa: keresse meg egy függvény deriváltját:

Megoldás:

Itt fontos szót ejteni az összetett függvények deriváltjainak számításáról. Derivált összetett funkció egyenlő ennek a függvénynek a közbülső argumentumhoz viszonyított deriváltjának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.

A fenti példában a következő kifejezéssel találkozunk:

Ebben az esetben a köztes argumentum az ötödik hatvány nyolcszorosa. Egy ilyen kifejezés deriváltjának kiszámításához először figyelembe vesszük a külső függvény deriváltját a köztes argumentumhoz képest, majd megszorozzuk magának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.

Negyedik szabály: Két függvény hányadosának deriváltja

Képlet két függvény hányadosának deriváltjának meghatározására:

Megpróbáltunk a nulláról beszélni a próbababák származékairól. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik, ezért figyelem: a példákban gyakran vannak buktatók, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.

Bármilyen ezzel és más témával kapcsolatos kérdéssel fordulhat a diákszolgálathoz. Rövid időn belül segítünk megoldani a legnehezebb ellenőrzést és megoldani a feladatokat, még akkor is, ha még soha nem foglalkozott derivált számítással.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a deriváltnak az argumentum növekményének arányának határaként történő definiálásával egy derivált táblázat és pontosan meghatározott differenciálási szabályok jelentek meg. . Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) voltak az elsők, akik a származékok keresésének területén dolgoztak.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem szükséges kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, csak a táblázatot kell használni. a származékok és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szüksége van egy kifejezésre a stroke jel alá lebontja az egyszerű függvényeketés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. További származékok elemi függvények a derivált táblázatban, a szorzat, összeg és hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A származékok és a differenciálási szabályok táblázata az első két példa után található.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy a függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "X" deriváltja eggyel egyenlő, a szinusz deriváltja pedig koszinusz. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Az összeg deriváltjaként differenciálunk, amelyben a második állandó tényezővel rendelkező tag kivehető a derivált előjeléből:

Ha továbbra is vannak kérdések azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azok általában a származéktáblázat és a legegyszerűbb differenciálási szabályok elolvasása után derülnek ki. Most megyünk hozzájuk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig nulla. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "x". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos megjegyezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványsá kell konvertálni.
4. Változó deriváltja -1 hatványára
5. Származék négyzetgyök
6. Szinusz derivált
7. Koszinusz-származék
8. Érintő derivált
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinusz deriváltja
11. Az ív koszinusz származéka
12. Az arctangens származéka
13. Az inverz érintő deriváltja
14. Természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Az exponenciális függvény deriváltja

Differenciálási szabályok

1. Az összeg vagy a különbözet ​​származéka
2. Termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa funkciókat

egy ponton differenciálhatók, akkor ugyanabban a pontban a függvények

és

azok. a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény egy konstansban különbözik, akkor a deriváltjaik, azaz

2. szabályHa funkciókat

egy ponton differenciálhatók, akkor a termékük is ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények mindegyikének szorzatának és a másik függvény deriváltjának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

2. következmény. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabályHa funkciókat

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálható.u/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező származéka közötti különbség, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete .

Hol lehet keresni más oldalakon

A szorzat deriváltjának és a hányadosnak valós feladatokban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, így ezekre a deriváltokra további példák találhatók a cikkben."A szorzat és a hányados származéka".

Megjegyzés. A konstanst (vagyis egy számot) nem szabad összekeverni az összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de több egy-két részes példa megoldásaként az átlaghallgató már nem követi el ezt a hibát.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy konstans, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ilyen esetet a 10. példa elemzi) .

Egy másik gyakori hiba az összetett függvény deriváltjának mechanikus megoldása egy egyszerű függvény deriváltjaként. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikknek szentelve. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakításait. Ehhez előfordulhat, hogy új Windows kézikönyvekben kell megnyitnia Cselekvések erővel és gyökerekkelÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező deriváltokra, vagyis amikor a függvény úgy néz ki , majd kövesse a "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegének származéka" című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor az "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" leckében vagy.

Példák lépésről lépésre - hogyan találjuk meg a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvény kifejezésének részeit: a teljes kifejezés reprezentálja a szorzatot, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények mindegyikének szorzatának és a másik függvény deriváltjának összegével:

Ezt követően alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tag mínusz előjellel. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az "x" egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A származékok következő értékeit kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkívánt teljes függvény deriváltját:

És a probléma megoldását a deriválton ellenőrizheti.

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, ill. a nevező az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el, hogy a szorzatot, amely a számláló második tényezője, az aktuális példában mínusz előjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és fokok folytonos halmaza van, mint pl. akkor üdv az órán "A hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegének deriváltja" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és mások származékairól trigonometrikus függvények, vagyis amikor a függvény úgy néz ki , akkor van egy lecke "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltjával a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzatdifferenciálási szabály és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értéke szerint a következőket kapjuk:

A derivált feladat megoldását a oldalon ellenőrizheti származékos számológép online .

6. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben azt a hányadost látjuk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányados differenciálási szabálya és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értéke szerint a következőt kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -vel.

A táblázat legelső képletének származtatásánál egy függvény egy pontbeli deriváltjának definíciójából indulunk ki. Vegyük hova x- Bármi valós szám, azaz x– tetszőleges szám a függvénydefiníciós területből. Írjuk fel a függvénynövekmény és az argumentumnövekmény arányának határát:

Megjegyzendő, hogy a határjel alatt egy kifejezést kapunk, ami nem a nulla nullával osztva bizonytalansága, mivel a számláló nem végtelenül kicsi értéket tartalmaz, hanem pontosan nullát. Más szóval, egy állandó függvény növekménye mindig nulla.

Ily módon állandó függvény deriváltjaegyenlő nullával a teljes definíciós tartományon.

Hatványfüggvény származéka.

A hatványfüggvény deriváltjának képlete alakja , ahol a kitevő p bármilyen valós szám.

Először bizonyítsuk be a természetes kitevő képletét, azaz for-t p = 1, 2, 3, ...

A derivált definícióját fogjuk használni. Írjuk fel a hatványfüggvény növekménye és az argumentum növekmény arányának határát:

A számlálóban a kifejezés egyszerűsítéséhez forduljunk Newton binomiális képletéhez:

Következésképpen,

Ez bizonyítja a hatványfüggvény derivált képletét természetes kitevőre.

Az exponenciális függvény deriváltja.

A származékos képletet a definíció alapján származtatjuk:

Eljött a bizonytalanság. Kibővítéséhez bevezetünk egy új változót , és a számára. Azután . Az utolsó átmenetben a logaritmus új bázisára való átmenet képletét használtuk.

Végezzünk el egy helyettesítést az eredeti határértékben:

Ha felidézzük a második figyelemre méltó határt, akkor eljutunk az exponenciális függvény deriváltjának képletéhez:

Logaritmikus függvény deriváltja.

Bizonyítsuk be a logaritmikus függvény deriváltjának képletét mindenkire x hatókörből és minden érvényes alapértékből a logaritmus. A származék definíciója szerint a következőkkel rendelkezünk:

Amint észrevette, a bizonyításban a transzformációkat a logaritmus tulajdonságaival hajtották végre. Egyenlőség a második figyelemre méltó határ miatt érvényes.

Trigonometrikus függvények származékai.

A trigonometrikus függvények deriváltjainak képleteinek származtatásához fel kell idéznünk néhány trigonometriai képletet, valamint az első figyelemre méltó határértéket.

A szinuszfüggvény deriváltjának definíciója szerint van .

A szinuszok különbségének képletét használjuk:

Már csak az első figyelemre méltó határhoz kell fordulni:

Tehát a függvény deriváltja bűn x eszik cos x.

A koszinusz derivált képlete pontosan ugyanígy bizonyított.

Ezért a függvény deriváltja cos x eszik –sin x.

Az érintő és a kotangens derivált táblázatához a képleteket a bevált differenciálási szabályokkal (tört deriváltja) kell levezetni.

Hiperbolikus függvények származékai.

A differenciálás szabályai és az exponenciális függvény deriváltjának képlete a deriválttáblázatból lehetővé teszik, hogy a hiperbolikus szinusz, koszinusz, tangens és kotangens deriváltjaira képleteket származtassunk.

Az inverz függvény deriváltja.

Hogy ne legyen zavar a bemutatásban, az alsó indexben jelöljük a függvény argumentumát, amellyel a differenciálás történik, vagyis a függvény deriváltja f(x) tovább x.

Most megfogalmazzuk szabály az inverz függvény deriváltjának megtalálásához.

Hagyjuk a függvényeket y = f(x)És x = g(y) kölcsönösen inverz, az intervallumokon, ill. Ha egy pontban létezik a függvénynek véges nem nulla deriváltja f(x), akkor a pontban létezik az inverz függvény véges deriváltja g(y), és . Egy másik bejegyzésben .

Ez a szabály bármelyikre újrafogalmazható x intervallumból, akkor kapjuk .

Ellenőrizzük ezeknek a képleteknek az érvényességét.

Keressük meg a természetes logaritmus inverz függvényét (itt y egy függvény, és x- érvelés). Ennek az egyenletnek a megoldása a x, megkapjuk (itt x egy függvény, és yérve). Azaz, és kölcsönösen inverz függvények.

A származékok táblázatából azt látjuk És .

Győződjön meg arról, hogy az inverz függvény deriváltjainak keresésére szolgáló képletek ugyanarra az eredményre vezetnek:

Amint láthatja, ugyanazokat az eredményeket kaptuk, mint a származékok táblázatában.

Most már rendelkezünk az inverz trigonometrikus függvények deriváltjainak képleteinek bizonyításával.

Kezdjük az arcszinusz deriváltjával.

. Ekkor az inverz függvény deriváltjának képletével megkapjuk

Marad az átalakítás végrehajtása.

Mivel az arcszinusz tartománya az intervallum , azután (lásd az alapvető elemi függvényekről, azok tulajdonságairól és grafikonjairól szóló részt). Ezért nem vesszük figyelembe.

Következésképpen, . Az arcszinusz deriváltjának definíciós tartománya az intervallum (-1; 1) .

Az arccosine esetében minden pontosan ugyanúgy történik:

Keresse meg az arctangens deriváltját!

Mert az inverz függvény az .

Az arc tangenst az ív koszinuszon keresztül fejezzük ki, hogy egyszerűsítsük a kapott kifejezést.

Legyen arctanx = z, azután

Következésképpen,

Hasonlóképpen megtaláljuk az inverz érintő deriváltját:

Bizonyítás nélkül megadjuk az alapvető elemi függvények deriváltjainak képletét:

1. Teljesítményfüggvény: (x n)` =nx n -1 .

2. Egy exponenciális függvény: (a x)` = a x lna (különösen, (e x)` = e x).

3. Logaritmikus függvény: (különösen, (lnx)` = 1/x).

4. Trigonometrikus függvények:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. Inverz trigonometrikus függvények:

Bizonyítható, hogy egy hatvány-exponenciális függvény differenciálásához kétszer szükséges egy komplex függvény deriváltjának képletét használni, azaz komplex függvényként differenciálni. teljesítmény funkció, és komplex exponenciálisként, és add össze az eredményeket: (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  ( x) *lnf(x)*(x)".

Magasabb rendek származékai

Mivel egy függvény deriváltja maga is függvény, lehet deriváltja is. A fentebb tárgyalt származék fogalma elsőrendű származékra vonatkozik.

deriváltn- a sorrend az (n-1)-edik rendű derivált származékának nevezzük. Például f``(x) = (f`(x))` - másodrendű származék (vagy másodrendű származék), f```(x) = (f``(x))` - harmadrendű származék ( vagy harmadik származék) stb. Néha zárójelben lévő római arab számokat használnak a magasabb származékok jelzésére, például f (5) (x) vagy f (V) (x) ötödrendű származékok esetén.

A magasabb rendű származékok fizikai jelentését ugyanúgy definiáljuk, mint az első deriváltnál: mindegyik az előző sorrend deriváltjának változási sebességét jelenti. Például a második derivált az első változási sebessége, azaz. sebesség sebesség. Az egyenes vonalú mozgásnál egy pont gyorsulását jelenti egy időben.

Funkció rugalmassága

Funkció rugalmassága E x (y) az y függvény relatív növekménye és az x argumentum relatív növekménye arányának határa, amely utóbbi nullára hajlik:
.

Egy függvény rugalmassága azt mutatja meg, hogy az y \u003d f (x) függvény körülbelül hány százalékkal fog megváltozni, ha az x független változó 1%-kal változik.

Közgazdasági értelemben az a különbség e mutató és a derivált között, hogy a deriváltnak vannak mértékegységei, ezért értéke attól függ, hogy a változókat milyen egységekben mérik. Például, ha a termelés mennyiségének időfüggőségét tonnában, illetve hónapban fejezzük ki, akkor a derivált a mennyiség határérték-növekedését mutatja tonnában havonta; ha azonban ezeket a mutatókat például kilogrammban és napban mérjük, akkor mind a függvény, mind a deriváltja eltérő lesz. A rugalmasság lényegében dimenzió nélküli érték (százalékban vagy törtrészben mérve), ezért nem függ a mutatók skálájától.

Differenciálható függvények alaptételei és alkalmazásaik

Fermat tétele. Ha egy intervallumon differenciálható függvény ennek az intervallumnak egy belső pontjában eléri a maximális vagy minimális értékét, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton nulla.

Bizonyíték nélkül.

A Fermat-tétel geometriai jelentése az, hogy a résen belül elért legnagyobb vagy legkisebb érték pontjában a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az abszcissza tengellyel (3.3. ábra).

Rolle tétele. Legyen az y \u003d f (x) függvény teljesítse a következő feltételeket:

2) az (a, b) intervallumon differenciálható;

3) egyenlő értékeket vesz fel a szegmens végén, pl. f(a)=f(b).

Ekkor a szegmensen belül van legalább egy olyan pont, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával.

Bizonyíték nélkül.

A Rolle-tétel geometriai jelentése az, hogy van legalább egy pont, ahol a függvény grafikonjának érintője párhuzamos lesz az x tengellyel (például a 3.4. ábrán két ilyen pont található).

Ha f(a) =f(b) = 0, akkor a Rolle-tétel másképpen is megfogalmazható: egy differenciálható függvény két egymást követő nullája között van legalább egy nulla a deriváltnak.

A Rolle-tétel a Lagrange-tétel speciális esete.

Lagrange-tétel. Legyen az y \u003d f (x) függvény teljesítse a következő feltételeket:

1) folytonos az [a, b] szakaszon;

2) az (a, b) intervallumon differenciálható.

Ekkor a szegmensen belül van legalább egy olyan c pont, ahol a derivált egyenlő a függvények növekményének hányadosával, osztva a szegmensre vonatkozó argumentum növekményével:
.

Bizonyíték nélkül.

A Lagrange-tétel fizikai jelentésének megértéséhez megjegyezzük, hogy
nem más, mint a függvény átlagos változási sebessége a teljes [a, b] intervallumon. Így a tétel kimondja, hogy a szegmensen belül van legalább egy olyan pont, ahol a függvény "pillanatnyi" változási sebessége megegyezik a változás átlagos sebességével a teljes szakaszon.

A Lagrange-tétel geometriai jelentését a 3.5. ábra szemlélteti. Vegye figyelembe, hogy a kifejezés
annak az egyenesnek a meredeksége, amelyen az AB húr fekszik. A tétel kimondja, hogy egy függvény grafikonján van legalább egy olyan pont, ahol a hozzá tartozó érintő párhuzamos lesz ezzel a húrral (azaz az érintő meredeksége - a derivált - azonos lesz).

Következmény: ha egy függvény deriváltja egy intervallumon egyenlő nullával, akkor a függvény ezen az intervallumon azonosan állandó.

Valójában vegyünk egy intervallumot ezen az intervallumon. Lagrange tétele szerint ebben az intervallumban van egy c pont, amelyre
. Ezért f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = állandó.

L'Hopital szabálya. Két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy függvény arányának határa megegyezik származékaik (véges vagy végtelen) arányának határával, ha az utóbbi a jelzett értelemben létezik.

Más szóval, ha bizonytalan a forma
, azután
.

Bizonyíték nélkül.

A L'Hospital szabályának alkalmazását a határok megállapítására a gyakorlati gyakorlatok tárgyalják.

Egy függvény növelésének (csökkentésének) elégséges feltétele. Ha egy differenciálható függvény deriváltja pozitív (negatív) valamely intervallumon belül, akkor a függvény ezen az intervallumon növekszik (csökken).

Bizonyíték. Vegyünk két x 1 és x 2 értéket az adott intervallumból (legyen x 2 > x 1). Lagrand tétele szerint [x 1 , x 2 ]-en van egy c pont, ahol
. Ezért f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Ekkor f`(c) > 0 esetén az egyenlőtlenség bal oldala pozitív, azaz f(x 2) > f(x 1), és a függvény növekszik. at f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

A tétel bizonyítást nyert.

A függvény monotonitási feltételének geometriai értelmezése: ha a görbe érintőit egy adott intervallumban hegyesszögben irányítjuk az abszcissza tengelyre, akkor a függvény növekszik, ha pedig tompaszögek alatt, akkor csökken (lásd 3.6. ábra). .

Megjegyzés: a monotonitás szükséges feltétele gyengébb. Ha a függvény növekszik (csökken) egy adott intervallumon, akkor a derivált ezen az intervallumon nem negatív (nem pozitív) (azaz bizonyos pontokon a monoton függvény deriváltja nullával is egyenlő lehet).

A derivált számítása gyakran megtalálható az USE hozzárendelésekben. Ez az oldal a származékok keresésére szolgáló képletek listáját tartalmazza.

Differenciálási szabályok

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Komplex függvény származéka. Ha y=F(u) és u=u(x), akkor az y=f(x)=F(u(x)) függvényt x komplex függvényének nevezzük. Egyenlő: y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Implicit függvény származéka. Az y=f(x) függvényt az F(x,y)=0 összefüggés által adott implicit függvénynek nevezzük, ha F(x,f(x))≡0.
6. Az inverz függvény deriváltja. Ha g(f(x))=x, akkor a g(x) függvényt az y=f(x) függvény inverz függvényének nevezzük.
7. Parametrikusan adott függvény deriváltja. Legyen x és y a t változó függvényei: x=x(t), y=y(t). Azt mondják, hogy y=y(x) egy parametrikusan meghatározott függvény az x∈ (a;b) intervallumon, ha ezen az intervallumon az x=x(t) egyenlet t=t(x)-ként fejezhető ki és a függvény y=y(t(x))=y(x).
8. Az exponenciális függvény deriváltja. Ezt úgy találjuk meg, hogy a logaritmust a természetes logaritmus alapjára vesszük.

Javasoljuk, hogy mentse el a hivatkozást, mert erre a táblázatra még sokszor szükség lehet.