A töltés elektrosztatikus térben történő mozgatásának munkája nem függ az átmeneti út alakjától, hanem csak a mozgás kezdeti és végső pontjának helyzetétől, azaz. a ponttöltés elektrosztatikus tere potenciális, az elektrosztatikus erők konzervatívak. Abban az esetben, ha a q 0 töltés a töltésrendszer területén mozog, akkor a mozgó töltésre a szuperpozíciók elve szerint erő hat, és az eredő erő munkája egyenlő a töltésrendszer munkájának algebrai összegével. megfelelő erők:

, (7.11)

ahol r i 1 és r i 2 a q i töltés és a q 0 töltés mozgásának kezdő- és végpontjának távolsága. A (7.10) képletből az is következik, hogy a töltés elektrosztatikus térben zárt úton történő mozgása során végzett munka nulla, azaz. . Ha az eltolt töltést egységnek vesszük, akkor (7.11) felírható:

, vagy . (7.12)

Ezt az integrált ún a feszültségvektor keringése zárt kontúr mentén.

Az intenzitásvektor-cirkulációs tételből több fontos következtetés is levonható: 1) a térerősség-vonalak nem zárhatók; 2) az ábrán látható formájú elektrosztatikus tér megléte. 7.5 lehetetlen.

	7.5
7.4

Valójában, ha erre a mezőre alkalmazzuk a vektor zárt körvonal mentén történő cirkulációjáról szóló tételt, az ábra mutatja. 7,6 pontozott vonal, akkor ez különbözne a nullától, ami ellentmond a tételnek.

42. kérdés

Az elektrosztatikus tér potenciálja. q2 a töltésmezőben q 1 formába írható

. (7.16)

wp const r→ ∞, wp= 0. Ennélfogva,

. (7.17)

w/q2 q2.

q egyenlő

Ha a mezőt díjrendszer hozza létre q 1 , q 2 , … q n , majd a töltés potenciális energiájára q pr az általunk kapott díjrendszer területén

. (7.21)

Figyelembe véve a (7.19) egy töltésrendszer mezőjének potenciálja egyenlő az egyes töltések által külön-külön létrehozott potenciálok algebrai összegével

(7.22)

7.7 A j potenciál és az erősség kapcsolata elektromos mező. A kapcsolat és a φ differenciálképlete, amely a mező bármely pontjának kis környezetére érvényes, az elemi munka kifejezéseiből származtatható. Ahol

ahol El- vektor vetítése egy térbeli irányra.

Egy általánosabb vektorformában a vektor egyenlő , ahol

a tengelyek mentén irányított egységvektorok x, y, z Az utolsó egyenlet így írható fel

Vagy Ñj , (7.19)

azok. a térerősség megegyezik a potenciál gradienssel, és a csökkenő potenciál irányába irányul.

43. kérdés

7,8 vezeték elektromos térben. Ha a vezető bizonyos töltést kap, vagy külső elektrosztatikus mezőbe helyezi, akkor mindkét esetben a vezető töltéseit érinti az elektrosztatikus tér, és azok a vezető belsejében mozognak. Ez a folyamat addig folytatódik, amíg a vezető belsejében lévő mező nulla nem lesz, és a vezető belsejében lévő potenciálnak állandónak kell lennie (j=const). A vezető felületén lévő feszültséget minden ponton a normál mentén kell irányítani. Ellenkező esetben a tangenciális komponensek mozgásba hoznák a felület töltéseit, és a töltések egyensúlya felborulna. A Gauss-tétel alkalmazásával a térerőt közvetlenül a vezető felületén határozhatja meg

,

ahol e a vezetőt körülvevő közeg permittivitása, s a felületi töltéssűrűség.

7.9 Magányos vezető elektromos kapacitása. Tekintsünk más vezetőktől, testektől és töltésektől távol eső vezetőt, amellyel kapcsolatban magányos vezetőnek tekinthető. A tapasztalatból az következik, hogy kapcsolat van a töltés és a potenciál között q = Сj.

Az értéket ún elektromos kapacitás vagy egyszerűen egy magánvezető kapacitása. A kapacitás függ a vezető alakjától és méreteitől, és nem függ az anyagtól, az összesítés állapota valamint a vezető belsejében lévő üregek méreteiről. A kapacitás független a vezető töltésétől és potenciáljától.

7.10 Kondenzátorok elektromos kapacitása. Az egymáshoz szorosan elhelyezkedő, azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltésekkel töltött vezetékrendszert kondenzátornak, a vezetőket pedig lemezeinek nevezzük. Meg kell határozni a kondenzátor kapacitását

ahol j 1 - j 2 a lemezek közötti potenciálkülönbség, q- a kondenzátor pozitív töltésű lapján található töltés. A lemezek alakja szerint a kondenzátorok laposak, hengeresek és gömb alakúak:

1) lapos kondenzátor elektromos kapacitása

2) hengeres kondenzátor elektromos kapacitása

, (7.23)

hol van a kondenzátor hossza, R1és R2 a belső és a külső hengeres lemezek sugarai.

3) Egy gömbkondenzátor kapacitása

, (7.24)

ahol R1és R2 a belső és a külső lemezek sugarai.

44. kérdés

7.11 Töltött kondenzátor energiája. A kondenzátor feltöltésének folyamata végtelenül kicsi töltésrészek egymás utáni mozgásaként ábrázolható. dq egyik lemezről a másikra, aminek következtében az egyik lemez pozitívan, a másik negatívan töltődik, és fokozatosan növekvő potenciálkülönbség lép fel közöttük U = q / C. Ebben az esetben a kondenzátor energiája egyenlő

Itt E a kondenzátoron belüli elektromos térerősség, a V=Sd a térfogata. Innen ered az egységnyi térfogat energiája, vagy az elektromos tér térfogati energiasűrűsége

Izotróp dielektrikumban a és vektorok irányai egybeesnek. Ezért az energiasűrűség képlete megadható a formában

Ebben a kifejezésben az első tag egybeesik a mező energiasűrűségével vákuumban. A második tag a dielektrikum polarizációjára fordított energia.

7.6 Az elektrosztatikus mező potenciálja. Mivel a konzervatív erők munkája egyenlő a potenciális energia veszteséggel, ezért a (7.13) képlet alapján a töltés potenciális energiájának kifejezése q2 a töltésmezőben q 1 formába írható

. (7.16)

Amint a (7.16) kifejezésből látható, wpállandó értékig van meghatározva. Ilyenkor egy ponttöltés elektromos mezőjére szokás választani const hogy a töltések között végtelenül nagy távolságban kölcsönös legyen helyzeti energia nullára fordult: r→ ∞, wp= 0. Ennélfogva,

.

A (7.17) képletből következik, hogy az arány w/q2 mert a mező adott pontja nem függ a töltés nagyságától q2. Ezért ez az arány az elektrosztatikus mező energiajellemzőjeként szolgálhat, amelyet ún mezőpotenciál, és egyenlő a behelyezett teszttöltés potenciális energiájának arányával adott pont mezőben, ennek a díjnak az értékére

A (7.17) és (7.18) kifejezésekből az következik, hogy egy ponttöltés mezőjének potenciálja q egyenlő

A töltés elektrosztatikus térben történő mozgatásának munkája egyenlő a töltés nagyságának és a potenciálkülönbség szorzatával a mozgás kezdeti és végső pontjában

Keringési tétel

Korábban azt találtuk, hogy az elektrosztatikus térben lévő töltést (q) konzervatív erők befolyásolják, amelyek munkája ($A$) bármely zárt úton (L) nullával egyenlő:

ahol $\overrightarrow(s)$ az eltolási vektor (nem tévesztendő össze a területtel), a $\overrightarrow(E)$ a térerősségvektor.

Egy egységnyi pozitív töltésre a következőket írhatjuk:

A (2) egyenlet bal oldalán lévő integrál az intenzitásvektor körforgása az L kontúr mentén. jellemző tulajdonság Az elektrosztatikus tér az, hogy intenzitásvektorának keringése bármely zárt hurokban egyenlő nullával. Az ilyen állítást elektrosztatikus térerősség-vektor cirkulációs tételnek nevezzük.

A keringési tételt igazoljuk azon az alapon, hogy a mező munkája a töltés mozgatásakor nem függ a töltés pályájától az elektrosztatikus térben, amit a következő egyenlőséggel fejezünk ki:

ahol $L_1\ és\ L_2$ különböző útvonalak az A és B pontok között. Figyelembe vesszük, hogy amikor felcseréljük az integráció határait, a következőt kapjuk:

A (4) kifejezést a következőképpen ábrázoljuk:

ahol $L=L_1+L_2$. Tehát a tétel bebizonyosodott.

A cirkulációs tétel következménye, hogy az elektrosztatikus tér erővonalai nem zártak. Pozitív töltésekkel kezdődnek, és negatív töltésekkel végződnek, vagy a végtelenbe mennek. A tétel statikus töltésekre igaz. A tétel másik következménye: a feszültség tangenciális összetevőinek folytonossága (a normálkomponensekkel ellentétben). Ez azt jelenti, hogy azok a feszültségkomponensek, amelyek bármely kiválasztott felületet annak bármely pontjában érintik, egyenlő értékűek a felület mindkét oldalán.

Kiválasztunk egy tetszőleges S felületet, amely az L kontúron alapul (1. ábra).

A Stokes-képlet (Stokes-tétel) szerint az S felületre felvett feszültségvektor ($rot\overrightarrow(E)$) görbületének integrálja egyenlő a feszültségvektor körforgásával, amelyen a kontúr ez a felület nyugszik:

ahol $d\overrightarrow(S)=dS\cdot \overrightarrow(n)$, $\overrightarrow(n)$ -- egységvektor merőleges a dS szakaszra. A rotor ($rot\overrightarrow(E)$) a vektor "örvénylésének" intenzitását jellemzi. A vektorrotor vizuális ábrázolása akkor érhető el, ha egy kis könnyű járókereket (2. ábra) helyezünk egy folyadékáramba. Azokon a helyeken, ahol a forgórész nem egyenlő nullával, a járókerék forog, és a forgási sebessége minél nagyobb lesz, annál nagyobb a forgórész vetítőmoduljának vetülete a járókerék tengelyére.

A rotor gyakorlati számításánál a képleteket leggyakrabban használják:

Mivel a (6) egyenletnek megfelelően az intenzitásvektor körforgása nulla, így kapjuk:

A (8) feltételnek teljesülnie kell minden S felületre, amely az L kontúron nyugszik. Ez csak akkor lehetséges, ha az integrandus:

és a mező minden pontjára.

ábrán látható járókerékkel analóg módon. 2 képzelj el egy elektromos "járókereket". Egy ilyen „járókerék” végein egyenlő q töltések vannak. A rendszer egy egységes E intenzitású mezőbe kerül. Azokon a helyeken, ahol $rot\overrightarrow(E)\ne 0$ egy ilyen "eszköz" olyan gyorsulással fog forogni, amely a forgórész járókerék tengelyre való vetületétől függ. Elektrosztatikus tér esetén egy ilyen „eszköz” nem forogna a tengely bármely irányában. Mivel az elektrosztatikus tér sajátossága, hogy irrotációs. A (9) egyenlet a cirkulációs tételt differenciál formában reprezentálja.

1. példa

Feladat: Az ábrán. A 3. ábra az elektrosztatikus mezőt mutatja. Mit mondhatunk az ábra alapján ennek a mezőnek a jellemzőiről?

Erről a mezőről elmondható, hogy ilyen elektrosztatikus tér nem létezhet. Ha kiválasztja a kontúrt (szaggatott vonal jelzi). Egy ilyen áramkör esetében az intenzitásvektor körforgása:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)\ne 0)\left(1.1\right),\]

ami ellentmond az elektrosztatikus tér keringési tételének. A térerőt a térvonalak sűrűsége határozza meg, benne van Különböző részek mező nem ugyanaz, ennek eredményeként a zárt hurokban végzett munka eltér a nullától, ezért az intenzitásvektor körforgása nem egyenlő nullával.

2. példa

Feladat: Mutassuk meg a keringési tétel alapján, hogy az elektrosztatikus térerősség vektor érintőleges komponensei nem változnak a dielektromos határfelületen való áthaladáskor!

Tekintsük két $(\varepszilon )_2\ és\ (\varepsilon )_1$ permittivitású dielektrikum közötti határt (4. ábra). Ezen a szegélyen válasszunk egy kis téglalap alakú kontúrt a - hosszúság, b - szélesség paraméterekkel. Az x tengely áthalad a b oldalak felezőpontjain.

Elektrosztatikus térre teljesül a keringési tétel, amelyet a következő egyenlettel fejezünk ki:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=0\ \left(2.1\right).)\]

Kis kontúrméreteknél az intenzitásvektor cirkulációja és a kontúr megkerülésének jelzett irányának megfelelően a (2.1) képletben az integrál a következőképpen ábrázolható:

\[\oint\limits_L(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(s)=E_(1x)a-E_(2x)a+\left\langle E_b\right\rangle 2b=0\ \left(2.2\right) ,)\]

ahol $\left\langle E_b\right\rangle $ a $\overrightarrow(E)$ átlagos értéke a felületre merőleges szakaszokban.

A (2.2) pontból az következik, hogy:

\[((E)_(2x)-E_(1x))a=\left\langle E_b\right\rangle 2b\ (2.3).\]

Ha $b\0$, akkor azt kapjuk, hogy:

A (2.4) kifejezés teljesül az X tengely tetszőleges megválasztására, amely a dielektromos határfelületen fekszik. Ha az intenzitásvektort két komponens formájában ábrázoljuk (tangenciális $E_(\tau )\ $ és normál $E_n$):

\[\overrightarrow(E_1)=\overrightarrow(E_(1n))+\overrightarrow(E_(1\tau )),\overrightarrow(E_2)=\overrightarrow(E_(2n))+\overrightarrow(E_(2\) tau ))\ \left(2,5\right).\]

Ebben az esetben a (2.4)-ből ezt írjuk:

ahol $E_(\tau i)$ az erővektor vetülete a $\tau $ egységvektorra a dielektromos interfész mentén.

Ha egy ponttöltés elektrosztatikus terében K egy pontból 1 pontosan 2 egy másik Q 0 ponttöltés tetszőleges pályán mozog (132. ábra), ekkor a töltésre kifejtett erő működik. Erőszakos munka F elemi elmozduláson dl egyenlő

Dolgozzon Q 0 töltés mozgatásakor egy pontból 1 pontosan 2

nem függ a mozgás pályájától, hanem csak a kezdőbetű pozíciói határozzák meg 1 és végleges 2 pontokat. Ezért a ponttöltés elektrosztatikus tere az lehetségesés az elektrosztatikus erők konzervatív(lásd 12. §).

A (83.1) képletből az következik, hogy az elektromos töltés külső elektrosztatikus térben bármilyen zárt úton történő mozgatásakor végzett munka L egyenlő nullával, azaz.

Ha egységpontos pozitív töltést veszünk elektrosztatikus térben hordozott töltésnek, akkor elemi munka térerők az úton d l egyenlő E d l=E l dl, ahol E l =E cosa - vektoros vetítés E az elemi elmozdulás irányába. Ekkor a (83.2) képlet így írható fel

Integrál

hívott a feszültségvektor keringése. Ezért az elektrosztatikus térerősség vektor keringése bármely zárt hurok mentén egyenlő nullával. A (83.3) tulajdonságú erőteret nevezzük lehetséges. A keringési vektor eltűnésétől E ebből következik, hogy az elektrosztatikus tér vonalai nem zárhatók le, töltéseken kezdődnek és végződnek (pozitív vagy negatív), vagy a végtelenbe mennek.

A (83.3) képlet csak elektrosztatikus mezőre érvényes. A későbbiekben megmutatjuk, hogy a mozgó töltések mezőjére a (83.3) feltétel nem teljesül (ehhez az intenzitásvektor körforgása nem nulla).

Az elektromos tér erőinek munkája. Az elektromos térerősség vektorának cirkulációja. Tekintsünk egy stacioner Q ponttöltés által létrehozott elektrosztatikus teret. Ennek a mezőnek bármely pontjában Coulomb-erő hat a Qo ponttöltésre. Ekkor ennek az erőnek a munkája a Qo töltésen a dl elemi elmozdulásnál, vagy: da = = Fdlcosα = Mivel dlcosα = dr, akkor da =

Munkavégzés a Qo töltés tetszőleges pályán történő mozgatásakor az 1. pontból a 2. pontba A képletből következő munkavégzés nem függ a mozgás pályájától, hanem csak a kezdeti 1 és a végső 2 pont helyzete határozza meg. Ezért a ponttöltés elektrosztatikus tere potenciális, az elektrosztatikus erők pedig konzervatívak A kifejezésből az is következik, hogy az elektromos töltés külső elektrosztatikus térben bármely zárt L úton történő mozgása során végzett munka nullával egyenlő, azaz.

Az 1. Tétel következményei A tételből az következik, hogy az elektrosztatikus térerősség vektor keringése bármely zárt körvonal mentén egyenlő nullával. Az E erőteret potenciálisnak nevezzük, ha az E vektor keringése bármely zárt hurok mentén egyenlő nullával. 2. A tétel csak elektrosztatikus térre érvényes. 3. Az elektrosztatikus tér vonalai nem zárhatók, töltéseken kezdődnek és végződnek (pozitív vagy negatív), vagy a végtelenbe mennek. Tegyük fel, hogy a feszítővezeték zárva van. Ha ezt választjuk L integrációs kontúrnak, akkor ezt a kontúrt pozitív irányban megkerülve pozitívak a feszültségvonalak, az integrálban lévő integrandus és maga az integrál. Ez azonban ellentmond annak a tételnek, amely azt bizonyítja, hogy az E vektor intenzitásvonalai nem zárhatók le.

Az elektrosztatikus tér potenciálja a potenciálkülönbség Az elektrosztatikus tér erőinek munkája a potenciális energiák különbségeként ábrázolható, amellyel egy Qo ponttöltés rendelkezik a Q töltés által létrehozott mező kezdeti és végpontjában: Ezért : a Qo töltés potenciális energiája a Q töltésmezőben egyenlő a W potenciális energiával C állandón belül van meghatározva. Az állandó értékét általában úgy választják meg, hogy amikor a töltést végtelenig (r) eltávolítjuk, a potenciál az energia eltűnik (W \u003d 0), majd C \u003d 0 és a Qo töltés potenciális energiája, amely a Q töltés mezőjében található tőle r távolságra, egyenlő

0 és kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív, ellentétes töltéseknél Q 0 Q 0 és kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív, ellentétes töltéseknél Q 0 Q 7 Hasonló töltéseknél Q 0 Q > 0 és kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív, eltérő töltéseknél Q 0 Q 0 és kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív, eltérő töltéseknél Q 0 Q 0 és a kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív, mivel a Q 0 Q 0 töltésekkel ellentétben a kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív, a Q 0 töltésekkel ellentétben Q 0 és kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív. , eltérő töltéseknél Q 0 Q title="(!LANG:Hasonló töltéseknél Q 0 Q > 0 és kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív, eltérő töltéseknél Q 0 Q

Potenciál Az elektrosztatikus tér bármely pontjában lévő potenciált nevezzük fizikai mennyiség, amelyet az erre a pontra helyezett egységnyi pozitív töltés potenciális energiája határoz meg. Ha a mezőt egy n-es töltésből álló rendszer hozza létre, akkor a töltésrendszer mezőjének potenciálja egyenlő ezen töltések mezői potenciáljainak algebrai összegével, amelyet minden töltés külön-külön hoz létre ezen a ponton: a Q ponttöltés által létrehozott mező potenciálja,

Az elektrosztatikus tér erői által végzett munka, amikor a Qo töltést az 1. pontból a 2. pontba mozgatja, potenciálként írható fel). A képletből az következik, hogy egy elektrosztatikus térben két 1. és 2. pont potenciálkülönbségét a térerők által végzett munka határozza meg, amikor egyetlen pozitív töltést 1 pontból 2. pontba mozgatnak. Ha a Qo töltést egy tetszőleges pont 1 a mezőn kívül, azaz a végtelenig (ahol feltétel szerint a potenciál nulla), akkor az elektrosztatikus tér erőinek munkája, és ezért

Potenciál - skaláris fizikai mennyiség, amelyet egy egységnyi pozitív töltésnek a mező adott pontjáról a végtelenbe történő mozgatása határozza meg. Ez a munka numerikusan megegyezik azzal a munkával, amelyet külső erők végeznek (az elektrosztatikus tér erőivel szemben), amikor egy egységnyi pozitív töltést a végtelenből a mező adott pontjába visznek. A potenciál mérete volt (V). 1V a mező azon pontjának potenciálja, ahol az 1C töltés potenciális energiája 1J (1V = 1J/C). A volt mérete alapján az elektrosztatikus térerő mértékegysége V/m-ben fejezhető ki:

Az erő és a potenciál egyenpotenciálfelületek kapcsolata Tekintsük, hogyan függ össze az E elektrosztatikus tér erőssége (teljesítményvektor karakterisztikája) és a potenciál (energia skaláris karakterisztikája). A konzervatív erőt és a potenciális energiát a következő összefüggés köti össze: Potenciálmezőben lévő töltés esetén, és mivel az elektrosztatikus tér potenciális, F = Q 0 E és W = Q 0 kapjuk.

Kapcsolat megállapítása az elektrosztatikus tér intenzitása és potenciálja között. A mínuszjel azt jelzi, hogy az intenzitásvektor Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve és figyelembe véve, hogy a Q 0 tényező nem függ a koordinátáktól, azt jelenti, hogy csökkenteni tudjuk, a csökkenő potenciál irányába irányított mezőképletet kapjuk.

A térerők munkája, amikor a Q 0 töltés 1 pontból 2 pontba mozog, szintén felírható a képletekből formába, és ebből következik, hogy az a potenciálkülönbség, ahol az integráció elvégezhető bármely, a kezdő- és végpontot összekötő egyenes mentén, mivel az elektrosztatikus térerők munkája nem függ a mozgási pályáktól.

A képlet lehetővé teszi az inverz probléma megoldását adott E értékekre, hogy megtalálja a mező tetszőleges pontjai közötti potenciálkülönbséget. Azt a felületet, amelynek minden pontja azonos potenciállal rendelkezik, ekvipotenciális felületnek nevezzük. A feszültségvonalak mindig merőlegesek a potenciálkiegyenlítő felületekre. Az ekvipotenciális felület minden pontja azonos potenciállal rendelkezik, így a töltés ezen a felületen történő mozgatására fordított munka nulla. Vagyis a töltésre ható elektrosztatikus erők mindig a normálok mentén az ekvipotenciális felületekre irányulnak. Ebből következően az E vektor mindig normális az ekvipotenciális felületekre, ezért az E vektor egyenesei merőlegesek ezekre a felületekre. lehetővé teszi az E meghatározását ismert értékekből,

Pozitív ponttöltésű (balra), ellentétes ponttöltésű (jobbra) és azonos nevű pozitív ponttöltésű (alul) feszültségvonalak (szaggatott vonalak) és ekvipotenciális felületek (folytonos vonalak) metszete. Minden töltés és töltésrendszer körül végtelen számú ekvipotenciális felület található. Általában azonban úgy hajtják végre, hogy a potenciálkülönbségek bármely két szomszédos ekvipotenciális felület között azonosak legyenek. Ekkor az ekvipotenciális felületek sűrűsége egyértelműen jellemzi a térerősséget a különböző pontokon. Ahol ezek a felületek sűrűbbek, ott nagyobb a térerősség.

Az elektrosztatikus térerősség vonalaival nemcsak az E vektor iránya, hanem modulja is jellemezhető. Ehhez meghatározott sűrűségű feszültségvonalakat húzunk: a feszítővonalakra merőleges egységnyi felületen áthatoló feszítővonalak számának meg kell egyeznie az E vektor modulusával.

Ha a hely valamilyen α szöget zár be E-vel, akkor a dS elemi helyet behatoló feszültségvonalak száma, amelynek n normálja α szöget zár be az E vektorral, egyenlő ЕdScosα = E n dS, ahol E p a az E vektor vetítése a normál n-re a dS helyre. A dФ E = E n dS = EdS értéket az intenzitásvektor dS területen áthaladó fluxusának nevezzük. Itt dS = dSn egy olyan vektor, amelynek modulusa egyenlő dS-sel, és az irány egybeesik a normál n hely felé irányuló irányával. A dS nem valódi vektor – ez egy pszeudovektor. Az n vektor (és ebből következően a dS) irányának megválasztása feltételes, mivel bármely irányba irányítható.

Egy tetszőleges S zárt felületre (sok esetben pont ilyen felületeket veszünk figyelembe az alábbiakban) az E vektor ezen a felületen áthaladó áramlása A tankönyvekben gyakran van rekord, de arra utalnak, hogy az integrál kétszeres, mivel egy másodrendű, over area változót vesz át. Az integrál előjelén lévő gyűrű azt jelenti, hogy az integrál egy zárt S felületen van átvéve.

Az E vektor áramlása egy algebrai mennyiség: nemcsak az E mező konfigurációjától függ, hanem az n irány megválasztásától is.. Zárt felületeknél a normál pozitív irányát a külső normálisnak vesszük, azaz a felület által fedett tartományból kifelé irányuló normál.

Ha egy ponttöltés elektrosztatikus terében K egy pontból 1 pontosan 2 egy másik ponttöltés tetszőleges pályán mozog (132. ábra) K 0 , a töltésre kifejtett erő működik. Erőszakos munka F elemi elmozduláson d l egyenlő

Mivel d/cos=d r, azután

Dolgozzon a töltés mozgatása közben K 0 pontból 1 pontosan 2

(83.1)

nem függ a mozgás pályájától, hanem csak a kezdőbetű pozíciói határozzák meg 1 és végleges 2 pontokat. Ezért a ponttöltés elektrosztatikus tere az lehetségesés elektrosztatikus erők - konzervatív(lásd 12. §).

A (83.1) képletből az következik, hogy az elektromos töltés külső elektrosztatikus térben bármilyen zárt úton történő mozgatásakor végzett munka L, egyenlő nullával, azaz.

Ha egységpontos pozitív töltést veszünk elektrosztatikus térben hordozott töltésnek, akkor a térerők elemi munkája a d úton l egyenlő E d l=E l dl, ahol E l =E kötözősaláta  - vektor vetítés E az elemi elmozdulás irányába. Ekkor a (83.2) képlet így írható fel

(83.3)

Integrál hívott a feszültségvektor keringése. Ezért az elektrosztatikus térerősség vektor keringése bármely zárt hurok mentén egyenlő nullával. A (83.3) tulajdonságú erőteret potenciálnak nevezzük. A keringési vektor eltűnésétől E ebből következik, hogy az elektrosztatikus tér vonalai nem zárhatók le, töltéseken kezdődnek és végződnek (pozitív vagy negatív), vagy a végtelenbe mennek.

A (83.3) képlet csak elektrosztatikus mezőre érvényes. A későbbiekben megmutatjuk, hogy a mozgó töltések mezőjére a (83.3) feltétel nem teljesül (ehhez az intenzitásvektor körforgása nem nulla).

84. § Elektrosztatikus tér potenciálja

A potenciális erőtérben elhelyezkedő test (az elektrosztatikus tér pedig potenciál) rendelkezik potenciális energiával, aminek köszönhetően a mező erői végzik a munkát (lásd 12. §). Mint ismeretes (lásd (12.2)), a konzervatív erők munkája a potenciális energia csökkenése miatt történik. Ezért az elektrosztatikus tér erőinek munkája (83.1) egy ponttöltés által birtokolt potenciális energiák különbségeként ábrázolható. K 0 a töltésmező kezdő- és végpontjában K:

(84.1)

ahonnan az következik, hogy a töltés potenciális energiája qq a töltésmezőben K egyenlő

A mechanikához hasonlóan kétértelműen van meghatározva, tetszőleges állandóig Val vel. Ha feltételezzük, hogy amikor a töltést a végtelenségig eltávolítjuk ( r) a potenciális energia eltűnik ( U=0), azután Val vel=0 és a töltés potenciális energiája K 0 , a töltés területén található K tőle r távolságra egyenlő

(84.2)

Hasonló díjakért K 0 K> 0 és kölcsönhatásuk (taszításuk) potenciális energiája pozitív, ellentétes töltésekre K 0 K<0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Ha a mezőt a rendszer generálja n pontdíjak K 1 , K 2 , ..., K n, akkor a töltésen végzett elektrosztatikus erők munkája K 0 , egyenlő az egyes töltésekből származó erők munkájának algebrai összegével. Ezért a potenciális energia U díj K 0 , ebben a mezőben található, egyenlő a potenciális energiák összegével U én , az egyes díjak:

(84.3)

A (84.2) és (84.3) képletekből az következik, hogy az arány U/ K 0 nem attól függ K 0 és ezért van az elektrosztatikus mezőre jellemző energia, potenciálnak nevezzük:

Lehetséges az elektrosztatikus tér bármely pontján van egy fizikai mennyiség, amelyet az erre a pontra helyezett egységnyi pozitív töltés potenciális energiája határoz meg.

A (84.4) és (84.2) képletekből következik, hogy a ponttöltés által létrehozott mező potenciálja K, egyenlő

A falvak által végzett munka az elektrosztatikus mező mozgatásakor a töltés K 0 pontból 1 pontosan 2 (lásd (84.1), (84.4), (84.5)), úgy ábrázolható

azaz egyenlő az átvitt töltés és a kezdeti és végponti potenciálkülönbség szorzatával. Lehetséges különbség két pont 1 és 2 elektrosztatikus térben a térerők által végzett munka határozza meg, amikor egységnyi pozitív töltést mozgatnak egy pontból 1 pontosan 2 .

A térerők munkája a töltés mozgatásakor K 0 pontból 1 pontosan 2 formában is írható

(84.7)

A (84,6) és a (84,7) egyenletet megadva a potenciálkülönbség kifejezéséhez jutunk:

(84.8)

ahol az integráció bármely kezdő és végpontot összekötő vonal mentén elvégezhető, mivel az elektrosztatikus térerők munkája nem függ a mozgás pályájától.

Ha mozgatja a töltést K 0 a mezőn kívüli tetszőleges ponttól, azaz a végtelenig, ahol feltétel szerint a potenciál nulla, akkor az elektrosztatikus tér erőinek munkája a (84.6) szerint, A  = K 0  , ahol

És így, lehetséges- fizikai mennyiség, amelyet egy egységnyi pozitív töltés mozgatása határoz meg, amikor azt a mező adott pontjáról a végtelenbe eltávolítjuk. Ez a munka numerikusan megegyezik azzal a munkával, amelyet külső erők végeznek (az elektrosztatikus tér erőivel szemben), amikor egy egységnyi pozitív töltést a végtelenből a mező adott pontjába visznek.

A (84.4) kifejezésből az következik, hogy a potenciál mértékegysége az volt(B): 1 V a mező olyan pontjának potenciálja, amelyben egy 1 C töltés potenciális energiája 1 J (1 V = 1 J/C). A volt méretét figyelembe véve kimutatható, hogy a 79. §-ban bevezetett elektrosztatikus térerősség mértékegysége valóban 1 V/m: 1 N/Cl=1 Nm/(Cm)=1 J/(Cm)=1 V/m.

A (84.3) és (84.4) képletekből az következik, hogy ha a mezőt több töltés hozza létre, akkor a töltésrendszer térpotenciálja egyenlő algebrai ezen töltések térpotenciáljának összege: