Ha a tengelyek központiak, akkor a pillanattengelyek így fognak kinézni:

15.közötti kapcsolat tehetetlenségi nyomatékok a tengelyek forgatásakor:

J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 \u003d J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a;

Szög a>0, ha az átmenet a régi koordinátarendszerből az újba az óramutató járásával ellentétes irányban történik. J y 1 + J x 1 = J y + J x

A tehetetlenségi nyomatékok szélső (maximális és minimális) értékeit nevezzük fő tehetetlenségi nyomatékok. Nevezzük azokat a tengelyeket, amelyekhez képest a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélsőértékkel rendelkeznek fő tehetetlenségi tengelyek. A fő tehetetlenségi tengelyek egymásra merőlegesek. A főtengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékok = 0, azaz. fő tehetetlenségi tengelyek - tengelyek, amelyekhez képest a centrifugális tehetetlenségi nyomaték = 0. Ha az egyik tengely egybeesik, vagy mindkettő egybeesik a szimmetriatengellyel, akkor fő. A főtengelyek helyzetét meghatározó szög: , ha a 0 >0 Þ a tengelyeket az óramutató járásával ellentétes irányba forgatjuk. A maximum tengelye mindig kisebb szöget zár be a tengelyekkel, amelyekhez képest a tehetetlenségi nyomaték nagyobb értékű. A súlyponton áthaladó főtengelyeket ún fő központi tehetetlenségi tengelyek. Tehetetlenségi nyomatékok ezeknél a tengelyeknél:

J max + J min = J x + J y. Centrifugális tehetetlenségi nyomaték a fő központi tengelyek A tehetetlenségi nyomaték 0. Ha a fő tehetetlenségi nyomatékok ismertek, akkor az elforgatott tengelyekre való átmenet képlete a következő:

J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

A számítás végső célja geometriai jellemzők szakasz a megbízó meghatározása központi pillanatok a tehetetlenség és a fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetei. Tehetetlenségi sugár - ; Jx=F×ix2, J y=F×i y2.

Ha J x és J y a fő tehetetlenségi nyomatékok, akkor i x és i y - fő forgási sugarak. A fő tehetetlenségi sugarakra, mint a féltengelyekre épülő ellipszist nevezzük tehetetlenségi ellipszis. A tehetetlenségi ellipszis segítségével grafikusan megkeresheti az i x 1 forgási sugarat bármely x 1 tengelyre. Ehhez rajzoljon egy érintőt az ellipszisre az x 1 tengellyel párhuzamosan, és mérje meg a távolságot ettől a tengelytől az érintőhöz. A tehetetlenségi sugár ismeretében megtalálhatja a szakasz tehetetlenségi nyomatékát az x tengely körül 1:. A kettőnél több szimmetriatengellyel rendelkező szakaszok (például: kör, négyzet, gyűrű stb.) esetén az összes központi tengelyre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok egyenlőek egymással, J xy \u003d 0, az ellipszis a tehetetlenség tehetetlenségi körré változik.

Gyakorlati feladatok megoldása során gyakran meg kell határozni egy szakasz tehetetlenségi nyomatékait a síkjában különböző módon orientált tengelyekhez képest. Ebben az esetben célszerű a teljes szakasz (vagy egyes részei) más tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékainak már ismert értékeit használni, amelyeket a műszaki irodalom, a speciális referenciakönyvek és táblázatok, valamint a rendelkezésre álló képletekkel számítjuk ki. Ezért nagyon fontos az azonos szakasz különböző tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai közötti kapcsolat megállapítása.

A legáltalánosabb esetben az átmenet bármely régiről bármelyikre új rendszer A koordináták a régi koordinátarendszer két egymást követő transzformációjának tekinthetők:

1) a koordinátatengelyek párhuzamos áthelyezésével új pozícióba és

2) az új origóhoz képest elforgatva. Tekintsük ezen átalakítások közül az elsőt, i.e. párhuzamos átvitel koordináta tengelyek.

Tegyük fel, hogy egy adott szakasznak a régi tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai (18.5. ábra) ismertek.

Vegyünk egy új koordináta-rendszert, amelynek tengelyei párhuzamosak a régiekkel. Jelölje a és b a pont (azaz az új origó) koordinátáit a régi koordinátarendszerben

Tekintsünk egy elemi területet, melynek koordinátái a régi koordinátarendszerben y és . Az új rendszerben egyenlők

Helyettesítsük be ezeket a koordinátaértékeket a tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe

A kapott kifejezésben a tehetetlenségi nyomaték, a szakasz tengely körüli statikus nyomatéka megegyezik a szakasz F területével.

