VEKTOROK

Vektorok matematikai objektumoknak nevezzük ( a, b, c, …), amelyre két algebrai művelet van definiálva:

két vektor összeadása a+b=c

vektor szorzása egy számmal a a = b.

Ezeknek a műveleteknek a legfontosabb jellemzője, hogy mindig az eredeti vektorokkal azonos típusú vektort eredményeznek. Ezért némi kezdeti vektorhalmaz birtokában fokozatosan bővíthetjük, pl. hogy egyre több új vektort kapjunk, alkalmazva az összeadás és a számmal való szorzás műveleteit a már meglévő vektorokra. A végén eljutunk egy olyan vektorhalmazhoz, amely már nem fog bővülni, azaz. a jelzett műveletek tekintetében zártnak bizonyul. Az ilyen vektorhalmazt ún vektor tér .

Ha ezen műveletek végrehajtásakor további linearitási feltételek :

a( a+b)= a egy + a b

(a + b) a = a egy + b b

akkor a kapott teret ún lineáris tér (LP) ill lineáris vektor tér (HDL). Az LCS a szimmetriacsoportokkal együtt egy másik példaként szolgálhat a matematikai struktúrákra zárt készletek azonos típusú és meghatározott módon rendezett objektumok (algebrai műveletek segítségével).

Lineáris kombinációk

A vektorok összeadásának és számokkal való szorzásának műveleteivel több konstrukció is lehetséges összetett szerkezet típus:

a egy + b b + g c + ..... = x

amelyet úgy hívnak lineáris kombináció (LC) vektorok a, b, c, . . . a, b, g együtthatókkal, . . . , ill.

Az LC koncepciója lehetővé teszi, hogy több általános szabályt fogalmazzunk meg:

· valamely LP bármely vektorának bármely LC-je egyben ugyanannak az LP-nek a vektora is;

valamely LP bármely vektora ábrázolható ugyanazon LP több vektorának LC-jeként;

bármely LP-ben van egy ilyen megkülönböztetett vektorhalmaz, az úgynevezett alapkészlet (vagy egyszerűen alapon ), hogy ennek az LP-nek kivétel nélkül minden vektora megjeleníthető ezen kiválasztott bázisvektorok lineáris kombinációjaként. Az alapnak választott vektorokkal szemben egy fontos feltételt támasztunk: azoknak kell lenniük lineárisan független egymás között (nem szabad egymáson keresztül kifejezni, azaz: x≠a × y).

Ezek a szabályok lehetővé teszik bármely nagylemez leírásának speciális módját. Kiválasztunk egy bázishalmazt, és ebben a bázisban kiterjesztjük az összes számunkra érdekes vektort (azaz LK bázisvektorok formájában ábrázoljuk); akkor minden vektor egyedileg megadható a megfelelő LC együtthatók segítségével adott vektor. Az ilyen együtthatókat ún koordináták vektor (az adott bázishoz képest). Hangsúlyozzuk, hogy egy vektor koordinátái közönséges számok, és a vektor koordináta-reprezentációja lehetővé teszi, hogy csak egy számkészlettel írjuk le, függetlenül a konkréttól. fizikai érzék, amelyet a vektor fogalmába helyezünk.

Nézzünk egy konkrét példát. Tegyük fel, hogy van egy halmazunk két tiszta különböző keverékéből vegyi anyagok: víz és alkohol. Az összes lehetséges keverék közül két különlegeset emelünk ki:

1) keverék S1 100% vizet és 0% alkoholt tartalmaz;

2) keverék S2 0% vizet és 100% alkoholt tartalmaz.

Nyilvánvaló, hogy egy tetszőleges keverék a két alapkeverék LC-jeként ábrázolható:

S = n 1 * S1 + n 2 * S2

és teljesen jellemezze mindössze két szám-koordinátával: n 1 és n 2. Más szavakkal, az alaphalmaz ismeretében megállapíthatjuk egy tetszőleges kémiai keverék és egy számhalmaz ekvivalenciáját:

S~ {n 1 , n 2 }.

Most már elég a „keverék” konkrét kémiai szót egy absztraktra cserélni. matematikai kifejezés"vektor", hogy olyan HDL-modellt kapjunk, amely két anyag keverékeinek halmazát írja le.

