A mennyiségek kiszámításához m,és a (4), (5) és (7) képleteket kell használni. Ennek eredményeként azt kapjuk képletek egy vékony lemez tömegközéppontjának koordinátáira :

4. példa (egy homogén lemez tömegközéppontjának koordinátáinak kiszámítása)

Határozzuk meg egy homogén alak tömegközéppontjának koordinátáit és vonalak által határolva.

Az ábra felépítése után azt látjuk, hogy geometriailag szimmetrikus az egyeneshez képest, mivel az ábra homogén anyagból készült, ezért nemcsak geometriai, hanem fizikai szimmetriája is van, vagyis annak a részének tömege, amely a szimmetriatengelytől balra helyezkedik el, egyenlő a jobb oldalon található rész tömegével. Majd az ismertek szerint fizikai tulajdonságok tömegközéppontot, arra a következtetésre jutunk, hogy a szimmetriatengelyen van, azaz

A kiszámításához összeállítjuk a statikus nyomatékot, és a (4) és (5) képleteket használjuk:

;

Válasz: C.

Alkalmazások hármas integrálok

A hármas integrálok alkalmazásai hasonlóak a kettős integrálok alkalmazásaihoz, de csak háromdimenziós testekre.

Ha a hármas integrál egyik tulajdonságát használjuk (az értékét egy olyan függvényből, amely azonos eggyel), akkor azt kapjuk, hogy képlet bármely térbeli test térfogatának kiszámításához :

Felírjuk a térfogat képletét a hármas integrál alapján, és kiszámítjuk a hármas integrált hengeres koordináták:

Válasz: (térfogat mértékegységei).

Képlet egy V térfogatot elfoglaló háromdimenziós objektum tömegének kiszámítására, úgy néz ki, mint a:

(13)

Itt van a tömegeloszlás térfogatsűrűsége.

6. példa (egy háromdimenziós test tömegének kiszámítása)

Határozzuk meg egy sugarú golyó tömegét! R, ha a sűrűség arányos a középponttól való távolság kockájával és egységnyi távolságra egyenlő k.

V: elemi hangerő és .

Vegyük észre, hogy itt a hármas integrál kiszámításakor integrálok szorzatát kaptuk, mivel a belső integrálok függetlennek bizonyultak a külső integrálok változóitól.

Válasz: (tömeg egység).

A térfogat mechanikai jellemzői V(statikus nyomatékok, tehetetlenségi nyomatékok, tömegközéppont koordinátái) olyan képletekkel számíthatók ki,

a kétdimenziós testek képleteivel analóg módon állították össze.

Elemi statikus nyomatékok és tehetetlenségi nyomatékok viszonyítva koordináta tengelyek:

elemi pillanatok relatív tehetetlenség koordinátasíkokés kiindulási pontok:

Ezután a teljes térfogat mechanikai jellemzőinek kiszámításához V, összegeznie kell ennek a karakterisztikának az elemi feltételeit a partíció minden részén (mivel a számított karakterisztikának van additív tulajdonsága), majd a kapott összegben a határértékre kell lépnie, feltéve, hogy a partíció minden elemi része korlátlanul csökken. (pontokra bontott szerződés). Ezeket a műveleteket a számított mechanikai jellemző elemi tagjának térfogati integrálásaként írjuk le V.

Az eredmény a következő képletek háromdimenziós testek M statikus nyomatékának és I tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához :

A gyakorlatban nem csak ezeket a képleteket hasznos készként használni, hanem a megoldandó feladatban levezetni is.

7. példa (háromdimenziós testek mechanikai jellemzőinek kiszámítása)

Határozzuk meg egy homogén henger tehetetlenségi nyomatékát, amelynek magassága: hés alapsugár R, az alap átmérőjével egybeeső tengelyhez képest.

Keressük a távolságot d a henger tetszőleges pontjára:

távolság a koordinátákkal ellátott ponttól a tengelyig – az ebből a pontból a tengelyre húzott merőleges hossza . Szerkesszünk a tengelyre merőleges síkot úgy, hogy a pont ehhez a síkhoz tartozik. Ekkor bármely, a tengelyt metsző és ehhez a síkhoz tartozó egyenes merőleges lesz . Különösen a pontot és a pontot összekötő egyenes lesz merőleges a tengelyre, és a pontok közötti távolság a kívánt távolság lesz d. A két pont távolságára jól ismert képlet segítségével számítjuk ki.

3 Kettős integrálok alkalmazásai

3.1 Elméleti bevezetés

Fontolja meg az Alkalmazásokat kettős integrál számoshoz geometriai problémákés a mechanika feladatai.

3.1.1 Egy lapos lemez területének és tömegének kiszámítása

Vegyünk egy vékony anyaglemezt D a síkban található Ohu. Terület S ez a lemez megtalálható a kettős integrál képlet segítségével:

3.1.2 Statikus pillanatok. Lapos lemez tömegközéppontja

statikus pillanat M x a tengelyről Ökör anyagi pont P(x;y) a gépben fekve Oxyés tömege van m, egy pont tömegének és ordinátájának szorzatának nevezzük, azaz. M x = az én. A statikus nyomatékot hasonlóan határozzuk meg M y a tengelyről Oy: ­ ­ ­ M y = mx. Statikus pillanatok lapos lemez felületi sűrűséggel γ = γ (x, y) a következő képletekkel számítják ki:

Mint ismeretes a mechanikából, a koordináták x c ,y c egy lapos anyagrendszer tömegközéppontját a következő egyenlőségek határozzák meg:

ahol m a rendszer tömege, és M xÉs M y a rendszer statikus momentumai. Lapos lemez súlya m az (1) képlet határozza meg, a síklap statikus nyomatékai a (3) és (4) képlettel számíthatók. Ekkor az (5) képlet alapján megkapjuk a síklemez tömegközéppontjának koordinátáit:

Egy tipikus számítás két feladatot tartalmaz. Minden feladathoz egy lapos tányért adunk D, amelyet a probléma feltételében megadott vonalak határolnak. G(x,y) a lemez felületi sűrűsége D. Ehhez a lemezkeresőhöz: 1. S- terület; 2. m- tömeg; 3. M y , M x– statikus pillanatok a tengelyekről OyÉs Ó illetőleg; 4. , a tömegközéppont koordinátái.

3.3 Egy tipikus számítás elvégzése

Az egyes feladatok megoldása során: 1. Készítsen rajzot egy adott területről. Válassza ki azt a koordinátarendszert, amelyben a kettős integrálokat számítja. 2. Rögzítse a területet egyenlőtlenségrendszerként a kiválasztott koordinátarendszerben. 3. Számítsa ki a területet Sés tömeg m lemezek az (1) és (2) képlet szerint. 4. Számítsa ki a statikus pillanatokat M y , M x a (3) és (4) képlet szerint. 5. Számítsa ki a tömegközéppont koordinátáit a (6) képlet alapján! Helyezze a tömegközéppontot a rajzra. Ebben az esetben a kapott eredmények vizuális (minőségi) ellenőrzése történik. A numerikus válaszokat három jelentős számmal kell megadni.

3.4 Minta számítási példák

1. feladat. tányér D sorokkal korlátozva: y = 4 – x 2 ; x = 0; y = 0 (x ≥ 0; y≥ 0) Területi sűrűség γ 0 = 3. Megoldás. A feladatban megadott területet egy parabola korlátozza y = 4 – x 2, koordinátatengelyek és fekszik az első negyedben (1. ábra). A feladat a derékszögű koordinátarendszerben lesz megoldva. Ez a terület egy egyenlőtlenségi rendszerrel írható le:

Rizs. egy

Terület S lemez egyenlő (1): Mivel a lemez homogén, tömege m = γ 0 S= 3 = 16. A (3), (4) képletek segítségével megtaláljuk a lemez statikus nyomatékait: A tömegközéppont koordinátáit a (6) képlet határozza meg: Válasz: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

2. feladat. tányér D sorokkal korlátozva: x 2 + nál nél 2 = 4; x = 0, nál nél = x (x ≥ 0, nál nél≥ 0). Felületi sűrűség γ (x,y) = nál nél. Megoldás. A lemezt kör és az origón áthaladó egyenesek határolják (2. ábra). Ezért a probléma megoldásához kényelmes a poláris koordináta-rendszer használata. polárszög φ π/4 és π/2 között változik. A pólusból a lemezen keresztül húzott nyaláb "belép" ρ = 0-nál és "elhagyja" a kört, melynek egyenlete: x 2 + nál nél 2 = 4 <=>p = 2.

Rizs. 2

Ezért az adott terület egyenlőtlenségi rendszerként írható fel: A lemez területét az (1) képlet határozza meg: A lemez tömegét a (2) képlettel, behelyettesítéssel találjuk meg γ (x,y) = y = ρ bűn φ :
A lemez statikus nyomatékainak kiszámításához a (3) és (4) képleteket használjuk:
A tömegközéppont koordinátáit a (6) képletekkel kapjuk meg: Válasz: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Jelentéstétel

A jelentésnek tartalmaznia kell az összes elvégzett számítást, szépen kivitelezett rajzokat. A numerikus válaszokat három jelentős számmal kell megadni.

– lapos korlátos alak súlypontjának kiszámítása. Sok olvasó intuitívan megérti, mi a súlypont, de ennek ellenére azt javaslom, hogy ismételje meg az egyik lecke anyagát analitikus geometria, ahol leszereltem a háromszög súlypontjának problémájaés hozzáférhető formában megfejtve fizikai jelentése ezt a kifejezést.

Független és ellenőrző feladatoknál főszabály szerint megoldása javasolt legegyszerűbb eset– lakás korlátozott homogén figura, vagyis állandó fizikai sűrűségű figura - üveg, fa, bádog öntöttvas játékok, nehéz gyerekkor stb. Továbbá alapértelmezés szerint csak ilyen számokról beszélünk =)

Az első szabály és a legegyszerűbb példa: ha egy lapos alaknak van szimmetria középpontja, akkor ennek az alaknak a súlypontja. Például egy kerek homogén lemez közepe. Logikus és világilag világos - egy ilyen alak tömege "igazságosan eloszlik minden irányban" a középponthoz képest. Hidd el – nem akarom.

A zord valóságban azonban nem valószínű, hogy megdobálják az édességet elliptikus csokoládé, tehát egy komoly konyhai eszközzel kell felvértezned magad:

Egy lapos homogén korlátos alak súlypontjának koordinátáit a következőből számítjuk ki a következő képleteket :

, vagy:

, ahol a régió területe (ábra); vagy nagyon rövid:

, ahol

Az integrált feltételesen „X” integrálnak, az integrált „Y” integrálnak nevezzük.

Megjegyzés-segítség : lakáshoz korlátozott heterogénábra, amelynek sűrűségét a függvény adja meg, a képletek bonyolultabbak:
, ahol - az ábra tömege;egyenletes sűrűség esetén a fenti képletekre egyszerűsítjük.

A képleteken tulajdonképpen minden újdonság véget ér, a többi a te képességed kettős integrálokat megoldani Egyébként most remek lehetőség a technika gyakorlására és fejlesztésére. És a tökéletességnek, mint tudod, nincs határ =)

Dobjunk be egy élénkítő adag parabolát:

1. példa

Határozzuk meg egy egyenesekkel határolt homogén lapos alak súlypontjának koordinátáit!

Megoldás: az itt található vonalak elemiek: beállítja az abszcissza tengelyt, az egyenlet pedig egy parabola, amely egyszerűen és gyorsan felépíthető gráfok geometriai transzformációi:

– parabola, 2 egységgel balra és 1 egységgel lefelé tolva.

A teljes rajzot egyben kiegészítem az ábra súlypontjának kész pontjával:

Második szabály: ha az ábra rendelkezik szimmetriatengely, akkor ennek az alaknak a súlypontja szükségszerűen ezen a tengelyen fekszik.

Esetünkben az ábra kb egyenes, vagyis tulajdonképpen már ismerjük az "em" pont "x" koordinátáját.

Vegye figyelembe azt is, hogy függőlegesen a súlypont közelebb van az x tengelyhez, mivel ott az ábra tömegesebb.

Igen, talán még nem mindenki értette meg teljesen, mi a súlypont: kérem, emelje fel a mutatóujját, és gondolatban helyezze rá az árnyékolt „talpat” egy ponttal. Elméletileg az ábra nem eshet.

A képletekkel megtaláljuk az ábra súlypontjának koordinátáit , ahol .

A terület (alakzat) bejárásának sorrendje itt nyilvánvaló:

Figyelem! A legjövedelmezőbb bejárási sorrend meghatározása egyszer- és használd mindenkinek integrálok!

1) Először is számítsa ki az ábra területét. Tekintettel az integrál viszonylagos egyszerűségére, a megoldás kompaktan megfogalmazható, a lényeg, hogy ne keveredjünk össze a számításokban:

Megnézzük a rajzot, és cellákonként megbecsüljük a területet. Az esetről kiderült.

2) A súlypont x-koordinátáját már megtaláltuk " grafikus módszer”, így hivatkozhat a szimmetriára, és továbbléphet a következő bekezdésre. Ennek ellenére továbbra sem javaslom ezt - valószínű, hogy a megoldást el fogják utasítani a „használd a képletet” megfogalmazással.

Vegye figyelembe, hogy itt meg lehet boldogulni kizárólag szóbeli számításokkal - néha egyáltalán nem szükséges a törteket közös nevezőre hozni, vagy kínozni a számológépet.

Ilyen módon:
ami kellett.

3) Határozza meg a súlypont ordinátáját! Számítsuk ki a "játék" integrált:

És itt nehéz lenne számológép nélkül. Minden esetre megjegyzem, hogy a polinomok szorzása eredményeként 9 tagot kapunk, és ezek egy része hasonló. Hasonló kifejezéseket adtam szóban (mint általában hasonló esetekben)és azonnal felírta a végösszeget.

Ennek eredményeként:
ami nagyon-nagyon közel áll az igazsághoz.

Az utolsó szakaszban megjelölünk egy pontot a rajzon. A feltétel szerint nem kellett semmit rajzolni, de a legtöbb feladatban akarva-akaratlanul kénytelenek vagyunk figurát rajzolni. De van egy abszolút plusz - az eredmény vizuális és meglehetősen hatékony ellenőrzése.

Válasz:

A következő két példa erre önálló döntés.

2. példa

Határozzuk meg egy egyenesekkel határolt homogén sík alakzat súlypontjának koordinátáit!

Mellesleg, ha elképzeli, hogy a parabola hogyan helyezkedik el, és meglátja azokat a pontokat, amelyekben metszi a tengelyt, akkor itt valójában rajz nélkül is megteheti.

És még nehezebb:

3. példa

Határozzuk meg egy homogén sík alakzat súlypontját, amelyet vonalak határolnak

Ha nehézségeid vannak az ábrázolásban, tanulmányozd (áttekintés) lecke a parabolákrólés/vagy a cikk 11. példája Dupla integrálok a próbabábukhoz.

Az óra végén mintamegoldások.

Ezen kívül egy-két hasonló példa található az oldal megfelelő archívumában Kész megoldások a felsőbb matematikához.

Nos, nem tehetek mást, mint a szerelmesek kedvét felsőbb matematika akik gyakran kérnek tőlem, hogy rendezzem a nehéz problémákat:

4. példa

Határozzuk meg egy vonalakkal határolt homogén lapos alak súlypontját! Rajzolja fel a rajzra az ábrát és annak súlypontját!

Megoldás: ennek a feladatnak a feltétele már kategorikusan megköveteli egy rajz végrehajtását. De a követelmény nem olyan formális! - még egy átlagos képzettségű ember is el tudja képzelni ezt a figurát a fejében:

Egy egyenes vonal 2 részre vágja a kört, és egy további záradékra (cm. lineáris egyenlőtlenségek) jelzi, hogy egy kis árnyékolt darabról beszélünk.

Az ábra egy egyenesre szimmetrikus (szaggatott vonallal ábrázolva), ezért a súlypontnak ezen a vonalon kell lennie. És nyilván a koordinátái is modulo. Kiváló iránymutatás, amely gyakorlatilag kizárja a hibás választ!

Most a rossz hír =) A láthatáron dereng a gyökérből származó kellemetlen integrál, amelyet részletesen elemeztünk a lecke 4. példájában Hatékony módszerek integrálok megoldására. És ki tudja, mit sorsolnak még oda. Úgy tűnik, hogy a jelenlét miatt körökben nyereséges, de nem minden olyan egyszerű. Az egyenes egyenletet formává alakítjuk és az integrálokról sem lesz cukor (bár a rajongók trigonometrikus integrálok méltányol). Ebben a tekintetben ésszerűbb a derékszögű koordinátákon időzni.

Alak bejárási sorrendje:

1) Számítsa ki az ábra területét:

Racionálisabb az első integrált venni a differenciál jele alá foglalva:

És a második integrálban elvégezzük a szabványos cserét:

Számítsuk ki az integráció új határait:

2) Keressük meg.

Itt a 2. integrált ismét használták egy függvény differenciáljel alá hozásának módszere. Gyakorolja és alkalmazza ezeket az optimálisakat (szerintem) tipikus integrálok megoldásának módszerei.

