Az módszeres anyag referencia célokat szolgál, és a témák széles skáláját fedi le. A cikk áttekintést nyújt a fő elemi függvények grafikonjairól, és megvizsgálja a legfontosabb kérdést - hogyan kell helyesen és GYORSAN felépíteni egy grafikont. A tanulmányozás során felsőbb matematika az alapvető diagramok ismerete nélkül elemi függvények nehéz lesz, ezért nagyon fontos megjegyezni, hogyan néznek ki egy parabola, hiperbola, szinusz, koszinusz stb. grafikonjai, emlékezzen néhány függvényértékre. Szó lesz a fő funkciók néhány tulajdonságáról is.

Nem állítom, hogy teljes és tudományosan alapos anyagok lennének, a hangsúly elsősorban a gyakorlaton lesz – azon dolgokon, amelyekkel az embernek szó szerint szembe kell néznie minden lépésnél, a felsőbb matematika bármely témakörében. Táblázatok a bábokhoz? Ezt mondhatod.

Az olvasók nagy kérésére kattintható tartalomjegyzék:

Ezen kívül van egy ultrarövid kivonat is a témáról
– sajátítson el 16 féle diagramot HAT oldal tanulmányozásával!

Komolyan, hat, még én magam is meglepődtem. Ez az absztrakt javított grafikát tartalmaz, és névleges díj ellenében elérhető, demó verziója megtekinthető. Kényelmes a fájl kinyomtatása, hogy a grafikonok mindig kéznél legyenek. Köszönjük a projekt támogatását!

És rögtön kezdjük is:

Hogyan építsünk helyesen koordinátatengelyeket?

A gyakorlatban a teszteket szinte mindig a tanulók külön füzetbe, ketrecbe sorakozva készítik. Miért van szükség kockás jelölésekre? Végül is a munka elvileg A4-es lapokon is elvégezhető. A ketrec pedig már csak a rajzok minőségi és pontos megtervezéséhez szükséges.

A függvénygráf bármely rajza koordinátatengelyekkel kezdődik.

A rajzok kétdimenziósak és háromdimenziósak.

Nézzük először a kétdimenziós esetet Derékszögű koordinátarendszer:

1) Rajzolunk koordinátatengelyek. A tengelyt ún x tengely , és a tengely y tengely . Mindig megpróbáljuk lerajzolni őket ügyes és nem görbe. A nyilak sem hasonlíthatnak Carlo papa szakállára.

2) A tengelyeket nagy "x" és "y" betűkkel írjuk alá. Ne felejtse el aláírni a tengelyeket.

3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén: húzz nullát és két egyest. Rajzkészítésnél a legkényelmesebb és legelterjedtebb lépték: 1 egység = 2 cella (bal oldali rajz) - lehetőség szerint ragaszkodjon hozzá. Időnként azonban előfordul, hogy a rajz nem fér fel egy füzetlapra - ekkor csökkentjük a léptéket: 1 egység = 1 cella (jobb oldali rajz). Ritkán, de előfordul, hogy a rajz léptékét még jobban csökkenteni (vagy növelni) kell

NE firkáljon géppuskából ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... A koordinátasík ugyanis nem Descartes emlékműve, és a diák sem galamb. Rakjuk nullaÉs két egység a tengelyek mentén. Néha ahelyett egységek, kényelmes más értékek „észlelése”, például „kettő” az abszcissza tengelyen és „három” az ordináta tengelyen - és ez a rendszer (0, 2 és 3) egyedileg beállítja a koordináta-rácsot is.

Jobb, ha megbecsüljük a rajz becsült méreteit a rajz elkészítése ELŐTT.. Így például, ha a feladathoz olyan háromszöget kell rajzolni, amelynek csúcsai , , , akkor teljesen egyértelmű, hogy a népszerű léptékű 1 egység = 2 cella nem fog működni. Miért? Nézzük a lényeget - itt tizenöt centimétert kell lefelé mérni, és nyilvánvalóan nem (vagy alig) fér el a rajz egy jegyzetfüzet lapjára. Ezért azonnal kiválasztunk egy kisebb léptékű 1 egység = 1 cellát.

Apropó, centiméterekről és notebook cellákról. Igaz, hogy 30 notebook cellában 15 centiméter van? Érdeklődni jegyzetfüzetben 15 centimétert vonalzóval mérni. A Szovjetunióban ez talán igaz volt ... Érdekes megjegyezni, hogy ha ugyanazokat a centimétereket vízszintesen és függőlegesen méri, akkor az eredmények (cellákban) eltérőek lesznek! Szigorúan véve a modern notebookok nem kockásak, hanem téglalap alakúak. Hülyeségnek tűnhet, de például egy kört rajzolni egy iránytűvel ilyen helyzetekben nagyon kényelmetlen. Őszintén szólva, ilyen pillanatokban az ember elkezd gondolkodni Sztálin elvtárs helyességén, akit gyártási munkák miatt táborokba küldtek, nem is beszélve a hazai autóiparról, a zuhanó repülőgépekről vagy a felrobbanó erőművekről.

Ha már a minőségről beszélünk, vagy egy rövid ajánlás az írószerekkel kapcsolatban. A mai napig az eladásra kínált notebookok többsége, rossz szó nélkül, komplett goblin. Azért, mert beáznak, és nem csak zselés tolltól, hanem golyóstollal is! Spórolj papíron. Az engedélyért vezérlés működik Azt javaslom, hogy használja az Arhangelszki Pép- és Papírgyár (18 lap, ketrec) vagy a Pyaterochka notebookját, bár drágább. Célszerű zselés tollat ​​választani, a legolcsóbb kínai zselés utántöltő is sokkal jobb, mint a golyóstoll, ami vagy elkenődik, vagy széttépi a papírt. Az egyetlen "versenyképes" golyóstoll az emlékezetemben az Erich Krause. Tisztán, szépen és stabilan ír – akár teli szárral, akár csaknem üresen.

Továbbá: egy téglalap alakú koordinátarendszer látásmódja az analitikus geometria szemével a cikkben A vektorok lineáris (nem) függése. Vektoros alapon, a koordinátanegyedekről részletes információ a lecke második bekezdésében található Lineáris egyenlőtlenségek.

3D tok

Itt is majdnem ugyanaz.

1) Koordinátatengelyeket rajzolunk. Alapértelmezett: alkalmazási tengely – felfelé irányul, tengely – jobbra, tengely – lefelé balra szigorúan 45 fokos szögben.

2) A tengelyeket aláírjuk.

3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén. Méretezés a tengely mentén - kétszer kisebb, mint a többi tengely mentén. Azt is vegye figyelembe, hogy a jobb oldali rajzon nem szabványos "serifet" használtam a tengely mentén (erről a lehetőségről fentebb már volt szó). Az én szempontomból pontosabb, gyorsabb és esztétikusabb – nem kell mikroszkóp alatt keresni a cella közepét, és az egységet egészen az origóig „faragni”.

Ha ismét 3D-s rajzot készít, adjon elsőbbséget a méretaránynak
1 egység = 2 cella (bal oldali rajz).

Mire szolgálnak ezek a szabályok? A szabályok azért vannak, hogy megszegjük. Most mit fogok csinálni. Az a helyzet, hogy a cikk későbbi rajzait én készítem el Excelben, és a koordinátatengelyek a megfelelő tervezés szempontjából helytelenül fognak kinézni. Az összes grafikont meg tudtam rajzolni kézzel, de nagyon ijesztő megrajzolni őket, mivel az Excel nem szívesen rajzolja meg őket sokkal pontosabban.

Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai

A lineáris függvényt az egyenlet adja meg. A lineáris függvénygrafikon az közvetlen. Egy egyenes felépítéséhez elegendő két pontot ismerni.

1. példa

Ábrázolja a függvényt. Keressünk két pontot. A pontok közül előnyös a nullát választani.

Ha akkor

Vegyünk egy másik pontot, például 1.

Ha akkor

A feladatok elkészítésekor a pontok koordinátáit általában táblázatban foglaljuk össze:

Magukat az értékeket pedig szóban vagy vázlaton, számológépen számítják ki.

Két pontot találtunk, húzzuk:

A rajz elkészítésekor mindig aláírjuk a grafikát.

Nem lesz felesleges felidézni a lineáris függvény speciális eseteit:

Figyeld meg, hogyan helyeztem el a feliratokat, Az aláírások nem lehetnek kétértelműek a rajz tanulmányozásakor. Ebben az esetben nagyon nem volt kívánatos, hogy a vonalak metszéspontja mellé, vagy a jobb alsó sarokban a grafikonok közé aláírást helyezzenek el.

1) A () alakú lineáris függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Például, . Az egyenes arányossági gráf mindig az origón halad át. Így az egyenes építése leegyszerűsödik - elég csak egy pontot találni.

2) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonja azonnal, pont keresése nélkül épül fel. Vagyis a bejegyzést a következőképpen kell érteni: "y mindig egyenlő -4-gyel, bármely x érték esetén."

3) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonja is azonnal felépül. A bejegyzést a következőképpen kell érteni: "x mindig, y bármely értéke esetén egyenlő 1-gyel."

Egyesek azt kérdezik, hát miért emlékeznek a 6. osztályra?! Így van ez, talán így is van, csak a gyakorlati évek alatt találkoztam jó tucat diákkal, akik értetlenül álltak a vagy szerű gráf felépítése előtt.

A rajzok készítésekor az egyenes vonal rajzolása a leggyakoribb művelet.

Az egyenest az analitikus geometria során részletesen tárgyaljuk, aki szeretné, az a cikkre hivatkozhat. Egyenlet egy síkon.

Másodfokú függvény gráf, köbfüggvény gráf, polinom gráf

Parabola. Menetrend másodfokú függvény () egy parabola. Fontolgat híres eset:

Emlékezzünk vissza a függvény néhány tulajdonságára.

Tehát az egyenletünk megoldása: - ezen a ponton található a parabola csúcsa. Hogy miért van ez így, azt a deriváltról szóló elméleti cikkből és a függvény szélsőértékeiről szóló leckéből tanulhatjuk meg. Közben kiszámítjuk az "y" megfelelő értékét:

Tehát a csúcs a ponton van

Most más pontokat találunk, miközben pimaszul a parabola szimmetriáját használjuk. Meg kell jegyezni, hogy a funkció – nem egyenletes, de ennek ellenére senki sem törölte a parabola szimmetriáját.

Azt hiszem, a döntő táblázatból kiderül, hogy milyen sorrendben találjuk meg a maradék pontokat:

Ezt az építési algoritmust átvitt értelemben "shuttle"-nek vagy "oda-vissza" elvnek nevezhetjük Anfisa Chekhova-val.

Készítsünk egy rajzot:

A figyelembe vett grafikonok közül egy másik hasznos funkció is eszembe jut:

Másodfokú függvényhez () igaz a következő:

Ha , akkor a parabola ágai felfelé irányulnak.

Ha , akkor a parabola ágai lefelé irányulnak.

A görbe mélyreható ismerete a Hiperbola és parabola leckében szerezhető.

A köbös parabolát a függvény adja meg. Íme egy iskolából ismerős rajz:

Felsoroljuk a függvény főbb tulajdonságait

Függvénygrafikon

A parabola egyik ágát képviseli. Készítsünk egy rajzot:

A függvény főbb tulajdonságai:

Ebben az esetben a tengely az függőleges aszimptota a hiperbola gráfhoz.

