Alapdefiníció. Egy vektorrendszer akkor képez alapot, ha:

1) lineárisan független,

2) a tér bármely rajta áthaladó vektora lineárisan kifejeződik.

1. példa Tér alapja: .

2. A vektorok rendszerében vektorok az alapja: , mert vektorokkal lineárisan kifejezve .

Megjegyzés. Egy adott vektorrendszer alapjának megtalálásához a következőket kell tennie:

1) írja be a vektorok koordinátáit a mátrixba,

2) keresztül elemi átalakulások hozza a mátrixot háromszög alakúra,

3) nem nulla mátrix sorok lesznek rendszer alapja,

4) a bázisban lévő vektorok száma megegyezik a mátrix rangjával.

Kronecker-Capelli tétel

A Kronecker–Capelli-tétel kimerítő választ ad a konzisztencia kérdésére önkényes rendszer lineáris egyenletek ismeretlennel

Kronecker–Capelli tétel. Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszer kiterjesztett mátrixának rangja megegyezik a főmátrix rangjával, .

A konzisztens lineáris egyenletrendszer összes megoldásának megtalálására szolgáló algoritmus a Kronecker–Capelli-tételből és a következő tételekből következik.

Tétel. Ha a közös rendszer rangja egyenlő a számmal ismeretlen, akkor a rendszernek egyedi megoldása van.

Tétel. Ha a közös rendszer rangja számnál kisebb ismeretlen, akkor a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Algoritmus tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldására:

1. Határozza meg a rendszer fő és kiterjesztett mátrixainak rangsorait! Ha nem egyenlőek (), akkor a rendszer inkonzisztens (nincs megoldása). Ha a rangok egyenlőek ( , akkor a rendszer konzisztens.

2. Egy kompatibilis rendszerhez találunk néhány mollot, amelynek sorrendje határozza meg a mátrix rangját (az ilyen mollot alapnak nevezzük). Komponáljunk új rendszer azokból az egyenletekből, amelyekben az ismeretlenek együtthatói az alap-mollban szerepelnek (ezeket az ismeretleneket fő ismeretleneknek nevezzük), a többi egyenletet elvetjük. A főbb ismeretleneket együtthatókkal a bal oldalon hagyjuk, a fennmaradó ismeretleneket (ezeket szabad ismeretleneknek nevezzük) átvisszük az egyenletek jobb oldalára.

3. Keressük meg a fő ismeretlenek kifejezéseit a szabadok szempontjából! Megkapjuk a rendszer általános megoldását.

4. Tetszőleges értékeket adva a szabad ismeretleneknek, megkapjuk a fő ismeretlenek megfelelő értékeit. Így sajátos megoldásokat találunk az eredeti egyenletrendszerre.

Lineáris programozás. Alapfogalmak

Lineáris programozás A matematikai programozás egy olyan iránya, amely olyan extrém problémák megoldási módszereit tanulmányozza, amelyeket a változók közötti lineáris kapcsolat és a lineáris kritérium jellemez.

Szükséges állapot A lineáris programozás problémájának megfogalmazása az erőforrások elérhetőségére, a kereslet nagyságára, a vállalkozás termelési kapacitására és egyéb termelési tényezőkre vonatkozó korlátozások.

A lineáris programozás lényege, hogy megtaláljuk a legnagyobb ill a legkisebb érték néhány funkció bizonyos korlátozásokkal az argumentumokra és generátorokra vonatkozóan korlátozások rendszere , amelynek általában végtelen számú megoldása van. Minden változóérték-készlet (függvényargumentumok F ) amelyek kielégítik a kényszerrendszert, ún elfogadható terv lineáris programozási problémák. Funkció F , amelynek maximuma vagy minimuma meg van határozva, nevezzük objektív funkció feladatokat. Elfogadható terv, amelyen a funkció maximumát vagy minimumát elérjük F , nak, nek hívják optimális terv feladatokat.