Következésképpen,

Ha a z tengely átmegy a szakasz súlypontján, akkor a statikus nyomaték ill

A (25.5) képletből látható, hogy minden olyan tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, amely nem megy át a tömegközépponton, nagyobb, mint a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, olyan mértékben, amely mindig pozitív . Ezért az összes tehetetlenségi nyomatékhoz képest párhuzamos tengelyek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka van legkisebb érték a szakasz súlypontján átmenő tengelyhez képest.

A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték [a (24.5) képlettel analógia]

Abban az esetben, ha az y tengely áthalad a szakasz súlypontján

A (25.5) és (27.5) képleteket széles körben használják a számításoknál axiális nyomatékokösszetett (összetett) szakaszok tehetetlensége.

Helyettesítsük be az értékeket a tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe

Határozzuk meg a metszet két párhuzamos tengelyhez viszonyított különböző tehetetlenségi nyomatékai közötti összefüggést (6.7. ábra), amelyeket függőségek kapcsolnak össze.

1. Statikus tehetetlenségi nyomatékokhoz

Végül,

2. Tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokhoz

Következésképpen,

Ha a tengely záthalad a szakasz súlypontján, akkor

A párhuzamos tengelyekre vonatkozó összes tehetetlenségi nyomaték közül a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték a legkisebb értékű a metszet súlypontján átmenő tengely körül.

Hasonlóan a tengelyhez

Amikor a tengely yáthalad a szakasz súlypontján

3. A centrifugális tehetetlenségi nyomatékokra azt kapjuk

Végre írhatsz

Amikor a koordinátarendszer origója yz a szakasz súlypontjában van, kapjuk

Abban az esetben, ha az egyik vagy mindkét tengely szimmetriatengely,

6.7. A tehetetlenségi nyomatékok megváltoztatása a tengelyek forgatásakor

Legyenek adottak a szakasz tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekhez képest zy.

Meg kell határozni ugyanannak a szakasznak a tehetetlenségi nyomatékát a koordinátarendszerhez képest egy bizonyos szögben elforgatott tengelyekhez képest zy(6.8. ábra).

Egy szöget akkor tekintünk pozitívnak, ha a régi koordinátarendszert az óramutató járásával ellentétes irányba kell elforgatni, hogy az újba lépjünk (a jobb oldali derékszögű téglalap koordinátarendszerhez). Új és régi zyábrából következő függőségek kapcsolják össze a koordinátarendszereket. 6.8:

1. Határozzuk meg az új koordinátarendszer tengelyeire vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok kifejezéseit:

Hasonlóan a tengelyhez

Ha összeadjuk a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok értékeit és akkor kapjuk

azaz a tengelyek elforgatásakor a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege állandó érték.

2. Vezessünk le centrifugális tehetetlenségi nyomatékok képleteit!

.

6.8. A fő tehetetlenségi nyomatékok. Fő tehetetlenségi tengelyek

A szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékainak szélső értékeit fő tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük.

Két, egymásra merőleges tengelyt, amelyekre nézve a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélső értékei vannak, fő tehetetlenségi tengelynek nevezzük.

A fő tehetetlenségi nyomatékok és a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározásához meghatározzuk az első deriváltot a tehetetlenségi nyomaték szögéhez képest, amelyet a (6.27) képlet határoz meg.

Állítsa ezt az eredményt nullára:

ahol a koordinátatengelyek elforgatásának szöge yés z hogy egybeessenek a főtengelyekkel.

A (6.30) és (6.31) kifejezések összehasonlításával megállapíthatjuk, hogy

,

Ezért a fő tehetetlenségi tengelyekhez viszonyítva a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nulla.

Az egymásra merőleges tengelyek, amelyek közül az egyik vagy mindkettő egybeesik a szakasz szimmetriatengelyével, mindig a fő tehetetlenségi tengely.

Megoldjuk a (6.31) egyenletet a szögre vonatkozóan:

.

Ha >0, akkor a jobb (bal) derékszögű derékszögű koordinátarendszer egyik fő tehetetlenségi tengelyének helyzetének meghatározásához a tengely z szöget fordítson az óramutató járásával ellentétes irányba (a forgásirányba) az óramutató járásával megegyező irányba. Ha egy<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz szöggel forgassa el a forgásirányban (a forgásiránnyal szemben) az óramutató járásával megegyezően.

A maximális tengely mindig kisebb szöget zár be a tengelyekkel ( y vagy z), amelyhez képest a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték nagyobb jelentőséggel bír (6.9. ábra).

A maximális tengely szöget zár be a () tengellyel, ha (), és a tengelyek páros (páratlan) negyedében található, ha ().

Határozzuk meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat és. A trigonometriából származó képleteket használva, függvényeket,,, függvényekkel összekapcsolva a (6.27) képletből kapjuk

,

Tekintsük egy lapos alak tehetetlenségi nyomatékának meghatározását (ábra).

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

ahol $(S_x)$ - az ábra statikus momentuma a $X$ tengely körül.

Hasonlóan a $(Y_1)$ tengelyhez képest

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Centrifugális tehetetlenségi nyomaték a $(X_1)$ és $(Y_1)$ tengelyekre

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A (ydA) + ab\int\limits_A (dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Leggyakrabban a központi tengelyekről (egy lapos alak megfelelő tengelyei) az önkényes, párhuzamos tengelyekre való átmenetet használják. Ekkor $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, mivel az $X$ és $Y$ tengelyek központiak. Végre megvan

ahol , - saját tehetetlenségi nyomatékok, azaz saját központi tengelyeik tehetetlenségi nyomatékai;

$a$, $b$ - a központi tengelyek és a vizsgált tengelyek közötti távolságok;

$A$ az ábra területe.

Meg kell jegyezni, hogy a centrifugális tehetetlenségi nyomaték meghatározásakor az $a$ és $b$ mennyiségekben az előjelet kell figyelembe venni, vagyis valójában ezek az ábra súlypontjának koordinátái. a figyelembe vett tengelyekben. A tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok meghatározásakor ezeket a mennyiségeket modulo (távolságként) helyettesítjük, mivel továbbra is a négyzetre emelkednek.

Párhuzamos fordítási képletek segítségével végrehajtható az átmenet központi tengelyről tetszőleges tengelyre, vagy fordítva- tetszőleges központi tengelyektől. Az első átmenetet "+" jellel hajtják végre. A második átmenet a " jellel történik- ".

Példák párhuzamos tengelyek közötti átmeneti képletek használatára

Téglalap alakú szakasz

Határozzuk meg a téglalap központi tehetetlenségi nyomatékait a $Z$ és $Y$ tengelyekre vonatkozó ismert tehetetlenségi nyomatékokkal.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

Hasonlóképpen $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

háromszög alakú szakasz

Határozzuk meg az ismert tehetetlenségi nyomatékú háromszög központi tehetetlenségi nyomatékait a $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$ alapra.

.

A $(Y_c)$ központi tengelyhez képest a háromszög konfigurációja eltérő, ezért vegye figyelembe a következőket. A teljes ábra tehetetlenségi nyomatéka a $(Y_c)$ tengely körül egyenlő az $ABD$ háromszög $(Y_c)$ tengely körüli tehetetlenségi nyomatékának és a $CBD háromszög tehetetlenségi nyomatékának összegével. $ a $(Y_c)$ tengelyről, azaz.

.

Összetett szakasz tehetetlenségi nyomatékának meghatározása

A szakaszt összeállítandónak tekintjük, egyedi elemekből áll, melyek geometriai jellemzői ismertek. Egy összetett alak területe, statikus nyomatéka és tehetetlenségi nyomatéka megegyezik az összetevőik megfelelő jellemzőinek összegével. Ha egy metszet úgy alakítható ki, hogy egyik alakot kivágjuk a másikból, akkor a kivágott figura geometriai jellemzőit levonjuk. ábrán látható összetett ábra tehetetlenségi nyomatékai például. ként lesz meghatározva

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12 )) = 72\.300 $cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \jobbra) = 1\.490\.000 $cm 4

A rúd tehetetlenségi nyomatékának változása a tengelyek párhuzamos transzlációjával.

A statikus nyomatékokon kívül vegye figyelembe a következő három integrált:

Ahol az előbbiekhez hasonlóan x és y jelöli a dF elemi terület aktuális koordinátáit egy tetszőleges xOy koordinátarendszerben. Az első 2 integrált hívjuk a szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai az x és y tengelyekről. A harmadik integrált ún a metszet centrifugális tehetetlenségi nyomatéka x, y vonatkozásában. Az axiális momentumok mindig pozitívak, mert a dF területet pozitívnak tekintjük. A centrifugális tehetetlenségi nyomaték lehet pozitív vagy negatív, attól függően, hogy a metszet hol helyezkedik el az x, y tengelyekhez képest.

Vezessük le a tehetetlenségi nyomatékok transzformációjának képleteit a tengelyek párhuzamos elmozdulásával. (lásd a képet). Feltételezzük, hogy az x 1 és y 1 tengelyekre adott tehetetlenségi nyomatékok és statikus nyomatékok. Meg kell határozni az x2 és y2 tengelyekre vonatkozó nyomatékokat.

Helyettesítve itt x 2 \u003d x 1 -a és y 2 \u003d y 1 -b azt találjuk

A zárójeleket bővítve megvan.

Ha az x 1 és y 1 tengelyek központiak, akkor S x 1 \u003d S y 1 \u003d 0 és a kapott kifejezések egyszerűsödnek:

A tengelyek párhuzamos fordításával (ha az egyik tengely központi), a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok a keresztmetszeti terület és a tengelyek közötti távolság négyzetének szorzatával megegyező mértékben változnak.