1. definíció. ) ortogonálisnak nevezzük, ha minden eleme páronként merőleges:

1. tétel. A nullától eltérő vektorok ortogonális rendszere lineárisan független.

(Tegyük fel, hogy a rendszer lineárisan függ: és a határozottság kedvéért A skaláris egyenlőséget megszorozzuk vele . A rendszer ortogonalitását figyelembe véve a következőket kapjuk: }

2. definíció. Az euklideszi tér vektorrendszere ( ) ortonormálisnak nevezzük, ha merőleges, és az egyes elemek normája eggyel egyenlő.

Az 1. Tételből azonnal következik, hogy egy ortonormális elemrendszer mindig lineárisan független. Ebből viszont az következik n– dimenziós euklideszi tér ortonormális rendszere n vektorok képeznek alapot (például, ( i , j , k ) a 3-ban x- dimenziós tér).Olyan rendszert nevezünk ortonormális alap, vektorai pedig azok alapvető orts.

Egy vektor koordinátái ortonormális alapon könnyen kiszámíthatók a skaláris szorzat segítségével: ha Valóban, megszorozva az egyenlőséget a , megkapjuk a jelzett képletet.

Általában az összes alapmennyiség: a vektorok skaláris szorzata, a vektor hossza, a vektorok közötti szög koszinusza stb. a legegyszerűbb formája van ortonormális alapon. Tekintsük a skalárszorzatot: , mivel

Az összes többi tag nulla. Innen azonnal megkapjuk:

* Tekintsünk egy tetszőleges alapot. A skaláris szorzat ezen az alapon egyenlő lesz:

(Itt a iÉs β j a bázisban lévő vektorok koordinátái ( f), de - pont termékek bázisvektorok).

Mennyiségek γ ij mátrixot alkotnak G hívott Gram mátrix. A skaláris szorzat mátrix formájában így fog kinézni: *

2. tétel. Bármilyen n– egy dimenziós euklideszi térben van ortonormális alap. A tétel bizonyítása konstruktív és ún

9. Gram-Schmidt ortogonalizációs folyamat.

Legyen ( a 1 ,...,a n ) önkényes alap n– dimenziós euklideszi tér (ilyen alap léte annak köszönhető n- a tér dimenziója). Az építési algoritmusa adott alapon az ortonormális a következő:

1.b 1 \u003d a 1, e 1 \u003d b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1 , mivel (e 1, a 2)- kivetítés a 2 a e 1, b 2 \u003d a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 \u003d b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2 , b 3 \u003d a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2, a 3)e 2 , e 3 \u003d b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

A folyamatot folytatva ortonormális alapot kapunk ( e 1 ,...,e n }.

Megjegyzés 1. A vizsgált algoritmus segítségével bármely ortonormális bázist meg lehet alkotni lineáris héj, például egy olyan rendszer lineáris terjedelmének ortonormális bázisa, amelynek rangja egyenlő hárommal és ötdimenziós vektorokból áll.

Példa.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

2. megjegyzés. Különleges esetek

A Gram-Schmidt folyamat végtelen sorozatra lineárisan is alkalmazható független vektorok.

Ezenkívül a Gram-Schmidt eljárás lineárisan alkalmazható függő vektorok. Ebben az esetben problémákat okoz 0 (nulla vektor) lépésenként j , ha aj vektorok lineáris kombinációja a 1 ,...,a j -1 . Ha ez megtörténhet, akkor a kimeneti vektorok ortogonalitásának megőrzése és az ortonormalizálás során a nullával való osztás elkerülése érdekében az algoritmusnak ellenőriznie kell a nulla vektorokat, és el kell vetnie azokat. Az algoritmus által előállított vektorok száma megegyezik a vektorok által generált altér dimenziójával (azaz az eredeti vektoroktól megkülönböztethető lineárisan független vektorok számával).

10. Geometriai vektorterek R 1 , R 2 , R 3 .

Hangsúlyozzuk, hogy a közvetlen geometriai érzék csak szóközök vannak

R1, R2, R3. Az R n tér n > 3 esetén egy absztrakt, tisztán matematikai objektum.

1) Legyen adott egy két vektorból álló rendszer a És b . Ha a rendszer lineárisan függő, akkor az egyik vektor, mondjuk a , lineárisan fejeződik ki a másikkal:

a= k b.

Két vektort, amelyeket egy ilyen függés köt össze, mint már említettük, kollineárisnak nevezzük. Tehát egy két vektorból álló rendszer akkor és csakis lineárisan függ

amikor ezek a vektorok kollineárisak. Megjegyezzük, hogy ez a következtetés nem csak az R3-ra vonatkozik, hanem bármely lineáris térre is.

2) Álljon az R3-ban lévő rendszer három vektorból a, b, c . Lineáris függőség azt jelenti, hogy az egyik vektor, mondjuk a , lineárisan fejeződik ki a többivel:

de= k b+ l c . (*)

Meghatározás. Három vektor a, b, c Az R 3-ban ugyanabban a síkban fekvő vagy azzal párhuzamosan fekvő síkban koplanárisnak nevezzük

(a bal oldali ábra a vektorokat mutatja a, b, c az egyik síkból, a jobb oldalon pedig ugyanazok a vektorok különböző eredetűek, és csak egy síkkal párhuzamosak).

Tehát, ha három vektor az R3-ban lineárisan függ, akkor ezek egysíkúak. Ennek fordítva is igaz: ha a vektorok a, b, c R3-ból egysíkúak, akkor lineárisan függőek.

vektoros művészet vektor a, vektoronként b térben vektornak nevezzük c , amely megfelel a következő követelményeknek:

Kijelölés:

Tekintsük a nem egysíkú vektorok rendezett hármasát a, b, c háromdimenziós térben. Kombináljuk ezeknek a vektoroknak az origóját a pontban DE(vagyis tetszőlegesen választunk ki egy pontot a térben DEés mozgassuk az egyes vektorokat párhuzamosan úgy, hogy origójuk egybeessen a ponttal DE). A vektorok végei egy pontban lévő kezdetekkel kombinálva DE, ne feküdjünk egyenesen, mivel a vektorok nem egysíkúak.

Nem egysíkú vektorok rendezett hármasa a, b, c három dimenzióban ún jobb, ha a vektor végétől c legrövidebb fordulat vektorból a a vektorhoz b az óramutató járásával ellentétes irányban látható a megfigyelő számára. Ezzel szemben, ha a legrövidebb fordulatot az óramutató járásával megegyező irányban látjuk, akkor a hármast hívjuk bal.

Egy másik meghatározás ehhez kapcsolódik jobb kéz személy (lásd az ábrát), honnan származik a név.

Az egymáshoz jobbra (és egymáshoz képest balra) eső vektorok minden hármasát egyformán orientáltnak mondjuk.

