A függvény differenciálképletének van alakja

ahol a független változó differenciálja.

Adjunk meg most egy komplex (differenciálható) függvényt, ahol,. Ekkor egy komplex függvény deriváltjának képletével azt kapjuk, hogy

mivel .

Így, , azaz a differenciálképletnek ugyanaz az alakja a független változóra és a köztes argumentumra, amely a differenciálható függvénye.

Ezt a tulajdonságot tulajdonságnak nevezik egy képlet változatlansága vagy a differenciál alakja. Vegye figyelembe, hogy a derivált nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.

A folytonosság és a differenciálhatóság kapcsolata.

Tétel (szükséges feltétele, hogy a függvény differenciálható legyen). Ha egy függvény egy pontban differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.

Bizonyíték. Hagyja a függvényt y=f(x) egy ponton differenciálható x 0 . Adjunk növekményt az érvelésnek ezen a ponton  x. A funkció növekszik  nál nél. Találjuk meg.

Következésképpen, y=f(x) pontban folyamatos x 0 .

Következmény. Ha x A 0 a függvény szakadási pontja, akkor a függvény nem differenciálható rajta.

A tétel fordítottja nem igaz. A folytonosság nem jelent differenciálhatóságot.

Differenciális. geometriai jelentése. A differenciál alkalmazása közelítő számításokhoz.

Meghatározás

funkció differenciál lineárisnak nevezzük a függvény növekményének egy részére vonatkozóan. Kakiliként jelölik. Ilyen módon:

Megjegyzés

Egy függvény differenciálja a növekedésének fő része.

Megjegyzés

A függvénydifferenciál fogalma mellett bevezetik az argumentumdifferenciál fogalmát is. Definíció szerint érvelési különbség van egy argumentumnövekmény:

Megjegyzés

Egy függvény differenciáljának képlete a következőképpen írható fel:

Ezért ezt kapjuk

Tehát ez azt jelenti, hogy a derivált közönséges törtként ábrázolható - a függvény és az argumentum differenciáljának aránya.

A differenciál geometriai jelentése

Egy függvény differenciálja egy pontban megegyezik a függvény grafikonjára az adott pontban húzott érintő ordinátájának növekedésével, amely megfelel az argumentum növekményének.

A megkülönböztetés alapszabályai. Állandó származéka, összeg deriváltja.

Legyen függvények és deriváltjai egy pontban. Azután

1. Állandó kivehető a származék előjeléből.

5. Állandó differenciál egyenlő nullával.

2. Összeg/különbség derivált.

Két függvény összegének/különbségének deriváltja egyenlő az egyes függvények deriváltjainak összegével/különbségével.

A megkülönböztetés alapszabályai. A termék származéka.

3. Egy termék származéka.

A megkülönböztetés alapszabályai. Komplex és inverz függvény deriváltja.

5. Összetett függvény származéka.

Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a köztes argumentumhoz viszonyított deriváltjával, megszorozva a köztes argumentum deriváltjával a fő argumentumhoz képest.

És legyenek deriváltjai a pontokban, ill. Azután

Tétel

(Az inverz függvény deriváltjáról)

Ha egy függvény folytonos és szigorúan monoton egy pont valamely környezetében, és ezen a ponton differenciálható, akkor az inverz függvénynek van deriváltja a pontban, és .

Differenciálási képletek. Az exponenciális függvény deriváltja.

Az összetett függvények megkülönböztetésének szabálya elvezet bennünket a differenciál egyik figyelemre méltó és fontos tulajdonságához.

Legyenek a függvények olyanok, hogy komplex függvényt tudjunk összeállítani belőlük: . Ha vannak származékok, akkor - V. szabály szerint - van derivált is

Ha azonban a származékát a (7) kifejezéssel helyettesítjük, és észrevesszük, hogy x-nek van egy differenciája t függvényében, végül megkapjuk:

azaz térjünk vissza a differenciálmű előző formájához!

Így azt látjuk, hogy a differenciál alakja akkor is megőrizhető, ha a régi független változót egy újra cseréljük. Mindig szabadon írhatjuk y differenciálját az (5) alakba, függetlenül attól, hogy x független változó-e vagy sem; csak annyi a különbség, hogy ha t-t választjuk független változónak, akkor az nem tetszőleges növekményt jelent, hanem egy x differenciált a függvény függvényében Ezt a tulajdonságot nevezzük a differenciál alakjának invarianciájának.

Mivel az (5) képletből közvetlenül adódik a (6) képlet, amely a deriváltot differenciálokkal fejezi ki, az utolsó képlet érvényben marad, függetlenül attól, hogy milyen független változót (természetesen mindkét esetben ugyanazt) számoljuk ki a nevezett differenciálokat.

Legyen például így

Most beállítjuk Akkor is lesz: Könnyű ellenőrizni, hogy a képlet

csak egy másik kifejezést ad a fent kiszámított deriváltra.

Ez a körülmény különösen jól használható olyan esetekben, amikor y függősége x-től nincs közvetlenül megadva, hanem adott az x és y változó függősége valamilyen harmadik, segédváltozótól (úgynevezett paraméter):

Feltéve, hogy mindkét függvénynek van deriváltja, és az elsőnek van egy inverz függvénye, amelynek deriváltja van, könnyen belátható, hogy akkor y is x függvénye lesz:

amelynek származéka is van. Ennek a származéknak a kiszámítása a fenti szabály szerint végezhető el:

anélkül, hogy helyreállítaná y közvetlen függését x-től.

Például, ha a derivált definiálható, amint azt fentebb megtettük, anélkül, hogy egyáltalán használnánk a függőséget.

Ha x-et és y-t a sík egy pontjának derékszögű koordinátáinak tekintjük, akkor a (8) egyenletek a t paraméter minden értékét egy bizonyos ponthoz rendelik, amely t változásával egy görbét ír le a síkon. A (8) egyenleteket ezen görbe paraméteres egyenleteinek nevezzük.

Paraméteres görbe specifikáció esetén a (10) képlet lehetővé teszi, hogy a (8) egyenletek segítségével közvetlenül beállítsa az érintő meredekségét anélkül, hogy a (9) egyenlettel a görbe specifikációjához lépne. pontosan,

Megjegyzés. Az a lehetőség, hogy a deriváltot bármely változóra vonatkozó differenciálokkal fejezzük ki, különösen azt a tényt eredményezi, hogy a képletek

Leibniz-jelöléssel kifejezve egy inverz függvény és egy komplex függvény megkülönböztetésének szabályai egyszerű algebrai azonosságokká válnak (mivel itt minden differenciál felvehető ugyanarra a változóra vonatkozóan). Nem szabad azonban azt gondolni, hogy ez a fenti képletek új levezetését adja: először is itt nem bizonyítottuk a baloldali származékok létezését, de a lényeg az, hogy lényegében a differenciál alakjának invarianciáját használtuk. , ami maga az V. szabály következménye.

Definíció szerint egy függvény differenciálját (első differenciálját) a képlet számítja ki
ha egy független változó.

PÉLDA.

Mutassuk meg, hogy az első differenciál alakja változatlan marad (invariáns) abban az esetben is, ha a függvény argumentuma maga is függvény, vagyis egy komplex függvényre vonatkozik
.

Legyen
definíció szerint megkülönböztethetők

Ráadásul a bizonyításhoz szükséges.

PÉLDÁK.

Az első differenciál alakjának bizonyított változatlansága lehetővé teszi, hogy azt feltételezzük
azaz a derivált egyenlő a függvény differenciáljának arányával érvelésének különbsége, függetlenül attól, hogy az argumentum független változó vagy függvény.

Paraméteresen meghatározott függvény differenciálása

Hagyjuk az If funkciót
van a forgatáson hát fordítva
Aztán az egyenlőségeket
a készleten meghatározott paraméteresen definiált függvény, – paraméter (köztes változó).

PÉLDA. Ábrázoljon egy függvényt
.

A megszerkesztett görbét ún ciklois(25. ábra) és az 1 sugarú kör azon pontjának pályája, amely csúszás nélkül gördül az OX tengelye mentén.

MEGJEGYZÉS. Néha, de nem mindig, egy paramétert ki lehet küszöbölni a parametrikus görbe egyenletekből.

PÉLDÁK.
a kör parametrikus egyenletei, mivel nyilvánvalóan

az ellipszis parametrikus egyenletei, mivel

a parabola parametrikus egyenletei

Keresse meg egy paraméteresen megadott függvény deriváltját:

A paraméteresen definiált függvény deriváltja egyben paraméteresen meghatározott függvény is: .

MEGHATÁROZÁS. Egy függvény második deriváltját az első deriváltjának deriváltjának nevezzük.

derivált -edik rend a rendi származékának a származéka
.

jelölje a származékait a második és sorrendben így:

A második derivált definíciójából és a parametrikusan adott függvény differenciálási szabályából következik, hogy
A harmadik derivált kiszámításához szükséges a második derivált ábrázolása a formában
és használja újra a kapott szabályt. A magasabb rendű származtatott ügyleteket hasonló módon számítják ki.

PÉLDA. Keresse meg egy függvény első és másodrendű deriváltját

.

A differenciálszámítás alaptételei

TÉTEL(Farm). Hagyja a függvényt
pontban van
extrémum. Ha létezik
, azután

BIZONYÍTÉK. Legyen
például a minimum pont. A minimumpont meghatározása szerint ennek a pontnak van egy szomszédja
, amelyen belül
, azaz
- növekmény
azon a ponton
. Definíció szerint
Számítsa ki az egyoldalú deriváltokat egy ponton
:

az egyenlőtlenség határtételének átlépésével,

mivel

, mivel
De feltételek szerint
létezik, tehát a baloldali derivált egyenlő a jobboldalival, és ez csak akkor lehetséges, ha

Az a feltételezés, hogy
- a maximum pont, ugyanerre vezet.

A tétel geometriai jelentése:

TÉTEL(Tekercs). Hagyja a függvényt
folyamatos
, differenciálható
És
akkor van
oly módon, hogy

BIZONYÍTÉK. Mivel
folyamatos
, akkor a második Weierstrass-tétellel eléri
a legnagyobbak
és a legkevésbé
értékeket akár a szélsőpontokon, akár a szegmens végén.

1. Hagyjuk
, azután

2. Hagyjuk
Mivel
bármelyik
, vagy
elérte a szélső pontot
, hanem Fermat tétele szerint
Q.E.D.

TÉTEL(Lagrange). Hagyja a függvényt
folyamatos
és megkülönböztethető
, akkor létezik
oly módon, hogy
.

A tétel geometriai jelentése:

Mivel
, akkor a szekáns párhuzamos az érintővel. Így a tétel kimondja, hogy az A és B pontokon áthaladó szekánsnak van párhuzamos érintője.

BIZONYÍTÉK. Az A pontokon keresztül
és B
rajzoljunk egy AB szekánst. Az ő egyenlete
Vegye figyelembe a funkciót

- a grafikon és az AB szekáns megfelelő pontjai közötti távolság.

1.
folyamatos
mint a folytonos függvények különbsége.

2.
megkülönböztethető
mint a differenciálható függvények különbsége.

3.

Eszközök,
kielégíti a Rolle-tétel feltételeit, tehát létezik
oly módon, hogy

A tétel bizonyítást nyert.

MEGJEGYZÉS. A képlet az ún Lagrange képlet.

TÉTEL(Koshi). Hagyjuk a függvényeket
folyamatos
, differenciálható
És
, akkor van értelme
oly módon, hogy
.

BIZONYÍTÉK. Mutassuk meg
. Ha
, majd a függvény
teljesítené a Rolle-tétel feltételét, tehát lenne pont
oly módon, hogy
ellentmondás a feltétellel. Eszközök,
, és a képlet mindkét része definiálva van. Nézzünk egy segédfüggvényt.

folyamatos
, differenciálható
És
, azaz
kielégíti a Rolle-tétel feltételeit. Akkor van egy pont
, ahol
, de

Q.E.D.

A bevált képlet az ún Cauchy képlet.

A L'Hopital SZABÁLYA(L'Hopital-Bernoulli tétel). Hagyjuk a függvényeket
folyamatos
, differenciálható
,
És
. Ezen kívül van véges vagy végtelen
.

Aztán van

BIZONYÍTÉK. Mivel az állapot szerint
, akkor meghatározzuk
azon a ponton
, feltételezve
Azután
folyamatossá válnak
. Mutassuk meg

Tegyünk úgy, mintha
akkor van
oly módon, hogy
, mivel a funkció
a
kielégíti a Rolle-tétel feltételeit. De feltételek szerint
- ellentmondás. Ezért

. Funkciók
kielégíti a Cauchy-tétel feltételeit bármely intervallumon
, amelyet tartalmaz
. Írjuk fel a Cauchy-képletet:

,
.

Ezért rendelkezünk:
, Mert ha
, azután
.

Az utolsó korlátban lévő változót átnevezve megkapjuk a szükséges értéket:

1. MEGJEGYZÉS. L'Hopital szabálya akkor is érvényben marad, ha
És
. Lehetővé teszi nemcsak a forma bizonytalanságának feltárását , hanem a formáról is :

.

JEGYZET 2. Ha a L'Hopital-szabály alkalmazása után nem derül ki a bizonytalanság, akkor azt újra alkalmazni kell.

PÉLDA.

MEGJEGYZÉS 3 . A L'Hopital-szabály egy univerzális módszer a bizonytalanságok feltárására, de vannak határok, amelyek feltárhatók a korábban vizsgált konkrét technikák egyikének alkalmazásával.

De nyilván
, mivel a számláló foka egyenlő a nevező fokával, a határ pedig egyenlő a nagyobb hatványokon lévő együtthatók arányával

Funkció differenciál

A függvényt hívják egy ponton differenciálható, korlátozza a készletet E, ha a növekménye Δ f(x 0) az argumentum növekményének megfelelő x, mint

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

ahol ω (x - x 0) = ról ről(x - x 0) at x → x 0 .

Kijelző, ún differenciális funkciókat f azon a ponton x 0 és az érték A(x 0)h - differenciálérték ezen a ponton.

A függvénydifferenciál értékére f elfogadott kijelölést df vagy df(x 0), ha tudni szeretné, hogy mikor számolták ki. Ily módon

df(x 0) = A(x 0)h.

(1)-re osztva ezzel x - x 0 és célzás x nak nek x 0, megkapjuk A(x 0) = f"(x 0). Ezért van

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

Összehasonlítva (1) és (2) azt látjuk, hogy a differenciál értéke df(x 0) (mikor f"(x 0) ≠ 0) a függvény növekményének fő része f azon a ponton x 0 , lineáris és homogén egyszerre a növekmény tekintetében h = x - x 0 .

Funkció differenciálhatósági kritérium

A funkció érdekében f differenciálható volt egy adott ponton x 0 , szükséges és elégséges, hogy ezen a ponton véges deriváltja legyen.

Az első differenciál alakjának változatlansága

Ha x akkor független változó dx = x - x 0 (rögzített növekmény). Ebben az esetben van

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Ha x = φ (t) tehát egy differenciálható függvény dx = φ" (t 0)dt. Következésképpen,