A 89. §-ban bizonyított tétel a rendszer bármelyik pontjára érvényes. Ezért, ha figyelembe vesszük a rendszer bármely pontját tömeggel, amelynek van sebessége, akkor erre a pontra az lesz

hol vannak az elemi munkák a külső és belső erők. Ha ilyen egyenleteket állítunk össze a rendszer minden pontjára, és ezeket tagonként összeadjuk, azt találjuk

A (49) egyenlőség a rendszer kinetikus energiájának változásáról szóló tételt differenciális formában fejezi ki. Ennek az egyenlőségnek a mindkét részét integrálva a rendszer valamely kezdeti helyzetből való mozgásának megfelelő korlátok közé, ahol a kinetikus energia egyenlő azzal a pozícióval, ahol a mozgási energia értéke egyenlővé válik -val, megkapjuk.

Ez az egyenlet a mozgási energia változására vonatkozó tételt egy másik (integrális) formában fejezi ki: a rendszer mozgási energiájának változása bizonyos elmozdulás esetén megegyezik az összes külső és belső erő ezen elmozdulásán végzett munka összegével. a rendszer.

Az előző tételekkel ellentétben a (49) vagy (50) egyenletekben a belső erők nincsenek kizárva. Valóban, ha - a rendszer pontjai közötti kölcsönhatási erők (309. ábra), akkor

De ugyanakkor a pont elmozdulhat, a pont pedig k felé. Ekkor az egyes erők munkája pozitív lesz, és a munka összege nem lesz nulla. Például, amikor kilövik (lásd a 127. problémát a 112. §-ban), a porgázok nyomásereje, amely a rendszer lövedékének - gördülő alkatrészeinek belső része, működik, és sebességet kölcsönöz a rendszer testeinek.

Vegyünk két fontos speciális esetet.

1. Változhatatlan rendszer. Megváltoztathatatlannak nevezzük azt a mechanikai rendszert, amelyben a két kölcsönhatásban lévő pont közötti távolság a mozgás során állandó marad.

Tekintsük egy megváltoztathatatlan rendszer két pontját cselekvő barát erőkkel rendelkező baráton (lásd 309. ábra). Ekkor, mivel a szakasz mozgása legyen (lásd 55. §), akkor és mivel a pontok sebessége és elemi elmozdulása. Ennek eredményeként ezen erők elemi munkájának összegére azt kapjuk, hogy

Ugyanez történik a rendszer összes többi interakciós pontjával. Ennek eredményeként arra a következtetésre jutunk, hogy változatlan rendszer esetén az összes belső erő munkájának összege nulla, és a (49) vagy (50) egyenletek a következő alakot veszik fel.

2. Rendszer ideális csatlakozásokkal. Tekintsünk egy olyan rendszert, amelyre olyan megszorítások vonatkoznak, amelyek az idő előrehaladtával nem változnak. Osszuk fel a rendszer pontjain ható külső és belső erőket aktív és kapcsolódási reakciókra. Ekkor a (49) egyenlet így ábrázolható

ahol a rendszer pontjára ható külső és belső aktív erők elemi munkája, valamint a külső és belső kapcsolatok ugyanazon pontjára ható reakciók elemi munkája.

Amint látható, a rendszer mozgási energiájának változása a kötések munkájától, aktív erőitől és reakcióitól függ. Bevezethető azonban az olyan "ideális" mechanikai rendszerek fogalma, amelyekben a kötések jelenléte nem befolyásolja a rendszer mozgási energiájának változását a mozgása során. Az ilyen kapcsolatoknál nyilván az a feltétel

Ha az időben nem változó kötéseknél a rendszer elemi eltolódása során az összes reakció munkájának összege nulla, akkor az ilyen kötések ideálisak. Jelöljük meg az ideális kötések általunk ismert számos típusát.

A 89. §-ban megállapították, hogy ha a kötés egy rögzített felület (vagy görbe), amelyen a súrlódás elhanyagolható, akkor a testek ilyen felületen (görbén) való elcsúszásakor az N reakciómunka nullával egyenlő. Majd a 122. §-ban látható, hogy ha figyelmen kívül hagyjuk az alakváltozásokat, akkor amikor egy test csúszás nélkül gurul durva felületen, akkor az N normál reakció és a súrlódási erő (azaz a reakció érintőleges összetevője) munkája egyenlő lesz. nullára. Továbbá a csuklópánt R reakciómunkája (lásd a 10. és 11. ábrát), ha a súrlódást figyelmen kívül hagyjuk, szintén nulla lesz, mivel az R erő alkalmazási pontja a rendszer bármely mozgása során mozdulatlan marad. Végül, ha az ábrán. 309 tekintsük az anyagi pontokat merev (nyújthatatlan) rúddal összekapcsoltnak, akkor az erők a rúd reakciói lesznek; ezeknek a reakcióknak a munkája a rendszer eltolódása során nem egyenlő nullával, de ezeknek a munkáknak az összege a bebizonyítottak szerint nullát ad. Így az összes felsorolt ​​link ideálisnak tekinthető, figyelembe véve a megtett foglalásokat.

