ELMÉLETI MECHANIKA
UDC 531.8:621.8
D. M. Kobiljanszkij, V. F. Gorbunov, V. A. Gogolin
A TESTEK FORGÁSÁNAK ÉS REZGÉSÉNEK KOMPATIBILITÁSA EGY SZABADSÁGFOKVAL
Fontolgat lapos test T, amelyre három ideális kötés van ráhelyezve, megakadályozva, hogy csak a test minden irányba mozduljon el, ahogy az 1a. ábrán látható. Az összeköttetések A, B, C pontok, amelyek egy egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban helyezkednek el. Ha olyan koordinátarendszert választunk, amelynek középpontja egybeesik a háromszög középpontjával, és egy vonalban van vele (1a. ábra), megkapjuk a kötések koordinátáit: ^-Ld/e /2; -I / 2), ahol I a távolság a háromszög középpontjától a csúcsaiig, vagyis az A, B, C pontokon átmenő kör sugara. Ebben a helyzetben a test egy fokos lesz. szabadság, csak akkor, ha az A, B, C pontokban lévő normálok egy pontban metszik egymást, amely a sebességek pillanatnyi középpontja lesz. Ellenkező esetben a test szabadságfokainak száma nullával egyenlő, és nem csak előre halad, hanem forgó mozgást is végez. Ha egy testnek egy szabadságfoka van, akkor elkezdhet forogni a pillanatnyi forgási középponttal a fenti normálisok metszéspontjában. Legyen ez a pont a koordináták origója, az O pont. Ha a pillanatnyi forgásközéppont nem változtatja a helyzetét, akkor a T test egyetlen lehetséges alakja egy R sugarú kör, amelynek középpontja az O pont.
Felmerül a probléma – vannak-e a testnek más olyan formái, amelyek lehetővé teszik, hogy valamely mozgó középponthoz képest úgy forogjon, hogy
a test teste folyamatosan áthaladt három A, B, C ponton anélkül, hogy ezek a kapcsolatok megszakadtak volna? Az általunk ismert irodalomban ilyen problémát nem vettek figyelembe, és úgy tűnik, először megoldják.
A probléma megoldásához először az ABC háromszög mozgását tekintjük merev testnek a T testhez tartozó X1O1Y1 koordinátarendszerhez képest (1b. ábra). Ezután, ha a háromszög mozgása úgy történik, hogy csúcsai folyamatosan a test határán maradnak a háromszög teljes 360 ° -os elforgatásával, akkor a test a kívánt mozgást az ellenkező irányba is megteszi. az ABC rögzített háromszög és a hozzá tartozó XOU koordinátarendszer.
Állítsuk be az ABC háromszög mozgását az O középpont körüli elfordulásként és az O középpont elmozdulása az OіXi tengely mentén /(r), az OіUi tengely mentén g(t). Ekkor az A pont pályájának parametrikus egyenlete így fog kinézni: уі=г-єо,?ґ + g(t), ґє (1)
Mivel r=0 esetén az O pontnak egybe kell esnie az O1 ponttal, a /(0)= g(0)=0 feltételnek teljesülnie kell. Megköveteljük, hogy az r=2n/3 szög átforgatásakor az A pont egybeessen a B1 ponttal, a B pont a Ci ponttal és a C pont
Az A1 ponttal. Az r=4p/3 szög átfordulásakor az A pontnak a C1, a B pontnak az A1 pontnak, a C pontnak a B1 pontnak kell lennie. A háromszög csúcsainak mozgatására vonatkozó követelmények kombinálása a forgásközéppont mozgatásának függvényeinek értékéhez vezet /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0. (2) A (2) feltételeket a függvények széles osztálya teljesíti, különösen a sin(3mt/2) alakú függvények, ahol m egy egész szám, és lineáris kombinációk változókkal a forma általános eseti együtthatóiban:
H (r) \u003d ^ bm (r) 8n (3 m / 2)
Ezen kívül as
1. ábra. Számítási séma: a) - egy rögzített test helyzete és kapcsolatai a HOU rendszerben; b) - a testhez tartozó X1O1U1 rögzített rendszer és az ABC háromszöghöz tartozó XOU mobil rendszer helyzete
2. ábra. A testek formái és forgáspontjaik mozgáspályái
Rizs. 3. A test helyzete a forgásközéppontjának megfelelő mozgási pályának megfelelő ri szögben történő elforduláskor
eltolási függvények, vehetünk zárt görbéket meghatározó függvényeket, mint például cikloidok, trochoidok, lemniszkátok, a (2) feltételnek megfelelő paraméterekkel. Ebben az esetben minden lehetséges függvénynek periodikusnak kell lennie 2n/3 periódussal.
Így az (1) paraméteres egyenletrendszer a /(^, g(t) (2) függvények értékére vonatkozó feltételekkel vagy azok alakjában (3) megadja a kívánt egyenletet a T test határára. A 2. ábra példákat mutat be lehetséges testformákra, amelyek kielégítik a probléma feltételeit. Az O1 forgásközéppont pályája az egyes ábrák közepén látható, az A, B, C pontkapcsolatok pedig a jobb láthatóság érdekében kinagyítva vannak. azt is mutasd meg egyszerű nézetek függvényeket a (3) kifejezés által meghatározott osztályból -val állandó együtthatók, adjon meg egy meglehetősen széles görbét, amely leírja a forgó testek határait
ingadozások egyidejűleg csak egy szabadságfokkal. A 2. ábrán látható a), c) határgörbék csak a vízszintes tengely mentén a forgásközéppont mozgásának felelnek meg
ОіХі a harmonikus törvény szerint, és látszólag két szimmetriatengelye van, és lehet tisztán konvex, ovális (2a. ábra), vagy kombinálhatja a konvexitást a konkávsággal (2b. ábra). A forgásközép azonos amplitúdójú mozgási amplitúdójával rendelkező függőleges és vízszintes harmonikus törvény mellett a határgörbék elvesztik szimmetriájukat (2. c, d ábra). A harmonikus rezgések frekvenciájának a test határgörbéjének alakjára gyakorolt szignifikáns hatását a 2. e, f ábrák mutatják. Ebben a munkában vezetés nélkül teljes elemzés az amplitúdó és a frekvencia befolyása az alakra és geometriai tulajdonságok határgörbék, szeretném megjegyezni, hogy a 2. ábrán bemutatott példák már megmutatják a választott műszaki problémák megoldásának lehetőségét kívánt formát
test kombinálni azt forgó mozgás forgási síkbeli oszcillációkkal.
Ha most figyelembe vesszük a test mozgását az ABC háromszöghez tartozó rögzített XOY koordinátarendszerhez viszonyítva, vagyis az X1O1Y1 koordinátarendszerből az XOY koordinátarendszerbe, a következőket kapjuk parametrikus egyenletek a test határgörbéje adott forgásszög mellett p x=cosp-
Cosp [4]
vagy figyelembe véve az (1) egyenleteket, a (4) egyenletek x = cosp-
- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +
Cos p.
Az (5) egyenletek lehetővé teszik a test bármely pontjának pályájának leírását az adott polaritás mentén.
t-g.i m*4<. п-і
t-ÍLÍtWM. d-0
Rizs. 4. Különböző számú kötésű testformák változatai, amelyek biztosítják a testek forgásának és rezgésének kompatibilitását
koordináták R,t. Konkrétan R=0, t=0 esetén van egy olyan pontunk, amely egybeesik az Ob origóval, azaz a forgásközépponttal, amelynek pályáját a vizsgált sémában az (5)-ből következő egyenletek írják le:
* 0 \u003d -f (f) cos f + g (f) sin f, y0 \u003d - f (f) sin f-g (f) cos p.
A 3. ábra példát mutat a test helyzetére (2b. ábra), amikor az φ szögben elfordul, és az egyes ábrák közepén a forgásközéppont pályája látható.
Оі , amely megfelel a test elfordulásának ezen a szögön keresztül. Technikailag egyszerű animációt készíteni
a 3. ábrán látható testmozgás fizikai modell helyett, azonban egy folyóiratcikk kerete ezt csak elektronikus változatban teszi lehetővé. A bemutatott példa az volt
A vizsgált probléma általánosítása egy n ideális kapcsolat rendszere, amely egy szabályos n-szög csúcsaiban elhelyezkedő pontokból áll, és csak a test transzlációs mozgását akadályozza meg. Ezért, mint egy háromszög esetében, a test elkezdhet forogni a forgás középpontja körül, amely a normálok metszéspontja a test határával a kapcsolódási pontoknál. Ebben az esetben az A test OY tengelyen elhelyezkedő és a forgásközépponttól R távolságra lévő pontjának pályájának egyenlete megegyezik (1) alakkal. Ebben az esetben a forgási középpont mozgatásának (2) függvényértékeihez a feltételek szükségesek
Kobiljanszkij Gorbunov
Dmitrij Mihajlovics Valerij Fedorovics
PhD hallgató álló és - doc. tech. tudományok, prof. kávézó száz
álló szállítójárművek és szállítójárművek
f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)
A (7) feltétel 2n/n periódusú periodikus függvényeknek felel meg, például 8m(n-m4/2), valamint ezek lineáris kombinációinak a (3) alakból és más, zárt görbéket leíró függvényekből. A fentiekhez hasonló érvelés ugyanazokhoz a (4-6) egyenletekhez vezet, amelyek lehetővé teszik a test alakjának, forgás közbeni helyzetének és a forgásközéppont pályájának kiszámítását a test forgással konzisztens rezgéseivel. Ilyen számításokra példa a 4. ábra, amelyen a szaggatott vonal a testek kezdeti helyzetét mutatja, a folytonos vonal a testek helyzetét l / 3 szögben elfordítva, és minden ábra közepén a a forgásközéppont teljes pályája, amikor a test teljesen el van forgatva. És bár ebben a példában csak az O forgásközéppont vízszintes mozgását, mint egy n-szög középpontját vesszük figyelembe, a kapott eredmények egy szabadságfok mellett a lehetséges testformák széles skáláját mutatják, a forgó mozgást rezgésekkel kombinálva. négy, öt és hat kötvény jelenlétében.
A kapott módszer az egy szabadságfokkal rendelkező testek forgási és lengésmozgásának kompatibilitásának kiszámítására kiegészítés nélkül használható olyan térbeli testekhez is, amelyekben a harmadik koordináta mentén történő mozgás és más koordinátasíkban történő elforgatás tilos.
Gogolin Vjacseszlav Anatoljevics
Dr. tech. tudományok, prof. kávézó alkalmazott matematikus és
Tudniillik szabadnak nevezzük azt a testet, amelynek mozgása semmilyen módon nem korlátozott, mivel bármilyen irányba mozoghat. Ezért minden szabadon merev testnek hat mozgásszabadsági foka van. A következő mozgások végrehajtására képes: három transzlációs mozgás, amely a három fő koordinátarendszernek felel meg, és három forgó mozgás e három koordinátatengely körül.
A kötések előírása (rögzítés) csökkenti a szabadsági fokok számát. Tehát ha a test valamelyik pontján rögzítve van, akkor nem tud elmozdulni a koordinátatengelyek mentén, mozgását csak e tengelyek körüli forgás korlátozza, pl. a testnek három szabadságfoka van. Abban az esetben, ha két pont rögzítve van, a testnek csak egy szabadságfoka van, csak mindkét ponton átmenő egyenes (tengely) körül foroghat. És végül, három fix ponttal, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el, a szabadságfokok száma nulla, és nem lehet testmozgás. Az emberben a passzív mozgási apparátus testének részeiből, úgynevezett linkekből áll. Mindegyik össze van kötve, ezért elveszíti háromféle mozgás lehetőségét a koordinátatengelyek mentén. Csak ezen tengelyek körül van lehetőségük elforgatni. Így a test egyik láncszemének maximális száma három a vele szomszédos másik láncszemhez képest.
Ez az emberi test legmozgékonyabb ízületeire vonatkozik, amelyek gömb alakúak.
A testrészek soros vagy elágazó kapcsolatai (linkek) kinematikai láncokat alkotnak.
Egy személy megkülönböztethető:
- - nyitott kinematikai láncok szabadon mozgatható véggel rendelkezik, amely csak az egyik végén van rögzítve (például egy kar a testhez képest);
- - zárt kinematikai láncok, mindkét végén rögzítve (például csigolya - borda - szegycsont - borda - csigolya).
Meg kell jegyezni, hogy ez vonatkozik az ízületek lehetséges mozgási tartományára. Valójában egy élő emberben ezek a mutatók mindig kisebbek, amit számos hazai kutató - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin és mások - bizonyít. Az élő embert számos tényező befolyásolja. életkor, nem, egyéni jellemzők, az idegrendszer funkcionális állapota, az izomfeszülés mértéke, a környezeti hőmérséklet, a napszak, és végül, ami a sportolók számára fontos, az edzettségi fok. Tehát a csontok összes ízületében (szakadt és folyamatos) a fiatalok mobilitása nagyobb, mint az idősebbeknél; a nők átlagosan többet, mint a férfiak. A mobilitás mértékét befolyásolja a mozgással ellentétes oldalon lévő izmok nyújtásának mértéke, valamint a mozgást előidéző izmok ereje. Minél rugalmasabb ezek közül az izmok közül az első és minél erősebb a második, annál nagyobb a mozgási tartomány egy adott csontízületben, és fordítva. Ismeretes, hogy a hideg szobában a mozgások terjedelme kisebb, mint a melegben, reggel kisebb, mint este. A különböző gyakorlatok alkalmazása eltérő módon befolyásolja az ízületek mozgékonyságát. Tehát a „rugalmassági” gyakorlatokkal végzett szisztematikus edzés növeli az ízületek mozgási tartományát, míg az „erő” gyakorlatok éppen ellenkezőleg, csökkentik azt, ami az ízületek „rabságához” vezet. Az izületi mozgások csökkenése azonban az erőgyakorlatok alkalmazása során nem feltétlenül elkerülhetetlen. Megelőzhető az erősítő gyakorlatok megfelelő kombinációjával az azonos izomcsoportokra vonatkozó nyújtó gyakorlatokkal.
Az emberi test nyitott kinematikai láncaiban a mobilitást több tíz szabadsági fokban számolják. Például a csuklónak a lapockahoz viszonyított és a tarsusnak a medencéhez viszonyított mozgékonyságának hét szabadsági foka van, a kéz ujjainak hegyei pedig a mellkashoz viszonyítva 16 szabadságfokkal rendelkeznek. Ha összeadjuk a végtagok és a fej testhez viszonyított szabadsági fokát, akkor ezt a 105-ös számmal fejezzük ki, amely a következő pozíciókból áll:
- - fej - 3 szabadsági fok;
- - kezek - 14 szabadsági fok;
- - lábak - 12 szabadsági fok;
- - kezek és lábak - 76 szabadsági fok.
Összehasonlításképpen kiemeljük, hogy a gépek túlnyomó többsége csak egy mozgásszabadsággal rendelkezik.
A gömbcsuklóknál három egymásra merőleges tengely körüli elforgatások lehetségesek. Azon tengelyek teljes száma, amelyek körül ezekben a kötésekben elfordulás lehetséges, végtelenül nagy. A gömbcsuklókkal kapcsolatban tehát azt mondhatjuk, hogy a bennük tagolódó láncszemek a lehetséges hat mozgásszabadságfok közül három szabadságfokkal és három kapcsolódási fokozattal rendelkeznek.
A két mozgásszabadsággal és négy kapcsolódási fokozattal rendelkező ízületek mobilitása kisebb. Ide tartoznak a tojásdad vagy ellipszis alakú ízületek és a nyereg, pl. biaxiális. E két tengely körül mozoghatnak.
Egy mozgásszabadság és egyben öt fokú kapcsolódási foknak vannak testkapcsolatai azokban az ízületekben, amelyeknek egy forgástengelye van, pl. két fix pontja van.
Az emberi test ízületeinek túlnyomó részében két-három szabadságfok van. Több (két vagy több) mozgásszabadság mellett végtelen számú pálya lehetséges. A koponya csontjainak ízületei hat fokban kapcsolódnak egymáshoz, és mozdíthatatlanok. A csontok porcok és szalagok segítségével történő összekapcsolása (synchondrosis és syndesmosis) bizonyos esetekben jelentős mobilitást mutathat, ami a csontok között elhelyezkedő porcos vagy kötőszöveti képződmények rugalmasságától és méretétől függ.
Több szabadságfokú rezgések.
Rövid információ az elméletből.
n teljesítményű rendszerekszabadság a dinamikában szokás olyan rendszereket hívni, amelyek geometriai állapotának teljes rögzítéséhez bármikor be kell állítani. P paraméterek, pl. pozíció (elhajlások) P pontokat. A többi pont helyzetét a szokásos statikus módszerekkel határozzuk meg.
Példa egy rendszerre P egy gerenda vagy egy lapos keret akkor szolgálhat szabadsági fokként, ha az egyes részeinek vagy elemeinek tömegeit konvencionálisan (a dinamikus számítás megkönnyítése érdekében) koncentráltnak tekintjük. P pont, vagy ha n nagy tömeget hordoz (motorok, motorok), amihez képest elhanyagolható az elemek saját tömege. Ha az egyes koncentrált ("pont") tömegek két irányba mozoghatnak a rezgések során, akkor a rendszer szabadságfokainak száma megegyezik azon kényszerek számával, amelyeket a rendszerre alkalmazni kell, hogy kiküszöböljük az összes elmozdulást. tömegek.
Ha egy n szabadságfokú rendszert kiveszünk az egyensúlyból, akkor teljesíteni fog szabad rezgések , és minden „pont” (tömeg) a következő típusú komplex poliharmonikus rezgéseket hajtja végre:
Konstansok A énés B én attól függ kezdeti feltételek mozgás (a tömegek statikus szinttől és sebességtől való eltérése az időpillanatban t=0). A rezgések gerjesztésének csak bizonyos, speciális eseteiben alakulhat át az egyes tömegekre vonatkozó poliharmonikus mozgás harmonikussá, pl. mint egy egy szabadságfokú rendszerben:
A rendszer sajátfrekvenciáinak száma egyenlő a szabadságfokainak számával.
A sajátfrekvenciák kiszámításához meg kell oldani az ún.
Ez a feltétel kiterjesztett formában adja az egyenletet P fok meghatározására Pω 2 értékeket, amit a frekvenciák egyenletének nevezünk.
δ 11, δ 12, δ 22 stb. lehetséges mozgásokat jelzik. Tehát δ 12 az első tömeg elhelyezkedési pontjának első irányában történő elmozdulása a második irányban kifejtett egységnyi erőtől a második tömeg helyének pontjáig stb.
Két szabadságfok esetén a frekvenciaegyenlet a következőképpen alakul:
Honnan van két frekvenciánk:
Abban az esetben, ha az egyed tömege M én képes lineáris mozgásokkal együtt forgó vagy csak forgó mozgásokat is végrehajtani, akkor én-adik koordináta lesz az elforgatási szög, a frekvenciahatározóban pedig a tömeg
M én a J tömeg tehetetlenségi nyomatékával kell helyettesíteni én; illetve lehetséges mozgások az irányba én-a koordináta ( δ én 2 , δ én 2 stb.) szögelmozdulások lesznek.
Ha bármilyen tömeg több irányba oszcillál, én-mu és k-mu (például függőleges és vízszintes mentén), akkor egy ilyen tömeg többször is részt vesz a determinánsban az M számok alatt énőket kés több lehetséges elmozdulásnak felel meg ( δ ii, δ kk, δ ik stb.).
Megjegyzendő, hogy minden sajátfrekvenciának megvan a maga speciális rezgésformája (az ívelt tengely jellege, az elhajlás vonala, elmozdulása stb.), amely egyedi, speciális esetekben érvényes lengési formának bizonyulhat, ha csak a szabad rezgések megfelelően vagy gerjesztettek (megfelelő kiválasztási impulzusok, alkalmazási pontok stb.). Ebben az esetben a rendszer rezgéseit a rendszer egy szabadságfokú mozgási törvényei szerint hajtják végre.
Általános esetben a (9.1) kifejezésből következően a rendszer poliharmonikus rezgéseket hajt végre, de nyilvánvaló, hogy bármely összetett rugalmas vonal, amelyben minden sajátfrekvencia hatása tükröződik, felbontható külön formakomponensekre, amelyek mindegyike ami a saját frekvenciájának felel meg. Az oszcillációk valódi formájának komponensekre való ilyen szétbontásának folyamatát (amely az épületdinamikai komplex problémák megoldásához szükséges) a természetes rezgések formái szerinti dekompozíciónak nevezik.
Ha minden tömegben, pontosabban az egyes szabadsági fokok irányában a harmonikus törvény szerint időben változó zavaró erőt alkalmazunk
vagy , amely a következők szempontjából közömbös, és az erők amplitúdója minden tömegre eltérő, a frekvencia és a fázisok azonosak, akkor az ilyen zavaró erők hosszan tartó hatása mellett a rendszer állandó kényszerrezgéseket hajt végre a frekvenciával. a hajtóerő. A mozgás amplitúdója bármely irányában én- a végzettség ebben az esetben:ahol a D determináns a (9.2) szerint van felírva, ω helyett θ, és ezért D≠0; D én kifejezés határozza meg:
azok. én a D determináns oszlopa helyébe a következő alak egyik tagjából álló oszlop lép: Két szabadságfok esetén: (9.6)És ennek megfelelően
Az állandó keresztmetszetű, koncentrált tömegeket hordozó gerendák kényszerrezgéseinek kiszámításakor (9.1. ábra).
Könnyebb azonban a következő képleteket használni az elhajlás, a forgásszög, a hajlítónyomaték és a nyíróerő amplitúdóira a gerenda bármely szakaszán:
(9.7)ahol y 0 , φ 0 , M 0 , K 0 a kezdeti szakasz elhajlásának, elforgatásának, nyomatékának és keresztirányú erejének amplitúdói (kezdeti paraméterek); M iÉs J i- tömeg és tehetetlenségi nyomatéka (tömény tömegek); a ∑ jel a kezdeti szakasztól a vizsgált szakaszig terjedő összes erőre és koncentrált tömegre vonatkozik.
Ezekkel a (9.7) képletekkel a sajátfrekvenciák is számíthatók, amelyeknél figyelembe kell venni a zavaró erőket ∑ Rénés pillanatok ∑ Mén nullával egyenlő, cserélje ki a kényszerrezgések θ frekvenciáját a természetes rezgések ω frekvenciájára, és oszcillációk (szabad rezgések) létezését feltételezve írjon kifejezéseket (9.7) azokra a szakaszokra, ahol koncentrált tömegek találhatók és amplitúdók már ismertek ( referencia szakaszok, szimmetriatengely stb.). Homogén lineáris egyenletrendszert kapunk. Ennek a rendszernek a determinánsát nullával egyenlővé téve ki tudjuk majd számítani a sajátfrekvenciákat.
Célszerűnek bizonyul a (9.4) és (9.5) kifejezések használata az amplitúdók meghatározásához ( y 0 , φ 0 , stb.) mikor x=0, majd a (9.7) segítségével számítsuk ki az összes többi eltérítési elemet.
Nehezebb egy több szabadságfokú rendszer mozgásának kiszámítása tetszőleges időben változó és különböző tömegekre ható terhelés hatására.
Egy ilyen probléma megoldása során a következőképpen kell eljárnia:
a) meghatározza a természetes rezgések sajátfrekvenciáit és formáit;
b) az adott terhelést átcsoportosítani a tömegek között, vagy ahogy mondani szokás, a természetes rezgésmódok szerint felbontani. A terhelési csoportok száma megegyezik a rendszer sajátfrekvenciáinak számával;
c) a fenti két segédművelet elvégzése után az egy szabadságfokú rendszer lengéselméletéből ismert képletek alapján készítsen számítást az egyes terheléscsoportokra, és ezekben a képletekben a természetes lengések gyakoriságát a amelyik megfelel ennek a terhelési csoportnak;
d) az egyes terhelési kategóriákból összefoglalják az egyes megoldásokat, amelyek meghatározzák a probléma végső megoldását.
A sajátfrekvenciák meghatározása a (9.2) szerint történik. Ami a természetes rezgések formáinak azonosítását illeti, itt a természetes rezgések bármely formájának fő tulajdonságától kell vezérelni, hogy ez az erőktől való elhajlás hatásvonala (amelyek száma megegyezik a szabadságfok száma) arányos a tömegek és a tömegek kapcsolódási pontjainak elhajlásainak ordinátáinak szorzatával. Egyenlő tömegek esetén a természetes rezgések alakja az elhajlás ordinátájával arányos erőktől való elhajlási vonalat képvisel; a terhelési diagram hasonló az elhajlási diagramhoz.
A legalacsonyabb frekvencia az oszcilláció legegyszerűbb formájának felel meg. A gerendák esetében ez az alakzat leggyakrabban saját súlya hatására szorosan megfelel a rendszer ívelt tengelyének. Ha ez a szerkezet bármely irányban kevésbé merev, például vízszintes irányban, akkor a kívánt görbe tengely természetének feltárásához feltételesen kell alkalmazni a saját súlyát ebben az irányban.
Egy több szabadságfokkal rendelkező rendszer rezgései, amelyeknek fontos gyakorlati alkalmazásaik vannak, számos lényeges jellemzőben különböznek az egy szabadságfokú rendszer rezgéseitől. Ahhoz, hogy képet kapjunk ezekről a jellemzőkről, vegyük figyelembe egy két szabadságfokú rendszer szabad rezgésének esetét.
Határozzuk meg a rendszer helyzetét általánosított koordinátákkal, és legyen a rendszer stabil egyensúlyban. Ekkor a rendszer kinetikai és potenciális energiái kis értékű négyzetig ugyanúgy megtalálhatók, mint a (132), (133) egyenlőségek, és a következőképpen ábrázolhatók:
ahol a tehetetlenségi együtthatók és a kvázi-rugalmas együtthatók állandó értékek. Ha két (131) alakú Lagrange-egyenletet használunk, és ezekbe behelyettesítjük T és P értékeit, akkor a következő differenciálegyenleteket kapjuk egy két szabadságfokú rendszer kis oszcillációira
A (145) egyenlet megoldását a következő formában fogjuk keresni:
ahol A, B, k, a konstansok. Ezeket az értékeket behelyettesítve a (145) egyenletekbe és csökkentve ezzel kapjuk
Ahhoz, hogy a (147) egyenletek A-ra és B-re júliustól eltérő megoldásokat adjanak, ennek a rendszernek a determinánsának nullának kell lennie, ellenkező esetben az egyenletekben szereplő A és B együtthatóinak arányosnak kell lenniük, azaz.
Innen a definícióhoz a következő egyenletet kapjuk, amelyet frekvenciák egyenletének nevezünk.
Ennek az egyenletnek a gyökere valós és pozitív; ez matematikailag bizonyított, de igazolható azzal is, hogy különben a (145) egyenletek nem lesznek valósak, és nem lesz (146) alakú megoldásuk, ami nem lehet egy stabil egyensúlyban lévő rendszernél (perturbációk után közel kell mozognia a pozícióhoz
Az nz (149) meghatározása után a (146) alakú partikuláris megoldások két halmazát találjuk. Figyelembe véve, hogy e határozatok szerint:
hol és vannak azok az értékek, amelyeket a (148)-ból kapok a és ill.
A (150) és (151) egyenlettel definiált oszcillációkat főrezgéseknek nevezzük, ezek frekvenciái és k a rendszer sajátfrekvenciái. Ebben az esetben a frekvenciájú (mindig változó) rezgést az első fő oszcillációnak, a frekvenciával pedig a második fő rezgésnek nevezik. Azokat a számokat, amelyek meghatározzák az amplitúdók (vagy maguk a koordináták, azaz) arányait ezekben az oszcillációkban, az alak együtthatóinak nevezzük.
Mivel a (145) egyenletek lineárisak, a (150) és (151) adott megoldások összegei ezeknek az egyenleteknek is megoldásai lesznek:
A (152) egyenletek, amelyek négy tetszőleges, a kezdeti feltételekből meghatározott állandót tartalmaznak, megadják a (145) egyenletek általános megoldását és meghatározzák a rendszer kis rezgésének törvényét. Az oszcillációk két fő rezgésből állnak, amelyek frekvenciája van, és nem harmonikusak. Speciális esetekben megfelelő kezdeti feltételek mellett a rendszer végre tudja hajtani az egyik fő rezgést (például az elsőt, ha ) és a rezgés harmonikus lesz.
A sajátfrekvenciák és alaktényezők nem függenek a kezdeti feltételektől, és a rendszer kis rezgésének fő jellemzői; konkrét problémák megoldása általában e jellemzők meghatározására redukálódik.
Ennek és az előző részeknek az eredményeit összevetve képet kaphatunk arról, hogy egy két szabadságfokú rendszer csillapított és kényszerrezgésének vizsgálata mire redukálódik. Ezt nem fogjuk figyelembe venni, csak megjegyezzük, hogy kényszerrezgések során egy ilyen rendszer rezonanciája kétszer fordulhat elő: at és at ( a perturbáló erő frekvenciája). Végül megjegyezzük, hogy egy s szabadságfokú rendszer oszcillációi s olyan frekvenciájú rezgésekből állnak, amelyeket az s fokú egyenletből kell meghatározni a következőhöz képest. elektronikus számítógépek (vagy analóg) gépek.
185. feladat Határozza meg a kettős fizikai inga kis rezgésének alakjának sajátfrekvenciáit és együtthatóit, amelyeket l azonos tömegű és hosszúságú rudak alkotnak és 2 (374. ábra, a)!
Megoldás. Általános koordinátáknak kis szögeket választunk. Ezután , ahol és a szükséges számítási pontossággal, . Végül is
A (3.7) szerint az egyenletrendszer a II=2úgy néz ki, mint a:
Mivel szabad rezgésekről beszélünk, a (3.7) rendszer jobb oldalát nullának vesszük.
Formában keresünk megoldást
Miután behelyettesítettük (4.23)-t (4.22)-be, a következőt kapjuk:
Ez az egyenletrendszer tetszőlegesre érvényes t, ezért a szögletes zárójelbe tett kifejezések nullák. Így egy lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk A és vonatkozásában BAN BEN.
Nyilvánvaló triviális megoldás erre a rendszerre L= Ó, B = A (4.23) szerinti O a rezgések hiányának felel meg. Ezzel a megoldással együtt azonban létezik egy nem triviális A * O megoldás is, V F 0 feltéve, hogy az A rendszer determinánsa ( nak nek 2) egyenlő nullával:
Ezt a determinánst nevezzük frekvencia, és az egyenlet relatív k - frekvenciaegyenlet. A kiterjesztett funkció A(k 2) úgy ábrázolható
Rizs. 4.5
Ha RcYa - ^2 > ® és n ^-4>0 esetén az A gráf (k2) az x tengelyt metsző parabola alakú (4.5. ábra).
Mutassuk meg, hogy a fenti egyenlőtlenségek a stabil egyensúlyi helyzet körüli oszcillációkra is érvényesek. A kifejezés átalakítása for kinetikus energia a következő módon:
Nál nél q, = 0 van T = 0,5a .
Ezután bebizonyítjuk, hogy a (4.25) gyakorisági egyenlet gyöke két pozitív érték nak nek 2 és 2-hez(az oszcilláció elméletében kisebb index kisebb frekvenciának felel meg, pl. k ( Ebből a célból először bevezetjük a részfrekvencia fogalmát. Ezen a kifejezésen egy olyan rendszer természetes frekvenciáját értjük, amelynek egy szabadságfokja van az eredeti rendszerből úgy, hogy egy kivételével minden általánosított koordinátát rögzítünk. Így pl. , ha a rendszer egyenletei közül az elsőben mi (4.22) elfogadjuk q 2 = 0, akkor a részfrekvencia ez lesz p (=yjc u /a n. Hasonlóképpen a p 2 ~^c p / a 21 rögzítése.
Ahhoz, hogy a (4.25) frekvenciaegyenletnek két valós gyöke legyen x-hezÉs k 2 , szükséges és elégséges, hogy először az A függvény grafikonja (2-re) nál nél k = 0 pozitív ordinátája lenne, másodszor pedig úgy, hogy keresztezi az x tengelyt. Több frekvencia esete to (= to. ), valamint a legalacsonyabb frekvencia eltűnését itt nem vesszük figyelembe. Ezen feltételek közül az első teljesül, mivel q (0) \u003d c „ c 22 - és> 0 Könnyen ellenőrizhető a második feltétel érvényessége, ha behelyettesítjük a függőséggel (4.25) k = k = p 2; míg A(p, 2) Az ilyen jellegű információ a mérnöki számításokban elősegíti az előrejelzéseket és a becsléseket.
A kapott két frekvenciaérték nak nek, És 2-hez megfelelnek a (4.23) forma részmegoldásának, így az általános megoldás a következő alakkal rendelkezik:
Így az általánosított koordináták mindegyike egy összetett oszcillációs folyamatban vesz részt, amely különböző frekvenciájú, amplitúdójú és fázisú harmonikus mozgások összeadása (4.6. ábra). Frekvenciák k tÉs 2-hezáltalában összemérhetetlenek, tehát q v c, nem periodikus függvények.
Rizs. 4.6
A szabad rezgések amplitúdóinak arányát rögzített sajátfrekvencián alaktényezőnek nevezzük. Két szabadságfokú rendszer esetén a formai együtthatók (3.= B.J.A." közvetlenül a (4.24) egyenletekből határozhatók meg:
Így a p, = alakú együtthatók B 1 /A [és r.,= V., / A., csak a rendszer paramétereitől függenek, és nem a kezdeti feltételektől. Forma együtthatók jellemzik a vizsgált természetes gyakoriságot nak nek. az amplitúdók eloszlása az oszcillációs kör mentén. Ezen amplitúdók kombinációja alkotja az ún oszcilláció formája.
A negatív alaktényező azt jelenti, hogy az oszcillációk ellenfázisúak.
A szabványos számítógépes programok használatakor néha használják normalizált alak együtthatók. Ez a kifejezés érthető
A p’r együtthatóban én megfelel a koordinátaszámnak és az indexnek G- frekvencia száma. Ez nyilvánvaló 
vagy könnyen belátható, hogy p*
A (4.28) egyenletrendszerben a maradék négy ismeretlen A g A 2, oc, cx 2 a kezdeti feltételekkel határozható meg:
A lineáris ellenállási erő jelenléte, csakúgy, mint egy szabadságfokú rendszerben, a szabad rezgések csillapításához vezet.
Rizs. 4.7
Példa. Határozzuk meg az ábrán látható oszcillációs rendszer sajátfrekvenciáit, parciális frekvenciáit és alaktényezőit. 4,7, de.Általánosított koordinátáknak tekintve a tömeg abszolút elmozdulásait.r, = q v x 2 = q. rÍrjuk fel a kinetikus és potenciális energiák kifejezéseit:
Ily módon
A (4.25) gyakorisági egyenletekbe való behelyettesítés után megkapjuk
Sőt, a (4.29) szerint
ábrán 4,7, b hullámformák vannak megadva. Az első lengésforma esetén a tömegek szinkron módon az egyik irányba, a másodikban pedig az ellenkező irányba mozognak. Ráadásul az utóbbi esetben keresztmetszet jelent meg N, nem a saját frekvenciájával vesz részt az oszcillációs folyamatban k r Ez az ún oszcillációs csomópont.