Vektoros rajz pontszorzata. Vektorok pontszorzata

): ⟨a | b ⟩ (\displaystyle \langle a|b\rangle )

A közönséges tér legegyszerűbb esetben a nullától eltérő vektorok skaláris szorzata és b (\displaystyle \mathbf (b) ) e vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzataként definiálható:

(a , b) = | a | | b | cos ⁡ (θ) (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=|\mathbf (a) ||\mathbf (b) |\cos(\theta))

Ezzel egyenértékű definíció: a skaláris szorzat az első vektor második vektorra vetített vetületének hosszának és a második vektor hosszának a szorzata (lásd az ábrát). Ha legalább az egyik vektor nulla, akkor a szorzatot nullának tekintjük.

A skaláris szorzat fogalma is nagyszámúáltalánosítások különféle vektorterekre, vagyis olyan vektorhalmazokra, amelyek skalárral való összeadás és szorzás műveletét végzik. Feljebb adott geometriai meghatározás A skaláris szorzat általában nem megfelelő, mivel nem világos, hogy mit kell érteni a vektorok hossza és a közöttük lévő szög alatt. Ezért a modern matematikában a fordított megközelítést alkalmazzák: a skaláris szorzatot axiomatikusan határozzák meg, és már rajta keresztül - a hosszúságokat és a szögeket. A belső szorzat különösen összetett vektorokra, többdimenziós és végtelen dimenziós terekre van definiálva a tenzoralgebrában.

A pontszorzat és általánosításai rendkívül nagy szerepet játszanak a vektoralgebrában, a sokaságelméletben, a mechanikában és a fizikában. Például egy erő munkája a mechanikai elmozdulás során egyenlő az erővektor és az elmozdulásvektor skaláris szorzatával.

Meghatározás

Definíció az euklideszi térben

BAN BEN n (\displaystyle n)-dimenziós valós euklideszi térvektorokat koordinátáik - halmazaik határozzák meg n (\displaystyle n) valós számok ortonormális alapon . A vektorok skaláris szorzatát így határozhatja meg:

(a , b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + anbn (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=a_(1)b_(1)+ a_(2)b_(2)+a_(3)b_(3)+\pontok +a_(n)b_(n))

Az ellenőrzés azt mutatja, hogy mindhárom axióma teljesül.

Például a vektorok skaláris szorzata ( 1 , 3 , − 5 ) (\displaystyle $1,3,-5$)És ( 4 , − 2 , − 1 ) (\displaystyle $4,-2,-1$)így lesz kiszámolva:

( 1 , 3 , − 5 ) ⋅ ( 4 , − 2 , − 1 ) = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2) + (− 5) ⋅ (− 1) = 4 − 6 + 5 = 3. (\ megjelenítési stílus (\begin(igazított)\ $1,3,-5$\cdot $4,-2,-1$&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5) \cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end(igazított)))

Komplex vektorokhoz a = ( a 1 , a 2 … an ) , b = ( b 1 , b 2 … bn ) (\displaystyle \mathbf (a) =$a_(1),a_(2)\dots a_(n)\ ),\mathbf (b) =\(b_(1),b_(2)\pontok b_(n)$) hasonlóképpen határozd meg:

(a , b) = ∑ k = 1 nakbk ¯ = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ + anbn ¯ (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=\sum _( k=1)^(n)a_(k)(\overline (b_(k)))=a_(1)(\overline (b_(1)))+a_(2)(\overline (b_(2) ))+\cdots +a_(n)(\overline (b_(n)))).

Példa (for n = 2 (\displaystyle n=2)): ( 1 + i , 2 ) ⋅ ( 2 + i , i ) = (1 + i) ⋅ (2 + i ¯) + 2 ⋅ i ¯ = (1 + i) ⋅ (2 - i) + 2 ⋅ (- i) = 3 − i . (\displaystyle $1+i,2$\cdot $2+i,i$=(1+i)\cdot ((\overline (2+i)))+2\cdot (\overline ( i))=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.)

