Mivel a pont tömege állandó, gyorsulása, a dinamika alaptörvényét kifejező (2) egyenlet így ábrázolható.
A (32) egyenlet egyszerre fejezi ki a pont impulzusának változására vonatkozó tételt differenciális formában: egy pont impulzusának időbeli deriváltja egyenlő a pontra ható erők összegével.
Legyen a mozgó pontnak sebessége az időpillanatban és sebessége egy pillanatban, majd a (32) egyenlőség mindkét részét megszorozzuk és kivesszük belőlük határozott integrálok. Ebben az esetben a jobb oldalon, ahol az integráció időbeli, az integrál határai lesznek, és a bal oldalon, ahol a sebesség integrálva van, az integrál határai a sebesség megfelelő értékei lesznek.
Mivel integrálja egyenlő, ennek eredményeként azt kapjuk
A jobb oldali integrálok a (30) képletből következően a ható erők impulzusait jelentik. Ezért végre lesz
A (33) egyenlet egy pont impulzusának változására vonatkozó tételt fejezi ki végső formájában: egy pont impulzusának változása egy bizonyos időtartam alatt egyenlő a pontra ható összes erő impulzusainak összegével. ugyanennyi idő alatt.
A feladatok megoldása során a (33) vektoregyenlet helyett gyakran vetületekben szereplő egyenleteket használnak. A (33) egyenlőség mindkét részét a koordinátatengelyekre vetítve megkapjuk
Amikor egyenes vonalú mozgás A tétel tengelye mentén előforduló egyenletek közül az első fejezi ki.
Problémamegoldás. A (33) vagy (34) egyenletek lehetővé teszik annak ismeretében, hogyan változik a sebessége egy pont mozgása során, hogy meghatározzuk a ható erők impulzusát (a dinamika első problémája), vagy a ható erők impulzusainak ismeretében meghatározzuk, hogy a sebesség hogyan változik. mozgás közben megváltozik a pont (a dinamika második problémája). A második feladat megoldásakor, amikor az erők adottak, ki kell számítani azok nyomatékát.Amint a (30) vagy a (31) egyenlőségből látható, ez csak akkor tehető meg, ha az erők állandóak vagy csak időtől függenek.
Így a (33), (34) egyenletek közvetlenül felhasználhatók a dinamika második problémájának megoldására, amikor a feladatban szereplő adatok száma és szükséges mennyiségei tartalmazzák: a ható erőket, a pont mozgási idejét és kezdeti értékét. és a végsebességek (azaz a mennyiségek ) , és az erőknek állandónak kell lenniük, vagy csak az időtől kell függniük.
95. probléma
Megoldás. A Rendszer lendületének változására vonatkozó tétel, geometriailag ezen mozgásmennyiségek közötti különbséget (222. ábra) a kapott derékszögű háromszögből megtaláljuk.
De a probléma körülményei szerint tehát
Az analitikus számításhoz a (34) egyenlet első kettőjét felhasználva megtalálhatjuk
96. feladat Egy tömegű, vízszintes síkon fekvő tehernek megadjuk (lökéssel) a kezdeti sebességet A teher későbbi mozgását állandó F erő lassítja. Határozza meg, mennyi ideig áll le a terhelés!
Megoldás. A feladatadatok alapján jól látható, hogy a bevált tétel segítségével meghatározható a mozgásidő. A terhelést tetszőleges helyzetben ábrázoljuk (223. ábra). Hatással van rá a Р gravitációs erő, az N sík reakciója és az F fékezőerő. A tengelyt a mozgás irányába irányítva összeállítjuk a (34) egyenlet közül az elsőt.
Ebben az esetben - a sebesség a megállás pillanatában), és . Az erők közül csak az F erő adja a vetületet a tengelyre.Mivel állandó, hol van a fékezési idő? Mindezeket az adatokat behelyettesítve az (a) egyenletbe, megkapjuk a kívánt időt
Mivel egy pont tömege állandó, gyorsulása állandó, ezért a dinamika alaptörvényét kifejező egyenlet így ábrázolható.