Mert mechanikus rendszer, amelyre csak az idővel nem változó ideális kapcsolatokat kényszerítik

Így egy ideális kötéssel rendelkező, időben nem változó rendszer kinetikai energiájának változása egyik elmozdulása során sem egyenlő a rendszerre ható külső és belső aktív erők ezen elmozdulásán végzett munka összegével.

Minden korábbi tétel lehetővé tette a belső erők kizárását a mozgásegyenletekből, de minden külső erő, beleértve az előre ismeretlen külső kényszerek reakcióit is, megmaradt az egyenletekben. A mozgási energia változására vonatkozó tétel gyakorlati értéke abban rejlik, hogy az időben nem változó ideális korlátok mellett lehetővé teszi, hogy a mozgásegyenletekből kizárjunk minden korábban ismeretlen kényszerreakciót.

Kilátás: Ezt a cikket eddig 49915 alkalommal olvasták

Pdf Nyelv kiválasztása... Orosz Ukrán Angol

Rövid áttekintés

A teljes anyag fent, a nyelv kiválasztása után letölthető

Két konverziós eset mechanikus mozgás anyagi pont vagy pontrendszerek:

1. A mechanikus mozgás mechanikus mozgásként kerül át egyik mechanikai rendszerből a másikba;
2. A mechanikus mozgás az anyag mozgásának egy másik formájává alakul át (a formává helyzeti energia, hő, villany stb.).

Ha a mechanikai mozgás átalakulását egy másik mozgásformára való átmenet nélkül tekintjük, a mechanikai mozgás mértéke egy anyagi pont vagy mechanikai rendszer impulzusvektora. Az erő hatásának mértéke ebben az esetben az erő impulzusvektora.

Amikor a mechanikai mozgást az anyag egy másik mozgásformájává alakítják át, egy anyagi pont vagy mechanikai rendszer kinetikus energiája a mechanikai mozgás mértékeként működik. Egy erő hatásának mértéke a mechanikai mozgás más mozgásformává történő átalakulása során az erő munkája

Kinetikus energia

A kinetikus energia a test azon képessége, hogy leküzdje az akadályokat mozgás közben.

Anyagi pont kinetikus energiája

Egy anyagi pont mozgási energiáját skaláris mennyiségnek nevezzük, amely egyenlő a pont tömege és sebessége négyzetének szorzatának felével.

Kinetikus energia:

• mind a transzlációs, mind a forgó mozgásokat jellemzi;
• nem függ a rendszer pontjainak mozgási irányától, és nem jellemzi ezen irányok változását;
• mind a belső, mind a külső erők működését jellemzi.

Mechanikai rendszer kinetikus energiája

A rendszer mozgási energiája megegyezik a rendszer testeinek kinetikus energiáinak összegével. A mozgási energia a rendszer testeinek mozgási típusától függ.

Szilárd test mozgási energiájának meghatározása at különböző típusok mozgási mozdulatok.

A transzlációs mozgás kinetikus energiája
Transzlációs mozgásban a test kinetikus energiája egyenlő T=m V2/2.

A transzlációs mozgásban lévő test tehetetlenségének mértéke a tömeg.

A test forgó mozgásának kinetikus energiája

A test forgó mozgása során a mozgási energia egyenlő a test forgástengely körüli tehetetlenségi nyomatéka és szögsebessége négyzetének szorzatának felével.

A test tehetetlenségének mértéke a forgó mozgás során a tehetetlenségi nyomaték.

A test mozgási energiája nem függ a test forgásirányától.

A test sík-párhuzamos mozgásának kinetikus energiája

A test sík-párhuzamos mozgása esetén a mozgási energia egyenlő

Erőszakos munka

Az erő munkája jellemzi az erő hatását a testre valamilyen elmozdulás esetén, és meghatározza a mozgási pont sebességi modulusának változását.

Elemi erőmunka

Az erő elemi munkáját úgy definiáljuk, mint egy skaláris értéket, amely egyenlő a pont mozgásának irányába ható, a pálya érintőjére ható erő vetületének és a pont ezen érintő mentén irányú végtelen kicsi elmozdulásának szorzatával. .