Kapcsolódó definíciók

A modern axiomatikus megközelítésben már a vektorok skaláris szorzatának koncepciója alapján a következő derivált fogalmak kerülnek bevezetésre:

Hossz vektor, amelyet általában euklideszi normájaként értenek:

| a | = (a , a) (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt ((\mathbf (a) ,\mathbf (a)))))

(a "hossz" kifejezést általában véges dimenziós vektorokra alkalmazzák, de a hossz kiszámítása esetén görbe út gyakran használják végtelen dimenziós terek esetén).

Bármilyen elemhez a , b (\displaystyle \mathbf (a) ,\mathbf (b) ) vektor tér a skalárszorzattal a következő egyenlőtlenség áll fenn:

| (a , b) | 2 ⩽ (a , a) (b , b) (\displaystyle \vert (\mathbf (a) ,\mathbf (b))\vert ^(2)\leqslant (\mathbf (a) ,\mathbf (a) )(\mathbf (b) ,\mathbf (b)))

Ha a tér pszeudoeuklideszi, akkor a szög fogalma csak azokra a vektorokra vonatkozik, amelyek nem tartalmaznak izotróp vonalakat a vektorok által alkotott szektoron belül. Ebben az esetben magát a szöget olyan számként vezetjük be, amelynek hiperbolikus koszinusza egyenlő ezen vektorok skaláris szorzatának modulusának és hosszuk (normáik) szorzatának arányával:

| (a , b) | = | a | | b | ch ⁡ φ . (\displaystyle |(\mathbf (a) ,\mathbf (b))|=|\mathbf (a) ||\mathbf (b) |\operátornév (ch) \varphi .)

ortogonális(merőleges) olyan vektorok, amelyek skaláris szorzata nullával egyenlő. Ez a meghatározás minden olyan térre vonatkozik, amelynek pozitív meghatározott belső szorzata van. Például az ortogonális polinomok valójában merőlegesek (e definíció értelmében) egymásra valamilyen Hilbert-térben.
A pozitív-határozott belső szorzattal rendelkező teret (valós vagy összetett) pre-Hilbert-térnek nevezzük.
- Ebben az esetben a pozitív-definit skaláris szorzattal rendelkező véges dimenziós valós teret euklideszi, az összetettet pedig hermitikus vagy unitárius térnek nevezzük.
Az az eset, amikor a skalárszorzat nem előjel-határozott, az ún. határozatlan metrikus terek. A skaláris szorzat az ilyen terekben már nem generál normát (és általában kiegészítve kerül bevezetésre). A határozatlan metrikával rendelkező véges dimenziós valós teret pszeudoeuklideszinek nevezzük (az ilyen tér legfontosabb esete a Minkowski-tér). Határozatlan metrikával rendelkező végtelen dimenziós terek között fontos szerep játszani Pontryagin tereket és Kerin tereket.

Tulajdonságok

A koszinusztétel könnyen levezethető a pontszorzat segítségével: | B C | 2 = B C → 2 = (A C → − A B →) 2 = ⟨ A C → − A B → , A C → − A B → ⟩ = A C → 2 + A B → 2 − 2 ⟨ A C → , A B → ⟩ = | A B | 2 + | A C | 2 − 2 | A B | | A C | cos ⁡ A ^ (\displaystyle |BC|^(2)=(\vec (BC))^(2)=((\vec (AC))-(\vec (AB)))^(2)=\ langle (\vec (AC))-(\vec (AB)),(\vec (AC))-(\vec (AB))\rangle =(\vec (AC))^(2)+(\vec (AB))^(2)-2\langle (\vec (AC)),(\vec (AB))\rangle =|AB|^(2)+|AC|^(2)-2|AB| |AC|\cos(\hat(A)))
A vektorok közötti szög becslése: a képletben (a , b) = | a | ⋅ | b | ⋅ cos ⁡ ∠ (a , b) (\displaystyle (\mathbf (\mathbf (a) ) ,\mathbf (b))=|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |\cdot \cos \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))) az előjelet csak a szög koszinusza határozza meg (a vektornormák mindig pozitívak). Ezért a pontszorzat > 0, ha a vektorok közötti szög hegyes, és< 0, если угол между векторами тупой.
Egy vektor vetítése a által meghatározott irányra egységvektor e (\displaystyle \mathbf (e) ): a e = (a , e) = | a | | e | cos ⁡ ∠ (a , e) = | a | cos ⁡ ∠ (a , e) (\displaystyle a_(e)=(\mathbf (a) ,\mathbf (e))=|\mathbf (a) ||\mathbf (e) |\cos \angle (( \mathbf (a) ,\mathbf (e)))=|\mathbf (a) |\cos \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (e)))), mivel | e | = 1. (\displaystyle |\mathbf (e) |=1.)
Egy paralelogramma területe két vektorral a (\displaystyle \mathbf (a) \ )És b (\displaystyle \mathbf (b) \ ), egyenlő