Az egyenlet egyidejűleg kifejezi a pont impulzusának változására vonatkozó tételt differenciális formában: idő derivált a pont lendületén egyenlő geometriai összeg pontra ható erők.
Integráljuk ezt az egyenletet. Hagyja, hogy a tömeg mutasson m, amely egy erő hatására mozog (15. ábra), jelenleg rendelkezik t\u003d 0 sebesség, és pillanatnyilag t 1 - sebesség.
15. ábra
Ezután szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát, és vegyünk belőlük határozott integrálokat. Ebben az esetben a jobb oldalon, ahol az integráció időbeli, az integrálok határértékei 0 és t 1 , és bal oldalon, ahol a sebesség integrálva van, az integrál határai a sebesség ill. . Mivel az integrálja is , akkor a következőt kapjuk:
.
A jobb oldali integrálok a ható erők impulzusai. Így a végén a következőket kapjuk:
.
Az egyenlet egy pont lendületének változására vonatkozó tételt fejezi ki végső formában: egy pont impulzusának változása egy bizonyos idő alatt megegyezik a pontra ugyanazon idő alatt ható összes erő impulzusainak geometriai összegével ( rizs. 15).
A feladatok megoldása során a vektoregyenlet helyett gyakran vetületekben szereplő egyenleteket használnak.
Tengely menti egyenes vonalú mozgás esetén Ó a tételt ezen egyenletek közül az első fejezi ki.
Kérdések önvizsgálathoz
Fogalmazd meg a mechanika alaptörvényeit!
Melyik egyenletet nevezzük a dinamika alapegyenletének?
Mi a szilárd testek tehetetlenségének mértéke transzlációs mozgásban?
A test súlya függ a test elhelyezkedésétől a Földön?
Melyik vonatkoztatási rendszert nevezzük inerciálisnak?
Melyik test van kitéve a tehetetlenségi erőnek? anyagi pontés mi a modulusa és iránya?
Magyarázza meg a különbséget a "tehetetlenség" és a "tehetetlenségi erő" fogalma között?
Mely testekre vonatkozik a tehetetlenségi erő, hogyan irányul és milyen képlettel számítható ki?
Mi a kinetosztatika elve?
Melyek az anyagi pont érintőleges és normál tehetetlenségi erőinek moduljai és irányai?
Mi a testsúly? Mi az SI mértékegysége a tömeg mérésére?
Mi a test tehetetlenségének mértéke?
Írja le a dinamika alaptörvényét vektoros és differenciális formában?
Egy anyagi pontra állandó erő hat. Hogyan mozog a pont?
Milyen gyorsulást kap a pont, ha a gravitációs erő kétszeresével egyenlő erő hat rá?
Két anyagi pont tömegekkel való ütközése után m 1 =6 kg és m 2 \u003d 24 kg, az első pont 1,6 m / s gyorsulást kapott. Mekkora a második pont által elért gyorsulás?
Egy anyagi pont melyik mozgásánál egyenlő a tangenciális tehetetlenségi ereje nullával, és mi a normális?
Milyen képletekkel számítják ki a forgási és a centrifugális erő egy rögzített tengely körül forgó merev testhez tartozó pont tehetetlensége?
Hogyan fogalmazódik meg a pontdinamika alaptörvénye?
Adja meg az erők hatásának függetlenségi törvényének megfogalmazását!
Írja fel egy anyagi pont mozgásának differenciálegyenleteit vektor és koordináta alakban!
Fogalmazza meg a pontdinamika első és második fő feladatának lényegét!
Adja meg azokat a feltételeket, amelyekből egy anyagi pont mozgási differenciálegyenleteinek integrálási állandója meghatározható!
Milyen dinamikai egyenleteket nevezünk anyagi pont természetes mozgásegyenleteinek?
Mi a pontdinamikai két fő probléma, amelyet egy anyagi pont differenciális mozgása segítségével oldanak meg?
Egy szabad anyagi pont mozgási differenciálegyenlete.
Hogyan határozzuk meg az állandókat egy anyagi pont mozgási differenciálegyenleteinek integrálásakor?
Egy anyagi pont mozgási egyenleteinek integrálásakor megjelenő tetszőleges állandók értékeinek meghatározása.
Mik a törvények szabadesés test?
Milyen törvények szabályozzák a horizonttal szöget bezárt test vízszintes és függőleges mozgását vákuumban? Mi a mozgásának pályája, és milyen szögben van a test legnagyobb repülési hatótávja?
Hogyan lehet kiszámítani egy változó erő impulzusát egy véges időtartam alatt?
Mekkora az anyagi pont lendülete?
Hogyan kell kifejezni elemi munka erőket az erőkifejtési pont elemi útján és hogyan - ennek a pontnak az ívkoordinátájának növekedésén keresztül?
Milyen elmozdulásokon egyenlő a gravitáció: a) pozitív, b) negatív, c) nullával?
Hogyan lehet kiszámítani egy rögzített tengely körül szögsebességgel forgó anyagi pontra kifejtett erő erejét?
Fogalmazzon meg tételt egy anyagi pont lendületének változásáról!
Milyen feltételek mellett nem változik egy anyagi pont lendülete? Milyen feltételek mellett nem változik a vetülete valamelyik tengelyre?
Adja meg az anyagi pont mozgási energiájának változására vonatkozó tételt differenciális és véges formában!
Mit nevezünk egy anyagi pont lendületi nyomatékának: a) a középponthoz, b) a tengelyhez?
Hogyan fogalmazódik meg az a tétel, amely egy pont szögimpulzusának a középponthoz és a tengelyhez viszonyított változásáról szól?
Milyen feltételek mellett marad változatlan egy pont tengely körüli impulzusnyomatéka?
Hogyan határozható meg egy anyagi pont középponthoz és a tengelyhez viszonyított impulzusnyomatéka? Milyen a kapcsolat közöttük?
Egy anyagi pont lendületvektorának melyik pontján egyenlő a tengelyhez viszonyított nyomatéka nullával?
Miért van egy középső erő hatására mozgó anyagi pont pályája egy síkban?
Melyik pont mozgását nevezzük egyenes vonalúnak? írd le differenciálegyenlet anyagi pont egyenes vonalú mozgása.
Írja fel egy anyagi pont síkbeli mozgásának differenciálegyenleteit!
Egy anyagi pont milyen mozgását írják le az első típusú Lagrange-féle differenciálegyenletek?
Milyen esetekben nevezünk egy anyagi pontot nem szabadnak, és melyek ennek a pontnak a mozgási differenciálegyenletei?
Adja meg a stacionárius és nemstacionárius, holonomikus és nemholonom kényszerek definícióit!
Mik azok a kétirányú kapcsolatok? Egyoldalú?
Mi a kötvénymentesség elvének lényege?
Milyen alakúak egy nem szabad anyagi pont mozgási differenciálegyenletei Lagrange alakban? Mi az a Lagrange-szorzó?
Adja meg a dinamikus Coriolis-tétel megfogalmazását!
Mi a Galileo-Newton relativitáselmélet lényege?
Nevezze meg azokat a mozgásokat, amelyekben a Coriolis-féle tehetetlenségi erő nulla!
Mekkora a transzlációs és Coriolis tehetetlenségi erők nagysága és iránya?
Mi a különbség egy anyagi pont relatív és abszolút mozgásának differenciálegyenlete között?
Hogyan határozható meg a hordozható és a Coriolis tehetetlenségi erő a hordozható mozgás különböző eseteiben?
Mi a klasszikus mechanika relativitáselvének lényege?
Milyen referenciarendszereket nevezünk inerciálisnak?
Mi a feltétele egy anyagi pont relatív maradékának?
Milyen pontokon a Föld felszíne a gravitációnak a legnagyobb és legkisebb érték?
Mi magyarázza a lehulló testek keleti irányba való eltérését?
Milyen irányban hajlik el a függőlegesen felfelé dobott test?
Egy vödröt gyorsítással leeresztenek a bányába de\u003d 4 m/s 2. A kád gravitációja G=2 kN. Határozza meg a kádat tartó kötél feszességét?
Két anyagi pont egyenes vonalban mozog 10 és 100 m/s állandó sebességgel. Vitatható-e, hogy ezekre a pontokra egyenértékű erőrendszerek vonatkoznak?
1) lehetetlen;
Két 5 és 15 kg tömegű anyagi pontra egyenlő erők hatnak. Hasonlítsa össze ezeknek a pontoknak a gyorsulásának számértékeit?
1) a gyorsulások azonosak;
2) egy 15 kg tömegű pont gyorsulása háromszor kisebb, mint egy 5 kg tömegű pont gyorsulása.
Megoldhatók-e a dinamikai problémák egyensúlyi egyenletekkel?
Hasonlóképpen, mint egy anyagi pont esetében, levezetünk egy tételt a rendszer impulzusának változásáról különböző formákban.
Átalakítjuk az egyenletet (tétel egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgásáról)
a következő módon:
;
;
A kapott egyenlet a mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételt differenciális formában fejezi ki: egy mechanikai rendszer impulzusának időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható külső erők fővektorával. .
A derékszögű koordinátatengelyekre vetítéseknél:
; 
; 
.
Az utolsó egyenlet mindkét részének integráljait időben figyelembe véve egy mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételt kapunk integrál formában: egy mechanikai rendszer impulzusának változása megegyezik a mechanikai rendszer impulzusának változása a fővektor impulzusával. a rendszerre ható külső erők .
.
Vagy a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve:
; 
; 
.
A tétel következményei (a lendület megmaradásának törvényei)
Az impulzusmegmaradás törvényét a rendszer impulzusának változására vonatkozó tétel speciális eseteiként kapjuk meg a külső erők rendszerének jellemzőitől függően. A belső erők bármiek lehetnek, mivel nem befolyásolják a lendület változását.
Két eset lehetséges:
1. Ha a rendszerre ható összes külső erő vektorösszege egyenlő nullával, akkor a rendszer impulzusának nagysága és iránya állandó.
2. Ha a külső erők fővektorának vetülete bármely koordináta tengelyés/vagy és/vagy , akkor a mozgás mértékének ugyanazon tengelyekre vetítése állandó érték, azaz. és/vagy és/vagy.
Hasonló rekordok készíthetők egy anyagi pontra és egy anyagi pontra.
A feladat. Egy fegyvertől, amelynek tömege M, egy tömeglövedék vízszintes irányban kirepül m sebességgel v. Találd meg a sebességet V fegyverek lövés után.
Megoldás. Minden külső erők fellépése mechanikus rendszer fegyverlövedék, függőleges. Ennélfogva a rendszer lendületének változására vonatkozó tétel következménye alapján a következőket kapjuk: .
A mechanikus rendszer mozgásának mértéke a lövés előtt:
A mechanikus rendszer mozgásának mértéke a lövés után:
.
A kifejezések megfelelő részeit egyenlővé téve azt kapjuk
.
A „-” jel a kapott képletben azt jelzi, hogy a lövés után a fegyver a tengellyel ellentétes irányba gurul vissza. Ökör.
2. PÉLDA Egy F keresztmetszetű csőből V sebességgel áramlik ki egy sűrűségű folyadéksugár, és szögben ütközik egy függőleges falnak. Határozza meg a folyadék nyomását a falon.
MEGOLDÁS. Alkalmazzuk az impulzus impulzus változásának tételét integrál formában a tömegű folyadék térfogatára m falnak ütközik egy ideig t.