Nehéz és hosszadalmas számítások után ismét a rajzra fordítjuk figyelmünket (ne feledje, hogy a pontokat még nem tudjuk! ) és mély erkölcsi elégtételt kapunk a talált értéktől.

3) A korábban elvégzett elemzés alapján meg kell győződni arról, hogy .

Bírság:

Húzzunk egy pontot a rajzon. A feltétel megfogalmazásának megfelelően véglegesnek írjuk válasz:

Hasonló feladat önálló megoldáshoz:

5. példa

Határozzuk meg egy vonalakkal határolt homogén lapos alak súlypontját! Hajtsa végre a rajzot.

Ez a feladat azért érdekes, mert kellően kis méretű figurát tartalmaz, és ha valahol hibázik, akkor nagy a valószínűsége annak, hogy egyáltalán nem kerül be a területre. Ami persze a döntéskontroll szempontjából jó.

Tervezési minta az óra végén.

Néha hasznos átmenet poláris koordinátákra kettős integrálokban. A formától függ. Kerestem és kerestem egy jó példát, de nem találtam, ezért a fenti lecke 1. bemutató feladatánál bemutatom a megoldást:


Emlékezzünk vissza, hogy abban a példában erre váltottunk poláris koordináták, megtudta a terület megkerülésének eljárását és számítsa ki a területét

Keressük meg ennek az alaknak a súlypontját. A séma ugyanaz: . Az érték közvetlenül a rajzból látható, és az „x” koordinátát kicsit közelebb kell tolni az y tengelyhez, mivel a félkör masszívabb része ott található.

Integrálokban használjuk szabványos képletekátmenet:

Valószínű, hogy nem tévedtek.

Mondjunk példát egy test tömegközéppontjának meghatározására úgy, hogy külön testekre osztjuk, amelyek tömegközéppontja ismert.

1. példa. Határozzuk meg egy homogén lemez tömegközéppontjának koordinátáit (9. ábra). A méretek milliméterben vannak megadva a 9. ábrán.

Megoldás: Mutasd meg a koordinátatengelyeket és . A lemezt részekre osztjuk, amelyeket három téglalap alkot. Minden téglalaphoz átlókat rajzolunk, amelyek metszéspontjai meghatározzák az egyes téglalapok tömegközéppontjainak helyzetét. Az elfogadott koordinátarendszerben könnyű megtalálni ezeknek a pontoknak a koordinátáit. Ugyanis:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Az egyes testek területei egyenlőek:

; ; .

A teljes lemez területe:

Egy adott lemez tömegközéppontjának koordinátáinak meghatározásához (21) kifejezéseket használunk. Helyettesítse be az összes ismert mennyiség értékét adott egyenlet, kapunk

A lemez tömegközéppontjának koordinátáinak kapott értékei szerint az ábrán a C pontot jelöljük. Mint látható, a lemez tömegközéppontja (geometriai pontja) kívül van.

Hozzáadás módja. Ez a módszer az elválasztási módszer egy része. Alkalmazható olyan testekre, amelyekben bevágások (üregek) vannak. Ráadásul a kivágott rész nélkül a test tömegközéppontjának helyzete ismert. Gondoljunk például egy ilyen módszer alkalmazására.

2. példa Határozzuk meg egy R sugarú kerek lemez súlyközéppontjának helyzetét, amelyben egy r sugarú kivágás található (10. ábra). Távolság.

Megoldás: Amint a 10. ábrán látható, a lemez tömegközéppontja a lemez szimmetriatengelyén, vagyis az egyenesen fekszik, mivel ez az egyenes a szimmetriatengely. Így ennek a lemeznek a tömegközéppontjának helyzetének meghatározásához csak egy koordinátát kell meghatározni, mivel a második koordináta a szimmetriatengelyen helyezkedik el, és kiegyensúlyozza a nullákat. Mutassuk meg a koordinátatengelyeket , . Tegyük fel, hogy a lemez két testből áll - egy teljes körből (mintha kivágás nélkül) és egy testből, amely úgy tűnik, hogy kivágással készült. Az elfogadott koordinátarendszerben a megjelölt testekre vonatkozó koordináták a következők lesznek: .A testek területei: ; . Az egész test teljes területe egyenlő lesz az első és a második test területei közötti különbséggel, nevezetesen