(a , a) (b , b) − (a , b) 2 (\displaystyle (\sqrt ((\mathbf (a) ,\mathbf (a)))(\mathbf (b) ,\mathbf (b)) -(\mathbf (a) ,\mathbf (b))^(2)))\ )

Ha a feladatban a vektorok hossza és a köztük lévő szög is "ezüsttányéron" van feltüntetve, akkor a feladat feltétele és megoldása így néz ki:

1. példa Vektorok adottak. Határozzuk meg azoknak a vektoroknak a skaláris szorzatát, amelyek hosszát és a köztük lévő szöget a következő értékek képviselik:

Egy másik definíció is érvényes, ami teljesen egyenértékű az 1. definícióval.

2. definíció. A vektorok skaláris szorzata egy szám (skalár), amely egyenlő ezen vektorok hosszának és egy másik vektornak az első vektor által meghatározott tengelyre való vetületének szorzatával. A 2. definíció szerinti képlet:

Ezzel a képlettel oldjuk meg a feladatot a következő fontos elméleti pont után.

A vektorok skaláris szorzatának meghatározása koordinátákkal

Ugyanezt a számot kaphatjuk, ha a szorzott vektorokat a koordinátáikkal adjuk meg.

3. definíció. A vektorok pontszorzata az a szám, amely megegyezik a megfelelő koordinátáik páronkénti szorzatának összegével.

A felszínen

Ha két vektort és a síkban a kettőjük határozza meg Derékszögű koordináták

akkor ezeknek a vektoroknak a pontszorzata egyenlő a megfelelő koordinátáik páronkénti szorzatának összegével:

2. példa Határozza meg a vektor vetületének számértékét a vektorral párhuzamos tengelyre!

Megoldás. A vektorok skaláris szorzatát a koordinátáik páronkénti szorzatának összeadásával kapjuk meg:

Most egyenlővé kell tenni a kapott skaláris szorzatot a vektor hosszának és a vektornak a vektorral párhuzamos tengelyre való vetületének szorzatával (a képletnek megfelelően).

Megtaláljuk a vektor hosszát as Négyzetgyök koordinátáinak négyzetösszegéből:

Írj egy egyenletet és oldd meg:

Válasz. A kívánt számérték mínusz 8.

Űrben

Ha két és térbeli vektort a három derékszögű derékszögű koordinátájuk határoz meg

akkor ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata is egyenlő a megfelelő koordinátáik páronkénti szorzatának összegével, csak már három koordináta van:

A skalárszorzat meggondolt módon történő megtalálásának feladata a skalárszorzat tulajdonságainak elemzése után van. Mert a feladatban meg kell határozni, hogy a szorzott vektorok milyen szöget zárnak be.

A vektorok pontszorzatának tulajdonságai

Algebrai tulajdonságok

1. (kommutatív tulajdonság: skalárszorzatuk értéke nem változik a szorzott vektorok helyének változásától).

2. (asszociatív tulajdonság egy numerikus tényező tekintetében: egy vektor skaláris szorzata valamely tényezővel és egy másik vektorral szorozva egyenlő ezen vektorok skaláris szorzatával, szorozva ugyanazzal a tényezővel).

3. (eloszlási tulajdonság a vektorok összegére vonatkoztatva: két vektor összegének skaláris szorzata a harmadik vektorral egyenlő az első vektor és a harmadik vektor skaláris szorzatának összegével).

4. (nullánál nagyobb vektor skalárnégyzete) ha nem nulla vektor, és , ha nulla vektor.

Geometriai tulajdonságok

A vizsgált művelet definícióinál már érintettük a két vektor közötti szög fogalmát. Ideje tisztázni ezt a fogalmat.

A fenti ábrán két vektor látható, amelyek közös kezdetbe kerülnek. És az első dolog, amire figyelni kell: két szög van ezek között a vektorok között - φ 1 És φ 2 . A szögek közül melyik jelenik meg a vektorok skaláris szorzatának definícióiban és tulajdonságaiban? A figyelembe vett szögek összege 2 π és ezért ezeknek a szögeknek a koszinuszai egyenlők. A pontszorzat meghatározása csak a szög koszinuszát tartalmazza, kifejezésének értékét nem. De csak az egyik sarkot veszik figyelembe az ingatlanokban. És ez az a két szög közül, amely nem haladja meg π azaz 180 fok. Ezt a szöget az ábra mutatja φ 1 .

1. Két vektort nevezünk ortogonális És ezen vektorok közötti szög derékszögű (90 fok, ill π /2 ) ha ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata nulla :

A vektoralgebrában az ortogonalitás két vektor merőlegessége.

2. Két nem nulla vektor alkotja éles sarok (0 és 90 fok között, vagy ami ugyanaz, kevesebb π pont szorzat pozitív .

3. Két nem nulla vektor alkotja tompaszög (90-180 fok, vagy ami ugyanaz - több π /2 ) akkor és csak akkor pontszorzat negatív .

3. példa A vektorok koordinátákban vannak megadva:

Számítsa ki az adott vektorok összes párjának pontszorzatát! Milyen szöget (éles, jobb, tompa) zárnak be ezek a vektorpárok?

Megoldás. A megfelelő koordináták szorzatainak összeadásával számolunk.

Negatív számot kaptunk, így a vektorok tompaszöget alkotnak.

Megkapta pozitív szám, tehát a vektorok hegyesszöget alkotnak.

Nullát kaptunk, tehát a vektorok derékszöget alkotnak.

Pozitív számot kaptunk, így a vektorok hegyesszöget alkotnak.

Önteszthez használhatja online számológép A vektorok és a köztük lévő szög koszinuszának pontszorzata .

4. példa Adott két vektor hossza és a köztük lévő szög:

Határozzuk meg, hogy a szám mekkora értékénél merőlegesek (merőlegesek) a és vektorok!

Megoldás. A vektorokat megszorozzuk a polinomok szorzási szabálya szerint:

Most számoljuk ki az egyes kifejezéseket:

Állítsunk össze egyenletet (a szorzat egyenlősége nullával), adjunk hasonló kifejezéseket, és oldjuk meg az egyenletet:

Válasz: megkaptuk az értéket λ = 1,8 , amelynél a vektorok merőlegesek.

5. példa Bizonyítsuk be, hogy a vektor merőleges a vektorra

Megoldás. Az ortogonalitás ellenőrzéséhez megszorozzuk a vektorokat és polinomként, a feladatfeltételben megadott kifejezést helyettesítve helyette:

Ehhez meg kell szoroznia az első polinom minden tagját (termét) a második minden tagjával, és össze kell adnia a kapott szorzatokat:

Ennek eredményeként az esedékes töredék csökken. A következő eredményt kapjuk:

Következtetés: a szorzás eredményeként nullát kaptunk, tehát a vektorok ortogonalitása (merõlegessége) igazolt.

Oldja meg a problémát saját maga, majd nézze meg a megoldást

6. példa Adott a vektorok hossza és , és a vektorok közötti szög az π /4 . Határozza meg, milyen értékben μ vektorok és egymásra merőlegesek.

Önteszthez használhatja online számológép A vektorok és a köztük lévő szög koszinuszának pontszorzata .

A vektorok skaláris szorzatának és az n-dimenziós vektorok szorzatának mátrixábrázolása

Néha az áttekinthetőség kedvéért előnyös két szorzott vektort mátrixok formájában ábrázolni. Ezután az első vektort sormátrixként, a másodikat pedig oszlopmátrixként ábrázoljuk:

Ekkor a vektorok skaláris szorzata lesz ezeknek a mátrixoknak a szorzata :

Az eredmény ugyanaz, mint amit a már megvizsgált módszerrel kaptunk. Egyetlen számot kaptunk, és a mátrixsor szorzata a mátrixoszloppal szintén egyetlen szám.

Mátrix formában célszerű az absztrakt n-dimenziós vektorok szorzatát ábrázolni. Így két négydimenziós vektor szorzata egy négy elemű sormátrix és egy szintén négy elemű oszlopmátrix szorzata lesz, két ötdimenziós vektor szorzata pedig egy öt elemű sormátrix szorzata lesz egy oszlopmátrix szintén öt elemből, és így tovább.

7. példa Keresse meg a vektorpárok ponttermékeit

mátrixábrázolás segítségével.

Megoldás. Az első vektorpár. Az első vektort sormátrixként, a másodikat oszlopmátrixként ábrázoljuk. Ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzatát a sormátrix és az oszlopmátrix szorzataként találjuk:

Hasonlóképpen képviseljük a második párt, és megtaláljuk:

Amint láthatja, az eredmények ugyanazok, mint a 2. példa azonos párjainál.

Szög két vektor között

A két vektor közötti szög koszinuszának képlete nagyon szép és tömör.

A vektorok pontszorzatának kifejezésére

(1)

koordináta alakban először az ortok skaláris szorzatát találjuk meg. Egy vektor skaláris szorzata önmagával definíció szerint:

A fenti képletben leírtak jelentése: egy vektor skaláris szorzata önmagával egyenlő a hosszának négyzetével. A nulla koszinusza egyenlő eggyel, tehát minden orth négyzete egyenlő lesz eggyel:

Mivel a vektorok

páronként merőlegesek, akkor az ortok páronkénti szorzata nullával egyenlő:

Most végezzük el a vektorpolinomok szorzását:

Az egyenlőség jobb oldalán behelyettesítjük az ortok megfelelő skaláris szorzatának értékeit:

Megkapjuk a két vektor közötti szög koszinuszának képletét:

8. példa Adott három pont A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Találj egy szöget.

Megoldás. Megtaláljuk a vektorok koordinátáit:

A szög koszinuszának képletével a következőket kapjuk:

Következésképpen, .

Önteszthez használhatja online számológép A vektorok és a köztük lévő szög koszinuszának pontszorzata .

9. példa Adott két vektor

Keresse meg az összeget, a különbséget, a hosszúságot, a pontszorzatot és a köztük lévő szöget.

2.Különbség

Előadás: vektor koordináták; vektorok pontszorzata; vektorok közötti szög

Vektor koordináták

Tehát, mint korábban említettük, a vektor egy irányított szegmens, amelynek saját kezdete és vége van. Ha a kezdetet és a végét néhány pont ábrázolja, akkor ezeknek saját koordinátái vannak a síkon vagy a térben.

Ha minden pontnak megvannak a saját koordinátái, akkor megkaphatjuk a teljes vektor koordinátáit.

Tegyük fel, hogy van olyan vektorunk, amelynek a vektor eleje és vége a következő jelölésekkel és koordinátákkal rendelkezik: A(A x ; Ay) és B(B x ; By)

Hogy megkapd a koordinátákat adott vektor, ki kell vonni a megfelelő kezdőkoordinátákat a vektor végének koordinátáiból:

Egy vektor térbeli koordinátájának meghatározásához használja a következő képletet:

Vektorok pontszorzata

Kétféleképpen lehet meghatározni a ponttermék fogalmát:

Geometrikus módon. Szerinte a skaláris szorzat egyenlő ezen modulok értékeinek és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával.

algebrai jelentése. Az algebra szempontjából két vektor skaláris szorzata egy bizonyos érték, amely a megfelelő vektorok szorzatainak összegéből adódik.

Ha a vektorok térben vannak megadva, akkor hasonló képletet kell használni:

Tulajdonságok:

Ha két azonos vektort skalárisan megszorozunk, akkor a skalárszorzatuk nem negatív lesz:

Ha két azonos vektor skaláris szorzata nullával egyenlő, akkor ezeket a vektorokat nullának tekintjük:

Ha egy bizonyos vektort megszorozunk önmagával, akkor a skaláris szorzat egyenlő lesz a modulusának négyzetével:

A skaláris szorzatnak van egy kommunikatív tulajdonsága, vagyis a skaláris szorzat nem változik a vektorok permutációjától:

A nullától eltérő vektorok skaláris szorzata csak akkor lehet nulla, ha a vektorok merőlegesek egymásra:

A vektorok skaláris szorzatára a kommutatív törvény akkor érvényes, ha az egyik vektort megszorozzuk egy számmal:

A pontszorzattal a szorzás disztributív tulajdonságát is használhatjuk:

Szög vektorok között

Szög vektorok között

Tekintsünk két megadott vektort: $\overrightarrow(a)$ és $\overrightarrow(b)$. Tegyük félre a $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ és $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ vektorokat egy tetszőlegesen kiválasztott $O$ pontból, ekkor a $AOB$ szög ún. a $\overrightarrow( a)$ és $\overrightarrow(b)$ vektorok közötti szög (1. ábra).

1. kép

Itt jegyezzük meg, hogy ha a $\overrightarrow(a)$ és a $\overrightarrow(b)$ vektorok egyirányúak, vagy ha egyikük nulla vektor, akkor a vektorok közötti szög $0^0$.

Jelölés: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

A vektorok skaláris szorzatának fogalma

Matematikailag ez a definíció a következőképpen írható fel:

A skaláris szorzat két esetben lehet nulla:

Ha az egyik vektor nulla vektor lesz (Azóta a hossza nulla).

Ha a vektorok egymásra merőlegesek (azaz $cos(90)^0=0$).

Vegye figyelembe azt is, hogy a belső szorzat nagyobb nullánál, ha a vektorok közötti szög hegyes (mert $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , és nullánál kisebb, ha a vektorok közötti szög tompaszögű (mivel $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

A skalárnégyzet fogalma összefügg a skalárszorzat fogalmával.

2. definíció

A $\overrightarrow(a)$ vektor skalárnégyzete ennek a vektornak önmagával való skaláris szorzata.

Azt kapjuk, hogy a skalárnégyzet

A skaláris szorzat kiszámítása vektorok koordinátái alapján

A pontszorzat értékének meghatározásának szokásos módszere mellett, amely a definícióból következik, van egy másik módszer is.

Gondoljuk át.

Legyen a $\overrightarrow(a)$ és $\overrightarrow(b)$ $\left(a_1,b_1\right)$ és $\left(a_2,b_2\right)$ koordinátája.

1. tétel

A $\overrightarrow(a)$ és $\overrightarrow(b)$ vektorok skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordináták szorzatának összegével.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Bizonyíték.

A tétel bizonyítást nyert.

Ennek a tételnek számos következménye van:

1. következmény: A $\overrightarrow(a)$ és a $\overrightarrow(b)$ vektorok akkor és csak akkor merőlegesek, ha $a_1a_2+b_1b_2=0$

2. következmény: A vektorok közötti szög koszinusza $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

A vektorok pontszorzatának tulajdonságai

Bármely három vektorra és egy $k$ valós számra a következő igaz:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Ez a tulajdonság a skalárnégyzet definíciójából következik (2. definíció).

eltolási törvény:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ez a tulajdonság a belső termék definíciójából következik (1. definíció).

Elosztási törvény:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(felsorol)

Az 1. tétel alapján a következőket kapjuk:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Kombinációs törvény:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(felsorol)

Az 1. tétel alapján a következőket kapjuk:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Példa a vektorok skaláris szorzatának kiszámítására vonatkozó feladatra

1. példa

Keresse meg a $\overrightarrow(a)$ és $\overrightarrow(b)$ vektorok belső szorzatát, ha $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ és $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, a köztük lévő szög pedig $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Megoldás.

Az 1. definíciót használva azt kapjuk

$(30)^0:$-ért

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$-ért

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$-ért

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$-ért

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ jobb)=-3\sqrt(2)\]

1. definíció

A vektorok skaláris szorzatát olyan számnak nevezzük, amely megegyezik e vektorok dinjainak és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával.

Az a → és b → vektorok szorzatának jelölése a → , b → alakú. Váltsuk át a képletre:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → és b → a vektorok hosszát, a → , b → ^ az adott vektorok közötti szöget jelöli. Ha legalább egy vektor nulla, azaz értéke 0, akkor az eredmény nulla lesz, a → , b → = 0

Ha egy vektort önmagával megszorozunk, megkapjuk a dinének négyzetét:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

2. definíció

Egy vektor skaláris szorzását önmagában skalárnégyzetnek nevezzük.

A képlet szerint számítva:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Az a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → felírása azt mutatja, hogy npb → a → a → numerikus vetülete b → , npa-ra. → a → - b → vetülete a →-re, ill.

Megfogalmazzuk a szorzat definícióját két vektorra:

Két a → b → vektor skaláris szorzatát nevezzük az a → vektor hosszának szorzatának b → irányú vetítésével a → vagy b → hosszának szorzatának a → vetületével, illetőleg.

Pont szorzat koordinátákban

A skaláris szorzat kiszámítása elvégezhető az in vektorok koordinátáin keresztül adott repülőgép vagy a térben.

Két vektor skaláris szorzatát egy síkon, háromdimenziós térben az adott a → és b → vektorok koordinátáinak összegének nevezzük.

Ha a Descartes-rendszerben adott a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) vektorok pontszorzatának síkján számolunk, használjuk:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

számára háromdimenziós tér alkalmazható kifejezés:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Valójában ez a ponttermék harmadik meghatározása.

Bizonyítsuk be.

1. bizonyíték

Ennek bizonyítására a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by használjuk az a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) vektorokra derékszögűen. rendszer.

A vektorokat el kell halasztani

O A → = a → = a x, a y és O B → = b → = b x, b y.

Ekkor az A B → vektor hossza egyenlő lesz A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Tekintsünk egy O A B háromszöget.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) igaz, a koszinusztétel alapján.

Feltétel alapján látható, hogy O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , így a vektorok közötti szög megtalálásának képletét eltérően írjuk fel

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Ekkor az első definícióból következik, hogy b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , tehát (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

A vektorok hosszának kiszámítására szolgáló képlet alkalmazásával a következőket kapjuk:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

Bizonyítsuk be az egyenlőségeket:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– a háromdimenziós tér vektoraihoz.

A koordinátákkal rendelkező vektorok skaláris szorzata azt mondja, hogy egy vektor skalárnégyzete egyenlő a térbeli, illetve a síkon lévő koordinátáinak négyzetösszegével. a → = (a x, a y, a z) , b → = (b x, b y, b z) és (a → , a →) = a x 2 + a y 2.

Pont termék és tulajdonságai

Vannak pontterméktulajdonságok, amelyek a → , b → és c → -re vonatkoznak:

kommutativitás (a → , b →) = (b → , a →) ;
disztributivitás (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
asszociatív tulajdonság (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - tetszőleges szám;
a skalárnégyzet mindig nagyobb nullánál (a → , a →) ≥ 0, ahol (a → , a →) = 0, ha a → nulla.

1. példa

A tulajdonságokat a pontszorzat definíciója a síkban és a valós számok összeadási és szorzási tulajdonságai magyarázzák.

Igazoljuk a kommutativitás tulajdonságát (a → , b →) = (b → , a →) . A definícióból azt kapjuk, hogy (a → , b →) = a y b y + a y b y és (b → , a →) = b x a x + b y a y.

A kommutativitás tulajdonsága alapján az a x · b x = b x · a x és a y · b y = b y · a y egyenlőségek igazak, tehát a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y.

Ebből következik, hogy (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Az eloszlás bármely számra érvényes:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

és (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

ezért van

(a (1) → + a (2) → + ... + a (n) → , b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Pontos termék példákkal és megoldásokkal

Az ilyen terv bármely problémája megoldható a skalárszorzat tulajdonságaival és képleteivel:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
(a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
(a → , b →) = a x b x + a y b y vagy (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
(a → , a →) = a → 2 .

Nézzünk néhány példát a megoldásokra.

2. példa

A → hossza 3, b → hossza 7. Keresse meg a pontszorzatot, ha a szög 60 fokos.

Megoldás

Feltétel szerint minden adatunk megvan, ezért a következő képlettel számolunk:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Válasz: (a → , b →) = 21 2 .

3. példa

Adott vektorok a → = (1 , - 1 , 2 - 3), b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Mi a skalárszorzat.

Megoldás

Ebben a példában a koordináták kiszámításának képletét vettük figyelembe, mivel ezek a problémameghatározásban vannak megadva:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Válasz: (a → , b →) = - 9

4. példa

Keresse meg A B → és A C → belső szorzatát. A Koordináta sík adott A (1 , - 3 ), B (5 , 4 ), C (1 , 1) pontok.

Megoldás

Először is kiszámítjuk a vektorok koordinátáit, mivel a pontok koordinátáit feltétel adja:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (-3)) = (0, 4)

Ha behelyettesítjük a képletbe koordinátákkal, a következőt kapjuk:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Válasz: (A B → , A C →) = 28 .

5. példa

Adott a → = 7 m → + 3 n → és b → = 5 m → + 8 n → vektorok, keresse meg szorzatukat. m → egyenlő 3-mal és n → egyenlő 2 egységgel, ezek merőlegesek.

Megoldás

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . A disztribúciós tulajdonságot alkalmazva a következőket kapjuk:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Az együtthatót a szorzat előjelén kívülre vesszük, és megkapjuk:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

A kommutativitás tulajdonsága alapján átalakítjuk:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Most alkalmazzuk a skaláris szorzat képletét a feltétel által meghatározott szöggel:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Válasz: (a → , b →) = 411

Ha van numerikus vetítés.

6. példa

Keresse meg a → és b → belső szorzatát. Az a → vektor koordinátái a → = (9 , 3 , - 3) , a b → vetület koordinátái (- 3 , - 1 , 1) .

Megoldás

Feltétel szerint az a → vektorok és a b → vetület ellentétes irányúak, mert a → = - 1 3 npa → b → → , így a b → vetület az npa → b → → hossznak felel meg, és a „-” jel:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

A képletbe behelyettesítve a következő kifejezést kapjuk:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Válasz: (a → , b →) = - 33 .

Problémák ismert skaláris szorzattal, ahol meg kell találni egy vektor hosszát vagy egy numerikus vetületet.

7. példa

Milyen értéket kell felvennie λ-nak egy adott skaláris szorzathoz a → \u003d (1, 0, λ + 1) és b → \u003d (λ, 1, λ), egyenlő lesz -1-gyel.

Megoldás

A képletből látható, hogy meg kell találni a koordináták szorzatainak összegét:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Adott esetben (a → , b →) = - 1 .

A λ meghatározásához kiszámítjuk az egyenletet:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , tehát λ = - 1 .

Válasz: λ = - 1 .

A skalárszorzat fizikai jelentése

A mechanika figyelembe veszi a ponttermék alkalmazását.

Ha A-t állandó F erővel → egy M pontból N-be mozgó testet dolgozunk meg, akkor az F → és MN → vektorok hosszának szorzatát megtalálhatjuk a köztük lévő szög koszinuszával, ami azt jelenti, hogy a munka egyenlő. az erő- és elmozdulásvektorok szorzatához:

A = (F → , M N →) .

8. példa

mozgó anyagi pont 3 méter 5 Ntonnak megfelelő erő hatására 45 fokos szöget zár be a tengelyhez képest. Találni .

Megoldás

Mivel a munka az erővektor és az elmozdulás szorzata, akkor az F → = 5 , S → = 3, (F → , S → ^) = 45 ° feltétel alapján A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Válasz: A = 15 2 2 .

9. példa

Az F → = (3, 1, 2) erő hatására M (2, - 1, - 3) pontból N (5, 3 λ - 2, 4) pontba mozgó anyagi pont 13 J-val egyenlő. a mozgás hossza.

Megoldás

Az M N → vektor adott koordinátáira M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Az F → = (3 , 1 , 2) és MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) vektorokkal végzett munka keresésének képletével A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3) λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Feltétel szerint A \u003d 13 J, ami 22 + 3 λ \u003d 13-at jelent. Ez azt jelenti, hogy λ = - 3 , tehát M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7).

Az M N → utazási hossz meghatározásához alkalmazzuk a képletet, és behelyettesítjük az értékeket:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Válasz: 158 .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt