Tekintsük a görbe integrált

valami lapos ív mentén vettük Lösszekötő pontok MÉs N. Feltételezzük, hogy a függvények P(x, y)És Q(x, y) folyamatos parciális származékai vannak a vizsgált régióban D. Nézzük meg, milyen feltételek mellett nem függ a görbe alakjától az írott görbe integrál L, de csak a kezdő- és végpont helyzetétől függ MÉs N.

Tekintsünk két tetszőleges görbét MPNÉs MQN, a figyelembe vett területen fekszik Dés kapcsolódási pontok MÉs N. Legyen

(1)

Ekkor a görbe vonalú integrálok 1. és 4. tulajdonsága alapján a következőt kapjuk:

azok. zárt hurkú integrál L

Az utolsó képletben a görbe vonalú integrál egy zárt kontúrt vesz át L, görbékből áll össze MPNÉs NQM. Ez az áramkör L nyilván önkényesnek tekinthető.

Tehát a feltételből:

hogy bármely két M és N pontra a görbe integrál nem az őket összekötő görbe alakjától, hanem csak e pontok helyzetétől függ, ebből következik, mit a görbe vonalú integrál bármely zárt körvonalon egyenlő nullával .

Ennek az ellenkezője is igaz:

ha bármely zárt körvonal feletti görbe integrál nullával egyenlő, akkor ez a görbe integrál nem függ bármely két pontot összekötő görbe alakjától, de csak ezek helyzetétől függ pontokat . Valójában az egyenlőség (2) egyenlőséget (1) jelent.

Tétel

Legyenek a P(x, y), Q(x, y) függvények parciális deriváltjaikkal együtt, és legyenek folytonosak valamely D tartomány minden pontjában. Ekkor ahhoz, hogy az ebben a tartományban fekvő bármely zárt L kontúr feletti görbe vonalú integrál nullával egyenlő legyen, azaz. nak nek

(2΄)

szükséges és elégséges, hogy az egyenlőség

D minden pontján.

Bizonyíték

Tekintsünk egy tetszőleges zárt hurkot L régiójában Dés ehhez írjuk Green képletét:

Ha a (3) feltétel teljesül, akkor kettős integrál, amely a bal oldalon áll, megegyezik a nullával, ezért

Ily módon megfelelőségét feltétel (3) beigazolódik.

Most bizonyítsuk be szükség ez az állapot, i.e. bebizonyítjuk, hogy ha a (2) egyenlőség bármely zárt görbére teljesül L régiójában D, akkor ennek a tartománynak minden pontjában teljesül a (3) feltétel.

Ellenkezőleg, tegyük fel, hogy a (2) egyenlőség teljesül, azaz

és a (3) feltétel nem teljesül, azaz.

legalábbis egy ponton. Legyen például egy ponton az egyenlőtlenség

Mivel az egyenlőtlenség bal oldalán az folyamatos funkció, akkor pozitív lesz, és nagyobb lesz egy számnál a pontot tartalmazó kellően kis terület minden pontján. Vegyük a kettős integrált a különbség ezen tartományában. Pozitív lesz. Igazán,

De Green formulája szerint az utolsó egyenlőtlenség bal oldala egyenlő a tartomány határa feletti görbevonalas integrállal, amely feltételezés szerint nullával egyenlő. Következésképpen az utolsó egyenlőtlenség ellentmond a (2) feltételnek, ezért nem igaz az a feltevés, hogy legalább egy ponton különbözik a nullától. Ebből következik tehát

a környék minden pontján D.

Így a tétel teljesen bebizonyított.

Tanuláskor differenciál egyenletek bebizonyosodott, hogy a feltétel teljesülése

kifejezéssel egyenértékű pdx + Qdy valamely függvény teljes differenciája u(x, y), azaz

De ebben az esetben a vektor

van egy függvény gradiens u(x, y);

Funkció u(x, y), amelynek gradiense egyenlő a vektorral, nevezzük lehetséges ezt a vektort.

Bizonyítsuk be ebben az esetben a görbe vonalú integrál az M és N pontot összekötő bármely L görbe mentén egyenlő a függvény értékei közötti különbséggel, és ezeken a pontokon:

Bizonyíték

Ha Рdx + Qdy egy teljes differenciálmű funkciókat u(x, y), akkor a görbe vonalú integrál alakot ölt

Ennek az integrálnak a kiszámításához írjuk parametrikus egyenletek görbe Lösszekötő pontok MÉs N:

A zárójelben lévő kifejezés függvénye t, amely a függvény teljes deriváltja a vonatkozásban t. Ezért

Ahogy látjuk a teljes differenciál görbe integrálja nem függ annak a görbének az alakjától, amelyen az integrációt végrehajtják.

Ilyen módon:

függetlenségi feltételek a második típusú görbe vonalú integrálokhoz formából az integráció módjai a következő:

Ha valamilyen területen P(x, y)És Q(x, y) folytonos együtt a és , akkor:

1. a területen D alakfüggetlen integrációs utak, ha értékei az összes lehetséges darabonkénti sima görbe mentén vannak az adott régióban fekszik, és közös kezdete és közös vége van ugyanazok.

