Munka belső erők a végső elmozdulásnál nulla.

A transzlációsan mozgó testre ható erő munkája egyenlő ennek az erőnek és a lineáris elmozdulás növekedésének szorzatával.

A forgó testre ható erő munkája egyenlő ennek az erőnek a forgástengely körüli nyomatékának és a forgásszög növekedésének szorzatával: ; . Erő:
.

Kinetikus energia mechanikus rendszer különböző típusú mozgásokhoz.

Mechanikai rendszer kinetikus energiája- skalár, amely egyenlő a rendszer összes pontja kinetikus energiáinak összegével: .

Nál nél előre mozgás:

Nál nél forgó mozgás:

Síkkal párhuzamos mozgással: , ahol d a tömegközéppont és az MCS távolsága

27. Tétel egy anyagi pont mozgási energiájának változásáról.

Kinetikus energia anyagi pont - skalár, amely egyenlő egy pont tömegének és sebessége négyzetének szorzatának felével.

A dinamika alapegyenlete: , szorozzuk meg az elemi elmozdulással: ; ; . Az eredményül kapott kifejezés integrálása:

Tétel: egy anyagi pont mozgási energiájának változása valamilyen elmozdulásnál megegyezik az azonos elmozdulásnál a pontra ható erő munkájával.

Tétel egy mechanikai rendszer mozgási energiájának változásáról.

Mivel a belső erők munkája nulla, akkor:
.

Tétel: a mechanikai rendszer mozgási energiájának változása véges elmozdulás esetén megegyezik az azonos elmozdulás melletti külső erők munkájának összegével.

A lehetséges elmozdulások elve mechanikus rendszernél.

; , legyenek a mechanikai rendszer pontjaira támasztott kényszerek kétoldalúak, stacionáriusak, holonomikusak és ideálisak, akkor: .

A lehetséges mozgások elve - Lagrange-elv- egy kétoldali, stacionárius, holonom és ideális kényszerű mechanikai rendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy az adott erők munkájának algebrai összege lehetséges áthelyezés egyenlő volt a nullával.

d'Alembert elve egy anyagi ponthoz.

A mozgó anyagpontra ható erők és a pont tehetetlenségi erőinek geometriai összege nulla

d'Alembert-elv egy nem szabad mechanikai rendszerhez.

Mozgó nem szabad mechanikai rendszerben minden anyagpontra, bármely pillanatban geometriai összeg A rá ható erők, a csatolási reakciók és a tehetetlenségi erők nullával egyenlőek. A kifejezés mindkét részét r i-vel megszorozva a következőt kapjuk: ;
.

, az adott erők, a csatolási reakciók és a koordinátatengelyekre ható tehetetlenségi erők nyomatékainak összege nulla.

A pontok tehetetlenségi erőinek behozása szilárd test a legegyszerűbb formára.

A merev test pontjainak tehetetlenségi erőrendszerére a statikában figyelembe vett Punchon-módszer alkalmazható. Ekkor bármely tehetetlenségi erőrendszer redukálható a tehetetlenségi erők fővektorára és a tehetetlenségi erők főnyomatékára.

Transzlációs mozgásban: Ф=-ma (merev test transzlációs mozgásában a pontjainak tehetetlenségi erői a testtömeg szorzatával abszolút értékű tehetetlenségi erők fővektorára redukálódnak, a test gyorsulásával ebben a középpontban alkalmazott tömegközéppont és a tömegközéppont ellentétes gyorsulása felé irányítva).

Forgó mozgás közben: M = -Iε (merev test forgó mozgása során a pontjainak tehetetlenségi ereje a tehetetlenségi erők főnyomatékára csökken, amely egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékának a forgási erőkhöz viszonyított szorzatával és a szöggyorsulás. Ez a nyomaték az ellentétes szöggyorsulás felé irányul).

