16.3.2.1. Az első típusú görbe vonalú integrál definíciója. Engedjük be a változók terét x,y,z egy darabonként sima görbe van megadva, amelyen a függvény definiálva van f (x ,y ,z Osszuk fel részekre a pontokkal rendelkező görbét, válasszunk egy tetszőleges pontot az egyes íveken, keressük meg az ív hosszát, és állítsuk össze az integrál összeget. Ha létezik az integrálösszegek sorozatának határa, amely nem függ a görbe ívekre bontásának módjától vagy a pontok megválasztásától, akkor a függvény f (x ,y ,z ) görbe integrálhatónak nevezzük, és ennek a határértéknek az értékét az első típusú görbe integrálnak, vagy a függvény ívhossza feletti görbe lineáris integrálnak. f (x ,y ,z ) a görbe mentén, és (vagy ) jelöli.

A létezési tétel. Ha a funkció f (x ,y ,z ) szakaszonként sima görbén folytonos, akkor ehhez a görbéhez képest integrálható.

Zárt görbe esete. Ebben az esetben a görbe egy tetszőleges pontja tekinthető kezdő- és végpontnak. A továbbiakban zárt görbének nevezzük körvonalés jelöli TÓL TŐL . Azt, hogy a görbe, amely mentén az integrált számítjuk, zárt, általában körrel jelöljük az integrál előjelen: .

16.3.2.2. Az első típusú görbe vonalú integrál tulajdonságai. Erre az integrálra mind a hat tulajdonság igaz a határozott, dupla, hármas integrálra, from linearitás előtt középérték tételek. Fogalmazd meg és bizonyítsd be őket egymaga. A hetedik, személyes tulajdonság azonban erre az integrálra is igaz:

Az első típusú görbe vonalú integrál függetlensége a görbe irányától:.

Bizonyíték. Ennek az egyenlőségnek a jobb és bal oldalán lévő integrálok integrálösszegei a görbe tetszőleges felosztására és a pontok megválasztására megegyeznek (mindig az ív hossza), ezért határaik egyenlők a -nál.

16.3.2.3. Az első típusú görbe vonalú integrál számítása. Példák. Adjuk meg a görbét paraméteres egyenletekkel, ahol folyamatosan differenciálható függvények vannak, és a görbe felosztását meghatározó pontok feleljenek meg a paraméter értékeinek, pl. . Ezután (lásd a 13.3. Görbehosszok számítása című részt) . Az átlagérték tétel szerint létezik olyan pont, hogy . Válasszuk ki az ebből a paraméterértékből származó pontokat: . Ekkor a görbe vonalú integrál integrálösszege egyenlő lesz a határozott integrál integrálösszegével. Mivel tehát egyenlőségben a határértékre haladva megkapjuk

Így az első típusú görbe vonalú integrál kiszámítása egy paraméter feletti határozott integrál kiszámítására redukálódik. Ha a görbe paraméteresen van megadva, akkor ez az átmenet nem okoz nehézséget; ha a görbe kvalitatív verbális leírását adjuk, akkor a fő nehézséget egy paraméter bevezetése jelentheti a görbén. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy az integráció mindig a paraméter növelésének irányába történik.

Példák. 1. Számítsa ki, hol van a spirál egy fordulata!

Itt a határozott integrálra való áttérés nem okoz gondot: megtaláljuk , és .

2. Számítsa ki ugyanazt az integrált az és a pontokat összekötő szakaszon.

Itt nincs közvetlen paraméteres definíciója a görbének, így tovább AB paramétert kell megadni. Az egyenesek paraméteres egyenletei olyan alakúak, ahol egy irányító vektor, egy egyenes pontja. Pontnak egy pontot veszünk fel , irányító vektornak egy vektort : . Könnyen belátható, hogy a pont az értéknek, a pont az értéknek felel meg, ezért.

3. Keresse meg, hol van a henger metszetének sík szerinti része! z =x +1, az első oktánsban fekszik.

Megoldás: A kör paraméteres egyenletei - a henger vezetőjének alakja van x =2cosj, y =2sinj, és mivel z=x akkor +1 z = 2cosj+1. Így,

ezért

16.3.2.3.1. Az első típusú görbe vonalú integrál számítása. Lapos tok. Ha a görbe valamilyen koordinátasíkon fekszik, például a síkon Ohu , és a , akkor függvény adja, figyelembe véve x paraméterként azt kapjuk a következő képlet integrál kiszámításához: . Hasonlóképpen, ha a görbét az egyenlet adja, akkor .

Példa. Számítsuk ki, ahol a kör negyede a negyedik negyedben található.

Megoldás. 1. Figyelembe véve x paraméterként tehát -t kapunk

2. Ha változót veszünk paraméternek nál nél , majd és .

3. Természetesen használhatod a szokásosat parametrikus egyenletek körök: .

Ha a görbe polárkoordinátákkal van megadva, akkor , és .

5. előadás 1. és 2. típusú görbe vonalú integrálok, tulajdonságaik ..

A görbe tömegének problémája. 1. típusú görbe integrál.

A görbe tömegének problémája. Legyen a darabonként sima anyaggörbe L: (AB) minden pontjában adott a sűrűsége. Határozza meg a görbe tömegét!

Ugyanúgy járunk el, mint egy lapos régió (kettős integrál) és egy térbeli test tömegének meghatározásakor ( hármas integrál).