Az erő munkája a végső elmozdulásra

A végső elmozdulásra ható erő munkája megegyezik az elemi szakaszokon végzett munkájának összegével.

Az M 1 M 0 végső elmozdulásra ható erő munkája egyenlő az ezen elmozdulás menti integrállal. elemi munka.

Az M 1 M 2 elmozdulására ható erő hatását az ábra abszcissza tengelye, a görbe és az M 1 és M 0 pontoknak megfelelő ordináták által határolt területe ábrázolja.

Az SI rendszerben az erő és a mozgási energia munkájának mértékegysége 1 (J).

Tételek az erő munkájáról

1. tétel. Az eredő erő munkája egy bizonyos elmozdulásra egyenlő az ugyanazon az elmozduláson lévő komponenserők munkájának algebrai összegével.

2. tétel. Az eredményül kapott elmozdulásra ható állandó erő munkája megegyezik ezen erő komponenselmozdulásaira gyakorolt ​​munkájának algebrai összegével.

Erő

A teljesítmény egy olyan mennyiség, amely meghatározza az erő által időegység alatt végzett munkát.

A tápegység 1W = 1 J/s.

Az erők munkájának meghatározásának esetei

A belső erők munkája

A merev test belső erőinek munkájának összege bármely elmozdulására egyenlő nullával.

A gravitáció munkája

A rugalmas erő munkája

A súrlódási erő munkája

A forgó testre ható erők munkája

A rögzített tengely körül forgó merev testre kifejtett erők elemi munkája egyenlő a forgástengely körüli külső erők főnyomatékának és a forgásszög növekedésének szorzatával.

gördülési ellenállás

Az álló henger és a sík érintkezési zónájában az érintkezési összenyomás lokális deformációja lép fel, a feszültségek elliptikus törvény szerint oszlanak meg, és ezen feszültségek eredő N hatásvonala egybeesik a hatásvonallal. A hengerre ható terhelési erő Q. Amikor a henger gördül, a terheléseloszlás aszimmetrikussá válik, és a maximum eltolódik a mozgás felé. Az eredményül kapott N eltolódik a k értékkel - a gördülési súrlódási erő karjával, amelyet gördülési súrlódási együtthatónak is neveznek, és amelynek hossza (cm)

Tétel egy anyagi pont mozgási energiájának változásáról

Egy anyagi pont mozgási energiájának változása annak bizonyos elmozdulásánál egyenlő az azonos elmozdulásnál a pontra ható összes erő algebrai összegével.

Tétel egy mechanikai rendszer mozgási energiájának változásáról

Egy mechanikai rendszer mozgási energiájának változása egy bizonyos elmozdulásnál egyenlő a rendszer anyagi pontjaira ható belső és külső erők algebrai összegével azonos elmozdulás esetén.

Tétel a merev test mozgási energiájának változásáról

Egy merev test (változatlan rendszer) mozgási energiájának változása egy bizonyos elmozdulásnál megegyezik a rendszer azonos elmozdulású pontjaira ható robot külső erőinek összegével.

hatékonyság

A mechanizmusokban ható erők

A mechanizmusra vagy gépre kifejtett erők és erőpárok (nyomatékok) csoportokra oszthatók:

1. Meghajtó erők és nyomatékok, amelyek pozitív munkát végeznek (a hajtókarokra vonatkoztatva, például a belső égésű motor dugattyújára ható gáznyomás).

2. Negatív munkát végző erők és ellenállási pillanatok:

• hasznos ellenállás (elvégzik a géptől megkövetelt munkát, és a hajtott láncszemekre vonatkoznak, például a gép által felvett teher ellenállása),
• ellenállási erők (például súrlódási erők, légellenállás stb.).

3. A rugók gravitációs és rugalmas erői (pozitív és negatív munka, míg a teljes ciklus munkavégzése nulla).

4. A testre vagy állványra kívülről ható erők és nyomatékok (alapozás reakciója stb.), amelyek nem működnek.

5. A kinematikai párokban ható kapcsolatok közötti kölcsönhatási erők.

6. A láncszemek tehetetlenségi erői a láncszemek tömegéből és gyorsulással járó mozgásából adódóan pozitív, negatív munkát végezhetnek és nem végeznek munkát.

Az erők munkája a mechanizmusokban

A gép állandósult állapotában mozgási energiája nem változik, és a rá ható hajtóerők és ellenállási erők munkájának összege nulla.

A gép mozgásba hozására fordított munka a hasznos és káros ellenállások leküzdésére fordítódik.

mechanizmus hatékonysága

Az egyenletes mozgás mechanikai hatásfoka megegyezik a gép hasznos munkájának és a gép mozgásba hozására fordított munka arányával:

A gép elemei sorba, párhuzamosan és keverve is kapcsolhatók.

Hatékonyság soros csatlakozásnál

Ha a mechanizmusok sorba vannak kapcsolva, az összhatásfok kisebb, mint az egyes mechanizmusok legalacsonyabb hatásfoka.

Hatékonyság párhuzamos kapcsolással

Ha a mechanizmusokat párhuzamosan kapcsolják össze, az összhatásfok nagyobb, mint egy különálló mechanizmus legkisebb, és kisebb, mint a legmagasabb hatásfoka.

Formátum: pdf

Nyelv: orosz, ukrán

Példa a homlokkerekes fogaskerék számítására
Példa a homlokkerekes fogaskerék számítására. Megtörtént az anyagválasztás, a megengedett feszültségek számítása, az érintkezési és hajlítószilárdság számítása.

Példa a sugárhajlítási probléma megoldására
A példában a keresztirányú erők és a hajlítónyomatékok diagramjait ábrázoljuk, veszélyes szakaszt találunk, és egy I-gerenda van kiválasztva. A feladatban a diagramok differenciális függőségek felhasználásával történő felépítését elemeztem, összehasonlító elemzés a gerenda különböző keresztmetszete.

Példa a tengelycsavarodás problémájának megoldására
A feladat egy acéltengely szilárdságának vizsgálata adott átmérőhöz, anyaghoz és megengedett feszültségekhez. A megoldás során a nyomatékok, nyírófeszültségek és csavarási szögek diagramjai készülnek. A tengely önsúlyát nem veszik figyelembe

Példa a rúd feszítésének-tömörítésének problémájának megoldására
A feladat egy acélrúd szilárdságának vizsgálata adott megengedett feszültségeknél. A megoldás során hosszirányú erők, normálfeszültségek és elmozdulások diagramjai készülnek. A rúd önsúlyát nem vesszük figyelembe

A kinetikus energia megmaradás tételének alkalmazása
Példa a mechanikai rendszer kinetikus energiájának megmaradásáról szóló tétel alkalmazásának problémájának megoldására

A T skaláris értéket, amely megegyezik a rendszer összes pontja kinetikus energiáinak összegével, a rendszer kinetikus energiájának nevezzük.

A kinetikus energia a rendszer transzlációs és forgó mozgásának jellemzője. Változását külső erők hatása befolyásolja, és mivel skalárról van szó, nem függ a rendszer részeinek mozgási irányától.

Nézzük meg a kinetikus energiát különböző mozgási esetekre:

1.transzlációs mozgás

A rendszer minden pontjának sebessége megegyezik a tömegközéppont sebességével. Azután

A rendszer kinetikus energiája a transzlációs mozgás során egyenlő a rendszer tömege és a tömegközéppont sebességének négyzetének szorzatával.

2. forgó mozgás(77. ábra)

A test bármely pontjának sebessége: . Azután

vagy a (15.3.1) képlet használatával:

A test mozgási energiája forgás közben egyenlő a test forgástengely körüli tehetetlenségi nyomatéka és szögsebessége négyzete szorzatával.

3. Sík-párhuzamos mozgás

Egy adott mozgásnál a kinetikus energia a transzlációs és forgó mozgások energiájának összege

A mozgás általános esete az előzőhöz hasonló képletet ad a mozgási energia kiszámításához.

A munka és a teljesítmény definícióját a 14. fejezet 3. bekezdésében végeztük el. Itt példákat veszünk figyelembe a mechanikai rendszerre ható erők munkájának és erejének kiszámítására.

1.A gravitáció munkája. Legyen , a test k pontjának kiindulási és véghelyzetének koordinátái. Az erre a súlyrészecskére ható gravitációs erő munkája az lesz . Akkor a teljes munka a következő:

ahol P az anyagi pontrendszer súlya, a C súlypont függőleges elmozdulása.

2. A forgó testre ható erők munkája.

A (14.3.1) reláció szerint írhatunk , de a 74. ábra szerinti d-ket a végtelen kicsinység miatt úgy ábrázolhatjuk. - a test végtelenül kicsi elfordulási szöge. Azután

Érték nyomatéknak nevezzük.

A (19.1.6) képlet átírható így

Az elemi munka egyenlő a nyomaték és az elemi forgás szorzatával.

A végső szögbe fordulva a következőket kapjuk:

Ha a nyomaték állandó, akkor

és a teljesítményt a (14.3.5) összefüggésből határozzuk meg.

mint a nyomaték és a test szögsebességének szorzata.

