Mivel a jelzett területek rendre egyenlőek

S∆OAC=0,5∙OC∙OA bűn α= 0,5 sinα, S szekt. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC= 0,5 tga.

Következésképpen,

sinα< α < tg α.

Az egyenlőtlenség összes tagját elosztjuk sin α > 0-val: .

De . Ezért a határértékekről szóló 4. Tétel alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a származtatott formulát az első figyelemre méltó határértéknek nevezzük.

Így az első figyelemre méltó határ a bizonytalanság feltárására szolgál. Vegye figyelembe, hogy a kapott képletet nem szabad összetéveszteni a határértékekkel Példák.

11.Limit és a kapcsolódó korlátok.

MÁSODIK FIGYELMEZTETŐ HATÁR

A második figyelemre méltó határérték az 1 ∞ bizonytalanság feltárására szolgál, és így néz ki

Figyeljünk arra, hogy a második figyelemre méltó határ képletében a kitevőnek olyan kifejezést kell tartalmaznia, amely az ellentéte annak, amit az egységhez adunk az alapban (hiszen ebben az esetben lehetőség van változtatásra változókból, és csökkentse a kívánt határt a második figyelemre méltó határértékre)

Példák.

1. Funkció f(x)=(x-1) 2 végtelenül kicsi x→1, mivel (lásd ábra).

2. Funkció f(x)=tg x végtelenül kicsi a x→0.

3. f(x)= log(1+ x) végtelenül kicsi a x→0.

4. f(x) = 1/x végtelenül kicsi a x→∞.

Állítsuk fel a következő fontos összefüggést:

Tétel. Ha a funkció y=f(x) képviselhető at x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsi α(x): f(x)=b+ α(x) azután .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), ahol fejsze) végtelenül kicsi a x→a.

Bizonyíték.

1. Bizonyítsuk be az állítás első részét. Az egyenlőségtől f(x)=b+α(x) kellene |f(x) – b|=| α|. De azóta fejsze) infinitezimális, akkor tetszőleges ε esetén van δ, a pont szomszédsága a, mindenkinek x ahonnan, értékek fejsze) kielégíti a kapcsolatot |α(x)|< ε. Azután |f(x) – b|< ε. Ez pedig azt jelenti, hogy.

2. Ha , akkor bármely ε esetén >0 mindenkinek x valamilyen δ a pont szomszédsága a akarat |f(x) – b|< ε. De ha jelöljük f(x) – b= α, azután |α(x)|< ε, ami azt jelenti a- végtelenül kicsi.

Tekintsük az infinitezimális függvények főbb tulajdonságait.

1. tétel. Kettő, három és általában tetszőleges számú végtelen szám algebrai összege egy végtelen kicsi függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Legyen f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges tetszőlegesen kicsi ε esetén > 0 ott δ> 0, olyan, hogy a x az egyenlőtlenség kielégítése |x- a|<δ , előadták |f(x)|< ε.

Így egy tetszőleges ε számot rögzítünk > 0. Mivel a tétel hipotézise szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor létezik δ 1 > 0, amely at |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, amely at |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vessünk δ=min(δ1 , δ2 } .Akkor a pont szomszédságában a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. A munka végtelen kis funkció fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) nál nél x→a(vagy mikor x→∞) egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Mivel a funkció f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x a pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af- végtelenül kicsi. Az esethez x→∞ a bizonyítás is hasonló módon történik.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és akkor

2. következmény. Ha és c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke nem nulla, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Legyen . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátos függvény szorzata, azaz. függvény végtelenül kicsi.

Példák.

1. Világos, hogy azért x→+∞ funkció y=x 2+ 1 végtelen. Ekkor azonban a fent megfogalmazott tétel szerint a függvény infinitezimális at x→+∞, azaz .

A fordított tétel is igazolható.

2. tétel. Ha a funkció f(x)- végtelenül kicsi at x→a(vagy x→∞)és akkor nem tűnik el y= 1/f(x) egy végtelen függvény.

Te magad bizonyítsd be a tételt.

Példák.

3. , mivel a és függvények végtelenül kicsik x→+∞, akkor mivel az infinitezimális függvények összege egy infinitezimális függvény. A függvény egy állandó szám és egy végtelenül kicsi függvény összege. Ezért az 1. Tétel infinitezimális függvényekre megkapjuk a szükséges egyenlőséget.

Így a végtelenül kicsi és végtelenül nagy függvények legegyszerűbb tulajdonságai a következő feltételes összefüggésekkel írhatók fel: A≠ 0

13. Végtelenül kicsi, azonos rendű függvények, ekvivalens végtelenül kicsi.

Végtelenül kicsi függvények és nevezzük végtelenül kicsinységi sorrendben, ha , jelöli. És végül, ha nem létezik, akkor végtelenül kicsi függvények és összehasonlíthatatlanok.

2. PÉLDA Infinitezimális függvények összehasonlítása

Egyenértékű infinitezimális függvények.

Ha , akkor infinitezimális függvényeket és hívjuk egyenértékű, jelölje ~ .

Helyileg egyenértékű funkciók:

Mikor ha

Néhány egyenértékűség(nál nél ):

Egyoldalú korlátok.

Eddig egy függvény határának meghatározását vettük figyelembe, amikor x→aönkényesen, azaz. a függvény határa nem attól függött, hogy a x felé a, balra vagy jobbra a. Azonban meglehetősen gyakori, hogy olyan függvényeket találunk, amelyeknek nincs korlátja ebben a feltételben, de van korlátjuk, ha x→a, az egyik oldalán maradva de, balra vagy jobbra (lásd az ábrát). Ezért bevezetik az egyoldalú korlátok fogalmát.

Ha f(x) a határig hajlik b nál nél x valamilyen számra törekedve aígy x csak kisebb értékeket vesz fel a, majd írj és hívj az f(x) függvény határértéke a bal oldali a pontban.

Tehát a szám b függvény határértékének nevezzük y=f(x) nál nél x→a a bal oldalon, ha van pozitív ε szám, van egy δ szám (kisebb, mint a

Hasonlóképpen, ha x→aés nagy értékeket vesz fel a, majd írj és hívj b függvényhatár egy ponton de jobb oldalon. Azok. szám b hívott az y=f(x) függvény határértéke a jobb oldali x→a pontban, ha van pozitív ε szám, van ilyen δ (nagyobb, mint de) hogy az egyenlőtlenség mindenkire érvényes.

Vegye figyelembe, hogy ha a határértékek egy ponton balra és jobbra vannak a funkcióhoz f(x) nem egyezik, akkor a függvénynek nincs (kétoldali) határa a ponton de.

Példák.

1. Tekintsük a függvényt y=f(x), a szegmensen az alábbiak szerint definiálva

Keressük meg a függvény határait f(x) nál nél x→ 3. Nyilvánvalóan a

Más szóval, tetszőlegesen kis számú epszilon esetén van olyan delta, az epszilonoktól függően, hogy abból, hogy bármely x esetén, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, az következik, hogy a függvény értékeinek különbsége ezekben a pontokban önkényesen kicsi legyen.

Egy függvény folytonosságának kritériuma egy pontban:

Funkció akarat folyamatos az A pontban akkor és csak akkor folytonos az A pontban a jobb és a bal oldalon is, azaz ahhoz, hogy az A pontban két egyoldalú határérték létezzen, egyenlők egymással és egyenlőek a függvény az A pontban.

2. definíció: A funkció folyamatos halmazon, ha ennek a halmaznak minden pontján folytonos.

Függvény származéka egy pontban

Legyen adott a szomszédságában definiálva. Fontolgat

Ha ez a határ létezik, akkor hívják az f függvény deriváltja a pontban.

Függvény derivált- a függvénynövekmény és az argumentumnövekmény arányának határa, amikor az argumentum növekszik.

A derivált egy pontban történő kiszámításának vagy megtalálásának műveletét nevezzük különbségtétel .

Differenciálási szabályok.

derivált funkciókat f(x) azon a ponton x=x 0 a függvény növekményének ezen a ponton és az argumentum növekményének aránya, mivel az utóbbi nullára hajlik. különbségtétel. Egy függvény deriváltját az általános differenciálási szabály szerint számítjuk ki: Jelöljük f(x) = u, g(x) = v- egy ponton differenciálható függvények x. A megkülönböztetés alapszabályai 1) (az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével) 2) (ebből különösen az következik, hogy egy függvény és egy állandó szorzatának deriváltja egyenlő e függvény deriváltjának szorzatával állandóval) 3) Hányados deriváltja: ha g  0 4) Komplex függvény deriváltja: 5) Ha a függvény paraméteresen van beállítva: , akkor

Példák.

1. y = x a - teljesítmény funkció tetszőleges indexszel.

Implicit függvény

Ha a függvényt az y-hoz képest feloldott y=ƒ(x) egyenlet adja meg, akkor a függvény explicit módon (explicit függvény) van megadva.

Alatt implicit hozzárendelés A függvények egy függvény hozzárendelését F(x;y)=0 egyenlet formájában értik, y vonatkozásában nem megengedett.

Nyilvánvalóan bármelyik adott funkciót y=ƒ(x) implicit módon felírható egyenlettel adottƒ(x)-y=0, de nem fordítva.

Nem mindig könnyű, sőt néha lehetetlen megoldani egy egyenletet y-ra (például y+2x+kényelmes-1=0 vagy 2y-x+y=0).

Ha az implicit függvényt az F(x; y)=0 egyenlet adja, akkor y deriváltjának megtalálásához x-re vonatkozóan nem kell megoldani az y-re vonatkozó egyenletet: elegendő ezt az egyenletet x függvényében megkülönböztetni, miközben y-t x függvényének tekintjük, majd oldja meg a kapott egyenletet y-ra vonatkozóan".

Egy implicit függvény deriváltja az x argumentum és az y függvény segítségével fejeződik ki.

Példa:

Határozzuk meg az x 3 +y 3 -3xy=0 egyenlet által adott y függvény deriváltját!

Megoldás: Az y függvény implicit módon definiált. Differenciáld x-hez az x 3 +y 3 -3xy=0 egyenlőséget. A kapott arányból

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

ebből következik, hogy y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, azaz y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Magasabb rendek származékai

Nyilvánvaló, hogy a származék

funkciókat y=f(x) től van funkció is x:

y"=f" (x)

Ha a funkció f"(x) differenciálható, akkor származékát a szimbólum jelöli y""=f""(x) x kétszer.
A második derivált származéka, i.e. funkciókat y""=f""(x), nak, nek hívják az y=f(x) függvény harmadik deriváltja vagy a harmadrendű f(x) függvény deriváltjaés szimbolizálja

Egyáltalán n-i származéka vagy származéka n-th order funkció y=f(x) szimbólumokkal jelöljük

F-la Leibniz:

Tegyük fel, hogy a és függvények származékaikkal együtt n-edik rendűekig differenciálhatók. Két függvény szorzatának differenciálási szabályát alkalmazva megkapjuk

Hasonlítsuk össze ezeket a kifejezéseket a binomiális hatványaival:

Meglepő a megfelelési szabály: ahhoz, hogy az és függvények szorzatából egy képletet kapjunk az 1., 2. vagy 3. sorrend deriválására, ki kell cserélni a fokokat és a (ahol) kifejezésben n= 1,2,3) a megfelelő rendek származékai. Ezen túlmenően a és a nulladik hatványait nulladrendű származékokra kell cserélni, amelyek a és a függvényeket jelentik:

Általánosítva ezt a szabályt tetszőleges sorrendű derivált esetére n, kapunk Leibniz-képlet,

hol vannak a binomiális együtthatók:

Rolle tétele.

Ez a tétel lehetővé teszi a kritikus pontok megtalálását, majd a felhasználást elegendő feltételeket fedezze fel az f-yu-t a szélsőségekért.

Legyen 1) az f-edik f(x) definiált és folytonos valamilyen zárt intervallumon ; 2) van véges derivált, legalább az (a;b) nyitott intervallumban; 3) a végén f-i intervallum egyenlő értékeket vesz fel f(a) = f(b). Ekkor az a és b pont között van egy olyan c pont, hogy a derivált ebben a pontban = 0 lesz.