Ha bármelyik két, egymásra merőleges, egységnyi hosszúságú vektort választunk a síkon (7. ábra), akkor egy tetszőleges vektor ugyanabban a síkban e két vektor irányába kibontható, azaz alakban ábrázolható.

ahol a számok egyenlők a vektor vetületeivel a tengelyek irányaira Mivel a tengelyre vetítés egyenlő a tengellyel bezárt szög hosszának és koszinuszának szorzatával, ezért a skaláris szorzat definícióját felidézve , tudunk írni

Hasonlóképpen, ha be háromdimenziós tér válasszunk tetszőleges három egységnyi hosszúságú, egymásra merőleges vektort, akkor ebben a térben egy tetszőleges vektor ábrázolható

A Hilbert-térben a páros rendszereket is figyelembe lehet venni ortogonális vektorok ezt a teret, azaz függvényeket

Az ilyen függvényrendszereket ortogonális függvényrendszereknek nevezzük, és fontos szerepet játszanak az elemzésben. A matematikai fizika különféle problémáiban, integrálegyenletekben, közelítő számításokban, egy valós változó függvényelméletében stb. találkozhatunk velük. készíteni általános fogalom Hilbert tér.

Adjunk pontos meghatározások. Funkciórendszer

ortogonálisnak nevezzük, ha ennek a rendszernek bármely két függvénye ortogonális egymásra, azaz ha

A háromdimenziós térben megköveteltük, hogy a rendszer vektorainak hossza eggyel legyen. Felidézve a vektor hosszának definícióját, azt látjuk, hogy Hilbert-tér esetén ez a követelmény a következőképpen van felírva:

A (13) és (14) követelményeket kielégítő függvényrendszert ortogonálisnak és normalizáltnak nevezzük.

Mondjunk példákat ilyen függvényrendszerekre.

1. Az intervallumon vegyük figyelembe a függvények sorrendjét

Ebből a sorozatból minden két függvény ortogonális egymásra. Ezt a megfelelő integrálok egyszerű kiszámításával ellenőrizzük. Egy vektor hosszának négyzete a Hilbert-térben a függvény négyzetének integrálja. Így a sorozatvektorok hosszának négyzetei

az integrálok lényege

azaz vektorsorozatunk ortogonális, de nem normalizált. A sorozat első vektorának hossza és minden

a többinek hossza van. Az egyes vektorokat a hosszukkal elosztva ortogonális és normalizált rendszert kapunk trigonometrikus függvények

Ez a rendszer történetileg az egyik első és legfontosabb példája az ortogonális rendszereknek. Euler, D. Bernoulli, D'Alembert munkáiban merült fel a húrrezgések problémájával kapcsolatban. Ennek tanulmányozása alapvető szerepet játszott az elemzés egészének kialakításában.

Egy ortogonális trigonometrikus függvényrendszer megjelenése a húrrezgések problémája kapcsán nem véletlen. A közeg kis oszcillációinak minden egyes problémája egy bizonyos ortogonális függvényrendszerhez vezet, amely leírja az adott rendszer úgynevezett természetes rezgéseit (lásd 4. §). Például egy gömb rezgésének problémájával kapcsolatban megjelennek az úgynevezett gömbfüggvények, egy körmembrán vagy henger rezgésének problémájával kapcsolatban az úgynevezett hengeres függvények stb.

2. Adhatunk példát egy ortogonális függvényrendszerre, amelynek minden függvénye polinom. Ilyen például a Legendre-polinomok sorozata

azaz van (konstans tényezőig) a sorrendi deriváltja. Felírjuk ennek a sorozatnak az első néhány polinomját:

Nyilvánvaló, hogy általában létezik fokszámú polinom. Az olvasóra bízzuk annak ellenőrzését, hogy ezek a polinomok ortogonális sorozatok-e az intervallumon.

Az ortogonális polinomok általános elméletét (az úgynevezett ortogonális súllyal rendelkező polinomokat) a figyelemre méltó orosz matematikus, P. L. Csebisev dolgozta ki a 19. század második felében.

Bővítés ortogonális függvényrendszerekben. Csakúgy, mint a háromdimenziós térben, minden vektor ábrázolható

mint lineáris kombináció három páronkénti egységnyi hosszúságú ortogonális vektor

a függvénytérben felmerül a probléma egy tetszőleges függvény sorozattá bővítése ortogonális és normalizált függvényrendszer szempontjából, azaz egy függvény alakban való ábrázolása.

Ebben az esetben a (15) sorozatok függvényhez való konvergenciája a Hilbert-tér elemei közötti távolság értelmében értendő. Ez azt jelenti, hogy a sorozat részösszegének a függvénytől való négyzetközép-eltérése nullára hajlik, azaz.

Ezt a konvergenciát általában "átlagos konvergenciának" nevezik.

Az analízis során gyakran találkozunk az ortogonális függvények különféle rendszereinek kiterjesztésével, és fontos módszert jelentenek a matematikai fizika problémáinak megoldásában. Tehát például, ha egy ortogonális rendszer az intervallumon lévő trigonometrikus függvények rendszere

akkor az ilyen bővítés egy függvény klasszikus trigonometrikus sorozattá történő kiterjesztése

Tegyük fel, hogy a (15) bővítés lehetséges bármely függvényre a Hilbert-térből, és keressük meg ennek a bővítésnek az együtthatóit. Ehhez az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan megszorozzuk rendszerünk azonos függvényével. Egyenlőséget kapunk

amelyből annak köszönhetően, hogy at az együttható értéke határozza meg

Látjuk, hogy a közönséges háromdimenziós térhez hasonlóan (lásd ennek a bekezdésnek az elejét), az együtthatók megegyeznek a vektor vetületeivel a vektorok irányaira.

Felidézve a skaláris szorzat definícióját, azt kapjuk, hogy egy függvény bővítési együtthatói az ortogonális és normalizált függvényrendszerben

képletek határozzák meg

Példaként tekintsük a fent megadott ortogonális normalizált trigonometrikus függvényrendszert:

Kaptunk egy képletet egy függvény trigonometrikus sorozatba való kiterjesztésének együtthatóinak kiszámítására, természetesen feltételezve, hogy ez a bővítés lehetséges.

Megállapítottuk egy függvény tágulási együtthatóinak (18) formáját egy ortogonális függvényrendszerben, feltéve, hogy ilyen kiterjesztésre kerül sor. Azonban egy végtelen ortogonális függvényrendszer elégtelennek bizonyulhat ahhoz, hogy a Hilbert-térből bármilyen függvényt kiterjesszünk. Ahhoz, hogy egy ilyen dekompozíció lehetséges legyen, az ortogonális függvényrendszernek ki kell elégítenie egy további feltételt, az úgynevezett teljességi feltételt.

Egy ortogonális függvényrendszert akkor nevezünk teljesnek, ha nem lehet hozzá egyetlen olyan függvényt hozzáadni, amely nem azonosan nulla és nem merőleges a rendszer összes függvényére.

