3.1. Poláris koordináták

Gyakran használják a repülőn poláris koordináta-rendszer . Meghatározott, ha egy O pont adott, ún pólus, és a pólusból kiinduló sugár (nálunk ez a tengely Ox) a poláris tengely. Az M pont helyzetét két szám rögzíti: sugár (vagy sugárvektor) és a poláris tengely és a vektor közötti φ szög. A φ szöget nevezzük polárszög; radiánban mérve és innen számolva poláris tengelyóramutató járásával ellentétes irányban.

Egy pont helyzetét a polárkoordináta-rendszerben egy rendezett számpár (r; φ) adja meg. Az oszlopon r = 0és φ nincs definiálva. Az összes többi pontra r > 0és φ 2π többszöröséig van definiálva. Ebben az esetben az (r; φ) és (r 1 ; φ 1) számpárok ugyanazt a pontot kapják, ha .

Téglalap alakú koordinátarendszerhez xOy Derékszögű koordináták pontjai könnyen kifejezhetők annak segítségével poláris koordináták a következő módon:

3.2. Komplex szám geometriai értelmezése

Tekintsük a síkon a derékszögű derékszögű koordináta-rendszert xOy.

Bármely z=(a, b) komplex számhoz hozzá van rendelve a sík egy pontja koordinátákkal ( x, y), ahol koordináta x = a, azaz. a komplex szám valós része, az y = bi koordináta pedig a képzetes része.

Az a sík, amelynek pontjai komplex számok, összetett sík.

Az ábrán a komplex szám z = (a, b) meccspont M(x, y).

A feladat.Kép be Koordináta sík komplex számok:

3.3. Komplex szám trigonometrikus alakja

A síkban lévő komplex számnak a pont koordinátái vannak M(x; y). Ahol:

Komplex szám felírása - komplex szám trigonometrikus alakja.

Az r számot hívják modult összetett szám zés azt jelöljük. Modulus - nem negatív valós szám. Mert .

A modulus akkor és csak akkor nulla z = 0, azaz a=b=0.

A φ számot hívják érv z és jelöltük. A z argumentum kétértelműen definiált, mint a poláris szög a poláris koordináta-rendszerben, mégpedig 2π többszöröséig.

Ekkor elfogadjuk: , ahol φ legkisebb értékérv. Ez nyilvánvaló

.

A téma mélyebb tanulmányozása során bevezetünk egy φ* segédérvet, úgy, hogy

1. példa. Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!

Megoldás. 1) figyelembe vesszük a modult: ;

2) φ keresése: ;

3) trigonometrikus forma:

2. példa Keresse meg egy komplex szám algebrai alakját! .

Itt elegendő az értékeket helyettesíteni trigonometrikus függvényekés átalakítja a kifejezést:

3. példa Keresse meg egy komplex szám modulusát és argumentumát ;

1) ;

2) ; φ - 4 negyedben:

3.4. Műveletek komplex számokkal trigonometrikus formában

· Összeadás és kivonás kényelmesebb komplex számokkal végrehajtani algebrai formában:

· Szorzás– egyszerű trigonometrikus transzformációk segítségével kimutatható, hogy szorzáskor a számok moduljait megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk: ;

KOMPLEX SZÁMOK XI

256. § Komplex számok trigonometrikus alakja

Legyen a komplex szám a + bi vektornak felel meg OA> koordinátákkal ( a, b ) (lásd 332. ábra).

Jelölje ennek a vektornak a hosszát r és a tengellyel bezárt szöget x , keresztben φ . A szinusz és koszinusz meghatározása szerint:

a / r = cos φ , b / r = bűn φ .

Ezért de = r kötözősaláta φ , b = r bűn φ . De ebben az esetben a komplex szám a + bi így írható:

a + bi = r kötözősaláta φ + ir bűn φ = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ).

Mint tudják, bármely vektor hosszának négyzete egyenlő a koordinátáinak négyzeteinek összegével. Ezért r 2 = a 2 + b 2, honnan r = √a 2 + b 2

Így, bármilyen komplex szám a + bi ként ábrázolható :

a + bi = r (kötözősaláta φ + én bűn φ ), (1)

ahol r = √a 2 + b 2 , és a szög φ a feltétel alapján határozzuk meg:

A komplex számok írásának ezt a formáját ún trigonometrikus.

Szám r az (1) képletben ún modult, és a szög φ - érv, összetett szám a + bi .

Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor a modulusa pozitív; ha a + bi = 0, akkor a = b = 0, majd r = 0.

Bármely komplex szám modulusa egyedileg meghatározott.

Ha komplex szám a + bi nem egyenlő nullával, akkor argumentumát a (2) képletek határozzák meg egyértelműen 2 szög többszöröséig π . Ha a + bi = 0, akkor a = b = 0. Ebben az esetben r = 0. Az (1) képletből könnyen megérthető, hogy érvként φ ebben az esetben bármilyen szöget választhat: végül is bármelyikhez φ

0 (cos φ + én bűn φ ) = 0.

Ezért a nulla argumentum nincs definiálva.

Komplex számmodulus r néha | z |, és az arg z . Nézzünk néhány példát a komplex számok trigonometrikus formában való ábrázolására.

Példa. egy. 1 + én .

Keressük meg a modult r és érvelés φ ez a szám.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Ezért a bűn φ = 1/√ 2, cos φ = 1 / √ 2, honnan φ = π / 4 + 2nπ .

Ily módon

1 + én = √ 2 ,

ahol P - tetszőleges egész szám. Általában egy komplex szám argumentumának végtelen értékkészletéből választanak ki egyet, amely 0 és 2 között van. π . Ebben az esetben ez az érték π / 4. Ezért

1 + én = √ 2 (cos π / 4 + én bűn π / 4)

2. példaÍrjon trigonometrikus formában egy komplex számot! √ 3 - én . Nekünk van:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Ezért 2-vel osztható szögig π , φ = 11 / 6 π ; Következésképpen,

√ 3 - én = 2 (cos 11/6 π + én bűn 11/6 π ).

3. példaÍrjon trigonometrikus formában egy komplex számot! én .

összetett szám én vektornak felel meg OA> a tengely A pontjában végződik nál nél 1. ordinátával (333. ábra). Egy ilyen vektor hossza 1, és az abszcissza tengellyel bezárt szög egyenlő π / 2. Ezért

én = cos π / 2 + én bűn π / 2 .

4. példaÍrd fel trigonometrikus alakban a 3-as komplex számot!

A 3-as komplex szám a vektornak felel meg OA > x abszcissza 3 (334. ábra).

Egy ilyen vektor hossza 3, az x tengellyel bezárt szög pedig 0. Ezért

3 = 3 (cos 0 + én bűn 0),

5. példaÍrd trigonometrikus formában a -5 komplex számot!

A -5 komplex szám a vektornak felel meg OA> a tengelypontban végződik x abszcisszával -5 (335. ábra). Egy ilyen vektor hossza 5, és az x tengellyel bezárt szög π . Ezért

5 = 5 (cos π + én bűn π ).

Feladatok

2047. Írja trigonometrikus formában ezeket a komplex számokat, definiálja moduljaikat és argumentumaikat:

1) 2 + 2√3 én , 4) 12én - 5; 7).3én ;

2) √3 + én ; 5) 25; 8) -2én ;

3) 6 - 6én ; 6) - 4; 9) 3én - 4.

2048. Jelölje a síkon azon komplex számokat reprezentáló ponthalmazokat, amelyek r moduljai és φ argumentumai teljesítik a feltételeket:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Lehetnek-e számok egyidejűleg egy komplex szám modulja is? r és - r ?

2050. Lehet-e egy komplex szám argumentuma egyszerre szög φ és - φ ?

Mutassa be ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában, moduljaik és argumentumaik meghatározásával:

2051*. 1 + cos α + én bűn α . 2054*. 2 (cos 20° - én sin 20°).

2052*. bűn φ + én kötözősaláta φ . 2055*. 3 (- cos 15°- én sin 15°).

Előadás

Komplex szám trigonometrikus alakja

Terv

1. Komplex számok geometriai ábrázolása.

2. Komplex számok trigonometrikus jelölése.

3. Műveletek komplex számokra trigonometrikus formában.

Komplex számok geometriai ábrázolása.

a) A komplex számokat a sík pontjai ábrázolják a következő szabály szerint: a + kettős = M ( a ; b ) (1. ábra).

1. kép

b) Egy komplex szám a pontból induló vektorként ábrázolhatóRÓL RŐL és egy adott pontban ér véget (2. ábra).

2. ábra

7. példa: ábrázolja a komplex számokat ábrázoló pontokat:1; - én ; - 1 + én ; 2 – 3 én (3. ábra).

3. ábra

Komplex számok trigonometrikus jelölése.

Összetett számz = a + kettős sugár - vektor segítségével állítható be koordinátákkal( a ; b ) (4. ábra).

4. ábra

Meghatározás . Vektor hossza a komplex számot reprezentáljaz , ezt a szám modulusának nevezzük, és jelöljük vagyr .

Bármilyen komplex számraz a moduljar = | z | a képlet egyedileg határozza meg .

Meghatározás . A valós tengely pozitív iránya és a vektor közötti szög értéke egy komplex számot reprezentáló komplex szám argumentumának nevezzük és jelöljükDE rg z vagyφ .

Komplex szám argumentumz = 0 nem meghatározott. Komplex szám argumentumzA ≠ 0 egy többértékű mennyiség, és a futamidőig van meghatározva2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , aholarg z - az argumentum fő értéke, az intervallumba zárva(-π; π] , azaz-π < arg z ≤ π (néha az intervallumhoz tartozó értéket veszik az argumentum fő értékének .

Ez a képlet ar =1 gyakran De Moivre képletének nevezik:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11. példa Számítsa ki(1 + én ) 100 .

Írjunk fel egy komplex számot1 + én trigonometrikus formában.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (kötözősaláta + vétkezem )] 100 = ( ) 100 (kötözősaláta 100+ i bűn 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Egy komplex szám négyzetgyökének kinyerése.

Komplex szám négyzetgyökének kinyerésekora + kettős két esetünk van:

hab > kb , azután ;

2.3. Komplex számok trigonometrikus alakja

Legyen a vektor adott összetett sík szám .

Jelölje φ-vel az Ox pozitív féltengely és a vektor közötti szöget (a φ szöget pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes irányba számoljuk, ellenkező esetben negatívnak).

Jelölje a vektor hosszát r-vel. Azután . Azt is jelöljük

Nullától eltérő komplex szám z felírása mint

a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük. Az r számot a z komplex szám modulusának, a φ számot pedig ennek a komplex számnak az argumentumának nevezzük, és Arg z-vel jelöljük.

A komplex szám írásának trigonometrikus formája - (Euler-képlet) - a komplex szám írásának exponenciális formája:

A z komplex számnak végtelen sok argumentuma van: ha φ0 a z szám bármely argumentuma, akkor az összes többi megtalálható a képlettel

Komplex szám esetén az argumentum és a trigonometrikus forma nincs megadva.

Így egy nem nulla komplex szám argumentuma az egyenletrendszer tetszőleges megoldása:

(3)

Egy z komplex szám argumentumának φ értékét, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket, főértéknek nevezzük, és arg z-vel jelöljük.

Az Arg z és az arg z érvek egyenlőséggel kapcsolódnak egymáshoz

, (4)

Az (5) képlet a (3) rendszer következménye, így a komplex szám minden argumentuma kielégíti az (5) egyenlőséget, de nem minden φ megoldása az (5) egyenletnek a z szám argumentuma.

A nullától eltérő komplex szám argumentumának fő értékét a következő képletek határozzák meg:

A komplex számok trigonometrikus formában történő szorzására és osztására szolgáló képletek a következők:

. (7)

Amikor egy komplex számot természetes hatványra emelünk, a de Moivre-képletet használjuk:

Ha komplex számból kinyerünk gyökeret, a képletet használjuk:

, (9)

ahol k=0, 1, 2, …, n-1.

54. feladat Számítsa ki , ahol .

Ábrázoljuk ennek a kifejezésnek a megoldását egy komplex szám írásának exponenciális alakjában: .

Ha akkor .

Azután , . Ezért aztán És , ahol .

Válasz: , nál nél .

55. feladat Írjon fel komplex számokat trigonometrikus formában:

de) ; b) ; ban ben) ; G) ; e) ; e) ; g).

Mivel egy komplex szám trigonometrikus alakja , akkor:

a) Komplex számban: .

,

Ezért

b) , ahol ,

G) , ahol ,

e) .

g) , de , azután .

Ezért

Válasz: ; 4; ; ; ; ; .

56. feladat Keresse meg egy komplex szám trigonometrikus alakját!

.

Legyen , .

Azután , , .

Mert és , , majd , és

Ezért tehát

Válasz: , ahol .

57. feladat Egy komplex szám trigonometrikus alakjának felhasználásával hajtsa végre a következő műveleteket: .

Képzeld el a számokat és trigonometrikus formában.

1), hol azután

A fő érv értékének meghatározása:

Helyettesítsük be az értékeket és a kifejezésbe, kapjuk

2) ahol aztán

Azután

3) Keresse meg a hányadost!

Feltéve, hogy k=0, 1, 2, a kívánt gyökér három különböző értékét kapjuk:

Ha akkor

ha akkor

ha akkor .

Válasz: :

:

: .

58. feladat Legyenek , , , különböző komplex számok és . Bizonyítsd

egy szám érvényes pozitív szám;

b) az egyenlőség megtörténik:

a) ábrázoljuk ezeket a komplex számokat trigonometrikus formában:

Mivel .

Tegyünk úgy, mintha. Azután

.

Az utolsó kifejezés egy pozitív szám, mivel a szinuszjelek alatt vannak számok az intervallumból.

mert a szám valódi és pozitív. Valóban, ha a és b komplex számok, és valósak és nagyobbak nullánál, akkor .

Kívül,

tehát a megkívánt egyenlőség bebizonyosodik.

59. feladat Írja le a számot algebrai formában! .

A számot trigonometrikus formában ábrázoljuk, majd megtaláljuk az algebrai alakját. Nekünk van . Mert megkapjuk a rendszert:

Ebből következik az egyenlőség: .

De Moivre képletét alkalmazva:

kapunk

Megtaláljuk az adott szám trigonometrikus alakját.

Ezt a számot most algebrai formában írjuk:

.

Válasz: .

60. feladat Keresse meg a , , összeget

Fontolja meg az összeget

A De Moivre-képletet alkalmazva azt találjuk

Ez az összeg n tag összege geometriai progresszió nevezővel és első tagja .

Az ilyen progresszió tagjainak összegére vonatkozó képletet alkalmazva megkapjuk

Kiemelés képzeletbeli rész az utolsó kifejezésben azt találjuk

A valós részt elkülönítve azt is kapjuk a következő képlet: , , .

61. feladat Keresse meg az összeget:

de) ; b) .

A hatalomra emelés Newton-képlete szerint megvan

De Moivre képlete szerint a következőket találjuk:

A kapott kifejezések valós és imaginárius részét egyenlővé téve a következővel:

És .

Ezeket a képleteket tömör formában a következőképpen írhatjuk fel:

,

, ahol az a szám egész része.

62. feladat Keresse meg mindazt, amelyhez .

Amennyiben , majd a képlet alkalmazásával

, A gyökerek kinyeréséhez kapunk ,

Következésképpen, , ,

, .

A számoknak megfelelő pontok a (0;0) pont középpontjában lévő 2 sugarú körbe írt négyzet csúcsaiban helyezkednek el (30. ábra).

Válasz: , ,

, .

63. feladat Oldja meg az egyenletet! , .

Feltétel szerint ; ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke, és ezért ekvivalens az egyenlettel.

Ahhoz, hogy a z szám legyen ennek az egyenletnek a gyöke, szükséges, hogy a szám legyen a gyöke n-edik fokozat 1. számtól.

Ebből arra következtetünk, hogy az eredeti egyenletnek az egyenlőségekből meghatározott gyökei vannak

,

Ily módon

,

azaz ,

Válasz: .

64. feladat Oldja meg az egyenletet a komplex számok halmazában!

Mivel a szám nem a gyöke ennek az egyenletnek, ezért ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

Vagyis az egyenlet.

Ennek az egyenletnek az összes gyöke a képletből adódik (lásd a 62. feladatot):

; ; ; ; .

65. feladat Rajzoljon a komplex síkra egy olyan ponthalmazt, amely kielégíti az egyenlőtlenségeket: . (A 45. feladat megoldásának második módja)

Legyen .

Az azonos modulokat tartalmazó komplex számok a sík azon pontjainak felelnek meg, amelyek az origó középpontjában lévő körön helyezkednek el, így az egyenlőtlenség kielégíti az origóban közös középpontú körök által határolt nyitott gyűrű minden pontját és sugarát és (31. ábra). A komplex sík valamely pontja feleljen meg a w0 számnak. Szám , modulusa többszöröse a w0 modulusnak, ami nagyobb, mint a w0 argumentum. Geometriai szempontból a w1-nek megfelelő pontot az origó és együttható középpontú homotétiával, valamint az origóhoz képest az óramutató járásával ellentétes irányú elforgatással kaphatjuk meg. Ha ezt a két transzformációt a gyűrű pontjaira alkalmazzuk (31. ábra), az utóbbi egy gyűrűvé válik, amelyet azonos középpontú, 1 és 2 sugarú körök határolnak (32. ábra).

átalakítás segítségével valósítottuk meg párhuzamos átvitel vektorhoz. A pontban középpontos gyűrűt áthelyezve a jelzett vektorba, egy pontban középpontban azonos méretű gyűrűt kapunk (22. ábra).

A javasolt módszer, amely a sík geometriai transzformációinak ötletét használja, valószínűleg kevésbé kényelmes a leírásban, de nagyon elegáns és hatékony.

66. feladat Keresse meg, ha .

Hagyjuk , majd és . Az eredeti egyenlőség a formáját ölti . Két komplex szám egyenlőségének feltételéből kapjuk a , , ahonnan , . Ily módon,.

Írjuk fel a z számot trigonometrikus alakban:

, ahol , . De Moivre képlete szerint azt találjuk, hogy .

Válasz: - 64.

67. feladat. Egy komplex számhoz keressük meg az összes olyan komplex számot, amelyre , és .

A számot ábrázoljuk trigonometrikus formában:

. Ennélfogva , . Ha egy számot kapunk, egyenlő lehet bármelyikkel.

Az első esetben , a másodikban

.

Válasz: , .

68. feladat Keresse meg az olyan számok összegét, hogy . Adja meg az egyik számot.

Vegyük észre, hogy már a probléma megfogalmazásából is érthető, hogy az egyenlet gyökeinek összege megtalálható anélkül, hogy magukat a gyököket számítanák ki. Valóban, az egyenlet gyökeinek összege együtthatója, ellenkező előjellel (az általánosított Vieta-tétel), azaz.

A tanulók, az iskolai dokumentáció, következtetéseket vonnak le e fogalom asszimilációjának mértékéről. Foglalja össze a matematikai gondolkodás sajátosságainak vizsgálatát és a komplex szám fogalmának kialakításának folyamatát! A módszerek leírása. Diagnosztika: I. szakasz. Az interjú egy matematikatanárral készült, aki 10. osztályban algebrát és geometriát tanít. A beszélgetésre némi idő elteltével került sor...

Rezonancia" (!)), amely magában foglalja a saját viselkedés értékelését is. 4. A helyzet megértésének kritikus értékelése (kétségek). 5. Végül az ajánlások alkalmazása. jogi pszichológia(az elvégzett szakmai cselekmények pszichológiai szempontjainak ügyvédi mérlegelése - szakmai és pszichológiai felkészültség). Tekintsük most a jogi tények pszichológiai elemzését. ...

A trigonometrikus helyettesítés matematikája és a kidolgozott tanítási módszertan eredményességének igazolása. A munka szakaszai: 1. Fakultatív tantárgy kidolgozása a következő témában: "Trigonometrikus helyettesítés alkalmazása algebrai feladatok megoldására" a matematika elmélyült tanulmányozásával foglalkozó osztályok tanulóival. 2. Kidolgozott fakultatív tanfolyam lebonyolítása. 3. Diagnosztikai ellenőrzés elvégzése...

A kognitív feladatok csak a meglévő oktatási segédanyagok kiegészítésére szolgálnak, és minden hagyományos eszközzel és elemmel megfelelő kombinációban kell lenniük. oktatási folyamat. A tanulási célok közötti különbség a tanításban bölcsészettudományok pontosból, tól matematikai feladatok csak abban áll, hogy a történelmi problémákban nincsenek képletek, merev algoritmusok stb., ami bonyolítja a megoldásukat. ...