A szakaszon folytonos f-edek tulajdonságára vonatkozó tétel szerint az f-edik f(x) felveszi ennek a szakasznak a max és min értékét.

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ;x 2 О

1) Legyen M = m, azaz. m £ f(x) £ M

Þ f-edik f(x) az a-tól b-ig terjedő konstans értékeket veszi fel, és Þ deriváltja egyenlő lesz nullával. f'(x)=0

2) Legyen M>m

Mivel a tétel feltételei szerint f(a) = f(b) z a legkisebb vagy a legnagyobb f-edik érték nem a szakasz végeit veszi fel, hanem Þ M-et vagy m-t a szakasz egy belső pontjában. Ekkor a Fermat-tétel alapján f'(c)=0.

Lagrange-tétel.

Véges növekmény képlete vagy Lagrange átlagérték tétel kimondja, hogy ha a függvény f folyamatos a szakaszon [ a;b] és differenciálható az intervallumban ( a;b), akkor van egy olyan pont, hogy

Cauchy-tétel.

Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az intervallumon és differenciálhatók az (a, b) intervallumon és g¢(x) ¹ 0 az (a, b) intervallumon, akkor legalább egy pont e, a< e < b, такая, что

Azok. a függvények növekményeinek aránya on ezt a szegmenst egyenlő a deriváltak arányával az e pontban. Példák az előadások problémamegoldó tanfolyamára A testtérfogat számítása által híres terekövé párhuzamos szakaszok Integrálszámítás

Kiviteli példák lejáratú papírok villamosmérnök

Ennek a tételnek a bizonyítására első pillantásra nagyon kényelmes a Lagrange-tétel használata. Írja fel minden függvényhez a véges különbség képletét, majd osszák el őket egymással. Ez a nézet azonban téves, mert az egyes függvények e pontja általában eltérő. Természetesen bizonyos speciális esetekben ez az intervallumpont mindkét függvénynél azonos lehet, de ez nagyon ritka egybeesés, nem szabály, ezért nem használható a tétel bizonyítására.

Bizonyíték. Vegye figyelembe a segítő funkciót

Ha x→x 0, akkor c értéke is x 0-ra hajlik; lépjük át az előző egyenlőséget a határig:

Mivel , azután .

Ezért

(két infinitezimális arányának határa megegyezik származékaik arányának határával, ha ez utóbbi létezik)

L'Hopital szabálya, ∞ / ∞.

Meghívjuk az y=f(x) BOUNDED UP (BOTTOM) függvényt az A halmazon a D(f) tartományból, ha van ilyen szám M , hogy ebből bármely x-re állítsa be a feltételt

Logikai szimbólumok használatával a definíció a következőképpen írható fel:

f(x) – felülről határolt a forgatáson

(f(x) – alulról határolt a forgatáson

Az abszolút értékben korlátos vagy egyszerűen korlátos függvényeket is figyelembe kell venni.

Az A halmazra BOUNDED függvényt hívunk meg a definíciós tartományból, ha létezik olyan pozitív M szám,

A logikai szimbólumok nyelvén

f(x) – korlátozott a készleten

A nem korlátos függvényt korlátlannak nevezzük. Tudjuk, hogy a tagadással adott definícióknak kevés a tartalma. Ennek az állításnak definícióként történő megfogalmazásához a kvantorműveletek (3.6) és (3.7) tulajdonságait használjuk. Ekkor a függvény korlátosságának tagadása a logikai szimbólumok nyelvében a következőket adja:

f(x) – korlátozott a készleten

A kapott eredmény lehetővé teszi a következő definíció megfogalmazását.

A függvény tartományába tartozó A halmazon egy függvényt UNLIMITED-nek nevezünk, ha ezen a halmazon bármely pozitív M számhoz van ilyen értéke az x argumentumnak. , hogy az érték továbbra is meg fogja haladni M értékét, azaz.

Példaként tekintsük a függvényt

A teljes valós tengelyen van meghatározva. Ha a [–2;1] szakaszt vesszük (A halmaz), akkor rajta felülről és alulról is korlátos lesz.

Valójában annak kimutatásához, hogy felülről korlátos, figyelembe kell vennünk az állítmányt

és mutassuk meg, hogy létezik (létezik) M úgy, hogy a [–2;1] szakaszon felvett összes x-re igaz lesz

Nem nehéz ilyen M-t találni. Feltételezhetjük, hogy M = 7, a létezési kvantor legalább egy M értékét meg kell találni. Az ilyen M jelenléte megerősíti, hogy a [–2;1] szakaszon lévő függvény felülről korlátos.

Hatásának alulról való bizonyításához figyelembe kell vennünk az állítmányt

Ennek a predikátumnak az igazságát biztosító M értéke például M = -100.

Bizonyítható, hogy a függvény modulo korlátos lesz: a [–2;1] szakaszból minden x esetén a függvény értékei egybeesnek az értékeivel, ezért M-ként vehetjük , például az M = 7 előző értéke.

Mutassuk meg, hogy ugyanaz a függvény, de az intervallumon korlátlan lesz, azaz

Annak bizonyítására, hogy létezik ilyen x, vegyük figyelembe az állítást

Megkeresve az x szükséges értékeit az argumentum pozitív értékei között, azt kapjuk

Ez azt jelenti, hogy bármilyen pozitív Mwe-t veszünk is, az x értékei biztosítják az egyenlőtlenség teljesülését

arányból kapjuk.

Ha egy függvényt a teljes valós tengelyen figyelembe veszünk, akkor megmutathatjuk, hogy abszolút értékben korlátlan.

Valóban, az egyenlőtlenségtől

Vagyis akármekkora is a pozitív M, vagy biztosítja az egyenlőtlenség teljesülését.

EXTREME FUNKCIÓ.

A függvény a pontban van tól től lokális maximum (minimum), ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy for x¹ tól től ez a környék kielégíti az egyenlőtlenséget

főleg, hogy a szélsőpont csak a rés belső pontja lehet, és ebben kell definiálni az f(x)-t. Az extrémum hiányának lehetséges eseteit a 1-1. 8.8.

Ha egy függvény valamely intervallumon nő (csökken) és valamely intervallumon csökken (növekszik), akkor a pont tól től egy pont helyi maximum(minimális).

Az f(x) függvény maximumának hiánya egy pontban tól től így is megfogalmazható:

_______________________

f(x) maximuma c

Ez azt jelenti, hogy ha a c pont nem lokális maximumpont, akkor függetlenül attól, hogy milyen környéken található a c pont belsőként, van legalább egy x értéke, amely nem egyenlő c-vel, és amelyre . Így ha a c pontban nincs maximum, akkor előfordulhat, hogy ezen a ponton egyáltalán nincs extrémum, vagy lehet minimumpont (8.9. ábra).

Az extrémum fogalma összehasonlító értékelést ad egy függvény értékéről bármely ponton a közeli függvényekhez képest. A függvényértékek hasonló összehasonlítása elvégezhető valamely intervallum minden pontjára.

Egy függvény LEGNAGYOBB (MINIMÁLIS) értéke egy halmazon annak az értéke ennek a halmaznak egy pontjában, hogy – at . A függvény legnagyobb értékét a szakasz belső pontjában érjük el, a legkisebbet – a bal végén.

Egy szegmensre adott függvény legnagyobb (legkisebb) értékének meghatározásához ki kell választani a legnagyobb (legkisebb) számot a maximumok (minimumok) értékei közül, valamint a az intervallum végeit. Ez lesz a függvény legnagyobb (legkisebb) értéke. Ezt a szabályt később pontosítjuk.

A probléma megtalálása a legnagyobb és a legkisebb értékeket A nyitott intervallumú függvények nem mindig könnyen megoldhatók. Például a függvény

intervallumban (8.11. ábra) nem rendelkezik velük.

Győződjön meg arról, hogy például nem ennek a függvénynek van a legnagyobb értéke. Valójában, tekintettel a függvény monotonitására, vitatható, hogy bármennyire is közel állítjuk x értékeit az egységtől balra, lesznek olyan x-ek, amelyekben a függvény értékei nagyobbak lesznek, mint értékei a megadott fix pontokon, de még mindig kisebbek, mint az egység.

Tétel a monoton függvény határértékéről. A tétel bizonyítása két módszerrel történik. Megadjuk a szigorúan növekvő, nem csökkenő, szigorúan csökkenő és nem növekvő függvények definícióit is. A monoton függvény definíciója.

A funkció felülről nincs korlátozva

1.1. Legyen a b szám véges: .
1.1.2. Legyen a függvény felülről korlátlan.

.

nál nél .

Jelöljük. Akkor minden létezik, szóval
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy a b pontban a bal oldali határérték a következő (lásd "Függvény egyoldali végtelen határértékeinek meghatározása a végpontban").

b korai plusz végtelen

A funkció felülről korlátozott

1. A függvény ne csökkenjen az intervallumon.
1.2.1. Határozza felülről a függvényt az M : for .
Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.

Mivel a függvény felülről korlátos, van véges felső korlát
.
A legkisebb felső korlát meghatározása szerint a következő feltételek teljesülnek:
;
minden pozitívum mellett van érv, amely mellett
.

Mivel a függvény nem csökken, akkor -ra. Aztán at . Vagy
nál nél .

Tehát azt találtuk, hogy bármelyikhez létezik egy szám, tehát ez
nál nél .
"Az egyoldalú határértékek meghatározása a végtelenben").

A funkció felülről nincs korlátozva

1. A függvény ne csökkenjen az intervallumon.
1.2. Legyen a b szám plusz végtelen: .
1.2.2. Legyen a függvény felülről korlátlan.
Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.

Mivel a függvény nem felülről korlátos, így bármely M számra van egy argumentum, amelyre
.

Mivel a függvény nem csökken, akkor -ra. Aztán at .

Tehát mindenhez van egy szám, tehát ez
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy az at határérték értéke (lásd "Az egyoldalú végtelen határértékek meghatározása a végtelennél").

A funkció nem növekszik

Most nézzük meg azt az esetet, amikor a függvény nem növekszik. A fentiek szerint mindegyik lehetőséget külön-külön megfontolhatja. De azonnal lefedjük őket. Ehhez használjuk. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.

Tekintsük a függvényértékek halmazának véges alsó korlátját:
.
Itt B lehet véges szám vagy pont a végtelenben. A pontos infimum meghatározása szerint a következő feltételek teljesülnek:
;
a B pont bármely szomszédságára van érv, amely mellett
.
A tétel feltétele szerint . Ezért .

Mivel a függvény nem növekszik, akkor a . Mert akkor
nál nél .
Vagy
nál nél .
Megjegyezzük továbbá, hogy az egyenlőtlenség határozza meg a b pont bal oldali szúrt környékét.

Tehát azt találtuk, hogy a pont bármely szomszédságában van a b pontnak olyan kilyukasztott bal környezete, hogy
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy a bal oldali határ a b pontban:

(lásd a függvény határának egyetemes definícióját Cauchy szerint).

Határérték az a pontban

Most mutassuk meg, hogy az a pontban van határ, és keressük meg az értékét.

Tekintsünk egy függvényt. A tétel feltétele szerint a függvény monoton -ra. Cseréljük ki az x változót -x-re (vagy végezzük el a helyettesítést, majd cseréljük ki a t változót x-re). Ekkor a függvény monoton . Az egyenlőtlenségeket megszorozva ezzel -1 és megváltoztatva a sorrendjüket, arra a következtetésre jutunk, hogy a függvény monoton .

Hasonló módon könnyen kimutatható, hogy ha nem csökken, akkor nem nő. Akkor a fentebb bizonyítottak szerint van egy határ
.
Ha nem növekszik, akkor nem csökken. Ebben az esetben van egy határ
.

Most már azt kell megmutatni, hogy ha van korlátja a függvénynek, akkor van korlátja a függvénynek is, és ezek a határértékek egyenlőek:
.

Bemutatjuk a jelölést:
(1) .
Fejezzük ki f-t g-vel:
.
Vegyünk egy tetszőleges pozitív számot. Legyen az A pont epszilon környéke. Az Epszilon szomszédság A véges és végtelen értékére is definiálva van (lásd "Egy pont szomszédsága"). Mivel van határ (1), akkor a határérték definíciója szerint bármelyikhez létezik olyan, hogy
nál nél .

Legyen a véges szám. Fejezzük ki az -a pont bal oldali szúrt környezetét az egyenlőtlenségek segítségével:
nál nél .
Helyettesítsük x-et -x-re, és vegyük figyelembe, hogy:
nál nél .
Az utolsó két egyenlőtlenség az a pont szúrt jobb oldali környezetét határozza meg. Azután
nál nél .

Legyen a végtelen szám, . Megismételjük a vitát.
nál nél ;
nál nél ;
nál nél ;
nál nél .

Tehát azt találtuk, hogy minden számára létezik ilyen
nál nél .
Ez azt jelenti
.

A tétel bizonyítást nyert.

Óra és előadás a témában: "Egy függvény tulajdonságai. Függvénynövelés és -csökkentés"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 9. osztály számára
Interaktív tanulmányi útmutató a 9. osztály számára "Szabályok és gyakorlatok a geometriában"
„Érthető geometria” elektronikus tankönyv 7-9

Srácok, folytatjuk a tanulást numerikus függvények. Ma egy olyan témára fogunk összpontosítani, mint a függvénytulajdonságok. A függvényeknek számos tulajdonsága van. Ne feledje, milyen tulajdonságokat vizsgáltunk a közelmúltban. Így van, hatókör és hatókör, ez az egyik legfontosabb tulajdonság. Soha ne feledkezzen meg róluk, és ne feledje, hogy egy függvény mindig rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal.

Ebben a részben a függvények néhány tulajdonságát fogjuk meghatározni. Azt, hogy milyen sorrendben határozzuk meg őket, azt javaslom, hogy kövesse a problémák megoldása során.

Funkció Növekvő és Csökkenő

Az első tulajdonság, amit meghatározunk, a függvény növekedése és csökkentése.

A függvény „növelésének” és „csökkentésének” fogalma nagyon könnyen érthető, ha alaposan megnézzük a függvény grafikonjait. Növekvő függvénynél: mintegy felfelé megyünk a dombra, csökkenő függvénynél lefelé megyünk. Általános forma A növekvő és csökkenő függvényeket az alábbi grafikonok mutatják be.

Egy függvény növekedését és csökkenését általában monotonitásnak nevezik. Azaz a feladatunk a csökkenő és növekvő függvények intervallumainak megtalálása. Általános esetben ezt a következőképpen fogalmazzuk meg: keressük meg a monotonitás intervallumait, vagy vizsgáljunk meg egy függvényt monotonitásra.

Vizsgáljuk meg a $y=3x+2$ függvény monotonitását!
Megoldás: Ellenőrizze a függvényt bármely x1 és x2 esetén, és legyen x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Mert x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Funkció korlátozás

Egy $y=f(x)$ függvényt alulról korlátosnak mondunk egy X⊂D(f) halmazon, ha létezik olyan a szám, amelyre bármely xϵX esetén az f(x) egyenlőtlenség< a.

Egy $y=f(x)$ függvényt felülről korlátosnak mondunk egy X⊂D(f) halmazon, ha létezik olyan a szám, amelyre bármely xϵX esetén az f(x) egyenlőtlenség< a.

Ha az X intervallum nincs feltüntetve, akkor azt tekintjük, hogy a függvény a teljes definíciós tartományban korlátozott. A fent és lent is korlátos függvényt korlátosnak nevezzük.

A függvény korlátozása könnyen leolvasható a grafikonról. Lehetőség van egyenes vonal rajzolására
$y=a$, és ha a függvény magasabb ennél a vonalnál, akkor alulról korlátos. Ha alul, akkor rendre fent. Az alábbiakban egy alsó korlátos függvény grafikonja látható. Egy korlátos függvény grafikonja, srácok, próbáljátok meg magatok rajzolni.

Vizsgáljuk meg a $y=\sqrt(16-x^2)$ függvény korlátosságát!
Megoldás: Valamelyik szám négyzetgyöke nagyobb vagy egyenlő nullával. Nyilvánvalóan a függvényünk is nagyobb vagy egyenlő nullával, vagyis alulról korlátos.
Csak a négyzetgyököt tudjuk kivonni belőle nem negatív szám, majd $16-x^2≥0$.
Egyenlőtlenségünk megoldása a [-4;4] intervallum lesz. Ezen a szegmensen $16-x^2≤16$ vagy $\sqrt(16-x^2)≤4$, de ez felülről korlátoltságot jelent.
Válasz: a függvényünket két sor korlátozza: $y=0$ és $y=4$.

Legmagasabb és legalacsonyabb érték

Az y= f(x) függvény legkisebb értéke az X⊂D(f) halmazon valamilyen m szám, így:

b) Bármely xϵX esetén $f(x)≥f(x0)$ teljesül.

Az y=f(x) függvény legnagyobb értéke a Х⊂D(f) halmazon valamilyen m szám, így:
a) Van olyan x0, hogy $f(x0)=m$.
b) Bármely xϵX esetén teljesül $f(x)≤f(x0)$.

A legnagyobb és legkisebb értéket általában y max-mal jelöljük. és y név. .

A korlátosság és a legkisebb értékű függvény fogalma szorosan összefügg. A következő állítások igazak:
a) Ha egy függvénynek van legkisebb értéke, akkor alulról korlátos.
b) Ha létezik legmagasabb érték függvényt, akkor felülről korlátos.
c) Ha a függvény felülről nem korlátos, akkor nincs maximális érték.
d) Ha a függvény nem korlátos alább, akkor a legkisebb érték nem létezik.

Keresse meg a $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét.
Megoldás: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$x=4$ $f(4)=5$ esetén az összes többi értéknél a függvény kisebb értékeket vesz fel, vagy nem létezik, vagyis ez a függvény legnagyobb értéke.
Értelemszerűen: $9-4x^2+16x≥0$. Keressük a gyökereket négyzetes trinomikus$(2x+1)(2x-9)≥0$. $x=-0,5$ és $x=4,5$ esetén a függvény eltűnik, minden más ponton nagyobb, mint nulla. Ekkor definíció szerint a függvény legkisebb értéke nulla.
Válasz: y max. =5 és y min. =0.

Srácok, mi is tanulmányoztuk a függvény konvexitásának fogalmait. Egyes problémák megoldása során szükségünk lehet erre az ingatlanra. Ez a tulajdonság grafikonok segítségével is könnyen meghatározható.

A függvény lefelé konvex, ha az eredeti függvény grafikonjának bármely két pontja össze van kötve, és a függvény grafikonja a pontokat összekötő egyenes alatt van.

A függvény felfelé konvex, ha az eredeti függvény grafikonjának bármely két pontja össze van kötve, és a függvény grafikonja a pontokat összekötő egyenes felett van.

Egy függvény folytonos, ha a függvényünk grafikonjában nincsenek szakadások, mint például a fenti függvény grafikonja.

Ha egy függvény tulajdonságait szeretné megtalálni, akkor a tulajdonságok keresésének sorrendje a következő:
a) Meghatározási terület.
b) Egykedvűség.
c) korlátozás.
d) A legnagyobb és a legkisebb érték.
e) Folytonosság.
f) Értéktartomány.

Keresse meg a $y=-2x+5$ függvény tulajdonságait.
Megoldás.
a) D(y)=(-∞;+∞) definíciós tartomány.
b) Egykedvűség. Ellenőrizzük az x1 és x2 értékeket, és legyen x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Mert x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) korlátozás. Nyilvánvaló, hogy a funkció nem korlátozott.
d) A legnagyobb és a legkisebb érték. Mivel a függvény nincs korlátos, nincs maximum vagy minimum érték.
e) Folytonosság. Függvényünk grafikonján nincs hézag, akkor a függvény folytonos.
f) Értéktartomány. E(y)=(-∞;+∞).

Függvény tulajdonságaira vonatkozó feladatok független megoldáshoz