Könnyű példát hozni egy nem teljes ortogonális rendszerre. Ehhez vegyünk valamilyen ortogonális rendszert, például ugyanazt

trigonometrikus függvényrendszert, és kizárja ennek a rendszernek az egyik funkcióját, például a Fennmaradó végtelen függvényrendszert

továbbra is ortogonális lesz, természetesen nem lesz teljes, mivel az általunk kizárt : függvény ortogonális a rendszer összes függvényére.

Ha a függvényrendszer nem teljes, akkor nem minden függvény bővíthető a Hilbert-térből ennek szempontjából. Valóban, ha egy ilyen rendszerben a rendszer összes függvényére merőleges nulla függvényt próbálunk kiterjeszteni, akkor a (18) képletek alapján minden együttható nulla lesz, míg a függvény nem nulla.

A következő tétel érvényes: ha egy teljes ortogonális és normalizált függvényrendszer adott egy Hilbert-térben, akkor ennek a rendszernek a függvényei alapján bármely függvény sorozattá bővíthető.

Ebben az esetben a tágulási együtthatók megegyeznek a vektorok vetületeivel az ortogonális normalizált rendszer elemeire.

A 2. §-ban található Pitagorasz-tétel a Hilbert-térben lehetővé teszi, hogy érdekes összefüggést találjunk az együtthatók és a függvény között.Jelöljük sorozata első tagjainak különbségével és összegével, ti.

Miről beszélünk

A Madgwick-szűrőről szóló bejegyzés Habré-n való megjelenése a maga módján szimbolikus esemény volt. Úgy tűnik, a drónok iránti általános érdeklődés felélesztette az érdeklődést a test orientációjának inerciamérések alapján történő becslésének problémája iránt. Ugyanakkor a Kálmán-szűrőn alapuló hagyományos módszerek már nem elégítik ki a közvéleményt - vagy a drónok számára elfogadhatatlan számítási erőforrásokkal szembeni magas követelmények, vagy a bonyolult és nem intuitív paraméterbeállítások miatt.

A bejegyzést egy nagyon kompakt és hatékony szűrő implementáció kísérte C nyelven. A megjegyzésekből ítélve azonban fizikai jelentése ez a kód és az egész cikk is homályos maradt valaki számára. Nos, legyünk őszinték: a Madgwick szűrő a legbonyolultabb a szűrők csoportjából, amelyek általában nagyon egyszerű és elegáns elveken alapulnak. Ezekről az elvekről lesz szó a bejegyzésemben. Itt nem lesz kód. Hozzászólásom nem a tájékozódási becslő algoritmus konkrét megvalósításáról szól, hanem inkább egy felhívás, hogy találja ki saját variációit egy adott témában, amiből sok lehet.

Tájolási nézet

Emlékezzünk az alapokra. Egy test térbeli tájolásának becsléséhez először ki kell választani néhány olyan paramétert, amelyek együttesen egyedileg határozzák meg ezt az orientációt, pl. valójában a kapcsolódó koordinátarendszer tájolása egy feltételesen stacionárius rendszerhez - például a NED (North, East, Down) földrajzi rendszerhez - képest. Ezután kinematikai egyenleteket kell készítenie, pl. fejezzük ki e paraméterek változási sebességét a giroszkópokból származó szögsebességben. Végül a gyorsulásmérőkből, magnetométerekből stb. származó vektorméréseket is be kell vonni a számításba. Íme a tájékozódás legáltalánosabb módjai:

Euler-szögek- gurulás (gurulás, ), hangmagasság (pitch, ), irány (fejléc, ). Ez a tájolási paraméterek legvilágosabb és legtömörebb halmaza: a paraméterek száma pontosan megegyezik a forgási szabadságfokok számával. Ezekre a szögekre írhatunk kinematikai Euler-egyenletek. Nagyon szeretik elméleti mechanika, de a navigációs feladatokban kevés hasznuk van. Először is, a szögek ismerete nem teszi lehetővé bármely vektor komponenseinek közvetlen konvertálását kötöttből földrajzi koordinátarendszerré, vagy fordítva. Másodszor, ±90 fokos emelkedésnél a kinematikai egyenletek elfajulnak, a gördülés és az irány bizonytalanná válik.

Forgatási mátrix egy 3x3-as mátrix, amellyel a társított koordináta-rendszer bármely vektorát megszorozzuk, hogy ugyanazt a vektort kapjuk a földrajzi rendszerben: . A mátrix mindig ortogonális, pl. . A kinematikai egyenlet alakja .
Itt van az összetevők mátrixa szögsebesség, giroszkópokkal mérve csatolt koordináta-rendszerben:

A forgatási mátrix valamivel kevésbé vizuális, mint az Euler-szögek, de velük ellentétben lehetővé teszi a vektorok közvetlen transzformációját, és nem veszíti el jelentését semmilyen szöghelyzet esetén. Számítási szempontból legfőbb hátránya a redundancia: három szabadsági fok érdekében egyszerre kilenc paramétert vezetünk be, és mindegyiket a kinematikai egyenlet szerint frissíteni kell. A feladat kissé leegyszerűsíthető a mátrix ortogonalitásának használatával.

forgási kvaternió- radikális, de nagyon nem intuitív gyógymód a redundancia és a degeneráció ellen. Ez egy négykomponensű objektum – nem szám, nem vektor, nem mátrix. A kvaternió két szemszögből is megtekinthető. Először is egy skalár és egy vektor formális összegeként, ahol - egységvektorok tengelyek (ami persze abszurdnak hangzik). Másodszor, általánosításként komplex számok, amely most nem egyet, hanem hármat használ különböző képzeletbeli egységek (ami nem kevésbé abszurdnak hangzik). Hogyan kapcsolódik a kvaternió a forgáshoz? Az Euler-tételen keresztül: egy test mindig átvihető egy adott irányból a másikba egy véges elforgatással valamilyen szögben valamely tengely körül egy irányvektorral. Ezek a szögek és tengelyek kvaternióvá kombinálhatók: . A mátrixhoz hasonlóan egy kvaternió is használható bármely vektor közvetlen transzformációjára egyik koordinátarendszerből a másikba: . Mint látható, az orientáció kvaterniós ábrázolása is szenved redundanciától, de sokkal kevésbé, mint a mátrixos: csak egy extra paraméter van. A kvaterniók részletes áttekintése már készült Habrén. A geometriáról és a 3D grafikáról volt szó. Érdekel bennünket a kinematika is, hiszen a kvaternió változási sebességét a mért szögsebességhez kell viszonyítani. A megfelelő kinematikai egyenlet alakja , ahol a vektort is nulla skaláris résszel rendelkező kvaterniónak tekintjük.

