Egységvektor- Ezt vektor, amelynek abszolút értéke (modulusa) egyenlő eggyel. Egy egységvektor jelölésére az e alsó indexet használjuk, tehát ha adott egy vektor a, akkor egységvektora lesz a vektor a e) Ez az egységvektor ugyanabba az irányba mutat, mint maga a vektor a, és a modulusa egyenlő eggyel, azaz a e \u003d 1.

Magától értetődően, a= a a e (a - vektor modulus a). Ez abból a szabályból következik, amely szerint végrehajtjuk a skalár vektorral való szorzását.

Egységvektorok gyakran a koordinátarendszer koordinátatengelyeihez kapcsolódnak (különösen a derékszögű koordinátarendszer tengelyeihez). Ezek irányai vektorok egybeesnek a megfelelő tengelyek irányaival, és origójukat gyakran kombinálják a koordinátarendszer origójával.

Hadd emlékeztesselek erre Derékszögű koordinátarendszer térben hagyományosan az origónak nevezett pontban metsző, egymásra merőleges tengelyek hármasának nevezik. A koordinátatengelyeket általában X, Y, Z betűkkel jelöljük, és abszcissza tengelynek, ordináta tengelynek, illetve alkalmazási tengelynek nevezzük. Maga Descartes csak egy tengelyt használt, amelyen az abszcisszákat ábrázolták. használat érdeme rendszerek tengelye a tanítványaié. Ezért a kifejezés Derékszögű koordinátarendszer történelmileg rossz. Inkább beszélj négyszögletes koordináta-rendszer vagy ortogonális koordinátarendszer. Ennek ellenére nem változtatunk a hagyományokon, és a jövőben feltételezzük, hogy a derékszögű és a derékszögű (ortogonális) koordinátarendszer egy és ugyanaz.

Egységvektor, amely az X tengely mentén van irányítva, jelöli én, egységvektor, amely az Y tengely mentén van irányítva, jelöli j, a egységvektor, amely a Z tengely mentén van irányítva, jelöli k. Vektorok én, j, k hívott orts(12. ábra balra) egyetlen modullal rendelkeznek, azaz
i = 1, j = 1, k = 1.

tengelyek és orts derékszögű koordinátarendszer bizonyos esetekben más nevük és elnevezésük is van. Tehát az X abszcissza tengelyt érintő tengelynek nevezhetjük, és egységvektorát jelöljük τ (Görög kisbetűs levél tau), az y-tengely a normáltengely, egységvektorát jelöljük n, az alkalmazási tengely a binormális tengelye, egységvektorát jelöljük b. Miért változtatjuk meg a neveket, ha a lényeg ugyanaz marad?

A helyzet az, hogy például a mechanikában a testek mozgásának tanulmányozásakor nagyon gyakran használnak téglalap alakú koordináta-rendszert. Tehát ha maga a koordinátarendszer mozdulatlan, és egy mozgó objektum koordinátáinak változását követjük ebben a mozdulatlan rendszerben, akkor általában a tengelyek X, Y, Z, és orts illetőleg én, j, k.

De gyakran, amikor egy objektum valamilyen görbe vonalú pálya mentén mozog (például egy kör mentén), kényelmesebb figyelembe venni a mechanikai folyamatokat egy koordinátarendszerben, amely ezzel az objektummal együtt mozog. Egy ilyen mozgó koordináta-rendszerhez a tengelyek más nevei és mértékegységvektoraik is használatosak. Egyszerűen elfogadott. Ebben az esetben az X-tengely érintőlegesen a pályára irányul azon a ponton, ahol ez az objektum éppen található. És akkor ezt a tengelyt már nem X tengelynek hívják, hanem érintő tengelynek, és az egységvektorát már nem jelölik én, a τ . Az Y tengely a pálya görbületi sugara mentén irányul (körben történő mozgás esetén a kör közepére). És mivel a sugár merőleges az érintőre, a tengelyt a normál tengelyének nevezik (a merőleges és a normál ugyanaz). Ennek a tengelynek az ort-ja már nincs jelölve j, a n. A harmadik tengely (az előbbi Z) merőleges az előző két tengelyre. Ez egy binormális vektorral b(12. ábra, jobbra). Egyébként ebben az esetben derékszögű koordinátarendszer gyakran "természetesnek" vagy természetesnek nevezik.

Az x2 - x1 koordináta változását általában a Δx12 szimbólummal jelöljük (ez „delta x egy, kettő”). Ez a bejegyzés azt jelenti, hogy a t1 pillanattól a t2 pillanatig tartó időintervallumban a test koordinátájának változása Δx12 = x2 - x1. Így ha a test a választott koordinátarendszer X tengelyének pozitív irányában mozog (x2 > x1), akkor Δx12 >

ábrán A 45. ábrán egy B ponttest látható, amely az X tengely negatív irányában mozog, a t1-től t2-ig terjedő időintervallum alatt egy nagyobb x1 koordinátájú pontból egy kisebb x2 koordinátájú pontba mozog. Ennek eredményeképpen a B pont koordinátájának változása a figyelembe vett időintervallumban Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Az eltolási vektor ebben az esetben az X negatív irányába fog irányulni. tengelye és modulja |Δx12| 3 m. A vizsgált példákból a következő következtetések vonhatók le.

A vizsgált példákban (lásd 44. és 45. ábra) a test mindvégig egy irányba mozgott.

Hogyan lehet megtalálni az elmozdulási modulust a fizikában? (Talán van valami univerzális képlet?)

Ezért az általa megtett út egyenlő a test koordináta-változási modulusával és az elmozdulási modulussal: s12 = |Δx12|.

Határozzuk meg a test koordinátájának változását és elmozdulását a t0 = 0 és t2 = 7 s közötti időintervallumban. A definíció szerint a koordináta változása Δx02 = x2 - x0 = 2 m >

Most határozzuk meg azt az utat, amelyet a test megtett ugyanannyi ideig t0 = 0 és t2 = 7 s között. Először a test 8 métert tett meg egy irányba (ami megfelel a Δx01 koordináta változási modulusának), majd 6 métert ellentétes irány(ez az érték a Δx12 koordináta-változási modulusnak felel meg). Ez azt jelenti, hogy a teljes test áthaladt 8 + 6 = 14 (m). Az út definíciója szerint a t0 és t2 közötti időintervallumban a test az s02 = 14 m utat tette meg.

Eredmények

Egy pont mozgása egy adott időtartam alatt egy egyenes irányított szakasza, amelynek eleje egybeesik a pont kiindulási helyzetével, a vége pedig a pont végső helyzetével.

Kérdések

Feladatok

Vektorok, cselekvések vektorokkal

Pitagorasz-tételek koszinusz tétel

A vektor hosszát jelöljük. A szám modulusának hasonló elnevezése van, és a vektor hosszát gyakran vektor modulusának nevezik.

, ahol .

És így, .

Vegyünk egy példát.

:

.

És így, vektor hossza .

Számítsa ki a vektor hosszát

, ennélfogva,

Lap teteje

Nézzünk példákat.

.

mozgó

:

:

.

.

Lap teteje

És így, .

vagy ,
vagy ,

Megértetted valaha?
Rendeljen megoldást

Lap teteje

Eddig csak a lineárist vettük figyelembe egyenletes mozgás. Ebben az esetben a ponttestek a kiválasztott vonatkoztatási keretben az X koordinátatengely pozitív vagy negatív irányban mozogtak. Megállapítottuk, hogy a test mozgási irányától függően pl. a t1 pillanattól a t2 pillanatig a test koordinátájának változása (x2 - x1 ) lehet pozitív, negatív vagy nullával egyenlő (ha x2 = x1).

Az x2 - x1 koordináta változását általában a Δx12 szimbólummal jelöljük (ez „delta x egy, kettő”). Ez a bejegyzés azt jelenti, hogy a t1 pillanattól a t2 pillanatig tartó időintervallumban a test koordinátájának változása Δx12 = x2 - x1. Így ha a test a kiválasztott koordinátarendszer X tengelyének pozitív irányába mozdult el (x2 > x1), akkor Δx12 > 0. Ha a mozgás az X tengely negatív irányában történt (x21), akkor Δx12

A mozgás eredményét célszerű vektormennyiség segítségével meghatározni. Ez a vektormennyiség az elmozdulás.

Egy pont mozgása egy adott időtartam alatt egy egyenes irányított szakasza, amelynek eleje egybeesik a pont kiindulási helyzetével, a vége pedig a pont végső helyzetével.

Mint minden vektormennyiséget, az elmozdulást is modul és irány jellemzi.

A t1 és t2 közötti időintervallum ponteltolódási vektorát a következő módon írjuk fel: Δx12.

Magyarázzuk meg egy példával az elhangzottakat. Hagyja, hogy egy A pont (pontozott fej) mozogjon az X tengely pozitív irányába, és egy x1 koordinátájú pontból egy nagyobb x2 koordinátájú pontba t1-től t2-ig terjedő időn keresztül (44. ábra). Ebben az esetben az eltolási vektor az X tengely pozitív irányába irányul, és a modulja megegyezik a koordináta változásával a figyelembe vett időintervallumban: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 m .

ábrán A 45. ábra egy B ponttestet mutat, amely az X tengely negatív irányában mozog.

A t1 és t2 közötti időintervallum alatt egy nagyobb x1 koordinátájú pontból egy kisebb x2 koordinátájú pontba mozog. Ennek eredményeképpen a B pont koordinátájának változása a figyelembe vett időintervallumban Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Az eltolási vektor ebben az esetben az X negatív irányába fog irányulni. tengelye és modulja |Δx12| 3 m. A vizsgált példákból a következő következtetések vonhatók le.

Az utazás iránya mikor egyenes vonalú mozgás egyik irányban egybeesik a mozgás irányával.

Az eltolási vektor modulusa megegyezik a test koordinátáinak változásának modulusával a vizsgált időtartam alatt.

NÁL NÉL Mindennapi élet leíráshoz végeredmény mozgalmak az „út” fogalmát használják. Általában az útvonalat S szimbólum jelöli.

Az út az a teljes távolság, amelyet egy ponttest a vizsgált időtartam alatt megtett.

Mint minden távolság, az útvonal is nem negatív érték. Például az A pont által megtett út a vizsgált példában (lásd 44. ábra) három méter. A B pont által megtett út szintén három méter.

A vizsgált példákban (lásd 44. és 45. ábra) a test mindvégig egy irányba mozgott. Ezért az általa megtett út egyenlő a test koordináta-változási modulusával és az elmozdulási modulussal: s12 = |Δx12|.

Ha a test mindvégig ugyanabban az irányban mozog, akkor az általa megtett távolság megegyezik az elmozdulási modulussal és a koordinátaváltozási modulussal.

A helyzet megváltozik, ha a test a vizsgált idő alatt megváltoztatja a mozgás irányát.

ábrán A 46. ábra azt mutatja, hogy a ponttest hogyan mozdult el a t0 = 0 pillanattól a t2 = 7 s pillanatig. A t1 = 4 s pillanatig a mozgás egyenletesen haladt az X tengely pozitív irányában, ennek eredményeként a koordináta változása Δx01 = x1 - x0 = (11 - 3) m = -8 m. a test az X tengely negatív irányába kezdett mozogni a t2 = 7 s pillanatig. Ugyanakkor a koordinátáinak változása Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m Ennek a mozgásnak a grafikonja a 2. ábrán látható. 47.

Határozzuk meg a test koordinátájának változását és elmozdulását a t0 = 0 és t2 = 7 s közötti időintervallumban. A definíció szerint a koordináta változása Δx02 = x2 - x0 = 2 m > 0. Ezért a Δx02 elmozdulás az X tengely pozitív irányába irányul, modulja pedig 2 m.

Most határozzuk meg azt az utat, amelyet a test megtett ugyanannyi ideig t0 = 0 és t2 = 7 s között. Először 8 m-t tett meg a test egy irányba (ami megfelel a Δx01 koordináta változási modulusának), majd 6 m-t az ellenkező irányba (ez az érték a Δx12 koordináta változási modulusának felel meg).

Röppálya

Ez azt jelenti, hogy a teljes test áthaladt 8 + 6 = 14 (m). Az út definíciója szerint a t0 és t2 közötti időintervallumban a test az s02 = 14 m utat tette meg.