A -ból származó vektorok lineáris kombinációját st vektornak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy a vektorok lineáris kombinációinak lineáris kombinációja ismét ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja.

Egy vektorhalmazt lineárisan függetlennek nevezünk, ha az egyenlőség csak -re lehetséges. Ha azonban léteznek olyan si-k, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával, és st - 0, akkor a vektorhalmazt lineárisan függőnek nevezzük. Ezek a definíciók megegyeznek a 108. oldalon a karakterláncokra megadottakkal.

1. tézis. A vektorok gyűjteménye akkor és csak akkor lineárisan függő, ha az egyik vektor a többi vektor lineáris kombinációja.

2. tézis Ha a vektorok gyűjteménye lineárisan független, és a gyűjtemény lineárisan függő, akkor a vektor vektorok lineáris kombinációja

3. állítás. Ha a vektorok vektorok lineáris kombinációi, akkor a halmaz lineárisan függ.

Ezeknek a mondatoknak a bizonyítása nem különbözik a karakterláncokra vonatkozó hasonló mondatok bizonyításaitól (108-110. o.).

Egy vektorhalmazt generálásnak nevezünk, ha a tér összes vektora azok lineáris kombinációja. Ha van véges generáló rendszer az S térre, akkor a teret véges dimenziósnak, egyébként végtelen dimenziósnak nevezzük. Egy véges dimenziós térben tetszőlegesen nagy (a vektorok számát tekintve) lineárisan független vektorgyűjtemények nem létezhetnek, mert a 3. állítás szerint minden olyan vektorgyűjtemény, amely a vektorok számában meghaladja a generáló gyűjteményt, lineárisan függ. .

A fix méretű mátrixok tere és különösen a fix hosszúságú sorok tere véges dimenziós, generáló rendszerként vehetünk olyan mátrixokat, amelyekben egy az egyik, a többiben nullák.

A -ból származó összes polinom tere már végtelen dimenziós, mert a polinomok halmaza lineárisan független bármely .

A következőkben véges dimenziós terekkel fogunk foglalkozni.

4. tézis. Bármely minimális (a vektorok száma alapján) generáló vektorhalmaz lineárisan független.

Valóban, legyen a vektorok minimális generáló halmaza. Ha lineárisan függő, akkor mondjuk az egyik vektor a többi lineáris kombinációja, és bármely lineáris kombináció egy kisebb vektorhalmaz lineáris kombinációja, amely így generálónak bizonyul.

5. Tétel. Bármilyen maximális (a vektorok száma alapján) lineárisan független vektorhalmaz generál.

Valóban, legyen a maximális lineárisan független gyűjtemény és u tetszőleges térvektor. Ekkor a és a gyűjtemény nem lesz lineárisan független, és a 2. állítás értelmében a vektor lineáris kombináció

6. tézis. Bármely lineárisan független generátorkészlet minimális a generátorok között, és maximális a lineárisan független generátorok között.

Valóban, legyen egy lineárisan független generáló vektorhalmaz. Ha - valamilyen más generáló halmaz, akkor ezek lineáris kombinációk, és ebből arra következtetünk, hogy ha akkor lenne, akkor a javaslat értelmében lineárisan függő halmaz lenne. Legyen most tetszőleges lineárisan független halmaz. A vektorok vektorok lineáris kombinációi, következésképpen, mivel ugyanazon tétel alapján lineárisan függő halmazt alkotnának.

Így a 4., 5., 6. állításban három fogalom azonosságát állapítjuk meg - a vektorok minimális generáló halmazát, a maximális lineárisan független vektorkészletet és a lineárisan független generáló halmazt.

Azt a vektorhalmazt, amely ezeket a feltételeket kielégíti, a tér bázisának, az alapot alkotó vektorok számát pedig a tér dimenziójának nevezzük. Az S tér méretét jelöli. Így a dimenzió lineárisan egyenlő a maximális számmal független vektorok(a továbbiakban gyakran fogjuk használni a „lineárisan független” és a „lineárisan független” szavakat). függő vektorok” ahelyett, hogy „lineárisan függő gyűjteményt alkotó vektorok” és - lineárisan független gyűjtemény esetén) és a generáló vektorok minimális száma.

7. tézis. Legyen vektorok lineárisan független gyűjteménye, és számuk kisebb, mint a tér dimenziója. Ekkor egy vektort lehet hozzájuk csatolni úgy, hogy a gyűjtemény lineárisan független maradjon.

Bizonyíték. Tekintsünk egy sor lineáris kombinációt. Nem meríti ki a teljes teret, mert nem alkotnak vektorok generáló halmazát. Vegyünk egy vektort, amely nem lineáris kombináció

Ekkor egy lineárisan független gyűjtemény, mivel különben a 2. állítás értelmében vektorok lineáris kombinációja lenne.

A 7. állításból következik, hogy a vektorok bármely lineárisan független gyűjteménye kiegészíthető bázisra.

Ugyanez a tétel és annak bizonyítása jelzi az önkény természetét az alapválasztásban. Valóban, ha veszünk egy tetszőleges nem nulla vektort, akkor azt úgy egészíthetjük ki az alapra, hogy a második vektort tetszés szerint vesszük, de nem az első lineáris kombinációját, a harmadikat, ahogy tetszik, de nem egy lineáris kombinációt az első kettő stb.

Egy tetszőleges generáló halmazból kiindulva lehet "lemenni" az alapra.

8. állítás. A vektorok bármely generáló halmaza tartalmaz egy bázist.

Valóban, legyen vektorok generáló halmaza. Ha lineárisan függő, akkor az egyik vektora a többi lineáris kombinációja, és kizárható a generáló halmazból. Ha a fennmaradó vektorok lineárisan függőek, akkor még egy vektort ki lehet küszöbölni, és így tovább, amíg marad egy lineárisan független generáló halmaz, azaz egy bázis.

Vektor koncepció

1. definíció.Vektor irányított szakasznak (vagy ami ugyanaz, rendezett pontpárnak) nevezzük.

Jelölje: (A pont a vektor eleje), B pont a vektor vége) vagy egy betűvel -.

2. definíció.Vektor hossza (modulo) a vektor kezdete és vége közötti távolság. Egy vektor hosszát vagy jelöli.

3. definíció.Nulla vektor Olyan vektort nevezünk, amelynek eleje és vége azonos. Kijelöl:

4. definíció.egységvektor olyan vektor, amelynek hossza eggyel egyenlő.

Az adott vektorral azonos irányú egységvektort vektorvektornak nevezzük, és szimbólummal jelöljük.

5. definíció. A vektorokat ún kollineáris, ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon helyezkednek el. A nullvektort bármely vektorral kollineárisnak tekintjük.

6. definíció. A vektorokat ún egyenlő ha egyvonalasak, akkor azonos hosszúságúak és azonos irányúak.

Lineáris műveletek vektorokon

7. definíció.Lineáris műveletek vektorokon vektorok összeadásának és egy vektor számmal való szorzásának nevezzük.

8. definíció.Két vektor összege olyan vektornak nevezzük, amely a vektor elejétől a vektor végéig tart, feltéve, hogy a vektor a vektor végéhez kapcsolódik (háromszög szabály). A nem kollineáris vektorok esetében a háromszögszabály helyett a paralelogramma szabályt használhatjuk: ha a és vektorok közös origóból vannak ábrázolva, és ezekre paralelogramma épül, akkor az összeg egy olyan vektor, amely egybeesik az átlóval. ennek a paralelogrammának egy közös origóból származik.

9. definíció.Két vektor különbségeés egy vektort nevezünk, amely egy vektorral összegezve egy vektort alkot. Ha két vektort és egy közös kezdettől halogatunk, akkor különbségük a vektor végétől ("kivonva") a vektor végéig ("redukált") érkező vektor.

10. definíció. Két azonos hosszúságú, ellentétes irányba mutató kollineáris vektort nevezünk szemben. A vektorral ellentétes vektort jelöljük.

Egy vektor és egy szám szorzatát α-val jelöljük.

A lineáris műveletek néhány tulajdonsága

7) ;

1. tétel.(A kollineáris vektorokon). Ha és két kollineáris vektor, és a vektor nem nulla, akkor létezik egy egyedi x szám, amelyre = x

Konkrétan egy nem nulla vektor és annak orto-ja a következő egyenlőséggel függ össze:=·.

A lineáris műveletek megfogalmazott tulajdonságai lehetővé teszik a vektorokból összeállított kifejezések átalakítását az algebra szokásos szabályai szerint: nyithatunk zárójeleket, hozhatunk hasonló kifejezéseket, átvihetünk néhány tagot az egyenlőség másik részébe ellenkező előjellel stb.

1. példa

Bizonyítsuk be az egyenlőségeket:

és megtudja, mi a geometriai jelentésük.

Megoldás. a) Az egyenlőség bal oldalán kinyitjuk a zárójeleket, hasonló kifejezéseket adunk, a jobb oldalon vektort kapunk. Magyarázzuk meg ezt az egyenlőséget geometriailag. Adjunk meg két vektort, tegyük félre a közös origót, és nézzük a paralelogrammát és átlóit, kapjuk:

2. § Vektorok lineáris kombinációja

Vektor alapon a síkon és a térben.

1. definíció.vektorok lineáris kombinációja,, ezeknek a vektoroknak a szorzatának összege néhány számmal,,:++.

2. definíció.vektor alapú ezen a síkon bármely nem-kollineáris vektorpárt meghívunk egy adott síkban.

A vektort az első bázisvektornak, a második vektornak nevezzük.

A következő tétel igaz.

1. tétel. Ha az alap ,– vektor alapú egy síkban, akkor ennek a síknak bármely vektora ábrázolható, és ráadásul az egyetlen módja, bázisvektorok lineáris kombinációjaként: = x + y. (*)

3. definíció. Az egyenlőség(*) neve , és az x és y számok vektor koordináták az alapban,(vagy az alapot illetően,). Ha előre világos, hogy melyik alapról van szó, akkor röviden írják: = (x, y). A vektor koordinátáinak a bázishoz viszonyított meghatározásából az következik, hogy az egyenlő vektorok megfelelően egyenlő koordinátákkal rendelkeznek.

Két vagy több térbeli vektort nevezünk egysíkú, ha párhuzamosak ugyanabban a síkban vagy abban a síkban fekszenek.

4. definíció.vektor alapú a térben tetszőleges három vektort nevezünk , ,.

Ebben az esetben a vektort az első bázisvektornak, a másodiknak és a harmadiknak nevezzük.

Megjegyzés. egy. Három = (),= () és = () vektor képezi a tér alapját, ha a koordinátáikból álló determináns nem nulla:

.

2. A determinánsok elméletének főbb rendelkezéseit és azok kiszámításának módját az 1. „lineáris algebra” modul tárgyalja.

2. tétel. Hadd , , egy vektorbázis a térben. Ekkor bármilyen térbeli vektor ábrázolható, ráadásul egyedi módon, bázisvektorok lineáris kombinációjaként. , és:

X+y+z. (**)

5. definíció. Az egyenlőséget (**) nevezzük a vektor kiterjesztése a bázis szempontjából,,, és az x, y, z számok a bázisban lévő vektor koordinátái (összetevői) , ,.

Ha előre világos, hogy melyik alapról van szó, akkor röviden írják: = (x, y, z).

6. definíció. Alap , , nak, nek hívják ortonormális, ha a vektorok , , páronként merőlegesek és egységnyi hosszúságúak. Ebben az esetben a ,, jelölést veszik át.

Műveletek a koordinátáikkal megadott vektorokon.

3. tétel. Válasszunk egy vektorbázist a síkon , és vektoraihoz képest és koordinátáikkal adjuk meg: = (),= ().

Akkor =(),=( ), azaz vektorok összeadásakor vagy kivonásakor az azonos nevű koordinátáikat összeadjuk vagy kivonjuk; = ( ;), azaz. ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a koordinátáit megszorozzuk ezzel a számmal.

Kollinearitási feltétel két vektorra

4. tétel. Egy vektor akkor és csak akkor kollineáris egy nem nulla vektorral, ha a vektor koordinátái arányosak a vektorát megfelelő koordinátáival.e.

Hasonlóan hajtjuk végre a térbeli koordinátáik alapján megadott vektorok lineáris műveleteit.

1. példa Legyenek adottak az = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) vektorok valamilyen vektorbázisban , ,. Keresse meg a 2+3-4 lineáris kombináció koordinátáit!

Megoldás. Vezessük be a lineáris kombináció=2+3+(-4) jelölését.

Lineáris kombinációs együtthatók =2,=3,=-4. Ezt a vektoregyenlőséget = (x, y, z) = koordináta alakban írjuk fel:

2

Nyilvánvaló, hogy a vektorok lineáris kombinációjának minden koordinátája megegyezik az azonos nevű koordináták azonos lineáris kombinációjával, azaz.

x \u003d 2 1 + 3 3 + (-4) 1 \u003d 7,

y = 2 2+3 2+(-4) 0=10,

z=2(-1)+31+(-4)0=-3.

Vektor koordináták az alapban , , lesz:

Válasz:= {7,10,-3}.

Általános (affin) derékszögű koordinátarendszer

7. definíció. Legyen O valami fix pont, amit el fogunk nevezni kezdet.

Ha M tetszőleges pont, akkor a vektort hívjuk sugárvektor M pont az M pont origójához, röviden az M pont sugárvektorához képest.

Derékszögű (affin) koordináták egy egyenesen

Adjunk meg valamilyen egyenest a térben l. Válasszuk ki az ezen a vonalon fekvő O origót. Ezen kívül a vonalon választunk l nem nulla vektor, amelyet bázisvektornak nevezünk.

8. definíció. Legyen az M pont az l egyenesen. Mivel a vektorok kollineárisak, akkor = x, ahol x valamilyen szám. Ezt a számot hívjuk koordináta pont M az egyenesen.

Az O origónak pozitív vagy negatív koordinátái vannak, attól függően, hogy a vektorok iránya azonos vagy ellentétes. Azt az egyenest, amelyen a koordinátákat koordinátatengelynek vagy OX tengelynek nevezzük.

A koordináták bevezetése egy egyenesre egyetlen x számnak felel meg, és fordítva, van egy egyedi M pont, amelynek ez a szám koordinátája.

Descartes (affin) koordináták a síkon.

Az O síkon két nem kollineáris u vektort választunk, amelyek valamilyen alapot képeznek. Nyilvánvaló, hogy a vektorok hossza eltérő lehet.

9. definíció. Az O pont halmaza (0;;) és a vektorbázis , hívott Descartes (affin) rendszer a felszínen.

Két O-n áthaladó és a vektorokkal párhuzamos egyenes , koordinátatengelyeknek nevezzük. Közülük az elsőt általában abszcissza tengelynek nevezik, és Ox jelöléssel, a másodikat az ordináta tengelyével jelölik, Oy jelöléssel.

Mindig a megfelelő koordinátatengelyeket fogjuk ábrázolni és azokon fekve.

10. definíció.pont koordinátái M a síkon a derékszögű (affin) koordinátarendszerhez (0;;) képest sugárvektorának koordinátáinak nevezzük a következő alapján:

X + y, akkor az x és y számok M koordinátái lesznek a derékszögű (affin) koordinátarendszerhez (0;;) viszonyítva. Az x koordinátát hívják abszcissza M pont, y koordináta ordináta pont M.

Tehát ha egy koordinátarendszert választunk, (0;;) a síkon, akkor a sík minden M pontja egyetlen M pontnak felel meg a síkon: ez a pont a vektor vége

A koordinátarendszer bevezetése alapozza meg az analitikus geometria módszerét, melynek lényege, hogy minden geometriai probléma az aritmetikai vagy algebrai feladatokhoz.

11. definíció.Vektor koordináták a síkon a derékszögű koordinátarendszerhez képest (0;;) ennek a vektornak a koordinátáit nevezzük a bázisban,.

A vektor koordinátáinak megtalálásához ki kell bontania a bázis szempontjából:

X+y, hol együtthatók x,yés a vektor koordinátái lesznek ehhez képest Descartes-rendszer {0;;}.

Derékszögű (affin) koordinátarendszer a térben.

Rögzítsünk egy O(kezdet) pontot a térben, és válasszunk egy vektorbázist

12. definíció. A gyűjtemény (0;;;) meghívásra kerül Derékszögű koordinátarendszerűrben.

13. definíció. Három O-n átmenő és a vektorokkal párhuzamos egyenes , ,, hívott koordináta tengelyekés jelölje rendre Oz, Oy, Oz. Mindig vektorokat fogunk ábrázolni , a megfelelő tengelyeken fekve.

14. definíció.pont koordinátái M a térben a derékszögű koordinátarendszerhez viszonyítva (0;;;) sugárvektorának koordinátáinak nevezzük ebben a rendszerben.

Más szóval, az M pont koordinátái három x, y, z szám, az M pont abszcissza és ordinátája; a harmadik z koordinátát az M pont applikációjának nevezzük.

A derékszögű koordinátarendszer térbeli bevezetése lehetővé teszi, hogy egy az egyhez megfeleltetést állapítsunk meg a tér M pontjai és az x, y, z számok rendezett hármasai között.

15. definíció.Vektor koordináták térben a derékszögű koordinátarendszerhez viszonyítva (0;;;) ennek a vektornak a koordinátái a bázisban;;.

2. példa

Adott az A(-2;1),B(1;3),C(4;0) paralelogramma három egymást követő csúcsa. Keresse meg a negyedik koordinátáját D. A koordinátarendszer affin.

Megoldás.

A vektorok egyenlőek, ami azt jelenti, hogy koordinátáik egyenlőek (egy lineáris kombináció együtthatói):

= (3;2), =(4-x;-y); . Tehát D(1;-2).

Válasz: D(1;-2).

Lineáris függőség. Az alap fogalma

16. definíció. Vektorok, ún lineárisan függő, ha vannak számok

A vektorok lineáris függésének ez a definíciója ezzel ekvivalens: a vektorok lineárisan függőek, ha az egyik a többi lineáris kombinációjaként ábrázolható (vagy kiterjeszthető a többire).

A vektorokat lineárisan függőnek nevezzük, ha a (***) egyenlőség csak abban az esetben lehetséges, ha

A lineáris függőség fogalma nagy szerepet játszik a lineáris algebrában. A vektoralgebrában a lineáris függésnek egyszerű geometriai jelentése van.

Bármely két kollineáris vektor lineárisan függ, és fordítva, két nem kollineáris vektor lineárisan független.

Három koplanáris vektor lineárisan függ, és fordítva, három nem egysíkú vektor lineárisan független.

Minden négy vektor lineárisan függő.

17. definíció. Három lineárisan független vektort nevezünk a tér alapja azok. bármely vektor ábrázolható néhányként.

18. meghatározás. Két, egy síkban elhelyezkedő lineárisan független vektort nevezünk repülőgép alapon, azok. bármely ebben a síkban elhelyezkedő vektor vektorok lineáris kombinációjaként ábrázolható.

Feladatok az önálló döntéshez.

vektorokat, hogy megtalálja a koordinátákat ezen az alapon.

6. előadás

A …, vektorokat lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak , , … számok, amelyek között van legalább egy, amely nem egyenlő nullával, így

A számok vektorok szerinti szorzatának összege, azaz. vektor

vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

Ha egy vektort vektorok lineáris kombinációjaként ábrázolunk, akkor azt is mondjuk, hogy a vektort vektorokra bontjuk.

A vektorok lineáris függésének fenti definíciója ezzel ekvivalens: a vektorok akkor lineárisan függőek, ha az egyik a többiek lineáris kombinációjaként ábrázolható (vagy a többivel bővíthető).

1. tétel. Két vektor esetén és ahhoz, hogy lineárisan függjenek, szükséges és elegendő, hogy kollineárisak legyenek.

Bizonyíték szükség. Adott: vektorok és lineárisan függőek. Bizonyítani kell, hogy kollineárisak. Mivel a és vektorok lineárisan függőek, vannak olyan számok és számok, amelyek nem egyenlőek nullával, és olyanok, hogy

Legyen például ; akkor

ebből következik, hogy a és vektorok kollineárisak.

Adott: vektorok és kollineárisak. Be kell bizonyítani, hogy lineárisan függenek.

Ha , akkor az egyenlőség teljesül, ami azt jelenti, hogy a és vektorok lineárisan függenek.

Ha , akkor feltételezve azt találjuk , vagy ; ezért a vektorok és lineárisan függőek.

Három vektort egysíkúnak mondunk, ha ugyanabból a pontból ábrázolva ugyanabban a síkban fekszenek.

2. tétel. Ahhoz, hogy három , , vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy egy síkban legyenek.

Adott: a , , vektorok lineárisan függőek. Be kell bizonyítanunk, hogy egy síkban vannak.

Mivel a , , vektorok lineárisan függőek, vannak , , számok, amelyek között van legalább egy ; oly módon, hogy

Legyen például ; akkor

A és vektorok kollineárisak a és vektorokhoz; ezért az ilyen vektorok összege, azaz. a vektor egy síkban lesz az és vektorokkal.

Az elégséges igazolás. Adott: a , , vektorok egysíkúak. Be kell bizonyítani, hogy ezek a vektorok lineárisan függőek.

Ha a és vektorok kollineárisak, akkor lineárisan függenek (e szakasz 1. tétele), azaz. vannak és számok, amelyek közül legalább egy nem egyenlő nullával, és olyan, hogy , de akkor és , azaz. a , , vektorok lineárisan függenek .

Legyenek a és a vektorok nem kollineárisak. Tegye félre a vektorokat , és ugyanabból a pontból O:

Mivel a , , vektorok egysíkúak, a pontok O, ugyanabban a síkban fekszenek. Vetítsen egy pontot az egyenessel párhuzamos egyenesre; hagyja R ez a vetítés. Akkor és azóta

akkor, feltételezve

vagyis a , , vektorok lineárisan függőek.

3. tétel. Bármely négy , , , vektor a térben lineárisan függ.

Bizonyíték. Tegyük fel, hogy a , , vektorok nem egysíkúak. Tegye félre az összes , , , vektort ugyanabból a pontból O:

Hadd R- pont vetítése egy egyenessel párhuzamos síkra, és - pont vetítése R egyenessel párhuzamos egyenesen. Akkor .

A vektorok rendre kollineárisak a , és a vektorokkal. Feltételezve ; ; kap ; ;

és innen:

azok. a , , , vektorok lineárisan függőek.

4. tétel. Két nullától eltérő vektorhoz és ahhoz, hogy kollineárisak legyenek, szükséges és elegendő, hogy a koordinátáik arányosak legyenek.

Bizonyítsuk be a tételt arra az esetre, amikor a vektorok a térbeli közös derékszögű koordinátarendszerhez viszonyított koordinátáikkal vannak megadva.

a szükségesség bizonyítéka. Adott: vektorok ; és kollineáris. Bizonyítani kell, hogy koordinátáik arányosak.

Mivel, feltételezve, hogy megkapjuk, i.e.

Az elégséges igazolás. Adott: vektorok koordinátái

arányos. Be kell bizonyítani, hogy ezek a vektorok kollineárisak.

Legyen ; azaz , vagy , és ezért a és vektorok kollineárisak.

5. tétel. Annak érdekében, hogy két és vektor koordinátái alapján megadva a síkon a közös derékszögű koordinátarendszerhez

vagy a térben közös derékszögű koordinátarendszerhez viszonyítva

kollineárisak, szükséges és elegendő ez

(repülőgép esetén),

(hely esetén).

Bizonyítsuk be a tételt arra az esetre, amikor a és vektorok koordinátáikkal vannak megadva az általános derékszögű térbeli koordinátarendszerhez képest.

a szükségesség bizonyítéka. Adott: vektorok és kollineárisak. Bizonyítani kell, hogy a kapcsolatok

Ha a vektorok nullától eltérőek és kollineárisak is, akkor a koordinátáik arányosak, ezért ezek az egyenlőségek teljesülnek (az a determináns, amelyben két sor arányos, nullával egyenlő). Ha vagy (vagy ==0), akkor ez az egyenlőség nyilvánvaló.

Az elégséges igazolás. Adott, hogy ezek a kapcsolatok teljesülnek. Be kell bizonyítani, hogy a és vektorok kollineárisak.

Ha (azaz =0), akkor a és vektorok kollineárisak (mivel a nulla vektor kollineáris bármely vektorhoz). Legyen legalább az egyik szám nullától eltérő, például . Legyen ; akkor és a vagy relációból (kibővítve a determinánst) azt találjuk, hogy a térbeli közös derékszögű koordináta-rendszerhez viszonyított koordinátáik alapján akkor és csak akkor tartozik egy egyeneshez, ha az összefüggések teljesülnek.

3. következmény. A közös térbeli derékszögű koordinátarendszerhez viszonyított koordinátáikkal adott , , , , pontok akkor és csak akkor tartoznak ugyanahhoz a síkhoz, ha a vektorok ; ; egysíkú, azaz ha, és csak akkor ha .