Szűrési sémák

A tájékozódás kiszámításának legnaivabb megközelítése, ha felvértezzük magunkat egy kinematikai egyenlettel, és ennek megfelelően frissítjük a számunkra tetsző paraméterkészletet. Például, ha egy forgatási mátrixot választottunk, akkor írhatunk egy ciklust valami olyasmivel, hogy C += C * Omega * dt . Az eredmény csalódást keltő lesz. A giroszkópok, különösen a MEMS nagy és instabil nullaponteltolásokkal rendelkeznek - ennek eredményeként még teljes nyugalomban is a kiszámított tájolásnak végtelenül felhalmozódó hibája (drift) lesz. Az összes Mahoney, Madgwick és mások által kitalált trükk, köztük jómagam is, ezt az eltolódást hivatott kompenzálni gyorsulásmérőkből, magnetométerekből, GNSS-vevőkből, késésekből stb. Így született meg egy egyszerű alapelven alapuló orientációs szűrők egész családja.

Alapelv. A tájékozódási eltolódás kompenzálására a giroszkópok által mért szögsebességhez hozzá kell adni egy további vezérlő szögsebességet, amely más érzékelők vektormérései alapján készült. A vezérlő szögsebesség-vektornak törekednie kell arra, hogy a mért vektorok irányai megegyezzenek ismert valódi irányaikkal.

Itt egy teljesen más megközelítés rejlik, mint a Kálmán-szűrő korrekciós tagjának felépítésében. A fő különbség az, hogy a szabályozási szögsebesség - nem kifejezés, hanem tényező a becsült értékkel (mátrix vagy kvaternió). Ez fontos előnyöket eredményez:

• Becslőszűrőt magára az orientációra lehet építeni, nem pedig a giroszkópok által adott orientáció kis eltéréseire. Ebben az esetben a becsült értékek automatikusan kielégítik a probléma által támasztott összes követelményt: a mátrix ortogonális lesz, a kvaternió normalizálódik.
• A szabályozási szögsebesség fizikai jelentése sokkal világosabb, mint a Kálmán-szűrőben szereplő korrekciós kifejezés. Minden manipuláció vektorokkal és mátrixokkal történik a szokásos háromdimenziós fizikai térben, és nem az absztrakt többdimenziós állapottérben. Ez nagyban leegyszerűsíti a szűrő finomítását és hangolását, bónuszként pedig lehetővé teszi a nagy mátrixok és a nehéz mátrixkönyvtárak megszabadulását.

Most nézzük meg, hogyan valósul meg ez az ötlet bizonyos szűrőbeállításokban.

Mahoney szűrő. Mahoney eredeti cikkének összes észbontó matematikája egyszerű egyenletek igazolására készült (32). Írjuk át őket a jelölésünkbe. Ha figyelmen kívül hagyjuk a giroszkópok nulla eltolásának becslését, akkor két kulcsegyenlet marad: magának a forgási mátrixnak a kinematikai egyenlete (a vezérlő szögsebességgel mátrix formájában) és ennek a sebességnek a kialakulásának törvénye a formában. egy vektor . Tételezzük fel az egyszerűség kedvéért, hogy nincsenek gyorsulások vagy mágneses hangszedők, és ennek köszönhetően a gyorsulásmérések elérhetőek számunkra szabadesés a gyorsulásmérőktől és a feszültségtől mágneses mező Föld magnetométerekből. Mindkét vektort a hozzá tartozó koordinátarendszerben szenzorok mérik, a földrajzi rendszerben pedig biztosan ismert a helyzetük: felfelé irányul - a mágneses észak felé. Ekkor a Mahoney-szűrő egyenletek így fognak kinézni:

Nézzük meg közelebbről a második egyenletet. Az első kifejezés a jobb oldalon az vektor termék. Az első tényező benne a mért gravitációs gyorsulás, a második a valódi. Mivel a tényezőknek ugyanabban a koordináta-rendszerben kell lenniük, a második tényezőt a rendszer a társított rendszerré alakítja a -val való szorzással. A vektorszorzatként megszerkesztett szögsebesség merőleges a szorzóvektorok síkjára. Lehetővé teszi a társított koordinátarendszer számított pozíciójának elforgatását addig, amíg a szorzóvektorok iránya egybe nem esik - ekkor a vektorszorzat nullázódik és a forgatás leáll. Az együttható határozza meg az ilyen visszacsatolás merevségét. A második tag hasonló műveletet hajt végre a mágneses vektor. A Mahoney-szűrő tulajdonképpen a jól ismert tézist testesíti meg: két különböző koordináta-rendszerben lévő két nem-kollineáris vektor ismerete lehetővé teszi e rendszerek kölcsönös orientációjának egyedi visszaállítását. Ha kettőnél több vektor van, akkor ez hasznos mérési redundanciát ad. Ha csak egy vektor van, akkor egy forgási szabadságfok (a vektor körüli mozgás) nem rögzíthető. Például, ha csak a vektor van megadva, akkor a gördülés és a pitch drift korrigálható, de az elhajlás nem.

Természetesen a Mahoney szűrőben nem szükséges forgatási mátrixot használni. Vannak nem kanonikus kvaternióváltozatok is.

Virtuális giroszkóp platform. A Mahoney szűrőben a kormányzási szögsebességet egy csatolt koordinátarendszerre alkalmaztuk. De alkalmazhatja a földrajzi koordináta-rendszer számított helyzetére. A kinematikai egyenlet ekkor felveszi a formát

Kiderült, hogy egy ilyen megközelítés nagyon gyümölcsöző fizikai analógiák felé nyit utat. Elég, ha felidézzük, mivel kezdődött a giroszkópos technológia – a kardánfelfüggesztésben lévő giroszkóppal stabilizált platformon alapuló irányvonalak és inerciális navigációs rendszerek.

www.theairlinepilots.com

Az ottani platform feladata a földrajzi koordinátarendszer megvalósítása volt. A hordozó tájolását ehhez a platformhoz képest a felfüggesztés keretein lévő szögérzékelőkkel mértük. Ha a giroszkópok sodródtak, akkor a platform sodródott utánuk, és hibák halmozódtak fel a szögérzékelők leolvasásában. Ezen hibák kiküszöbölésére bevezettük Visszacsatolás a platformra szerelt gyorsulásmérőktől. Például a platformnak a horizonttól való eltérését az északi tengely körül a keleti tengely gyorsulásmérője érzékelte. Ez a jel lehetővé tette a szabályozási szögsebesség beállítását, amely a platformot visszatéríti a horizonthoz.

Problémánkban ugyanazokat a vizuális fogalmakat használhatjuk. A felírt kinematikai egyenletet ezután a következőképpen kell értelmezni: az orientáció változásának sebessége két forgási mozgás különbsége - abszolút mozgás a hordozó (az első tag) és a virtuális giroplatform abszolút mozgása (a második tag). Az analógia kiterjeszthető a szabályozási szögsebesség kialakulásának törvényére. A vektor az állítólag a giroszkópon álló gyorsulásmérők leolvasását testesíti meg. Ekkor fizikai megfontolások alapján ezt írhatjuk:

Formálisan pontosan ugyanezt az eredményt el lehetett volna érni a Mahoney-szűrő szellemében végrehajtott vektorszorzással, de most nem összefüggő, hanem földrajzi koordináta-rendszerben. Csak szükséges?

