Grafikus módszer. Koordinátasík (x;a)

Az egyenlet
felületek
F(x,y,z)=0
.

Repülőgép. Egy sík egyenlete egy ponthoz és egy normálvektorhoz

A sík helyzete a térben
bármelyik beállításával meghatározható
pont M0 a síkon és néhány
normál vektor. Normál
síkvektor bármely
erre merőleges vektor
repülőgépek.

Legyen az M0(x0,y0,z0) pont a síkban.
Vezessünk be egy tetszőleges pontot
M(x, y, z) sík.
z
n (A,B,C)
M
y
M0
x

n(A, B, C) és M 0 M (x x0 , y y0 , z z0 ) vektorok
ortogonális.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Síkegyenlet pontonként és
normál vektor.

1. példa:

áthalad az M(2,3,-1) ponton
merőleges az n(1,2,3) vektorra
Megoldás:
A képlet szerint: 1(x-2)+2(y-3)-3(z+1)=0
vagy x+2y-3z-11=0

2. példa:
Írd fel a sík egyenletét,
áthalad az M(1,0,0) ponton
merőleges az n(2,0,1) vektorra.
Megoldás:
A következőt kapjuk: 2(x-1)+0(y-0)+1(z-0)=0
vagy 2x+z-2=0.

A sík általános egyenlete

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, bontsa ki
zárójelben és jelölje –Aх0-Ву0-Сz0=D.
Megadjuk a figyelembe vett egyenletét
megtekinthető repülő:
Ax+By+Cz+D=0 - a sík általános egyenlete.
Az A,B,C együtthatók
normál vektor koordináták
repülőgépek.

A sík általános egyenletének sajátos esetei

1. Legyen A=0, B, C, D≠0. Ekkor: By+Cz+D=0.
Az n(0, B, C) sík normálvektora
merőleges az x tengelyre és ezért
a sík párhuzamos az x tengellyel.
z
y
x

Az Ax+Cz+D=0 és az Ax+By+D=0 egyenletek
kifejezni az y tengelyeivel párhuzamos síkokat
és O.Z.
2. D=0, A, B, C≠0. Sík egyenlet:
Ax+By+Cz=0. Az O(0,0,0) pont teljesül
sík egyenlet. Az egyenlet meghatározza
origón áthaladó sík
koordináták.
3. A=0, D=0, B, C≠0. Sík egyenlet:
By+Cz=0. Repülő egyszerre
párhuzamos az x tengellyel és áthalad az origón
koordináták, pl. áthalad az x tengelyen.

Hasonlóképpen az Ax+Cz=0 és az Ax+By=0 egyenletek
a tengelyeken átmenő expressz síkok
OY és OZ.
4. A=0, B=0, C, D≠0. Sík egyenlet:
Cz+D=0. Repülő egyszerre
párhuzamos az OX és OU tengelyekkel, azaz. koordináta
OXY repülőgép. Egyenletek
+D=0 és Ax+D=0 expressz síkokkal,
párhuzamos az OXZ koordinátasíkokkal
és OYZ.

Példa:
Z=3
z
3
y
x

A=0, B=0, D=0, C≠0.
Síkegyenlet: Cz=0 vagy z=0. Ez
sík párhuzamos
OXY koordinátasík, azaz. maga
koordinátasík OXY. Hasonlóképpen:
y=0 és x=0 koordináta egyenletek
OXZ és OYZ repülőgépek.

Három adott ponton átmenő sík egyenlete

Három pont, amely nem egy egyenesen fekszik M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) a sík tetszőleges pontja.
z
M2
M1
M3
M

vektorok M1M , M 1M 2 , M 1 M 3 ,
egysíkú. A vegyes
a termék nulla.
xx1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Ez a sík kívánt egyenlete,
három megadott ponton áthaladva.

Példa. Írd fel a sík egyenletét,
áthaladva az M1(1,2,1) pontokon,
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Megoldás: A kapott eredmény felhasználásával
egyenlet, van:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Vagy 4x+11y+5z-31=0

Síkok közötti szög, két sík párhuzamosságának és merőlegességének feltétele

Két sík: A1x+B1y+C1z+D1=0 és
A2x+B2y+C2z+D2=0. A normális
vektorok n1 (A1 , B1 , C1) , n2 (A2 , B2 , C2)
Szög két sík között
a normálisuk közötti szögnek nevezzük
vektorok
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

Ha a síkok merőlegesek, akkor azok
normálvektorok is
merőlegesek és ezért
pont szorzata nulla:
A1 A2+B1 B2+C1 C2=0.
Ha a síkok párhuzamosak, akkor
normálvektoraik párhuzamosak, és
Ez azt jelenti, hogy a következő összefüggések teljesülnek:
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Példa: Írd fel a sík egyenletét,
áthalad az M(0,1,4) ponton
párhuzamos a 2x-4y-z+1=0 síkkal.
Megoldás: Adott normálvektora
a gép normális lesz
vektor és a kívánt síkra.
A sík pont szerinti egyenletét használjuk
és normál vektor:
2(x-0)-4(y-1)-(z-4)=0 vagy 2x-4y-z+8=0.

.A pont és a sík távolsága

keresse meg az M(x0, y0, z0) pont távolságát
sík: Ax+By+Cz+D=0. Leesés a pontról
M merőleges az MK-ra a (d) síkra.
z
M
n
K
x
y

Legyen a K pontnak x1,y1,z1 koordinátája
n KM n KM d n
Vagy n KM A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
A K pont egy síkban fekszik, annak
koordináták kielégítik az egyenletet
sík, azaz Ax1+By1+Cz1+D=0.

Ezt figyelembe véve a következőt kapjuk: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Ekkor: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 – 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

Példa:
Keresse meg az M pont (-1,2,3) és a távolságot
sík 2x-6y-3z+2=0.
Megoldás:
Használjuk a képletet és helyettesítsük be
koordinátasík egyenlet
alappont:
d
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

Egyenes térbeli általános egyenletei

Egy vonal a térben tekinthető
mint két sík metszésvonala.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
A rendszer egy egyenest határoz meg, ha
a síkok nem párhuzamosak
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Egyenes térbeli kanonikus egyenletei

Az L egyenes helyzete a térben
egyedileg meghatározott, ha ismert
valamely ponton fekvő M0(x0, y0, z0).
L egyenes, és az irányvektor adott
S (m, n, p)
S
M
M0

M(x, y, z) egy tetszőleges pont ezen
egyenes. Aztán a vektorok
M 0 M \u003d (x-x0, y-y0, z-z0) és S (m, n, p)
kollineáris lesz:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
az in egyenes kanonikus egyenletei
tér vagy egy egyenes egyenlete be
pont és irány vektor.

1. példa:

az M(1,2,3) ponton keresztül, párhuzamosan az egyenessel
x 1 y 7 z
2
5
3
Megoldás:
Mivel az egyenesek párhuzamosak, akkor S (2,5,3)
egy irányvektor és a kívánt
egyenes. Következésképpen:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

2. példa:
Írja fel az átmenő L egyenes egyenletét!
az M(1,2,3) ponton keresztül, és amelynek
irányvektor S(2,0,5)
Megoldás:
Használjuk a képletet:
x 1 z 3
És
2
5
y-2=0,
azaz 5x-2z+1=0 és y=2. Ez azt jelenti
az egyenes az y=2 síkban fekszik

Egy egyenes egyenlete a térben két ponttal

Két M1(x1,y1,z1) és M2(x2,y2,z2) pont adott.
Írd fel az átmenő egyenes egyenletét!
két ponton keresztül.
M1
M2

Az egyenes áthalad az M1 ponton, és van
vezetővektorként M 1M 2
Az egyenlet így néz ki:
xx1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Példa: Írja fel az egyenes egyenletét,
áthaladva a М1(1,4,-3) pontokon és
M2(2,1,1).
Megoldás: Használjuk a képletet
x 2 y 1 z 1
1
3
4

Egyenes térbeli paraméteres egyenletei

Tekintsük a kanonikus egyenleteket
közvetlen: x x0 y y0 z z 0
m
n
p
Vezessük be a t paramétert:
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
p
-∞ < t <+∞.

Kapunk:
xx0
t
y m y
0
t
n
z z0 t
p
vagy
x x0 mt
y y0 nt
z z pt
0
az egyenes paraméteres egyenletei be
tér. Ebben a formában gyakran
a mechanikában és a fizikában használt t paraméter,
általában az idő.

Egy térbeli egyenes általános egyenleteinek redukálása kanonikus alakra

Az egyenes általános egyenletei a következőkben vannak megadva
tér
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
Hozd őket kanonikus formába
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p

A probléma megoldásához szüksége van:
1. keresse meg bármelyik koordinátáit (x0, y0, z0).
pont egy egyenesen
2. keresse meg az útmutató koordinátáit (m,n,p).
ennek az egyenesnek a vektora.
Az M0 pont koordinátáit összeadjuk
az egyik koordináta tetszőleges numerikus
értéket, például feltételezzük, hogy x=x0. Bevezetésével
rendszerbe (1), kettős rendszert kapunk
egyenletek y és z ismeretlenekkel. Megoldjuk.
Ennek eredményeként egy pontot találunk az egyenesen
M0(x0, y0, z0).

Irányadó vektorként vesszük
a vektor, ami az eredmény
a normál vektor szorzata
két sík vektorai.
S (m, n, p) n1 n2
én
A1
j
B1
A2
B2
k
B1
C1
B2
C2
C1
C2
én
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
k

Az útmutató koordinátáinak lekérése
vektor:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
p
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Egyenes általános egyenletei, beírva
kanonikus forma:
xx0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2

Példa: Írja fel a kanonikus egyenletet
egyenes
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Megoldás: Legyen z0=0. Azután:
x 2 y 5
x y 1
Ezért: y0=-6, x0=7. M0 pont fekve
egyenes, koordinátái vannak: (7,-6,0).

Keressük meg az irányvektort. Normál
a síkvektoroknak vannak koordinátái
n1(1,2,1)
Azután
n2(1,1,1)
i j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Az egyenes kanonikus egyenletei a következő alakúak:
x 7 y 6 z
3
2
1

Két egyenes térbeli szöge, az egyenesek merőlegességének és párhuzamosságának feltétele

Az L1 és L2 sorokat kanonikus formában adjuk meg
irányvektorok
S 1 (m1, n1, p1) és S 2 (m2, n2, p2)
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2

A két egyenes közötti szöget szögnek nevezzük
irányvektoraik között.
S1 S2
cos (L1 , L2) cos (S1 , S 2)
S1 S2
cos(L1, L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

A vonalak merőlegesek, ha
irányvektoraik merőlegesek:
Azaz S1 S2 0, ill
m1m2+n1n2+p1p2=0.
A vonalak párhuzamosak, ha párhuzamosak
irányvektorok:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2

Példa: Keresse meg a vonalak közötti szöget
x 2 év 7
z
1
3
2
És
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Megoldás: Egyenesek irányvektorai
koordinátái vannak: (1,3,-2) és (4,1,2).
Következésképpen,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1, L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1 , L2) arccos
7 16

Szög a vonal és a sík között

P sík adott: Ax+By+Cz+D=0, és
egyenes L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
n
S
ω
φ

Szög a vonal és a sík között
az egyenes és a vetület közötti φ szögnek nevezzük
őt a repülőre.
ω - normálvektor közötti szög
sík- és irányvektor
egyenes. ω=π/2-φ. Ekkor sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. De cosω = cos (n, S)
Azután
n S
sinφ = cos (n, S)
n S

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Példa: Keresse meg egy vonal közötti szöget:
x 2 y 1 z
3
2
6
és sík: 2x+y+2z-5=0.
Megoldás: Normálsík vektor
koordinátái vannak: (2,1,2), útmutató
a vonalvektornak vannak koordinátái: (3,2,-6).
bűn
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

Egyenes és sík merőlegességének és párhuzamosságának feltétele.

x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
P
Az L sor adott:
és P sík: Ax+By+Cz+D=0.
Ha az egyenes párhuzamos a síkkal, akkor
útmutató vektor egyenes
merőleges a normálvektorra
repülőgépek.
S
n
L

Ezért a skalárszorzatuk
egyenlő nullával: A·m+B·n+C·p=0.
Ha az egyenes merőleges a síkra, akkor
ezek a vektorok párhuzamosak.
S
n
R
L
Ebben az esetben:
A B C
m n p

Példa:
Írd fel az egyenes egyenletét!
áthalad az M(1,2,-3) ponton,
merőleges a síkra
4x+2y-z+5=0.
Megoldás:
Mivel a sík merőleges
egyenes, majd egy normálvektor és
párhuzamos irányvektor:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

Nézzünk egy tipikus problémát.
Az ABCD piramis csúcsai adottak: A(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Megtalálni:
1. Az AB él hossza és egyenlete,
2. Egyenlet és az ABC felület területe,
3. A magasság egyenlete és hossza elhagyva
a D csúcstól az ABC oldalig,
4. Az AD él és az ABC felület közötti szög,
5. A piramis térfogata.

Rajz:
z
D
C
B
A
x
y

1. Vegyük figyelembe az AB vektort. Övé
koordináták: (0-1;2-0;0-0), vagy (-1;2;0). Hossz
AB él egyenlő a vektor modulusával.
AB= 1 4 0 5
Az AB egyenes egyenlete (a mentén haladó egyenes egyenlete
két pont):
x 1 év
1 2
Vagy 2x+y-2=0

2. Az arc ABC egyenlete (egyenlet
sík három ponttal):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
Ezért: (x-1)∙6-y∙(-3)+z∙2=0,
vagy 6x+3y+2z-6=0.
Keresse meg az ABC háromszög területét a következővel
kereszttermék
AB és AC vektorok

Vektor koordináták AB =(-1;2;0),
vektor AC =(-1,0,3).
1
S∆ABC= AB AC
négyzetméter egységek
2
Vektor termék:
én
j k
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

Azután
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3,5 nv.
2
2

Magasság egyenlet - egyenlet egy egyenes mentén
D(2,3,4) pont és irányvektor. BAN BEN
útmutató vektorként -
arc normálvektor ABC: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
A magasság hosszának meghatározásához használja a
képlet:
Ax0 – 0 Cz0 D
d
A2 B2 C2

Kapunk:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Az AD él és az ABC felület közötti szög.
ABC élegyenlet: 6x+3y+2z-6=0,
A normálvektornak vannak koordinátái:
(6,3,2). Írjuk fel az egyenes egyenleteit,
áthaladva az A(1,0,0) és D(2,3,4) pontokon:
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

Ennek a vonalnak van egy irányvektora
koordináták:(1,3,4). Azután
bűn
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
ív bűn
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. A piramis térfogata a térfogat 1/6-a
paralelepipedon épült
vektorok, mint az oldalakon. Használunk
vektorok vegyes szorzata.
Vektor koordináták: AB =(-1,2,0),
AC○=(-1,0,3), AD=(1,3,4)
○ Vbox
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vpiramisok = 23/6 köbegység

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket az egyenletek adnak meg:

Alatt sarok két sík között az e síkok által alkotott kétszögek egyikét értjük. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a jelzett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . Ezért . Mivel És , azután

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik és párhuzamosak, és ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordinátákon az együtthatók arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .

Ily módon,.

Példák.

KÖZVETLENÜL A TÉRBEN.

VEKTOR EGYENLET KÖZVETLEN.

PARAMÉTERES EGYENLETEK KÖZVETLEN

Egy egyenes helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Az egyenessel párhuzamos vektort nevezzük irányító ennek az egyenesnek a vektora.

Szóval hagyd az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a vektorral párhuzamos egyenesen fekve.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrán látható, hogy .

A és vektorok kollineárisak, tehát van ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. A pontok sugárvektorainak jelölése M 1 és M illetőleg a és -n keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlet. Azt mutatja, hogy minden paraméter értéke t valamely pont sugárvektorának felel meg M egyenes vonalon fekve.

Ezt az egyenletet koordináta alakban írjuk fel. Vedd észre, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletek.

A paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés pont M egyenes vonalban mozog.

KANONIKUS EGYENLETEK KÖZVETLEN

Legyen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - egy egyenesen fekvő pont l, És az irányvektora. Ismét vegyünk egy tetszőleges pontot egy egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a és vektorok kollineárisak, tehát a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük

– kánoni egyenes egyenletek.

Megjegyzés 1. Vegye figyelembe, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletekből a paraméter kiiktatásával kaphatók meg. t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres módon.

Jelöli , ennélfogva x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. megjegyzés. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, Következésképpen m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei alakot öltenek

A paraméter eltávolítása az egyenletekből t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan az alakba írjuk . Így ha az egyik tört nevezője nulla, akkor ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóképpen a kanonikus egyenletek a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy párhuzamos tengely Oz.

Példák.

ÁLTALÁNOS EGYENLETEK KÖZVETLEN VONAL, MINT KÉT SÍK MEGFELELŐ VONALA

A térben minden egyes egyenesen végtelen számú sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Ezért bármely két ilyen sík egyenlete együttesen ennek az egyenesnek az egyenlete.

Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg

határozza meg a metszésvonalukat. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.

Példák.

Szerkesszünk egyenletekkel megadott egyenest!

Egy egyenes felépítéséhez elég megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb, ha kiválasztjuk az egyenes és a koordinátasík metszéspontjait. Például a síkkal való metszéspont xOy egy egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Ezt a rendszert megoldva megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből továbbléphetünk annak kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találnia egy pontot M 1 az egyenesen és az egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et kapunk ebből az egyenletrendszerből, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra És . Ezért az egyenes irányvektorához l felveheti a normálvektorok keresztszorzatát:

Példa. Adja meg az egyenes általános egyenleteit! a kanonikus formára.

Keressen egy pontot egy egyenesen. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Következésképpen, l: .

JOGAK KÖZÖTTI SZÖG

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét nevezzük.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

A síknak a következő bekezdésekben tárgyalt összes egyenlete megkapható a sík általános egyenletéből, és le is redukálható a sík általános egyenletére. Így amikor egy sík egyenletéről beszélünk, akkor a sík általános egyenletét értjük alatta, hacsak másképp nem jelezzük.

A sík egyenlete szakaszokban.

Tekintse meg a sík egyenletet , ahol a , b és c nem nulla valós számok, hívjuk sík egyenlet szegmensekben.

Ez a név nem véletlen. Az a, b és c számok abszolút értéke megegyezik azon szakaszok hosszával, amelyeket a sík az Ox, Oy és Oz koordinátatengelyeken levág, az origótól számítva. Az a, b és c számok előjele megmutatja, hogy a koordinátatengelyeken lévő szakaszokat milyen irányban (pozitívan vagy negatívan) kell ábrázolni.

Például készítsünk egy síkot az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben, amelyet a szegmensek síkjának egyenlete határoz meg. . Ehhez jelöljön ki egy pontot, amely az origótól 5 egységnyire van az abszcissza tengely negatív irányában, 4 egységnyire az y tengely negatív irányában és 4 egységnyire az applikációs tengely pozitív irányában. Ezeket a pontokat egyenes vonalakkal kell összekötni. A kapott háromszög síkja az a sík, amely megfelel a sík egyenletének az alak szegmenseiben .

További információkért olvassa el a cikket egyenlet egy sík szakaszokban, a sík egyenletének szegmensekben történő redukálását mutatja a sík általános egyenletére, ugyanitt tipikus példákra, problémákra is talál részletes megoldásokat.

A sík normálegyenlete.

Az általános nézeti sík egyenletet ún a sík normál egyenlete, ha egyenlő eggyel, azaz , És .

Gyakran láthatja, hogy a sík normálegyenlete a következőképpen van felírva. Itt vannak egy egységnyi hosszúságú sík normálvektorának iránykoszinuszai, vagyis p egy nem negatív szám, amely egyenlő az origó és a sík távolságával.

Az Oxyz téglalap alakú koordináta-rendszer síkjának normálegyenlete egy olyan síkot határoz meg, amely a sík normálvektorának pozitív irányában p távolságra van az origótól . Ha p=0 , akkor a sík áthalad az origón.

Adjunk példát egy normál sík egyenletre.

Adjuk meg a síkot az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben az alak síkjának általános egyenletével . A síknak ez az általános egyenlete a sík normálegyenlete. Valóban, és ennek a síknak a normálvektora hossza egyenlő eggyel, mert .

A síkegyenlet normál formájában lehetővé teszi a megtalálást pont-sík távolság.

Javasoljuk, hogy foglalkozzon részletesebben az ilyen típusú síkegyenletekkel, tekintse meg a tipikus példák és problémák részletes megoldásait, valamint tanulja meg az általános síkegyenlet normál formába hozását. Ezt megteheti a cikkre hivatkozva.

Bibliográfia.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Tankönyv a gimnázium 10-11 osztályos számára.
Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Felső matematika. Első kötet: A lineáris algebra és az analitikus geometria elemei.
Iljin V.A., Poznyak E.G. Analitikus geometria.

Tekintsünk egy Oxyz téglalap alakú koordináta-rendszert a térben.

felületi egyenlet nevezzük az F(x,y,z)=0 egyenletet, amelyet a felületen elhelyezkedő egyes pontok koordinátái kielégítenek, nem pedig a felületen nem fekvő pontok koordinátái.

Például egy gömb egy ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helye, amelyet a gömb középpontjának neveznek. Tehát minden pont kielégíti az egyenletet
feküdjünk egy gömbön, amelynek középpontja az O(0,0,0) pont és R sugara (1. ábra).

Az adott gömbön kívül eső pontok koordinátái nem teljesítik ezt az egyenletet.

Vonal a térben felfogható két felület metszésvonalaként. Tehát az 1. ábrán a gömb metszéspontja az Oxy síkkal egy kör, amelynek középpontja az O pont és R sugara.

A legegyszerűbb felület az repülőgép, a tér legegyszerűbb vonala az egyenes.

2. Sík a térben.

2.1. Egy sík egyenlete egy ponthoz és egy normálvektorhoz.

Az Oxyz koordinátarendszerben vegyük figyelembe a síkot (2. ábra). Helyét a vektor beállításával határozzuk meg merőleges erre a síkra, és egy fix pont
ezen a síkon fekszik. Vektor
merőleges a síkra
hívott normál vektor(normál vektor). Tekintsük a sík tetszőleges M(x,y,z) pontját . Vektor
lakás
merőleges lesz a normálvektorra A vektor ortogonalitási feltétel használata
megkapjuk az egyenletet: hol

Az egyenlet ( 2.2.1 )

ponthoz és normálvektorhoz viszonyított sík egyenletének nevezzük.

Ha a (2.1.1) egyenletben kinyitjuk a zárójeleket és átrendezzük a tagokat, akkor az Ax + By + Cz + D = 0 egyenletet kapjuk, ahol

D=
.

2.2. A sík általános egyenlete.

Az egyenlet Ax + By + Cz + D = 0 ( 2.2.1 )

a sík általános egyenletének nevezzük, ahol
egy normál vektor.

Tekintsük ennek az egyenletnek bizonyos eseteit.

1).D = 0. Az egyenlet alakja: Ax + By + Cz = 0. Egy ilyen sík átmegy az origón. A normál vektora

2). C \u003d 0: Ax + By + D = 0
a sík párhuzamos az oz tengellyel (3. ábra).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
a sík párhuzamos az oy tengellyel (4. ábra).

4). A = 0: + Cz + D = 0 szerint

a sík párhuzamos az ökör tengellyel (5. ábra).

öt). C=D=0: Ax+By=0
a sík átmegy az oz tengelyen (6. ábra).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
a sík átmegy az oy tengelyen (7. ábra).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
a sík átmegy az ökör tengelyén (8. ábra).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
a sík párhuzamos az Oxy-síkkal (9. ábra).

kilenc). B=C=0: Ax+D=0

||ökör
repülőgép

P párhuzamos az Oyz-síkkal (10. ábra).

10).A = C = 0: + D = 0 szerint

||oy
a sík párhuzamos az Oxz síkkal (11. ábra).

1. példaÍrj egyenletet egy ponton átmenő síkra!
merőleges a vektorra
Keresse meg ennek a síknak a metszéspontjait a koordinátatengelyekkel.

Megoldás. A (2.1.1) képlet alapján megvan

2x - y + 3z + 3 = 0.

Annak érdekében, hogy megtaláljuk ennek a síknak az ox tengellyel való metszéspontját, a kapott egyenletbe behelyettesítjük y = 0, z = 0. Van, hogy 2x + 3 = 0; x \u003d - 1,5.

A kívánt sík és az oxtengely metszéspontja a következő koordinátákkal rendelkezik:

Keresse meg a sík metszéspontját az y tengellyel. Ehhez vegyük x = 0; z = 0. Megvan

– y + 3 = 0 y = 3. Tehát

Az oz tengellyel való metszéspont megtalálásához x = 0; y=0
3z + 3 = 0
z = – 1. Tehát

Válasz: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

2. példa Fedezze fel az egyenletek által megadott síkokat:

a) 3x – y + 2z = 0

b). 2x + z - 1 = 0

ban ben). – y + 5 = 0

Megoldás. de). Ez a sík áthalad az origón (D = 0), és van egy normálvektora

b). Az egyenletben
B együttható = 0. Ezért
A sík párhuzamos az y tengellyel.

ban ben). Az -y + 5 = 0 egyenletben az együtthatók A = 0, C = 0. Tehát

A sík párhuzamos az oxz síkkal.

G). Az x = 0 egyenlet határozza meg az oyz síkot, hiszen B = 0, C = 0 esetén a sík párhuzamos az oyz síkkal, és a D = 0 feltételből következik, hogy a sík átmegy az origón.

3. példaÍrjon fel egyenletet az A(2,3,1) ponton átmenő és a vektorra merőleges síkra
ahol B(1,0, –1), C(–2,2,0).

Megoldás. Keressük a vektort

Vektor
az A(2,3,1) ponton átmenő kívánt sík normálvektora. A (2.1.1) képlet alapján a következőket kapjuk:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x - 2y - z + 1 = 0.

Válasz: 3x - 2y - z + 1 = 0.

2.3. Három ponton áthaladó sík egyenlete.

Három pont, amelyek nem ugyanazon az egyenesen találhatók, egyetlen síkot határoznak meg (lásd 12. ábra). A pontok ne egy egyenesen legyenek. A sík egyenletének felírásához ismerni kell a sík egy pontját és a normálvektort. A gépen fekvő pontok ismertek:
Bármelyiket veheted. Normálvektor megtalálásához a vektorok vektorszorzatának definícióját használjuk. Legyen
Akkor tehát
A pont koordinátáinak ismerete
és normálvektor a sík egyenletét a (2.1.1) képlet segítségével találjuk meg.

Más módon a három adott ponton áthaladó sík egyenlete a három vektoros egysíkúság feltételével kapható meg. Valóban, a vektorok
ahol M(x,y,z) a kívánt sík tetszőleges pontja, egysíkúak (lásd a 13. ábrát). Ezért vegyes szorzatuk 0:

A vegyes termékképletet koordináta formában alkalmazva a következőket kapjuk:

(2.3.1)

1. példaÍrj egyenletet a pontokon átmenő síkra!

Megoldás. A (2.3.1) képlet alapján megvan

A determinánst kibővítve a következőket kapjuk:

A kapott sík párhuzamos az oy tengellyel. A normál vektora

Válasz: x + z - 4 = 0.

2.4. Szög két vonal között.

Két egymást metsző sík négy, páronként egyenlő kétszöget alkot (lásd 14. ábra). Az egyik diéderszög egyenlő ezen síkok normálvektorai közötti szöggel.

Legyenek adottak a síkok:

Normálvektoraik koordinátái:

A vektoralgebrából ismert, hogy
vagy

(2.4.1)

Példa: Keresse meg a síkok közötti szöget:

Megoldás: Határozzuk meg a normálvektorok koordinátáit: A (2.4.1) képlet alapján:

Az e síkok metszéspontjában kapott diéderszögek egyike egyenlő
A második sarkot is megtalálod:

Válasz:

2.5. Két sík párhuzamosságának feltétele.

Legyen két sík adott:

És

Ha ezek a síkok párhuzamosak, akkor a normálvektoraik

kollineáris (lásd 15. ábra).

Ha a vektorok kollineárisak, akkor a megfelelő koordinátáik arányosak:

(2.5.1 )

Ez fordítva is igaz: ha a síkok normálvektorai kollineárisak, akkor a síkok párhuzamosak.

1. példa Az alábbi síkok közül melyik párhuzamos:

Megoldás: de). Írjuk fel a normálvektorok koordinátáit.

Ellenőrizzük a kollinearitásukat:

Ebből következik tehát

b). Írjuk ki a koordinátákat

Ellenőrizzük a kollinearitást:

Vektorok
nem kollineáris, síkok
nem párhuzamosak.

2. példaÍrj egyenletet egy ponton átmenő síkra!

M(2, 3, –2) párhuzamos a síkkal

Megoldás: A kívánt sík párhuzamos az adott síkkal. Ezért a sík normálvektora felvehetjük a kívánt sík normálvektorának.
A (2.1.1) egyenlet alkalmazásával a következőket kapjuk:

Válasz:
.

3. példa Határozza meg, hogy melyik a és b síkjai párhuzamosak:

Megoldás: Kiírjuk a normálvektorok koordinátáit:

Mivel a síkok párhuzamosak, a vektorok
kollineáris. Feltétel szerint (2.5.1)
Ezért b = – 2; a = 3.

Válasz: a = 3; b = -2.

2.6. Két sík merőlegességének feltétele.

Ha a repülőgép
merőlegesek, akkor azok normálvektorai
merőlegesek is (lásd a 16. ábrát). Ebből következik, hogy skaláris szorzatuk egyenlő nullával, azaz.
vagy koordinátákban:

Ez a feltétele annak, hogy két sík merőleges legyen. A fordított állítás is igaz, vagyis ha teljesül a (2.6.1) feltétel, akkor a vektorok
Következésképpen,