A kinetikus energia változásának egy pontra bebizonyított tétele (14.4 §) a rendszer bármely pontjára érvényes lesz.

Ha ilyen egyenleteket állítunk össze a rendszer összes pontjára, és ezeket tagonként összeadjuk, a következőt kapjuk:

vagy a (19.1.1) szerint:

amely a rendszer kinetikus energiájára vonatkozó tétel kifejezése differenciális formában.

Integrálva (19.2.2) a következőket kapjuk:

A tétel a kinetikus energia változásáról a végső formában: a rendszer mozgási energiájának változása a végső elmozdulás egy részével egyenlő a rendszerre ható összes külső és belső erő ezen elmozdulásán végzett munka összegével. .

Hangsúlyozzuk, hogy a belső erők nincsenek kizárva. Változatlan rendszer esetén az összes belső erő munkájának összege nulla és

Ha a rendszerre felvett kötések nem változnak az idő múlásával, akkor a külső és belső erők feloszthatók aktív és a kötések reakcióira, és felírható a (19.2.2) egyenlet:

A dinamikában bevezetik az "ideális" mechanikai rendszer fogalmát. Ez egy olyan rendszer, amelyben a kötések jelenléte nem befolyásolja a mozgási energia változását, azaz

Az olyan kapcsolatokat, amelyek az időben nem változnak, és amelyek munkájának összege egy elemi elmozduláson egyenlő nullával, ideálisnak nevezzük, és a (19.2.5) egyenletet írjuk fel:

Egy anyagi pont potenciális energiája egy adott M pozícióban egy P skaláris érték, amely megegyezik azzal a munkával, amelyet a térerők végeznek, amikor a pont M pozícióból nullára kerül.

P = A (hó) (19.3.1)

A potenciális energia az M pont helyzetétől, vagyis a koordinátáitól függ

P = P(x, y, z) (19.3.2)

Magyarázzuk meg itt, hogy az erőtér a tértérfogat olyan része, amelynek minden pontjában egy részecskére abszolút értékben és irányban meghatározott erő hat, a részecske helyzetétől, vagyis az x koordinátákon. , y, z. Például a Föld gravitációs tere.

Olyan U koordinátafüggvényt nevezünk, amelynek differenciája egyenlő a munkával teljesítmény funkció. Olyan erőteret, amelyre létezik erőfüggvény, nevezzük potenciális erőtér, és az ezen a területen ható erők, - potenciális erők.

Legyen két П(х,у,z) és U(x,y,z) erőfüggvény nulla pontja egybeesve.

A (14.3.5) képlettel megkapjuk , azaz. dA = dU(x,y,z) és

ahol U az erőfüggvény értéke az M pontban

P(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

A potenciális energia az erőtér bármely pontjában megegyezik az erőfüggvény értékével ebben a pontban, ellenkező előjellel.

Azaz az erőtér tulajdonságainak figyelembe vételekor az erőfüggvény helyett a potenciális energiát lehet figyelembe venni, és különösen a (19.3.3) egyenletet írjuk át így:

A potenciális erő munkája megegyezik a mozgó pont potenciális energiájának értékei közötti különbséggel a kezdeti és a végső helyzetben.

Különösen a gravitáció munkája:

Legyen minden, a rendszerre ható erő potenciális. Ekkor a rendszer minden k pontjára a munka egyenlő

Akkor minden külső és belső erő számára ez lesz

hol van az egész rendszer potenciális energiája.

Ezeket az összegeket behelyettesítjük a kinetikus energia kifejezésébe (19.2.3):

vagy végül:

Ha potenciális erők hatására mozog, a rendszer kinetikai és potenciális energiájának összege minden helyzetben állandó marad. Ez a mechanikai energia megmaradásának törvénye.

1 kg-os terhelés teszi szabad rezgések törvény szerint x = 0,1 sinl0t. Rugóállandó c = 100 N/m. Határozza meg a terhelés teljes mechanikai energiáját x \u003d 0,05 m-nél, ha x \u003d 0-nál a potenciális energia nulla . (0,5)

Egy m = 4 kg tömegű teher lezuhanó menet segítségével egy R = 0,4 m sugarú hengert forgat, A henger tehetetlenségi nyomatéka a forgástengely körül I = 0,2. Határozza meg a testek rendszerének kinetikus energiáját abban az időben, amikor a terhelés sebessége v = 2m/s . (10,5)

Példa egy probléma megoldására a merev testekkel, blokkokkal, tárcsákkal és rugóval rendelkező rendszerek mozgási energiájának változásáról szóló tétel segítségével.

Tartalom

A feladat

A mechanikus rendszer 1. és 2. súlyokból, 3. lépcsős szíjtárcsából áll, R lépcsős sugarú 3 \u003d 0,3 m, r 3 \u003d 0,1 més a forgási sugár a forgástengelyhez viszonyítva ρ 3 = 0,2 m, R sugarú 4. blokk 4 = 0,2 més mozgó blokk 5. Az 5. blokkot egy folytonos homogén hengernek tekintjük. A 2 terhelés súrlódási tényezője az f = sík körül 0,1 . A rendszer testei tömbökön átdobott és a 3. szíjtárcsára tekercselt menetekkel kapcsolódnak egymáshoz. A menetszakaszok párhuzamosak a megfelelő síkkal. Az 5 mozgatható tömbhöz egy rugó van rögzítve c = merevségi együtthatóval 280 N/m.

F = f erő hatására (s) = 80 (6 + 7 s) N, az alkalmazási pont elmozdulásától függően s a rendszer nyugalmi állapotból lép mozgásba. A rugó deformációja a mozgás kezdetének pillanatában nulla. Mozgás közben a 3. szíjtárcsa állandó M = nyomatéknak van kitéve 1,6 Nm ellenállási erők (a csapágyak súrlódásából). A testek tömege: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Határozza meg a test tömegközéppontjának értékét 5 V C! 5 abban a pillanatban, amikor az 1 terhelés s elmozdulása egyenlő lesz s-sel 1 = 0,2 m.

jelzés. Probléma megoldásakor használja tétel a mozgási energia változásáról.

A probléma megoldása

Adott: R 3 \u003d 0,3 m, r 3 \u003d 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80 (6 + 7 s) N, s 1 = 0,2 m.

Megtalálni: VC 5 .

Változó jelölés

R 3, r 3- a 3 szíjtárcsa lépcsőinek sugarai;
ρ 3 - a 3 szíjtárcsa tehetetlenségi sugara a forgástengelyhez viszonyítva;
R 5 - blokksugár 5;
V 1 , V 2 - az 1. és 2. testek sebessége;
ω 3 - a 3 szíjtárcsa forgási szögsebessége;
VC 5 - C tömegközéppont sebessége 5 blokk 5;
ω 5 - az 5. blokk forgási szögsebessége;
s 1 , s 2 - az 1. és 2. testek mozgása;
φ 3 - a tárcsa elfordulási szöge 3;
s C 5 - C tömegközéppont elmozdulása 5 blokk 5;
s A , s B - az A és B pontok elmozdulása.

Kinematikai kapcsolatok kialakítása

Állítsunk fel kinematikai kapcsolatokat. Mivel az 1-es és a 2-es súlyokat egy menet köti össze, sebességük egyenlő:
V 2 = V1.
Mivel az 1. és 2. súlyt összekötő menet a 3. szíjtárcsa külső lépcsőjére van feltekerve, a 3. szíjtárcsa külső lépcsőjének pontjai V sebességgel mozognak. 2 = V1. Ezután a szíjtárcsa forgási szögsebessége:
.
Tömegközéppont sebesség V C 5 az 5. blokk egyenlő a 3. szíjtárcsa belső fokozatának sebességével:
.
A K pont sebessége nulla. Ezért ez az 5. blokk pillanatnyi sebességközéppontja. Az 5. blokk forgási szögsebessége:
.
A B pont - a rugó szabad vége - sebessége megegyezik az A pont sebességével:
.

Fejezzük ki a sebességeket V C-vel 5 .
;
;
.

Most telepítsük a testmozgások és a forgásszögek közötti összefüggések szíjtárcsa és blokk. Mivel a sebességek és a szögsebességek az elmozdulások és a forgásszögek időbeli származékai
,
akkor ugyanazok a kapcsolatok lesznek az elmozdulások és az elforgatási szögek között:
s 2 = s1;
;
;
.

Egy rendszer kinetikus energiájának meghatározása

Határozzuk meg a rendszer mozgási energiáját. Cargo 2 vállalja előre mozgás V sebességgel 2 . A 3. szíjtárcsa végrehajtja forgó mozgásω szögsebességgel 3 . Az 5. blokk síkkal párhuzamos mozgást hajt végre. ω szögsebességgel forog 5 tömegközéppontja pedig V C sebességgel mozog 5 . A rendszer kinetikus energiája:
.

Mivel a szíjtárcsa forgástengelyéhez viszonyított forgási sugara adott, a szíjtárcsa forgástengelyéhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékát a következő képlet határozza meg:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Mivel az 5. blokk egy tömör homogén henger, a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka
.

Kinematikai relációk segítségével minden sebességet V C-vel fejezünk ki 5 és helyettesítsd be a tehetetlenségi nyomatékok kifejezéseit a mozgási energia képletébe.
,
ahol bevezettük az állandót
kg.

Megállapítottuk tehát, hogy a rendszer kinetikus energiája függ a V C tömegközéppont sebességétől. 5 mozgó blokk:
, ahol m = 75 kg.

A külső erők munkaösszegének meghatározása

Vegye figyelembe a külső erőket hat a rendszerre.
Ebben az esetben nem vesszük figyelembe a szálak feszítőerejét, mivel a szálak nyújthatatlanok, ezért nem termelnek munkát. Emiatt nem vesszük figyelembe belső feszültségek testekben hatnak, mivel azok teljesen szilárdak.
Adott F erő hat az 1 (nulla tömegű) testre.
A P gravitációs erő a 2. terhelésre hat 2 = m 2 g 2 és F T súrlódási erő.
A 3. szíjtárcsát a P gravitáció befolyásolja 3 = m 3 g, az N tengely nyomásereje 3 és a súrlódási erő nyomatéka M .
A 4 (nulla tömegű) szíjtárcsát az N tengely nyomóereje éri 4 .
Az 5 mozgatható blokkra a P gravitáció hat 5 = m 5 g, F y rugóerő és T K menetfeszítő erő a K pontban.

Az a munka, amelyet az erő akkor végez, amikor az alkalmazási pontot kis elmozdulásra mozgatja, egyenlő a vektorok skaláris szorzatával, azaz az F és ds vektorok moduljainak és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával. Erő beállítása Az 1 testre alkalmazott 1, párhuzamos az 1 test mozgásával. Ezért az 1 test s távolságra történő mozgatásakor az erő által végzett munka 1 egyenlő:


J.

Tekintsük a 2. terhelést. Hat rá a P gravitáció 2 , felületi nyomáserő N 2 , menetfeszítő erők T 23 , T 24 és F T súrlódási erő. Mivel a terhelés nem mozog függőleges irányban, gyorsulásának vetülete a függőleges tengelyre nulla. Ezért a függőleges tengelyre ható erők vetületeinek összege nulla:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 \u003d P 2 \u003d m 2 g.
Súrlódási erő:
F T = f N 2 = f m 2 g.
P-erők 2 és N 2 merőleges az elmozdulásra s 2 így nem végeznek munkát.
A súrlódási erő munkája:
J.

Ha a 2-es terhelést elszigetelt rendszernek tekintjük, akkor figyelembe kell venni a T menetek feszítőerei által végzett munkát 23 és T 24 . Minket azonban a teljes rendszer érdekel, amely 1, 2, 3, 4 és 5 testekből áll. Egy ilyen rendszernél a menetfeszítő erők belső erők. És mivel a szálak nyújthatatlanok, munkájuk összege nulla. A 2. terhelésnél figyelembe kell venni a 3. szíjtárcsára és a 4. blokkra ható menetek feszítőerejét is. Ezek nagyságrendileg egyenlőek és ellentétes irányúak a T erőkkel. 23 és T 24 . Ezért a 23 és 24 menetek feszítőereje által a 2 terhelés felett végzett munka egyenlő nagyságrendű és ellentétes előjelű azzal a munkával, amelyet ezeknek a meneteknek a feszítőerei a 3 szíjtárcsán és a 4 blokkon keresztül végeznek. a menetek feszítőerei által végzett munka összege nulla.

Tekintsük a 3. szíjtárcsát. Mivel a tömegközéppontja nem mozdul, a P gravitációs munka 3 egyenlő nullával.
Mivel a C-tengely 3 álló, akkor az N tengely nyomóereje 3 nem termel munkát.
Az erőnyomaték által termelt munkát az erő által termelt munkához hasonlóan számítjuk ki:
.
Esetünkben a súrlódási erők nyomatékának és a szíjtárcsa forgásszögének vektorai a tárcsa forgástengelye mentén, de ellentétes irányúak. Ezért a súrlódási erők nyomatékának munkája:
J.

Tekintsük az 5. blokkot.
Mivel a K pont sebessége nulla, ezért a T K erő nem termel munkát.
A C blokk súlypontja 5 s C távolságot mozdult el 5 fel. Ezért a blokk gravitációja által végzett munka a következő:
J.
A rugó rugalmas erejének munkája mínusz előjellel egyenlő a rugó potenciális energiájának változásával. Mivel a rugó eleinte nem deformálódik, akkor
J.

Az összes erő munkájának összege:

J.

A rendszer mozgási energiájának változására vonatkozó tétel alkalmazása

Alkalmazzuk a rendszer kinetikus energiájának változására vonatkozó tételt integrál formában.
.
Mivel a rendszer kezdetben nyugalomban volt, a mozgási energiája a mozgás elején
T 0 = 0 .
Azután
.
Innen
Kisasszony.

Egy mechanikai rendszer kinetikus energiája az összes pontja kinetikus energiáinak összege:

Ennek az egyenlőségnek az egyes részeit az idő függvényében megkülönböztetve megkapjuk

A dinamika alaptörvényét felhasználva arra nak nek-a rendszer pontja m k 2i k= Fj., elérkezünk az egyenlőséghez

Az F erő és az alkalmazási pont v sebességének skaláris szorzatát nevezzük erő erejeés jelöljük R:

Ezzel az új jelöléssel a (11.6)-ot a következő formában ábrázoljuk:

A kapott egyenlőség a mozgási energia változására vonatkozó tétel differenciális formáját fejezi ki: egy mechanikai rendszer kinetikus energiájának változási sebessége egyenlő a rendszerre ható összes cm hatványainak j összegével.

A származékot ábrázolja f a (8.5)-ben tört formájában -- és csináljuk

majd a változókat szétválasztva kapjuk:

ahol dT- mozgási energia differenciál, azaz. változása végtelenül kicsi időintervallumon keresztül dr, dr k = k dt - elemi elmozdulás nak nek- a rendszer pontja, azaz. mozgás az időben dt.

Az F erő és az elemi elmozdulás skaláris szorzata dr alkalmazási pontjait ún elemi munka erők és képviselik dA:

A Tulajdonságok használata pont termék formában is ábrázolható az erő elemi munkája

Itt ds = dr- az erőkifejtési pont pályájának ívének hossza, amely megfelel annak elemi elmozdulásának c/g; a - az F erővektor irányai és a c/r elemi elmozdulásvektor közötti szög; F „ F y , F,- az F erővektor vetületei a derékszögű tengelyekre; dx, dy, dz vetületek az s/r elemi eltolási vektor derékszögű tengelyeire.

A (11.9) jelölést figyelembe véve a (11.8) egyenlőség a következő formában ábrázolható:

azok. a rendszer mozgási energiájának különbsége egyenlő a rendszerre ható összes erő elemi munkájának összegével. Ez az egyenlőség a (11.7)-hez hasonlóan a kinetikus energia változására vonatkozó tétel differenciális formáját fejezi ki, de abban különbözik a (11.7)-től, hogy nem deriváltokat, hanem végtelenül kicsi növekményt - differenciálokat - használ.

Az egyenlőség távonkénti integrációját végrehajtva (11.12) azt kapjuk, hogy

ahol az integráció határaként: 7 0 - a rendszer kinetikus energiája az időpillanatban? 0; 7) - a rendszer kinetikus energiája az időpillanatban t x .

Határozott integrálok időintervallum vagy A(F) szerint:

Megjegyzés 1. A munka kiszámításához néha kényelmesebb a pálya nem íves paraméterezése Kisasszony),és a koordináta M(x(t), y(/), z(f)). Ebben az esetben természetes, hogy az elemi munkához a (11.11) ábrázolást vesszük, ill görbe vonalú integrál formában van jelen:

Figyelembe véve a véges elmozduláson végzett munka megjelölését (11.14), a (11.13) egyenlőség a következő alakot ölti

és a mechanikai rendszer mozgási energiájának változásáról szóló tétel végső formáját képviseli.

3. Tétel. Egy mechanikai rendszer kinetikai energiájának változása, amikor a kezdeti helyzetből a végső helyzetbe kerül, egyenlő a rendszer pontjaira e mozgás során ható erők munkájának összegével.

Megjegyzés 2. Az egyenlőség jobb oldala (11.16) figyelembe veszi a műveket minden erőt hat a rendszerre, külső és belső egyaránt. Ennek ellenére vannak olyan mechanikai rendszerek, amelyeknél az összes belső erő összmunkája nulla. Az ego úgy hívják megváltoztathatatlan rendszerek, amelynél a kölcsönható anyagpontok közötti távolságok nem változnak. Például a rendszer szilárd anyagok súrlódásmentes zsanérokkal vagy rugalmas, nyújthatatlan menetekkel összekötve. Az ilyen rendszereknél a (11.16) egyenlőségben elegendő csak a külső erők munkáját figyelembe venni, pl. A (11.16) tétel a következő alakot ölti: