vagy (ekvivalens) egy poliéder hat lappal, amelyek paralelogrammák. Hatszög.

A paralelogrammákat alkotó paralelogrammák az arcok ez a paralelepipedon, ezeknek a paralelogrammáknak az oldalai vannak paralelepipedon élek, a paralelogrammák csúcsai pedig csúcsok paralelepipedon. A paralelepipedon minden lapja olyan paralelogramma.

Általános szabály, hogy bármely 2. ellentétes arcot megkülönböztetünk és nevezünk nekik a paralelepipedon alapjai, és a többi arc a paralelepipedon oldallapjai. A paralelepipedon alapokhoz nem tartozó élei az oldalbordák.

A téglatest 2 lapja, amelyek egy élen osztoznak összefüggő, és azok, amelyeknek nincs közös élük - szemben.

Az a szegmens, amely 2 olyan csúcsot köt össze, amelyek nem tartoznak az 1. laphoz a paralelepipedon átlója.

Bordahosszak kocka alakú, amelyek nem párhuzamosak, igen lineáris méretek (mérések) egy paralelepipedon. A téglalap alakú paralelepipedonnak 3 lineáris mérete van.

A paralelepipedon típusai.

Többféle paralelepipedon létezik:

Közvetlen egy paralelepipedon, amelynek éle merőleges az alap síkjára.

Egy téglatest, mind a 3 dimenzióval egyenlő értékű, egy kocka. A kocka mindegyik lapja egyenlő négyzetek .

Önkényes paralelepipedon. A ferde doboz térfogatát és arányait többnyire vektoralgebra segítségével határozzák meg. A doboz térfogata megegyezik 3 vektor vegyes szorzatának abszolút értékével, amelyeket a doboz 3 oldala határoz meg (amelyek ugyanabból a csúcsból származnak). A paralelepipedon oldalainak hosszának és a köztük lévő szögeknek az aránya azt az állítást mutatja, hogy az adott 3 vektor Gram-determinánsa egyenlő a vegyes szorzatuk négyzetével.

A paralelepipedon tulajdonságai.

• A paralelepipedon szimmetrikus az átlója felezőpontjára.
• Minden olyan szakaszt, amelynek vége a paralelepipedon felületéhez tartozik, és amely áthalad az átlójának felezőpontján, két egyenlő részre osztja. A paralelepipedon minden átlója az 1. pontban metszi egymást, és ez két egyenlő részre osztja.
• A paralelepipedon szemközti lapjai párhuzamosak és egyenlő méretűek.
• Egy téglatest átlójának hosszának négyzete a

Ebben a leckében mindenki tanulmányozhatja a "Téglalap alakú doboz" témát. A lecke elején megismételjük, mi a tetszőleges és egyenes paralelepipedon, felidézzük a paralelepipedon ellentétes lapjainak és átlóinak tulajdonságait. Ezután megvizsgáljuk, mi az a téglatest, és megvitatjuk fő tulajdonságait.

Téma: Egyenesek és síkok merőlegessége

Tanulság: Cuboid

Két egyenlő ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 paralelogrammából és négy ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 paralelogrammából álló felületet ún. paralelepipedon(1. ábra).

Rizs. 1 Paralleleppiped

Azaz: van két egyenlő paralelogrammunk ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 (bázisok), ezek párhuzamos síkok hogy az AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 oldalbordák párhuzamosak legyenek. Így egy paralelogrammákból álló felületet ún paralelepipedon.

Így a paralelepipedon felülete a paralelepipedont alkotó összes paralelogramma összege.

1. A paralelepipedon szemközti lapjai párhuzamosak és egyenlőek.

(az ábrák egyenlőek, azaz átfedéssel kombinálhatók)

Például:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (a definíció szerint egyenlő paralelogrammák),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (mivel AA 1 B 1 B és DD 1 C 1 C a paralelepipedon ellentétes oldalai),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (mivel AA 1 D 1 D és BB 1 C 1 C a paralelepipedon ellentétes oldalai).

2. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot felezik.

Az AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B paralelepipedon átlói egy O pontban metszik egymást, és minden átlót ezzel a ponttal kettéosztunk (2. ábra).

Rizs. 2 A paralelepipedon átlói metszik és felezik a metszéspontot.

3. A paralelepipedon három egyenlő és párhuzamos élének négyszerese: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Meghatározás. A paralelepipedont egyenesnek nevezzük, ha oldalsó élei merőlegesek az alapokra.

Legyen az AA 1 oldalél merőleges az alapra (3. ábra). Ez azt jelenti, hogy az AA 1 egyenes merőleges az AD és AB egyenesekre, amelyek az alap síkjában fekszenek. Ezért téglalapok vannak az oldallapokon. Az alapok pedig tetszőleges paralelogrammák. Jelölje, ∠BAD = φ, a φ szög tetszőleges lehet.

Rizs. 3 Jobb oldali doboz

Tehát a jobb oldali doboz olyan doboz, amelyben az oldalsó élek merőlegesek a doboz aljára.

Meghatározás. A paralelepipedont téglalap alakúnak nevezzük, ha oldalélei merőlegesek az alapra. Az alapok téglalap alakúak.

A АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 paralelepipedon téglalap alakú (4. ábra), ha:

1. AA 1 ⊥ ABCD (oldalsó éle merőleges az alap síkjára, azaz egyenes paralelepipedon).

2. ∠BAD = 90°, azaz az alap egy téglalap.

Rizs. 4 Cuboid

A téglalap alakú doboz minden tulajdonsággal rendelkezik, mint egy tetszőleges doboz. De vannak további tulajdonságok, amelyek a téglatest definíciójából származnak.

Így, kocka alakú olyan paralelepipedon, amelynek oldalsó élei merőlegesek az alapra. A téglatest alapja egy téglalap.

1. Egy téglatestben mind a hat lap téglalap.

Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 definíció szerint téglalapok.

2. Az oldalsó bordák merőlegesek az alapra. Ez azt jelenti, hogy a téglatest minden oldallapja téglalap.

3. Egy téglatest minden kétszögű szöge derékszög.

Tekintsük például egy AB élű téglalap alakú paralelepipedon kétszögét, azaz az ABB 1 és ABC síkok közötti diéderszöget.

Az AB egy él, az A 1 pont az egyik síkban - az ABB 1 síkban, a D pont a másikban - az A 1 B 1 C 1 D 1 síkban fekszik. Ekkor a figyelembe vett diéderszög a következőképpen is jelölhető: ∠А 1 АВD.

Vegyük az A pontot az AB élen. Az AA 1 merőleges az AB élre az ABB-1 síkban, az AD merőleges az AB élre az ABC síkban. Ezért ∠A 1 AD az adott diéderszög lineáris szöge. ∠A 1 AD \u003d 90 °, ami azt jelenti, hogy az AB él diéderszöge 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon bármely kétszöge jó.

Egy téglatest átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzetösszegével.

Jegyzet. A téglatest ugyanazon csúcsából kiinduló három él hossza a téglatest méretei. Néha hossznak, szélességnek, magasságnak is nevezik.

Adott: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - téglalap alakú paralelepipedon (5. ábra).

Bizonyít: .

Rizs. 5 Cuboid

Bizonyíték:

A CC 1 egyenes merőleges az ABC síkra, tehát az AC egyenesre. Tehát a CC 1 A háromszög derékszögű háromszög. A Pitagorasz-tétel szerint:

Fontolgat derékszögű háromszög ABC. A Pitagorasz-tétel szerint:

De a BC és AD a téglalap ellentétes oldalai. Tehát BC = Kr. u. Azután:

Mivel , de , azután. Mivel CC 1 = AA 1, akkor mit kellett bizonyítani.

A téglalap alakú paralelepipedon átlói egyenlőek.

Jelöljük a paralelepipedon ABC méreteit a, b, c méretekkel (lásd 6. ábra), akkor AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

A paralelepipedon egy négyszögű prizma, amelynek alapjai paralelogrammák. A paralelepipedon magassága az alapjainak síkjai közötti távolság. Az ábrán a magasság vonalként látható . Kétféle paralelepipedon létezik: egyenes és ferde. Általában, matematika tanár először megadja a prizma megfelelő definícióit, majd átviszi a paralelepipedonra. Mi is így fogunk tenni.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a prizmát egyenesnek nevezzük, ha oldalélei merőlegesek az alapokra, ha nincs merőlegesség, akkor a prizmát ferdének nevezzük. Ezt a terminológiát a paralelepipedon is örökli. A jobb oldali paralelepipedon nem más, mint egyfajta egyenes prizma, amelynek oldalsó éle egybeesik a magassággal. Az olyan fogalmak definíciói, mint az arc, az él és a csúcs, amelyek a poliéderek egész családjában közösek, megmaradnak. Megjelenik az ellentétes arcok fogalma. A paralelepipedonnak 3 pár szemközti lapja, 8 csúcsa és 12 éle van.

A paralelepipedon átlója (a prizma átlója) egy olyan szakasz, amely egy poliéder két csúcsát köti össze, és nem fekszik egyik lapjában sem.

Az átlós metszet a paralelepipedon olyan szakasza, amely áthalad az átlóján és az alapjának átlóján.

Ferde doboz tulajdonságai:
1) Minden lapja paralelogramma, a szemközti oldala pedig egyenlő paralelogramma.
2)A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és abban a pontban felezik.
3)Mindegyik paralelepipedon hat egyenlő térfogatú háromszög alakú piramisból áll. Ahhoz, hogy ezeket a tanulóknak megmutassa, a matektanárnak le kell vágnia a paralelepep egy felét az átlós metszetével, és külön-külön 3 gúlára kell törnie. Alapjaiknak az eredeti doboz különböző oldalain kell feküdniük. A matematika oktatója talál alkalmazást erre a tulajdonságra az analitikus geometriában. A piramis térfogatának átmenő megjelenítésére szolgál vegyes termék vektorok.

A paralelepipedon térfogatának képletei:
1) , ahol az alap területe, h a magasság.
2) A paralelepipedon térfogata megegyezik az oldalél keresztmetszeti területének szorzatával.
matematika tanár: Tudniillik a képlet minden prizmánál közös, és ha már a tutor bebizonyította, akkor nincs értelme a paralelepipedonnál is megismételni. Átlagos szintű tanulóval (a gyenge képlet nem hasznos) azonban a tanárnak pont az ellenkezőjét célszerű cselekednie. Hagyja békén a prizmát, és végezzen pontos bizonyítást a paralelepipedonra.
3) , ahol a paralelepipedont alkotó hat háromszög alakú gúla egyikének térfogata.
4) Ha , akkor

A paralelepipedon oldalsó felületének területe az összes lapja területének összege:
A paralelepipedon teljes felülete az összes lapja területének összege, azaz a terület + két alapterület:.

A ferde paralelepipedon tutor munkájáról:
A matematika oktatója nem gyakran foglalkozik ferde paralelepipedon problémákkal. A vizsgán való megjelenésük valószínűsége meglehetősen kicsi, a didaktika pedig illetlenül rossz. Egy többé-kevésbé tisztességes probléma a ferde paralelepipedon térfogatával kapcsolatban komoly problémákat a H ​​pont helyének meghatározásához kapcsolódik - magasságának alapja. Ebben az esetben a matektanárnak azt tanácsolhatjuk, hogy vágja le a dobozt a hat piramis közül az egyikre (amelyeket a 3. tulajdonságban tárgyalunk), próbálja meg megkeresni a térfogatát, és megszorozni 6-tal.

Ha a paralelepipedon oldaléle egyenlő szögeket zár be az alap oldalaival, akkor H az ABCD alap A szögfelezőjén fekszik. És ha például az ABCD egy rombusz, akkor

Matek oktatói feladatok:
1) A paralelepipedon lapjai egyenlők, 2 cm-es oldalukkal és hegyesszöggel. Keresse meg a paralelepipedon térfogatát!
2) Egy ferde paralelepipedonban az oldalél 5 cm. A rá merőleges metszet egy négyszög egymásra merőleges átlói 6 cm és 8 cm hosszúak Számítsd ki a paralelepipedon térfogatát!
3) Egy ferde paralelepipedonban ismert, hogy , és az ABCD definíciójában egy rombusz, amelynek oldala 2 cm, szöge pedig . Határozza meg a paralelepipedon térfogatát!

Matematika tanár, Alekszandr Kolpakov