A tervek halmazát meghatározó korlátrendszert a termelés feltételei határozzák meg. Egy lineáris programozási probléma ( ZLP ) a legjövedelmezőbb (optimális) kiválasztása a megvalósítható tervek közül.

A lineáris programozási probléma általános megfogalmazása a következő:

Van néhány változó x \u003d (x 1, x 2, ... x n) és ezeknek a változóknak a függvénye f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , amely a nevet viseli cél funkciókat. A feladat kitűzve: a célfüggvény szélsőértékének (maximumának vagy minimumának) megkeresése f(x) feltéve, hogy a változók x valamilyen területhez tartoznak G :

A funkció típusától függően f(x) és területek G és megkülönböztetni a matematikai programozás szakaszait: másodfokú programozás, konvex programozás, egész szám programozás stb. A lineáris programozásra jellemző, hogy
a) függvény f(x) egy lineáris függvény változók x 1, x 2, ... x n
b) régió G a rendszer határozza meg lineáris egyenlőtlenségek vagy egyenlőtlenségek.

A vektorok lineáris kombinációja egy vektor
, ahol λ 1 , ... , λ m tetszőleges együtthatók.

Vektoros rendszer
lineárisan függőnek nevezzük, ha létezik a lineáris kombinációja egyenlő , amelynek legalább egy nullától eltérő együtthatója van.

Vektoros rendszer
lineárisan függetlennek nevezzük, ha bármelyikében lineáris kombináció egyenlő , minden együttható nulla.

A vektorrendszer alapja
annak nem üres, lineárisan független alrendszerét hívjuk, amelyen keresztül a rendszer bármely vektora kifejezhető.

2. példa Keresse meg a vektorrendszer alapját! = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3), és fejezzük ki a fennmaradó vektorokat a bázissal.

Megoldás: Készítünk egy mátrixot, amelyben ezeknek a vektoroknak a koordinátáit oszlopokba rendezzük. Lépcsőzetes formába hozzuk.

~
~
~
.

Ennek a rendszernek az alapját a vektorok alkotják ,,, amelyek megfelelnek a körökkel jelölt sorok vezető elemeinek. Vektoros kifejezéshez oldja meg az x 1 egyenletet +x2 +x4 =. Lineáris egyenletrendszerré redukálódik, amelynek mátrixát az eredetiből a megfelelő oszlop permutálásával kapjuk meg. , a szabad kifejezések oszlopa helyett. Ezért a rendszer megoldásához a kapott mátrixot lépcsőzetesen használjuk fel, elvégezve benne a szükséges permutációkat.

Sorra találjuk:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Megjegyzés 1. Ha több vektort kell kifejezni a bázison keresztül, akkor mindegyikhez létrejön a megfelelő lineáris egyenletrendszer. Ezek a rendszerek csak az ingyenes tagok oszlopaiban különböznek. Ezért ezek megoldására egy mátrixot lehet összeállítani, amelyben több szabad tag oszlop lesz. Ebben az esetben minden rendszer a többitől függetlenül megoldódik.

Megjegyzés 2. Bármely vektor kifejezéséhez elegendő csak az azt megelőző rendszer bázisvektorait használni. Ilyenkor nincs szükség a mátrix átformálására, elég egy függőleges vonalat a megfelelő helyre tenni.

2. feladat. Keresse meg a vektorrendszer alapját, és fejezze ki a többi vektort az alapon keresztül:

de) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

ban ben) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Alapvető döntési rendszer

Egy lineáris egyenletrendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tagja nulla.

Egy homogén lineáris egyenletrendszer alapvető megoldási rendszere a megoldási halmaz alapja.

Legyen adott egy inhomogén lineáris egyenletrendszer. Egy adotthoz társított homogén rendszer egy adottból úgy kapott rendszer, hogy minden szabad tagot nullára cserélünk.

Ha egy inhomogén rendszer konzisztens és határozatlan, akkor tetszőleges megoldása f н +  1 f о1 + ... +  k f о k , ahol f н egy konkrét megoldás heterogén rendszerés f o1 , ... , f o k a kapcsolódó homogén rendszer alapvető megoldási rendszere.