A platform és az inerciális navigáció közötti hasznos analógia első utalása egy ősi Boeing szabadalomban jelenik meg. Aztán ezt az ötletet Salicsev aktívan fejlesztette, és nemrég én is. Ennek a megközelítésnek nyilvánvaló előnyei:

• A szabályozási szögsebesség érthető fizikai elvek alapján alakítható ki.
• Természetesen a vízszintes és a pályacsatornák elkülönülnek, amelyek tulajdonságaikban és korrekciós módszereiben nagyon eltérőek. A Mahoney szűrőben keverednek.
• Kényelmes a gyorsulások hatásának kompenzálása a GNSS adatok felhasználásával, amelyeket földrajzi, nem pedig kapcsolódó tengelyeken adnak ki.
• Könnyen általánosítható az algoritmus a nagy pontosságú inerciális navigáció esetére, ahol a Föld alakját és forgását kell figyelembe venni. Fogalmam sincs, hogyan kell ezt megtenni a Mahoney rendszerben.

Madgwick szűrő. Madgwick a nehezebb utat választotta. Ha Mahoney látszólag intuitív módon jutott döntésére, majd matematikailag megindokolta, akkor Majwick a kezdetektől formalistának mutatta magát. Ő vállalta az optimalizálási probléma megoldását. Így érvelt. Állítsa be a tájolást a forgatási negyedre. Ideális esetben valamely mért vektor számított iránya (legyen) egybeesik az igazival. Akkor lesz. A valóságban ez nem mindig elérhető (főleg, ha kettőnél több vektor van), de megpróbálhatja minimalizálni az eltérést a pontos egyenlőségtől. Ennek érdekében bevezetünk egy minimalizálási kritériumot

A minimalizáláshoz gradiens süllyedés szükséges - kis lépésekben haladva a gradienssel ellentétes irányba, pl. a függvény leggyorsabb növekedésével ellentétes . Madgwick egyébként hibát követ el: minden művébe egyáltalán nem lép be, és kitartóan ír a helyett, pedig valójában pontosan számol.

A gradiens süllyedés végül a következő feltételhez vezet: az orientációs eltolódás kompenzálására a kinematikai egyenletből származó kvaternió változási sebességéhez hozzá kell adni egy új negatív tagot, amely arányos:

Itt Madgwick kicsit eltér a miénktől alapelv”: nem a szögsebességhez, hanem a kvaternió változási sebességéhez ad egy korrekciós tagot, és ez nem teljesen ugyanaz. Ennek eredményeként kiderülhet, hogy a frissített kvaternió többé nem lesz egység, és ennek megfelelően elveszíti az orientáció ábrázolásának képességét. Ezért a Madgwick-szűrőnél a kvaternió mesterséges normalizálása létfontosságú művelet, míg más szűrőknél ez kívánatos, nem opcionális.

A gyorsulások hatása

Eddig azt feltételezték, hogy nincsenek valódi gyorsulások, és a gyorsulásmérők csak a szabadesés gyorsulását mérik. Ez lehetővé tette a függőleges szabvány elérését, és segítségével kompenzálni a gurulás és a dőlésszög elsodródását. Általános esetben azonban a gyorsulásmérők működési elvüktől függetlenül mérnek látszólagos gyorsulás- a valódi gyorsulás és a szabadesési gyorsulás vektorkülönbsége. A látszólagos gyorsulás iránya nem esik egybe a függőlegessel, és a gyorsulásokból adódó hibák megjelennek a gördülési és dőlési becslésekben.

Ez könnyen szemléltethető egy virtuális giroszkóp-platform analógiájával. Korrekciós rendszere úgy van kialakítva, hogy az emelvény abba a szöghelyzetbe álljon meg, amelyben a feltételezetten rászerelt gyorsulásmérők jelei nullázódnak, azaz. amikor a mért vektor merőlegessé válik a gyorsulásmérők érzékenységi tengelyeire. Ha nincs gyorsulás, ez a pozíció egybeesik a horizonttal. Vízszintes gyorsulások esetén a giroplatform eltér. Azt mondhatjuk, hogy a giroszkóp platform egy erősen csillapított ingához vagy függőzsinórhoz hasonlít.

A Majwick-szűrőről szóló bejegyzés kommentjeiben felvillant a kérdés, hogy lehet-e remélni, hogy ez a szűrő kevésbé érzékeny a gyorsulásokra, mint például a Mahoney-szűrő. Sajnos az itt leírt összes szűrő ugyanazon a fizikai elven működik, és ezért ugyanazokkal a problémákkal küzd. A fizikát nem lehet megtéveszteni matematikával. Akkor mit kell tenni?

A legegyszerűbb és legdurvább módszert még a múlt század közepén találták fel a repülőgépek függőleges giroszkópjára: a vezérlési szögsebesség csökkentésére vagy teljes visszaállítására gyorsulások jelenlétében vagy az irány szögsebességének (ami a kanyarba lépést jelzi) . Ugyanez a módszer átvihető a jelenlegi strapdown rendszerekre. Ebben az esetben a gyorsulásokat az értékek alapján kell megítélni, nem pedig, amelyek viszont maguk is nullák. Nagyságrendileg azonban nem mindig lehet megkülönböztetni a valódi gyorsulásokat a szabadesési gyorsulás előrejelzéseitől, a giroszkóp platform dőlése miatt, amit ki kell küszöbölni. Ezért a módszer megbízhatatlanul működik - de nem igényel további érzékelőket.

Egy pontosabb módszer egy GNSS-vevő külső sebességmérésén alapul. Ha a sebesség ismert, akkor számszerűen megkülönböztethető és megkapható valódi gyorsulás. Ekkor a különbség pontosan egyenlő lesz, függetlenül a hordozó mozgásától. Függőleges szabványként használható. Például beállíthatjuk a giroplatform szabályozási szögsebességeit az űrlapon

Érzékelő nullaponteltolásai

A fogyasztói minőségű giroszkópok és gyorsulásmérők szomorú jellemzője a nulla időbeli és hőmérsékleti eltérések nagyfokú instabilitása. Kiküszöbölésükhöz nem elég egyetlen gyári vagy laboratóriumi kalibráció - üzem közben újra kell értékelni.

Giroszkópok. Foglalkozzunk a giroszkópok nulla eltolásával. A hozzá tartozó koordináta-rendszer számított helyzete elmozdul a valódi helyzetétől két ellentétes tényező - a giroszkópok nulla eltolása és a vezérlő szögsebesség - által meghatározott szögsebességgel. Ha a korrekciós rendszernek (például a Mahoney szűrőben) sikerült megállítani a sodródást, akkor az állandósult állapotban lesz. Más szavakkal, a szabályozási szögsebesség egy ismeretlen aktív zavarról tartalmaz információt. Ezért lehet jelentkezni kompenzációs értékelés: közvetlenül nem ismerjük a zavar nagyságát, de tudjuk, hogy milyen korrekciós lépések szükségesek a kiegyenlítéséhez. Ez az alap a giroszkópok nulla eltolódásának becsléséhez. Például Mahoney pontszáma a törvénynek megfelelően frissül

Eredménye azonban furcsa: a becslések elérik a 0,04 rad/s értéket. A nulla eltolások ilyen instabilitása még a legrosszabb giroszkópokkal sem fordul elő. Gyanítom, hogy a probléma az, hogy a Mahoney nem használ GNSS-t vagy más külső szenzorokat - és teljes mértékben szenved a gyorsulások hatásaitól. Csak a függőleges tengelyen, ahol a gyorsulások nem ártanak, a becslés többé-kevésbé ésszerűnek tűnik:

Mahony et al., 2008

gyorsulásmérők. A gyorsulásmérők nulla eltolásának becslése sokkal nehezebb. A rájuk vonatkozó információkat ugyanabból a szabályozási szögsebességből kell kinyerni. Azonban in egyenes vonalú mozgás a gyorsulásmérők nulla eltolásának hatása megkülönböztethetetlen a hordozó dőlésétől vagy az érzékelő egység beszerelésének eltolódásától. A gyorsulásmérőkhöz nem keletkezik adalékanyag. Az adalék csak egy kanyar során jelenik meg, ami lehetővé teszi a giroszkópok és gyorsulásmérők hibáinak elkülönítését és önálló értékelését. Egy példa arra, hogyan lehet ezt megtenni, a cikkemben található. Itt vannak képek onnan:

Konklúzió helyett: mi a helyzet a Kálmán-szűrővel?

Nincs kétségem afelől, hogy az itt leírt szűrők szinte mindig előnyt élveznek a hagyományos Kálmán szűrővel szemben a gyorsaság, a kód tömörsége és a könnyű testreszabhatóság tekintetében – erre alkották őket. Ami a becslés pontosságát illeti, itt nem minden olyan egyértelmű. Láttam már sikertelenül megtervezett Kálmán szűrőket, amelyek a pontosság tekintetében érezhetően elvesztek egy virtuális giroszkóppal rendelkező szűrővel szemben. Madgwick azzal is érvelt, hogy milyen előnyei vannak a szűrőjének néhány Kálmán úgy becsüli. Ugyanazon orientációbecslési problémára azonban legalább egy tucat különböző Kálmán-szűrő áramkör építhető, és mindegyiknek végtelen számú hangolási lehetősége lesz. Nincs okom azt hinni, hogy a Mahoney vagy Madgwick szűrő pontosabb lesz a lehető legjobb Kálmán szűrők. És természetesen a Kálmán-megközelítésnek mindig megvan az univerzalitás előnye: nem ír elő szigorú korlátozásokat a kiértékelt rendszer konkrét dinamikus tulajdonságaira vonatkozóan.

Egyenlő nullával:

.

Egy ortogonális rendszer, ha teljes, a tér alapjául szolgálhat. Ebben az esetben bármely elem dekompozíciója kiszámítható a következő képletekkel: , ahol .

Az az eset, amikor az összes elem normáját ortonormális rendszernek nevezzük.

Ortogonalizáció

Minden teljes lineárisan független rendszer egy véges dimenziós térben alap. Az egyszerű alapról tehát át lehet térni az ortonormális alapra.

Ortogonális dekompozíció

Egy vektortér vektorainak ortonormális alapon történő felbontásakor a skalárszorzat számítása leegyszerűsödik: , ahol és .

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mi az "Ortogonális rendszer" más szótárakban:

1) Ó... Matematikai Enciklopédia

- (görög ortogoniosz téglalap) egy (elválasztható) L2(a,b) Hilbert-térhez tartozó véges vagy megszámlálható függvényrendszer (négyzetesen integrálható függvények) és teljesíti a feltételeket A g(x) függvény meghívása. súlyú O. s. f., * jelentése ...... Fizikai Enciklopédia

Az intervallumon definiált n(x)?, n=1, 2,... függvényrendszer vektor tér, amely megőrzi vektorok hosszát vagy (ami ezzel egyenértékű) skaláris szorzatát ... Nagy enciklopédikus szótár

Függvényrendszer (φn(x)), n = 1, 2, ..., amely az [a, b] szakaszon van definiálva, és teljesíti a következő ortogonalitási feltételt: k≠l esetén, ahol ρ(x) valamilyen függvény súlynak nevezik. Például trigonometrikus rendszer 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... enciklopédikus szótár

Függvényrendszer ((fn(x)), n=1, 2, ..., amely az [a, b] szakaszon van definiálva, és kielégíti a k ​​nyomkövetési, ortogonalitási feltételét, amely nem egyenlő l-lel, ahol p(x) egy nem határfüggvény , amelyet súlynak neveznek. Például trigonometrikus rendszer 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. súlyával ... ... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Függvényrendszer ((φn (x)), n = 1, 2,..., merőleges ρ (x) súllyal az [a, b] szakaszon, azaz olyan, hogy Példák. Trigonometrikus rendszer 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., OSF 1 súllyal a [ π, π] intervallumon. Bessel … Nagy szovjet enciklopédia

Az ortogonális olyan koordináták, amelyekben a metrikus tenzor átlós alakú. ahol d A q = (q1, q², …, qd) ortogonális koordinátarendszerekben a koordinátafelületek merőlegesek egymásra. Különösen a derékszögű koordinátarendszerben ... ... Wikipédia

ortogonális többcsatornás rendszer- - [L.G. Sumenko. Angol orosz információs technológiai szótár. M .: GP TsNIIS, 2003.] Témák információtechnológia általában EN ortogonális multiplex ...

(fotogrammetriai) képkoordináta-rendszer- Jobb oldali merőleges térrendszer fotogrammetriai képen a kiindulási jelek képeivel rögzített koordináták. [GOST R 51833 2001] A fotogrammetria témakörei ... Műszaki fordítói kézikönyv

rendszer- 4.48 kölcsönható elemek rendszerkombinációja egy vagy több kitűzött cél elérése érdekében 1. megjegyzés a bejegyzéshez: A rendszer tekinthető terméknek vagy az általa nyújtott szolgáltatásoknak. 2. megjegyzés A gyakorlatban…… A normatív és műszaki dokumentáció kifejezéseinek szótár-referenciája

1) O. olyan, hogy (x a , x ab)=0 at . Ha ezen felül minden vektor normája eggyel egyenlő, akkor az (x a ) rendszert hívjuk. ortonormális. Teljes O. s. (x a ) hívott. ortogonális (ortonormális) alap. M. I. Voitsekhovsky.