2. integrál bármely zárt görbe mentén L a régióban fekszik D nulla.

3. van olyan függvény u(x, y), amelyre a kifejezés pdx+qdy teljes különbség van, pl.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

4. ezen a területen a feltétel teljesülne

a környék minden pontján D.

Olyan integrál kiszámítása, amely nem függ az integrációs körvonaltól

A legelőnyösebb integrációs útnak egy és a pontokat összekötő szaggatott vonalat kell választani, melynek láncszemei ​​párhuzamosak az Ox és Oy tengellyel.

integrand P(x, y)dx + Q(x, y)dy ilyen feltételek mellett vannak teljes differenciálmű valamilyen funkciót u = u(x, y) azok.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Funkció u(x, y)(antiderivált) úgy található meg, hogy kiszámítja a megfelelő görbe integrált egy szaggatott vonalon, ahol bármely fix pont, B(x, y) egy változó pont, és egy pontnak vannak koordinátái xÉs . Aztán végig van és dy = 0, és mi is x = állandóÉs dx = 0.

Kapunk a következő képlet:

Hasonlóképpen, szaggatott vonalon keresztül integrálva, ahol megkapjuk

Példák

1. Kiszámítja

Ez az integrál nem függ az integrációs kontúrtól, mert

Integrációs útnak válasszunk egy olyan szaggatott vonalat, amelynek kapcsolatai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel. Az első részben:

A második részben:

Következésképpen,

2. Keress egy antiderivatívet u, ha

Hagyja a kontúrt NAK NEK egy szaggatott vonal OMN. Azután

3. Keresse meg, ha

Itt az origó kiindulópontja nem vehető, mert a funkció ezen pontján P(x, y)És Q(x, y) nincsenek definiálva, ezért a kiindulópontnak például . Azután

4. Keresse meg az ellipszis által bezárt területet!

Az XOU síkban elhelyezkedő és egy zárt C vonallal határolt ábra területét a képlet számítja ki

,

ahol a C kontúrt pozitív irányban megkerüljük.

A behelyettesítéssel a görbe vonalú integrált határozotttá alakítjuk

Paraméter t 0 és 2π között mozog.

Ily módon

3. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára L ha L a cikloid íve

FELADAT A „GÖRBELI INTEGRÁL” TÉMÁBAN

1.opció

Ahol L az XOY síkhoz tartozó A (0;-2) és B (4;0) egyenes szakasz.

Az L:OAB vonallánc mentén, ahol O(0.0), A(2.0), B(4.5). Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

Koordinátákkal, ha L egy ellipszisív, amely az I-edik kvadránsban fekszik.

Ahol L egy A(1,1), B(2,2), C(1,3) csúcsú háromszög körvonala. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

, és találja meg.

7. Az erőteret az F(x,y) erő alkotja, amely egyenlő az alkalmazási pontnak a koordináták origójától való távolságával, és a koordináták origójára irányul. Keresse meg a mozgásra fordított térerő munkáját anyagi pont egységnyi tömeg az y parabola íve mentén 2 \u003d 8x a (2; 4) ponttól a (4; 4) pontig.

2. lehetőség

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

Ahol L az O (0; 0) és A (1; 2) pontokat összekötő szakasz.

2. Számítsa ki a görbe integrált! , ha L egy parabola íve az A(-1;1) pontból a B(1,1) pontba. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált! ha L egy körív 1 és 2 négyzetben fekve. Mozgassa a kontúrt az óramutató járásával megegyezően.

4. Green-féle képlet alkalmazásával számítsa ki az integrált , ahol L egy kontúr, amelyet az OX tengely egy vonala és egy szakasza alkot, amikor a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányban megkerüljük.

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. Az erőtér minden pontjában az erő iránya az ordináta negatív féltengelye felé irányul, és egyenlő az alkalmazási pont abszcisszájának négyzetével. Határozzuk meg a terepi munkát, amikor egységnyi tömeget mozgatunk egy parabola mentén az (1.0) pontból a (0.1) pontba.

3. lehetőség

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

1. ahol L a parabola parabola által csonkolt íve.

2. Számítsa ki a görbe integrált! ha L egyenes szakasz, akkor az A (0,1), B (2,3) pont kapcsolata. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált, ha L a cikloid első ívének íve.

4. Green-féle képlet alkalmazásával számítsa ki az integrált ahol L egy ellipszis A kontúron az óramutató járásával ellentétes irányban haladva.

5. Határozza meg, hogy teljesül-e az integrál függetlenségének feltétele az integrál integrálási útjától , és találja meg.

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. Számítsa ki az erő munkáját, amikor egy anyagpontot mozgat az ellipszis felső fele mentén! az A pontból (a, 0), a B pontba (-a, 0).

4. lehetőség.

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

1. ahol L egy négyzet körvonala

2. Számítsa ki a görbe integrált, ha L az A (0,0) pont parabolájának íve a B ponthoz (1,1). Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált! ha L az ellipszis felső fele Mozgassa a kontúrt az óramutató járásával megegyezően.

4. Green képletével számítsa ki az integrált, ahol L egy A (1; 0), B (1; 1), C (0,1) csúcsú háromszög körvonala. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

5. Határozza meg, hogy az integrálnak az integrálási úttól való függetlenségének feltétele teljesül-e az integrálra vonatkozóan, és keresse meg!

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. A kör minden pontjában erő hat, melynek vetületei a koordináta tengelyekre Határozza meg az erő által végzett munkát egy anyagi pont kör mentén történő mozgatásakor! Miért egyenlő a munka nullával?

5. lehetőség.

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

ahol L a 0 (0,0) és A (4; 2) pontokat összekötő egyenes szakasz

2. Számítsa ki a görbe integrált, ha L az A(0,1) pontot a B (-1,e) ponttal összekötő görbe íve. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált, ha L a kör 1. negyede! Mozgassa a kontúrt az óramutató járásával megegyezően.

4. Green-féle képlet alkalmazásával számítsa ki az integrált ahol L a kontúr, határolt és Haladjon be a kontúron az óramutató járásával ellentétes irányba.

5. Határozza meg, hogy teljesül-e az integrál függetlenségének feltétele az integrál integrálási útjától , és találja meg.

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. A mezőt az erő alkotja / / = az az irány, amely szöget zár be a sugár irányával - az alkalmazási pont vektora. Határozzuk meg a terepmunkát, amikor egy m tömegű anyagpontot körív mentén mozgunk az (a, 0) ponttól a (0, a) pontig.

6. lehetőség.

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

Ahol L az I kvadránsban fekvő kör negyede.

2. Számítsa ki a görbe integrált! ha L szaggatott vonal ABC, A(1;2), B(1;5), C(3;5). Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált, ha L a kör felső fele! Mozgassa a kontúrt az óramutató járásával megegyezően.

4. Green-féle képlet alkalmazásával számítsa ki az integrált ahol L egy kontúr, korlátozott , A kontúr megkerülése az óramutató járásával ellentétes irányban.

5. Határozza meg, hogy az integrálnak az integrálási úttól való függetlenségének feltétele teljesül-e az integrálra vonatkozóan, és keresse meg!

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. Határozza meg az origó felé irányuló rugalmas erő munkáját, ha az erő alkalmazási pontja az óramutató járásával ellentétes irányban az ellipszis negyedét írja le az I kvadránsban fekszik. Ennek az erőnek a nagysága arányos a pont origótól való távolságával.

7. lehetőség.

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

ahol L a parabolának az (1, 1/4) ponttól a (2;1) pontig terjedő része.

2. Számítsa ki a görbe integrált! ahol L a В(1;2) és В (2;4) pontokat összekötő egyenes szakasz. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált, ha L a cikloid első íve. Haladjon a kontúron az óramutató járásával megegyezően.

5. Határozza meg, hogy teljesül-e az integrál függetlenségének feltétele az integrál integrálási útjától , és találja meg.

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. Egy egységnyi tömegű anyagi pont egy kör mentén mozog olyan erő hatására, amelynek vetületei a tengely koordinátájára . Ábrázolja az erőt minden kör elején. Keressen munkát a kontúron.

8. lehetőség.

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

Ahol L egy 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2) pontokban lévő csúcsokkal rendelkező téglalap körvonala.

2. Számítsa ki a görbe integrált, ha L egy parabola íve A pontból (0;0) B pontba (1;2). Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált! ha L a kör négyzetben fekvő része 1. A körvonal óramutató járásával megegyező irányú bejárása.

4. Green képletével számítsa ki az integrált, ahol L egy A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1) csúcsú háromszög kontúrja, kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányban.

5. Határozza meg, hogy az integrálnak az integrálási úttól való függetlenségének feltétele teljesül-e az integrálra vonatkozóan, és keresse meg!

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. Az anyagpont az ellipszis mentén mozog olyan erő hatására, amelynek értéke megegyezik a pont távolságával az ellipszis középpontjától, és az ellipszis közepe felé irányul. Számítsa ki az erő által végzett munkát, ha a pont a teljes ellipszist megkerüli!

9. lehetőség.

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

Ahol L a pontok között fekvő parabola íve

A, B (2; 2).

2. Számítsa ki a görbe integrált! ha L az A(5;0) és B(0,5) pontokat összekötő egyenes szakasza. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált! ha L egy ellipszis íve pontoknak megfelelő pontok között Haladjon be a kontúron az óramutató járásával megegyező irányba.

4. Green képletével számítsa ki az integrált, ahol L egy kör. Haladjon a kontúron az óramutató járásával ellentétes irányba.

5. Határozza meg, hogy teljesül-e az integrál függetlenségének feltétele az integrál integrálási útjától , és találja meg.

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. A görbe minden pontjában erő hat, melynek vetületei a koordináta tengelyekre Határozzuk meg az erő munkáját, amikor egységnyi tömegű anyagi pontot mozgunk a görbe mentén az M pontból (-4; 0) az N ponthoz (0; 2).

10. lehetőség.

1. Számítsa ki a görbe integrált az ív hosszára (derékszögű koordináták).

Ahol L az A pontokat összekötő szakasz

2. Számítsa ki a görbe integrált, ha L a görbe íve А(1;0) ponttól В(е,5) pontig. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

3. Számítsa ki a görbe integrált! ha L az 1U négyzetben fekvő kör íve. Mozgassa a kontúrt az óramutató járásával megegyezően.

4. Green képletével számítsuk ki azt az integrált, ahol L egy A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2) csúcsú háromszög körvonala. Kerülje meg a kontúrt az óramutató járásával ellentétes irányba.

5. Határozza meg, hogy teljesül-e az integrál függetlenségének feltétele az integrál integrálási útjától , és találja meg.

6. Ellenőrizze, hogy az adott kifejezés az U(x,y) függvény teljes differenciája-e, és keresse meg!

7. Az egyenes minden pontjában erő hat, melynek vetületei a koordinátatengelyekre Számítsa ki az erő által végzett munkát, amikor egy anyagi pontot az M (1; 0) egyenes mentén az N (0; 3) pontba mozgat!

Meghatározás. G régió háromdimenziós tér felületesen összefüggőnek nevezzük. ha ebben a tartományban található bármely zárt kontúr átívelhet egy olyan felületet, amely teljes egészében a G tartományban fekszik. Például egy gömb belseje vagy a teljes háromdimenziós tér felülettel egyszerűen összefüggő régiók; egy tórusz vagy egy háromdimenziós tér belseje, amelyből a vonal ki van zárva, nem egyszerűen felülettel összefüggő régiók. Legyen adott egy folytonos vektormező egy egyszerűen összefüggő G felületű tartományban. Ekkor teljesül a következő tétel. 9. Tétel Ahhoz, hogy az a vektor mezőjében a görbe vonalú integrál ne az integrációs úttól, hanem csak az út kezdő- és végpontjától (A és B) függjön, szükséges és elégséges, hogy az az a vektor cirkulációja bármely zárt L kontúr mentén, amely a G régióban található, egyenlő volt nullával. 4 Szükségszerűség. Legyen az m-integrál is független az integrációs úttól. Mutassuk meg, hogy ekkor bármely zárt körvonalra L egyenlő nullával. Tekintsünk egy tetszőleges L zárt körvonalat az a vektor mezőjében, és vegyünk rá tetszőleges A és B pontot (35. ábra). Feltétel szerint - különböző utak vannak, amelyek pontosan összekötik A-t és B-t \ onnan, ahol pontosan a kiválasztott L zárt körvonal van. Legyen L bármely zárt kontúrra. Mutassuk meg, hogy ebben az esetben az integrál nem függ az integrálási úttól. Vegyünk két A és B pontot az a vektor mezőjében, kössük össze őket tetszőleges L1 és L2 egyenesekkel, és mutassuk meg, hogy az egyszerűség kedvéért szorítkozunk arra az esetre, amikor az L1 és L2 egyenesek nem metszik egymást. Ebben az esetben az egyesülés egy egyszerű zárt L hurkot alkot (36. ábra). Az a feltétellel, az additivitás tulajdonságával. Függetlenség görbe vonalú integrál az integráció útjából Potenciálmező A görbe vonalú integrál számítása a potenciálmezőben Potenciál számítása derékszögű koordinátákkal Ezért ahonnan a (2) egyenlőség érvényessége következik. A 9. tétel kifejezi a szükséges és elégséges feltételeket ahhoz, hogy a görbe vonalú integrál független legyen az út alakjától, de ezek a feltételek nehezen ellenőrizhetők. Mutassunk be egy hatékonyabb kritériumot. 10. Tétel. Ahhoz, hogy a görbe vonalú integrál független legyen az L integrációs úttól, szükséges és elégséges, hogy a vektormező irrotációs legyen. M) felületesen egyszerűen össze van kötve. Megjegyzés. A 9. Tétel értelmében a görbe vonalú integrál függetlensége az integrációs úttól ekvivalens az a vektor bármely zárt körvonal mentén történő cirkulációjának nullához való egyenlőségével. Ezt a körülményt használjuk fel a tétel bizonyítása során. Szükség. Legyen a görbe integrál független az út alakjától, vagy ami ugyanaz, az a vektor körforgása bármely zárt L kontúr mentén egyenlő nullával. Ekkor, azaz a mező minden pontjában a rot a vektor vetülete bármely irányba egyenlő nullával. Ez azt jelenti, hogy maga a vektor rot a mező minden pontján nullával egyenlő, elégséges. A (3) feltétel elégségessége a Stokes-képletből következik, hiszen ha rot a = 0, akkor a vektor körforgása bármely L zárt hurok mentén egyenlő nullával: Egy lapos mező rotorja egyenlő, amivel megfogalmazhatjuk a következő tétel sík mezőre. 11. Tétel. Ahhoz, hogy a görbe vonalú integrál egy egyszerűen összefüggő síkmezőben független legyen az L egyenes alakjától, szükséges és elegendő, hogy az összefüggés a teljes vizsgált tartományban azonos legyen. Ha a tartomány nem egyszerűen összefüggő, akkor a feltétel teljesülése általában véve nem biztosítja a görbe integrál függetlenségét az egyenes alakjától. Példa. Tekintsük az integrált Világos, hogy az integrandusnak nincs jelentése a 0(0,0) pontban. Ezért ezt a pontot kizárjuk. A sík többi részében (ez már nem lesz egyszerűen összefüggő tartomány!) Az a vektor koordinátái folytonosak, folytonos parciális deriváltjai vannak és Tekintsük a (6) integrált egy zárt L görbe mentén - egy sugarú kör R középpontja az origóban: Ekkor A cirkuláció nullától való különbsége azt mutatja, hogy a (6) integrál függ az integrációs út alakjától. 10. §. Potenciálmező Definíció. Az a(M) vektor mezőjét potenciálnak nevezzük, ha létezik skaláris függvény u(M) úgy, hogy itt az u(M) függvényt térpotenciálnak nevezzük; síkfelületeit ekvipotenciálfelületeknek nevezzük. akkor az (1) reláció ekvivalens a következő három skaláris egyenlőséggel: Figyeljük meg, hogy a térpotenciál egy állandó tagig van meghatározva: ha tehát egy állandó szám. Példa 1. Az r sugárvektor mezője potenciális, mivel felidézzük, hogy a sugárvektor mezőjének Potenciálja tehát. 2. példa A vektormező potenciális. Legyen a függvény olyan, hogy megtalálható. Akkor és honnan Tehát a mező potenciálja. 12. Tétel. Ahhoz, hogy az a vektor potenciális legyen, szükséges és elégséges, hogy irrotációs legyen, azaz forgórésze a tér minden pontjában nullával egyenlő legyen. Ebben az esetben feltételezzük az a vektor koordinátáinak összes parciális deriváltjának folytonosságát és annak a tartománynak a felületi összetartozását, amelyben az a vektor adott. Szükség. A (2) feltétel szükségességét direkt számítással állapítjuk meg: ha a mező potenciális, azaz a vegyes deriváltak differenciálási sorrendtől való függetlensége miatt. Megfelelőség. Legyen a vektormező irrotációs (2). Annak érdekében, hogy bizonyítsuk ennek a mezőnek a potenciálját, megszerkesztjük az u(M) potenciálját. A (2) feltételből következik, hogy a görbe integrál nem függ az L egyenes alakjától, hanem csak a kezdő- és végpontjától. Rögzítsük a kezdőpontot és változtassuk meg a végpontot Mu, z). Ekkor a (3) integrál a pont függvénye lesz. Jelöljük ezt a függvényt u(M)-vel, és bizonyítsuk be, hogy a következőkben felírjuk a (3) integrált, amely csak az integrációs út kezdő- és végpontját jelöli, Az egyenlőség három skaláris egyenlőséggel ekvivalens A görbevonalú integrál függetlensége a az integrációs út Potenciálmező Potenciál derékszögű koordinátákban Bizonyítsuk be közülük az elsőt, a második és a harmadik egyenlőség is hasonlóképpen bizonyított. A parciális derivált definíciója szerint Tekintsünk egy ponthoz közeli pontot Mivel az u(M) függvényt a (4) összefüggés határozza meg, amelyben a görbe vonalú integrál nem függ az integrációs úttól, ezért az integrációs utat választjuk úgy, hogy ábra jelzi.37. Ekkor innen az utolsó integrált az MM) egyenes Ox tengellyel párhuzamos szakaszának móljaként vesszük. Ezen a szakaszon az x koordinátát vehetjük paraméternek: A középérték tételt a (6) jobb oldalán lévő integrálra alkalmazva megkapjuk A (7) képletből az következik, hogy Azóta a függvény folytonossága miatt hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy Következmény. Egy vektormező akkor és csak akkor potenciális, ha a benne lévő görbe egyenes integrál útfüggetlen. Görbevonalú integrál számítása potenciálmezőben 13. Tétel. Integrál potenciálmezőben a(M) egyenlő a különbséggel a mező u(M) potenciáljának értékei a véges u-ban kiindulópontok Korábban bebizonyosodott, hogy a funkció a mező potenciálja. Potenciálmezőben egy görbe vonalú intefal nem függ az intefációs ponttól. Ezért az M\ pont M2 ponthoz vezető útját úgy választva, hogy az áthaladjon az Afo ponton (38. ábra), megkapjuk, vagy megváltoztatva az út orientációját a jobb oldali első intefalban, Mivel a térpotenciál konstans tagon belül van meghatározva, akkor a figyelembe vett mezők bármely potenciálja felírható úgy, hogy ahol c konstans. A (10) képletben az u - c helyettesítést végrehajtva megkapjuk a kívánt képletet egy tetszőleges v (M) potenciálhoz. 3. példa. Az 1. példában megmutattuk, hogy az r sugárvektor mezőjének potenciálja a függvény A potenciál számítása derékszögű koordinátákban Legyen adott a potenciálmező. Korábban kimutatták, hogy az "(M)" potenciálfüggvény a következő képlettel kereshető meg. egy meglehetősen közeli M(x, y ,z) aktuális ponthoz egy szaggatott egyenes, amelynek kapcsolatai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, . Ebben az esetben a vonallánc minden linkjén csak egy koordináta változik, ami lehetővé teszi a számítások jelentős egyszerűsítését. Valójában az M0M\ szegmensen van: A szegmensen. Rizs. 39. A vágáson. Ezért a potenciál az, hogy hol vannak az aktuális pont koordinátái a vonallánc linkjein, amelyek mentén az integrációt végrehajtják. 4. példa Bizonyítsuk be, hogy a k vektormező potenciális, és keressük meg a potenciálját. 4 Ellenőrizzük, hogy az a(Af) vektor tere potenciális-e. Ezzel a céllal kiszámítjuk a mező forgórészét. Megvan a terület potenciális. Ennek a mezőnek a potenciálját a (12) képlet segítségével találjuk meg. Vegyük a 0 koordináták origóját az A/o kezdőpontnak (ez általában akkor történik, ha az a(M) mező a koordináták origójában van megadva). Ekkor megkapjuk a So-t, ahol c egy tetszőleges állandó. Ennek a területnek a lehetőségeit más módon is fel lehet fedezni. Definíció szerint az u(x, y, z) potenciál egy skalárfüggvény, amelyre gradu = a. Ez a vektoregyenlőség három skaláris egyenlettel ekvivalens: A (13)-t x-re integrálva megkapjuk a (17)-t y-val, és - valamilyen z függvényt kapunk. A (18)-at (16) behelyettesítve kapjuk. Differenciálva az utolsó nem z egyenlőséget és figyelembe véve a (15) összefüggést, kapunk egy egyenletet, ahonnan

Az integráció útjáról.

Tekintsünk egy 2. típusú görbe vonalú integrált, ahol L- görbe összekötő pontok MÉs N. Hagyjuk a függvényeket P(x, y)És Q(x, y) folytonos parciális deriváltjai vannak valamilyen tartományban D, amely a teljes görbét tartalmazza L. Határozzuk meg, hogy milyen feltételek mellett a vizsgált görbe integrál nem függ a görbe alakjától L, de csak a pontok helyén MÉs N.

Rajzoljon két tetszőleges görbét MPNÉs MQN, a környéken fekszik Dés kapcsolódási pontok MÉs N(1. ábra).

K

M N Rizs. egy.

Tegyünk úgy, mintha , azaz

Akkor hol L- zárt kontúr, amely görbékből áll MPNÉs NQM(tehát önkényesnek tekinthető). Így a 2. típusú görbe vonalú integrál függetlenségének feltétele az integrációs úttól ekvivalens azzal a feltétellel, hogy egy ilyen integrál bármely zárt körvonal felett nullával egyenlő.

34-es jegy.Első típusú felületi integrál (a felület felett) Alkalmazások (anyagfelület tömege, súlypont koordinátái, nyomatékok, ívelt felület területe).

Vegye figyelembe a nyitott felületet S, amelyet a kontúr határol L, és néhány görbével ossza részekre S 1 , S 2 ,…, S n. Minden részben kiválasztunk egy pontot M iés ezt a részt vetítsük az ezen a ponton áthaladó felület érintősíkra. A vetítésben egy lapos figurát kapunk egy területtel T i. Nevezzük ρ-nek a felület bármely részének két pontja közötti legnagyobb távolságot S.

Meghatározás 12.1. Hívjuk terület S felületek területi összeghatár T i nál nél

Az első típusú felületi integrál.

Vegye figyelembe a felületet S, amelyet a kontúr határol L, és darabokra törjük S 1 , S 2 ,…, S p(ebben az esetben az egyes részek területe is meg lesz jelölve S p). Legyen ennek a felületnek minden pontjában a függvény értéke f(x, y, z). Válasszon minden részben Si pont M i (x i, y i, z i)és hozzunk egy integrál összeget

. (12.2)

Meghatározás 12.2. Ha a (12.2) integrálösszegnél van véges határ, függetlenül a felület részekre osztásától és a pontok megválasztásától M i, akkor úgy hívják a függvény első fajtájának felületi integrálja f(M) = f(x, y, z) a felszínen S és jelöltük

Megjegyzés. Az 1. típusú felületi integrál az integrálok szokásos tulajdonságaival rendelkezik (linearitás, adott függvény integráljainak összegzése a vizsgált felület különálló részein stb.).

Geometriai és fizikai jelentése az első típusú felületi integrál.

Ha az integrand f(M)≡ 1, akkor a 12.2 definícióból az következik, hogy egyenlő a vizsgált felület területével S.

. (12.4)

Az 1. típusú felületi integrál alkalmazása.

1. Egy görbe felület területe, amelynek egyenlete: z = f(x, y), a következő formában található:

(14.21)

(Ω a projekció S a gépen O HU).

2. Felületi tömeg

(14.22)

3. Pillanatok:

Statikus felületi nyomatékok ehhez képest koordinátasíkok O xy,O xz,O yz;

A felület tehetetlenségi nyomatékai ahhoz képest koordinátatengelyek;

A felület tehetetlenségi nyomatékai a koordinátasíkhoz képest;

- (14.26)

A felület tehetetlenségi nyomatéka az origó körül.

4. A felület tömegközéppontjának koordinátái:

. (14.27)

35. számú jegy. Az 1. típusú felületi integrál számítása (szorosára redukálva).

Arra az esetre szorítkozunk, amikor a felület S explicit módon van megadva, vagyis a forma egyenletével z = φ(x, y). A felület meghatározásából következik, hogy

Si =, ahol ∆ én - vetítési terület Si a gépen O HU, de γ i az O tengely közötti szög zés normál a felszínre S azon a ponton M i. Ismeretes, hogy

,

ahol ( x i , y i , z i) – pont koordinátái M i. Ezért,

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük a (12.2) képletbe, azt kapjuk

,

Ahol a jobb oldali összegzést az O sík Ω tartománya felett hajtjuk végre HU, amely a felület ezen síkjára való vetülete S(1. ábra).

S: z=φ(x,y)

ΔσiΩ

Ugyanakkor a jobb oldalon két változó függvényében kapjuk meg az integrál összeget egy lapos tartomány felett, ami az at határban dupla integrált ad, így egy képletet kapunk, amely lehetővé teszi a számítás csökkentését az első típusú felületi integrál a kettős integrál kiszámításához

Megjegyzés. Tisztázzuk még egyszer, hogy a (12.5) képlet bal oldalán az felület integrál, és a jobb oldalon - kettős.

36-os jegy.Második típusú felületi integrál. Folyam vektor mező. Kapcsolat az első és a második típusú felületi integrálok között.

Vektor mező áramlás.

Tekintsük a vektormezőt DE (M), a térbeli tartományban meghatározott g, orientált sima felület S Gés mértékegység normál mező P (M) a felület kiválasztott oldalán S.

Meghatározás 13.3. 1. típusú felületi integrál

, (13.1)

ahol An – skaláris szorzat megfelelő vektorok, és A p a vektorvetítés DE a normál irányába ún vektor mező áramlását A(M) a felület kiválasztott oldalán keresztül S .

Megjegyzés 1. Ha a felület másik oldalát választjuk, akkor a normál, és ennek következtében az áramlás előjelet vált.

Megjegyzés 2. Ha a vektor DE beállítja a folyadék áramlási sebességét egy adott pontban, majd a (13.1) integrál határozza meg az egységnyi idő alatt átáramló folyadék mennyiségét a felületen S pozitív irányban (innen a gyakori "áramlás" kifejezés).

2. fajta az integrációs útról

Tekintsünk egy 2. típusú görbe vonalú integrált, ahol L az M és N pontot összekötő görbe. Legyen a P(x, y) és Q(x, y) függvényeknek folytonos parciális deriváltjai valamilyen D tartományban, amelyben a görbe Határozzuk meg, hogy milyen feltételek mellett a vizsgált görbe integrál nem az L görbe alakjától, hanem csak az M és N pontok elhelyezkedésétől függ.

Rajzoljunk két tetszőleges MSN és MTN görbét, amelyek a D tartományban helyezkednek el, és összekötik az M és N pontokat (14. ábra).

Tegyük fel, hogy az

ahol L egy zárt kontúr, amely MSN és NTM görbékből áll (ezért tetszőlegesnek tekinthető). Így az a feltétel, hogy egy 2. típusú görbe vonalú integrál független az integrációs úttól, egyenértékű azzal a feltétellel, hogy egy ilyen integrál bármely zárt kontúron egyenlő nullával.

5. tétel (Green tétele). Legyenek a P(x, y) és Q(x, y) függvények és ezek u parciális deriváltjai valamely D tartomány minden pontjában folytonosak. Majd annak érdekében, hogy a D tartományban fekvő bármely zárt L kontúr kielégítse a feltételt

szükséges és elégséges, hogy = a D tartomány minden pontján.

Bizonyíték.

1) Elegendőség: teljesüljön a feltétel =. Tekintsünk egy tetszőleges zárt L körvonalat a D tartományban, amely határolja az S tartományt, és írjuk fel a zöld képletet:

Tehát az elegendőség bebizonyosodott.

2) Szükségszerűség: tegyük fel, hogy a feltétel a D régió minden pontjában teljesül, de ebben a tartományban van legalább egy olyan pont, amelyben - ? 0. Legyen például a P(x0, y0) pontban: - > 0. Mivel az egyenlőtlenség bal oldalán van egy folytonos függvény, pozitív lesz-e, és nagyobb lesz-e néhánynál? > 0 valamely kis D` régióban, amely a P pontot tartalmazza.

Ezért Green képletével ezt kapjuk

ahol L` a D` régiót határoló körvonal. Ez az eredmény ellentmond a feltételnek. Ezért = a D tartomány minden pontján, amit igazolni kellett.

Megjegyzés 1. Hasonló módon egy háromdimenziós térre is bebizonyítható, hogy a szükséges ill elegendő feltételek a görbe integrál függetlensége

az integráció útjáról:

2. megjegyzés. Az (52) feltételek mellett a Pdx + Qdy + Rdz kifejezés valamely u függvény teljes differenciája. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a görbe vonalú integrál számítását az integrációs kontúr értékei és a vég- és kezdőpontjai közötti különbség meghatározására redukáljuk, mivel

Ebben az esetben a és függvény a képlettel kereshető

ahol (x0, y0, z0) egy pont D-ben, C pedig tetszőleges állandó. Valójában könnyen ellenőrizhető, hogy az (53) képlettel adott függvény parciális deriváltjai egyenlők-e P, Q és R.

10. példa

Számítsa ki a 2. típusú görbe vonalú integrált

az (1, 1, 1) és (2, 3, 4) pontokat összekötő tetszőleges görbe mentén.

Győződjön meg arról, hogy az (52) feltételek teljesülnek:

Ezért a függvény létezik. Keressük meg az (53) képlet alapján, x0 = y0 = z0 = 0 beállítással. Ekkor

Így a és függvény egy tetszőleges állandó tagig van meghatározva. Vegyük С = 0, majd u = xyz. Következésképpen,

4. előadás

Téma: Green képlete. A görbe vonalú integrál függetlenségének feltételei az integráció útjától.

Green képlete.

Green formulája kapcsolatot hoz létre egy síkon lévő zárt kontúr Г görbe vonalú integrálja és egy e kontúr által határolt tartomány feletti kettős integrál között.

A zárt kontúr mentén Г ívelt integrált a Zárt kontúr Г szimbólum jelöli. A zárt kontúr Г ennek a kontúrnak valamelyik B pontjában kezdődik, és B pontban ér véget. A zárt kontúr mentén lévő integrál nem függ a B pont megválasztásától.

1. definíció. A Г kontúr bejárása akkor tekinthető pozitívnak, ha a D tartomány a Г kontúr bejárása során balra marad. G + - a G kontúr pozitív irányban, a G - - kontúr negatív irányban kikerülve, azaz. ellenkező irányba

G+

x

Y

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y 2 (x)

Y = y 1 (x)

m

n

Tekintsük a kettős integrált

.

Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy:

Az (1) és (2) egyenlőségből kapjuk:

Következésképpen,

A Green-féle képlet a feltevésekkel igazolt.

Megjegyzés 1. Green képlete érvényben marad, ha a D tartomány Γ határa néhány egyenes, párhuzamos a tengellyel 0X vagy 0Y kettőnél több pontban metszi egymást. Ráadásul a Green-féle képlet n-összefüggő régiókra is érvényes.

A görbe vonalú integrál függetlenségének feltételei a síkon történő integráció útjától.

Ebben a részben megtudjuk, milyen feltételek mellett a görbe integrál nem az integráció útjától, hanem az integráció kezdeti és végpontjától függ.

1. tétel. Annak érdekében, hogy a görbe integrál nem függ az integráció útjától egy egyszerűen összefüggő tartományban, szükséges és elegendő, hogy ez az integrál ebben a tartományban bármely zárt darabonkénti sima kontúrt átvett nullával egyenlő legyen.

Bizonyíték: szükségszerűség. Adott: nem függ az integráció útjától. Be kell bizonyítani, hogy bármely zárt darabonként sima kontúr feletti görbe integrál egyenlő nullával.

Legyen a vizsgált D tartományban egy tetszőleges darabonként sima zárt Γ kontúr, a Γ kontúron tetszőleges B és C pontokat veszünk fel.

G

D

n

m

B

C

Mivel ez nem függ az integrációs útvonaltól, akkor

, azaz

Megfelelőség. Adott: Görbe integrál bármely zárt darabonként sima kontúr mentén egyenlő nullával.

Be kell bizonyítani, hogy az integrál nem függ az integráció útjától.

Tekintsünk egy görbe integrált két darabonként sima kontúron, amelyek összekötik a B és C pontot. Feltétel szerint:

Azok. görbe vonalú

az integrál nem függ az integráció útjától.

2. tétel. Legyen folytonos parciális deriváltokkal együtt és egyszerűen összefüggő D tartományban. Ahhoz, hogy a görbe integrál független legyen az integrációs úttól, szükséges és elegendő, hogy a D tartományban az azonosság

Bizonyíték: elégséges. Adott: . Bizonyítani kell, hogy nem függ az integrációs útvonaltól. Ehhez elegendő ezt bizonyítani bármely zárt darabonként sima kontúr mentén egyenlő nullával. Green-féle képlet szerint a következőket kapjuk:

Szükség. Adott: Az 1. Tétel szerint a görbe vonalú integrál nem függ az integráció útjától. Ezt bizonyítani kell