MESHCSERSKY-EGYENLET
(változó tömegű test dinamikájának alapegyenlete)
A modern technikában előfordulnak olyan esetek, amikor egy pont és egy rendszer tömege a mozgás során nem marad állandó, hanem változik. Így például az űrrakéták repülése során az égéstermékek és a rakéták egyes felesleges részei kilökődése miatt a tömegváltozás eléri a teljes kezdeti érték 90-95% -át. De nem csak az űrtechnika lehet példa a változó tömeg mozgásának dinamikájára. A textiliparban jelentős változás áll be a különböző orsók, orsók, tekercsek tömegében a korszerű gép- és gépfordulatszámok mellett.
Tekintsük a tömegváltozással kapcsolatos főbb jellemzőket egy változó tömegű test transzlációs mozgásának példájával. A dinamika alaptörvénye nem alkalmazható közvetlenül változó tömegű testre. Ezért egy változó tömegű pont mozgási differenciálegyenleteit kapjuk, alkalmazva a rendszer lendületének változására vonatkozó tételt.
Legyen egy tömegpont m+dm sebességgel mozog. Ekkor valamilyen tömegű részecske pontjától való leválás következik be dm sebességgel halad.
A test mozgásának mértéke a részecske leválása előtt:
Egy testből és egy levált részecskéből álló rendszer mozgásának mértéke a leválás után:
Ekkor a lendület változása:
A rendszer lendületének változására vonatkozó tétel alapján:
Jelöljük az értéket - a részecske relatív sebességét:
Jelöli 
az érték R reaktív erőnek nevezzük. A sugárerő a motor tolóereje, amely a fúvókából felszabaduló gáz miatt következik be.
Végre megkapjuk
-
Ez a képlet egy változó tömegű test dinamikájának alapegyenletét fejezi ki (Meshchersky-féle képlet). Az utolsó képletből következik, hogy egy változó tömegű pont mozgási differenciálegyenletei ugyanolyan alakúak, mint egy állandó tömegű ponté, kivéve a tömegváltozás miatt a pontra ható további reaktív erőt.
A változó tömegű test dinamikájának alapegyenlete azt jelzi, hogy ennek a testnek a gyorsulása nemcsak külső erők hatására jön létre, hanem a reaktív erő hatására is.
A reaktív erő olyan erő, amely hasonló a lövöldöző személy által érezhető erőhöz – pisztollyal lövéskor a kéz érzi; puskából lövéskor a váll érzékeli.
Ciolkovszkij első képlete (egyfokozatú rakétához)
Egy változó tömegű pont vagy egy rakéta csak egy reaktív erő hatására haladjon egyenes vonalban. Mivel sok modern sugárhajtóműnél hol van a motor kialakítása által megengedett maximális reaktív erő (motor tolóerő); - a földfelszínen elhelyezkedő, a motorra ható gravitációs erő. Azok. A fentiek lehetővé teszik a Meshchersky-egyenletben szereplő összetevő figyelmen kívül hagyását, és a további elemzéshez az egyenlet elfogadását a következő formában:
Jelöli:
Üzemanyag-tartalék (folyékony hajtóanyagú sugárhajtóműveknél - a rakéta száraz tömege (a maradék tömege, miután az összes üzemanyag kiég);
A rakétáról levált részecskék tömege; között változónak tekinthető.
Írjuk fel egy változó tömegű pont egyenes vonalú mozgásának egyenletét a következő formában:
Mivel a rakéta változó tömegének meghatározására szolgáló képlet
Ezért egy pont mozgásegyenletei 
Mindkét rész integrálját véve megkapjuk
ahol - jellemző sebesség- ez az a sebesség, amelyet a rakéta tolóerő hatására elér, miután az összes részecske kitör a rakétából (folyékony hajtóanyagú sugárhajtóműveknél - az összes üzemanyag elégetése után).
Az integráljelből kivéve (ami a jól ismert alapján tehető meg felsőbb matematika középérték tétel) az átlagsebesség a rakétából kilökődő részecskék.
A következőket tartalmazza n anyagi pontok. Hadd emeljünk ki néhány pontot ebből a rendszerből Mj tömegével mj. Ismeretes, hogy ezen a ponton külső és belső erők hatnak.
Alkalmazza egy pontra Mj mindennek eredménye belső erők F j iés minden külső erő eredője F j e(2.2. ábra). A kiválasztott anyagponthoz Mj(szabadpontként) felírjuk az impulzusváltozás tételét differenciál alakban (2.3):
Hasonló egyenleteket írunk fel a mechanikai rendszer minden pontjára (j=1,2,3,…,n).
2.2. ábra
Rakjunk össze mindent n egyenletek:
∑d(m j × V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j × V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)
Itt ∑mj ×Vj =Q a mechanikai rendszer lendülete;
∑ F j e = R e – fő vektor a mechanikai rendszerre ható minden külső erő;
∑ F j i = R i =0- a rendszer belső erőinek fővektora (a belső erők tulajdonsága szerint nullával egyenlő).
Végül a mechanikai rendszer esetében megkapjuk
dQ/dt = Re. (2.11)
A (2.11) kifejezés egy mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tétel differenciális formában (vektoros kifejezésben): egy mechanikai rendszer impulzusvektorának időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható összes külső erő fővektorával.
A (2.11) vektoregyenlőséget a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve kifejezéseket kapunk a mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételhez koordináta- (skaláris) kifejezésben:
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
azok. egy mechanikai rendszer lendületének bármely tengelyre vetítésének időbeli deriváltja egyenlő a mechanikai rendszerre ható összes külső erő fővektorának erre a tengelyre vetítésével..
A (2.12) egyenlőség mindkét oldalát megszorozva ezzel dt, a tételt egy másik differenciálformában kapjuk meg:
dQ = R e × dt = δS e, (2.13)
azok. egy mechanikai rendszer impulzuskülönbsége egyenlő a rendszerre ható összes külső erő fővektorának elemi impulzusával (az elemi impulzusok összegével)..
Az egyenlőség (2.13) integrálása a 0-tól az időtartományig t, egy tételt kapunk egy mechanikai rendszer impulzusának változásáról véges (integrális) formában (vektoros kifejezésben):
Q - Q 0 \u003d S e,
azok. egy mechanikai rendszer mozgásának véges időn belüli változása megegyezik a rendszerre ugyanazon idő alatt ható összes külső erő fővektorának összimpulzusával (a teljes impulzusok összegével)..
A (2.14) vektoregyenlőséget a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve a tételhez kifejezéseket kapunk vetületekben (skaláris kifejezésben):
azok. a mechanikai rendszer impulzusának tetszőleges tengelyre vetületének véges idő alatt bekövetkező változása megegyezik az összes külső erő fővektorának teljes impulzusának (a teljes impulzusok összegének) ugyanarra a tengelyre történő vetületével. ugyanannyi ideig hat a mechanikai rendszerre.
A figyelembe vett (2.11) - (2.15) tételből kövessük a következő következtetéseket:
- Ha R e = ∑ F j e = 0, azután Q = állandó– megvan a mechanikai rendszer impulzusvektorának megmaradásának törvénye: ha a fővektor Újra egy mechanikai rendszerre ható összes külső erő nullával egyenlő, akkor ennek a rendszernek a lendületvektora nagyságrendileg és irányában állandó marad, és egyenlő a kezdeti értékével Q0, azaz Q = Q0.
- Ha R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), azután Q x = állandó- megvan a mechanikai rendszer lendületének tengelyére való vetület megmaradásának törvénye: ha a mechanikai rendszerre ható összes erő fővektorának bármely tengelyre vetülete nulla, akkor a vetület ugyanarra a tengelyre ennek a rendszernek az impulzusvektora állandó értékű lesz, és egyenlő az erre a tengelyre történő vetítéssel a kezdeti impulzusvektor, azaz. Qx = Q0x.
Az anyagrendszer lendületének változására vonatkozó tétel differenciálformájának fontos és érdekes alkalmazásai vannak a kontinuummechanikában. A (2.11)-ből megkaphatjuk az Euler-tételt.
A rendszer mozgásának nagyságát, mint vektormennyiséget, a (4.12) és (4.13) képlet határozza meg.
Tétel. A rendszer mozgásmennyiségének időbeli deriváltja egyenlő a rá ható összes külső erő geometriai összegével.
A derékszögű tengelyek vetületeiben skaláris egyenleteket kapunk.
Írhatsz vektort
(4.28)
és skaláris egyenletek
Amelyek a rendszer impulzusának változásáról szóló tételt integrál formában fejezik ki: a rendszer impulzusának egy bizonyos időtartam alatti változása megegyezik az azonos időtartamú impulzusok összegével. A feladatok megoldása során gyakrabban használják a (4.27) egyenleteket
A lendület megmaradásának törvénye
Tétel megváltoztatása perdület
Egy pont középponthoz viszonyított impulzusimpulzusának változásáról szóló tétel: egy pont szögimpulzusának fix középponthoz viszonyított időbeli deriváltja egyenlő az ugyanahhoz a középponthoz viszonyított erőpontra ható vektornyomatékkal.
vagy 
(4.30)
Összehasonlítva (4.23) és (4.30) azt látjuk, hogy a és vektorok momentumai ugyanazzal a függéssel kapcsolódnak össze, mint maguk a vektorok, és össze vannak kötve (4.1. ábra). Ha az egyenlőséget az O középponton átmenő tengelyre vetítjük, akkor azt kapjuk
(4.31)
Ez az egyenlőség egy pont tengely körüli impulzusnyomatékának tételét fejezi ki.
|
(4.32)
Ha a (4.32) kifejezést az O középponton átmenő tengelyre vetítjük, akkor olyan egyenlőséget kapunk, amely a szögimpulzus tengelyhez viszonyított változására vonatkozó tételt jellemzi.
(4.33)
A (4.10)-et a (4.33) egyenlőségbe behelyettesítve háromféle formában írhatjuk fel egy forgó merev test (kerekek, tengelyek, tengelyek, rotorok stb.) differenciálegyenletét.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Így a kinetikus nyomaték változásáról szóló tételt célszerű felhasználni a technikában igen elterjedt merev test mozgásának, fix tengely körüli forgásának vizsgálatára.
A rendszer impulzusimpulzusának megmaradásának törvénye
1. Engedjük be a (4.32) kifejezést.
Ekkor a (4.32) egyenletből következik, hogy , i.e. ha a rendszerre ható összes külső erő nyomatékainak összege relatív ezt a központot egyenlő nullával, akkor a rendszer szögimpulzusa ehhez a középponthoz képest számszerűen, irányában pedig állandó lesz.
2. Ha , akkor . Így ha a rendszerre ható külső erők nyomatékainak összege valamely tengelyhez képest nulla, akkor a rendszer kinetikus nyomatéka ehhez a tengelyhez képest állandó érték lesz.
Ezek az eredmények a szögimpulzus megmaradásának törvényét fejezik ki.
Forgó merev test esetén a (4.34) egyenlőségből következik, hogy ha , akkor . Innen a következő következtetésekre jutunk:
Ha a rendszer megváltoztathatatlan (abszolút szilárd), akkor , tehát és és a merev test egy rögzített tengely körül állandó szögsebességgel forog.
Ha a rendszer változtatható, akkor . Növekedéssel (ekkor a rendszer egyes elemei eltávolodnak a forgástengelytől) a szögsebesség csökken, mert , és csökkenésével növekszik, így változó rendszer esetén belső erők segítségével lehet változtatni a szögsebességet.
Második feladat D2 ellenőrzési munka a rendszer tengely körüli kinetikai nyomatékának változásáról szóló tételnek szenteljük.
D2 feladat
Egy homogén vízszintes platform (kerek, R sugarú vagy téglalap alakú, R és 2R oldalakkal, ahol R = 1,2 m) kg tömegű szögsebességgel forog a z függőleges tengely körül, amely a platform C tömegközéppontjától kb. a távolság OC = b (D2.0 – D2.9 ábra, D2 táblázat); ábrán láthatók az összes téglalap alakú platform méretei. D2.0a (felülnézet).
Abban a pillanatban, amikor egy kg tömegű D teher mozogni kezd a platform csúszdáján (belső erők hatására) a törvény szerint, ahol s méterben, t másodpercben van kifejezve. Ezzel egyidejűleg egy M nyomatékú (newtonométerben megadott) erőpár hatni kezd a platformokon; M-nél< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Határozzuk meg a tengely tömegét figyelmen kívül hagyva a függőséget pl. platform szögsebessége az idő függvényében.
Minden ábrán a D terhelés olyan helyzetben látható, ahol s > 0 (amikor s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Útvonalak. D2 feladat - a rendszer szögimpulzusának változására vonatkozó tétel alkalmazásáról. Amikor a tételt platformból és teherből álló rendszerre alkalmazzuk, a rendszer z tengely körüli impulzusnyomatékát a platform és a terhelés nyomatékainak összegeként határozzuk meg. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy a terhelés abszolút sebessége a relatív ill hordozható sebességek, azaz . Ezért a rakomány mozgásának mennyisége 
. Ekkor használhatjuk a Varignon-tételt (statika), amely szerint ; ezeket a nyomatékokat ugyanúgy számítjuk ki, mint az erőnyomatékokat. A megoldás menetét részletesebben a D2 példa ismerteti.
A feladat megoldása során célszerű a segédrajzon a peron felülnézetét (z végétől) ábrázolni, ahogy az a 2. ábrán látható. D2.0,a - D2.9,a.
Egy m tömegű lemez tehetetlenségi nyomatéka a lemezre merőleges és a tömegközéppontján átmenő Cz tengely körül egyenlő: olyan téglalap alakú lemez esetén, amelynek oldalai és
;
R sugarú kerek betéthez
| Állapotszám | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5 t -0,6 t 0,8 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D2 példa. Egy homogén vízszintes platform (téglalap alakú, 2l és l oldalakkal), tömeggel, mereven rögzítve van egy függőleges tengelyhez, és vele együtt forog egy tengely körül. z szögsebességgel (E2a ábra ). Ebben a pillanatban egy M nyomaték kezd hatni a tengelyre, ellenkező irányban ; ugyanakkor rakomány D az ereszcsatornában található massza AB azon a ponton TÓL TŐL, az s = CD = törvény szerint mozogni kezd a csúszdán (belső erők hatására). F(t).
Adott: m 1 \u003d 16 kg, t 2= 10 kg, l\u003d 0,5 m, \u003d 2, s \u003d 0,4t 2 (s - méterben, t - másodpercben), M= kt, ahol k=6 Nm/s. Határozza meg: - a változás törvényét szögsebesség platformok.
Megoldás. Vegyünk egy mechanikus rendszert, amely egy platformból és egy rakományból áll D. A w meghatározásához alkalmazzuk a rendszer impulzusimpulzusának a tengely körüli változására vonatkozó tételt z:
(1)
Ábrázoljuk a rendszerre ható külső erőket: a reakció gravitációs erőit és az M nyomatékot. Mivel a és erők párhuzamosak a z tengellyel, és a reakciók ezt a tengelyt metszik, a z tengelyhez viszonyított nyomatékuk egyenlő nullára. Ekkor a pillanatnyi pozitív irányt figyelembe véve (azaz óramutató járásával ellentétes irányban) megkapjuk 
és az (1) egyenlet ezt a formát ölti majd.