Az elemzett példa arra enged következtetni, hogy:

Abban az esetben, ha a test a vizsgált időtartam alatt megváltoztatja mozgásának irányát, az út (a test által megtett összes távolság) nagyobb mind a test elmozdulási modulusánál, mind a test koordinátáiban bekövetkező változás modulusánál. .

Most képzeljük el, hogy a test a t2 = 7 s időpillanat után az X tengely negatív irányában folytatta mozgását a t3 = 8 s pillanatig az ábra szerinti törvény szerint. 47 pontozott vonal. Ennek eredményeként a t3 = 8 s időpontban a test koordinátája x3 = 3 m lett. Könnyen megállapítható, hogy ebben az esetben a test mozgása a t0 és t3 s közötti időintervallumban egyenlő Δx13 = 0.

Nyilvánvaló, hogy ha csak a test mozgását ismerjük mozgása közben, akkor nem tudjuk megmondani, hogy a test hogyan mozgott ezalatt az idő alatt. Például, ha a testről csak azt tudnánk, hogy a kezdeti és a végső koordinátái egyenlőek, akkor azt mondanánk, hogy a mozgás során ennek a testnek az elmozdulása nulla. Ennek a testnek a mozgásának természetéről nem is lehetne konkrétabbat mondani. A test ilyen körülmények között általában mozdulatlanul állhat a teljes ideig.

A test mozgása egy bizonyos ideig csak a test kezdeti és végső koordinátáitól függ, és nem attól, hogy a test hogyan mozgott ebben az időszakban.

Eredmények

Egy pont mozgása egy adott időtartam alatt egy egyenes irányított szakasza, amelynek eleje egybeesik a pont kiindulási helyzetével, a vége pedig a pont végső helyzetével.

Egy ponttest elmozdulását csak a test végső és kezdeti koordinátái határozzák meg, és nem függ attól, hogy a test hogyan mozdult el a vizsgált időtartam alatt.

Az út az a teljes távolság, amelyet egy ponttest a vizsgált időtartam alatt megtett.

Ha a test mozgása során nem változtatta meg a mozgás irányát, akkor a test által megtett út egyenlő az elmozdulásának modulusával.

Ha a test a vizsgált idő alatt megváltoztatta mozgásának irányát, akkor az út nagyobb, mint a test elmozdulása és a test koordinátáinak változásának modulusa.

Az útvonal mindig nem negatív. Csak akkor egyenlő nullával, ha a test a teljes figyelembe vett időtartam alatt nyugalomban volt (mozdulatlan).

Kérdések

1. Mi a mozgás? Mitől függ?
2. Mi az az út? Mitől függ?
3. Miben különbözik az út attól a mozgástól és a koordináta változtatásától, amely alatt a test egyenes vonalban haladt anélkül, hogy a mozgás irányát megváltoztatta volna?

Feladatok

1. ábrán bemutatott mozgástörvény grafikus formában történő felhasználásával. 47, írja le a test mozgásának jellegét (irány, sebesség) különböző időintervallumokban: t0-tól t1-ig, t1-től t2-ig, t2-től t3-ig.
2. Proton kutya t0 = 0 időpontban kirohant a házból, majd gazdája parancsára t4 = 4 s időpontban rohant vissza. Tudva, hogy a Proton folyamatosan egyenes vonalban futott, és sebességének modulusa |v| = 4 m/s, határozzuk meg grafikusan: a) a proton koordinátáinak és útvonalának változása t0 = 0 és t6 = 6 s közötti időintervallumban; b) a proton útja a t2 = 2 s és t5 = 5 s közötti időintervallumban.

Vektorok, cselekvések vektorokkal

Vektor hosszának meghatározása, példák és megoldások.

Definíció szerint a vektor egy irányított szakasz, és ennek a szakasznak a hossza egy adott léptékben a vektor hossza. Így a vektor hosszának síkban és térben történő megtalálásának problémája a megfelelő szakasz hosszának megtalálására redukálódik. A probléma megoldásához a geometria minden eszköze a rendelkezésünkre áll, bár a legtöbb esetben ez is elegendő Pitagorasz-tételek. Segítségével képletet kaphat egy vektor hosszának kiszámítására a koordinátáiból egy téglalap alakú koordinátarendszerben, valamint egy képletet egy vektor hosszának meghatározására a kezdő és végpont koordinátáiból. Ha egy vektor egy háromszög oldala, akkor a hosszát innen lehet megállapítani koszinusz tétel, ha ismert a másik két oldal hossza és a köztük lévő szög.

Egy vektor hosszának meghatározása koordináták alapján.

A vektor hosszát jelöljük.

fizikai szótár (kinematika)

A szám modulusának hasonló elnevezése van, és a vektor hosszát gyakran vektor modulusának nevezik.

Kezdjük azzal, hogy a koordináták alapján keressük meg a vektor hosszát a síkon.

Vezessünk be egy derékszögű derékszögű Oxy koordinátarendszert a síkon. Legyen benne adott egy vektor, és van koordinátája. Kapjunk egy képletet, amely lehetővé teszi a vektor hosszának meghatározását a koordinátákon és a koordinátákon keresztül.

Tegyük félre a koordináták origójából (az O pontból) a vektort. Jelöljük az A pont vetületeit koordinátatengelyek mint és rendre, és tekintsünk egy OA átlós téglalapot.

A Pitagorasz-tétel értelmében az egyenlőség , ahol . Egy téglalap alakú koordinátarendszerben lévő vektor koordinátáinak meghatározásából kijelenthetjük, hogy és , és konstrukció alapján az OA hossza megegyezik a vektor hosszával, ezért .

És így, képlet a vektor hosszának meghatározásához koordinátáiban a síkon az a forma .

Ha a vektort dekompozícióként ábrázoljuk koordinátavektorokban , akkor a hosszát ugyanezzel a képlettel számítjuk ki , hiszen ebben az esetben a és együtthatók a vektor koordinátái az adott koordinátarendszerben.

Vegyünk egy példát.

Keresse meg a vektor hosszát derékszögű koordinátákkal!

Azonnal alkalmazza a képletet a vektor hosszának koordináták alapján történő meghatározásához :

Most kapunk egy képletet egy vektor hosszának meghatározására koordinátái alapján az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerben a térben.

Félretesszük a vektort az origóból, és az A pont vetületeit a koordinátatengelyekre és -ként jelöljük. Ezután építhetünk az oldalakra és egy téglalap alakú paralelepipedonra, amelyben az OA átlós lesz.

Ebben az esetben (mivel az OA egy átló kocka alakú), ahol . A vektor koordinátáinak meghatározása lehetővé teszi az egyenlőségek felírását, és az OA hossza megegyezik a vektor kívánt hosszával, ezért .

És így, vektor hossza térben egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével, azaz a képlet alapján található .

Számítsa ki a vektor hosszát , ahol a derékszögű koordinátarendszer ortjai vannak.

Megadjuk egy vektor kiterjesztését az alak koordinátavektoraival , ennélfogva, . Ekkor a vektor hosszának koordináták alapján történő meghatározásának képlete szerint .

Lap teteje

A vektor hossza kezdő- és végpontjának koordinátáiban.

De hogyan találjuk meg egy vektor hosszát, ha a kezdő- és végpontjának koordinátái adottak?

Az előző bekezdésben képleteket kaptunk egy vektor hosszának meghatározására a koordinátáiból a síkban és a háromdimenziós térben. Akkor használhatjuk őket, ha a vektor koordinátáit a kezdő- és végpontjainak koordinátái alapján találjuk meg.

Így ha a és pontok adottak a síkon, akkor a vektornak vannak koordinátái hosszát pedig a képlet alapján számítjuk ki , valamint a vektor hosszának a pontok koordinátái alapján történő meghatározására szolgáló képlet és háromdimenziós térúgy néz ki, mint a .

Nézzünk példákat.

Határozza meg a vektor hosszát, ha derékszögű derékszögű koordinátarendszerben van .

Azonnal alkalmazhatja a vektor hosszának meghatározására szolgáló képletet a síkon lévő kezdő- és végpont koordinátái alapján :

A második megoldás a vektor koordinátáinak meghatározása a pontok koordinátáin keresztül és a képlet alkalmazása :

.

Határozza meg, milyen értékek esetén a vektor hossza , ha .

A vektor hossza a kezdő- és végpont koordinátái alapján a következőképpen határozható meg

A vektor hosszának kapott értékét egyenlővé téve -vel, kiszámítjuk a szükségeseket:

Lap teteje

Vektor hosszának meghatározása koszinusztétel segítségével.

A vektor hosszának meghatározásával kapcsolatos legtöbb probléma koordinátákkal oldható meg. Ha azonban a vektor koordinátái nem ismertek, más megoldásokat kell keresni.

Legyen ismert két vektor hossza, és a közöttük lévő szög (vagy a szög koszinusza), és meg kell találni a vagy a vektor hosszát. Ebben az esetben az ABC háromszög koszinuszának törvényével kiszámíthatja a BC oldal hosszát, amely megegyezik a vektor kívánt hosszával.

Vessünk egy pillantást a példa megoldására, hogy tisztázzuk az elhangzottakat.

A és vektorok hossza 3, illetve 7, a köztük lévő szög pedig . Számítsa ki a vektor hosszát!

A vektor hossza megegyezik az ABC háromszög BC oldalának hosszával. A feltételből ismerjük ennek a háromszögnek az AB és AC oldalainak hosszát (ezek megegyeznek a megfelelő vektorok hosszával), valamint a köztük lévő szöget, így elegendő adatunk van a koszinusztétel alkalmazásához:

És így, .

Tehát egy vektor hosszának koordináták alapján történő meghatározásához a képleteket használjuk
vagy ,
a vektor kezdő- és végpontjának koordinátái szerint —
vagy ,
egyes esetekben a koszinusztétel eredményre vezet.

Megértetted valaha?
Rendeljen megoldást

Lap teteje

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Felső matematika. Első kötet: A lineáris algebra elemei és analitikus geometria.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. 7 - 9. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Tankönyv a gimnázium 10-11 osztályos számára.

Előadás keresése

Vektor skalár négyzet

Mi történik, ha egy vektort megszorozunk önmagával?

A számot hívják skaláris négyzet vektor, és jelölésük: .

És így, vektor skalár négyzetegyenlő az adott vektor hosszának négyzetével:

A vektor a geometriában egy irányított szakasz vagy egy rendezett pontpár az euklideszi térben. Ortom vektor a normalizált egységvektora vektor tér vagy olyan vektor, amelynek normája (hossza) egyenlő eggyel.

Szükséged lesz

• Geometriai ismeretek.

Utasítás

Először ki kell számítania a hosszát vektor. Mint tudod, a hossz (modulus) vektor egyenlő a koordináták négyzetösszegének négyzetgyökével. Legyen adott egy vektor koordinátákkal: a(3, 4). Ekkor a hossza |a| = (9 + 16)^1/2 vagy |a|=5.

Ort megtalálni vektor a, mindegyiket el kell osztani a hosszával. Az eredmény egy vektor lesz, amelyet ort-nak vagy egységvektornak nevezünk. Mert vektor a(3, 4) ort az a(3/5, 4/5) vektor lesz. Vektor a` egyetlen lesz vektor a.

Az ort helyes megtalálásának ellenőrzéséhez a következőket teheti: keresse meg a fogadott ort hosszát, ha egyenlő eggyel, akkor mindent helyesen talál, ha nem, akkor hiba csúszott a számításokba. Ellenőrizzük, hogy az ort a` helyesen található-e. Hossz vektor a` egyenlő: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Tehát a hossz vektor a` egyenlő eggyel, így az egységvektor helyesen található.

Végül a kezembe került egy kiterjedt és régóta várt téma analitikus geometria. Először egy kicsit róla ez a szekció felsőbb matematika…. Bizonyára most eszébe jutott az iskolai geometriatanfolyam számos tétellel, azok bizonyításával, rajzával stb. Mit kell titkolni, a hallgatók jelentős része számára nem szeretett és gyakran homályos tárgy. Az analitikus geometria, furcsa módon, érdekesebbnek és hozzáférhetőbbnek tűnhet. Mit jelent az "analitikus" jelző? Rögtön két bélyeges matematikai fordulat jut eszembe: a „megoldás grafikus módszere” és az „analitikus megoldási módszer”. Grafikus módszer , természetesen grafikonok, rajzok készítéséhez kapcsolódik. Elemző azonos módszer problémamegoldással jár túlnyomórészt algebrai műveletekkel. Ebben a tekintetben az analitikai geometria szinte minden problémájának megoldására szolgáló algoritmus egyszerű és átlátható, gyakran elegendő a szükséges képletek pontos alkalmazása - és a válasz kész! Nem, természetesen rajzok nélkül egyáltalán nem megy, ráadásul az anyag jobb megértése érdekében igyekszem a szükségesnél nagyobb mértékben hozni azokat.

A geometria órák nyitott kurzusa nem igényli az elméleti teljességet, a gyakorlati feladatok megoldására koncentrál. Előadásaimban csak azt veszem fel, ami az én szemszögemből gyakorlati szempontból fontos. Ha bármely alfejezetben teljesebb hivatkozásra van szüksége, ajánlom a következő, könnyen hozzáférhető irodalmat:

1) Egy dolog, ami nem vicc, több generáció számára ismerős: Iskolai tankönyv a geometriáról, a szerzők - L.S. Atanasyan and Company. Az iskolai öltözőnek ez a fogasa már 20 (!) újrakiadást bírt ki, ami persze nem a határ.

2) Geometria 2 kötetben. A szerzők L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ez az irodalom Gimnázium, szükséged lesz első kötet. A ritkán előforduló feladatok kieshetnek a látómezőmből, ill oktatóanyag felbecsülhetetlen értékű segítséget nyújt majd.

Mindkét könyv ingyenesen letölthető online. Ezenkívül használhatja az archívumomat kész megoldások, amely megtalálható az oldalon Töltsön le felsőbb matematikai példákat .

Az eszközök közül ismét saját fejlesztést ajánlok - Szoftver csomag az analitikus geometrián, ami nagyban leegyszerűsíti az életet és sok időt takarít meg.

Feltételezhető, hogy az olvasó ismeri az alapokat geometriai fogalmakés ábrák: pont, egyenes, sík, háromszög, paralelogramma, paralelepipedon, kocka stb. Célszerű megjegyezni néhány tételt, legalább a Pitagorasz-tételt, hello ismétlők)

És most szekvenciálisan megvizsgáljuk: a vektor fogalmát, a vektorokkal végzett műveleteket, a vektorkoordinátákat. Tovább olvasásra javaslom a legfontosabb cikk Vektorok pontszorzata , szintén Vektor és vektorok vegyes szorzata . Egy helyi feladat nem lesz felesleges - A szegmens felosztása ebből a szempontból. A fenti információk alapján megteheti egyenlet egy síkban val vel a megoldások legegyszerűbb példái , ami lehetővé teszi megtanulják a geometriai feladatok megoldását . A következő cikkek is hasznosak: Egyenlet egy sík térben , Egyenes egyenletei a térben , Alapfeladatok egyenesen és síkon, az analitikus geometria egyéb ágai. Természetesen a szokásos feladatokat is figyelembe veszik az út során.

A vektor fogalma. ingyenes vektor

Először is ismételjük meg a vektor iskolai definícióját. Vektor hívott irányította egy szegmens, amelynek eleje és vége fel van tüntetve:

Ebben az esetben a szakasz eleje a pont, a szakasz vége a pont. Magát a vektort jelöli. Irány elengedhetetlen, ha átrendezed a nyilat a szegmens másik végére, akkor kapsz egy vektort, és ez már teljesen más vektor. Kényelmes azonosítani a vektor fogalmát a mozgással fizikai test: egyetért, az intézet ajtaján belépni vagy az intézet ajtaját elhagyni teljesen más dolog.

Célszerű egy sík, tér egyes pontjait ún nulla vektor. Egy ilyen vektornak ugyanaz a vége és a kezdete.

!!! Jegyzet: Itt és lent feltételezhetjük, hogy a vektorok egy síkban helyezkednek el, vagy feltételezhetjük, hogy térben helyezkednek el - a bemutatott anyag lényege síkra és térre egyaránt érvényes.

Megnevezések: Sokan azonnal felhívták a figyelmet egy botra, ahol nincs nyíl a megjelölésben, és azt mondták, hogy a tetejére is tettek nyilat! Így van, nyíllal írható: , de megengedhető és rekordot, amelyet később felhasználok. Miért? Nyilván gyakorlati megfontolásokból alakult ki egy ilyen szokás, az iskolai és egyetemi lövöldözőim túl sokrétűnek és bozontosnak bizonyultak. NÁL NÉL oktatási irodalom néha egyáltalán nem foglalkoznak az ékírással, hanem félkövér betűkkel emelik ki: , ezzel utalva arra, hogy ez egy vektor.

Ez volt a stílus, és most a vektorok írásának módjairól:

1) A vektorok két nagy latin betűvel írhatók:
stb. Míg az első betű szükségszerűen a vektor kezdőpontját, a második betű pedig a vektor végpontját jelöli.

2) A vektorokat kis latin betűkkel is írják:
A vektorunkat a rövidség kedvéért egy kis latin betűvel át lehet jelölni.

Hossz vagy modult a nullától eltérő vektort a szakasz hosszának nevezzük. A nullvektor hossza nulla. Logikusan.

Egy vektor hosszát a modulo jellel jelöljük: ,

Hogy hogyan találjuk meg egy vektor hosszát, azt egy kicsit később megtudjuk (vagy megismételjük, kinek hogyan).

Ez alapvető információ volt a vektorról, minden iskolás számára ismerős. Az analitikus geometriában az ún ingyenes vektor.

Ha nagyon egyszerű... vektor bármely pontból rajzolható:

Megszoktuk, hogy az ilyen vektorokat egyenlőnek nevezzük (az egyenlő vektorok definícióját az alábbiakban adjuk meg), de tisztán matematikai pont látás UGYANAZ A VEKTOR ill ingyenes vektor. Miért ingyenes? Mert a feladatmegoldás során a sík vagy tér BÁRMELY pontjához „rákapcsolhatja” egyik vagy másik „iskola” vektort. Ez egy nagyon klassz ingatlan! Képzeljünk el egy tetszőleges hosszúságú és irányú irányított szegmenst - végtelen sokszor és a tér bármely pontján "klónozható", sőt, MINDENHOL létezik. Van egy ilyen hallgatói közmondás: Minden előadó f ** u-ban a vektorban. Végül is ez nem csak egy szellemes rím, szinte minden rendben van - oda is csatolható egy irányított szegmens. De ne rohanjon örülni, maguk a diákok gyakrabban szenvednek =)

Így, ingyenes vektor- Ezt Egy csomó azonos irányú szegmensek. A vektor iskolai definíciója, amely a bekezdés elején található: „Az irányított szegmenst vektornak nevezzük…” különleges adott halmazból vett irányított szakasz, amely a sík vagy tér egy bizonyos pontjához kapcsolódik.

Meg kell jegyezni, hogy a fizika szempontjából a szabad vektor fogalma általában téves, és az alkalmazás szempontja számít. Valóban, egy ugyanolyan erejű közvetlen ütés az orron vagy a homlokon elég ahhoz, hogy hülye példámat fejlessze, más-más következményekkel jár. Azonban, nem ingyenes vektorok találkozikés a vyshmat során (ne menj oda :)).

Műveletek vektorokkal. A vektorok kollinearitása

Az iskolai geometria tanfolyamon számos vektoros műveletet és szabályt figyelembe vesznek: háromszög összeadás, paralelogramma összeadás, vektorkülönbség szabály, vektor szorzása számmal, skaláris szorzat vektorok stb. Magunkként megismételünk két olyan szabályt, amelyek különösen fontosak az analitikus geometria problémáinak megoldására.

Vektorok összeadásának szabálya a háromszögek szabálya szerint

Tekintsünk két tetszőleges nem nulla vektort és:

Meg kell találni ezeknek a vektoroknak az összegét. Tekintettel arra, hogy minden vektort szabadnak tekintünk, a vektort elhalasztjuk vége vektor:

A vektorok összege a vektor. A szabály jobb megértése érdekében tanácsos beruházni ebbe fizikai jelentése: csináljon valamilyen testet a vektor mentén, majd a vektor mentén. Ekkor a vektorok összege a kapott útvonal vektora, amely a kiindulási ponttól kezdődik és az érkezési pontnál végződik. Hasonló szabályt fogalmaznak meg tetszőleges számú vektor összegére. Ahogy mondani szokták, a test erősen cikcakkosan, esetleg autopilótán is haladhat – a kapott összegvektor mentén.

By the way, ha a vektor elhalasztják Rajt vektor, akkor megkapjuk az ekvivalenst paralelogramma szabály vektorok összeadása.

Először is a vektorok kollinearitásáról. A két vektort ún kollineáris ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon fekszenek. Nagyjából így van párhuzamos vektorok. De velük kapcsolatban mindig a "kollineáris" jelzőt használják.

Képzeljünk el két kollineáris vektort. Ha ezeknek a vektoroknak a nyilai ugyanabba az irányba mutatnak, akkor az ilyen vektorokat nevezzük társirányú. Ha a nyilak különböző irányokba néznek, akkor a vektorok ilyenek lesznek ellentétes irányú.

Megnevezések: A vektorok kollinearitása a szokásos párhuzamossági ikonnal írható: , míg a részletezés lehetséges: (a vektorok együtt irányulnak) vagy (a vektorok ellentétes irányúak).

munka egy számmal nem nulla vektor egy olyan vektor, amelynek hossza egyenlő , és a és a vektorok együtt irányulnak és ellentétes irányúak.

A vektor számmal való szorzásának szabálya könnyebben érthető képpel:

Részletesebben megértjük:

1 irány. Ha a szorzó negatív, akkor a vektor irányt változtat az ellenkezőjére.

2) Hossz. Ha a tényezőt vagy belül tartalmazza, akkor a vektor hossza csökken. Tehát a vektor hossza kétszer kisebb, mint a vektor hossza. Ha a modulo szorzó nagyobb, mint egy, akkor a vektor hossza növeli időben.

3) Kérjük, vegye figyelembe minden vektor kollineáris, míg az egyik vektor egy másikon keresztül fejeződik ki, például . Ennek a fordítottja is igaz: ha egy vektor kifejezhető egy másikkal, akkor az ilyen vektorok szükségszerűen kollineárisak. És így: ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor kollineárist kapunk(az eredetihez képest) vektor.

4) A vektorok egyirányúak. A és vektorok szintén koirányúak. Az első csoport bármely vektora ellentétes a második csoport bármely vektorával.

Mely vektorok egyenlők?

Két vektor egyenlő, ha egyirányúak és azonos hosszúságúak. Megjegyzendő, hogy az együttirányú irányítás azt jelenti, hogy a vektorok kollineárisak. A definíció pontatlan (redundáns) lesz, ha azt mondja: "Két vektor egyenlő, ha kollineárisak, együtt irányítottak és azonos hosszúságúak."

A szabad vektor fogalma szempontjából az egyenlő vektorok ugyanazok a vektorok, amiről az előző bekezdésben már volt szó.

Vektor koordináták a síkon és a térben

Az első pont az, hogy vegyük figyelembe a vektorokat egy síkon. Rajzolj fel egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszert, és tedd félre az origótól egyetlen vektorok és:

Vektorok és ortogonális. Ortogonális = merőleges. Azt javaslom, hogy lassan szokja meg a kifejezéseket: a párhuzamosság és a merőlegesség helyett használjuk a szavakat, ill kollinearitásés ortogonalitás.

Kijelölés: vektorok merőlegességét a szokásos merőleges előjellel írjuk, például: .

A figyelembe vett vektorokat ún koordináta vektorok vagy orts. Ezek a vektorok kialakulnak alapon a felszínen. Hogy mi az alap, az szerintem sokak számára intuitív módon világos, részletesebb információk a cikkben találhatók A vektorok lineáris (nem) függése. Vektoros alapon .Egyszerű szavakkal, a koordináták alapja és origója meghatározza az egész rendszert - ez egyfajta alap, amelyen a teljes és gazdag geometriai élet forr.

Néha a konstruált bázist ún ortonormális sík alapja: "orto" - mivel a koordinátavektorok merőlegesek, a "normalizált" jelző egységet, azaz egységet jelent. a bázisvektorok hossza eggyel egyenlő.

Kijelölés: zárójelbe szokták írni az alapot, amelyen belül szigorú sorrendben bázisvektorok vannak felsorolva, például: . Koordinátavektorok ez tiltott helyet cserélni.

Bármi sík vektor az egyetlen módja kifejezve:
, ahol - számok, amelyek az úgynevezett vektor koordináták ban ben ezt az alapot. De maga a kifejezés hívott vektorbontásalapon .

Felszolgált vacsora:

Kezdjük az ábécé első betűjével: . A rajzon jól látható, hogy a vektor bázis szerinti felbontásakor az imént figyelembe vetteket használjuk:
1) egy vektor számmal való szorzásának szabálya: és ;
2) vektorok összeadása a háromszögszabály szerint: .

Most mentálisan tedd félre a vektort a sík bármely más pontjáról. Teljesen nyilvánvaló, hogy korrupciója "kérlelhetetlenül követni fogja őt". Itt van, a vektor szabadsága – a vektor „mindent magával visz”. Ez a tulajdonság természetesen minden vektorra igaz. Vicces, hogy magukat az alap (szabad) vektorokat nem kell félretenni az origóból, az egyiket pl balra lent, a másikat jobbra fent lehet rajzolni, és ettől nem fog változni semmi! Igaz, ezt nem kell megtenned, mert a tanár eredetiséget is mutat, és váratlan helyen „bérletet” rajzol neked.

A vektorok pontosan szemléltetik a vektor számmal való szorzásának szabályát, a vektor a bázisvektorral együtt van irányítva, a vektor a bázisvektorral ellentétes irányban irányul. Ezeknél a vektoroknál az egyik koordináta nullával egyenlő, ez a következőképpen írható fel aprólékosan:


Az alapvektorok pedig egyébként ilyenek: (sőt, önmagukon keresztül fejeződnek ki).

És végül: , . Egyébként mi az a vektoros kivonás, és miért nem szóltam a kivonási szabályról? Valahol a lineáris algebrában, nem emlékszem hol, megjegyeztem, hogy a kivonás az összeadás speciális esete. Tehát a "de" és az "e" vektorok kiterjesztését nyugodtan összegként írjuk fel: . Kövesse a rajzot, hogy megtudja, mennyire működik ezekben a helyzetekben a háromszögszabály szerinti vektorok jó öreg összeadása.

A forma figyelembe vett dekompozíciója néha vektorbontásnak is nevezik a rendszerben ort(vagyis az egységvektorok rendszerében). De nem ez az egyetlen módja a vektor írásának, a következő lehetőség gyakori:

Vagy egyenlőségjellel:

Magukat a bázisvektorokat a következőképpen írjuk fel: és

Azaz a vektor koordinátái zárójelben vannak feltüntetve. A gyakorlati feladatokban mindhárom rögzítési lehetőséget használjuk.

Kételkedtem, hogy szóljak-e, de mégis azt mondom: a vektorkoordináták nem rendezhetők át. Szigorúan az első helyenírja fel az egységvektornak megfelelő koordinátát, szigorúan a második helyenírja le az egységvektornak megfelelő koordinátát. Valóban, és két különböző vektor.

Kitaláltuk a koordinátákat a gépen. Most vegyük figyelembe a vektorokat a háromdimenziós térben, itt minden majdnem ugyanaz! Csak egy további koordináta kerül hozzáadásra. Nehéz háromdimenziós rajzokat készíteni, ezért egy vektorra korlátozom magam, amelyet az egyszerűség kedvéért elhalasztom az eredettől:

Bármi 3d tér vektor az egyetlen módja ortonormális alapon bővíteni:
, ahol a vektor (szám) koordinátái az adott bázisban.

Példa a képről: . Nézzük meg, hogyan működnek itt a vektorművelet-szabályok. Először megszorozzuk a vektort egy számmal: (piros nyíl), (zöld nyíl) és (bíbor nyíl). Másodszor, itt van egy példa több, jelen esetben három vektor összeadására: . Az összegvektor a kiindulási pontnál kezdődik (a vektor eleje) és a végső érkezési pontban (a vektor végén) ér véget.

A háromdimenziós tér minden vektora természetesen szintén szabad, próbálja meg mentálisan elhalasztani a vektort bármely más ponttól, és meg fogja érteni, hogy a tágulása "vele marad".

Hasonlóképpen lapos tok, az írás mellett széles körben használatosak a zárójeles változatok: akár .

Ha egy (vagy két) koordinátavektor hiányzik a bővítésből, akkor helyette nullákat teszünk. Példák:
vektor (precízen ) - írd le ;
vektor (alaposan) - írja le;
vektor (precízen ) - írd le .

Az alapvektorokat a következőképpen írjuk fel:

Talán itt van minden minimális elméleti tudás, amely az analitikus geometria problémáinak megoldásához szükséges. Talán túl sok a kifejezés és a meghatározás, ezért javaslom a bábuk újraolvasását és megértését ez az információújra. És minden olvasó számára hasznos lesz, ha időnként hivatkozik az alapleckére az anyag jobb asszimilációja érdekében. Kollinearitás, ortogonalitás, ortonormális alap, vektorbontás – ezeket és más fogalmakat gyakran használjuk a következőkben. Megjegyzem, az oldal anyagai nem elegendőek egy elméleti teszt, geometriai kollokvium letételéhez, mivel minden tételt gondosan titkosítok (a bizonyítások nélkül) - a tudományos előadásmód rovására, de plusz a megértésért. a tárgyból. A részletes elméleti információkért arra kérem, hogy hajoljon meg Atanasyan professzor előtt.

Most pedig térjünk át a gyakorlati részre:

Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatai.
Műveletek koordinátákban lévő vektorokkal

A figyelembe veendő feladatokat nagyon kívánatos megtanulni teljesen automatikusan megoldani, és a képleteket memorizálni, ne is emlékezz rá szándékosan, ők maguk is emlékezni fognak rá =) Ez nagyon fontos, hiszen az analitikus geometria egyéb problémái a legegyszerűbb elemi példákon alapulnak, és bosszantó lesz több időt tölteni a gyalogevéssel. Az ing felső gombjait nem kell rögzíteni, sok minden ismerős az iskolából.

Az anyag bemutatása párhuzamos menetet fog követni - sík és tér szempontjából egyaránt. Azért, mert az összes képletet... meglátod magad.

Hogyan találhatunk egy vektort két ponton?

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

Ha a térben két pont és és adott, akkor a vektornak a következő koordinátái vannak:

Azaz, a vektor végének koordinátáiból ki kell vonni a megfelelő koordinátákat vektor indítás.

Gyakorlat: Ugyanezekre a pontokra írjuk fel a vektor koordinátáinak megkeresésére szolgáló képleteket! Képletek az óra végén.

1. példa

Adott két pont a síkban és . Keresse meg a vektor koordinátáit

Döntés: a megfelelő képlet szerint:

Alternatív megoldásként a következő jelölés használható:

Az esztéták így döntenek:

Én személy szerint hozzászoktam a lemez első verziójához.

Válasz:

A feltétel szerint nem kellett rajzot készíteni (ami jellemző az analitikus geometriai problémákra), de azért, hogy néhány pontot elmagyarázzak a figuráknak, nem leszek lusta:

Meg kell érteni pontkoordináták és vektorkoordináták közötti különbség:

Pont koordinátái a téglalap alakú koordinátarendszer szokásos koordinátái. Tegyél félre pontokat Koordináta sík Szerintem 5-6 osztálytól mindenki meg tudja csinálni. Minden pontnak szigorú helye van a síkon, és nem mozgathatók sehova.

Ugyanannak a vektornak a koordinátái a kiterjesztése a bázishoz képest, ebben az esetben. Bármely vektor szabad, ezért ha akarjuk vagy szükséges, könnyen elhalaszthatjuk a sík egy másik pontjáról. Érdekes módon vektorokhoz egyáltalán nem lehet tengelyt építeni, derékszögű koordinátarendszert, csak egy bázisra van szükség, jelen esetben a sík ortonormális bázisára.

A pontkoordináták és vektorkoordináták rekordjai hasonlónak tűnnek: , és koordináták érzékelése teljesen különböző, és tisztában kell lennie ezzel a különbséggel. Ez a különbség természetesen a térre is igaz.

Hölgyeim és uraim, megtöltjük a kezünket:

2. példa

a) Adott pontok és . Keresse meg a vektorokat és .
b) Pontokat adunk és . Keresse meg a vektorokat és .
c) Adott pontok és . Keresse meg a vektorokat és .
d) Pontokat adunk. Keressen vektorokat .

Talán elég. Ezek példák erre önálló döntés, próbáld meg nem hanyagolni őket, kifizetődik ;-). Rajzok nem szükségesek. Megoldások és válaszok az óra végén.

Mi a fontos az analitikus geometria problémáinak megoldásában? Fontos, hogy RENDKÍVÜL ÓVATOSAN legyünk, hogy elkerüljük a mesteri „kettő plusz kettő egyenlő nulla” hibát. Előre is elnézést kérek, ha hibáztam =)

Hogyan lehet megtudni egy szakasz hosszát?

A hosszt, mint már említettük, a modulusjel jelzi.

Ha a és a sík két pontja adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki

Ha a térben két pont és és adott, akkor a szakasz hossza a képlettel számítható ki

Jegyzet: A képletek helyesek maradnak, ha a megfelelő koordinátákat felcseréljük: és , de az első lehetőség szabványosabb

3. példa

Döntés: a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Az egyértelműség kedvéért készítek egy rajzot

Vonalszakasz - ez nem vektor, és persze nem tudod sehova mozgatni. Ezenkívül, ha a rajzot méretarányosan tölti ki: 1 egység. \u003d 1 cm (két tetrad cella), akkor a válasz egy szabályos vonalzóval ellenőrizhető a szakasz hosszának közvetlen megmérésével.

Igen, a megoldás rövid, de van benne pár fontos pont, amit szeretnék tisztázni:

Először a válaszban beállítjuk a dimenziót: „egységek”. A feltétel nem mondja meg, MI az, milliméter, centiméter, méter vagy kilométer. Ezért az általános megfogalmazás matematikailag kompetens megoldás lesz: „egységek” - rövidítve „egységek”.

Másodszor, ismételjük meg iskolai anyag, ami nem csak az adott probléma esetén hasznos:

figyelni fontos technikai trükk – a szorzót kivéve a gyökér alól. A számítások eredményeként megkaptuk az eredményt, és a jó matematikai stílushoz hozzátartozik, hogy a szorzót kivesszük a gyökér alól (ha lehetséges). A folyamat részletesebben így néz ki: . Természetesen nem hiba az űrlapon hagyni a választ – de ez mindenképpen hiba és nyomós érv a tanári trükközés mellett.

Íme más gyakori esetek:

Gyakran a gyökér alatt eléggé kiderül nagy szám, Például . Hogyan lehet ilyen esetekben? A számológépen ellenőrizzük, hogy a szám osztható-e 4-gyel:. Igen, teljesen felosztva, így: . Vagy esetleg a szám ismét osztható 4-gyel? . És így: . A szám utolsó számjegye páratlan, így a 4-gyel való osztás harmadszorra nyilvánvalóan nem lehetséges. Kilenccel próbálva osztani: . Ennek eredményeként:
Kész.

Következtetés: ha a gyökér alatt nem kinyerhető egész számot kapunk, akkor a gyökér alól próbáljuk kivenni a tényezőt - a számológépen megnézzük, hogy a szám osztható-e: 4, 9, 16, 25, 36, 49 stb.

A különböző problémák megoldása során gyakran találnak gyökereket, mindig próbálja meg a gyökér alól kiszedni a tényezőket, hogy elkerülje az alacsonyabb pontszámot és a felesleges problémákat a megoldások véglegesítésével a tanár megjegyzése szerint.

Ismételjük meg a gyökök és más hatványok négyzetre emelését egyszerre:

A fokozattal rendelkező tevékenységek szabályai Általános nézet egy iskolai algebrai tankönyvben megtalálható, de szerintem a megadott példákból már minden vagy majdnem minden világos.

Feladat független megoldáshoz térbeli szegmenssel:

4. példa

Adott pontok és . Keresse meg a szakasz hosszát.

Megoldás és válasz a lecke végén.

Hogyan találjuk meg a vektor hosszát?

Ha adott egy síkvektor, akkor a hosszát a képlettel számítjuk ki.

Ha adott egy térvektor, akkor a hosszát a képlet alapján számítjuk ki .