3. példa Keressen egy adott megoldást az 1. példában szereplő inhomogén rendszerre és alapvető rendszer a kapcsolódó homogén rendszer megoldásai.

Megoldás: Az 1. példában kapott megoldást vektor formában írjuk fel, és a kapott vektort a benne lévő szabad paraméterek és rögzített számértékek összegére bővítjük:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Azt kapjuk, hogy f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Megjegyzés. Hasonló módon oldódik meg a homogén rendszer alapvető megoldási rendszerének megtalálása.

3.1. Gyakorlat Keresse meg egy homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét:

de)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

3.2. GYAKORLAT. Keresse meg az inhomogén rendszer konkrét megoldását és a hozzá tartozó homogén rendszer alapvető megoldási rendszerét:

de)

b)

Lineáris függés és lineáris függetlenség vektorok.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

Csokoládés kocsi áll a közönség soraiban, és ma minden látogató kap egy édes párost - analitikus geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk egyszerre két részre terjed ki. felsőbb matematika, és meglátjuk, hogyan boldogulnak egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél Twixet! ... a fenébe is, vitatkozás hülyeség. Bár oké, nem pontozok, de a végén pozitív hozzáállás kellene a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, vektorok lineáris függetlensége, vektor alaponés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a "vektor" fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a "hétköznapi" vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem Gismeteóba: - hőmérséklet és Légköri nyomás illetőleg. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az, hogy megért definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra alkalmazhatók, de a példákat geometriailag adjuk meg. Így minden egyszerű, hozzáférhető és vizuális. Az analitikus geometria problémái mellett néhányat is figyelembe veszünk tipikus feladatok algebra. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok a bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegye figyelembe a számítógép asztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak van hossza és szélessége, így intuitív módon egyértelmű, hogy két vektorra van szükség az alap felépítéséhez. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A választott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes eleméhez.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el a bal kéz mutatóujja az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely a jobb kéz kisujja az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy az a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit lehet mondani a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineárisan egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol egy nem nulla szám.

Erről a műveletről láthat egy képet a leckében. Vektorok a bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjai alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak egyedül irány, míg a síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A "lineáris", "lineáris" szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben, kifejezésekben nincsenek négyzetek, kockák, egyéb hatványok, logaritmusok, szinuszok stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy bármilyen szög legyen közöttük, kivéve a 0 vagy a 180 fokot. Két sík vektorlineárisan nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát az alap megérkezett. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „ferdének” bizonyult különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi sík vektor az egyetlen módja kibővítve az alap tekintetében:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektorformában mutatjuk be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapon vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például elmondhatja, hogy egy vektor a sík ortonormális bázisában van kiterjesztve, vagy azt is, hogy vektorok lineáris kombinációjaként van ábrázolva.

Fogalmazzuk meg alapdefiníció formálisan: sík alapon egy lineárisan független (nem kollineáris) vektorpár, , ahol Bármi a síkvektor az alapvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényege az a tény, hogy a vektorokat vettük egy bizonyos sorrendben. bázisok Ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kéz kisujját nem lehet a jobb kéz kisujjának helyére mozgatni.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani a koordináta-rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok, és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat azokhoz a piszkos asztalpontokhoz, amelyek egy vad hétvége után maradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen referenciapont mindenki számára ismert pont - a koordináták eredete. A koordinátarendszer megértése:

Kezdem az "iskolai" rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok a bábokhoz Kiemeltem néhány különbséget a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Itt a standard kép:

Amikor arról beszélünk derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban a koordináták origóját jelentik, koordinátatengelyekés skálázzuk a tengelyek mentén. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt az a benyomásunk támad, hogy egy derékszögű koordinátarendszer jól definiálható ortonormális alapon. És majdnem az is. A megfogalmazás így hangzik:

eredet, És ortonormális alapkészlet A sík derékszögű koordinátarendszere . Azaz egy téglalap alakú koordinátarendszer egyértelműen egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fentebb adtam - a geometriai feladatokban gyakran (de korántsem mindig) rajzolnak vektorokat és koordinátatengelyeket is.

