Legyen az y=f(x) függvény folytonos a szakaszon. Mint ismeretes, egy ilyen függvény eléri a maximumát. és a névadás értékeket. A függvény ezeket az értékeket felveheti akár a szakasz belső pontján, akár a szakasz határán, pl. =a-val vagy =b-vel. Ha , akkor a pontot az adott függvény kritikus pontjai között kell keresni.

A következő szabályt kapjuk egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához:

1) keresse meg a függvény kritikus pontjait az (a,b) intervallumon;

2) kiszámítja a függvény értékeit a talált kritikus pontokon;

3) számítsa ki a függvény értékeit a szegmens végén, pl. az x=a és x=b pontokban;

4) a függvény összes számított értéke közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

Megjegyzések:

1. Ha az y=f(x) függvénynek a szakaszon csak egy kritikus pontja van, és ez a maximális (minimális) pont, akkor ezen a ponton a függvény a legnagyobb (legkisebb) értéket veszi fel.

2. Ha egy szakaszon az y=f(x) függvénynek nincsenek kritikus pontjai, akkor ez azt jelenti, hogy a függvény monoton növekszik vagy csökken rajta. Ezért annak legmagasabb érték(M) a függvény a szegmens egyik végét veszi fel, a legkisebb (m) pedig a másik végét.

60. Komplex számok. Moivre-képletek.
összetett szám név egy olyan kifejezés, mint a z = x + iy, ahol x és y valós számok, és én az ún. képzeletbeli egység, . Ha x=0, akkor a 0+iy=iy szám kerül hívásra. képzeletbeli szám; ha y=0, akkor az x+i0=x számot az x valós számmal azonosítjuk, ami azt jelenti, hogy az összes R halmaza érvényes. számok yavl. az összes C halmazának részhalmaza komplex számok, azaz . Szám x név. valódi része z, . Két komplex számot akkor és csak akkor nevezünk egyenlőnek (z1=z2), ha valós részeik egyenlőek és képzetes részeik egyenlőek: x1=x2, y1=y2. Konkrétan a Z=x+iy komplex szám akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha x=y=0. A „nagyobb, mint” és a „kisebb, mint” fogalmak komplex számokra nem kerültek bevezetésre. Két komplex számot, z=x+iy és , amelyek csak a képzeletbeli rész előjelében térnek el egymástól, konjugáltnak nevezzük.

Komplex számok geometriai ábrázolása.

Bármely z = x + iy komplex szám ábrázolható az Oxy sík M(x,y) pontjával úgy, hogy x=Re z, y=Im z. És fordítva, minden M(x;y) pont Koordináta sík egy z = x + iy komplex szám képeként tekinthető. Azt a síkot, amelyen a komplex számok vannak ábrázolva, komplex síknak nevezzük, mert z = x + 0i = x valós számok fekszenek rá. Az y tengelyt képzeletbeli tengelynek nevezzük, mivel a z = 0 + iy tisztán képzeletbeli komplex számok rajta vannak. A Z=x+iy komplex szám az r=OM=(x,y) sugárvektor segítségével adható meg. Egy z komplex számot reprezentáló r vektor hosszát e szám modulusának nevezzük, és |z| vagy r. A pozitív közötti szög A valós tengely és a komplex számot reprezentáló r vektor irányát nevezzük ennek a komplex számnak az argumentumának, amelyet Arg z vagy -vel jelölünk. A komplex szám argumentuma Z=0 nem definiált. Egy komplex szám argumentuma többértékű érték, és egészen addig a tagig van meghatározva, ahol arg z a () intervallumban lévő argumentum fő értéke, azaz. - (néha a (0; ) intervallumhoz tartozó értéket vesszük az argumentum fő értékének).

A z szám z=x+iy alakban történő felírását hívjuk algebrai formaösszetett szám.

Műveletek komplex számokkal

Kiegészítés. Két z1=x1+iy1 és z2=x2+iy2 komplex szám összege a z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2) egyenlőséggel definiált komplex szám. A komplex számok összeadása kommutatív és asszociatív tulajdonságokkal rendelkezik: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Kivonás. A kivonást az összeadás inverzeként definiáljuk. A z1 és z2 komplex számok különbsége egy olyan z komplex szám, amelyet z2-vel összeadva a z1 számot kapjuk, azaz. z=z1-z2, ha z+z2=z1. Ha z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, akkor ebből a definícióból könnyen megkaphatjuk z-t: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Szorzás. A z1=x1+iy1 és z2=x2+iy2 komplex számok szorzata a z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2) egyenlőség által meghatározott komplex szám. Ebből különösen az következik: . Ha számok vannak megadva trigonometrikus forma: .

Ha komplex számokat szorozunk, akkor a moduljukat megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk. De Moivre formula(ha n faktor van és mind egyforma): .

2020 júliusában a NASA expedíciót indít a Marsra. Az űrszonda egy elektronikus hordozót szállít a Marsra, amelyen az expedíció összes regisztrált tagjának neve szerepel.

A résztvevők regisztrációja nyitott. Szerezze meg jegyét a Marsra ezen a linken.

Ha ez a bejegyzés megoldotta a problémát, vagy csak tetszett, oszd meg a linket barátaiddal a közösségi hálózatokon.

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé És vagy közvetlenül a címke után . Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan követi és betölti friss verziók Mathjax. Ha beírja az első kódot, akkor azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beilleszti a második kódot, akkor az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott betöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, LaTeX és ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és máris beágyazhat matematikai képleteket weboldalaiba.

Újabb szilveszter... fagyos idő és hópelyhek az ablaktáblán... Mindez arra késztetett, hogy újra írjak... fraktálokról, és arról, hogy mit tud róla Wolfram Alpha. Ebből az alkalomból ott érdekes cikk, amely kétdimenziós fraktálszerkezetekre tartalmaz példákat. Itt többet fogunk nézni összetett példák háromdimenziós fraktálok.

A fraktál vizuálisan ábrázolható (leírható) geometriai alakzatként vagy testként (ez azt jelenti, hogy mindkettő halmaz, jelen esetben ponthalmaz), amelynek részletei ugyanolyan alakúak, mint magának az eredeti alaknak. Azaz egy önhasonló szerkezetről van szó, melynek részleteit figyelembe véve felnagyítva ugyanazt az alakot fogjuk látni, mint nagyítás nélkül. Míg a szokásos esetében geometriai alakzat(nem fraktál), nagyításkor olyan részleteket fogunk látni, amelyeknek egyszerűbb a formája, mint maga az eredeti figura. Például kellően nagy nagyításnál az ellipszis egy része egyenes szakasznak tűnik. Ez nem történik meg a fraktálokkal: ezek növekedésével ismét ugyanazt az összetett alakzatot fogjuk látni, amely minden növekedéssel újra és újra megismétlődik.

Benoit Mandelbrot, a fraktálok tudományának megalapítója a Fractals and Art for Science című cikkében ezt írta: "A fraktálok geometriai alakzatok, amelyek részleteiben éppoly összetettek, mint általános formájukban. Ez azt jelenti, hogy ha a fraktálok egy része. az egész méretére nagyítva úgy fog kinézni, mint az egész, vagy pontosan, esetleg enyhe deformációval.

A függvény szélsőértéke a lokális tulajdonság tulajdonsága, helyi jelleg(lásd a meghatározást). Zárt területen nem szabad a függvény maximumát (minimumát) a legnagyobb (legkisebb) értékével keverni. D.

Meghatározás. Mondjuk a függvényt z = f(x, y) meghatározott és folyamatos bizonyos tartományokban D, véges parciális származékai vannak ebben a régióban. Aztán ebben a régióban vannak olyan pontok, ahová a függvény elér legnagyobb és legkisebb más értékek értékei. Ezek a pontok a régión belül vagy annak határán helyezkedhetnek el.

Ahhoz, hogy egy zárt területen lévő függvény legnagyobb és legkisebb értékét megtalálja, a következőkre van szüksége:

1) Keresse meg a régión belül elhelyezkedő stacionárius pontokat, és számítsa ki a függvény értékeit ezeken a pontokon.

Megjegyzés. Csatlakoztassa a stacionárius pontokhoz azokat a pontokat, ahol a deriváltak végtelenek, vagy nem léteznek (ha vannak).

2) Keressen stacionárius pontokat a régió határán, és számítsa ki a függvény értékeit ezeken a pontokon.

3) Keresse meg a függvényértékeket a sarokpontokban - a határvonalak metszéspontjaiban.

4) Az összes talált érték közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

Példa 1.22. Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét

z= 2x 2 – xy ++ y 2 + 7x zárt területen D: –3 x 3, –3 y 3 (1.3. ábra).

Rizs. 1.3. Tanulmányi terület D

Megoldás. 1) Álló pontok keresése

Innen nál nél = –1, x= –2, állópont M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Megvizsgáljuk a függvényt a szegmensekből álló régió határán AB, DC, CB, AD.

a) egyenes vonalban AB: nál nél= 3, és a függvény alakja

z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =

= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].

Ez egy független változó függvénye.

Határozzuk meg ennek a függvénynek a stacionárius pontjait:

Következésképpen, x = –2,5.

Mi határozzuk meg z nál nél x = –2,5, valamint a szegmens végein [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

tehát = 3,5, a = 57.

b) Tekintsük a szakaszt nap:x = 3.

z = y 2 – 3y + 39; nál nél [–3, 3],

= 2y - 3; 2y - 3 = 0 y= 3/2.

Találunk z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) a szegmensen CD: y= 3, z= 2x 2 + 4x + 9; nál nél [–3, 3],

= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

1.5. Tétel Legyen zárt tartományban D funkció adott z=z(x,y) , amelynek elsőrendű folytonos parciális deriváltjai vannak. Határ G területeken D darabonként sima (azaz "sima tapintású" görbékből vagy egyenes vonalakból áll). Aztán a környéken D funkció z (x,y) eléri a legmagasabbat M és a legkevésbé m értékeket.

Bizonyíték nélkül.

A következő tervet javasolhatja a megtaláláshoz M És m .
1. Építünk egy rajzot, kijelöljük a területhatár összes részét D és megtalálja a határ összes "sarokpontját".
2. Keresse meg az álló pontokat belül D .
3. Keressen stacionárius pontokat az egyes határokon.
4. Minden álló- és sarokponton számolunk, majd kiválasztjuk a legnagyobbat M és a legkevésbé m értékeket.

1.14. példa Keresse meg a legnagyobbat M és a legkevésbé m függvényértékek z = 4x2-2xy+y2-8x zárt területen D , korlátozott: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Építsük meg a területet D (1.5. ábra) a síkon Ohu .

sarokpontok: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Határ G területeken D három részből áll:

2. Keressen álló pontokat a területen belül D :

3. Álló pontok a határokon l 1, l 2, l 3 :

4. Számítson ki hat értéket:

Példák

1. példa

Ez a funkció a változók összes értékére definiálva x És y , kivéve az eredetet, ahol a nevező eltűnik.

Polinom x2+y2 mindenhol folytonos, és ezért a folytonos függvény négyzetgyöke is folytonos.

A tört mindenhol folytonos lesz, kivéve azokat a pontokat, ahol a nevező nullával egyenlő. Vagyis a vizsgált függvény folytonos a teljes koordinátasíkon Ohu az eredetet leszámítva.

