Kettős integrálok tulajdonságai.

A kettős integrálok néhány tulajdonsága közvetlenül következik ennek a fogalomnak a definíciójából és az integrálösszegek tulajdonságaiból, nevezetesen:

1. Ha függvény f(x, y) beépíthető D, azután kf(x, y) ebben a régióban is integrálható, és (24.4)

2. Ha a területen D integrálható funkciók f(x, y)És g(x, y), majd a funkciókat f(x, y) ± g(x, y), és ahol

3. Ha a tartományba integrálható D funkciókat f(x, y)És g(x, y) az egyenlőtlenséget f(x, y)≤g(x, y), azután

(24.6)

Bizonyítsunk be néhány további tulajdonságot kettős integrál :

4. Ha terület D két területre osztva D 1 és D 2 közös belső pontok és funkció nélkül f(x, y) folyamatos a régióban D, azután

(24.7) Bizonyíték . A terület integrált összege D a következőképpen ábrázolható:

hol van a terület partíciója Dúgy húzzuk meg, hogy a határ között D 1 és D 2 a partíció részeinek határaiból áll. Ekkor a határértékre lépve megkapjuk a (24,7) egyenlőséget.

5. Integrálhatóság esetén be D funkciókat f(x, y) ebben a régióban a függvény is integrálható | f(x, y) |, és az egyenlőtlenség

(24.8)

Bizonyíték.

ahonnan az as határra átlépve megkapjuk a (24.8) egyenlőtlenséget.

6. hol SD– a régió területe D. Ennek az állításnak a bizonyítását az integrál összegbe való behelyettesítéssel kapjuk meg f(x, y)≡ 0.

7. Ha integrálható a régióban D funkció f(x, y) kielégíti az egyenlőtlenséget

m ≤ f(x, y) ≤ M,

azután (24.9)

Bizonyíték.

A bizonyítást úgy hajtjuk végre, hogy a nyilvánvaló egyenlőtlenségből a határig haladunk

Következmény.

Ha a (24.9) egyenlőtlenség minden részét elosztjuk azzal D, megkaphatjuk az úgynevezett átlagérték tételt:

Különösen a funkció folytonosságának feltétele mellett f ban ben D van egy ilyen pont ebben a régióban ( x 0, y 0), amelyben f(x 0, y 0) = μ , azaz

-

Az átlagérték tétel másik megfogalmazása.

A kettős integrál geometriai jelentése.

Vegyünk egy testet V, amelyet az egyenlet által megadott felület egy része határol z = f(x, y), kivetítés D ez a felület az O síkhoz HU valamint a felülethatár pontjait a vetületeikkel összekötő függőleges generátorokból nyert oldalsó hengeres felület.

z=f(x,y)

V

y P i D 2. ábra.

Ennek a testnek a térfogatát fogjuk keresni azon hengerek térfogatösszegének határaként, amelyek alapjai a Δ részek. Si területeken D, a magasságok pedig hosszúságú szegmensek f(Pi), ahol a pontok PiΔ-hez tartoznak Si. Ha elérjük a határértéket, megkapjuk azt

(24.11)

vagyis a kettős integrál a felület által felülről határolt, úgynevezett hengerűr térfogata z = f(x, y), alatta pedig - a terület D.

Kettős integrál kiszámítása iteráltra redukálva.

Vegye figyelembe a területet D vonalak határolják x=a, x=b(a< b ), ahol φ 1 ( x) és φ 2 ( x) folyamatosak a [ a, b]. Ezután bármely, az O koordinátatengellyel párhuzamos egyenest nál nélés áthalad a régió belső pontján D, két ponton keresztezi a régió határát: N 1 és N 2 (1. ábra). Nevezzük ezt a területet helyes be-

nál nél O tengely szabály nál nél. Hasonlóképpen a

y=φ 2 (x) van egy terület az irányban

N 2 tengely O x. A terület megfelelő irányban

Mindkét koordináta tengelyek, mi fogunk

D csak hívd jól. Például,

a megfelelő területet az 1. ábra mutatja.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Hagyja a függvényt f(x, y) folyamatos a régióban D. Fontolja meg a kifejezést

, (24.12)

hívott kettős integrál funkcióból f(x, y) régiónként D. Először számítsuk ki a változó belső integrálját (zárójelben). nál nél számolás xállandó. Az eredmény az lesz folyamatos funkció tól től x:

A kapott függvényt integráljuk x kezdve de előtt b. Ennek eredményeként megkapjuk a számot

Bizonyítsuk be a kettős integrál egy fontos tulajdonságát.

1. tétel. Ha a terület D, helyesen az O irányba nál nél, két régióra osztva D 1 és D 2 egyenes, párhuzamos tengely RÓL RŐL nál nél vagy O tengely x, majd a dupla integrált a régió felett D egyenlő lesz a régiók azonos integráljainak összegével D 1 és D 2:

Bizonyíték.

a) Legyen a sor x = c szünetek D a D 1 és D 2, helyesen az O irányba nál nél. Azután

+

+

b) Legyen a sor y=h szünetek D a jobb oldalon az O irányába nál nél területeken D 1 és D 2 (2. ábra). Jelölje M 1 (a 1 , h) És M 2 (b 1 , h) az egyenes metszéspontjai y=h szegéllyel L területeken D.

y Vidék D 1-et folyamatos vonalak korlátozzák

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) görbe DE 1 M 1 M 2 BAN BEN, amelynek egyenletét felírjuk

h M 1 M 2 y=φ 1 *(x), ahol φ 1 *(x) = φ 2 (x) nál nél a ≤ x ≤ a 1 és

A 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(x) = h nál nél de 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) egyenes x = a, x = b.