NAGY hiba lesz, ha a rajz elkészítésekor hanyagságból megengedi, hogy a gráf metszi az aszimptotát.

Szintén egyoldalú határértékek, mondd, hogy egy hiperbola felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott.

Vizsgáljuk meg a függvényt a végtelenben: , vagyis ha elkezdünk a tengely mentén balra (vagy jobbra) a végtelenbe haladni, akkor a „játékok” egy karcsú lépés lesz. végtelenül közel nullához közelít, és ennek megfelelően a hiperbola ágai végtelenül közel közelítse meg a tengelyt.

Tehát a tengely az vízszintes aszimptota a függvény grafikonjára, ha "x" a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik.

A funkció az páratlan, ami azt jelenti, hogy a hiperbola szimmetrikus az origóhoz képest. Ez a tény a rajzból nyilvánvaló, ráadásul analitikusan is könnyen ellenőrizhető: .

A () alakú függvény grafikonja a hiperbola két ágát ábrázolja.

Ha , akkor a hiperbola az első és a harmadik koordinátanegyedben található(lásd a fenti képet).

Ha , akkor a hiperbola a második és a negyedik koordinátanegyedben található.

A hiperbola lakóhelyének meghatározott szabályszerűségét a gráfok geometriai transzformációi szempontjából nem nehéz elemezni.

3. példa

Szerkessze meg a hiperbola jobb oldali ágát!

Pontos szerkesztési módszert alkalmazunk, miközben előnyös az értékeket úgy kiválasztani, hogy azok teljesen fel legyenek osztva:

Készítsünk egy rajzot:

Nem lesz nehéz megszerkeszteni a hiperbola bal ágát, itt csak a függvény páratlansága segít. Nagyjából elmondható, hogy a pontszerű konstrukciós táblázatban gondolatban adjunk hozzá egy mínuszt minden számhoz, helyezzük el a megfelelő pontokat, és rajzoljuk meg a második ágat.

A vizsgált vonalról részletes geometriai információk találhatók a Hiperbola és parabola cikkben.

Egy exponenciális függvény grafikonja

Ebben a bekezdésben azonnal az exponenciális függvényt fogom megvizsgálni, mivel a magasabb matematikai feladatokban az esetek 95%-ában az exponens fordul elő.

Emlékeztetlek, hogy - ez irracionális szám: ez szükséges lesz egy gráf készítésekor, amelyet valójában ceremónia nélkül fogok megépíteni. Három pont valószínűleg elég:

A függvény grafikonját most hagyjuk békén, erről majd később.

A függvény főbb tulajdonságai:

Alapvetően a függvénygrafikonok ugyanúgy néznek ki, stb.

Azt kell mondanom, hogy a második eset ritkábban fordul elő a gyakorlatban, de előfordul, ezért szükségesnek tartottam, hogy ebbe a cikkbe belefoglaljam.

Egy logaritmikus függvény grafikonja

Tekintsünk egy természetes logaritmusú függvényt.
Rajzoljunk egy vonalat:

Ha elfelejtette, mi az a logaritmus, olvassa el az iskolai tankönyveket.

A függvény főbb tulajdonságai:

Tartomány:

Értéktartomány: .

A funkció felülről nincs korlátozva: , ha lassan is, de a logaritmus ága felmegy a végtelenbe.
Vizsgáljuk meg a jobb oldali nullához közeli függvény viselkedését: . Tehát a tengely az függőleges aszimptota a függvény grafikonjára, ahol a jobb oldalon az "x" nullára hajlik.

Ügyeljen arra, hogy ismerje és emlékezzen a logaritmus tipikus értékére: .

Alapvetően a logaritmus alaprajza ugyanúgy néz ki: , , (tizedes logaritmus a 10-es bázisig) stb. Ugyanakkor minél nagyobb az alap, annál laposabb lesz a diagram.

Nem foglalkozunk ezzel az esettel, amire nem emlékszem, mikor építettem utoljára ilyen alapon grafikont. Igen, és úgy tűnik, hogy a logaritmus nagyon ritka vendég a magasabb matematikai feladatokban.

A bekezdés végén elmondok még egy tényt: Exponenciális függvény és logaritmikus függvénykét kölcsönösen inverz függvény. Ha alaposan megnézzük a logaritmus grafikonját, láthatjuk, hogy ez ugyanaz a kitevő, csak egy kicsit másképp helyezkedik el.

Trigonometrikus függvények grafikonjai

Hogyan kezdődik a trigonometrikus gyötrelem az iskolában? Jobb. A szinuszból

Ábrázoljuk a függvényt

Ezt a sort hívott szinuszos.

Emlékeztetlek arra, hogy a „pi” irracionális szám:, és a trigonometriában káprázik a szemed.

A függvény főbb tulajdonságai:

Ez a funkció az időszakos időszakkal. Mit jelent? Nézzük a vágást. Tőle balra és jobbra pontosan ugyanaz a grafikondarab ismétlődik a végtelenségig.

Tartomány: , azaz "x" bármely értékéhez van szinuszérték.

Értéktartomány: . A funkció az korlátozott: , vagyis az összes „játék” szigorúan a szegmensbe ül.
Ez nem történik meg: pontosabban megtörténik, de ezeknek az egyenleteknek nincs megoldásuk.

Elemi függvények és grafikonjaik

Egyenes arányosság. Lineáris függvény.

Fordított arány. Hiperbola.

másodfokú függvény. Négyzet alakú parabola.

Teljesítmény funkció. Exponenciális függvény.

logaritmikus függvény. trigonometrikus függvények.

Inverz trigonometrikus függvények.

