Polinom együtthatók. Tömbök Köbös polinom együtthatóinak befolyása a gráfra

Ha polinomhoz n-edik fokozat talált egy gyököt, akkor csökkentheti a polinom fokát egy olyan fokszámú polinom megszerkesztésével, amelynek minden gyöke megegyezik a polinom gyökével, kivéve, hogy nincs gyöke.

Írjuk fel a polinomokat összekötő összefüggést:

Figyelembe véve a két azonos fokú polinom egyenlőségére vonatkozó 6.3 relációt, kiírhatunk egy összefüggést, amely összeköti ezen polinomok együtthatóit. Ezeket az összefüggéseket nem nehéz feloldani ismeretlen együtthatók tekintetében. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

(6.4)

Megjegyzendő, hogy csak ismeretlenek vannak, és egyenletek is felállíthatók -. De az utolsó egyenlet az előzőek következménye, és a számítások ellenőrzésére szolgál.

Ugyanezt a folyamatot alkalmazhatja egy új polinomra is – keresse meg a gyökerét, majd csökkentse a polinom fokát. Valójában a fok csökkentése nem egyszerűsíti le nagymértékben a gyökkeresés problémáját, így gyakran könnyebb megtalálni az eredeti polinom gyökereit megváltoztatással. kezdeti közelítések iteratív folyamatban vagy különböző intervallumok keresésével, amelyeknél a polinom előjelet vált.

Egy polinom együtthatóinak megkeresése a gyökei alapján

Eddig azt a problémát vizsgáltuk, hogy egy adott együtthatójú polinom gyökereit találjuk meg. Néha meg kell oldani az inverz problémát – meg kell találni egy polinom együtthatóit, ha ismertek a gyökerei – . Végtelen sok azonos gyökű polinom létezik. Van azonban köztük egyetlen olyan polinom, amelynek együtthatója eggyel egyenlő. Ezt a polinomot redukáltnak nevezzük, és meg fogjuk építeni. Az összes többi polinomot a redukált polinomból úgy kapjuk meg, hogy az összes együtthatót megszorozzuk tetszőleges szám, amelyből csak az kell, hogy ne legyen egyenlő nullával. Ezért a feladat egyedi megoldásához be kell állítani n gyöket és az együtthatót a polinom legmagasabb tagjánál. Ekkor felírhatjuk a következő egyenlőséget:

A polinom együtthatóinak megtalálásához szokás szerint a 6.3 relációt használjuk. De közvetlenül alkalmazni nehéz. Ezért a folyamatot fordítottan használjuk a fokozatcsökkentés folyamatához. Először is alkossunk egy elsőfokú polinomot, amelynek egyetlen gyöke van. Ezután növeljük a fokot, és megszerkesztjük a másodfokú polinomot - , amelynek van még egy gyöke - . Ezt a folyamatot folytatva elérjük a szükséges polinomot. Egy új polinom együtthatóinak kiszámításakor a már kiszámított polinom együtthatóit fogjuk használni egy fokkal kevesebbel. A kapott összefüggések közel állnak a polinom fokszámának csökkentésére megadottakhoz.

Az elsőfokú polinom együtthatói kifejezetten ki vannak írva:

Polinom együtthatók k-edik fokozat a k-1 fokú polinom együtthatóival számítják ki:

Az együtthatókra áttérve a következő egyenleteket kapjuk:

(6.5)

A 6.5 relációban a fokpolinom együtthatóit jelöljük. Valójában a séma biztonságos, és lehetővé teszi az együtthatók kiszámítását ugyanazon a helyen anélkül, hogy további memóriát igényelne. A C# nyelvhez közeli séma formájában megadok egy algoritmust egy polinom együtthatóinak a gyökök alapján történő kiszámítására.

Kiszámítja:

//Számítsd ki az a= 1 elsőfokú polinom együtthatóit; a = -x; //ciklus a polinomok számán for(int k=2;k<=n; k++) { //Вычисляем коэффициенты полинома степени k //Вначале старший коэффициент a[k]= a; //затем остальные коэффициенты, кроме последнего for(int i=k-1;i>0; i--) ( a[i] = a- a[i]*x; ) //most alacsony együttható a= -a*x; ) //Az utolsó lépés az együtthatók szorzása egy for(int i=0; i-vel<=n; i++) a[i] = a[i]*an;

Lagrange polinom

Legyen adott egy pont a síkon: . A Lagrange-polinom egy n-edik fokú polinom, amely minden ponton áthalad. Ha a pontok nem képeznek visszatérést, akkor egy ilyen polinom létezik és egyedi. A visszatérés alatt azt a helyzetet értjük, amikor két pont van és olyan, hogy .

Hogyan készítsünk ilyen polinomot? Lagrange a következő algoritmust javasolta. A polinom az n-edik fokú polinomok összegeként épül fel:

Az összegben szereplő minden polinom a következőképpen épül fel. A polinom gyökei mind pontok, kivéve a pontot. Az egyediséget az a tény biztosítja, hogy a legmagasabb an tag együtthatóját úgy választjuk meg, hogy a polinom áthaladjon a ponton. A Lagrange-jelölésben a polinom így néz ki.

LAB #7

FÜGGVÉNY INTERPOLÁLÁSA POLINÓMOK ÁLTAL

LAGRANGE

Gyakorlat. Számítsa ki a függvény közelítő értékét az x* argumentum adott értékéhez a Lagrange interpolációs polinom segítségével; ábrázoljuk a Lagrange-polinomot a megadott hat ponton keresztül.

A módszer rövid leírása.

Kezdjük azzal, hogy megvizsgáljuk az interpoláció problémáját az algebrai polinomokkal történő interpoláció legegyszerűbb és legteljesebben tanulmányozott esetében. adott adattáblázathoz)

interpolációs polinom ha megfelel a feltételeknek

A (7.2) egyenlőség felírható egyenletrendszerként

a polinom együtthatói tekintetében a to. Ez a rendszer egyedülállóan megoldható, hiszen az 1. függvényrendszer, x, x 2,…x n lineárisan független az x 0 pontokban, x és .x p. A (7.3) rendszer egyedi megoldhatósága abból a jól ismert tényből következik, hogy ennek a rendszernek a determinánsa ( Vandermonde meghatározó)

nem nulla, ha az interpolációs csomópontok páronként különböznek egymástól. Így igaz a következő tétel.

7.1. Tétel.Létezik egy egyedi n fokú interpolációs polinom, amely kielégíti a feltételeket(7.2).

Megjegyzés. A gyakorlatban a (7.3) rendszert soha nem használják az interpolációs polinom együtthatóinak kiszámítására. Az a tény, hogy gyakran rosszul kondicionált. Ezen túlmenően az interpolációs polinom felírásának számos kényelmes explicit formája létezik, amelyeket az interpoláció során használnak. Végül az interpolációs polinom legtöbb alkalmazásában az együtthatók explicit számítása a to nincs szükség.

Interpolációs probléma feltételt kielégítő (x) függvény megalkotásából áll. Más szóval a feladat egy olyan függvény megalkotása, amelynek gráfja átmegy az adott pontokon (x i ,y i) Mivel az (x) függvény minden megadott ponton áthalad, ez a módszer hívott globális interpoláció. A legegyszerűbb és legteljesebben vizsgált eset az algebrai polinomokkal történő interpoláció. Az interpolációs polinom felírásának egyik formája -Lagrange polinom:

Amint az könnyen belátható, egy polinom, amely megfelel a feltételeknek

Így a Lagrange-polinom valóban interpolációs polinom.

A mérnöki gyakorlatban leggyakrabban az első, második és harmadik fokú polinomok interpolációját használják. Íme a megfelelő képletek az első és a második fokú Lagrange-polinom írásához:

7.1. példa. Adjuk meg a függvényértékek táblázatát nál nél=lnx:

x	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
Nál nél	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,336472

Az ln(1.23) érték közelítő kiszámításához lineáris és másodfokú interpolációt használunk.

Vegyünk x 0 \u003d 1,2 és x 1 \u003d 1,3. A (7.4) képlettel számolva az 1n(1.23) 0.206335 értéket kapjuk.

A másodfokú interpoláció alkalmazásához vegyen x 0 \u003d 1,1, x 1 \u003d 1,2, x 2 \u003d 1,3 - az x ponthoz legközelebb eső három \u003d 1,23

csomópont. A (7,5) képlettel számolva 1n(1,23) 0,207066-ot kapunk.

Bizonyítás nélkül mutassuk be az interpolációs hibáról szóló leghíresebb tételt.