1. Szervezd az L ívterület felosztását elemekre - elemi ívekre úgy, hogy ezeknek az elemeknek ne legyenek közös belső pontjai és ( A feltétel )

3. Szerkesszük meg az integrál összeget , ahol az ív hossza (általában ugyanazokat a jelöléseket vezetjük be az ívre és annak hosszára). Ez a görbe tömegének hozzávetőleges értéke. Az egyszerűsítés az, hogy az ívsűrűséget minden elemen állandónak feltételeztük, és véges számú elemet vettünk.

Átlépés a határig a feltételek mellett (B feltétel ), az integrálösszegek határaként egy első típusú görbe vonalú integrált kapunk:

.

A létezési tétel.

Legyen a függvény folytonos L darabonként sima íven. Ekkor az integrálösszegek határaként létezik egy első típusú görbe vonalú integrál.

Megjegyzés. Ez a határ nem attól függ

Az első típusú görbe vonalú integrál tulajdonságai.

1. Linearitás
a) szuperpozíciós tulajdonság

b) homogenitási tulajdonság .

Bizonyíték. Az egyenlőségek bal oldalán írjuk fel az integrálok integrálösszegeit. Mivel az integrálösszegben lévő tagok száma véges, térjünk át az egyenlőségek jobb oldalára vonatkozó integrálösszegekre. Ezután átlépünk a határértékre, az egyenlőségben a határértékre való áthaladás tétele szerint megkapjuk a kívánt eredményt.

2. Additivitás.
Ha egy , akkor = +

3. .Íme az ív hossza .

4. Ha az íven teljesül az egyenlőtlenség, akkor

Bizonyíték. Írjuk fel az egyenlőtlenséget az integrálösszegekre, és térjünk át a határértékre.

Vegye figyelembe, hogy ez különösen lehetséges

5. Becslési tétel.

Ha vannak olyan állandók, hogy , akkor

Bizonyíték. Az egyenlőtlenség integrálása (4. ingatlan), megkapjuk . Az 1. tulajdonsággal az integrálok alól kivehetők az állandók. A 3. tulajdonságot használva a kívánt eredményt kapjuk.

6. Átlagtétel(az integrál értéke).

Van egy pont , mit

Bizonyíték. Mivel a függvény folytonos egy zárt korlátos halmazon, akkor az infimuma létezik és felső széle . Az egyenlőtlenség teljesül. Mindkét oldalt elosztva L-vel, azt kapjuk . De a szám a függvény alsó és felső határa közé zárva. Mivel a függvény folytonos egy zárt korlátos L halmazon, a függvénynek ezt az értéket valamikor fel kell vennie. Következésképpen, .

Az első típusú görbe vonalú integrál számítása.

Paraméterezzük az L ívet: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Legyen t 0 az A pontnak, t 1 pedig a B pontnak. Ekkor az első típusú görbe vonalú integrál egy határozott integrállá redukálódik ( - az I. félévtől ismert képlet az ívhossz-különbség kiszámítására:

Példa. Számítsd ki egy homogén (sűrűsége k) spirál egy menetének tömegét: .

2. típusú görbe integrál.

Az erő munkájának problémája.

Mennyi munkát végez az erő?F(M) a pont mozgatásakorMívbenAB? Ha az AB ív egy egyenes szakasz lenne, és az erő nagysága és iránya állandó lenne, amikor az M pont az AB ív mentén mozog, akkor a munkát a képlettel lehetne kiszámítani, ahol a vektorok közötti szög. Általános esetben ezzel a képlettel lehet integrál összeget alkotni, feltételezve, hogy az erő egy kellően kis hosszúságú ívelemre állandó. Az ív egy kis elemének hossza helyett az azt alátámasztó húr hosszát vehetjük fel, mivel ezek a mennyiségek a feltétel (első félév) mellett ekvivalens végtelenül kicsiny mennyiségek.

1. Szervezd az AB régióív felosztását elemekre - elemi ívekre úgy, hogy ezeknek az elemeknek ne legyenek közös belső pontjai és ( A feltétel )

2. Jelöljük a partíció elemein a „jelölt pontokat” M i, és kiszámítjuk a bennük lévő függvény értékeit

3. Szerkessze meg az integrál összeget! , ahol a vektor az -ívet alátámasztó húr mentén van irányítva.

4. Átlépés a határig a feltétel alatt (B feltétel ), az integrálösszegek (és az erő munkája) határaként egy második típusú görbe vonalú integrált kapunk:

. Gyakran hivatkoznak rá

A létezési tétel.

Legyen a vektorfüggvény folytonos egy darabonkénti sima L íven. Ekkor az integrálösszegek határaként létezik egy második típusú görbe vonalú integrál.

.

Megjegyzés. Ez a határ nem attól függ

Partíció kiválasztásának módszere, amennyiben az A feltétel teljesül

A partícióelemeken a "jelölt pontok" kiválasztása,

Egy módszer a partíció finomításához, amíg a B feltétel teljesül

A 2. típusú görbe vonalú integrál tulajdonságai.

1. Linearitás
a) szuperpozíciós tulajdonság

b) homogenitási tulajdonság .

Bizonyíték. Az egyenlőségek bal oldalán írjuk fel az integrálok integrálösszegeit. Mivel az integrálösszegben lévő tagok száma véges, a skalárszorzat tulajdonságát felhasználva áttérünk az egyenlőségek jobboldali integrálösszegeire. Ezután átlépünk a határértékre, az egyenlőségben a határértékre való áthaladás tétele szerint megkapjuk a kívánt eredményt.

2. Additivitás.
Ha egy , akkor = + .

Bizonyíték. Válasszunk egy partíciót az L tartományból úgy, hogy a partíció egyik eleme (kezdetben és a partíció finomításakor) ne tartalmazza egyszerre az L 1 és az L 2 elemeket. Ezt megtehetjük a létezési tétellel (megjegyzés a tételhez). Továbbá a bizonyítást az 1. szakasz szerint integrált összegekkel végezzük.

3. Tájékozódás.

= -

Bizonyíték. Az –L ívintegrál, azaz. az ív megkerülésének negatív irányában az integrálösszegek határa van, aminek értelmében helyette () van. A skaláris szorzatból és véges számú tag összegéből kivonva a "mínuszt", átlépve a határértékre, megkapjuk a kívánt eredményt.

Szék " felsőbb matematika»

Görbe integrálok

Irányelvek

Volgográd

UDC 517.373(075)

Bíráló:

Az Alkalmazott Matematika Tanszék adjunktusa N.I. Kolcova

A szerkesztői és kiadói tanács határozata alapján közzéteszik

Volgograd Állami Műszaki Egyetem

Görbe integrálok: módszer. utasítások / comp. M.I.Andreeva,

O.E. Grigorjev; VolgGTU. - Volgograd, 2011. - 26 p.

A módszertani utasítások útmutatót adnak az egyes feladatok megvalósításához a "Görbös integrálok és alkalmazásaik a térelméletben" témakörben.

Az útmutató első része tartalmazza a szükségeseket elméleti anyag egyéni megbízásokra.

A második részben példák minden típusú feladat végrehajtására, amelyek a egyéni feladatokat a témában, ami hozzájárul a jobb szervezettséghez önálló munkavégzés hallgatók és a téma sikeres elsajátítása.

A módszertani utasítások az első és a második kurzus hallgatóinak szólnak.

© Volgográd állam

Technikai Egyetem, 2011

1. 1. TÍPUSÚ GÖRBELI INTEGRÁL

Az 1. típusú görbe vonalú integrál definíciója

Legyen È AB– egy sík vagy térbeli darabonként sima görbe íve L, f(P) - ezen az íven van megadva folyamatos funkció, DE 0 = DE, DE 1 , DE 2 , …, A n – 1 , A n = B ABés Pi tetszőleges pontok a È részíveken A i – 1 Ai, melynek hossza D l i (én = 1, 2, …, n

nál nél n® ¥ és max D l i® 0, ami nem függ attól, hogy az ív hogyan È AB pontok Ai, sem a pontválasztásból Pi részíveken È A i – 1 Ai (én = 1, 2, …, n). Ezt a határértéket a függvény első fajtájának görbe vonalú integráljának nevezzük f(P) a görbe mentén Lés jelöltük

1. típusú görbe vonalú integrál számítása

Az 1. típusú görbe vonalú integrál számítása levezethető egy határozott integrál kiszámítására, az integrációs görbe különböző megadási módjaival.

Ha az ív È AB síkgörbét paraméteresen adják meg az egyenletek ahol x(t) és y(t t, és x(t 1) = x A, x(t 2) = x B, akkor

ahol - a görbe ívhosszának különbsége.

Hasonló képlet játszódik le egy térbeli görbe parametrikus specifikációja esetén is L. Ha az ív È AB görbe L a , és egyenletek által adott x(t), y(t), z(t) a paraméter folyamatosan differenciálható függvényei t, akkor

ahol a görbe ívhosszának különbsége.

ban ben Derékszögű koordináták

Ha az ív È AB lapos görbe L egyenlet adja meg ahol y(x

és a görbe integrál kiszámításának képlete:

Ív megadásakor È AB lapos görbe L mint x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2 ],
ahol x(y) egy folyamatosan differenciálható függvény,

és a görbe integrált a képlet számítja ki

(1.4)

Integrációs görbe megadása poláris egyenlettel

Ha lapos görbe L a polárkoordináta-rendszer egyenlete adja meg r = r(j), j О , ahol r(j) tehát folytonosan differenciálható függvény

és

(1.5)

Az 1. típusú görbesoros integrál alkalmazásai

Az 1. típusú görbe vonalú integrál segítségével a következőket számítjuk ki: a görbe ívének hossza, a hengerfelület egy részének területe, tömeg, statikus nyomatékok, tehetetlenségi nyomatékok és a súlypont koordinátái adott lineáris sűrűségű anyaggörbe.

1. Hossz l lapos vagy térbeli görbe L képlet szerint található

2. Egy hengeres felület egy részének területe párhuzamos tengely oz generatrix és a síkban található XOYútmutató L a sík közé zárva XOYés az egyenlet által adott felület z = f(x; y) (f(P) ³ 0 a P Î L), egyenlő

(1.7)

3. Súly m anyaggörbe L lineáris sűrűséggel m( P) a képlet határozza meg

(1.8)

4. Statikus pillanatok a tengelyekről Ökörés Oyés sík anyaggörbe súlypontjának koordinátái L lineáris sűrűséggel m( x; y) egyenlőek:

(1.9)

5. Statikus nyomatékok síkhoz viszonyítva Oxy, Oxz, Oyzés a térbeli anyaggörbe súlypontjának koordinátái lineáris sűrűséggel m( x; y; z) képletek határozzák meg:

(1.11)

6. Lapos anyaggörbéhez L lineáris sűrűséggel m( x; y) tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekre Ökör, Oyés a koordináták origója a következő:

(1.13)

7. Térbeli anyaggörbe tehetetlenségi nyomatékai L lineáris sűrűséggel m( x; y; z) relatíve koordinátasíkok képletekkel számítjuk ki

(1.14)

és a koordinátatengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok:

(1.15)

2. 2. TÍPUSÚ GÖRBELI INTEGRÁL

A 2. típusú görbe vonalú integrál definíciója

Legyen È AB egy darabonként sima orientált görbe íve L, = (egy x(P); a y(P); a z(P)) egy folyamatos vektorfüggvény, DE 0 = DE, DE 1 , DE 2 , …, A n – 1 , A n = B– az ív önkényes felhasadása ABés Pi tetszőleges pontok a részíveken A i – 1 Ai. Legyen D koordinátájú vektor x i, D y i, D z i(én = 1, 2, …, n), és a vektorok skaláris szorzata és ( én = 1, 2, …, n). Ekkor van határa az integrálösszegek sorozatának

nál nél n® ¥ és max ÷ ç ® 0, ami nem függ az ív felosztásától AB pontok Ai, sem a pontválasztásból Pi részíveken È A i – 1 Ai
(én = 1, 2, …, n). Ezt a határértéket a függvény 2. típusú görbe vonalú integráljának P) a görbe mentén Lés jelöltük

Abban az esetben, ha a vektorfüggvényt síkgörbén adjuk meg L, hasonlóképpen nálunk is van:

Az integráció irányának megváltoztatásakor a 2. típusú görbe vonalú integrál előjelet vált.

Az első és második típusú görbe vonalú integrálokat a reláció kapcsolja össze

(2.2)

ahol - egységvektor egy orientált görbe érintője.

A 2. típusú görbe vonalú integrál segítségével kiszámíthatja a mozgás során fellépő erő munkáját anyagi pont egy görbe íve mentén L:

Pozitív irány zárt görbe körül TÓL TŐL, egyszerűen összefüggő régiót határol G, az óramutató járásával ellentétes irányt veszi figyelembe.

2. típusú görbe vonalú integrál zárt görbén TÓL TŐL keringésnek nevezzük és jelöljük

(2.4)

2. típusú görbe integrál kiszámítása

A 2. típusú görbe vonalú integrál számítása egy határozott integrál kiszámítására redukálódik.

Az integrációs görbe paraméteres specifikációja

Ha È AB orientált síkgörbét paraméteresen adjuk meg az egyenletek, ahol x(t) és y(t) a paraméter folyamatosan differenciálható függvényei t, és akkor

Hasonló képlet játszódik le egy térbeli orientált görbe parametrikus hozzárendelése esetén is L. Ha az ív È AB görbe L a , és egyenletek által adott a paraméter folyamatosan differenciálható függvényei t, akkor

Egy lapos integrációs görbe explicit specifikációja

Ha az ív È AB L derékszögű koordinátákban adjuk meg a hol egyenlettel y(x) tehát egy folytonosan differenciálható függvény

(2.7)

Ív megadásakor È AB lapos orientált görbe L mint
x= x(y), y Î [ y 1 ; y 2], hol x(y) egy folyamatosan differenciálható függvény, a képlet

(2.8)

Hagyjuk a függvényeket folytonosak származékaikkal együtt

lakásban zárt terület G, amelyet egy darabonként sima zárt öndiszjunkt pozitívan orientált görbe határol TÓL TŐL+ . Ekkor Green képlete a következő:

Hadd G felülettel egyszerűen összefüggő régió, és

= (egy x(P); a y(P); a z(P))

az ebben a régióban meghatározott vektormező. Terület ( P) potenciálnak nevezzük, ha létezik ilyen függvény U(P), mit

(P) = grad U(P),

A potenciál szükséges és elégséges feltétele vektor mező (P) úgy néz ki, mint a:

rothadás ( P) = , ahol (2,10)

(2.11)

Ha a vektormező potenciális, akkor a 2. típusú görbe vonalú integrál nem függ az integrációs görbétől, hanem csak az ív kezdetének és végének koordinátáitól függ. M 0 M. Lehetséges U(M A vektormező ) értékét egy állandó tagig határozzuk meg, és a képlettel találjuk meg

(2.12)

ahol M 0 M egy fix pontot összekötő tetszőleges görbe M 0 és változó pont M. A számítások egyszerűsítése érdekében integrációs útvonalként szaggatott vonal választható M 0 M 1 M 2 M párhuzamos hivatkozásokkal koordináta tengelyek, például:

3. példák a feladatokra

1. Feladat

Számítsa ki az első típusú görbe vonalú integrált!

ahol L a görbe íve, 0 ≤ x ≤ 1.

Megoldás. Az (1.3) képlet szerint egy első típusú görbe vonalú integrált határozott integrállá redukálunk sima síkú, kifejezetten adott görbe esetén:

ahol y = y(x), x 0 ≤ x ≤ x 1 - ívegyenlet L integrációs görbe. Ebben a példában Megtaláljuk ennek a függvénynek a deriváltját

és a görbe ívhosszának különbsége L

majd behelyettesítve ebbe a kifejezésbe ahelyett y, kapunk

Átalakítjuk a görbe integrált egy határozott integrálttá:

Ezt az integrált a helyettesítés segítségével számítjuk ki. Akkor
t 2 = 1 + x, x = t 2 – 1, dx = 2t dt; nál nél x= 0 t= 1; a x= 1 találat. Az átalakítások után megkapjuk

2. feladat

Számítsunk ki egy 1. típusú görbe vonalú integrált! ívben L görbe L:x= cos 3 t, y= bűn 3 t, .

Megoldás. Mert L-ban meghatározott sima síkgörbe íve parametrikus forma, akkor az (1.1) képletet használjuk az 1. típusú görbe integrált határozottra redukálására:

.

Ebben a példában

Keresse meg az ívhossz-különbséget

A talált kifejezéseket behelyettesítjük az (1.1) képletbe, és kiszámítjuk:

3. feladat

Határozzuk meg az egyenes ívének tömegét L lineáris síkkal m.

Megoldás. Súly mívek L sűrűséggel m( P) az (1.8) képlettel számítható ki

Ez egy 1. típusú görbe integrál egy térbeli görbe parametrikusan megadott sima ívén, ezért az (1.2) képlettel számítjuk ki, amely egy 1. típusú görbe integrált határozott integrállá redukál:

Keressünk származékokat

és ívhossz-különbség

A tömeg képletében ezeket a kifejezéseket helyettesítjük:

4. feladat

1. példa Számítsa ki a 2. típusú görbe integrált

ívben L görbe 4 x + y 2 = 4 pontból A(1; 0) a pontig B(0; 2).

Megoldás. lapos ív L implicit módon beállítva. Az integrál kiszámításához kényelmesebb kifejezni x keresztül y:

és keressük meg a (2.8) képlettel egy 2. típusú görbe vonalú integrál átalakításának integrálját határozott integrál változó szerint y:

ahol egy x(x; y) = xy – 1, a y(x; y) = xy 2 .

A görbe beállítását figyelembe véve

A (2.8) képlettel megkapjuk

2. példa. Számítsa ki a 2. típusú görbe integrált

ahol L- szaggatott vonal ABC, A(1; 2), B(3; 2), C(2; 1).

Megoldás. A görbe integrál additív tulajdonsága alapján

Az integráltagok mindegyikét a (2.7) képlet számítja ki.

ahol egy x(x; y) = x 2 + y, a y(x; y) = –3xy.

Vonalszakasz egyenlet AB: y = 2, y¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Ezeket a kifejezéseket a (2.7) képletbe behelyettesítve a következőt kapjuk:

Az integrál kiszámításához

írd fel az egyenes egyenletét! időszámításunk előtt képlet szerint

ahol x B, y B, x C, y C– pont koordináták Bés TÓL TŐL. Kapunk

y – 2 = x – 3, y = x – 1, y¢ = 1.

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük a (2.7) képletbe:

5. feladat

Számítsunk ki egy ív feletti 2. típusú görbe vonalú integrált L

0 ≤ t ≤ 1.

Megoldás. Mivel az integrációs görbét paraméteresen adják meg az egyenletek x = x(t), y=y(t), t Î [ t 1 ; t 2], hol x(t) és y(t) folyamatosan differenciálható függvények t nál nél t Î [ t 1 ; t 2 ], akkor a második típusú görbe integrál kiszámításához a (2.5) képletet használjuk egy síkparametrikusan adott görbe görbe lineáris integráljának határozottra redukálására.

Ebben a példában egy x(x; y) = y; a y(x; y) = –2x.

A görbe beállítását figyelembe véve L kapunk:

A talált kifejezéseket behelyettesítjük a (2.5) képletbe, és kiszámítjuk a határozott integrált:

6. feladat

1. példa C + ahol TÓL TŐL : y 2 = 2x, y = x – 4.

Megoldás. Kijelölés C A + azt jelzi, hogy a kontúr pozitív irányban, azaz az óramutató járásával ellentétes irányban halad.

Vizsgáljuk meg, hogy a (2.9) Green formula használható-e a probléma megoldására

Mivel a funkciók egy x (x; y) = 2y – x 2 ; a y (x; y) = 3x + yés ezek parciális származékai lapos zárt területen folyamatos G, amelyet a kontúr határol C, akkor Green-féle képlet alkalmazható.

Számolni kettős integrál rajzolja meg a területet G, előzetesen meghatározva a görbék íveinek metszéspontjait y 2 = 2xés
y = x- 4 alkotja a kontúrt C.

A metszéspontokat az egyenletrendszer megoldásával találjuk meg:

A rendszer második egyenlete ekvivalens az egyenlettel x 2 – 10x+ 16 = 0, honnan x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.

Tehát a görbék metszéspontjai: A(2; –2), B(8; 4).

Mivel a terület G– igazítsa a tengely irányába Ökör, majd a dupla integrál ismétlődőre való redukálásához megtervezzük a tartományt G tengelyenként OYés használja a képletet

.

Mert a = –2, b = 4, x 2 (y) = 4+y, akkor

2. példa Számítson ki egy 2. típusú görbe vonalú integrált egy zárt kontúrra ahol TÓL TŐL- csúcsokkal rendelkező háromszög kontúrja A(0; 0), B(1; 2), C(3; 1).

Megoldás. A jelölés azt jelenti, hogy a háromszög körvonala az óramutató járásával megegyező irányban halad. Abban az esetben, ha a görbe vonalú integrált egy zárt kontúr mentén vesszük fel, akkor Green képlete a formát ölti

Rajzolj egy területet G adott körvonal határolja.

Funkciók és parciális származékai és folyamatos a régióban G, így Green-féle képlet alkalmazható. Akkor

Vidék G egyik tengely irányában sem helyes. Rajzolj egy szakaszt x= 1 és képzeld el G mint G = G 1 È G 2, hol G 1 és G 2 terület tengelyirányban helyes Oy.

Akkor

A kettős integrálok mindegyikének csökkentéséhez G 1 és G 2 újrafelhasználásához a képletet fogjuk használni

ahol [ a; b] – területi vetítés D tengelyenként Ökör,

y = y 1 (x) az alsó határgörbe egyenlete,

y = y 2 (x) a felső határgörbe egyenlete.

Írjuk fel a régió határainak egyenleteit G 1 és találja meg

AB: y = 2x, 0 ≤ x ≤ 1; HIRDETÉS: , 0 ≤ x ≤ 1.

Állítsa össze a határ egyenletét! időszámításunk előtt területeken G 2 a képlet segítségével

időszámításunk előtt: ahol 1 ≤ x ≤ 3.

DC: 1 ≤ x ≤ 3.

7. feladat

1. példa Keress egy munkaerőt L: y = x 3 pontból M(0; 0) pontig N(1; 1).

Megoldás. Változó erő munkája egy anyagpont mozgatásakor egy görbe íve mentén L a (2.3) képlet határozza meg (a görbe mentén a második típusú függvény görbevonalas integráljaként L) .

Mivel a vektorfüggvényt az egyenlet adja meg, és a síkorientált görbe ívét az egyenlet kifejezetten definiálja y = y(x), x Î [ x 1 ; x 2], hol y(x) folytonosan differenciálható függvény, akkor a (2.7) képlet szerint

Ebben a példában y = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N= 1. Ezért

2. példa. Keress egy munkaerőt amikor egy anyagi pontot egy egyenes mentén mozgat L: x 2 + y 2 = 4 pontból M(0; 2) pontra N(–2; 0).

Megoldás. A (2.3) képlet segítségével megkapjuk

.

Ebben a példában a görbe íve L(È MN) a kanonikus egyenlet által megadott kör negyede x 2 + y 2 = 4.

A második típusú görbe vonalú integrál kiszámításához kényelmesebb áttérni a kör paraméteres specifikációjára: x = R kötözősaláta t, y = R bűn tés használja a (2.5) képletet

Mert x= 2cos t, y= 2sin t, , , kapunk

8. feladat

1. példa. Számítsa ki a vektormező cirkulációs modulusát a körvonal mentén! G:

Megoldás. Egy vektormező cirkulációjának kiszámítása zárt körvonal mentén G a (2.4) képletet használjuk

Mivel adott egy térbeli vektormező és egy térbeli zárt körvonal G, akkor a görbevonalas integrál felírásának vektoros alakjából áttérve a koordináta alakra, megkapjuk

Ív G két felület metszéspontjaként definiálható: egy hiperbolikus paraboloid z=x 2 – y 2 + 2 és hengeres x 2 + y 2 = 1. A görbe integrál kiszámításához célszerű áttérni a görbe paraméteres egyenleteire G.

A hengeres felület egyenlete a következőképpen írható fel:
x= cos t, y= bűn t, z = z. Kifejezés erre z a parametrikus egyenletekben a görbét behelyettesítéssel kapjuk meg x= cos t, y= bűn t egy hiperbolikus paraboloid egyenletébe z= 2 + cos2 t- bűn 2 t= 2 + cos2 t. Így, G: x= cos t,
y= bűn t, z= 2 + cos2 t, 0 ≤ t≤ 2p.

Mivel a parametrikus egyenletekben szereplő görbék G funkciókat
x(t) = cos t, y(t) = bűn t, z(t) = 2 + cos 2 t a paraméter folyamatosan differenciálható függvényei t nál nél tн , akkor a görbe integrált a (2.6) képlettel találjuk meg.

A 2. típusú görbe integrált ugyanúgy számítjuk ki, mint az 1. típusú görbe integrált, határozottra redukálva. Ehhez az integráljel alatti összes változót egy változóban fejezzük ki, annak az egyenesnek az egyenletével, amely mentén az integrációt végrehajtjuk.

a) Ha a vonal AB az egyenletrendszer által adott akkor

(10.3)

Mert lapos tok amikor a görbét az egyenlet adja meg a görbe integrált a következő képlettel számítjuk ki: . (10.4)

Ha a vonal AB paraméteres egyenletekkel megadva akkor

(10.5)

A lapos esetben, ha a vonal AB paraméteres egyenletek adják meg , a görbe integrált a következő képlettel számítjuk ki:

, (10.6)

ahol - paraméterértékek t, az integrációs út kezdő- és végpontjának megfelelő.

Ha a vonal AB darabonként sima, akkor a görbe integrál additív tulajdonságát kell használni, a hasítást AB sima íveken.

10.1. példa Kiszámoljuk a görbe integrált egy pontból kiinduló görbe egy részéből álló kontúr mentén előtt és egy ellipszis ívei pontból előtt .

Mivel a kontúr két részből áll, a görbevonalas integrál additív tulajdonságát használjuk: . Mindkét integrált határozottra redukáljuk. A kontúr egy részét az egyenlet adja meg a változóhoz képest . Használjuk a képletet (10.4 ), amelyben megváltoztatjuk a változók szerepét. Azok.

. Számítás után kapjuk .

A kontúrintegrál kiszámításához nap térjünk át az ellipszisegyenlet felírásának parametrikus formájára, és használjuk a (10.6) képletet.

Ügyeljen az integráció határaira. pont az értéknek és a pontnak felel meg megfelel Válasz:
.

Példa 10.2. Számíts egy egyenes szakasz mentén AB, ahol A(1,2,3), B(2,5,8).

Megoldás. Adott egy 2. típusú görbe vonalú integrál. Kiszámításához konvertálnia kell egy konkrétra. Készítsünk egyenleteket egy egyenesből. Irányvektorának vannak koordinátái .

Kanonikus egyenletek közvetlen AB: .

Ennek az egyenesnek a paraméteres egyenletei: ,

Nál nél
.

Használjuk a képletet (10.5) :

Az integrál kiszámítása után a következő választ kapjuk: .

5. Egy erő munkája egységnyi tömegű anyagi pont görbe mentén pontról pontra történő mozgatásakor .

Hagyja a darabonként sima görbe minden pontját adott egy vektor, amelynek folytonos függvényei-koordinátái vannak: . Bontsuk fel ezt a görbét pontonként apró részekre hogy az egyes részek pontjain függvény értéke
állandónak tekinthető, és maga a rész egyenes szakasznak tekinthető (lásd 10.1. ábra). Akkor . Skaláris szorzatállandó erő, amelynek szerepét a vektor játssza , egy egyenes vonalú eltolási vektoron numerikusan egyenlő azzal a munkával, amelyet az erő végez, amikor egy anyagi pontot mozgat . Készítsünk integrál összeget . A korlátban a partíciók számának korlátlan növelésével kapunk egy 2. típusú görbe vonalú integrált

. (10.7) Ily módon fizikai jelentése 2. típusú görbe vonalú integrál - erőszakkal végzett munka amikor egy anyagi pontot elmozdítunk DE nak nek NÁL NÉL a kontúr mentén L.

10.3. példa. Számítsa ki a vektor által végzett munkát! amikor egy pontot mozgatunk a Viviani-görbe azon része mentén, amely a félgömb metszéspontjaként van megadva és henger a tengely pozitív oldaláról nézve az óramutató járásával ellentétesen fut ÖKÖR.

Megoldás. Készítsünk egy adott görbét két felület metszésvonalaként (lásd 10.3. ábra).

.

Az integrandus egyetlen változóra való redukálásához átlépünk a következőre hengeres rendszer koordináták: .

Mert a pont a görbe mentén mozog , akkor célszerű paraméterként kiválasztani a változót, amely a kontúr mentén úgy változik, hogy . Ezután a következő paraméteres egyenleteket kapjuk ehhez a görbéhez:

.Ahol
.

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük a keringés kiszámításának képletébe:

(- jel + azt jelzi, hogy a pont mozgása a kontúr mentén az óramutató járásával ellentétes)

Kiszámoljuk az integrált, és megkapjuk a választ: .

11. lecke.

Green képlete egy egyszerűen összekapcsolt tartományhoz. A görbe integrál függetlensége az integráció útjától. Newton-Leibniz képlet. Függvény keresése a teljes differenciáljával görbevonalas integrál segítségével (sík- és térbeli esetek).

OL-1 ch.5, OL-2 ch.3, OL-4 ch.3 10. §, 10.3., 10.4.

Gyakorlat : OL-6 2318 (a, b, e), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 vagy OL-5 10.79, 82., 133., 135., 139. sz.

Otthonépítés a 11. leckéhez: OL-6 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 vagy OL-5 10.80, 134, 136, 140 sz.

Green képlete.

Engedd fel a repülőre adott egy egyszerűen összefüggő tartomány, amelyet egy darabonként sima zárt körvonal határol. (Egy tartományt egyszerűen összekapcsoltnak nevezünk, ha bármely zárt kontúrja összehúzható ebben a tartományban).

Tétel. Ha funkciókat és ezek parciális származékai G, akkor

11.1. ábra

- Green képlete . (11.1)

A mozgás pozitív irányát jelzi (az óramutató járásával ellentétes irányba).

Példa 11.1. Green képletével kiszámítjuk az integrált szegmensekből álló kontúr mentén OA, OBés egy nagyobb körívet összekötő pontok Aés b, ha , , .

Megoldás. Építsünk egy kontúrt (lásd 11.2. ábra). Számítsuk ki a szükséges deriváltokat.

11.2. ábra

, ; , . A függvények és származékaik egy adott körvonal által határolt zárt tartományban folytonosak. Green formulája szerint ez az integrál .

A számított származékok behelyettesítése után azt kapjuk

. Kiszámítjuk a kettős integrált átadással poláris koordináták:
.

Ellenőrizzük a választ úgy, hogy az integrált közvetlenül a kontúr felett 2. típusú görbe vonalú integrálként számítjuk ki.
.

Válasz:
.

2. A görbevonalú integrál függetlensége az integrációs úttól.

Hadd és - egyszerűen összefüggő terület tetszőleges pontjai pl. . Az ezeket a pontokat összekötő különböző görbékből számított görbe integrálok általában eltérő értékűek. De bizonyos feltételek mellett ezek az értékek azonosak lehetnek. Ekkor az integrál nem függ az út alakjától, hanem csak a kezdő- és végponttól.

A következő tételek érvényesek.

1. tétel. Annak érdekében, hogy az integrál
nem függ a pontokat összekötő út alakjától és , szükséges és elegendő, hogy ez az integrál bármely zárt körvonalon nullával egyenlő legyen.

2. tétel.. Annak érdekében, hogy az integrál
bármely zárt körvonal mentén nullával egyenlő, szükséges és elegendő, hogy a függvények működjenek és ezek parciális származékai zárt régióban folyamatosak voltak Gés így a feltétel ( 11.2)

Így ha az integrálnak az út alakjától való függetlenségének feltételei teljesülnek (11.2) , akkor elég csak a kezdő és végpontot megadni: (11.3)

3. tétel. Ha a feltétel teljesül egy egyszerűen összekapcsolt tartományban, akkor van függvény oly módon, hogy . (11.4)

Ezt a képletet képletnek nevezzük Newton-Leibniz a görbe vonalú integrálhoz.

Megjegyzés. Emlékezzünk vissza, hogy az egyenlőség szükséges és elégséges feltétele a kifejezésnek
.

Ekkor a fent megfogalmazott tételekből következik, hogy ha a függvények és ezek parciális származékai zárt területen folyamatos G, amelyben pontokat adnak és , és akkor

a) van egy függvény , oly módon, hogy ,

nem függ az út alakjától,

c) a képlet teljesül Newton-Leibniz .

Példa 11.2. Győződjön meg arról, hogy az integrál
nem függ az út alakjától, és számítsa ki.

Megoldás. .

11.3. ábra

Ellenőrizzük a (11.2) feltétel teljesülését.
. Mint látható, a feltétel teljesül. Az integrál értéke nem függ az integrációs úttól. Az integráció útját választjuk. A legtöbb

a számítás egyszerű módja a szaggatott vonal DIA amely összeköti az út kezdő- és végpontját. (Lásd: 11.3. ábra)

Akkor .

3. Függvény keresése a teljes differenciáljával.

Egy görbe vonalú integrál segítségével, amely nem függ az út alakjától, megtalálhatja a függvényt teljes különbségének ismeretében. Ezt a problémát a következő módon oldjuk meg.

Ha funkciókat és ezek parciális származékai zárt területen folyamatos Gés , akkor a kifejezés az teljes differenciálmű valamilyen funkciót . Ezen kívül az integrál
, egyrészt nem függ az út alakjától, másrészt a Newton-Leibniz képlet segítségével kiszámítható.

Kiszámít
két út.

11.4. ábra

a) Válasszon egy pontot a régióban meghatározott koordinátákkal és egy pont tetszőleges koordinátákkal. Számítsuk ki a görbe vonalú integrált egy szaggatott vonal mentén, amely két, ezeket a pontokat összekötő egyenes szakaszból áll, ahol az egyik szakasz párhuzamos a tengellyel, a másik pedig a tengellyel. Akkor . (Lásd: 11.4. ábra)

Az egyenlet.

Az egyenlet.

A következőt kapjuk: Mindkét integrált kiszámítva a válaszban valamilyen függvényt kapunk.

b) Most kiszámolhatjuk ugyanezt az integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével.

Hasonlítsunk össze két eredményt ugyanazon integrál kiszámításából. Az a) bekezdésben szereplő válasz funkcionális része a kívánt függvény , és a numerikus rész - értéke a pontban .

Példa 11.3. Győződjön meg arról, hogy a kifejezés
valamely függvény teljes differenciája és keressük meg. Ellenőrizzük a 11.2. példa számításának eredményét a Newton-Leibniz képlet segítségével.

Megoldás. A funkció meglétének feltétele (11.2) az előző példában ellenőriztük. Keressük meg ezt a függvényt, amelyhez a 11.4. ábrát fogjuk használni, és ezt fogjuk használni pont . Állítsa össze és számítsa ki az integrált a szaggatott vonal felett DIA, ahol :

Mint fentebb említettük, az eredményül kapott kifejezés funkcionális része a kívánt függvény
.

Ellenőrizzük a 11.2 példa számításainak eredményét a Newton-Leibniz képlet segítségével:

Az eredmények megegyeztek.

Megjegyzés. Az összes figyelembe vett állítás igaz a térbeli esetre is, de sok feltétellel.

Legyen egy darabonként sima görbe egy térbeli tartományhoz . Ekkor, ha a függvények és parciális deriváltjaik folytonosak egy zárt tartományban, amelyben pontok vannak megadva ésés
(11.5 ), akkor

a) a kifejezés valamely függvény teljes differenciálja ,

b) valamely függvény teljes differenciáljának görbe integrálja nem függ az út alakjától és

c) a képlet teljesül Newton-Leibniz .(11.6 )

11.4. példa. Győződjünk meg arról, hogy a kifejezés valamely függvény teljes differenciája és keressük meg.

Megoldás. Megválaszolni azt a kérdést, hogy egy adott kifejezés egy függvény teljes differenciája-e , számítsa ki a függvények parciális deriváltjait, , . (Cm. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Ezek a függvények folytonosak a parciális deriváltjaikkal együtt a tér bármely pontjában.

Úgy látjuk, hogy a szükséges ill elegendő feltételeket létezés : , , , h.t.d.

A függvény kiszámításához azt a tényt használjuk, hogy az egyenes integrál nem függ az integrációs úttól, és a Newton-Leibniz képlet segítségével számítható ki. Legyen a lényeg - az út kezdete, és egy pont - az út vége . Kiszámoljuk az integrált

a koordinátatengelyekkel párhuzamos vonalszakaszokból álló kontúr mentén. (lásd 11.5. ábra).

.

11.5. ábra

A kontúrrészek egyenletei: , ,
.

Akkor

, x itt javítva, szóval ,

Itt meg van oldva y, ezért .

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

Most ugyanezt az integrált kiszámíthatjuk a Newton-Leibniz képlet segítségével.

Hasonlítsuk össze az eredményeket: .

A kapott egyenlőségből az következik, hogy , és

12. lecke.

Az első típusú felületi integrál: definíció, alapvető tulajdonságok. Az első típusú felületi integrál kiszámításának szabályai kettős integrál használatával. Az első típusú felületi integrál alkalmazásai: felület, anyagfelület tömege, koordinátasíkok körüli statikus nyomatékok, tehetetlenségi nyomatékok és a súlypont koordinátái. OL-1 ch.6, OL 2 ch.3, OL-4 11. §.

Gyakorlat: OL-6 2347, 2352, 2353 vagy OL-5 10.62, 65, 67. sz.

Házi feladat a 12. leckéhez:

OL-6 2348, 2354 vagy OL-5 10.63, 64, 68 sz.