Szerintem ezt mindenki megérti egy pont (eredet) és egy ortonormális alap segítségével A gép BÁRMELY PONTJÁT és a repülőgép BÁRMELY VEKTORÁT koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: "a gépen minden megszámlálható".

A koordináta vektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és kettőt ortogonális vektorok tetszőleges nullától eltérő hosszúság:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A koordináták origója vektorokkal határozza meg a koordináta rácsot, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak megvan a maga koordinátája az adott bázison. Például, vagy. A nyilvánvaló kényelmetlenség az, hogy a koordináta vektorok általában az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek eggyel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : ortogonális alapon, és alatta is affin bázisok a tengelyek menti sík- és téregységeket veszik figyelembe FELTÉTELES. Például az abszcissza mentén egy egység 4 cm-t, az ordináta mentén 2 cm-t tartalmaz, ez az információ elegendő ahhoz, hogy a „nem szabványos” koordinátákat szükség esetén „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

És a második kérdés, amelyre valójában már megválaszolták - az alapvektorok közötti szög szükségszerűen egyenlő-e 90 fokkal? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún eredet, És nem kollineáris vektorok, , készlet a sík affin koordinátarendszere :

Néha ezt a koordináta-rendszert hívják ferde rendszer. A pontok és vektorok példaként láthatók a rajzon:

Mint érti, az affin koordináta-rendszer még kevésbé kényelmes, a vektorok és szegmensek hosszának képletei, amelyeket a lecke második részében megvizsgáltunk, nem működnek benne. Vektorok a bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való felosztásának képlete, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

És a következtetés az, hogy a legkényelmesebb speciális eset affin rendszer A koordináták egy derékszögű téglalaprendszer. Ezért leggyakrabban őt, a sajátját kell látni. ... Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor illik egy ferde (vagy más pl. poláris) koordináta-rendszer. Igen, és a humanoidoknak az ilyen rendszerek megízlelhetik =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden feladat érvényes mind a téglalap alakú koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elégséges, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti finomítása.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézze meg, létezik-e vektor arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Mindenképpen elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal készítsünk arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

Vegyünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból:

Lerövidítjük:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat létrejöhet, és fordítva, ez egy egyenértékű lehetőség:

Önellenőrzéshez felhasználható az a tény, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben egyenlőségek vannak . Ezek helyessége könnyen ellenőrizhető elemi cselekvések vektorokkal:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Megvizsgáljuk a vektorokat a kollinearitás szempontjából . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy , ami azt jelenti, a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Kimenet: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Állítsa össze az arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból! :
, ezért ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

A véleményezők általában nem utasítják el ezt a lehetőséget, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet átdolgozni az arányt itt? (Tényleg nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa önálló megoldásra:

2. példa

A paramétervektorok milyen értékénél kollineáris lesz?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és ötödik pontként adjuk hozzá:

Két síkvektor esetén a következő állítások egyenértékűek:

2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok lineárisan kifejezhetők egymáson keresztül;
+ 5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy pillanatnyilag már megértette az összes felmerült kifejezést és kijelentést.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Majd mi döntünk 1. példa a második módon:

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst! :
, tehát ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst :
, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint az arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem szakaszok, egyenesek párhuzamossága is igazolható. Vegyünk néhány problémát adott geometriai alakzatokkal kapcsolatban.

3. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot építeni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzen a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Négyszöget nevezünk, amelyben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és .

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor ("iskola szerint" - egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb a döntést megfelelően, elrendezéssel meghozni. Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:
, tehát ezek a vektorok kollineárisak, és .

Kimenet: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, tehát definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

Egy négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég csak megjegyezni, hogyan néz ki.

Ez önálló döntési feladat. Komplett megoldás az óra végén.

És most itt az ideje, hogy lassan kimozduljunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

de) ;
b)
ban ben)

Megoldás:
a) Ellenőrizze, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáihoz:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az "egyszerűsített" az arány ellenőrzésével kerül megállapításra. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térvektorok kollinearitás-ellenőrzésére és egy harmadrendű determináns segítségével, Ily módon foglalkozik a cikkben Vektorok keresztszorzata.

Hasonlóan a sík esethez, a vizsgált eszközökkel térbeli szegmensek és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Háromdimenziós térvektorok lineáris függése és függetlensége.
Téralap és affin koordinátarendszer

Számos szabályszerűség, amelyet a repülőgépen figyelembe vettünk, a térre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elmélet összefoglalását, hiszen az információ oroszlánrészét már megrágták. Ennek ellenére javaslom, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések és fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett vizsgáljuk meg a háromdimenziós teret. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem tudunk kitérni a három dimenziótól: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért az alapot építeni, három térbeli vektor. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjakon melegítünk. Kérjük, emelje fel a kezét, és tárja szét a különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögeik vannak egymás között. Gratulálunk, elkészült a háromdimenziós tér alapja! Egyébként ezt nem kell bemutatni a tanároknak, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nem tudsz kitérni =)

Ezután felteszünk egy fontos kérdést, hogy bármely három vektor képez-e egy háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógép asztallapjára. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik mérést - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Megjegyzendő, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek benne párhuzamos síkok(csak ne az ujjaiddal csináld, csak Salvador Dali jött le így =)).

Meghatározás: vektorokat hívjuk egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, míg a tér bármely vektora az egyetlen módja kibővül az adott bázisban , ahol a vektor koordinátái vannak az adott bázisban

Emlékeztetőül azt is mondhatjuk, hogy egy vektort a következőképpen ábrázolunk lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a esetében lapos tok, egy pont és bármely három lineáris független vektorok:

eredet, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács "ferde" és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordináta-rendszer lehetővé teszi, hogy egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan a tér affin koordinátarendszerében néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy azt mindenki kitalálhatja derékszögű tér koordinátarendszer:

nevű térbeli pont eredet, És ortonormális alapkészlet A tér derékszögű koordinátarendszere . ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismét rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Az ellenkező kijelentések szerintem érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan a determináns segítségével ellenőrzik (5. tétel). A fennmaradó gyakorlati feladatok kifejezetten algebrai jellegűek lesznek. Itt az ideje, hogy egy geometrikus botot akasztunk egy szögre, és hadonászunk egy lineáris algebra baseballütővel:

Három térvektor akkor és csak akkor egysíkúak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra hívom fel a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok számítási módszereit, vagy esetleg egyáltalán nem tájékozódtak, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e egy háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában az egész megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst (a determináns az első sorban ki van bővítve):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok képezik az alapot

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében egy egyenletet determinánssal kell megoldani. Nullákba repülünk, mint a sárkányok a jerboákba - a legjövedelmezőbb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbb lineáris egyenletre redukáljuk:

Válasz: nál nél

Itt egyszerűen ellenőrizhető, ehhez be kell cserélni a kapott értéket az eredeti determinánsba, és meg kell győződni arról, hogy újranyitásával.

Végezetül vegyünk egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy külön témát érdemel:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja egy háromdimenziós tér bázisát
és keressük meg a 4. vektor koordinátáit az adott bázisban

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok a háromdimenziós tér bázisát képezik, és ebben keressük meg a vektor koordinátáit.

Megoldás: Először foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és amint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Mi az alapja - minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első lépés pontosan megegyezik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsa ki a determinánst, amely a vektorok koordinátáiból áll:

, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és egy háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncok. Ellenkező esetben zavarok lesznek a további megoldási algoritmusban.

A geometriában a vektoron egy irányított szakaszt értünk, és az egymásból kapott vektorokat párhuzamos átvitel, egyenlőnek számítanak. Minden egyenlő vektort ugyanazon vektorként kezelünk. A vektor eleje a tér vagy sík bármely pontjára helyezhető.

Ha a vektor végeinek koordinátái térben vannak megadva: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), akkor

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Hasonló képlet érvényes a síkban. Ez azt jelenti, hogy egy vektor koordináta karakterláncként írható fel. A vektorokon végzett műveletek, - az összeadás és a szorzás egy számmal, a karakterláncokon komponensenként történik. Ez lehetővé teszi a vektor fogalmának kiterjesztését, a vektort tetszőleges számsorként értelmezve. Például egy lineáris egyenletrendszer megoldása, valamint bármely értékhalmaz rendszerváltozók, vektorként tekinthető meg.

Azonos hosszúságú karakterláncokon az összeadás a szabály szerint történik

(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, … , a n+b n). (2)

Egy karakterlánc számmal való szorzása a szabály szerint történik

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Adott hosszúságú sorvektorok halmaza n a vektorösszeadás és a számmal való szorzás jelzett műveleteivel egy algebrai struktúrát alkot, ún n-dimenziós lineáris tér.

A vektorok lineáris kombinációja egy vektor , ahol λ 1 , ... , λ m tetszőleges együtthatók.

Egy vektorrendszert lineárisan függőnek nevezünk, ha létezik -vel egyenlő lineáris kombinációja, amelynek legalább egy nullától eltérő együtthatója van.

Egy vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha bármely -vel egyenlő lineáris kombinációjában minden együttható nulla.

Így a vektorrendszer lineáris függésének kérdésének megoldása az egyenlet megoldására redukálódik

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Ha ennek az egyenletnek nullától eltérő megoldásai vannak, akkor a vektorrendszer lineárisan függő. Ha a nulla megoldás egyedi, akkor a vektorrendszer lineárisan független.

A (4) rendszer megoldásához az érthetőség kedvéért a vektorok nem sorok, hanem oszlopok formájában írhatók fel.

Majd a bal oldali transzformációk végrehajtása után a (4) egyenlettel egyenértékű lineáris egyenletrendszerhez jutunk. Ennek a rendszernek a fő mátrixát az eredeti vektorok oszlopokba rendezett koordinátái alkotják. Itt nincs szükség a szabad tagok oszlopára, mivel a rendszer homogén.

Alap vektorrendszer (véges vagy végtelen, különösen minden lineáris tér) annak nem üres, lineárisan független alrendszere, amelyen keresztül a rendszer bármely vektora kifejezhető.

1.5.2. példa. Keresse meg az = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0,) vektorrendszer alapját. 3) és kifejezni más vektorokat a bázison keresztül.

Megoldás. Készítünk egy mátrixot, amelyben ezeknek a vektoroknak a koordinátái oszlopokba vannak rendezve. Ez a rendszer mátrixa x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . A mátrixot lépcsőzetes formába hozzuk:

~ ~ ~

Ennek a vektorrendszernek az alapját a , , vektorok alkotják, amelyek megfelelnek a körökkel jelölt sorok vezető elemeinek. A vektor kifejezéséhez megoldjuk az egyenletet x 1 + x 2 + x 4 = . Lineáris egyenletrendszerré redukálódik, melynek mátrixát az eredetiből úgy kapjuk meg, hogy a -nak megfelelő oszlopot átrendezzük a szabad tagok oszlopának helyére. Ezért lépcsőzetes formára redukálásakor ugyanazok az átalakítások lesznek a mátrixon, mint fent. Ez azt jelenti, hogy a kapott mátrixot lépcsőzetesen használhatjuk, ha elvégezzük a benne lévő oszlopok szükséges permutációit: a körös oszlopok a függőleges sávtól balra, a vektornak megfelelő oszlop pedig jobbra kerül. a bárból.

Sorra találjuk:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Megjegyzés. Ha több vektort kell kifejezni a bázison keresztül, akkor mindegyikhez létrejön a megfelelő lineáris egyenletrendszer. Ezek a rendszerek csak az ingyenes tagok oszlopaiban különböznek. Ebben az esetben minden rendszer a többitől függetlenül megoldódik.

1.4. GYAKORLAT. Keresse meg a vektorrendszer alapját, és fejezze ki a többi vektort az alap segítségével:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

Egy adott vektorrendszerben egy bázist általában többféleképpen lehet megkülönböztetni, de minden bázisnak ugyanannyi vektora lesz. A lineáris tér alapjában lévő vektorok számát a tér dimenziójának nevezzük. Mert n-dimenziós lineáris tér n a tér mérete, mivel ennek a térnek van egy standard bázisa = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Ezen az alapon keresztül bármely vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) a következőképpen fejeződik ki:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Így a vektor sorában szereplő komponensek = (a 1 , a 2 , … , a n) a sztenderd alaphoz viszonyított bővülési együtthatói.

Egyenes vonalak egy síkon

Az analitikus geometria problémája - alkalmazása geometriai problémák koordináta módszer. Ez lefordítja a feladatot algebrai formaés algebra segítségével oldjuk meg.

Keresse meg az alapban nem szereplő vektorok és vektorok rendszerének alapját, bontsa ki az alapon:

de 1 = {5, 2, -3, 1}, de 2 = {4, 1, -2, 3}, de 3 = {1, 1, -1, -2}, de 4 = {3, 4, -1, 2}, de 5 = {13, 8, -7, 4}.

Megoldás. Fontolgat homogén rendszer lineáris egyenletek

de 1 x 1 + de 2 x 2 + de 3 x 3 + de 4 x 4 + de 5 x 5 = 0

vagy bővítve.

Ezt a rendszert a Gauss-módszerrel oldjuk meg, sorok és oszlopok felcserélése nélkül, és ezen felül kiválasztva fő eleme nem a bal felső sarokban, hanem az egész vonalon. A feladat az, hogy jelölje ki a transzformált vektorrendszer átlós részét.

~ ~

~ ~ ~ .

A megengedett vektorrendszer, amely egyenértékű az eredetivel, a formája

de 1 1 x 1 + de 2 1 x 2 + de 3 1 x 3 + de 4 1 x 4 + de 5 1 x 5 = 0 ,

ahol de 1 1 = , de 2 1 = , de 3 1 = , de 4 1 = , de 5 1 = . (1)

Vektorok de 1 1 , de 3 1 , de 4 1 átlós rendszert alkotnak. Ezért a vektorok de 1 , de 3 , de 4 alkotják a vektorrendszer alapját de 1 , de 2 , de 3 , de 4 , de 5 .

Most kibővítjük a vektorokat de 2 És de 5 alapon de 1 , de 3 , de 4. Ehhez először kibontjuk a megfelelő vektorokat de 2 1 És de 5 1 átlós rendszer de 1 1 , de 3 1 , de 4 1 , szem előtt tartva, hogy az átlós rendszerben a vektor bővülésének együtthatói annak koordinátái x i.

Az (1)-től a következőkkel rendelkezünk:

de 2 1 = de 3 1 (-1) + de 4 1 0 + de 1 1 1 de 2 1 = de 1 1 – de 3 1 .

de 5 1 = de 3 1 0 + de 4 1 1+ de 1 1 2 de 5 1 = 2de 1 1 + de 4 1 .

Vektorok de 2 És de 5 bővíteni alapon de 1 , de 3 , de 4 ugyanazokkal az együtthatókkal, mint a vektorok de 2 1 És de 5 1 átlós rendszer de 1 1 , de 3 1 , de 4 1 (azok az együtthatók x i). Következésképpen,

de 2 = de 1 – de 3 , de 5 = 2de 1 + de 4 .

Feladatok. egy.Keresse meg a vektorrendszer bázisát és a bázisban nem szereplő vektorokat, bontsa ki a bázis szerint:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Keresse meg egy vektorrendszer összes bázisát:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.