7.1. Tétel. Hagyja a függvényt f(x) megkülönböztethető n+1

egyszer egy szegmensben [a, b], interpolációs csomópontokat tartalmazó Majd a pont interpolációs hibájára tisztességes egyenlőség

ahol

- intervallumhoz tartozó néhány pont (a, b).

Ennek a tételnek a használatában a fő kellemetlenség az, hogy a lényeg ismeretlen. Ezért leggyakrabban nem magát a tételt használják, hanem annak következményeit.

Következmény.A pont interpolációs hibájának valós becslése , amelynek a formája

valamint a szegmens interpolációs hiba maximális modulusának becslése, amelynek alakja van

7.2. példa. Becsüljük meg a közelítések hibáját!

ln(1,23), amelyet a 7.1. példában kaptunk, első és második fokú polinomok interpolációjával. Ezekben az esetekben a (7.7) egyenlőtlenség formát ölt

Ne feledje, hogy nálunk és . Ezért itt

Ekkor a (7.9) és (7.10) egyenlőtlenségek miatt a következő hibabecsléseket kapjuk:

Ha a szegmensen , a derivált kissé változik, akkor az abszolút hiba nagyságát szinte teljesen meghatározza a függvény értéke. Ennek a funkciónak a tipikus viselkedéséről képet kaphatunk az 1. ábrán. 1. Figyeljünk arra, hogy amikor az x argumentum túllép a megfigyelési szegmensen, az érték gyorsan nagyon nagy lesz. Ez megmagyarázza a függvény extrapolációjának megbízhatatlanságát olyan argumentumértékek esetében, amelyek messze vannak a megfigyelési szegmenstől.

Hagyjuk most és hagyjuk én a táblázat . lépésében, és kissé durvább becsléssel (7.8) a következő egyenlőtlenséget kaphatjuk

Lehetővé teszi, hogy kijelenthessük, hogy az interpolációs polinom egy fix fokához kellően sima függvény esetén az [x 0 , x n ] szakaszon az interpolációs hiba nem lassabb, mint valamely -vel arányos érték. Ezt a tényt általában a következőképpen fogalmazzák meg: interpoláció fokszámú polinom szerint P(n+1)-edik pontosságú a h max -hoz képest. Különösen a lineáris és a másodfokú interpoláció a pontosság második és harmadrendje.

Lehetőségek	x*	x i	y i	Lehetőségek	x*	x i	y i
	0,702	0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973		0,152	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
	0,512		0,174
	0,645		0,185
	0,736		0,203
	0,526	0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64	2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310		0,616	0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72	2,57418 2,32513 2,09336 1,?6203 1,74260 1,62098
	0,453		0,478
. 15	0,482		0,665
	0,552		0,537
	0,896	0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99	0.80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368		0,314	0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0.40	9,05421 6,61659 4,69170 3,35106 2,73951 2,36522
	0,812		0,235
	0,774		0,332
	0,915		0,275

Program algoritmus

Használjon modulokat katódsugárcsőés grafikon;

változók meghatározása;

a program végrehajtható részének eleje

az x[i] és y[i] tömbelemek értékeinek beállítása; az xz argumentum értékének beállítása; yz = 0; ciklusban én 0-tól 5-ig

| ciklusban ] 0-tól 5-ig hajtsa végre, ha * / akkor |xx =xx (хz - x[j]/(x[i]-x[j]);

| yz=yz+y[i] x x

ciklus vége én;

értékek megjelenítése xzés uz;.

várja az Enter billentyűt;

váltson grafikus módba;

adott pontok képe (х i , у i);

a Lagrange-polinom gráfjának képe;

a program végén várja, hogy bármelyik billentyűt lenyomják.

Utasítás. Ha grafikus módban dolgozik, használja a korábbi laborok programjait.

tesztkérdések

1. Mi a feladata az interpolációnak?

2. Melyik polinomot nevezzük interpolációs polinomnak?

3. Mi a különbség a globális és a lokális interpoláció között?

4. Hogyan függ a Lagrange-interpolációs polinom mértéke a csomópontok számától?

5. Hány olyan polinom van, amely teljesíti az interpolációs feltételt?

6. Milyen hátrányai vannak a Lagrange-interpolációs polinomnak?

7. Hogyan becsülik meg az interpolációs hibát?

8. Hogyan változik az interpolációs pontosság a megfigyelési szakasztól való távolság függvényében, és miért?

A jelentésnek tartalmaznia kell a kiindulási adatokat, a problémafelvetést, a megoldási módra vonatkozó információkat, a program szövegét, a kapott eredményeket és a grafikont.

Görbék és felületek illesztése az adatokhoz regresszió, interpoláció és simítás segítségével

A Curve Fitting Toolbox™ alkalmazást és funkciókat biztosít görbék és felületek adatokhoz illesztéséhez. Az eszköztár lehetővé teszi feltáró adatelemzés elvégzését, az adatok elő- és utófeldolgozását, a jelölt modellek összehasonlítását és a kiugró értékek eltávolítását. Futtathat regressziós elemzést a rendelkezésre álló lineáris és nemlineáris modellek könyvtárával, vagy meghatározhatja saját egyenleteit. A könyvtár optimalizált megoldóparamétereket és kiindulási feltételeket biztosít az illeszkedések minőségének javítása érdekében. Az eszköztár támogatja a nem paraméteres modellezési technikákat is, például a spline-eket, az interpolációt és a simítást.

Az illeszkedés létrehozása után számos utófeldolgozási technikát lehet alkalmazni az ábrázoláshoz, az interpolációhoz és az extrapolációhoz; konfidencia intervallumok becslése; valamint integrálok és deriváltak kiszámítása.

A munka kezdete

Tanulja meg a görbeillesztő eszköztár alapjait

Lineáris és nemlineáris regresszió

Illessze a görbéket vagy felületeket lineáris és nemlineáris könyvtári modellekkel és egyedi modellekkel

Interpoláció

Illessze az interpolációs görbéket vagy felületeket, becsülje meg az értékeket az ismert adatpontok között

Simítás

Megfelelően használható simító rések és lokalizált regresszió, simított adatok mozgóátlaggal és egyéb szűrőkkel

Megfelelő utófeldolgozás

Ábrázolás, kiugró értékek, maradékok, konfidencia intervallumok, érvényesítési adatok, integrálok és származékok, MATLAB® kód generálása

Splinek

Spline létrehozása adatokkal vagy anélkül; ppform, B-form, tenzorszorzat, racionális és stform vékony lemez spline

Polinom együtthatók

Multinomiális esélyek a bővítés együtthatói monomokban kifejezve :

A multinomiális együttható értéke minden nem negatív egész számra definiálva nés olyan, hogy:

Binomiális együttható a nem negatívhoz n,k a multinomiális együttható speciális esete (for m= 2 ), nevezetesen

Kombinatorikus értelemben a multinomiális együttható egyenlő a rendezett partíciók számával n-elem bekapcsolva m teljesítmény részhalmazok.

Tulajdonságok

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mik a "polinom együtthatók" más szótárakban:

- (az angol spline-ból, spline-ből rugalmas minta, íves vonalak rajzolására használt fémcsík) olyan függvény, amelynek definíciós tartománya véges számú szegmensre van felosztva, amelyek mindegyikén a spline egybeesik néhány ... ... Wikipédia

Multinomiális (polinomiális) együtthatók együtthatók monomiális expanzióban: Explicit formula A multinomiális együttható értéke ... Wikipédia

A "polinom" ide irányít át; lásd még más jelentéseket is. Az n változóban lévő polinom (vagy polinom) véges formális összege annak az alaknak, ahol van nemnegatív egész számok halmaza (úgynevezett többindex), a szám ... ... Wikipédia

A matematikában a polinomok vagy polinomok egy változóban olyan alakú függvények, ahol ci fix együtthatók, x pedig változó. A polinomok az elemi függvények egyik legfontosabb osztályát alkotják. A polinomiális egyenletek és megoldásaik tanulmányozása ... ... Wikipédia

Egy t sorból és n oszlopból álló téglalap alakú táblázat, melynek elemei valamilyen K halmazhoz tartoznak. Az (1) táblát ún. egy K feletti mátrixot, vagy egy K feletti méretű mátrixot is. Legyen az összes mátrix gyűjtése K felett. Ha m = n, akkor (1) hívjuk négyzet ... ... Matematikai Enciklopédia

Megjegyzendő, hogy abban az esetben, ha egy nemlineáris elem karakterisztikáját háromnál több pontot tartalmazó kifejezéssel közelítjük, ajánlatos a függvény értékét az argumentum egyenlő távolságú értékeivel választani. Ezen túlmenően, ha az adott pontok száma meghaladja a meghatározandó közelítési együtthatók számát, akkor javasolt a „legkisebb négyzetek módszere” alkalmazása, amelyben a négyzetes hiba minimális, i. ezzel a módszerrel egy adott fokú polinom görbétől való eltérésének négyzetes összege a legkisebb.

Ennek megfelelően a meglévő számítógépes programok ellenére célszerű egy rövid receptet adni ennek a módszernek az alkalmazására, amely lehetővé teszi a hallgató számára, hogy megértse a módszer matematikai lényegét, és egyszerű mikrokalkulátorok segítségével optimálisan rövid idő alatt elvégezzen bármilyen közelítést. idő.

Megjegyzendő, hogy a legracionálisabb egy polinom együtthatóit a legkisebb négyzetek módszerével kiszámítani, Yu.B. Kobzarev ortogonális polinomok adott számú N egyenlő távolságú pontjaihoz.

Jelölje fokpolinommal l. Ekkor a polinomok rendszere ortogonális lesz adott számú pontra, ha van ilyen
egyenlőség

. (16)

A jól ismert ortogonális Csebisev-polinomok felhasználásával Yu.B. módszere szerint. Kobzarev megtalálta mind a hét polinomot, amelyek ilyen rendszert alkotnak a szakaszon
N=11 egyenlő távolságra lévő pontra, azaz. nál nél
; –0,8; … 0 … 0,8; 1.0-val rendelkezünk:

(17)

Az ortogonális polinomok rendszerének (17) megvan az a figyelemreméltó tulajdonsága, hogy bármely adott függvény kibontása a legkisebb négyzetek értelmében adja a legjobb közelítést. Ezért például a feszültségátviteli együttható (18) kifejezése helyett
ismeretlen együtthatókkal a fenti polinomok (19) összegeként írható fel:

(18)

. (19)

Itt R a polinom foka; R a tag számával egyenlő egész szám; dimenzióval rendelkező együttható
, amit a rend meredekségének nevezhetünk R, azaz nulladrendű meredekség van, - első rendelés stb.

Az itt szereplő érték x feszültséggel arányos
, a közelítő szakasz közepétől számítva
, azaz amikor megváltozik
belül
,x-1 és 1 között változik, tehát

. (20)

Az együttható meghatározásához
a (19)-ben az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk a polinommal
és összegezzük az összes pontot . Ezután a (16) ortogonalitás tulajdonságot felhasználva azt találjuk

. (21)

, (22)

ahol
a normalizált polinom

. (23)

Mivel a nulla csomópont a közelítési szakasz bal végének felel meg, azaz.
, akkor a (22) összeg kényelmesen felosztható összegekre, ahol x<0 и x>0, mivel a páros polinomok ( R= 0, 2, 4, 6) nem különböznek ezeken a területeken, és páratlan ( R=1, 3, 5, 7) csak előjelekben különböznek. Ezzel kapcsolatban tanácsos bevezetni egy páratlant
sőt még
nyereség összetevők Nak nek:

(24)

ahol
- lépést váltani x(a mi esetünkben N=11
);

- a nyereség értéke pontokban
.

Most a pozitív és negatív értékek feletti összegek helyett az erősítés páros és páratlan összetevőivel csak pozitív összegeket vehetünk fel. Akkor

(25)

Összegzés a táblázatban. Normalizált polinomok 1 együttható értékei
és ezek felhasználásával könnyen megtalálhatjuk az együtthatókat
a (25) képletek szerint, majd a (19)-ben csoportosítsa a kifejezéseket hatványok szerint xés térjünk át az erősítésnek polinom alakban való ábrázolására hatványokban
. Ennek a polinomnak az együtthatóit a legjobb módon választjuk meg a legkisebb négyzetek értelmében, amelyben a kísérleti görbe
gyakorlatilag egybeolvad az elméleti görbével
.

Megfontoljuk a harmonikus elemzésben használt polinom együtthatóinak kiszámítását, hogy meghatározzuk a nemlinearitás együtthatóit és paramétereit, és végső soron az erősítő eszköz optimális módját egy konkrét példán keresztül.

Asztal 1