Síkmozgásnál: Ф=-ma M=-Iε (merev test lapos mozgásánál a pontjainak tehetetlenségi erői a fővektorra és a fő tehetetlenségi erőkre redukálódnak).

A dinamika általános egyenlete. d'Alembert-Lagrange elv.

d'Alembert-elv: å(P i + R i + Ф i) = 0; å(P i + R i + Ф i)Dr i = 0, feltételezzük. hogy a mechanikai rendszerre rótt kényszerek kétirányúak, stacionáriusak, holonomikusak és ideálisak, akkor: å(R i × Dr i) = 0;

å(P i + Ф i)Dr i = 0 - általános egyenlet hangszórók- kétirányú, stacionárius, holonomikus és ideális kényszerű mechanikai rendszer mozgásánál az adott erők munkájának és a rendszer pontjai tehetetlenségi erőinek összege bármely lehetséges elmozdulásra nulla.

Kilátás: Ezt a cikket eddig 49920 alkalommal olvasták

Pdf Nyelv kiválasztása... Orosz Ukrán Angol

Rövid áttekintés

A teljes anyag fent, a nyelv kiválasztása után letölthető

Két konverziós eset mechanikus mozgás anyagi pont vagy pontrendszer:

1. A mechanikus mozgás mechanikus mozgásként kerül át egyik mechanikai rendszerből a másikba;
2. A mechanikus mozgás az anyag mozgásának egy másik formájává alakul át (a formává helyzeti energia, hő, villany stb.).

Ha a mechanikai mozgás átalakulását egy másik mozgásformára való átmenet nélkül tekintjük, a mechanikai mozgás mértéke egy anyagi pont vagy mechanikai rendszer impulzusvektora. Az erő hatásának mértéke ebben az esetben az erő impulzusvektora.

Amikor a mechanikai mozgást az anyag egy másik mozgásformájává alakítják át, egy anyagi pont vagy mechanikai rendszer kinetikus energiája a mechanikai mozgás mértékeként működik. Az erő hatásának mértéke a mechanikai mozgás másik mozgásformává történő átalakulásakor az munkaerő

Kinetikus energia

A kinetikus energia a test azon képessége, hogy leküzdje az akadályokat mozgás közben.

Anyagi pont kinetikus energiája

Egy anyagi pont kinetikus energiáját skaláris mennyiségnek nevezzük, amely egyenlő a pont tömege és sebessége négyzetének szorzatának felével.

Kinetikus energia:

• mind a transzlációs, mind a forgó mozgásokat jellemzi;
• nem függ a rendszer pontjainak mozgási irányától, és nem jellemzi ezen irányok változását;
• mind a belső, mind a külső erők működését jellemzi.

Mechanikai rendszer kinetikus energiája

A rendszer mozgási energiája megegyezik a rendszer testeinek kinetikus energiáinak összegével. A mozgási energia a rendszer testeinek mozgási típusától függ.

Szilárd test mozgási energiájának meghatározása at különböző típusok mozgási mozdulatok.

A transzlációs mozgás kinetikus energiája
Transzlációs mozgásban a test kinetikus energiája egyenlő T=m V2/2.

A transzlációs mozgásban lévő test tehetetlenségének mértéke a tömeg.

A test forgó mozgásának kinetikus energiája

A test forgó mozgása során a mozgási energia egyenlő a test forgástengely körüli tehetetlenségi nyomatéka és szögsebessége négyzetének szorzatának felével.

A test tehetetlenségének mértéke a forgó mozgás során a tehetetlenségi nyomaték.

A test mozgási energiája nem függ a test forgásirányától.

A test sík-párhuzamos mozgásának kinetikus energiája

A test sík-párhuzamos mozgása esetén a mozgási energia egyenlő

Erőszakos munka

Az erő munkája jellemzi az erő hatását a testre valamilyen elmozdulás esetén, és meghatározza a mozgási pont sebességi modulusának változását.

Elemi erőmunka

Az erő elemi munkáját úgy definiáljuk, mint egy skaláris értéket, amely egyenlő a pont mozgásának irányába ható, a pálya érintőjére ható erő vetületének és a pont ezen érintő mentén irányú végtelen kicsi elmozdulásának szorzatával. .

Az erő munkája a végső elmozdulásra

A végső elmozdulásra ható erő munkája megegyezik az elemi szakaszokon végzett munkájának összegével.

Az M 1 M 0 végső elmozdulásra ható erő munkája megegyezik az elemi munka ezen elmozdulása mentén fellépő integrállal.

Az M 1 M 2 elmozdulására ható erő hatását az ábra abszcissza tengelye, a görbe és az M 1 és M 0 pontoknak megfelelő ordináták által határolt területe ábrázolja.

Az SI rendszerben az erő és a mozgási energia munkájának mértékegysége 1 (J).

Tételek az erő munkájáról

1. tétel. Az eredő erő munkája egy bizonyos elmozdulásra megegyezik az ugyanazon az elmozduláson lévő komponenserők munkájának algebrai összegével.

2. tétel. Az eredményül kapott elmozdulásra ható állandó erő munkája megegyezik ezen erő komponenselmozdulásaira gyakorolt ​​munkájának algebrai összegével.

Erő

A teljesítmény egy olyan mennyiség, amely meghatározza az erő által időegység alatt végzett munkát.

A tápegység 1W = 1 J/s.

Az erők munkájának meghatározásának esetei

A belső erők munkája

A merev test belső erőinek munkájának összege bármely elmozdulására egyenlő nullával.

A gravitáció munkája

A rugalmas erő munkája

A súrlódási erő munkája

A forgó testre ható erők munkája

A rögzített tengely körül forgó merev testre kifejtett erők elemi munkája megegyezik a forgástengely körüli külső erők főnyomatékának és a forgásszög növekedésének szorzatával.

gördülési ellenállás

Az álló henger és a sík érintkezési zónájában az érintkezési összenyomás lokális deformációja lép fel, a feszültségek elliptikus törvény szerint oszlanak meg, és ezen feszültségek eredő N hatásvonala egybeesik a hatásvonallal. A hengerre ható terhelési erő Q. Amikor a henger gördül, a terheléseloszlás aszimmetrikussá válik, és a maximum eltolódik a mozgás felé. Az eredményül kapott N eltolódik a k értékkel - a gördülési súrlódási erő karjával, amelyet gördülési súrlódási együtthatónak is neveznek, és amelynek hossza (cm)

Tétel egy anyagi pont mozgási energiájának változásáról

Egy anyagi pont mozgási energiájának változása annak bizonyos elmozdulásánál egyenlő az azonos elmozdulásban lévő pontra ható összes erő algebrai összegével.

Tétel egy mechanikai rendszer mozgási energiájának változásáról

Egy mechanikai rendszer mozgási energiájának változása egy bizonyos elmozdulásnál egyenlő a rendszer anyagi pontjaira ható belső és külső erők algebrai összegével azonos elmozdulás esetén.

Tétel a merev test mozgási energiájának változásáról

Egy merev test (változatlan rendszer) mozgási energiájának változása egy bizonyos elmozdulásnál megegyezik a rendszer azonos elmozdulású pontjaira ható robot külső erőinek összegével.

hatékonyság

A mechanizmusokban ható erők

A mechanizmusra vagy gépre kifejtett erők és erőpárok (nyomatékok) csoportokra oszthatók:

1. Meghajtó erők és nyomatékok, amelyek pozitív munkát végeznek (a hajtókarokra vonatkoztatva, például a belső égésű motor dugattyújára ható gáznyomás).

2. Negatív munkát végző erők és ellenállási pillanatok:

• hasznos ellenállás (elvégzik a géptől megkövetelt munkát, és a hajtott láncszemekre vonatkoznak, például a gép által felvett teher ellenállása),
• ellenállási erők (például súrlódási erők, légellenállás stb.).

3. A rugók gravitációs és rugalmas erői (pozitív és negatív munka, míg a teljes ciklus munkavégzése nulla).

4. A testre vagy állványra kívülről ható erők és nyomatékok (alapozás reakciója stb.), amelyek nem működnek.

5. A kinematikai párokban ható kapcsolatok közötti kölcsönhatási erők.

6. A láncszemek tehetetlenségi erői a láncszemek tömegéből és gyorsulással járó mozgásából adódóan pozitív, negatív munkát végezhetnek és nem végeznek munkát.

Az erők munkája a mechanizmusokban

A gép állandósult állapotában a mozgási energiája nem változik, a rá ható hajtóerők és ellenállási erők munkájának összege nulla.

A gép mozgásba hozására fordított munka a hasznos és káros ellenállások leküzdésére fordítódik.

mechanizmus hatékonysága

Az egyenletes mozgás mechanikai hatásfoka megegyezik a gép hasznos munkájának és a gép mozgásba hozására fordított munka arányával:

A gép elemei sorba, párhuzamosan és keverve is kapcsolhatók.

Hatékonyság soros csatlakozásnál

Ha a mechanizmusok sorba vannak kapcsolva, az összhatásfok kisebb, mint az egyes mechanizmusok legalacsonyabb hatásfoka.

Hatékonyság párhuzamos kapcsolással

Ha a mechanizmusokat párhuzamosan kapcsolják össze, az összhatásfok nagyobb, mint egy különálló mechanizmus legkisebb, és kisebb, mint a legmagasabb hatásfoka.

Formátum: pdf

Nyelv: orosz, ukrán

Példa a homlokkerekes fogaskerék számítására
Példa a homlokkerekes fogaskerék számítására. Megtörtént az anyagválasztás, a megengedett feszültségek számítása, az érintkezési és hajlítószilárdság számítása.

Példa a sugárhajlítási probléma megoldására
A példában a keresztirányú erők és a hajlítónyomatékok diagramjait készítjük, veszélyes szakaszt találunk, és egy I-gerenda kerül kiválasztásra. A feladatban a diagramok differenciális függőségek felhasználásával történő felépítését elemeztem, összehasonlító elemzés a gerenda különböző keresztmetszete.

Példa a tengelycsavarodás problémájának megoldására
A feladat egy acéltengely szilárdságának vizsgálata adott átmérőhöz, anyaghoz és megengedett feszültségekhez. A megoldás során a nyomatékok, nyírófeszültségek és csavarási szögek diagramjai készülnek. A tengely önsúlyát nem veszik figyelembe

Példa a rúd feszítésének-tömörítésének problémájának megoldására
A feladat egy acélrúd szilárdságának vizsgálata adott megengedett feszültségeknél. A megoldás során hosszirányú erők, normálfeszültségek és elmozdulások diagramjai készülnek. A rúd önsúlyát nem vesszük figyelembe

A kinetikus energia megmaradás tételének alkalmazása
Példa a mechanikai rendszer kinetikus energiájának megmaradásáról szóló tétel alkalmazásának problémájának megoldására

Tétel: a gravitációs munka nem függ a pálya típusától, és egyenlő az erőmodulus és az alkalmazási pont függőleges elmozdulásának szorzatával .

Hadd mutasson az anyag M a gravitáció hatására mozog G és egy bizonyos ideig elmozdul a pozícióból M 1 pozícióba M 2 , áthaladva az úton s (4. ábra).
Egy pont pályáján M válasszon egy végtelenül kicsi területet ds , amely egyenes vonalúnak tekinthető, és a végeiből egyenes vonalakat húz, párhuzamos a tengelyekkel koordináták, amelyek közül az egyik függőleges, a másik vízszintes.
Az árnyékolt háromszögből azt kapjuk

dy = ds cos α.

Elemi erőmunka G úton ds egyenlő:

dW = F ds cos α.

A gravitáció teljes munkája G úton s egyenlő

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Tehát a gravitáció munkája egyenlő az erő és az alkalmazási pont függőleges elmozdulásának szorzatával:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa a gravitáció munkájának meghatározásával kapcsolatos probléma megoldására

Egy feladat: Egységes négyszögletes tömb ABCD súly m = 4080 kg a feltüntetett méretekkel rendelkezik rizs. öt.
Határozza meg azt a munkát, amelyet a tömb éle körül görgetni kell D .

Megoldás.
Nyilvánvaló, hogy a kívánt munka megegyezik a tömb gravitációja által végzett ellenállás munkájával, míg a tömb súlypontjának függőleges elmozdulásával, amikor átgurul a tömb élén D az az út, amely meghatározza a gravitáció által végzett munka mennyiségét.

Először is határozzuk meg a tömb gravitációját: G=mg = 4080 × 9,81 = 40 000 N = 40 kN.

A függőleges mozgás meghatározásához h egy téglalap alakú homogén tömb súlypontja (a téglalap átlóinak metszéspontjában található), a Pitagorasz-tételt használjuk, amely alapján:

KO 1 \u003d OD - KD \u003d √ (OK 2 + KD 2) - KD \u003d √ (3 2 +4 2) - 4 \u003d 1 m.

A gravitáció munkájára vonatkozó tétel alapján meghatározzuk a tömb felborításához szükséges munkát:

W \u003d G × KO 1 \u003d 40 000 × 1 \u003d 40 000 J \u003d 40 kJ.

Probléma megoldódott.

A forgó testre ható állandó erő munkája

Képzeljünk el egy korongot, amely állandó erő hatására egy rögzített tengely körül forog F (6. ábra), amelynek alkalmazási pontja a lemezzel együtt mozog. Bontsuk az erőt F három egymásra merőleges összetevőre: F1 - kerületi erő F2 – axiális erő, F3 a sugárirányú erő.

Amikor a lemezt végtelenül kis szögben elforgatjuk dφ erő F elemi munkát végez, amely az eredő munkájára vonatkozó tétel alapján egyenlő lesz a komponensek munkájának összegével.

Nyilvánvalóan az alkatrészek munkája F2 És F3 egyenlő lesz nullával, mivel ezeknek az erőknek a vektorai merőlegesek az infinitezimális elmozdulásra ds alkalmazási pontok M , tehát az erő elemi munkája F egyenlő az összetevőjének munkájával F1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ.

Amikor a lemezt a végső szögbe fordítja φ munkaerő F egyenlő

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ,

hol van a szög φ radiánban kifejezve.

A választópolgárok pillanatai óta F2 És F3 a tengelyről z egyenlők nullával, akkor a Varignon-tétel alapján az erőnyomaték F a tengelyről z egyenlő:

M z (F) \u003d F 1 R.

A tárcsára a forgástengely körül kifejtett erőnyomatékot nyomatéknak nevezzük, és a szabvány szerint ISO betűvel jelölve T :

T \u003d M z (F), Következésképpen W = Tφ .

A forgó testre ható állandó erő munkája egyenlő a nyomaték és a szögelmozdulás szorzatával.

Példa a probléma megoldására

Egy feladat: a munkás erővel forgatja a csörlő fogantyúját F = 200 N, merőleges a forgási sugárra.
Keressen munkát az idő múlásával t = 25 másodperc ha a nyél hossza r = 0,4 m, és annak szögsebessége ω = π/3 rad/s.

Megoldás.
Először is definiáljuk a szögeltolódást φ csörlő fogantyúk 25 másodperc:

φ = ωt \u003d (π / 3) × 25 \u003d 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200 × 0,4 × 26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ.

Erő

A tetszőleges erő által végzett munka különböző időtartamú, azaz különböző sebességű lehet. A munkavégzés gyorsaságának jellemzésére van egy fogalom a mechanikában erő , amit általában betűvel jelölnek P .

Egy erő elmozdulásra gyakorolt ​​elemi munkája (3.22. ábra) az erő és az alkalmazási pont elemi elmozdulásának skaláris szorzata:

ahol a az és a vektorok irányai közötti szög

Mivel akkor írhatunk egy másik kifejezést az elemi munkáról:

Az elemi munkához írhat még néhány kifejezést:

Az elemi munkaképletekből következik, hogy ez a mennyiség lehet pozitív (az a szög hegyes), negatív (az a szög tompaszög), vagy egyenlő nullával (az a szög derékszög).

Az erők teljes munkája. Egy pontból való elmozdulásra ható erő teljes munkájának meghatározása M 0 -tól M Osszuk fel ezt a lépést n elmozdulások, amelyek mindegyike a határban elemivé válik. Aztán az erő munkája DE:

ahol dA k- dolgozik rajta k-edik elemi elmozdulás.

A felírt összeg integrált és pótolható görbe vonalú integrál az elmozduláskor vett görbe mentén M 0 M. Azután

vagy

hol az idő t=0 egy pontnak felel meg M 0 és az idő t- pont M.

Az elemi és teljes munka definíciójából következik:

1) az eredő erő munkája bármely elmozdulásra egyenlő az erre az elmozdulásra ható alkotóerők munkájának algebrai összegével;

2) a teljes elmozdulásra ható erők munkája megegyezik az alkatrészelmozdulásokra ható azonos erők munkájának összegével, amelyre a teljes elmozdulás bármilyen módon fel van osztva.

Az erő ereje. Az erő ereje az időegység alatt végzett munka.

vagy ezt figyelembe véve

Az erő ereje egy érték, amely egyenlő az erő és az alkalmazási pont sebességének skaláris szorzatával.

Így állandó teljesítmény mellett a sebesség növekedése az erő csökkenéséhez vezet, és fordítva. A teljesítmény mértékegysége az Watt: 1W=1J/s.

Ha egy rögzített tengely körül forgó testre erő hat, akkor annak ereje egyenlő

Hasonló módon határozzuk meg egy erőpár erejét.

3.3.4.3. Példák egy erő munkájának kiszámítására

Az erő teljes munkája

ahol h- a magasság, amelyre a pont esett.

Így a gravitáció által végzett munka pozitív, ha a pont csökken, és negatív, amikor a pont emelkedik. A gravitáció munkája nem függ a pontok közötti pálya alakjától M 0 és M 1 .

A lineáris rugalmassági erő munkája. A lineáris rugalmassági erőt a Hooke-törvény szerint ható erőnek nevezzük (3.24. ábra):

hol van a sugárvektor az egyensúlyi pontból, ahol az erő nulla, a figyelembe vett pontig M; tól től – állandó tényező merevség.

Az erő munkája egy pontból való elmozdulásra M 0 pont M 1-et a képlet határozza meg

Az integrálással megkapjuk

(3.27)

Rizs. 3.25

A (3.27) képlet szerint a rugók lineáris rugalmas erejének munkáját a ponttól tetszőleges útvonalon történő mozgáskor számítjuk ki. M 0 , ahol a kezdeti alakváltozása egyenlő pontosan M 1 , ahol az alakváltozás rendre egyenlő Az új jelölésben a (3.27) képlet felveszi a formát

A forgó merev testre ható erő munkája. Amikor egy merev test egy rögzített tengely körül forog, egy pont sebessége M az Euler-képlet segítségével számítható ki, lásd az ábrát. 3.25:

Ekkor az erő elemi munkáját a képlet határozza meg

A vegyes tulajdonság használata vektor termék
kapunk

Mivel - a pontra vonatkozó erőnyomaték RÓL RŐL. Tekintettel arra - a forgástengely körüli erőnyomaték Ozés ω dt=dφ, végül megkapjuk:

dA=Mzdφ.

A rögzített tengely körül forgó test bármely pontjára kifejtett erő elemi munkája egyenlő a forgástengely körüli erőnyomaték és a test forgásszög-különbségének szorzatával.

Teljes munka:

Abban az esetben, amikor , a munkát a képlet határozza meg

ahol j annak a testnek az elfordulási szöge, amelyre az erő hatását számítjuk.

Rizs. 3.26

Merev test belső erőinek munkája. Bizonyítsuk be, hogy egy merev test belső erőinek munkája bármely elmozdulás esetén nullával egyenlő. Elegendő annak bizonyítása, hogy az összes belső erő elemi munkájának összege nulla. Tekintsük a test bármely két pontját M 1 és M 2 (3.26. ábra). Mivel a belső erők a test pontjainak kölcsönhatási erői, akkor:

Bemutatjuk egységvektor erőszakkal irányítja Akkor

Az és az erők elemi munkájának összege egyenlő

leleplező pont termékek vektorokat zárójelben kapjuk

Mivel a kinematikában bebizonyosodott, hogy a merev test bármely két pontjának sebességének vetületei az ezeket a pontokat összekötő egyenes irányára egy merev test tetszőleges mozgása esetén egyenlőek egymással, így a zárójelben lévő különbség az eredményül kapott kifejezés azonos értékek különbsége, azaz nullával egyenlő érték.

3.3.4.4. Tétel egy pont mozgási energiájának változásáról

Egy anyagi ponthoz tömeggel m, erő hatására mozgó, a dinamika alaptörvénye úgy ábrázolható

Ennek az összefüggésnek mindkét részét skalárisan megszorozva a pont sugárvektorának differenciáljával, azt kapjuk, hogy

vagy

Tekintettel arra - elemi erőmunka,

(3.28)

A (3.28) képlet kifejezi egy differenciális formájú pont kinetikus energiájának változására vonatkozó tételt.

Egy pont mozgási energiájának különbsége egyenlő a pontra ható erő elemi munkájával.

Ha a (3.28) egyenlőség mindkét részét a pontból integráljuk M 0 pont M(lásd a 3.22. ábrát) egy tételt kapunk egy pont kinetikus energiájának változásáról véges alakban:

Egy pont mozgási energiájának változása tetszőleges elmozdulás esetén megegyezik az ugyanabban az elmozdulásban lévő pontra ható erő munkájával.

3.4.4.5. Tétel a rendszer mozgási energiájának változásáról

A rendszer minden pontjára a mozgási energia változására vonatkozó tétel a következő formában fejezhető ki:

Összegezve ezen összefüggések jobb és bal részét a rendszer minden pontján, és az összeg előjeléből kivesszük a differenciál előjelét, így kapjuk:

vagy

ahol a rendszer kinetikus energiája; a külső és belső erők elemi munkája, ill.

A (3.29) képlet a rendszer kinetikus energiájának változásáról szóló tételt differenciális formában fejezi ki.

A rendszer mozgási energiájától való eltérés egyenlő a rendszerre ható összes külső és belső erő elemi munkájának összegével.

Ha a (3.29) mindkét része a rendszer két pozíciója – kezdeti és végső – közé integrálódik, amelyekben a kinetikus energia egyenlő T 0 és T, akkor az összegzés és az integrálás sorrendjének megváltoztatásával a következőt kapjuk:

vagy

ahol egy külső erő munkája a rendszer egy pontjára Mk miközben a kiinduló helyzetből a véghelyzetbe mozog Mk; a pontra ható belső erő munkája Mk.

A (3.30) képlet a rendszer kinetikus energiájának véges vagy integrál formában történő változásáról szóló tételt fejezi ki.

A rendszer mozgási energiájának változása, amikor az egyik pozícióból a másikba mozog, egyenlő a rendszerre ható összes külső és belső erő munkájának összegével a rendszer azonos elmozdulású pontjainak megfelelő elmozdulásain. a rendszer.