2. példa

Vizsgálja meg a függvény folytonosságát z=tg (x,y) . Az érintő definiált és folytonos az argumentum összes véges értékére, kivéve a páratlan számú nagyságrenddel egyenlő értékeket. π /2 , azaz kivéve azokat a pontokat, ahol

Minden fixért "k" az (1.11) egyenlet egy hiperbolát határoz meg. Ezért a kérdéses függvény az folyamatos funkció x és y , kivéve a görbéken (1.11) fekvő pontokat.

3. példa

Keresse meg a függvények részleges származékait u=z-xy , z > 0 .

4. példa

Mutasd meg ezt a funkciót

megfelel az azonosságnak:

– ez az egyenlőség minden pontra érvényes M(x; y; z) , kivéve a pontot M 0 (a; b; c) .

Tekintsük két független változó z=f(x, y) függvényét és halmazzuk geometriai jelentése privát változók z"x=f"x (x, y) És z" y=f" y (x, y) .

Ebben az esetben az egyenlet z=f (x, y) valamilyen felület egyenlete (1.3. ábra). Rajzolj egy síkot y = konst . A felület ezen síkjának metszetében z=f (x, y) vegyél egy sort l 1 metszéspont, amely mentén csak a mennyiségek változnak x És z .

Részleges derivált z" x (geometriai jelentése közvetlenül következik egy változó függvény deriváltjának ismert geometriai jelentéséből) numerikusan egyenlő a szög érintőjével α dőlésszög, a tengelyhez képest Ó , érintő L1 a görbére l 1 , amelyet a felület keresztmetszetében kapunk z=f (x, y) repülőgép y = konst azon a ponton M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

A felület keresztmetszetében z=f (x, y) repülőgép x = konst kap egy metszésvonalat l 2 , amely mentén csak a mennyiségeket nál nél És z . Ezután a parciális derivált z" y számszerűen egyenlő a szög érintőjével β dőlésszög a tengelyhez képest OU , érintő L2 a megadott sorra l 2 pont metszéspontja M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

5. példa

Milyen szöget zár be a tengellyel Ó vonal érintője:

azon a ponton M(2,4,5) ?

A parciális derivált geometriai jelentését használjuk egy változóra vonatkozóan x (állandóan nál nél ):

6. példa

Az (1.31) szerint:

7. példa

Feltéve, hogy az egyenlet

implicit módon meghatároz egy függvényt

megtalálni z" x , z" y .

ezért (1.37) szerint megkapjuk a választ.

8. példa

Fedezd fel a végletekig:

1. Állandó pontok keresése az (1.41) rendszer segítségével:

vagyis négy stacionárius pontot találunk.
2.

az 1.4 Tétel szerint egy pontban minimum.

És

4. Számítson ki hat értéket:

A kapott hat érték közül kiválasztjuk a legnagyobbat és a legkisebbet.

Bibliográfia:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. felsőbb matematika közgazdászok számára. I félév: Expressz tanfolyam. - M.: Új ismeretek, 2002. - 140 p.

ü Gusak A. A. Matematikai elemzésés differenciálegyenletek - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Felső matematika. Oktatóanyag egyetemisták számára 2 kötetben. - Mn., 1998. - 544 p. (1 köt.), 448 p. (2 tonna).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Felső matematika közgazdászoknak: Tankönyv középiskoláknak / Szerk. prof. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. és mások. Felső matematika. Általános tanfolyam: Tankönyv / Az általános alatt. szerk. S. A. Samalya.– Mn.: Vysh. iskola, 2000. - 351 p.

Legyen a $z=f(x,y)$ függvény definiált és folytonos valamilyen korlátos $D$ zárt tartományban. Legyenek az adott függvénynek véges elsőrendű parciális deriváltjai ebben a tartományban (talán véges számú pont kivételével). Ahhoz, hogy egy adott zárt tartományban két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értékét megtaláljuk, egy egyszerű algoritmus három lépésére van szükség.

Algoritmus a $z=f(x,y)$ függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására a $D$ zárt tartományban.

1. Keresse meg a $z=f(x,y)$ függvény kritikus pontjait, amelyek a $D$ régióhoz tartoznak. Számítsa ki a függvényértékeket a kritikus pontokon.
2. Vizsgáljuk meg a $z=f(x,y)$ függvény viselkedését a $D$ tartomány határán úgy, hogy megtaláljuk a lehetséges maximum és minimum értékek pontjait. Számítsa ki a kapott pontokban a függvényértékeket!
3. Az előző két bekezdésben kapott függvényértékek közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

Mik a kritikus pontok? mutat elrejt

Alatt kritikus pontok olyan pontokat jelent, ahol mindkét elsőrendű parciális derivált nulla (azaz $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ és $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) vagy legalább egy részleges derivált nem létezik.

Gyakran azokat a pontokat hívják meg, ahol az elsőrendű parciális deriváltak nullával egyenlőek álló pontok. Így az állópontok a kritikus pontok részhalmazát alkotják.

1. példa

Keresse meg a $z=x^2+2xy-y^2-4x$ függvény maximális és minimális értékét a $x=3$, $y=0$ és $y=x vonalak által határolt zárt tartományban +1 $.

Követjük a fentieket, de először egy adott terület megrajzolásával foglalkozunk, amit $D$ betűvel fogunk jelölni. Adva vagyunk három egyenlete egyenes vonalak, amelyek korlátozzák ezt a területet. A $x=3$ egyenes az y tengellyel párhuzamos $(3;0)$ ponton halad át (Oy tengely). Az $y=0$ egyenes az abszcissza tengely (Ox ​​tengely) egyenlete. Nos, egy $y=x+1$ egyenes megszerkesztéséhez keressünk két pontot, amelyeken keresztül ezt az egyenest meghúzzuk. Természetesen behelyettesíthet néhány tetszőleges értéket a $x$ helyett. Például a $x=10$ behelyettesítésével a következőt kapjuk: $y=x+1=10+1=11$. Megtaláltuk a $(10;11)$ pontot, amely az $y=x+1$ egyenesen fekszik. Érdemes azonban megkeresni azokat a pontokat, ahol az $y=x+1$ egyenes metszi a $x=3$ és $y=0$ egyeneseket. Miért jobb? Mert egy csapásra lerakunk pár legyet: két pontot kapunk az $y=x+1$ egyenes felépítéséért, és egyben megtudjuk, hogy ez az egyenes mely pontokban metszi az adott vonalat határoló másik vonalat. terület. Az $y=x+1$ egyenes a $x=3$ egyenest a $(3;4)$ pontban, az $y=0$ - egyenest pedig a $(-1;0)$ pontban metszi. Hogy a megoldás menetét ne zsúfoljam el segédmagyarázatokkal, jegyzetbe teszem e két pont megszerzésének kérdését.

Hogyan szerezték meg a $(3;4)$ és $(-1;0)$ pontokat? mutat elrejt

Kezdjük az $y=x+1$ és $x=3$ egyenesek metszéspontjából. A kívánt pont koordinátái mind az első, mind a második sorhoz tartoznak, így az ismeretlen koordináták megtalálásához meg kell oldani az egyenletrendszert:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Egy ilyen rendszer megoldása triviális: ha az első egyenletbe behelyettesítjük $x=3$-t, akkor a következőt kapjuk: $y=3+1=4$. A $(3;4)$ pont az $y=x+1$ és $x=3$ egyenesek kívánt metszéspontja.

Most keressük meg az $y=x+1$ és $y=0$ egyenesek metszéspontját. Ismét összeállítjuk és megoldjuk az egyenletrendszert:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Az első egyenletbe behelyettesítve $y=0$-t, a következőt kapjuk: $0=x+1$, $x=-1$. A $(-1;0)$ pont az $y=x+1$ és $y=0$ egyenesek kívánt metszéspontja (abszcissza tengely).

Minden készen áll egy rajz elkészítésére, amely így fog kinézni:

A jegyzet kérdése kézenfekvőnek tűnik, mert az ábrából minden kiderül. Érdemes azonban emlékezni arra, hogy a rajz nem szolgálhat bizonyítékként. Az ábra csak illusztráció az érthetőség kedvéért.

Területünket az azt korlátozó egyenesek egyenleteivel állítottuk be. Nyilvánvaló, hogy ezek a vonalak egy háromszöget határoznak meg, nem? Vagy nem egészen nyilvánvaló? Vagy talán egy másik területet kapunk, amelyet ugyanazok a vonalak határolnak:

Természetesen a feltétel azt írja, hogy a terület le van zárva, így a látható kép hibás. De az ilyen kétértelműségek elkerülése érdekében jobb, ha a régiókat egyenlőtlenségekkel határozzuk meg. Érdekel minket a sík $y=x+1$ egyenes alatti része? Ok, tehát $y ≤ x+1$. Területünk a $y=0$ vonal felett legyen? Remek, tehát $y ≥ 0$. Egyébként az utolsó két egyenlőtlenség könnyen összevonható egy: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(igazított) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(igazított) \jobbra. $$

Ezek az egyenlőtlenségek határozzák meg a $D$ tartományt, és egyértelműen, minden kétértelműség nélkül határozzák meg. De hogyan segít ez nekünk a lábjegyzet elején található kérdésben? Ez is segít :) Meg kell nézni, hogy a $M_1(1;1)$ pont a $D$ régióhoz tartozik-e. Helyettesítsük be a $x=1$ és $y=1$ értékeket a tartományt meghatározó egyenlőtlenségek rendszerébe. Ha mindkét egyenlőtlenség teljesül, akkor a pont a régión belül van. Ha az egyenlőtlenségek legalább egyike nem teljesül, akkor a pont nem tartozik a régióhoz. Így:

$$ \left \( \begin (igazított) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(igazított) \jobbra. \;\; \left \( \begin(igazított) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(igazított) \jobbra.$$

Mindkét egyenlőtlenség igaz. A $M_1(1;1)$ pont a $D$ régióhoz tartozik.

Most azon a soron, hogy megvizsgáljuk a függvény viselkedését a tartomány határán, azaz a tartomány határán. menj. Kezdjük a $y=0$ egyenessel.

Az $y=0$ egyenes (abszcissza tengely) korlátozza a $D$ régiót a $-1 ≤ x ≤ 3$ feltétel mellett. Helyettesítse $y=0$ értékét adott funkciót$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Az egyik $x$ változó eredményül kapott helyettesítési függvénye a következőképpen lesz jelölve: $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Most a $f_1(x)$ függvényhez meg kell találnunk a legnagyobb és legkisebb értéket a $-1 ≤ x ≤ 3$ intervallumon. Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját, és egyenlővé tegye nullával:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

A $x=2$ érték a $-1 ≤ x ≤ 3$ szegmenshez tartozik, ezért hozzáadjuk a $M_2(2;0)$ pontot is a pontlistához. Ezenkívül kiszámítjuk a $z$ függvény értékeit a $-1 ≤ x ≤ 3$ szegmens végein, azaz. a $M_3(-1;0)$ és $M_4(3;0)$ pontokban. Egyébként ha a $M_2$ pont nem tartozna a vizsgált szegmenshez, akkor természetesen nem kellene kiszámolni benne a $z$ függvény értékét.

Tehát számítsuk ki a $z$ függvény értékeit a $M_2$, $M_3$, $M_4$ pontokban. Természetesen ezeknek a pontoknak a koordinátáit behelyettesítheti az eredeti $z=x^2+2xy-y^2-4x$ kifejezésben. Például a $M_2$ pontra a következőket kapjuk:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

A számítások azonban egy kicsit leegyszerűsíthetők. Ehhez érdemes megjegyezni, hogy a $M_3M_4$ szegmensen $z(x,y)=f_1(x)$ áll rendelkezésünkre. Leírom részletesen:

\begin(igazított) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(igazított)

Természetesen általában nincs szükség ilyen részletes bejegyzésekre, és a jövőben minden számítást rövidebb módon kezdünk leírni:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Most forduljunk a $x=3$ egyeneshez. Ez a vonal határolja a $D$ tartományt a $0 ≤ y ≤ 4$ feltétel mellett. Helyettesítsük be a $x=3$ értéket a megadott $z$ függvénybe. Egy ilyen behelyettesítés eredményeképpen a $f_2(y)$ függvényt kapjuk:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

A $f_2(y)$ függvényhez meg kell találnia a legnagyobb és legkisebb értéket a $0 ≤ y ≤ 4$ intervallumon. Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját, és egyenlővé tegye nullával:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

A $y=3$ érték a $0 ≤ y ≤ 4$ szegmenshez tartozik, ezért a korábban talált pontokhoz hozzáadjuk a $M_5(3;3)$ értéket. Ezenkívül ki kell számítani a $z$ függvény értékét a $0 ≤ y ≤ 4$ szakasz végének pontjaiban, azaz. a $M_4(3;0)$ és $M_6(3;4)$ pontokban. A $M_4(3;0)$ pontban már kiszámoltuk a $z$ értékét. Számítsuk ki a $z$ függvény értékét a $M_5$ és $M_6$ pontokban. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a $M_4M_6$ szegmensben $z(x,y)=f_2(y)$ áll rendelkezésre, ezért:

\begin(igazított) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(igazított)

És végül, vegyük figyelembe a $D$ utolsó határát, azaz. $y=x+1$ sor. Ez a vonal határolja a $D$ régiót a $-1 ≤ x ≤ 3$ feltétel mellett. Ha behelyettesítjük a $y=x+1$-t a $z$ függvénybe, akkor a következőt kapjuk:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Ismét van egy $x$ változó függvénye. És ismét meg kell találnia ennek a függvénynek a legnagyobb és legkisebb értékét a $-1 ≤ x ≤ 3$ szegmensen. Keresse meg a $f_(3)(x)$ függvény deriváltját, és egyenlősítse nullával:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Az $x=1$ érték a $-1 ≤ x ≤ 3$ intervallumhoz tartozik. Ha $x=1$, akkor $y=x+1=2$. Adjuk hozzá a $M_7(1;2)$-t a pontok listájához, és nézzük meg, mekkora a $z$ függvény értéke ezen a ponton. A $-1 ≤ x ≤ 3$ szakasz végén lévő pontok, azaz. A $M_3(-1;0)$ és $M_6(3;4)$ pontokat korábban figyelembe vettük, ezekben már megtaláltuk a függvény értékét.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

A megoldás második lépése befejeződött. Hét értéket kaptunk:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Térjünk rá. A harmadik bekezdésben kapott számok közül a legnagyobb és legkisebb értékek kiválasztásával a következőket kapjuk:

$$z_(perc)=-4; \; z_(max)=6.$$

A probléma megoldódott, csak a választ le kell írni.

Válasz: $z_(perc)=-4; \; z_(max)=6$.

2. példa

Keresse meg a $z=x^2+y^2-12x+16y$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét a $x^2+y^2 ≤ 25$ tartományban.

Először készítsünk rajzot. A $x^2+y^2=25$ egyenlet (ez az adott terület határvonala) olyan kört határoz meg, amelynek középpontja az origóban (azaz a $(0;0)$ pontban) van, sugara pedig 5. A $x^2 +y^2 ≤ 25$ egyenlőtlenség kielégíti az említett körön belüli és azon lévő összes pontot.

Cselekedni fogunk. Keressünk parciális deriváltokat, és derítsük ki a kritikus pontokat.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nincs olyan pont, ahol a talált parciális deriváltak ne léteznének. Nézzük meg, hogy melyik ponton egyenlő mindkét parciális derivált egyidejűleg nullával, azaz. helyhez kötött pontokat találni.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(igazított) \jobbra.$$

Kaptunk egy állópontot $(6;-8)$. A talált pont azonban nem tartozik a $D$ régióhoz. Ezt könnyű megmutatni anélkül, hogy rajzolni kellene. Ellenőrizzük, hogy fennáll-e a $D$ tartományunkat meghatározó $x^2+y^2 ≤ 25$ egyenlőtlenség. Ha $x=6$, $y=-8$, akkor $x^2+y^2=36+64=100$, azaz. a $x^2+y^2 ≤ 25$ egyenlőtlenség nem teljesül. Következtetés: a $(6;-8)$ pont nem tartozik a $D$ régióba.

Így a $D$-on belül nincsenek kritikus pontok. Menjünk tovább, odáig. Meg kell vizsgálnunk a függvény viselkedését az adott terület határán, pl. a $x^2+y^2=25$ körön. Természetesen kifejezheti $y$-t $x$-ban, majd az eredményül kapott kifejezést behelyettesítheti a $z$ függvényünkbe. A köregyenletből a következőt kapjuk: $y=\sqrt(25-x^2)$ vagy $y=-\sqrt(25-x^2)$. Ha behelyettesítjük például a $y=\sqrt(25-x^2)$-t az adott függvénybe, akkor a következőt kapjuk:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

A további megoldás teljesen megegyezik az előző 1. számú példában a régió határán lévő függvény viselkedésének vizsgálatával. Számomra azonban ebben a helyzetben ésszerűbbnek tűnik a Lagrange-módszer alkalmazása. Minket csak ennek a módszernek az első része érdekel. A Lagrange-módszer első részének alkalmazása után megkapjuk azokat a pontokat, ahol a $z$ függvényt vizsgáljuk a minimum és maximum értékekre.

Összeállítjuk a Lagrange függvényt:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Megkeressük a Lagrange-függvény parciális deriváltjait, és összeállítjuk a megfelelő egyenletrendszert:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (igazított) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(igazított) \ jobbra. \;\; \left \( \begin(igazított) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( igazítva)\jobbra.$$

A rendszer megoldásához azonnal jelezzük, hogy $\lambda\neq -1$. Miért $\lambda\neq -1$? Próbáljuk meg behelyettesíteni a $\lambda=-1$ értéket az első egyenletbe:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

A kapott $0=6$ ellentmondás azt mondja, hogy a $\lambda=-1$ érték érvénytelen. Kimenet: $\lambda\neq -1$. Fejezzük ki $x$ és $y$ $\lambda$-ban:

\begin(igazított) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(igazított)

Úgy gondolom, hogy itt nyilvánvalóvá válik, hogy miért kötöttük ki konkrétan a $\lambda\neq -1$ feltételt. Ez azért történt, hogy a $1+\lambda$ kifejezést interferencia nélkül illesszük a nevezők közé. Azaz, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy a nevező $1+\lambda\neq 0$.

Helyettesítsük be a kapott $x$ és $y$ kifejezéseket a rendszer harmadik egyenletébe, pl. $x^2+y^2=25$-ban:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

A kapott egyenlőségből az következik, hogy $1+\lambda=2$ vagy $1+\lambda=-2$. Ezért a $\lambda$ paraméternek két értéke van, nevezetesen: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Ennek megfelelően két $x$ és $y$ értékpárt kapunk:

\begin(igazított) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(igazított)

Tehát két pontot kaptunk egy lehetséges feltételes szélsőségből, azaz. $M_1(3;-4)$ és $M_2(-3;4)$. Keresse meg a $z$ függvény értékeit a $M_1$ és $M_2$ pontokban:

\begin(igazított) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(igazított)

Az első és második lépésben kapott értékek közül a legnagyobb és legkisebb értékeket kell kiválasztanunk. De ebben az esetben kicsi a választék :)

$$z_(perc)=-75; \; z_(max)=125. $$

Válasz: $z_(perc)=-75; \; z_(max)=125$.