2) O. s. koordináták - egy koordinátarendszer, és amely koordinátavonalak (vagy felületek) derékszögben metszik egymást. O. s. A koordináták bármely euklideszi térben léteznek, de általánosságban véve nem léteznek tetszőleges térben. Kétdimenziós sima affin térben O. s. mindig bevezethető legalább az egyes pontok kellően kis szomszédságában. O. bevezetése olykor lehetséges. koordináták az esetben. In O. with. metrikus tenzor g ij Diagonal vonalok; átlós alkatrészek gii mint Béna együtthatók. Sánta együttható O. s. térben a képletekkel fejezzük ki

ahol x, yÉs z- Derékszögű derékszögű koordináták. A hosszúság elemét a Lame együtthatók fejezik ki:

felület elem:

kötet elem:

vektor differenciálműveletek:

A leggyakrabban használt O. s. koordináták: a síkon - derékszögű, poláris, elliptikus, parabolikus; térben - gömb alakú, hengeres, paraboloidális, kéthengeres, bipoláris. D. D. Szokolov.

3) O. s. függvények - véges vagy számláló rendszer (j én(x)) a térhez tartozó funkciókat

L2(X, S, m) és a feltételeknek megfelelő

Ha l én=1 mindenkinek én, akkor a rendszert hívják ortonormális. Feltételezzük, hogy az X halmaz részhalmazainak S-algebráján definiált m(x) mérték megszámlálhatóan additív, teljes és megszámlálható bázissal rendelkezik. Ez O. definíciója az s-re. magában foglalja az összes figyelembe vett modern elemzés O. s.; a mértéktér különféle konkrét megvalósításaihoz kapják ( X, S, m).

A legérdekesebbek a teljes ortonormális rendszerek (j n(x)), amelyeknek az a tulajdonságuk, hogy bármely függvénynél van egy egyedi sorozat, amely f(x)-hez konvergál a térmetrikában L2(X, S, m) , míg az együtthatók p a Fourier-képletek határozzák meg

Ilyen rendszerek a tér elválaszthatósága miatt léteznek L2(X, S, m). A teljes ortonormális rendszerek felépítésének univerzális módszere a Schmidt ortogonalizációs módszer. Ehhez elegendő néhány teljesre alkalmazni L2(S, X, m) lineárisan független függvényrendszer.

Elméletben merőleges sorok be oldal O.-ja általában úgy tekinti. tér L2[a, b](az a különleges eset, amikor X=[a, b], S- Lebesgue mérhető halmazok rendszere, m pedig a Lebesgue mérték). Számos tétel a sorozatok konvergenciájáról vagy összegezhetőségéről, az általános o. s. (j n(x)) szóközök L2[a, b] igazak a tér ortonormális rendszereinek sorozataira is L2(X, S, m). Ugyanakkor ebben a konkrét esetben érdekes konkrét merőleges rendszereket építettek fel, amelyek ilyen vagy olyan jó tulajdonságokkal rendelkeznek. Ilyen például Haar, Rademacher, Walsh-Paley, Franklin rendszere.

1) Haar rendszer

ahol m=2 n+k, , m=2, 3, ... . A Haar sorozat egy tipikus példa martingálokés a martingálelmélet általános tételei érvényesek rájuk. Ráadásul a rendszer alapja Lp, , és a Fourier-sor a Haar-rendszerben bármely integrálható függvényben szinte mindenhol konvergál.

2) Rademacher rendszer

oldal O. fontos példáját képviseli. független függvények, és mind a valószínűségszámításban, mind az ortogonális és általános függvénysorok elméletében alkalmazhatók.

3) Walsh-Paley rendszer a Rademacher függvények határozzák meg:

hol vannak a számok q k az n szám bináris kiterjesztésével határozzuk meg:

4) A Franklin-rendszert a függvénysorok Schmidt-módszerrel történő ortogonalizálásával kapjuk meg.

Ez egy példa a C tér ortogonális bázisára folyamatos funkciók.

A többszörös ortogonális sorozatok elméletében az alak függvényrendszerei

hol van az ortonormális rendszer L2[a, b]. Az ilyen rendszerek ortonormálisak az m-dimenziós kockán J m =[a, b]x . . .x[ a, b] és teljesek, ha a rendszer (j n(x))

Megvilágított.:[l] Kaczmarz S., Steinhaus G., Az ortogonális sorozatok elmélete, ford. németből, M., 1958; A tudomány eredményei. Matematikai elemzés, 1970, M., 1971, p. 109-46; ott, p. 147-202; Dub J., Valószínűségi folyamatok, ford. angolból, M., 1956; Loev M., Valószínűségelmélet, ford. angolból, M., 1962; Sigmund A., Trigonometrikus sorozat, ford. angol nyelvből, 1-2. kötet, M., 1965. A. A. Talalyan.

• - az L2 Hilbert-térhez tartozó, a gnas függvény feltételeit kielégítő véges vagy megszámlálható függvényrendszer. súlyú O. s. f.,* összetett ragozást jelent...

  Fizikai Enciklopédia

• - egy csoport mindenből lineáris transzformációk n-dimenziós V vektortér egy k mező felett, megőrizve egy rögzített, nem degenerált másodfokú Q alakot V)=Q-n bármely)...

  Matematikai Enciklopédia

• egy mátrix egy R kommutatív gyűrű felett, amelynek azonossága 1, amelyre a transzponált mátrix egybeesik az inverzével. Az O. m. determinánsa egyenlő +1 ...

  Matematikai Enciklopédia

• - olyan hálózat, amelynél a különböző családok egyeneseinek érintői bizonyos pontokon merőlegesek. Példák O. s.-re: aszimptotikus hálózat minimális felületen, vonalgörbületi hálózat. A. V. Ivanov...

  Matematikai Enciklopédia

• ortogonális tömb, OA egy kx N méretű mátrix, melynek elemei az 1, 2, .....

  Matematikai Enciklopédia

• - lásd Izogonális pálya...

  Matematikai Enciklopédia

• - Magyarul: System "generator - motor" Szabályozott elektromos hajtás, melynek átalakító berendezése egy elektromos gépi átalakító egység Forrás: Fogalmak és definíciók a villamosenergia-iparban ...

  Építőipari szótár

• - lásd: Kivetítés...

  Nagy enciklopédikus politechnikai szótár

• - a választási eredmény megállapításának eljárása, amelyben a mandátumot a kapott szavazatok számának megfelelően osztják szét a képviselő-testületbe jelölteket állító pártok között...

  Jogi szakkifejezések szójegyzéke

• - egyfajta arányos választási rendszer. Által végeredmények arányos rendszerre hasonlít, bőséggel és preferenciális szavazással...

  Jogi szakkifejezések szójegyzéke

• - az emberi test olyan szervei, amelyek részt vesznek az utódok szaporodási folyamatában ...

  orvosi kifejezések

• - négyféle génből álló sorozat, amelyek a legtöbb sejtmaggal rendelkező sejt felszínén található polimorf fehérjéket kódolnak...

  orvosi kifejezések

• - Rendeld meg a Mátrixot...
• - a párhuzamos vetítés speciális esete, amikor a tengely vagy a vetítési sík merőleges a vetítés irányára ...

  Nagy szovjet enciklopédia

• - függvényrendszer (), n = 1, 2,..., ortogonális ρ súllyal az intervallumra, azaz olyan, hogy Példák. Trigonometrikus rendszer 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O. s. f. 1-es súllyal a szegmensen...

  Nagy szovjet enciklopédia

• - ORTOGONÁLIS FUNKCIÓRENDSZER - Függvényrendszer n?, n=1, 2,.....

  Nagy enciklopédikus szótár

"ORTOGONÁLIS RENDSZER" a könyvekben

XXIV. szakasz A lövészárok-hadviselés régi rendszere és a modern menetrendszer

A Stratégia és taktika a háború művészetében című könyvből szerző Jomini Genrikh Veniaminovich

XXIV. bekezdés A helyzeti hadviselés régi rendszere és a modern felvonulási rendszer Az állásrendszeren a módszeres hadviselés régi módszerét értjük sátrakban alvó, készletekkel kéznél lévő, egymást megfigyelő seregekkel; egy hadsereg

19. Az "Orosz Föderáció adórendszere" fogalma. Összefüggés az "adórendszer" és az "adórendszer" fogalma között

Az Adójog című könyvből a szerző Mikidze S G

19. Az "Orosz Föderáció adórendszere" fogalma. Összefüggés az "adórendszer" és az "adórendszer" fogalmai között Az adórendszer az Orosz Föderációban megállapított szövetségi adók, regionális és helyi adók összessége. Szerkezete az 1. sz. Az Orosz Föderáció adótörvénykönyve 13–15

A Hogyan volt valójában című könyvből. Újjáépítés igaz történelem szerző Noszovszkij Gleb Vladimirovics

23. Ptolemaiosz geocentrikus rendszere és Tycho Brahe (és Kopernikusz) heliocentrikus rendszere Tycho Brahe világrendszere az ábrán látható. 90. A világ közepén van a Föld, amely körül a Nap kering. Az összes többi bolygó azonban már a Nap körül kering. Pontosan

23. Ptolemaiosz geocentrikus rendszere és Tycho Brahe (és Kopernikusz) heliocentrikus rendszere

A szerző könyvéből

23. Ptolemaiosz geocentrikus rendszere és Tycho Brahe (és Kopernikusz) heliocentrikus rendszere Tycho Brahe világrendszere az ábrán látható. 90. A világ közepén van a Föld, amely körül a Nap kering. Az összes többi bolygó azonban már a Nap körül kering. Pontosan

ortogonális mátrix

TSB

ortogonális vetület

A Big című könyvből Szovjet Enciklopédia(VAGY) szerző TSB

Ortogonális függvényrendszer

A szerző Great Soviet Encyclopedia (OR) című könyvéből TSB

49. Az igazságszolgáltatás és a bűnüldöző szervek rendszere a „Szovjetunió és az Uniós Köztársaságok jogalkotásának alapjai” 1958.

Oroszország állam- és jogtörténete című könyvből szerző Paskevics Dmitrij

49. Az igazságszolgáltatás és a rendfenntartó szervek rendszere az 1958. évi „Szovjetunió és az Uniós Köztársaságok jogalkotásának alapjai” szerint. Az igazságszolgáltatásról szóló törvénykezés alapjai meghatározták a Szovjetunió igazságszolgáltatási rendszerének felépítésének alapelveit, a a szakértői értékelés alapelvei

Az objektív (pozitív) jog rendszere és a jogalkotás rendszere: fogalmak összefüggései

A Jogtudomány című könyvből szerző Mardaliev R. T.

Az objektív (pozitív) jog rendszere és a jogalkotás rendszere: fogalmak összefüggései Az objektív (pozitív) jog rendszere a jog belső szerkezete, a jog tárgyának és módszerének megfelelően ágakra, alágazatokra és intézményekre bontva. jogi

29. Kötelező kormányzati rendszer és a helyi önkormányzati rendszer az osztályképviseleti monarchia idején

szerző

29. Prikaznaja kormányzati rendszer és a helyi önkormányzati rendszer az osztályképviseleti monarchia időszakában

86. Az igazságszolgáltatás és a bűnüldöző szervek rendszere a „Szovjetunió és az Uniós Köztársaságok jogalkotásának alapjai” 1958.

A Csallólap Oroszország állam- és jogtörténetéről című könyvből szerző Dudkina Ludmila Vladimirovna

86. Az igazságszolgáltatás és a rendfenntartó szervek rendszere a "Szovjetunió és az Uniós Köztársaságok jogalkotásának alapjai" szerint 1958 1948 óta a Szovjetunió és a köztársaságok eljárási jogalkotása jelentős változásokon ment keresztül:

31. A francia kormányzati rendszer, a választójog és a választási rendszer

A külföldi országok alkotmányjoga című könyvből a szerző Imasheva E G

31. A hatóságok rendszere Franciaországban, választójog és választási rendszer Franciaországban vegyes (vagy félelnöki) köztársasági kormány működik. A franciaországi kormányzati rendszer a hatalmi ágak szétválasztásának elvén épül fel.A modern Franciaország

44. Franciaország hatósági rendszere, választójog és választási rendszer

A külföldi országok alkotmányjoga című könyvből. Gyerekágy szerző Belousov Mihail Szergejevics

44. Francia kormányzati rendszer, választójog és választási rendszer Franciaország vegyes (félelnöki) köztársaság, a kormányzati rendszer a hatalmi ágak szétválasztásának elvén alapul.

fejezet IV. Kétfejes megfelelőségi rendszer. Rovarrendszer. Minirendszer

A Su Jok könyvből mindenkinek írta Woo Pak Jae

fejezet IV. Kétfejes megfelelőségi rendszer. Rovarrendszer. Mini-rendszerű kettősfejű levelezési rendszer Két fej-megfelelő rendszer található a kéz- és lábujjakon: az „ember típusú" rendszer és az „állat típusú" rendszer. Az „ember típusú" rendszer. Határ

Első érzelmi központ - csontrendszer, ízületek, vérkeringés, immunrendszer, bőr

A könyvből Minden rendben lesz! írta: Hay Louise

Első érzelmi központ – csontrendszer, ízületek, keringés, immunrendszer, bőr Az első érzelmi központhoz kapcsolódó szervek egészsége attól függ, hogy biztonságban érzi-e magát ezen a világon. Ha megfosztják a család és a barátok támogatásától, hogy Ön