Idézzük fel a szükséges információkat a komplex számokról.

Összetett szám a forma kifejezése a + kettős, ahol a, b valós számok, és én- ún képzeletbeli egység, az a szimbólum, amelynek négyzete -1, azaz. én 2 = -1. Szám a hívott valódi rész, és a szám b - képzeletbeli részösszetett szám z = a + kettős. Ha egy b= 0, akkor ahelyett a + 0én egyszerűen írj a. Látható, hogy a valós számok a komplex számok speciális esetei.

A komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek megegyeznek a valós számokkal: összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és oszthatók egymással. Az összeadás és kivonás a szabály szerint ( a + kettős) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)én, és szorzás - a szabály szerint ( a + kettős) · ( c + di) = (ac – bd) + (hirdetés + időszámításunk előtt)én(itt csak ezt használják én 2 = -1). Szám = a – kettős hívott komplex konjugátum nak nek z = a + kettős. Egyenlőség z · = a 2 + b 2 lehetővé teszi, hogy megértse, hogyan kell elosztani egy komplex számot egy másik (nem nulla) komplex számmal:

(Például, .)

A komplex számoknak van egy kényelmes és vizuális geometriai ábrázolása: a szám z = a + kettős vektorként ábrázolható koordinátákkal ( a; b) a derékszögű síkon (vagy, ami majdnem ugyanaz, egy pont - a vektor vége ezekkel a koordinátákkal). Ebben az esetben két komplex szám összegét a megfelelő vektorok összegeként ábrázoljuk (amelyet a paralelogramma-szabállyal találhatunk meg). A Pitagorasz-tétel szerint a vektor hossza koordinátákkal ( a; b) egyenlő . Ezt az értéket hívják modultösszetett szám z = a + kettősés |-vel jelöljük z|. Azt a szöget, amelyet ez a vektor az x tengely pozitív irányával bezár (az óramutató járásával ellentétes irányba számolva), nevezzük érvösszetett szám zés Arg jelöli z. Az argumentum nem egyedileg definiált, hanem csak 2 többszörösének összeadásáig π radiánban (vagy 360°-ban, ha fokban számolunk) - elvégre egyértelmű, hogy az origó körül ekkora szög átfordulása nem változtatja meg a vektort. De ha a hosszvektor r szöget alkot φ az x tengely pozitív irányával, akkor a koordinátái egyenlőek ( r kötözősaláta φ ; r bűn φ ). Ezért kiderül trigonometrikus jelölésösszetett szám: z = |z| (cos(Arg z) + én sin (Arg z)). Gyakran célszerű komplex számokat ebben a formában írni, mert ez nagyban leegyszerűsíti a számításokat. A komplex számok szorzása trigonometrikus formában nagyon egyszerűnek tűnik: z egy · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + én sin (Arg z 1+arg z 2)) (két komplex szám szorzásakor a modulusokat megszorozzuk és az argumentumokat összeadjuk). Innentől következzen De Moivre-képletek: z n = |z|n(kötözősaláta( n(Arg z)) + én bűn( n(Arg z))). E képletek segítségével könnyen megtanulható, hogyan lehet komplex számokból tetszőleges fokú gyököket kivonni. Root nth fok z számtól olyan komplex szám w, mit w n = z. Ez egyértelmű , És hol k tetszőleges értéket vehet fel a halmazból (0, 1, ..., n- egy). Ez azt jelenti, hogy mindig pontosan van n gyökerei n foka egy komplex számtól (a síkon a szabályos csúcsaiban helyezkednek el n-gon).

Osztály 12 . Komplex számok.

12.1. Komplex számok meghatározása algebrai formában. Komplex számok összehasonlítása és ábrázolása komplex síkon. Komplex ragozás. Komplex számok összeadása, szorzása, osztása.

12.2. Modulus, komplex szám argumentuma.

12.3. Komplex szám írásának trigonometrikus és exponenciális formái.

12.4. Egész hatványra emelés és gyökér kinyerése komplex számból.

Komplex számok meghatározása algebrai formában. Komplex számok összehasonlítása és ábrázolása komplex síkon. Komplex ragozás. Komplex számok összeadása, szorzása, osztása.

A komplex szám algebrai formában szám

ahol
hívott képzeletbeli egységés
- valós számok:
hívott valódi (valódi) rész;
- képzeletbeli részösszetett szám . Az űrlap összetett számai
hívott tisztán képzeletbeli számok . Az összes komplex szám halmazát betűvel jelöljük .

A-priory,

Az összes valós szám halmaza a készlet része
: . Másrészt vannak olyan komplex számok, amelyek nem tartoznak a halmazhoz . Például,
és
, mert
.

Az algebrai formájú összetett számok természetesen akkor keletkeznek, ha másodfokú egyenleteket negatív diszkriminánssal oldunk meg.

1. példa. oldja meg az egyenletet
.

Döntés. ,

Ezért az adott másodfokú egyenletnek összetett gyökerei vannak

,
.

2. példa. Keresse meg a komplex számok valós és képzeletbeli részeit

,

,
.

Ennek megfelelően a szám valós és képzeletbeli részei ,

Bármilyen komplex szám
vektorral ábrázolva a komplex síkon , amely egy derékszögű koordináta-rendszerű síkot ábrázol
. A vektor eleje a pontban van , és a vége a koordinátákkal rendelkező pontban van
(1. ábra) Tengely
nevezzük valós tengelynek, és tengelynek
- a komplex sík képzeletbeli tengelye .

Az összetett számokat csak előjelekkel hasonlítjuk össze.
. . Ha legalább az egyik egyenlőség:
akkor megsértették
. típusú bejegyzések
nincs értelme.

Értelemszerűen összetett szám
a szám komplex konjugátumának nevezzük
. Ebben az esetben írjon
. Ez nyilvánvaló
. Mindenhol lent, egy komplex szám feletti sáv összetett konjugációt jelent.

Például, .

A komplex számokon olyan műveletek hajthatók végre, mint az összeadás (kivonás), szorzás és osztás.

1. Komplex számok összeadásaígy történik:

Kiegészítési művelet tulajdonságai:

- kommutativitás tulajdonsága;

- Aszociativitási tulajdonság.

Könnyen belátható a komplex számok geometriai összeadása
jelenti a hozzájuk tartozók hozzáadását a síkon vektorok a paralelogramma szabály szerint.

Számkivonás művelet számból így történik:

2. Komplex számok szorzásaígy történik:

A szorzási művelet tulajdonságai:

- kommutativitás tulajdonsága;

- asszociativitás tulajdonsága;

- az elosztás törvénye.

3. Komplex számok osztása csak akkor lehetséges
és így történik:

.

3. példa. Megtalálni
, ha .

4. példa. Kiszámítja
, ha .

z, mert
.

.(Jaj!)

Könnyen ellenőrizhető (javasolt, hogy saját kezűleg tegye meg) a következő állítások érvényességét:

Modulus, komplex szám argumentuma.

Komplex számmodulus
(modul jelöljük ) egy nem negatív szám
, azaz
.

geometriai érzék - a számot reprezentáló vektor hossza az összetett síkon . Az egyenlet
meghatározza az összes szám halmazát (vektorok per ) amelynek végei az egységkörön fekszenek
.

Komplex szám argumentum
(érv jelöljük
) a szög radiánban a valós tengely között
és szám az összetett síkon , és pozitív, ha innen számítjuk
előtt az óramutató járásával ellentétes irányba, és negatív ha tengelytől mérve
előtt óramutató járásával megegyező.

Tehát a szám argumentum kétértelműen van meghatározva, egészen a kifejezésig
, ahol
. Egyértelműen szám argumentum az egységkör egy bejárásán belül van meghatározva
a felszínen . Általában meg kell találni
intervallumon belül
,az ilyen értéket a szám argumentum főértékének nevezzük és jelöltük
.

és
számok egyenletből megtalálható
, ahol szükségszerűen figyelembe kell venni a sík melyik negyedében a vektor vége van - pont
:

ha
(A gép első negyede ), azután ;

ha
(A gép 2. negyede ), azután;

ha
(A gép 3. negyede ), azután ;

ha
(a gép 4. negyede ), azután .

Valójában a szám modulusa és argumentuma
, ezek poláris koordináták
pontokat
- a vektor vége a felszínen .

5. példa. Keresse meg a számok argumentumának modulusát és főértékét:

.

A számok érvei fekvő tengelyek
az összetett sík 1,2,3,4 negyedeit elválasztó , azonnal megtalálhatók ezeknek a számoknak a síkon való grafikus ábrázolásával .

Komplex szám írásának trigonometrikus és exponenciális formái. Komplex számok szorzása és osztása trigonometrikus és exponenciális jelölésben.

Trigonometrikus jelölésösszetett szám
úgy néz ki, mint a:

, (2)

ahol - modul, - komplex szám argumentum . A komplex számok ilyen ábrázolása az egyenlőségekből következik.

Demonstráció(exponenciális) komplex szám jelölési formája
úgy néz ki, mint a:

, (3)

ahol - modul, - szám argumentum . Képes komplex számokat ábrázolni tájékoztató forma(3) a (2) trigonometrikus alakból és az Euler-képletből következik:

. (4)

Ezt a képletet a TFKP (Egy komplex változó függvényeinek elmélete) tantárgy bizonyítja.

6. példa. Keresse meg a komplex számok trigonometrikus és exponenciális alakját: az 5. példából!

Döntés. Használjuk az 5. példa eredményeit, amelyben az összes megadott szám modulja és argumentuma megtalálható.

,

.

- számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

3)

- számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

A számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

5)

- számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

Egy szám trigonometrikus alakja ,

.

7)

- számírás trigonometrikus formája ,

- egy szám exponenciális (exponenciális) alakja .

- számírás trigonometrikus formája ,

- a számírás exponenciális (exponenciális) formája .

A komplex számok írásának exponenciális formája a komplex számok szorzási és osztási műveleteinek alábbi geometriai értelmezéséhez vezet. Legyen
- a számok exponenciális alakjai
.

1. A komplex számok szorzásakor a modulusokat megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk.

2. Komplex szám osztásakor számonként kap egy komplex számot , modul ami megegyezik a modulok arányával , és az érvelés - különbségek
szám argumentumok
.

Egész hatványra emelés és gyökér kinyerése komplex számból.

A-priory,

Ha egész hatványra emeljük összetett szám
, akkor a következőképpen kell eljárnia: először keresse meg a modult és érvelés ez a szám; bemutatni demonstratív formában
; megtalálni
a következő lépések végrehajtásával

Ahol . (5)

Megjegyzés.Érv
számok
nem tartozhat az intervallumhoz
. Ebben az esetben a kapott érték szerint főértéket találni érv

számok
, hozzáadva (vagy kivonva) a számot
ezzel a jelentéssel
, nak nek

intervallumhoz tartozott
. Ezt követően ki kell cserélni az (5) képletekben a .

7. példa. Megtalálni és
, ha
.

1)
=
(lásd a számot a 6. példából).

2)
, ahol
.
.
.

Ennélfogva, helyettesíthető és, így

Ahol
.

3)
, ahol
.
.

Cseréljük a . Ennélfogva,

gyökér kivonás fokozat
komplex számból
a Moivre-Laplace képlet szerint hajtjuk végre

Komplex számok

Képzeletbeli és komplex számok. Abszcissza és ordináta

összetett szám. Komplex számok konjugálása.

Műveletek komplex számokkal. Geometriai

komplex számok ábrázolása. összetett sík.

Komplex szám modulusa és argumentuma. trigonometrikus

komplex szám alakja. Műveletek komplexussal

számok trigonometrikus formában. Moivre-képlet.

Alapvető információk a képzeletbeli és komplex számok Az „Imagináris és komplex számok” részben találhatók. Ezeknek az új típusú számoknak az igénye az esetre vonatkozó másodfokú egyenletek megoldása során jelent megD< 0 (здесь D– diszkriminatív másodfokú egyenlet). Hosszú idő ezek a számok nem találtak fizikai alkalmazásra, ezért is nevezték "képzetes" számoknak. Most azonban nagyon széles körben használják a fizika különböző területein.

és technológia: elektrotechnika, hidro- és aerodinamika, rugalmasságelmélet stb.

Komplex számok így írják:a+bi. Itt aés b – valós számok , a én – képzeletbeli egység. e. én 2 = –1. Szám a hívott abszcissza, a b - ordinátaösszetett száma + b .Két komplex száma+biés a-bi hívott konjugált komplex számok.

Főbb megállapodások:

1. Valós számaformában is írhatóösszetett szám:egy + 0 én vagy a - 0 én. Például 5 + 0 bejegyzésekénés 5-0 énugyanazt a számot jelenti 5 .

2. Komplex szám 0 + kettőshívott pusztán képzeletbeli szám. Felvételkettősugyanazt jelenti, mint a 0 + kettős.

3. Két komplex száma+bi ésc + diegyenlőnek tekintendők, haa = cés b = d. Másképp a komplex számok nem egyenlőek.

Kiegészítés. Komplex számok összegea+biés c + dikomplex számnak nevezzük (a+c ) + (b+d ) én .És így, amikor hozzá a komplex számokat, azok abszcisszáját és ordinátáit külön-külön hozzáadjuk.

Ez a meghatározás követi a közönséges polinomok kezelésére vonatkozó szabályokat.

Kivonás. Két komplex szám különbségea+bi(csökkentett) és c + di(kivont) komplex számnak nevezzük (a-c ) + (b-d ) én .

És így, két komplex szám kivonásakor az abszcisszáját és ordinátáit külön-külön vonjuk ki.

Szorzás. Komplex számok szorzataa+biés c + di komplex számnak nevezzük.

(ac-bd ) + (ad+bc ) én .Ez a meghatározás két követelményből ered:

1) számok a+biés c + diszoroznia kell, mint az algebrainak binomiális,

2) szám énfő tulajdonsága van:én 2 = – 1.

PÉLDA ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Ennélfogva, munka

két konjugált komplex szám egyenlő a valós számmal

pozitív szám.

Osztály. Ossz el egy komplex számota+bi (osztható) másikrac + di(osztó) - a harmadik szám megtalálását jelentie + fi(csevegés), amely osztóval szorozvac + di, ami osztalékot eredményeza + b .

Ha az osztó nem nulla, az osztás mindig lehetséges.

PÉLDA Find (8+én ) : (2 – 3 én) .

Megoldás. Írjuk át ezt az arányt törtté:

A számlálóját és a nevezőjét megszorozzuk 2 + 3-malén

És az összes átalakítás végrehajtása után a következőket kapjuk:

Komplex számok geometriai ábrázolása. Valós számok számegyenesen lévő pontokkal ábrázolva:

Itt van a lényeg Ajelentése -3, pontB a 2-es szám, és O- nulla. Ezzel szemben a komplex számokat pontok jelölik Koordináta sík. Ehhez téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Aztán a komplex száma+bi ponttal lesz jelölve P abszcissza a és b ordináta (lásd az ábrát). Ezt a koordinátarendszert ún összetett sík .

modult komplex számot a vektor hosszának nevezzükOP, amely egy komplex számot ábrázol a koordinátán ( integrált) repülőgép. Komplex számmodulusa+bi jelölése | a+bi| vagy levelet r

A számológép használata

Egy kifejezés kiértékeléséhez meg kell adnia egy karakterláncot az értékeléshez. Számok beírásakor a tizedeselválasztó pont egy pont. Zárójelek használhatók. A komplex számokkal végzett műveletek a szorzás (*), az osztás (/), az összeadás (+), a kivonás (-), a hatványozás (^) és mások. Komplex számok rekordjaként használhatja az exponenciális és az algebrai formát. Adjon meg egy képzeletbeli egységet én szorzójel nélkül is lehetséges, más esetekben szükség van a szorzójelre, például a zárójelek közé, vagy egy szám és egy konstans közé. Konstansok is használhatók: a π számot piként, kitevőként írjuk be e, a kitevőben szereplő kifejezéseket zárójelek közé kell tenni.

Példa karakterlánc kiszámításához: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), amely megfelel a \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]

A számológép használhat konstansokat, matematikai függvények, további műveletek és egyebek összetett kifejezések, ezekkel a funkciókkal a számológépek használatának általános szabályai oldalon ismerkedhet meg ezen az oldalon.

Az oldal fejlesztés alatt áll, előfordulhat, hogy egyes oldalak nem elérhetők.

hírek

07.07.2016
Hozzáadott számológép nemlineáris rendszerek megoldásához algebrai egyenletek: .

30.06.2016
Az oldal reszponzív dizájnú, az oldalak megfelelően jelennek meg nagyméretű monitorokon és mobileszközökön egyaránt.

Szponzor

RGOnline.ru - azonnali megoldás az online elektromos munkákhoz.