A lapos alak súlypontján átmenő tengelyeket központi tengelyeknek nevezzük.
A központi tengely körüli tehetetlenségi nyomatékot ún központi pillanat tehetetlenség.

Tétel

A tehetetlenségi nyomaték bármely tengely körül megegyezik az adott tengelyhez tartozó középtengely körüli tehetetlenségi nyomaték összegével, valamint az ábra területének és a tengelyek közötti távolság négyzetének szorzatával. .

Ennek a tételnek a bizonyításához vegyünk egy tetszőleges síkidomot, amelynek területe egyenlő DE , a súlypont azon a ponton található TÓL TŐL , és a tengely körüli központi tehetetlenségi nyomaték x lesz én x .
Számítsa ki az ábra tehetetlenségi nyomatékát valamely tengely körül! x 1 , párhuzamosan a központi tengellyel, és attól bizonyos távolságra a (rizs).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

A kapott képlet elemzésekor megjegyezzük, hogy az első tag a központi tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték, a második tag az ábra területének statikus nyomatéka a központi tengelyhez képest (tehát egyenlő nullával ), az integráció utáni harmadik tag pedig termékként ábrázolható a 2 A , azaz ennek eredményeként a következő képletet kapjuk:

I x1 \u003d I x + a 2 A- bebizonyosodik a tétel.

A tétel alapján megállapítható, hogy párhuzamos tengelyek sorozatából egy lapos alak tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka a legkisebb lesz a központi tengelyhez képest .

Főtengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok

Képzeljünk el egy síkidomot, melynek tehetetlenségi nyomatékai a koordinátatengelyekre vonatkoznak én x és I y , és az origóra vonatkozó poláris tehetetlenségi nyomaték egyenlő I ρ . A korábban megállapítottak szerint

I x + I y = I ρ.

Ha a koordinátatengelyeket síkjukban az origó körül elforgatjuk, akkor a poláris tehetetlenségi nyomaték változatlan marad, és axiális nyomatékok változni fog, miközben összegük állandó marad. Mivel a változók összege állandó, az egyik csökken, a másik növekszik, és fordítva.
Ezért a tengelyek egy bizonyos helyzetében az egyik tengelyirányú nyomaték eléri maximális érték, a másik pedig a minimum.

Azokat a tengelyeket, amelyekhez képest a tehetetlenségi nyomaték minimális és maximális értéke van, fő tehetetlenségi tengelynek nevezzük.
A főtengely körüli tehetetlenségi nyomatékot fő tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük.

Ha a főtengely áthalad az ábra súlypontján, akkor főtengelynek nevezzük központi tengely, és az ilyen tengely körüli tehetetlenségi nyomaték a fő központi tehetetlenségi nyomaték.
Megállapítható, hogy ha egy ábra szimmetrikus valamelyik tengelyre, akkor mindig ez a tengely lesz ennek az alaknak az egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.

centrifugális tehetetlenségi nyomaték

Egy lapos alak centrifugális tehetetlenségi nyomatéka az elemi területek szorzatának összege a teljes területen, két egymásra merőleges tengelyen:

I xy = Σ xy dA,

ahol x , y - távolság a helyszíntől dA tengelyekre x és y .
A centrifugális tehetetlenségi nyomaték lehet pozitív, negatív vagy nulla.

A centrifugális tehetetlenségi nyomatékot az aszimmetrikus szakaszok főtengelyeinek helyzetét meghatározó képletek tartalmazzák.
A szabványos profilok táblázatai tartalmaznak egy ún a szakasz forgási sugara , a következő képletekkel számítjuk ki:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (a továbbiakban a jel"√"- gyökér jel)

ahol én x, én y - a szakasz tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai a központi tengelyekhez képest; DE - keresztmetszeti terület.
Ezt a geometriai jellemzőt az excentrikus feszültség vagy összenyomás, valamint a kihajlás vizsgálatára használják.

Torziós deformáció

A torzió alapfogalmai. Kerek rúd csavarása.

A torzió az alakváltozás olyan fajtája, amelynél a gerenda bármely keresztmetszetében csak nyomaték lép fel, azaz olyan erőtényező, amely a szakasz körkörös elmozdulását idézi elő egy erre a szakaszra merőleges tengelyhez képest, vagy megakadályozza az ilyen mozgást. Más szavakkal, torziós alakváltozások akkor lépnek fel, ha egy vagy több erőt egy egyenes gerendára a tengelyére merőleges síkban fejtünk ki.
Ezen erőpárok nyomatékait csavarodásnak vagy forgásnak nevezzük. A nyomatékot jelöljük T .
Egy ilyen meghatározás feltételesen felosztja a torziós alakváltozás erőtényezőit külső (csavaró, nyomatéknyomatékok) T ) és belső (nyomaték M kr ).

A gépekben és mechanizmusokban a kerek vagy cső alakú tengelyek leggyakrabban csavarodásnak vannak kitéve, ezért az ilyen egységekre és alkatrészekre leggyakrabban szilárdsági és merevségi számításokat végeznek.

Tekintsük egy kerek hengeres tengely torzióját.
Képzeljünk el egy hengeres gumi tengelyt, amelynek egyik vége mereven rögzítve van, és egy hosszirányú vonalakból és keresztirányú körökből álló rácsot helyezünk a felületre. A tengely szabad végére, ennek a tengelynek a tengelyére merőlegesen, néhány erőt fejtünk ki, azaz a tengely mentén megcsavarjuk. Ha alaposan átgondolja a rácsvonalakat a tengely felületén, észre fogja venni, hogy:
- a tengely tengelye, amelyet torziós tengelynek nevezünk, egyenes marad;
- a körök átmérője változatlan marad, és a szomszédos körök közötti távolság nem változik;
- a tengelyen lévő hosszanti vonalak csavarvonalakká alakulnak.

Ebből arra következtethetünk, hogy ha egy kerek hengeres gerendát (tengelyt) megcsavarunk, a hipotézis igaz lapos szakaszok, és azt is feltételezzük, hogy a körök sugarai az alakváltozás során egyenesek maradnak (mivel átmérőjük nem változott). És mivel a tengely szakaszaiban nincsenek hosszanti erők, a köztük lévő távolság megmarad.

Ezért a kerek tengely torziós deformációja abból áll, hogy a keresztmetszeteket egymáshoz képest elfordítják a torziós tengely körül, és forgási szögeik egyenesen arányosak a rögzített szakasztól való távolságokkal - minél távolabb van a tengely rögzített végétől Bármely szakasz található, annál nagyobb szögben csavarodik el a tengely tengelyéhez képest.
A tengely minden szakaszához a forgásszög egyenlő a szöggel a tengely egy részének megcsavarása e szakasz és a végződés közé (rögzített vég).


sarok ( rizs. egy) a tengely szabad végének (végszakasz) elfordulását a hengeres rúd (tengely) teljes csavarodási szögének nevezzük.
Relatív csavarodási szög φ 0 a csavarodási szög arányának nevezzük φ 1 távolságra l 1 ettől a szakasztól a befejezésig (fix szakasz).
Ha egy hengeres gerenda (tengely), amelynek hossza l állandó keresztmetszetű és a szabad végén torziós nyomatékkal van terhelve (vagyis homogén geometriai metszetből áll), akkor igaz az állítás:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = állandó - az érték állandó.

Ha figyelembe vesszük a fenti gumihengeres rúd felületén egy vékony réteget ( rizs. egy) egy rácscella határolja cdef , megjegyezzük, hogy ez a cella deformáció közben elferdül, és a rögzített szakasztól távolabbi oldala a gerenda csavarodása felé tolódik el, felveszi a pozíciót. cde 1 f 1 .

Megjegyzendő, hogy hasonló kép figyelhető meg a nyírási deformáció során, csak ebben az esetben a felület deformálódik a szakaszok egymáshoz viszonyított transzlációs elmozdulása miatt, és nem a forgási elmozdulás miatt, mint a torziós deformációnál. Ez alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy a keresztmetszetek csavarása során csak érintők keletkeznek belső erők(stressz), amely a nyomatékot generálja.

Tehát a nyomaték a keresztmetszetben ható belső érintőleges erők nyalábjának tengelyéhez viszonyított eredő nyomaték.

Gyakorlati feladatok megoldása során gyakran meg kell határozni egy szakasz tehetetlenségi nyomatékait a síkjában különböző módon orientált tengelyekhez képest. Ebben az esetben célszerű a teljes szakasz (vagy egyes részei) más tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékainak már ismert értékeit használni, amelyeket a műszaki irodalom, a speciális referenciakönyvek és táblázatok, valamint a rendelkezésre álló képletekkel számítjuk ki. Ezért nagyon fontos az azonos szakasz különböző tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai közötti kapcsolat megállapítása.

A legáltalánosabb esetben az átmenet bármely régiről bármelyikre új rendszer A koordináták a régi koordinátarendszer két egymást követő transzformációjának tekinthetők:

1) a koordinátatengelyek párhuzamos áthelyezésével új pozícióba és

2) az új origóhoz képest elforgatva. Tekintsük az első transzformációt, azaz a koordinátatengelyek párhuzamos fordítását.

Tegyük fel, hogy egy adott szakasznak a régi tengelyekhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékai (18.5. ábra) ismertek.

Vegyünk egy új koordináta-rendszert, amelynek tengelyei párhuzamosak a régiekkel. Jelölje a és b a pont (azaz az új origó) koordinátáit a régi koordinátarendszerben

Tekintsünk egy elemi területet, melynek koordinátái a régi koordinátarendszerben y és . Az új rendszerben egyenlők

Helyettesítsük be ezeket a koordinátaértékeket a tengely körüli tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe

A kapott kifejezésben a tehetetlenségi nyomaték, a szakasz tengely körüli statikus nyomatéka megegyezik a szakasz F területével.

Következésképpen,

Ha a z tengely átmegy a szakasz súlypontján, akkor a statikus nyomaték ill

A (25.5) képletből látható, hogy minden olyan tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, amely nem megy át a tömegközépponton, nagyobb, mint a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték, olyan mértékben, amely mindig pozitív . Ezért a párhuzamos tengelyekre vonatkozó összes tehetetlenségi nyomaték közül a tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték legkisebb érték a szakasz súlypontján átmenő tengelyhez képest.

A tengely körüli tehetetlenségi nyomaték [a (24.5) képlettel analógia]

Abban az esetben, ha az y tengely áthalad a szakasz súlypontján

A (25.5) és a (27.5) képletet széles körben használják összetett (kompozit) szakaszok tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékának számításakor.

Helyettesítsük be az értékeket a tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték kifejezésébe

7. ábra

,

,

,

ahol én x, én y a referenciatengelyekhez viszonyított tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;

Ixy a centrifugális tehetetlenségi nyomaték a referenciatengelyekre vonatkoztatva;

Én xc, én yc a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok;

Én xcyc a centrifugális tehetetlenségi nyomaték a központi tengelyek körül;

a, b- a tengelyek közötti távolság.

A szakasz tehetetlenségi nyomatékainak meghatározása a tengelyek elforgatásakor

Mindenki ismert geometriai jellemzők szakaszok a központi tengelyekhez képest x C,C-nél(8. ábra). Határozza meg a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat! x 1,1 a központiakhoz képest valamilyen szöggel elforgatva a.

8. ábra

,

ahol I x 1, I y 1 a tengelyekre vonatkoztatott tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok x 1,1 ;

I x 1 y 1 a tengelyekre vonatkoztatott centrifugális tehetetlenségi nyomaték x 1,1 .

A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása

A szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyeinek helyzetét a következő képlet határozza meg:

,

ahol egy 0 a központi és a fő tehetetlenségi tengely közötti szög.

A fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározása

A szakasz fő tehetetlenségi nyomatékait a következő képlet határozza meg:

Egy összetett szakasz kiszámításának sorrendje

1) Bontson fel egy összetett részt egyszerű részekre geometriai alakzatok [S1, S2,…;x 1, y 1; x2, y2, …]

2) Válasszon tetszőleges tengelyeket XOY .

3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét! [x c , y c].

4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c.

5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! x c, Iy c , a tengelyek párhuzamos fordításának tételével.

6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c.

7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét! tg2a 0.

8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Én benne vagyok.

2. PÉLDA

A 13. ábrán látható ábrához határozza meg a főbb pontokat

a tehetetlenség és a fő tehetetlenségi tengelyek helyzete.

1) Egy összetett szakaszt egyszerű geometriai alakzatokra bontunk

S 1 \u003d 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.

2) Válasszon tetszőleges XOY tengelyt.

3) Határozza meg a szakasz súlypontjának helyzetét!

x c = 25 mm, y c=35 mm.

4) Rajzolja meg a központi tengelyeket X c OY c

5) Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! Ix c, Iy c

6) Számítsa ki a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot! Ix c y c

7) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

Ha egy I x >I y és a 0 >0 , majd a szög egy 0 tengelyen kívül X s óramutató járásával ellentétes irányban.

8) Számítsa ki a fő tehetetlenségi nyomatékokat! Imax, Én benne vagyok

3. PÉLDA

ábrán látható ábrához. 8 határozza meg a főtengelyek helyzetét

8. ábra

tehetetlenségi nyomatékok és fő tehetetlenségi nyomatékok.

1) Minden ábrához kiírjuk a főbb kiindulási adatokat

Csatorna

S 1 = 10,9 cm2

I x = 20,4 cm 4

I y = 174 cm 4

y 0= 1,44 cm

h= 10 cm

egyenlőtlen sarok

S 3 = 6,36 cm2

I x = 41,6 cm 4

I y = 12,7 cm 4

I min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x0= 1,13 cm

y 0= 2,6 cm

Téglalap

S2 = 40 cm2

cm 4

cm 4

2) Rajzolunk egy metszetet egy skálán

3) Rajzoljon tetszőleges koordinátatengelyeket

4) Határozza meg a szakasz súlypontjának koordinátáit!

5) Rajzolja meg a központi tengelyeket

6) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat!

7) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomatékot!

A sarokhengerelt acél súlypontjához viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatékát az egyikből határozzuk meg a következő képleteket:

-4

A centrifugális tehetetlenségi nyomaték előjelét szöghengerelt acél esetén az 1. ábra szerint határozzuk meg. 9, szóval I xy 3\u003d -13,17 cm 4.

8) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

a0 = 21,84°

9) Határozza meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!

4. FELADAT

Adott sémákhoz (6. táblázat) szükséges:

1) Rajzolja meg a keresztmetszetet szigorú léptékben!

2) Határozza meg a súlypont helyzetét!

3) Keresse meg a központi tengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok értékét.

4) Határozza meg a központi tengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték értékét!

5) Határozza meg a fő tehetetlenségi tengelyek helyzetét!

6) Keresse meg a fő tehetetlenségi nyomatékokat!

Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 6.

Tervezési sémák a 4. számú feladathoz

6. táblázat

Kiinduló adatok a 4. számú feladathoz

№	Egyenlő polcos sarok	Sarok egyenlőtlen	I-sugár	Csatorna	Téglalap	séma száma
	30'5	50'32'4			100×30
	40'6	56´36´4			100×40
	50'4	63'40'8			100×20
	56´4	70'45'5			80'40
	63´6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20a	16a	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22a	18a	60'60
	100×10	160'100'12			60'40
	d	a	b	ban ben	G	d

Útmutató az 5. feladathoz

A hajlítás olyan alakváltozás, amelyben a rúd keresztmetszetében V.S.F lép fel. - hajlítási nyomaték.

A hajlítási gerenda kiszámításához ismerni kell a legnagyobb hajlítónyomaték értékét Més annak a szakasznak a helyzete, amelyben előfordul. Ugyanígy tudnia kell a legnagyobb oldalerőt K. Erre a célra a hajlítási nyomatékok és a nyíróerők diagramjait építik fel. A diagramokból könnyen meg lehet ítélni, hogy hol lesz a nyomaték vagy a nyíróerő maximális értéke. Az értékek meghatározásához Més K szakaszolás módszerével. Tekintsük az ábrán látható áramkört. 9. Állítsa össze a tengelyre ható erők összegét! Y a gerenda levágott részére hatva.

9. ábra

A keresztirányú erő egyenlő a szakasz egyik oldalán ható összes erő algebrai összegével.

Állítsa össze a gerenda levágott részére ható nyomatékok összegét a metszethez képest.

A hajlítónyomaték megegyezik a nyaláb levágott részére ható összes nyomaték algebrai összegével, a szakasz súlypontjához viszonyítva.

Ahhoz, hogy a gerenda bármely végéről tudjunk számolni, el kell fogadni a belső erőtényezőkre vonatkozó előjelszabályt.

Nyíróerőhöz K.

10. ábra.

Ha külső erő a gerenda levágott részét az óramutató járásával megegyező irányba forgatja, akkor az erő pozitív, ha egy külső erő a gerenda levágott részét az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja, akkor az erő negatív.

A hajlítási nyomatékhoz M.

11. ábra.

Ha befolyás alatt áll külső erő a gerenda ívelt tengelye homorú tál alakú, így a felülről érkező eső megtölti vízzel, ekkor a hajlítónyomaték pozitív (11a. ábra). Ha külső erő hatására a gerenda hajlított tengelye domború tál alakú, így a felülről hulló eső nem tölti meg vízzel, akkor a hajlítónyomaték negatív (11b. ábra).

Az elosztott terhelés intenzitása között q, keresztirányú erő Kés hajlítónyomaték M, egy bizonyos szakaszban a következő különbségi függőségek vannak:

Ezek a hajlítási különbségek lehetővé teszik számunkra, hogy megállapítsuk a keresztirányú erők és hajlítónyomatékok diagramjainak néhány jellemzőjét.

1) Azokon a területeken, ahol nincs megosztott terhelés, a diagram K a diagram és a diagram tengelyével párhuzamos egyenesekre korlátozódik M , általános esetben ferde egyenesek (19. ábra).

2) Azokon a területeken, ahol egyenletes eloszlású terhelés éri a gerendát, a diagram K ferde egyenesek és a diagram korlátozza M – másodfokú parabolák(20. ábra). Tervezéskor M összenyomott szálakon a parabola konvexitása az elosztott terhelés hatásával ellentétes irányba fordul (21a, b ábra).

12. ábra.

13. ábra.

3) Azokban a szakaszokban, ahol K= 0, a diagram érintője M párhuzamos a telek tengelyével (12., 13. ábra). A hajlítónyomaték a gerenda ilyen szakaszaiban extrém nagyságú ( M max,Mmin).

4) Azokon a területeken, ahol Q > 0, M növeli, vagyis balról jobbra haladva a diagram pozitív ordinátáit M növekedés, negatív - csökkenés (12., 13. ábra); azokon a területeken, ahol K < 0, M csökken (12., 13. ábra).

5) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált erők fejtik ki a gerendát:

a) a telken K nagyságrendileg és az alkalmazott erők irányában ugrások lesznek (12., 13. ábra).

b) a diagramon M törések lesznek (12., 13. ábra), a törés csúcsa az erőhatás ellen irányul.

6) Azokon a szakaszokon, ahol koncentrált nyomatékok hatnak a gerendára, a diagramon M ugrások lesznek ezeknek a pillanatoknak a nagyságrendjében, a cselekményen K nem lesz változás (14. ábra).

14. ábra.

15. ábra.

7) Ha egy koncentrált

nyomaték, akkor ebben a szakaszban a hajlítónyomaték egyenlő a külső nyomatékkal (szelvények Cés Bábrán. tizenöt).

8) Diagram K a diagram deriváltjának diagramja M. Tehát az ordináták K arányos a diagram érintőjének meredekségének érintőjével M(14. ábra).

A rajzolás sorrendje Kés M:

1) A gerenda számítási diagramja készül (tengely formájában), a rá ható terhelések képével.

2) A támasztékok gerendára gyakorolt ​​hatását a megfelelő reakciók váltják fel; megadják a reakciók megnevezését és elfogadott irányait.

3) A gerenda egyensúlyi egyenleteit állítják össze, amelyek megoldása határozza meg a támasztóreakciók értékeit.

4) A gerenda szakaszokra van felosztva, amelyek határai a külső koncentrált erők és nyomatékok alkalmazási pontjai, valamint a hatás vagy az elosztott terhelések természetében bekövetkező változás kezdetének és végének pontjai.

5) Hajlítónyomatékok összeállított kifejezései Més keresztirányú erők K a gerenda minden szakaszához. A számítási séma minden szakaszon jelzi a távolságok számlálásának kezdetét és irányát.

6) A kapott kifejezések alapján a diagramok ordinátáit számos gerendaszakaszra számítjuk ki olyan mennyiségben, amely elegendő ezen diagramok megjelenítéséhez.

7) Meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyekben a keresztirányú erők nullával egyenlőek, és amelyekben ezért nyomatékok hatnak Mmax vagy Mmin a gerenda ezen szakaszához; ezeknek a momentumoknak az értékeit kiszámítjuk.

8) A diagramok az ordináták kapott értékei szerint épülnek fel.

9) A megszerkesztett diagramokat egymással összehasonlítva ellenőrizzük.

A hajlítás során fellépő belső erőtényezők diagramjai készülnek a veszélyes szakasz meghatározására. A veszélyes szakasz megtalálása után a gerenda szilárdságát számítják ki. Általában keresztirányú hajlítás, amikor a gerenda szakaszaiban hajlítónyomaték és keresztirányú erő hat, a gerenda szakaszában normál és nyírófeszültségek lépnek fel. Ezért logikus két szilárdsági feltételt figyelembe venni:

a) normál igénybevételek hatására

b) nyírófeszültségek

Mivel a gerendák fő roncsoló tényezője a normál feszültségek, ezért az elfogadott alakú gerenda keresztmetszetének méreteit a normál feszültségekre vonatkozó szilárdsági feltételből határozzuk meg:

Ezután ellenőrzik, hogy a kiválasztott gerendaszakasz megfelel-e a nyírófeszültségi szilárdsági feltételnek.

A gerendák számításának ilyen megközelítése azonban még nem jellemzi a gerenda szilárdságát. Sok esetben a gerendaszakaszokon vannak olyan pontok, amelyekben egyszerre hat nagy normál- és nyírófeszültség. Ilyen esetekben szükségessé válik a gerenda szilárdságának ellenőrzése a fő feszültségekre. Az ilyen ellenőrzésre leginkább a harmadik és a negyedik erőelmélet alkalmazható:

, .

1. PÉLDA

Nyíróerő-parcellák építése Kés hajlítónyomaték Mábrán látható gerendához. 16 ha: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, a = 2 m, b = 1 m, Val vel = 3 m.

16. ábra.

1) Határozza meg a támasztó reakciókat!

;

Vizsgálat:

A reakciókat helyesen találtuk

2) Oszd fel a gerendát szakaszokra CA,HIRDETÉS,DE,EK,KB.

3) Határozza meg az értékeket! Kés M minden területen.

SA

, ; , .

HIRDETÉS

, ;

, .

DE

, ;

, .

HF

, , ;

, , .

Keresse meg a maximális hajlítási nyomatékot a szakaszon KB.

Tegye egyenlővé az egyenletet K ezen a szakaszon nullázzuk, és fejezzük ki a koordinátát zmax , amellyel K= 0, és a pillanatnak van maximális értéke. Ezután helyettesítjük zmax a szakasz pillanategyenletébe, és keresse meg Mmax.

EC

, ;

, .

4) Diagramokat készítünk (16. ábra)

2. PÉLDA

ábrán látható gerendához. 16 határozza meg egy kerek, téglalap alakú ( h/b = 2) és egy I-szakasz. Ellenőrizze az I-gerenda szilárdságát a fő feszültségek szerint, ha [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) A szilárdsági feltételből meghatározzuk a szükséges ellenállási nyomatékot

2) Határozza meg a körmetszet méreteit!

3) Határozza meg a téglalap alakú metszet méreteit!

4) A 10-es számú I-gerenda kiválasztása a választék szerint (GOST 8239-89)

W X\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, én X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

A gerenda főfeszültségek szerinti szilárdságának ellenőrzéséhez szükséges a normál és a nyírófeszültségek ábrázolása a veszélyes szakaszon. Mivel a főfeszültségek nagysága mind a normál, mind a nyírófeszültségtől függ, a szilárdsági vizsgálatot a gerenda azon szakaszán kell elvégezni, ahol Més K elég nagyok. egy támaszon NÁL NÉL(16. ábra) nyíróerő K maximális értéke van, de itt M= 0. ezért a támasztékról szóló részt veszélyesnek tartjuk DE, ahol a hajlítónyomaték maximális és a keresztirányú erő viszonylag nagy.

A metszet magassága mentén változó normál feszültségek betartják a lineáris törvényt:

ahol y- a szakaszpont koordinátája (24. ábra).

nál nél nál nél= 0, s = 0;

nál nél ymax ,

A nyírófeszültségek változásának törvényét a terület statikus nyomatékának változásának törvénye határozza meg, amely viszont a metszet magassága mentén a parabolatörvény szerint változik. A szelvény jellemző pontjainak értékének kiszámítása után elkészítjük a nyírófeszültségek diagramját. A t értékeinek kiszámításakor a szelvény méreteinek jelölését használjuk az ábrán. 17.

A 3-3 réteg szilárdsági feltétele teljesül.

5. FELADAT

A megadott gerendákhoz (12. táblázat) készítse el a keresztirányú erő diagramjait Kés hajlítónyomaték M. Válasszon egy keresztmetszetet a séma a) köréhez [s]= 10 MPa; b) I-gerenda [s]= 150 MPa.

Vegye ki a numerikus adatokat a táblázatból. 7.

7. táblázat

Kiinduló adatok a 6. számú feladathoz

№

a, m

q 1 \u003d q 3, kN/m

q 2, kN/m

F 1 , kN

F 2, kN

F 3, kN

M 1, kN∙m

M 2, kN∙m

M 3, kN∙m

séma száma

0,8

1,2

A 12. táblázat folytatása

Legyen z Val vel, u s a szakaszok központi tengelyei, a szakasz tehetetlenségi nyomatékai ezekre a tengelyekre vonatkoztatva. Határozzuk meg a szakasz tehetetlenségi nyomatékait az új tengelyekhez viszonyítva z1, 1, párhuzamosak a központi tengelyekkel, és távolságokkal eltolva hozzájuk aés d. Hadd dA egy elemi terület egy pont szomszédságában M koordinátákkal yés z a központi koordinátarendszerben. ábrából. 4.3 látható, hogy az új koordinátarendszerben a C pont koordinátái egyenlők lesznek, .

Határozzuk meg a szakasz tehetetlenségi nyomatékát az y tengely körül 1 :

4.3

z c

y c

z1

y 1

d

a

C

Nyilvánvalóan az első integrál adja, a második - , mivel az eredeti koordinátarendszer központi, a harmadik pedig a keresztmetszeti területet DE.

Ily módon

Hasonlóképpen

A szakasz tehetetlenségi nyomatékának megváltoztatása a tengelyek elforgatásakor

Keresse meg az összefüggést a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok között! y, zés a tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekkel kapcsolatban y 1, z1, szögben elforgatva a. Hadd Jy> Jzés pozitív szög a tengelytől mérve yóramutató járásával ellentétes irányban. Legyen a pont koordinátái M kanyar előtt y, z, fordulás után y 1, z1(4.4. ábra).

Az ábrából a következő:

Most meghatározzuk a tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat y 1és z1:

Rizs. 4.4

M

z

z1

y 1

y

a

y

y 1

z1

z

. (4.13)

Hasonlóképpen:

Ha tagonként összeadjuk a (4.13) és (4.14) egyenleteket, a következőt kapjuk:

azok. az egymásra merőleges tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok összege állandó marad, és nem változik a koordinátarendszer elforgatásakor.

Fő tehetetlenségi tengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok

A tengelyek elfordulási szögének változásával a minden mennyiség és változás, de összegük változatlan marad. Ezért van ilyen érték

a = a 0 , amelynél a tehetetlenségi nyomatékok elérik a szélső értéket, azaz. az egyik eléri a maximumát, a másik pedig a minimumát. Az érték megtalálásához a 0 vesszük a (vagy) első deriváltját és egyenlővé tesszük nullával:

Mutassuk meg, hogy a kapott tengelyekre nézve a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával. Ehhez a (4.15) egyenlet jobb oldalát nullával egyenlővé tesszük: , honnan, i.e. ugyanazt a képletet kapja meg a 0 .

Főtengelyeknek nevezzük azokat a tengelyeket, amelyekre nézve a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával, és a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélsőértéket vesznek fel. Ha ezek a tengelyek is központiak, akkor ezeket fő központi tengelyeknek nevezzük. A főtengelyekre vonatkozó tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat főtehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük.

A főtengelyeket jelöljük y 0és z0. Akkor

Ha a szakasznak van szimmetriatengelye, akkor mindig ez a tengely a metszet egyik fő központi tehetetlenségi tengelye.

2. A keresztmetszeti terület statikus nyomatékai a tengelyekhez képest Ozés Oy(cm 3, m 3):

4. A metszet centrifugális tehetetlenségi nyomatéka a tengelyek körül Ozés Oy(4 cm, m 4):

Azóta

Tengelyirányú Jzés Jyés poláris J p a tehetetlenségi nyomatékok mindig pozitívak, mivel a másodfokú koordináták az integrál előjel alatt vannak. Statikus pillanatok Szés Sy, valamint a centrifugális tehetetlenségi nyomaték Jzy lehet pozitív és negatív is.

A hengerelt acél szögekhez való választékában a centrifugális nyomatékok abszolút értékben vannak megadva. Értékeiket az előjel figyelembevételével kell bevinni a számításba.

A sarok centrifugális nyomatékának előjelének meghatározásához (3.2. ábra) azt mentálisan három integrál összegeként ábrázoljuk, amelyeket külön-külön számítunk ki a koordinátarendszer negyedeiben elhelyezkedő szakaszrészekre. Nyilvánvaló, hogy az I. és III. negyedévben elhelyezkedő részek esetében ennek az integrálnak pozitív értéke lesz, mivel a termék zydA pozitív lesz, a II. és IV. negyedévben elhelyezkedő részekre számított integrálok pedig negatívak lesznek (a szorzat zydA negatív lesz). Így az ábra szerinti sarok számára. 3.2, és a centrifugális tehetetlenségi nyomaték értéke negatív lesz.

Hasonló módon érvelve egy olyan szakaszra, amelynek legalább egy szimmetriatengelye van (3.2. ábra, b), megállapíthatjuk, hogy a J zy centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával, ha az egyik tengely (Oz vagy Oy) a szakasz szimmetriatengelye. Valójában a háromszög 1 és 2 negyedben elhelyezkedő részeinél a centrifugális tehetetlenségi nyomatékok csak előjelben különböznek. Ugyanez mondható el azokról a részekről, amelyek a III és IV negyedben vannak.

statikus pillanatok. A súlypont meghatározása

Számítsa ki a tengelyekre vonatkozó statikus nyomatékokat! Ozés Oyábrán látható téglalap. 3.3.

3.3. ábra. A statikus nyomatékok kiszámításához

Itt: DE- keresztmetszeti terület, yCés z C súlypontjának koordinátái. A téglalap súlypontja az átlók metszéspontjában van.

Nyilvánvaló, hogy ha a tengelyek, amelyekhez viszonyítva a statikus nyomatékokat számítják, átmennek az ábra súlypontján, akkor annak koordinátái egyenlőek nullával ( z C = 0, yC= 0), és a (3.6) képlet szerint a statikus nyomatékok is nullával egyenlőek lesznek. Ily módon egy szakasz súlypontja egy olyan pont, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik: statikus nyomaték bármely rajta áthaladó tengely körül,nulla.

A (3.6) képletek lehetővé teszik, hogy megtaláljuk a súlypont koordinátáit z Cés yC szakaszok összetett forma. Ha a szakasz úgy ábrázolható n olyan részek, amelyeknél ismertek a súlypontok területei és helyzetei, akkor a teljes szakasz súlypontjának koordinátáinak kiszámítása a következőképpen írható fel:

.

(3.7)

A tehetetlenségi nyomatékok változása a tengelyek párhuzamos mozgásával

Legyenek ismertek a tehetetlenségi nyomatékok Jz, Jyés Jzy a tengelyekről Oyz. Meg kell határozni a tehetetlenségi nyomatékokat J Z, J Yés JZY a tengelyekről O 1 YZ, párhuzamos a tengelyekkel Oyz(3.4. ábra), és távolságok választják el tőlük a(vízszintesen) és b(függőlegesen)

3.4. ábra. A tehetetlenségi nyomatékok változása a tengelyek párhuzamos mozgásával

Elemi helyszíni koordináták dA a következő egyenletekkel kapcsolódnak egymáshoz: Z = z + a; Y = y + b.

Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! J Z, J Yés JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Ha pont O tengely metszéspontjai Oyz egybeesik a ponttal TÓL TŐL- a szelvény súlypontja (3.5. ábra) statikus nyomatékok Szés Sy nullával egyenlővé válnak, és a képletek egyszerűsödnek Y i és Z i figyelembe kell vennie a jeleket. A koordináták előjele nem befolyásolja a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat (a koordinátákat a második hatványra emeljük), de a koordináta előjele jelentősen befolyásolja a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot (a szorzat Z i Y i A i negatív lehet).