1.	arányos értékeket. Ha változók yÉs x közvetlenül arányos, akkor a köztük lévő funkcionális függést a következő egyenlettel fejezzük ki: y = k x , ahol k- állandó érték ( arányossági tényező). Menetrend egyenes arányosság- az origón áthaladó és a tengellyel együtt kialakuló egyenes x szög, amelynek érintője k:tan= k(8. ábra). Ezért az arányossági együtthatót is nevezik lejtési tényező. A 8. ábra három grafikont mutat be k = 1/3, k= 1 és k = 3 .
2.	Lineáris függvény. Ha változók yÉs x 1. fokú egyenlettel összekapcsolva: Axe + By = C , ahol legalább az egyik szám A vagy B nem egyenlő nullával, akkor ennek a funkcionális függőségnek a grafikonja az egyenes. Ha C= 0, akkor átmegy az origón, egyébként nem. Lineáris függvénygrafikonok különféle kombinációkhoz A,B,Cábrán láthatók.
3.	Fordított arányosság. Ha változók yÉs x vissza arányos, akkor a köztük lévő funkcionális függést a következő egyenlettel fejezzük ki: y = k / x , ahol k- állandó érték. Inverz arányos ábrázolás - hiperbola (10. ábra). Ennek a görbének két ága van. Hiperbolákat akkor kapunk, ha egy körkúpot egy sík metsz (a kúpszeletekre lásd a „Sztereometria” fejezet „Kúp” című részét). A 10. ábrán látható, hogy a hiperbola pontjainak koordinátáinak szorzata állandó érték, példánkban 1. Általános esetben ez az érték egyenlő k, ami a hiperbola egyenletből következik: xy = k. A hiperbola főbb jellemzői és tulajdonságai: Funkció hatóköre: x 0, tartomány: y 0 ; A függvény monoton (csökkenő) at x< 0 és at x > 0, de nem monoton összességében a töréspont miatt x= 0 (gondold meg, miért?); Korlátlan függvény, nem folytonos egy ponton x= 0, páratlan, nem periodikus; - A függvénynek nincsenek nullái.
4.	Másodfokú függvény. Ez a funkció: y = fejsze 2 + bx + c, ahol a, b, c- állandó, a 0. A legegyszerűbb esetben: b=c= 0 és y = fejsze 2. Ennek a függvénynek a grafikonja négyzet parabola - az origón áthaladó görbe (11. ábra). Minden parabolának van szimmetriatengelye OY, ami az úgynevezett parabola tengely. Pont O parabola metszéspontját a tengelyével nevezzük a parabola teteje. Függvénygrafikon y = fejsze 2 + bx + c is egy ugyanolyan típusú négyzetes parabola, mint y = fejsze 2 , de a csúcsa nem az origóban van, hanem a koordinátákkal rendelkező pontban: Forma és hely négyzet parabola a koordinátarendszerben teljesen két paramétertől függ: az együtthatótól a nál nél x 2 és diszkriminatív D:D = b 2 – 4ac. Ezek a tulajdonságok a másodfokú egyenlet gyökeinek elemzéséből következnek (lásd a megfelelő részt az Algebra fejezetben). A négyzetes parabola összes lehetséges különböző esetét a 12. ábra mutatja.

Kérjük, rajzoljon négyzetes parabolát az esethez a > 0, D > 0 .

A négyzetes parabola főbb jellemzői és tulajdonságai:

Funkció hatóköre:  < x+ (azaz. x R ), és a terület

értékek: … (Kérjük, válaszoljon erre a kérdésre saját maga!);

A függvény egésze nem monoton, hanem a csúcstól jobbra vagy balra

monoton módon viselkedik;

A függvény korlátlan, mindenhol folyamatos, még for b = c = 0,

és nem időszakos;

- nál nél D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Teljesítmény funkció. Ez a funkció: y=ax n, ahol a, n- állandó. Nál nél n= 1-et kapunk egyenes arányosság: y=fejsze; nál nél n = 2 - négyzet parabola; nál nél n = 1 - fordított arányosság vagy túlzás. Így ezek a függvények egy hatványfüggvény speciális esetei. Tudjuk, hogy a nullától eltérő szám nulla hatványa egyenlő 1-gyel, tehát amikor n= 0 a hatványfüggvény állandóvá válik: y= a, azaz grafikonja a tengellyel párhuzamos egyenes x, kivéve a koordináták origóját (magyarázza meg, miért?). Mindezek az esetek (val a= 1) a 13. ábrán láthatók ( n 0) és 14. ábra ( n < 0). Отрицательные значения x itt nem vesszük figyelembe, mert akkor néhány funkció: Ha n- egész, teljesítmény függvényekértelmes és x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n páros vagy páratlan szám. A 15. ábrán két ilyen teljesítményfüggvény látható: for n= 2 és n = 3. Nál nél n= 2 a függvény páros és grafikonja szimmetrikus a tengelyre Y. Nál nél n= 3 a függvény páratlan és grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest. Funkció y = x 3 hívott köbös parabola. A 16. ábra a funkciót mutatja. Ez a függvény a négyzetes parabola inverze y = x 2 , grafikonját úgy kapjuk meg, hogy egy négyzet alakú parabola grafikonját az 1. koordinátaszög felezője körül elforgatjukEz egy módja annak, hogy bármely inverz függvény grafikonját megkapjuk az eredeti függvény grafikonjából. A grafikonon láthatjuk, hogy ez egy kétértékű függvény (ezt a négyzetgyök előtti  jel is jelzi). Az ilyen függvényeket az elemi matematikában nem tanulmányozzák, ezért függvényként általában annak egyik ágát tekintjük: felsőt vagy alsót.
6.	Demonstráció funkció. Funkció y = a x, ahol a egy pozitív állandó szám, ún exponenciális függvény. Érv x elfogadja bármilyen érvényes érték; a függvényértékek figyelembevételével csak pozitív számok, mivel egyébként többértékű függvényünk van. Igen, a funkció y = 81 x rendelkezik x= 1/4 négy különböző érték: y = 3, y = 3, y = 3 énÉs y = 3 én(Ellenőrizze kérem!). De csak a függvény értékének tekintjük y= 3. Az exponenciális függvény grafikonjai a= 2 és a= 1/2 a 17. ábrán láthatók. Áthaladnak a ponton (0, 1). Nál nél a= 1 van a tengellyel párhuzamos egyenes grafikonja x, azaz a függvény 1-gyel egyenlő konstans értékké változik. Amikor a> 1, az exponenciális függvény növekszik, és 0-nál< a < 1 – убывает. Az exponenciális függvény főbb jellemzői és tulajdonságai:  < x+ (azaz. x R ); hatótávolság: y> 0 ; A függvény monoton: vel növekszik a> 1, és 0-ra csökken< a < 1; - A függvénynek nincsenek nullák.
7.	Logaritmikus függvény. Funkció y= log a x, ahol aállandó pozitív szám, nem egyenlő 1-gyel nevezzük logaritmikus. Ez a függvény az exponenciális függvény inverze; grafikonját (18. ábra) úgy kaphatjuk meg, hogy az exponenciális függvény grafikonját az 1. koordinátaszög felezője körül elforgatjuk. A logaritmikus függvény főbb jellemzői és tulajdonságai: Funkció hatóköre: x> 0, és az értéktartomány:  < y+ (azaz. y R ); Ez egy monoton függvény: növekszik, mint a> 1, és 0-ra csökken< a < 1; A függvény korlátlan, mindenhol folyamatos, nem periodikus; A függvénynek egy nulla van: x = 1.
8.	trigonometrikus függvények. Építéskor trigonometrikus függvények használunk radián szögek mérése. Aztán a függvény y= bűn x grafikonnal ábrázolva (19. ábra). Ezt a görbét ún szinuszos. Függvénygrafikon y= cos x a 20. ábrán látható; ez is egy szinuszhullám, amely a gráf mozgatása következtében jön létre y= bűn x a tengely mentén x balra 2 Ezekből a grafikonokból jól láthatóak ezeknek a függvényeknek a jellemzői és tulajdonságai: Tartomány:  < x+  tartomány: -1 y +1; Ezek a függvények periodikusak: periódusuk 2; Korlátozott funkciók (| y| , mindenhol folyamatos, nem monoton, hanem miután ún időközönként egyhangúság, amelyen belül ők úgy viselkedik mint monoton funkciók(lásd a 19. és a 20. ábrákat); A függvényeknek végtelen számú nullája van (további részletekért lásd a részt "Trigonometrikus egyenletek"). Függvénygrafikonok y= cser xÉs y= kiságy x a 21. és a 22. ábrán láthatók A grafikonokból látható, hogy ezek a függvények: periodikusak (periódusuk , korlátlan, általában nem monoton, de vannak monoton intervallumok (mi?), nem folytonos (milyen töréspontjaik vannak ezeknek a függvényeknek?). Vidék ezeknek a függvényeknek a meghatározásai és köre:
9.	Inverz trigonometrikus függvények. Az inverzek definíciói trigonometrikus függvények és fő tulajdonságaikat adjuk meg azonos nevű szakaszt a „Trigonometria” fejezetben. Ezért itt korlátozzuk magunkat csak rövid megjegyzések érkeztek grafikonjaikkal kapcsolatban a trigonometrikus függvények grafikonjainak az 1. felezőpontja körüli elforgatásával koordináta szög.

Funkciók y= Arcsin x(23. ábra) és y= Arccos x(24. ábra) sokértékű, korlátlan; definíciós tartományuk, illetve értéktartományuk: 1 x+1 és  < y+ . Mivel ezek a függvények többértékűek,

Az elemi matematikában figyelembe véve fő értékeik inverz trigonometrikus függvények: y= arcsin xÉs y= arccos x; grafikonjaikat a 23. és a 24. ábrákon félkövér vonalak jelzik.

Funkciók y= arcsin xÉs y= arccos x a következő jellemzőkkel és tulajdonságokkal rendelkezik:

Mindkét függvénynek ugyanaz a definíciós tartománya: -1 x +1 ;

tartományuk a következő: /2 y/2 for y= arcsin xés 0 y számára y= arccos x;

(y= arcsin x növekvő funkciója; y= arccos x- csökkenő);

Minden függvénynek van egy nullája ( x= 0 a függvényre y= arcsin xÉs

x= 1 a függvényre y= arccos x).

Funkciók y= Arctan x(25. ábra) és y= Arccot x (26. ábra) - többértékű, korlátlan funkciók; meghatározási területük:  x+ . Fő jelentéseik y= arctan xÉs y= arccot x inverz trigonometrikus függvényeknek tekintendők; grafikonjaik a 25. és a 26. ábrán félkövér ágakkal vannak kiemelve.

Funkciók y= arctan xÉs y= arccot x a következő jellemzőkkel és tulajdonságokkal rendelkezik:

Mindkét funkció hatóköre azonos:  x + ;

tartományuk a következő: /2 <y < /2 для y= arctan xés 0< y < для y= arccos x;

A függvények korlátosak, nem periodikusak, folytonosak és monotonok

(y= arctan x növekvő funkciója; y= arccot x- csökkenő);

Csak funkció y= arctan x egyetlen nulla van ( x = 0);

funkció y = arccot x nincsenek nullák.

A lineáris függvény y=kx+b alakú függvény, ahol x független változó, k és b tetszőleges számok.
A lineáris függvény grafikonja egy egyenes.

1. Függvénygrafikon ábrázolásához szükségünk van a függvény grafikonjához tartozó két pont koordinátáira. Megtalálásukhoz fel kell venni két x értéket, be kell cserélni a függvény egyenletébe, és ki kell számítani belőlük a megfelelő y értékeket.

Például az y= x+2 függvény ábrázolásához célszerű x=0 és x=3, ekkor ezeknek a pontoknak az ordinátái egyenlők lesznek y=2 és y=3 értékekkel. Az A(0;2) és B(3;3) pontot kapjuk. Kössük össze őket, és kapjuk meg az y= x+2 függvény grafikonját:

2. Az y=kx+b képletben a k számot arányossági tényezőnek nevezzük:
ha k>0, akkor az y=kx+b függvény növekszik
ha k
A b együttható a függvény grafikonjának eltolódását mutatja az OY tengely mentén:
ha b>0, akkor az y=kx+b függvény grafikonját az y=kx függvény grafikonjából kapjuk úgy, hogy b egységet felfelé tolunk az OY tengely mentén
ha b
Az alábbi ábra az y=2x+3 függvények grafikonjait mutatja; y=½x+3; y=x+3

Vegye figyelembe, hogy ezekben a függvényekben a k együttható Nulla felett,és a funkciók azok növekvő. Sőt, minél nagyobb a k értéke, annál nagyobb az egyenes dőlésszöge az OX tengely pozitív irányához képest.

Minden függvényben b=3 - és azt látjuk, hogy minden gráf a (0;3) pontban metszi az OY tengelyt.

Tekintsük most az y=-2x+3 függvények grafikonjait; y=-½ x+3; y=-x+3

Ezúttal minden függvényben a k együttható nullánál kisebbés jellemzői csökken. A b=3 együttható, és a grafikonok, mint az előző esetben, a (0;3) pontban keresztezik az OY tengelyt.

Tekintsük az y=2x+3 függvények grafikonjait; y=2x; y=2x-3

Most minden függvényegyenletben a k együtthatók 2-vel egyenlők. És kaptunk három párhuzamos egyenest.

De a b együtthatók eltérőek, és ezek a grafikonok különböző pontokban metszik az OY tengelyt:
Az y=2x+3 (b=3) függvény grafikonja a (0;3) pontban metszi az OY tengelyt.
Az y=2x (b=0) függvény grafikonja a (0;0) pontban - az origóban - keresztezi az OY tengelyt.
Az y=2x-3 (b=-3) függvény grafikonja a (0;-3) pontban metszi az OY tengelyt.

Tehát, ha ismerjük a k és b együtthatók előjeleit, akkor azonnal el tudjuk képzelni, hogy néz ki az y=kx+b függvény grafikonja.
Ha k 0

Ha k>0 és b>0, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k>0 és b, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k=0, akkor az y=kx+b függvény y=b függvénnyel alakul, és a grafikonja így néz ki:

Az y=b függvény grafikonjának minden pontjának ordinátája egyenlő b Ha b=0, akkor az y=kx (egyenes arányosság) függvény grafikonja átmegy az origón:

3. Külön megjegyezzük az x=a egyenlet grafikonját. Ennek az egyenletnek a grafikonja egy, az OY tengellyel párhuzamos egyenes, amelynek minden pontja x=a abszcissza.

Például az x=3 egyenlet grafikonja így néz ki:
Figyelem! Az x=a egyenlet nem függvény, ezért az argumentum egyik értéke megfelel különböző jelentések függvényt, amely nem egyezik a függvénydefinícióval.

4. Két egyenes párhuzamosságának feltétele:

Az y=k 1 x+b 1 függvény grafikonja párhuzamos az y=k 2 x+b 2 függvény grafikonjával, ha k 1 =k 2

5. A feltétel, hogy két egyenes merőleges legyen:

Az y=k 1 x+b 1 függvény grafikonja merőleges az y=k 2 x+b 2 függvény grafikonjára, ha k 1 *k 2 =-1 vagy k 1 =-1/k 2

6. Az y=kx+b függvény grafikonjának metszéspontjai a koordinátatengelyekkel.

OY tengellyel. Az OY tengelyhez tartozó bármely pont abszcissza nullával egyenlő. Ezért az OY tengellyel való metszéspont megtalálásához x helyett nullát kell helyettesítenie a függvény egyenletében. y=b-t kapunk. Azaz az OY tengellyel való metszéspontnak vannak koordinátái (0;b).

Az x tengellyel: Az x tengelyhez tartozó bármely pont ordinátája nulla. Ezért az OX tengellyel való metszéspont megtalálásához a függvény egyenletében y helyett nullát kell behelyettesíteni. 0=kx+b-t kapunk. Ezért x=-b/k. Vagyis az OX tengellyel való metszéspontnak vannak koordinátái (-b / k; 0):

Először próbálja meg megtalálni a funkció hatókörét:

Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszokat:

Rendben? Szép munka!

Most próbáljuk meg megtalálni a függvény tartományát:

Megtalált? Összehasonlítás:

Megegyezett? Szép munka!

Dolgozzunk ismét a grafikonokkal, csak most egy kicsit nehezebb - megtalálni a függvény tartományát és a függvény tartományát is.

Hogyan lehet megtalálni a tartományt és a funkció tartományát (speciális)

Íme, mi történt:

A grafikával szerintem rájöttél. Most próbáljuk meg megtalálni a függvény tartományát a képletekkel összhangban (ha nem tudja, hogyan kell ezt megtenni, olvassa el az erről szóló részt):

Sikerült? Ellenőrzés válaszol:

1. , mivel a gyökérkifejezésnek nullánál nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie.
2. , mivel nem lehet nullával osztani, és a gyök kifejezés nem lehet negatív.
3. , hiszen, illetve mindenre.
4. mert nullával nem lehet osztani.

Van azonban még egy pillanat, amit még nem sikerült megoldani...

Hadd ismételjem meg a meghatározást, és összpontosítsak rá:

Megjegyezte? A „csak” szó nagyon-nagyon fontos eleme definíciónknak. Megpróbálom az ujjakon elmagyarázni.

Tegyük fel, hogy van egy egyenes által adott függvényünk. . Amikor ezt az értéket behelyettesítjük a "szabályunkba", és megkapjuk azt. Egy érték egy értéknek felel meg. Akár egy táblázatot is készíthetünk különféle értékekből, és ennek ellenőrzésére ábrázolhatunk egy adott függvényt.

"Néz! - azt mondod - "" kétszer találkozik!" Tehát lehet, hogy a parabola nem függvény? Nem, ez!

Az a tény, hogy a "" kétszer fordul elő, korántsem ok arra, hogy a parabolát kétértelműséggel vádoljuk!

A helyzet az, hogy a számítás során egy meccset kaptunk. És ha ezzel számolunk, egy játékot kaptunk. Tehát ez így van, a parabola egy függvény. Nézd meg a táblázatot:

Megvan? Ha nem, akkor itt van egy valós példa számodra, messze a matematikától!

Tegyük fel, hogy van egy csoport pályázónk, akik találkoztak a dokumentumok benyújtásakor, és mindegyikük egy beszélgetés során elmondta, hol él:

Egyetértek, teljesen valós, hogy több srác él ugyanabban a városban, de lehetetlen, hogy egy ember egyszerre több városban éljen. Ez mintegy logikus ábrázolása a "parabolánknak" - Ugyanannak az y-nek több különböző x felel meg.

Most jöjjön egy példa, ahol a függőség nem függvény. Tegyük fel, hogy ugyanezek a srácok elmondták, milyen szakokra jelentkeztek:

Nálunk teljesen más a helyzet: egy ember könnyedén jelentkezhet egy vagy több irányra. Azaz egy elemet készletek kerülnek levelezésbe több elemet készletek. Illetőleg, ez nem funkció.

Teszteljük tudásunkat a gyakorlatban.

Határozza meg a képek alapján, hogy mi a függvény és mi nem:

Megvan? És itt van válaszol:

• A függvény - B,E.
• Nem függvény – A, B, D, D.

Kérded miért? Igen, ezért:

Minden ábrán, kivéve BAN BEN)És E) több van egyért!

Biztos vagyok benne, hogy most könnyen meg lehet különböztetni egy függvényt a nem függvénytől, megmondhatja, mi az argumentum és mi a függő változó, valamint meghatározhatja az argumentum és a függvény hatókörét. Térjünk át a következő részre – hogyan definiáljunk függvényt?

A funkció beállításának módjai

Szerinted mit jelentenek a szavak "beállítás funkció"? Így van, ez azt jelenti, hogy mindenkinek el kell magyarázni, hogy ebben az esetben milyen funkcióról beszélünk. Sőt, úgy magyarázd, hogy mindenki jól értsen, és az emberek által a te magyarázatod szerint rajzolt függvénygrafikonok ugyanazok legyenek.

Hogyan tudom ezt megtenni? Hogyan állítsunk be egy funkciót? A legegyszerűbb módja, amelyet ebben a cikkben már többször használtak - képlet segítségével.Írunk egy képletet, és egy értéket behelyettesítve kiszámoljuk az értéket. És amint emlékszel, a képlet egy törvény, egy szabály, amely szerint számunkra és egy másik személy számára is világossá válik, hogyan válik X-ből Y.

Általában pontosan ezt csinálják - a feladatokban képletekkel definiált kész függvényeket látunk, de vannak más módok is a függvény beállítására, amiről mindenki megfeledkezik, és ezért felvetődik a „hogyan tud még beállítani egy függvényt?” összezavarja. Nézzünk meg mindent sorban, és kezdjük az elemzési módszerrel.

A függvény meghatározásának analitikus módja

Az analitikai módszer egy függvény feladata egy képlet segítségével. Ez a leguniverzálisabb, legátfogóbb és legegyértelműbb módszer. Ha van képlete, akkor abszolút mindent tud a függvényről - készíthet rajta értéktáblázatot, készíthet grafikont, meghatározhatja, hol nő és hol csökken a függvény, általában, fedezze fel. teljesen.

Tekintsünk egy függvényt. mit számít?

"Mit jelent?" - kérdezed. most elmagyarázom.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a jelölésben a zárójelben lévő kifejezést argumentumnak nevezzük. Ez az érv pedig bármilyen kifejezés lehet, nem feltétlenül egyszerű. Ennek megfelelően, bármilyen legyen is az argumentum (zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe.

Példánkban ez így fog kinézni:

Tekintsen egy másik feladatot, amely a vizsgán megjelenő funkció meghatározásának analitikai módszeréhez kapcsolódik.

Keresse meg a kifejezés értékét, at.

Biztos vagyok benne, hogy először megijedtél, amikor megláttál egy ilyen kifejezést, de semmi ijesztő nincs benne!

Minden ugyanaz, mint az előző példában: bármi legyen is az argumentum (zárójelben lévő kifejezés), azt írjuk be a kifejezésbe. Például egy funkcióhoz.

Mit kell tenni a példánkban? Ehelyett írnod ​​kell, és a - helyett:

rövidítse le a kapott kifejezést:

Ez minden!

Önálló munkavégzés

Most próbálja meg saját maga megtalálni a következő kifejezések jelentését:

1. , ha
2. , ha

Sikerült? Hasonlítsuk össze a válaszainkat: Megszoktuk, hogy a függvénynek van formája

Példánkban is így definiáljuk a függvényt, de analitikusan lehetséges például implicit módon is definiálni a függvényt.

Próbálja meg saját maga megépíteni ezt a funkciót.

Sikerült?

Így építettem fel.

Milyen egyenlethez jutottunk?

Jobb! Lineáris, ami azt jelenti, hogy a grafikon egy egyenes lesz. Készítsünk egy táblázatot annak meghatározására, hogy mely pontok tartoznak a vonalunkhoz:

Éppen erről beszéltünk... Egy többnek felel meg.

Próbáljuk meg lerajzolni, mi történt:

Funkciója van annak, amit kaptunk?

Így van, nem! Miért? Próbálj meg egy kép segítségével válaszolni erre a kérdésre. Mit kaptál?

"Mert egy érték több értéknek felel meg!"

Milyen következtetést vonhatunk le ebből?

Így van, egy függvényt nem lehet mindig kifejezetten kifejezni, és ami függvénynek van "álcázva", az nem mindig függvény!

A függvény meghatározásának táblázatos módja

Ahogy a neve is sugallja, ez a módszer egy egyszerű lemez. Igen igen. Mint amit már készítettünk. Például:

Itt azonnal észrevett egy mintát - Y háromszor nagyobb, mint X. És most a „gondolkozz nagyon jól” feladat: szerinted egy táblázat formájában megadott függvény egyenértékű a függvénnyel?

Ne beszéljünk sokáig, hanem rajzoljunk!

Így. Mindkét módon adott függvényt rajzolunk:

Látod a különbséget? Nem a megjelölt pontokról van szó! Nézze meg közelebbről:

most láttad? Amikor táblázatos módon állítjuk be a függvényt, akkor a grafikonon csak azokat a pontokat tükrözzük, amelyek a táblázatban szerepelnek, és az egyenes (mint esetünkben) csak rajtuk halad át. Amikor egy függvényt analitikus módon definiálunk, tetszőleges pontot vehetünk, és a funkciónk nem korlátozódik ezekre. Itt van egy ilyen funkció. Emlékezik!

Grafikus módszer egy függvény felépítésére

A függvény grafikus elkészítésének módja nem kevésbé kényelmes. Megrajzoljuk a függvényünket, és egy másik érdeklődő megtalálja, hogy y mi egyenlő egy bizonyos x-nél, és így tovább. A grafikus és analitikai módszerek a leggyakoribbak.

Itt azonban emlékezni kell arra, amiről a legelején beszéltünk - nem minden koordináta-rendszerben megrajzolt „pörgés” függvény! Emlékezett? Minden esetre idemásolom a függvény definícióját:

Általában az emberek általában pontosan azt a három módszert nevezik meg a függvény megadásának, amelyet elemeztünk - analitikus (képlet segítségével), táblázatos és grafikus, teljesen megfeledkezve arról, hogy egy függvény leírható szóban is. Mint ez? Igen, nagyon könnyű!

A funkció szóbeli leírása

Hogyan írjuk le a funkciót szóban? Vegyük a legutóbbi példánkat - . Ez a funkció leírható: "x minden valós értéke a hármas értékének felel meg". Ez minden. Semmi bonyolult. Természetesen tiltakozni fog – „olyan sokan vannak összetett funkciók amit egyszerűen lehetetlen szóban megkérdezni!” Igen, vannak ilyenek, de vannak olyan függvények, amelyeket egyszerűbb szóban leírni, mint képlettel beállítani. Például: "x minden természetes értéke a benne lévő számjegyek különbségének felel meg, míg a számbevitelben szereplő legnagyobb számjegyet vesszük a minuendnek." Most nézzük meg, hogyan valósul meg a gyakorlatban a funkció szóbeli leírása:

Egy adott szám legnagyobb számjegye - rendre - csökken, majd:

A funkciók fő típusai

Most térjünk át a legérdekesebbre - megvizsgáljuk azokat a fő függvénytípusokat, amelyekkel az iskolai és az intézeti matematika során dolgozott / dolgozott és fog dolgozni, vagyis megismerjük őket, úgymond, és Add nekik rövid leírás. Olvasson többet az egyes funkciókról a megfelelő részben.

Lineáris függvény

Az űrlap függvénye ahol, - valós számok.

Ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenes, így a lineáris függvény felépítése két pont koordinátájának megkeresésére redukálódik.

Közvetlen pozíció bekapcsolva Koordináta sík a lejtéstényezőtől függ.

A függvény hatóköre (más néven argumentumtartomány) - .

Az értéktartomány a.

másodfokú függvény

Az űrlap függvénye, hol

A függvény grafikonja parabola, amikor a parabola ágai lefelé, amikor - felfelé irányulnak.

A másodfokú függvény számos tulajdonsága a diszkrimináns értékétől függ. A diszkriminánst a képlet számítja ki

A parabola helyzete a koordinátasíkon az értékhez és az együtthatóhoz képest az ábrán látható:

Tartomány

Az értékek tartománya az adott függvény szélsőértékétől (a parabola csúcsától) és az együtthatótól (a parabola ágainak irányától) függ.

Fordított arányosság

A képlet által adott függvény, ahol

A számot fordított arányossági tényezőnek nevezzük. Az értéktől függően a hiperbola ágai különböző négyzetekben vannak:

Tartomány - .

Az értéktartomány a.

ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLET

1. A függvény egy olyan szabály, amely szerint a halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a halmaz egyedi elemét.

• - ez egy függvényt jelölő képlet, vagyis az egyik változó függőségét a másiktól;
• - változó vagy argumentum;
• - függő érték - megváltozik, ha az argumentum megváltozik, vagyis egyesek szerint bizonyos képlet, amely egy mennyiségnek a másiktól való függőségét tükrözi.

2. Érvényes argumentumértékek, vagy egy függvény hatóköre az, ami összefügg azzal a lehetőséggel, amely alatt a függvénynek értelme van.

3. A függvényértékek tartománya- ez milyen értékeket igényel, érvényes értékekkel.

4. A funkció négyféleképpen állítható be:

• elemző (képletekkel);
• táblázatos;
• grafikus
• szóbeli leírás.

5. A függvények fő típusai:

• : , ahol valós számok;
• : , ahol;
• : , ahol.