Vidék D 2 vonalak korlátozzák y=φ 1 *(x),

A y= φ 2 (x),de 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Alkalmazzuk a belső integrálra a következő tételt

az integrációs intervallum felosztása:

O a a 1 b 1 b

+

A kapott integrálok közül a másodikat összegként ábrázoljuk:

+ + .

Amennyiben φ 1 *(x) = φ 2 (x) nál nél a ≤ x ≤ a 1 és b 1 ≤ x ≤ b, akkor a kapott első és harmadik integrál azonos nullával. Következésképpen,

I D = , azaz

Kettős integrálok. A kettős integrál definíciója és tulajdonságai. Iterált integrálok. Dupla integrálok redukálása ismétlődőkre. Az integráció határainak elrendezése. Dupla integrálok számítása in Descartes-rendszer koordináták.

1. KETTŐS INTEGRÁLOK

1.1. A kettős integrál definíciója

A kettős integrál a határozott integrál fogalmának általánosítása két változós függvény esetére. Ebben az esetben az integrációs szegmens helyett valamilyen lapos ábra lesz.

Legyen D egy zárt korlátos tartomány, és f(x, y) egy tetszőleges függvény, amely ebben a tartományban van definiálva és korlátos. Feltételezzük, hogy a régió határai D véges számú görbéből áll, egyenletek által adott kedves y=f(x) vagy x=g( y), ahol f(x) És g(y) folyamatos függvények.

R

Rizs. 1.1

Azobem régió D véletlenszerűen bekapcsolva n alkatrészek. Terület én-adik szakaszt a  szimbólum jelöli s én. Minden szakaszon tetszőlegesen kiválasztunk egy pontot P én , és legyenek koordinátái valamilyen rögzített derékszögű rendszerben ( x én , y én). Komponáljunk integrál összeg funkcióhoz f(x, y) terület szerint D, ehhez minden pontban megtaláljuk a függvény értékeit P én, szorozza meg őket a megfelelő s szakaszok területével énés összegezzük az összes eredményt:

. (1.1)

Hívjuk átmérő átm(G) terület G a terület határpontjai közötti legnagyobb távolság.

kettős integrál funkciókat f(x, y) régiónként D annak a határnak nevezzük, amelyre az integrálok sorozata hajlik összegeket (1.1) a partíciók számának korlátlan növelésével n (ahol
). Ez a következőképpen van leírva

. (1.2)

Vegye figyelembe, hogy általánosságban elmondható, hogy a for adott funkciótés az adott integrációs terület a terület particionálásának módjától függ Dés pontválasztás P én. Ha azonban létezik a kettős integrál, akkor ez azt jelenti, hogy a megfelelő integrálösszegek határa már nem függ ezektől a tényezőktől. A kettős integrál létezéséhez(vagy ahogy mondják, nak nek funkció f(x, y) volt integrálható a területenD), elegendő, ha az integrandus legyenfolyamatos az adott integrációs területen.

P

Rizs. 1.2

st függvény f(x, y) integrálható a tartományba D. Mivel az ilyen függvények megfelelő integrálösszegek határa nem függ az integrációs tartomány particionálásának módjától, a particionálás elvégezhető függőleges és vízszintes vonalak használatával. Aztán a régió nagy része D téglalap alakú lesz, amelynek területe  s én =x én y én. Ezért a területdifferenciál így írható fel ds= dxdy. Következésképpen, derékszögű koordinátarendszerben kettős integrálok formába írható

. (1.3)

Megjegyzés . Ha az integrand f(x, y)1, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az integrációs régió területével:

. (1.4)

Vegye figyelembe, hogy a kettős integrálok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a határozott integrálok. Jegyezzünk meg néhányat.

Kettős integrálok tulajdonságai.

1 0 . Lineáris tulajdonság. A függvényösszeg integrálja egyenlő az integrálok összegével:

a konstans tényező pedig kivehető az integráljelből:

.

2 0 . Additív tulajdonság. Ha az integráció területeDkét részre osztva a kettős integrál egyenlő lesz az egyes részeken lévő integrálok összegével:

.

3 0 . Az átlagérték tétel. Ha a funkció f( x, y)folyamatos a régióbanD, akkor ezen a területen van egy olyan pont() , mit:

.

Ekkor felmerül a kérdés: hogyan számítják ki a dupla integrálokat? Hozzávetőlegesen kiszámítható, erre a célra hatékony módszereket dolgoztak ki a megfelelő integrálösszegek összeállítására, amelyeket aztán számítógép segítségével numerikusan kiszámolnak. A kettős integrálok analitikus számításánál két határozott integrálra redukálódnak.

1.2. Iterált integrálok

Az iterált integrálok az űrlap integráljai

. (1.5)

Ebben a kifejezésben először a belső integrált számítjuk ki, azaz. először a változó feletti integrációt hajtjuk végre y(míg a változó xállandónak feltételezzük). Az integráció eredményeként vége y kap valami funkciót x:

.

Az eredményül kapott függvény ezután integrálásra kerül x:

.

Példa 1.1. Integrálok kiszámítása:

de)
, b)
.

Megoldás . a) Integráljunk át y, feltételezve, hogy a változó x= const. Ezt követően kiszámítjuk az integrált over x:

.

b) Mivel a belső integrálban az integráció a változó felett történik x, azután y A 3 a külső integrálba konstans tényezőként kivehető. Amennyiben y A belső integrálban lévő 2 állandó értéknek számít, akkor ez az integrál táblázatos lesz. Soros átintegrálással yÉs x, kapunk

Van kapcsolat a kettős integrálok és az iterált integrálok között, de először nézzük meg az egyszerű és összetett területeket. A terület ún egyszerű bármely irányban, ha bármely ebben az irányban húzott egyenes legfeljebb két pontban metszi a terület határát. A derékszögű koordinátarendszerben általában az O tengelyek mentén vett irányokat veszik figyelembe xés O y. Ha a terület mindkét irányban egyszerű, akkor röviden azt mondják - egyszerű terület, az irány kiemelése nélkül. Ha a tartomány nem egyszerű, akkor annak mondják összetett.

L

a b

Rizs. 1.4

Bármely összetett tartomány ábrázolható egyszerű tartományok összegeként. Ennek megfelelően bármely kettős integrál ábrázolható egyszerű tartományok kettős integráljainak összegeként. Ezért a következőkben elsősorban csak az egyszerű tartományok feletti integrálokat fogjuk figyelembe venni.

Tétel . Ha az integráció területeD– tengelyirányban egyszerűOy(lásd 1.4a. ábra), akkor a kettős integrált iteráltként írhatjuk fel a következőképpen:

; (1.6)

ha az integráció területeD– tengelyirányban egyszerűÖkör(lásd 1.4b. ábra), akkor a kettős integrál ismétlődőként a következőképpen írható fel:

. (1.7)

E

Rizs. 1.3

Ha az integrálási terület mindkét irányban helyes, akkor tetszőlegesen megválasztható az iterált integrál formája, az integrálhatóságtól függően.

1.3. AZ INTEGRÁCIÓ HATÁRAINAK MEGHATÁROZÁSA

1.3.1. Téglalap alakú integrációs régió

P

Rizs. 1.5

A kettős integrálok iteráltra redukálásakor a fő nehézség a határértékek belső integrálokban való beállításánál adódik. Ennek legegyszerűbb módja a téglalap alakú területek (lásd 1.5. ábra).

Példa 1.2. Dupla integrál kiszámítása

.

Megoldás . A kettős integrált iterált alakban írjuk:

.

1.3.2. Az integráció önkényes régiója

A kettős integrálról iteráltra való áttéréshez a következőket kell tenni:

konstruálja meg az integráció tartományát;

állítson be határértékeket az integrálokban, miközben ne feledje, hogy a külső integrál határértékeinek állandó értékeknek (azaz számoknak) kell lenniük, függetlenül attól, hogy a külső integrált melyik változóra számítjuk..

1.3. példa.Állítsa be az integráció határait a megfelelő iterált integrálokban a kettős integrálhoz

Ha egy)
b)

R

Rizs. 1.6

megoldás . de) Rajzolja meg az integrációs területet D(lásd 1.6. ábra). Végezzük el az integrációt a külső integrálban a változó felett x, és a belsőben y. A határértékek beállítását mindig a külső integrállal kell kezdeni, jelen esetben változóval x. Az ábrán látható, hogy x 0-ról 1-re változik, míg a változó értékei y változni fog az egyenesen lévő értékekhez képest y= x egészen az egyenes vonalon lévő értékekig y=2x. Így kapunk

.

Végezzük el most a külső integrálba való integrálást a szerint y, és a belsőben x. Ebben az esetben az értékek y 0-ról 2-re változik. Ekkor azonban a változó értékeinek változásának felső határa x két részből fog állni x= y/2 és x=1. Ez azt jelenti, hogy az integrációs területet az egyenes két részre kell osztani y=1. Ekkor az első tartományban y 0-ról 1-re változik, és x egyenesből x= y/2 egyenesre x= y. A második régióban y 1-ről 2-re változik, és x- egyenesből x= y/2 egyenesre x=1. Ennek eredményeként azt kapjuk

.

b

Rizs. 1.7

) Építsük meg az integrációs területet D(lásd 1.7. ábra). Végezzük el az integrációt a külső integrálban x, és a belsőben y. Ebben az esetben váltáskor x-1:1 változás a változóban y felülről két vonal korlátozza: egy kör és egy egyenes. A szegmensen [–1; 0] y től változik y=0 to
; a szegmensváltozón y től változik y=0 to y=1–x. Ily módon

.

Végezzük el most az integrációt a külső integrálban y, és a belsőben x. Ebben az esetben y 0-ról 1-re változik, és a változó x- a körívből
egyenesre x=1–y. Ennek eredményeként azt kapjuk

.

Ezek a példák megmutatják, mennyire fontos az integráció helyes sorrendjének kiválasztása.

Példa 1.4. Módosítsa az integráció sorrendjét

de)
; b)
.

R

Rizs. 1.8

megoldás . de)Építsük meg az integráció területét. A szegmensen x változó y egyenesről változik y=0 egyenesre y= x. Ennek eredményeként a következő integrációs területet kapjuk (lásd 1.8. ábra). A megszerkesztett ábra alapján meghatározzuk az integráció határait

.

b)Építsük meg az integráció területét. A szegmensen y változó x egyenesről változik x=y parabolának
; szakaszon - egyenesből x=y egyenesre x= 3/4. Az eredmény a következő integrációs terület (lásd 1.9. ábra). A megszerkesztett ábra alapján meghatározzuk az integráció határait,

.

Dupla integrálok a próbabábukhoz

Ez a lecke bemutatja a több integrálról szóló kiterjedt témát, amellyel a tanulók általában a második évben találkoznak. dupla és hármas integrálok a laikust nem rosszabbul tudod megfélemlíteni differenciál egyenletek, ezért azonnal foglalkozunk a kérdéssel: nehéz vagy sem? Természetesen egyeseknek nehéz lesz, és őszintén szólva kicsit ravasz voltam a cikk címével - ahhoz, hogy megtanulják a kettős integrálok megoldását, bizonyos készségekre van szükség. Először is, ha integrálokról beszélünk, akkor nyilvánvalóan integrálnunk kell. Logikusan. Ezért a példák elsajátításához tudnia kell találni határozatlan integrálokés kiszámítani határozott integrálok legalábbis átlagos szinten. A jó hír az, hogy maguk az integrálok a legtöbb esetben meglehetősen egyszerűek.

Kinek kell keménynek lennie? Ez érthető. Akik sok sört ittak az első félévben. Mindazonáltal a normál hallgatókat is megnyugtatom – az oldalon minden szükséges anyag megtalálható a hiányosságok vagy félreértések pótlására. Csak több időt kell töltenie. A tanulmányozott vagy megismételendő témákra mutató hivatkozásokat a cikk egészében csatoljuk.

A bevezető óra A következő alapvető szempontokat elemezzük lépésről lépésre és részletesen:

– A kettős integrál fogalma

– Integrációs terület. Az integrációs régió megkerülésének sorrendje. Hogyan lehet megváltoztatni a bejárási sorrendet?

Miután JÓL megértette az alapokat, folytathatja a cikket Hogyan kell kiszámítani a kettős integrált? Megoldási példák. Emellett gyakori probléma kb a kettős integrál számítása polárkoordinátákbanés egy tipikus alkalmazás kb lapos korlátos alak súlypontjának megtalálása.

Kezdjük egy létfontosságú kérdéssel – mi az?

A kettős integrál fogalma

Dupla integrált bemenet Általános nézet a következőképpen van írva:

Megértjük a feltételeket és a jelöléseket:
– dupla integrált ikon;
– integrációs terület (lapos ábra);
- két változó integrandusa, gyakran nagyon egyszerű;
- differenciál ikonok.

Mit jelent kettős integrál kiszámítása?

A kettős integrál átlagának kiszámítása keresse meg a NUMBER. A leggyakoribb szám:

És nagyon kívánatos, hogy helyesen találja meg =)

Az eredmény (szám) negatív is lehet. És a nulla is könnyen kiderülhet. Ezen a ponton kifejezetten megálltam, mivel sok diák szorongást tapasztal, amikor a válasz „valami furcsa” lesz.

Sokan emlékeznek arra a "hétköznapi" határozott integrál az is egy szám. Ez itt is ugyanaz. A dupla integrálnak is van egy kiváló geometriai érzék, de erről később, mindennek megvan a maga ideje.

Hogyan kell kiszámítani a kettős integrált?

A kettős integrál kiszámításához le kell redukálni az ún iterált integrálok. Meg lehet csinálni két út. A leggyakoribb módszer a következő:

A kérdőjelek helyett az integráció határait kell kijelölni. Sőt, a külső integrál egyetlen kérdőjelei is számok, és a belső integrál kettős kérdőjelei funkciókat egy "x"-től függő változó.

Hol húzzuk meg az integráció határait? Attól függenek, hogy a probléma állapotában milyen terület van megadva. A terület egy szabályos lapos alak, amellyel sokszor találkoztál, például amikor egy síkfigura területének kiszámítása vagy egy forgástest térfogatának kiszámítása. Hamarosan megtanulja, hogyan kell helyesen beállítani az integráció határait.

Az iterált integrálokra való áttérés után közvetlenül következnek a számítások: először a belső integrált, majd a külsőt veszik fel. Egyik a másik után. Innen a név – iterált integrálok.

Nagyjából a probléma két határozott integrál kiszámítására redukálódik. Amint látod, nem minden olyan nehéz és ijesztő, és ha már elsajátítottad a „hétköznapi” határozott integrált, akkor mi akadályoz meg abban, hogy két integrállal foglalkozz?!

Az iterált integrálokhoz való átvitel második módja valamivel kevésbé gyakori:

Mi változott? Az integráció sorrendje megváltozott: most a belső integrált „x”, a külső integrált pedig „y” helyett. Az integráció korlátai, csillagokkal jelölve - más lesz! A külső integrál egyes csillagai számok, és a belső integrál kettős csillagai inverz függvények"y"-től függően.

Bármelyik módot választjuk is az iterált integrálokra való átvitelre, a végső válasz minden bizonnyal ugyanaz:

Kérem, ne feledje ezt a fontos tulajdonságot, amely többek között a megoldás ellenőrzésére is használható.

Algoritmus a kettős integrál megoldására:

Rendszerezzük az információkat: milyen sorrendben kell megoldani a vizsgált problémát?

1) Be kell fejezni a rajzot. Rajz nélkül a probléma nem oldható meg. Pontosabban úgy dönt, hogy dönt, de ez olyan lesz, mintha vaksakkozna. A rajznak a területet kell ábrázolnia, ami egy lapos figura. Leggyakrabban az ábra egyszerű, és néhány egyenesre, parabolára, hiperbolára stb. korlátozódik. Az órákon egy hozzáértő és gyors rajzkészítési technikát lehet elsajátítani Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai, Geometriai diagram transzformációk . Tehát az első lépés a rajz befejezése.

2) Állítsa be az integráció határait, és lépjen az iterált integrálokra.

3) Vegyük a belső integrált

4) Vegyük a külső integrált, és kapjuk meg a választ (számot).

Integrációs régió. Az integrációs régió megkerülésének sorrendje.
Hogyan lehet megváltoztatni a bejárási sorrendet?

Ebben a részben megvizsgáljuk a legfontosabb kérdést - hogyan lehet átmenni az iterált integrálokra és helyesen beállítani az integráció határait. Ahogy fentebb említettük, ezt a következőképpen teheti meg:

Így:

A gyakorlatban ez az egyszerűnek tűnő feladat okozza a legnagyobb nehézséget, a tanulók gyakran összezavarodnak az integráció határainak meghatározásakor. Vegyünk egy konkrét példát:

1. példa

Megoldás:Ábrázoljuk az integrációs területet a rajzon:

A szokásos lapos alak és semmi különös.

Most mindegyikőtöknek adok egy szerszámot - egy ásóbotot, egy lézermutatót. A feladat az árnyékolt terület minden pontjának pásztázása lézersugárral:

A lézersugár áthalad az integrációs tartományon szigorúan alulról felfelé, vagyis MINDIG tarts mutatót lent lapos alak. A nyaláb az x tengelyen keresztül lép be a tartományba, amelyet az egyenlet ad meg, és egy parabolán (piros nyíl) keresztül lép ki a tartományból. A teljes terület megvilágításához szüksége van szigorúan balról jobbra húzza a mutatót a tengely mentén 0-tól 1-ig (zöld nyíl).

Szóval mi történt:
"y" 0-ról ;
Az "x" 0-ról 1-re változik.

A feladatokban a fentiek egyenlőtlenségek formájában vannak felírva:

Ezeket az egyenlőtlenségeket ún az integrációs tartomány megkerülése vagy egyszerűen integráció rendje

Miután kitaláltuk a bejárás sorrendjét, áttérhetünk a kettős integrálról az iterált integrálokra:

A probléma fele megoldódott. Most a második módon kell áttérnünk az iterált integrálokra. Ehhez meg kell találni az inverz függvényeket. Aki elolvasta a lecke második bekezdését A forradalom testének térfogata, könnyebb lesz. Megnézzük a területet beállító funkciókat . Ha ez elég egyszerű, akkor lépjen az inverz függvényekre, ami azt jelenti, hogy „x”-t „y”-ig fejezzük ki. Az egyetlen funkció, ahol van és "x" és "y", egy .

Ha , akkor , és:
az inverz függvény határozza meg a parabola jobb oldali ágát;
az inverz függvény határozza meg a parabola bal oldali ágát.

Gyakran felmerülnek kétségek, például, hogy a függvény határozza meg a parabola bal vagy jobb ágát? Nagyon könnyű eloszlatni a kétségeket: vegyük például a parabola egy pontját (a jobb oldali ágból), és helyettesítsük be a koordinátáit bármely egyenletbe, például ugyanabba az egyenletbe:

A helyes egyenlőséget kapjuk, ami azt jelenti, hogy a függvény pontosan a parabola jobb oldali ágát határozza meg, nem pedig a bal oldalát.

Továbbá, ezt a csekket(mentálisan vagy tervezetben) kívánatos mindig végrehajtani, miután átlépett az inverz függvényekre. Nem lesz semmi, de biztosan megkímél a hibáktól!

A második módon megkerüljük az integráció régióját:

Most tartsa a lézermutatót bal az integráció területéről. A lézersugár áthalad a területen szigorúan balról jobbra. Ebben az esetben a parabola egy ágán keresztül lép be a tartományba, és az egyenlet által megadott egyenesen (piros nyíl) keresztül lép ki a régióból. A teljes terület lézerrel történő beolvasásához mutatót kell rajzolnia a tengely mentén szigorúan alulról felfelé 0-tól 1-ig (zöld nyíl).

Ilyen módon:
az "x" 1-re változik;
Az "y" 0-ról 1-re változik.

A terület megkerülésének sorrendjét egyenlőtlenségek formájában kell felírni:

Ezért az iterált integrálokra való áttérés a következő:

Válasz a következőképpen írható:

Még egyszer emlékeztetek arra, hogy a számítások végeredménye nem attól függ, hogy a kiválasztott terület bejárásának milyen sorrendjét választottuk (ezért teszünk egyenlőségjelet). De előtte végeredmény még messze van, most már csak az a feladatunk, hogy helyesen szabjuk meg az integráció határait.

2. példa

Adott egy kettős integrál az integráció tartományával. Menjen az iterált integrálokhoz, és állítsa be az integráció határait kétféleképpen.

Ez egy példa erre független megoldás. Megfelelően készítsen rajzot és szigorúan kövesse az utasításokat(honnan és hova világítani lézermutatóval). Hozzávetőleges minta a befejezésről a lecke végén.

Gyakrabban tipikus feladat kissé eltérő formában fordul elő:

3. példa

Építsd meg az integráció régióját és

Megoldás: Feltétel szerint a régió megkerülésének első módja adott. A megoldás ismét egy rajzzal kezdődik. Itt nem ezüsttálcán fekszik a terület, de nem nehéz beépíteni. Először is „eltávolítjuk” a függvényeket az integrációs korlátokból: , . A függvény természetesen egy egyenest határoz meg, de mit definiál a függvény? Alakítsuk át egy kicsit:
- egy kör, amelynek középpontja a 2-es sugarú koordináták origójában van. A függvény határozza meg a felső félkört (ne feledje, ha kétségei vannak, mindig helyettesítheti a felső vagy az alsó félkörön fekvő ponttal).

Megnézzük a külső integrál határait: "x" -2-ről 0-ra változik.

Végezzük el a rajzot:

Az érthetőség kedvéért nyilakkal jeleztem a régió megkerülésének első módját, amely megfelel a feltétel iterált integráljainak: .

Most meg kell változtatnunk a terület megkerülésének sorrendjét, ehhez folytatjuk az inverz függvényeket (kifejezzük az "x"-t az "y"-ig):

Nemrég konvertáltuk a függvényt egy kör egyenletévé, majd "x"-et fejezünk ki:
Ennek eredményeként két inverz függvényt kapunk:
- meghatározza a jobb oldali félkört;
- határozza meg a bal oldali félkört.
Ismét, ha kétségei vannak, vegye ki a kör bármely pontját, és derítse ki, melyik a bal és melyik a jobb.

Változtassuk meg a terület bejárási sorrendjét:

A második bypass módszer szerint a lézersugár beleértve a régióba bal a bal félkörön keresztül és jobb oldali kijáratokát a vonalon (piros nyíl). Ezzel egyidejűleg a lézermutatót az y tengely mentén megrajzoljuk felfelé 0-tól 2-ig (zöld nyíl).

Így a terület bejárásának sorrendje a következő:

Általában lehet írni válasz:

4. példa

Ez egy „csináld magad” példa. A példa nem túl bonyolult, de vegye figyelembe, hogy a bejárási sorrend kezdetben a második módon van beállítva! Mi a teendő ilyen esetekben? Először is, a rajzolással van egy nehézség, mivel az inverz függvény grafikonjának megrajzolása még számomra is szokatlan. A következő eljárást javaslom: először kapunk egy „normál” függvényt (az „y”-t „x”-ig fejezzük ki). Ezután elkészítjük ennek a "hétköznapi" függvénynek a grafikonját (mindig építhet legalább pontonként). Ugyanezt tesszük az egyszerűbbekkel is lineáris függvény: -ból kifejezzük az "y"-t és húzunk egy egyenest.

Elemezzük az integráció kezdeti korlátait: balról belépünk a régióba, és azon keresztül kilépünk. Ugyanakkor minden a -1-től 0-ig terjedő "játék" sávban zajlik. Miután meghatározta az integrációs területet a rajzon, nem lesz nehéz megváltoztatni az áthidalás sorrendjét. Példa a megoldásra a lecke végén.

Egy hasonló példát kicsit később részletesebben tárgyalunk.

Még ha mindent tökéletesen értesz is, kérlek ne rohanjon közvetlenül a kettős integrál kiszámításához. A bejárás sorrendje egy trükkös dolog, és nagyon fontos, hogy egy kicsit rájöjjek erre a feladatra, főleg, hogy még nem foglalkoztam mindennel!

Az előző négy példában az integrációs terület teljes egészében az 1., 2., 3. és 4. koordinátanegyedben volt. Mindig ilyen? Nem, természetesen.

5. példa

Módosítsa az integráció sorrendjét

Megoldás: Végezzük el a rajzot, miközben a függvény grafikonja tulajdonképpen egy köbös parabola, csak "az oldalán fekszik":

Régió bejárási sorrend, amely megfelel az iterált integráloknak , nyilak jelzik. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a rajz végrehajtása során egy másik limitált ábra is rajzolásra került (az y tengelytől balra). Ezért óvatosnak kell lenni az integrációs terület meghatározásakor - a rossz szám összetéveszthető a területtel.

Térjünk át az inverz függvényekre:
- a számunkra szükséges parabola jobb oldali ága;

Változtassuk meg a terület bejárási sorrendjét. Mint emlékszik, a második bypass módszernél a területet balról jobbra lézersugárral kell pásztázni. De van itt egy érdekesség:

Hogyan kell eljárni ilyen esetekben? Ilyen esetekben az integrációs területet két részre kell osztani, és mindegyik részhez alkotni kell az iterált integrálokat:

1) Ha az „y” –1-ről 0-ra változik (zöld nyíl), akkor a sugár egy köbös parabolán keresztül lép be a tartományba, és egy egyenes vonalon (piros nyíl) keresztül lép ki. Ezért a terület bejárásának sorrendje a következő lesz:

2) Ha az "y" 0-ról 1-re változik (barna nyíl), akkor a sugár a parabola egy ágán keresztül lép be a tartományba, és ugyanazon az egyenesen (bíbor nyíl) keresztül lép ki. Ezért a terület bejárásának sorrendje a következő lesz:

És a megfelelő iterált integrálok:

A határozott és többszörös integrálok nagyon kényelmes tulajdonsággal rendelkeznek additívitás, azaz hozzáadhatók, amit ebben az esetben meg kell tenni:
- és itt van a régió megkerülése a második módon, két integrál összege formájában.

Válaszírj így:

Mi a legjobb bypass sorrend? Természetesen a probléma állapotában megadott - a számítások feleannyiak lesznek!

6. példa

Módosítsa az integráció sorrendjét

Ez egy „csináld magad” példa. Félköröket tartalmaz, amelyek szétszedését a 3. példa részletesen tárgyalja. A megoldás kialakításának hozzávetőleges mintája a lecke végén.

És most az ígért feladat, amikor kezdetben a terület megkerülésének második módja van beállítva:

7. példa

Módosítsa az integráció sorrendjét

Megoldás: Ha a bypass sorrendet a második módon állítjuk be, a rajz megrajzolása előtt célszerű a „normál” funkciókra váltani. Ebben a példában két pácienst kell konvertálni: és .
A lineáris függvény segítségével minden egyszerű:

A függvény grafikonja egy parabola, amely kanonikusságra hivatkozik.

Adjuk meg az "Y"-t "X"-ig:

A parabolának két ágát kapjuk: és . Melyiket válasszam? A legegyszerűbb módja a rajz azonnali végrehajtása. És még akkor is, ha elfelejtette az anyagot analitikus geometria egy paraboláról, akkor mindkét ág továbbra is pontszerűen megszerkeszthető:

Még egyszer szeretném felhívni a figyelmet arra, hogy ezt a rajzot Több lapos figurát kaptam, és nagyon fontos a megfelelő forma kiválasztása! A kívánt ábra kiválasztásában az eredeti integrálok integrálásának korlátai segítenek:
, és ne felejtsük el, hogy az inverz függvény beállítja minden parabola.

Az ábra megkerülését jelző nyilak pontosan megfelelnek az integrálok integrálási határainak .

Hamarosan megtanulja mentálisan elvégezni az ilyen elemzést, és megtalálja a kívánt integrációs területet.

Az alakzat megtalálása után a megoldás utolsó része általában nagyon egyszerű, változtassa meg a terület bejárási sorrendjét:

Inverz függvények már megtaláltuk, és a terület bejárásának szükséges sorrendje:

Válasz:

Utolsó példa egy önálló megoldást szolgáló bekezdésre:

8. példa

Módosítsa az integráció sorrendjét

Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Elkezdjük megvizsgálni a kettős integrál kiszámításának tényleges folyamatát, és megismerkedünk geometriai jelentésével.

A kettős integrál numerikusan egyenlő egy lapos alakzat területével (integrációs régió). Ez a legegyszerűbb forma kettős integrál, ha két változó függvénye egyenlő eggyel: .

Először nézzük meg általánosságban a problémát. Most meg fog lepődni, milyen egyszerű is valójában! Számítsa ki egy lapos alak területét, vonalak határolják. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy az intervallumon. Ennek az ábrának a területe számszerűen egyenlő:

Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Válasszuk ki a terület megkerülésének első módját:

Ilyen módon:

És rögtön egy fontos technikai trükk: az iterált integrálokat külön is figyelembe vehetjük. Először a belső integrál, majd a külső integrál. Ez a módszer Kifejezetten ajánlott kezdőknek a teáskannák témakörében.

1) Számítsa ki a belső integrált, miközben az integrációt az "y" változón keresztül hajtja végre:

Határozatlan integrál itt van a legegyszerűbb, majd a banális Newton-Leibniz képletet használjuk, azzal az egyetlen különbséggel, hogy az integráció határai nem számok, hanem függvények. Először a felső határt behelyettesítettük az „y”-be (antiderivatív függvény), majd az alsó határt

2) Az első bekezdésben kapott eredményt be kell cserélni a külső integrálba:

A teljes megoldás tömörebb jelölése így néz ki:

A kapott képlet - pontosan ez a munkaképlet a lapos alakzat területének kiszámításához a "közönséges" határozott integrál segítségével! Lásd a leckét Terület számítása határozott integrál segítségével, ott van minden lépésnél!

Azaz, a terület kiszámításának problémája kettős integrál segítségével kicsit más a terület keresésének problémájából egy határozott integrál segítségével! Valójában egy és ugyanaz!

Ennek megfelelően semmiféle nehézség nem merülhet fel! Nem fogok sok példát figyelembe venni, mivel Ön valójában többször is találkozott ezzel a problémával.

9. példa

A kettős integrál segítségével számítsa ki egy vonallal határolt síkidom területét.

Megoldás:Ábrázoljuk a területet a rajzon:

Az ábra területét a kettős integrál segítségével számítjuk ki a következő képlet szerint:

Válasszuk a régió bejárásának sorrendjét:

Itt és az alábbiakban nem térek ki arra, hogyan kell bejárni egy területet, mert az első bekezdés nagyon részletes volt.

Ilyen módon:

Amint már megjegyeztem, a kezdőknek jobb, ha az iterált integrálokat külön számítják ki, ugyanazt a módszert fogom követni:

1) Először a Newton-Leibniz képlet segítségével foglalkozunk a belső integrállal:

2) Az első lépésben kapott eredményt behelyettesítjük a külső integrálba:

A 2. pont valójában egy lapos figura területének meghatározása egy határozott integrál segítségével.

Válasz:

Itt van egy ilyen ostoba és naiv feladat.

Egy érdekes példa egy független megoldásra:

10. példa

A kettős integrál segítségével számítsa ki egy síkfigura területét, amelyet a vonalak határolnak, ,

Példa a végső megoldásra a lecke végén.

A 9-10. példákban sokkal jövedelmezőbb a terület megkerülésének első módszere, a kíváncsi olvasók egyébként megváltoztathatják az elkerülés sorrendjét, és a második módon számíthatják ki a területeket. Ha nem hibázik, akkor természetesen ugyanazokat a területértékeket kapja meg.

KETTŐS INTEGRÁLOK

1. ELŐADÁS

Kettős integrálok.A kettős integrál definíciója és tulajdonságai. Iterált integrálok. Dupla integrálok redukálása ismétlődőkre. Az integráció határainak elrendezése. Kettős integrálok számítása a derékszögű koordinátarendszerben.

A kettős integrál a határozott integrál fogalmának általánosítása két változós függvény esetére. Ebben az esetben az integrációs szegmens helyett valamilyen lapos ábra lesz.

Legyen D egy zárt korlátos tartomány, és f(x,y) egy tetszőleges függvény, amely ebben a tartományban van definiálva és korlátos. Feltételezzük, hogy a régió határai D alakú egyenletek által adott véges számú görbéből állnak y=f(x) vagy x=g( y), ahol f(x) És g(y) folyamatos függvények.

Osszuk fel a területet D véletlenszerűen bekapcsolva n alkatrészek. Terület én A szakaszt a D szimbólum jelöli s i. Minden szakaszon tetszőlegesen kiválasztunk egy pontot pi,és legyenek koordinátái valamilyen rögzített derékszögű rendszerben ( x i, y i). Komponáljunk integrál összeg funkcióhoz f(x,y) terület szerint D, ehhez minden pontban megtaláljuk a függvény értékeit Pi, megszorozzuk őket a megfelelő Ds szegmensek területeivel énés összegezzük az összes eredményt:

Hívjuk átm(G) terület G a terület határpontjai közötti legnagyobb távolság.

kettős integrál függvények f(x,y) a D tartomány felett az a határ, amelyre az integrálösszegek sorozata hajlik (1.1) a partíciók számának korlátlan növelésével n (ahol). Ez a következőképpen van leírva

Vegye figyelembe, hogy általánosságban elmondható, hogy egy adott függvény és egy adott integrációs tartomány integrál összege a tartomány particionálásának módjától függ. Dés pontválasztás Pi. Ha azonban létezik a kettős integrál, akkor ez azt jelenti, hogy a megfelelő integrálösszegek határa már nem függ ezektől a tényezőktől. A kettős integrál létezéséhez(vagy ahogy mondják, így az f függvény(x,y) integrálható a D tartományban), elegendő, ha az integrandus legyen folyamatos az adott integrációs területen.

Hagyja a függvényt f(x,y) integrálható a tartományba D. Mivel az ilyen függvények megfelelő integrálösszegek határa nem függ az integrációs tartomány particionálásának módjától, a particionálás elvégezhető függőleges és vízszintes vonalak használatával. Aztán a régió nagy része D téglalap alakú lesz, amelynek területe D s i=D x i D y i. Ezért a területdifferenciál így írható fel ds=dxdy. Következésképpen, derékszögű koordinátákban, kettős integrálok formába írható

Megjegyzés. Ha az integrand f(x,y)º1, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az integrációs régió területével:

Vegye figyelembe, hogy a kettős integrálok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint határozott integrálok. Jegyezzünk meg néhányat.

Kettős integrálok tulajdonságai.

1 0 .Lineáris tulajdonság. A függvényösszeg integrálja egyenlő az integrálok összegével:

a konstans tényező pedig kivehető az integráljelből:

2 0 .Additív tulajdonság. Ha a D integrációs tartományt két részre osztjuk, akkor a kettős integrál egyenlő lesz az egyes részeken lévő integrálok összegével:

3 0 .Az átlagérték tétel. Ha a funkció f( x,y)folytonos a D tartományban, akkor ebben a tartományban van egy ilyen pont(x,h) , mit:

Ekkor felmerül a kérdés: hogyan számítják ki a dupla integrálokat? Hozzávetőlegesen kiszámolható, erre a célra kidolgozva hatékony módszerek a megfelelő integrál összegek összeállítása, amelyeket aztán számítógép segítségével numerikusan kiszámolunk. A kettős integrálok analitikus számításánál két határozott integrálra redukálódnak.

A kettős integrál alapvető tulajdonságai

A kettős integrál tulajdonságai (és származtatásuk) hasonlóak az egyetlen határozott integrál megfelelő tulajdonságaihoz.

1°. Additivitás. Ha a funkció f(x, y) integrálható a tartományba Dés ha a terület D görbe segítségével G a nulla terület két összekapcsolt régióra van osztva közös belső pontok nélkül D 1 és D 2 , majd a függvény f(x, y) minden tartományba integrálható D 1 és D 2, és

2°. Lineáris tulajdonság. Ha funkciókat f(x, y) És g(x, y) integrálhatók a tartományba D, de α És β - Bármi valós számok, majd a [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] is integrálható a tartományba D, és

3°. Ha funkciókat f(x, y) És g(x, y) integrálhatók a tartományba D, akkor ezeknek a függvényeknek a szorzata is integrálható D.

4°. Ha funkciókat f(x, y) És g(x, y) mindkettő integrálható a tartományba Dés mindenhol ezen a területen f(x, y) ≤ g(x, y), azután

5°. Ha a funkció f(x, y) integrálható a tartományba D, majd a | f(x, y)| integrálható a területen D, és

(Természetesen az integrálhatóságból | f(x, y)| ban ben D integrálhatóság nem következik f(x, y) ban ben D.)

6°. Átlagérték tétel. Ha mindkét funkció működik f(x, y) És g(x, y) integrálhatók a tartományba D, funkció g(x, y) nem negatív (nem pozitív) mindenhol ebben a régióban, MÉs m- a függvény pontos felső és pontos alsó határa f(x, y) régiójában D, akkor van egy szám μ , kielégítve az egyenlőtlenséget m ≤ μ ≤ Més olyan, hogy a képlet