Merev test tehetetlenségi nyomatéka. Matematikai pont, test tehetetlenségi nyomatéka rögzített tengelyhez viszonyítva (amelytől függ) Test tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka

A merev testek forgásának tanulmányozásakor a tehetetlenségi nyomaték fogalmát fogjuk használni.

Osszuk fel a testet olyan kis részekre, hogy mindegyik anyagi pontnak tekinthető. Legyen m i- súly én- th anyagi pont, r i a távolsága valamely tengelytől O.

Azt az értéket, amely megegyezik egy anyagi pont tömegének az adott tengelyhez mért legrövidebb távolságának négyzetével, az anyagi pont tehetetlenségi nyomatékának a tengely körül:

A test összes anyagi pontja tehetetlenségi nyomatékainak összegét ún a test tehetetlenségi nyomatéka valami tengelyről:

Tehetetlenségi nyomaték szilárd test amint az könnyen belátható, a tömegek eloszlásától függ a számunkra érdekes tengelyhez képest.

Ha a test tömeg karika m, amelynek vastagsága a sugárhoz képest kicsi R, akkor tehetetlenségi nyomatéka a középponton átmenő és a karika síkjára merőleges tengely körül egyenlő

A testek felett összetett forma az (5.2) kifejezés összegzése az integrálszámítás módszereivel történik a képlet szerint

ahol az integráció a test teljes térfogatán történik. Érték r
ebben az esetben van egy pontpozíció függvény koordinátákkal x,y,z.

Példaként keressük meg egy homogén korong tehetetlenségi nyomatékát a korong síkjára merőleges és annak középpontján átmenő tengely körül. Osszuk fel a korongot d vastagságú gyűrűrétegekre r.

Egy réteg minden pontja azonos távolságra lesz a tengelytől, egyenlő r. Egy ilyen réteg térfogata egyenlő:

ahol b a lemez vastagsága. Mivel a korong homogén, sűrűsége minden pontban azonos és

ahol D m- a gyűrű alakú réteg tömege.

Most az (5.4) képlet segítségével megtaláljuk a tehetetlenségi nyomatékot

ahol R a lemez sugara;

Végül a lemez tömegének bevezetésével m egyenlő a korong sűrűségének és térfogatának szorzatával, azt kapjuk

Néhány homogén szilárd anyag tehetetlenségi nyomatéka egy tengely körül, áthalad a test tömegközéppontján táblázatban vannak megadva. 5.1.

5.1. táblázat

Ha egy test tehetetlenségi nyomatéka ismert a tömegközéppontján átmenő tengelyről, akkor bármely más test tehetetlenségi nyomatéka megkereshető. párhuzamos tengely. Ehhez használni kell Huygens-Steiner tétel:

a test tehetetlenségi nyomatéka én tetszőleges tengelyhez viszonyítva egyenlő a tehetetlenségi nyomatékával I c a tömegközépponton átmenő vele párhuzamos tengelyhez képest C test hozzáadva a testtömeg szorzatához m négyzettávolságonként a tengelyek között:

Keressük meg az összefüggést a test tehetetlenségi nyomatékai között két párhuzamos tengely körül, amelyek közül az egyik átmegy a tömegközépponton. Határozza meg a test tehetetlenségi nyomatékát a tengely körül! z párhuzamos tengely z C. Tengely z Cáthalad a test tömegközéppontján. Osszuk gondolatban a testet tömegrészecskékre m i, ahol én- sorozatszám. Határozzuk meg az egyes részecskék helyzetét a tengelyekhez képest zÉs z C. A tehetetlenségi nyomaték definíciója szerint hol a forgástengelytől mért legrövidebb távolság (az a kör sugara, amelyet a pont a forgástengely körüli mozgása során ír le).

ábrán 5.3 látható, hogy akkor egy tömegű pont tehetetlenségi nyomatéka m i a tengelyről z egyenlő: , és az egész testre a tengely körüli tehetetlenségi nyomaték z egyenlő a test összes részecskéjének ugyanazon tengely körüli tehetetlenségi nyomatékainak összegével:

(5.7)

Definíció szerint a test tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül z Cáthalad a test tömegközéppontján; , azután . Kifejezés átalakítható . Egyenlő érték meghatározza a test tömegközéppontjának helyzetét a tengelyhez képest z C. Az ábrán látható, hogy mivel a tömegközéppont a tengelyen fekszik z C.

Akkor kapunk

(5.8)

- tehetetlenségi nyomaték Iz test egy tetszőleges tengelyhez viszonyítva egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának összegével egy vele párhuzamos tengelyhez képest z Cáthalad a tömegközépponton, és a mennyiségeket ma 2, hol m- testtömeg, a- a tengelyek közötti távolság.

Példa. Egy vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka (tömeg més hossza ) a rúdra merőleges és a végén áthaladó tengelyhez képest egyenlő.

Tehetetlenségi nyomaték – forgómozgás közbeni tehetetlenségi tulajdonságokra jellemző. A tömegnek a forgástengelyhez viszonyított eloszlását jellemzi.

pontok

(ez nem "ze" angol, hanem egy ilyen jel).

Egyes testek tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai:

Golyós , tömör hengertengely , üreges hengertengely - , egyenes vékony rúd - .

Steiner tétele - Ahhoz, hogy megtaláljuk a tehetetlenségi nyomatékot egy tetszőleges tengely körül, hozzá kell adni ennek a testnek a tehetetlenségi nyomatékát a vizsgált tengellyel párhuzamos test tömegközéppontján átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomatékát és a test szorzatát. a test tömege a tengelyek közötti távolság négyzetével.

Merev test fix tengelyhez viszonyított forgó mozgásának dinamikájának egyenlete.

Az erőnyomaték határozza meg a szögimpulzus változási sebességét.

F erőnyomaték egy fix ponthoz viszonyítva RÓL RŐL hívott fizikai mennyiség, meghatározott vektor termék sugár-vektor r pontból merítve RÓL RŐL pontosan DE erő alkalmazása, erő F :

Itt van M pszeudovektor, iránya megegyezik a előre mozgás a jobb oldali csavar r-ből F-be forog. Az erőnyomaték modulusa

ahol a az r és F közötti szög; r sina = l- az erő hatásvonala és a pont közötti legrövidebb távolság RÓL RŐL -az erő vállát.

Erőnyomaték a rögzített tengelyhez képest z hívott skalár nagyságrendű M z , egyenlő egy tetszőleges ponthoz képest meghatározott erőnyomaték M vektorának erre a tengelyére való vetületével RÓL RŐL adott z-tengely. Nyomaték értéke Mz nem függ a pontpozíció megválasztásától RÓL RŐL a z tengelyen.

(18.3)

A (18.3) egyenlet az merev test forgómozgásának dinamikájának egyenlete a rögzített tengely körül.

A szögimpulzus megmaradásának törvénye.

Zárt rendszerekben az egyes részek szögimpulzusa idővel nem változik.

(minden L-re szükségünk van a „nyíl” vektorra).

Zárt rendszerben a külső erők pillanata

Itt bemutatjuk a szögimpulzus megmaradásának törvényét a Zsukovszkij-pad segítségével. Egy padon ülő, függőleges tengely körül forgó, kinyújtott kezében súlyzót tartó személy (2. ábra) külső mechanizmussal forog ω 1 szögsebességgel. Ha valaki a súlyzókat a testéhez nyomja, akkor a rendszer tehetetlenségi nyomatéka csökken. De a külső erők nyomatéka egyenlő nullával, a rendszer szögimpulzusa megmarad, és a forgási szögsebesség ω 2 nő. Hasonlóképpen a tornász, miközben átugrik a feje fölött, karjait és lábait testéhez közelíti, hogy csökkentse a tehetetlenségi nyomatékát, és ezáltal növelje a forgási szögsebességet.

Kapcsolódó információ:

A metszet statikus nyomatéka a metszet súlypontján átmenő tengely körül a következő lesz
A biztonsági övek elhelyezkedésétől és a munkavállaló testének terheléskori helyzetétől függően a különböző biztonsági övek eltérő előnyökkel járnak.

Legyen merev test. Válasszunk egy OO egyenest (6.1. ábra), amit tengelynek nevezünk (az OO egyenes lehet a testen kívül is). Osszuk fel a testet tömegekkel elemi szakaszokra (anyagpontokra).
, amely a tengelytől távol helyezkedik el
illetőleg.

Egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül (OO) az anyagi pont tömegének és a tengelytől mért távolságának négyzetének szorzata:

. (6.1)

A test tehetetlenségi nyomatéka (MI) a tengelyhez viszonyítva (OO) a test elemi szakaszai tömegének és a tengelytől való távolságuk négyzetének szorzata:

. (6.2)

Amint láthatja, egy test tehetetlenségi nyomatéka additív mennyiség - az egész test tehetetlenségi nyomatéka egy bizonyos tengely körül megegyezik az egyes részek tehetetlenségi nyomatékainak összegével ugyanazon tengely körül.

Ebben az esetben

A tehetetlenségi nyomatékot kgm 2 -ben mérjük. Mivel

, (6.3)

ahol  az anyag sűrűsége,
- hangerő én- a szakasz, akkor

vagy áttérve a végtelenül kicsi elemekre,

. (6.4)

A (6.4) képlet kényelmesen használható szabályos alakú homogén testek MI-jének kiszámításához a test tömegközéppontján átmenő szimmetriatengelyhez képest. Például egy MI hengernél a generatrixszal párhuzamos tömegközépponton átmenő tengelyhez képest ez a képlet

ahol T- súly; R a henger sugara.

Steiner tétele nagy segítség a testek MI-jének kiszámításában néhány tengelyhez képest: egy test MI-je én bármely tengelyhez viszonyítva egyenlő ennek a testnek az MI értékének összegével én c a test tömegközéppontján átmenő és azzal párhuzamos tengelyhez, valamint a test tömegének a távolság négyzetével való szorzatához d a megadott tengelyek között:

. (6.5)

A tengely körüli erőnyomaték

Hagyja, hogy az erő hatson a testre F. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy az erő F valamely OO egyenesre merőleges síkban fekszik (6.2. ábra, de), amelyet tengelynek fogunk nevezni (például ez a test forgástengelye). ábrán 6.2, de DE- az erő alkalmazási pontja F,
- a tengely metszéspontja azzal a síkkal, amelyben az erő fekszik; r- a pont helyzetét meghatározó sugárvektor DE ponthoz képest RÓL RŐL"; O"B = b - az erő vállát. Az erő tengelyhez viszonyított válla a legkisebb távolság a tengelytől az egyenes vonalig, amelyen az erővektor fekszik F(a pontból húzott merőleges hossza ehhez a sorhoz).

A tengely körüli erőnyomaték az egyenlőséggel meghatározott vektormennyiség

. (6.6)

Ennek a vektornak a modulusa . Ezért néha azt mondják, hogy a tengely körüli erőnyomaték a vállára ható erő szorzata.

Ha erőt F tetszőlegesen irányul, akkor két komponensre bontható; És (6.2. ábra, b), azaz
+, ahol az OO tengellyel párhuzamos komponens, és tengelyére merőleges síkban fekszik. Ebben az esetben az erőnyomaték alatt F az OO tengelyhez viszonyítva érti a vektort

. (6.7)

A (6.6) és (6.7) kifejezésekkel összhangban a vektor M a tengely mentén irányítva (lásd a 6.2. ábrát, de,b).

A test szögimpulzusa a forgástengely körül

P forogjon a test valamilyen OO tengely körül szögsebességgel
. Bontsuk ezt a testet mentálisan elemi részekre tömegekkel
, amelyek a tengelytől, illetve távolságokban helyezkednek el
és körben forognak, lineáris sebességgel
Köztudott, hogy az érték
- van lendület én-cselekmény. perdület én- a forgástengelyhez viszonyított metszetet (anyagpontot) vektornak (pontosabban pszeudovektornak) nevezünk.

, (6.8)

ahol r én a pozíciót meghatározó sugárvektor én- a tengelyhez viszonyított terület.

Az egész test forgástengely körüli impulzusimpulzusát vektornak nevezzük

(6.9)

amelynek modulja
.

A (6.8) és (6.9) kifejezésekkel összhangban a vektorok
És a forgástengely mentén irányítva (6.3. ábra). Könnyen kimutatható, hogy a test szögimpulzusa L a forgástengelyhez és a tehetetlenségi nyomatékhoz viszonyítva én ennek a testnek az azonos tengelyhez viszonyított relációja összefügg

. (6.10)

1.10. A FORGÁSDINAMIKA EGYENLETE

Merev test mint anyagi pontok rendszere. Merev test tehetetlenségi középpontjának mozgása. Forgó test kinetikus energiája. A rögzített tengely körüli tehetetlenségi nyomaték fogalma. Steiner tétele. Egyesek tehetetlenségi pillanatai a legegyszerűbb testek. A forgó mozgás dinamikájának egyenlete egy rögzített tengelyhez képest.

A merev test mozgását általában két vektoregyenlet határozza meg. Az egyik a tömegközéppont mozgásegyenlete (4.11), a másik a pillanatok egyenlete TÓL TŐL-rendszer (6.24):

(10 . 1 )

A ható külső erők törvényszerűségeinek, alkalmazási pontjainak és kezdeti feltételeinek ismeretében ezekkel az egyenletekkel bármikor meg lehet határozni a merev test minden pontjának sebességét és helyzetét, azaz teljesen megoldható. a test mozgásának problémája. A (10.1) egyenletek látszólagos egyszerűsége ellenére azonban megoldásuk általános esetben igen nehéz feladat. Ez elsősorban annak a ténynek köszönhető, hogy a megfelelő szögimpulzus és a merev test egyes pontjainak sebessége közötti kapcsolat TÓL TŐL-rendszer bonyolultnak bizonyul, néhány speciális eset kivételével. Ezt a problémát nem fogjuk általános formában megvizsgálni (az elméleti mechanika során oldjuk meg), és a jövőben csak egyedi speciális esetekre szorítkozunk.

Ha az erőket a hatásuk irányában mozgatjuk, akkor egyértelmű, hogy sem eredő, sem össznyomatékuk nem változik. Ebben az esetben a (10.1) egyenletek sem változnak, így a merev test mozgása sem változik. Ezért a külső erők alkalmazási pontjai átvihetők az erők hatásának iránya mentén - ez egy kényelmes technika a problémák megoldására, amelyet folyamatosan használnak.

Tekintsük most az eredő erő fogalmát. Azokban az esetekben, amikor az összes külső erő össznyomatéka merőleges a keletkező erőre, azaz minden külső erők-ra redukálható egy egy bizonyos egyenes mentén ható erő. Valóban, ha valamilyen pont tekintetében RÓL RŐL teljes pillanat, akkor mindig találhat olyan vektort (10.1. ábra), hogy adott és

Ráadásul a választás kétértelmű: ha bármilyen vektort hozzáadunk,

párhuzamos nem változtatja meg az utolsó egyenlőséget. Ez pedig azt jelenti, hogy ez az egyenlőség nem az erő „alkalmazásának” pontját, hanem hatásának irányát határozza meg. Modulok ismerete M És F megfelelő vektorok, meg lehet találni a vállát l erők (6.14. ábra): .

Így ha , egy merev test egyes pontjaira ható erőrendszer eggyel helyettesíthető eredő erő - olyan erő, amely egyenlő az eredővel, és az összes külső erő össznyomatékával egyenlő nyomatékot hoz létre.

Ilyen eset egy egyenletes erőtér, például egy gravitációs tér hatása, amelyben az egyes részecskékre ható erő alakja . Ebben az esetben bármely pontra vonatkozó teljes gravitációs momentum RÓL RŐL egyenlő

A zárójelben lévő összeg az, ahol a test tömege a tömegközéppontjának a ponthoz viszonyított sugárvektora O. Ezért

Ez azt jelenti, hogy a gravitáció eredője áthalad a test tömegközéppontján. Általában azt mondják, hogy a gravitációs eredőt a test tömegközéppontjára vagy annak súlypontjára alkalmazzák. Ennek az erőnek a nyomatéka a test tömegközéppontjához viszonyítva nullával egyenlő.

Most rátérünk a merev test mozgásának sajátos eseteire.

Rögzített tengely körüli forgás.

Tekintsük egy merev test forgását egy rögzített tengely körül. Keressünk egy kifejezést egy merev test tengely körüli impulzusimpulzusára 00" (6.15. ábra). Egy részecske impulzusimpulzusa így írható fel

ahol és egy szilárd test részecske tömege és forgástengelyétől való távolsága, a szögsebessége. A zárójelben lévő értéket I-vel jelölve azt kapjuk

(10 .2)

Anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez viszonyítva e pont tömegének és a tengelytől mért legrövidebb távolság négyzetének szorzata.

A rendszer tehetetlenségi nyomatéka (test) a forgástengely körül a tömegek szorzatainak összegével egyenlő fizikai mennyiségnek nevezzük n a rendszer anyagi pontjai a vizsgált tengelytől való távolságuk négyzeteibe.

A merev test tehetetlenségi nyomatéka a tömegek számunkra érdekes tengelyhez viszonyított eloszlásától függ, és additív mennyiség. A test tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása a képlet szerint történik

ahol dm és dV a számunkra érdekes z tengelytől távol eső testelem tömege és térfogata, a test sűrűsége egy adott pontban.

Egyes homogén szilárd testek tehetetlenségi nyomatékait a test tömegközéppontján átmenő tengely körül a következő táblázat tartalmazza (itt m a test tömege):

Merev testtípus	Tengelyhelyzet	Tehetetlenségi nyomaték
Vékony rúdhossz L	A rúdra merőlegesen
R sugarú tömör henger	Egybeesik a henger tengelyével
Vékony, R sugarú korong	Megfelel a lemez átmérőjének
R sugarú golyó	Átpasszol a labda közepén

Egy tetszőleges alakú merev test tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása egyik vagy másik tengelyhez képest általában véve meglehetősen fáradságos matematikai feladat. Bizonyos esetekben azonban a tehetetlenségi nyomaték megtalálása nagymértékben leegyszerűsödik a használatával Steiner tétele : tehetetlenségi nyomaték én tetszőleges tengelyhez képest z egyenlő az adott tengelyrel párhuzamos és a tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomatékkal TÓL TŐL test, plusz a tömeg szorzata T test négyzettávolságonként de tengelyek között:

(10 . 4 )

Így ha a tehetetlenségi nyomaték ismert, akkor a tehetetlenségi nyomaték meghatározása én alapvető. Például egy vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka (tömeg Tés hossza l) a rúdra merőleges és a végén áthaladó tengelyhez képest egyenlő

Kinetikus energiaforgó mozgás- a test forgásához kapcsolódó energiája. Adjuk meg a forgó, rögzített forgástengelyű merev test mozgási energiájának kifejezését. Figyelembe véve a forgó merev test részecskéjének sebessége és a szögsebesség közötti kapcsolatot, írunk

vagy rövidebben

ahol a test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontján átmenő forgástengely körül, a test szögsebessége, m a tömege, a test tehetetlenségi középpontjának sebessége a K- vonatkoztatási rendszerben . Ily módon a merev test kinetikus energiája a síkbeli mozgás során a C-rendszerben a forgási energiának és a tömegközéppont mozgásához kapcsolódó energiának az összege.

Írjuk fel merev test forgásdinamikájának alapegyenlete tól től rögzített forgástengely. Ezt az egyenletet könnyű megszerezni az anyagi pont nyomatékegyenletének következtében, ha a (10.2)-t az idő függvényében differenciáljuk, akkor

(10 . 7 )

ahol az összes külső erő forgástengelyhez viszonyított össznyomatéka, a szöggyorsulás forgástengelyre vetítése. Ebből az egyenletből különösen az látható, hogy a tehetetlenségi nyomaték én meghatározza a merev test tehetetlenségi tulajdonságait forgás közben: az erőnyomaték azonos értékéhez a nagy tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező test kisebb erőt kap. szöggyorsulás. A tengely körüli erőnyomatékok algebrai mennyiségek: előjelük mindkettő a tengely pozitív irányának megválasztásától függ. z, egybeesik a forgástengellyel, és irányból

a megfelelő erőnyomaték "forgása". Például a tengely pozitív irányának kiválasztása zábrán látható módon. 10.3, ezáltal a szögleolvasás pozitív irányát is beállítjuk - mindkét irányt a jobb oldali csavar szabálya köti össze. Úgy gondolják, hogy ha egy bizonyos pillanat a szög pozitív irányába "forog", akkor azt pozitívnak tekintik, és fordítva. A teljes nyomaték előjele pedig meghatározza az előjelet - a szöggyorsulási vektor vetületét a z tengelyre.

A (10.7) egyenlet integrálása figyelembe véve kezdeti feltételek- a szögsebesség és -szög értékei, valamint a kezdeti időpillanat - lehetővé teszi a merev test fix tengely körüli forgásának problémájának teljes megoldását, azaz a szögsebesség és a forgásszög időfüggésének megtalálását .

Vegye figyelembe, hogy a (10.7) egyenlet érvényes Bármi a forgástengellyel mereven összekötött referenciarendszer. Ha azonban a vonatkoztatási rendszer nem tehetetlen, akkor emlékeznünk kell arra, hogy az erőnyomaték nemcsak a más testekkel való kölcsönhatás nyomatékait foglalja magában, hanem a tehetetlenségi erők nyomatékait is.

Egy anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka a tengely körül (OO) az anyagi pont tömegének és a tengelytől mért távolságának négyzetének szorzata:

. (6.1)

A test tehetetlenségi nyomatéka (MI) a tengelyhez viszonyítva (OO) a test elemi szakaszai tömegének és a tengelytől való távolságuk négyzetének szorzata:

. (6.2)